kalkulus

1. LOGO
Bilangan Real, Estimasi dan
Logika
Eki Ahmad Zaki Hamidi, ST.,MT.
Tujuan Mencari Ilmu Bukan Sekedar Tahu
(Pepatah)
Pertemuan 1

2. Silabus
• Bilangan Real, Pertaksamaan, Fungsi
• Limit dan Kekontinuan
• Turunan
• Aplikasi Turunan
• Integral
• Aplikasi Integral
• Fungsi Transenden

3. Contoh Permasalahan
Tentukan Panjang tangga terpendek yang
menghubungkan lantai ke dinding.
Bila keping berbentuk seperti gambar dibawah
ini akan digantung menggunakan tali, dititik x,
dititik manakah ia digantung supaya ia terjaga
horizontal.

4. Bilangan Real, Estimasi dan Logika
• Bilangan Real
Bilangan real adalah semua bilangan yang dapat
dinyatakan dalam bentuk desimal.
An...A₁Aₒ, b₁b₂b₃...
Bentuk desimal yang berhenti atau berulang
menyatakan bilangan rasional, misalnya:
0,5 = ½
0,33333333... = ⅓
Bentuk desimal yang tak berhenti dan tak beruang
menyatakan bilangan irasional, misalnya:
√2 = 1,4142135623...
π = 3,1415926535...

5. Bilangan Real
• Himpunan Bilangan Real (R) memuat
Himpunan Bilangan Rasional (Q), yang
memuat Himpunan Bilangan Bulat (Z).
Z = {...,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}
dan Himpunan Bilangan Asli (N)
N = {1,2,3,...}
Dalam hal ini,
N c Z c Q c R
Selanjutnya, R merupakan himpunan semesta
kita.

6. Bilangan Real
• Sistem bilangan real R dengan operasi
penjumlahan + dan perkalian x padanya
memenuhi:
• Sifat aljabar (komutatif, asosiatif, distributif,....)
• Sifat urutan (hukum trikotomi, transitif,...) yang
melibatkan lambang <, =, >.
• Sifat kelengkapan, yaitu bahwa R ‘merupakan’
garis yang “tak berlubang”.
Garis Bilangan Real sebagai representasi R:

7. Estimasi
• Dalam perhitungan, estimasi sering dilakukan.
• Sebagai Contoh:
• π ≈ 3,14
• √2 ≈ 1,4
• 2¹⁰ ≈ 1000

8. Logika
• Dalam berargumentasi, kita sering menggunakan
kalimat “Jika......., maka....”
• Ingat tabel kebenaran “P → Q” (baca “Jika P maka Q”)
P Q P→Q
B B B
B S S
S B B
S S B

9. Latihan
1. Bilangan mana yang lebih besar?
a. 22/7 atau 3,14
b. 2¹⁰ atau 1000
2. Benar/Salah Kalimat Berikut?
a. Jika x > 1, maka x² > 1
b. Jika x² > 1, maka x > 1

10. Persamaan dan Nilai Mutlak
Menyelesaikan pertaksamaan
(satu peubah), termasuk yang
melibatkan nilai mutlak

11. Pertaksamaan dan Nilai Mutlak
Kalimat ¼ < ½ merupakan suatu
ketaksamaan yang benar.
Kalimat 1/x < ½ merupakan pertaksamaan
atau ketaksamaan yang kebenarannya masih
“terbuka” : ia bisa benar, bisa juga salah;
tergantung pada nilai x yang dipilih.
Menyelesaikan suatu pertaksamaan dalam x
berarti menentukan himpunan semua nilai x
yang “memenuhi” pertaksamaan tersebut.

12. Notasi Selang
(a,b):={x| a<x<b}
[a,b]:={x| a≤x≤b}
[a,b):={x| a≤x<b}
(a,b]:={x| a<x≤b}
(-∞,b):={x| x<b}
(-∞,b]:={x| x≤b}
(a,∞):={x| a<x}
[a,∞):={x| a≤x}
(-∞,∞):= R

13. Menyelesaikan Pertaksamaan
Contoh selesaikan pertaksamaan 1/x < ½
2
atau x
0
x
0
x)(2x)
-
(2
0
2
2
0
2
1
1
2
1
x
1












x
x
x

14. Nilai Mutlak
Nilai Mutlak |x| menyatakan “jarak” dari 0
ke x pada garis bilangan real.
Sifat: |a.b| = |a|.|b| |x|<a ↔ -a < x < a
|a+b| ≤ |a|+|b| |x|² = x²
0
x
jika
-x,
:
0
x
jika
0,
:
0
x
,
:
x





 jika
x

15. Latihan
Selesaikan pertaksamaan berikut:
1. x + 1 < 2/x
2. |x - 3| < |x + 1|

16. Referensi
Varbeg, Purcell, Ringdon, Kalkulus Jilid 1,
Penerbit Erlangga, 2008.
Hendra Gunawan, Matematika 1A
(MA1201), ITB, 2014

17. LOGO