Jednacina prave

1. JEDNAČINA PRAVE
Begzada Kišić

2.  Osnovni zadaci analitičke geometrije su :
- nacrtati liniju čija je jednačina data
- naći jednačinu date linije.
 Postoje razni oblici jednačine prave u zavisnosti
od toga čime je ona određena.

3. Eksplicitni (glavni) oblik
 Položaj prave u koordinatnom sistemu jednoznačno
je određen:
- uglom α koji prava zatvara (gradi) sa
pozitivnim smjerom ose x i
- odsječkom n koji prava odsijeca na osi y.

5. Ako posmatramo jednu pravu i znamo ugao α i
odsječak n naš zadatak je odrediti njenu jednačinu.
 Uzećemo proizvoljnu tačku date prave M(x,y).
 Veza između koordinata x i y predstavljaće jednačinu
date prave.

7. U pravouglom trouglu imamo ugao α pa
primjenom trigonometrije dobijamo:
x
n
y
tg



x
tg
n
y 

 
n
x
tg
y 

 
 


 o,
,
k
tg 

(1)
n
x
k
y 



8.  Jednačina (1) : y=kx+n predstavlja eksplicitni
ili glavni oblik jednačine prave.
 Da bi neka tačka pripadala datoj pravoj njene
koordinate moraju zadovoljiti jednačinu prave.
 Parametri k i n su za datu pravu konstante i od njih
zavisi položaj prave u koordinatnom sistemu.

9. Specijalni slučajevi

10.  Primjer 1. Napisati jednačinu prave koja sa osom x
gradi ugao α=60˚, a na osi y odsijeca
odsječak n=-2.
Rješenje: Tražena jednačina u eksplicitnom obliku
je y=kx+n pri čemu je:
3
60
tg
k 
 
2
x
3
y 


12. Segmentni oblik
 Položaj prave jednoznačno je određen odsječcima
(segmentima) koje prava odsijeca na koordinatnim
osama.
 Postoji samo jedna prava koja na osi x odsijeca
odječak m, a na osi y odsijeca odsječak n.
 Treba odrediti jednačinu te prave.

14. Kod sličnih trouglova stranice su
proporcionalne pa je:
   
y
n
:
y
x
:
x
m 


   xy
y
n
x
m 


xy
xy
my
nx
mn 



(-mn)
:
/
mn
my
nx 



(2)
1
n
y
m
x



15. Jednačina (2) predstavlja segmentni
oblik jednačine prave.
 Primjer 2. Nacrtaj grafik prave čija je
jednačina
Rješenje: Datu jednačinu možemo napisati
u obliku:
.
1
y
3
x


.
1
1
y
3
x



16. Zaključujemo da data prava odsijeca na
koordinatnim osama odsječke n=1 i m=3.

17. Implicitni (opći) oblik
 Svaka linearna jednačina: ax+by+c=0 (3)
sa dvije nepoznate predstavlja jednačinu
prave u implicitnom obliku.

18. Implicitni oblik možemo prevesti
u eksplicitni oblik
b
c
n
,
b
a
k
b
c
x
b
a
y
0
b
:
/
c
ax
by
0
c
by
ax
















19. Takođe implicitni oblik možemo
prevesti u segmentni oblik
b
c
n
,
a
c
m
1
b
c
y
a
c
x
(-c)
:
/
-c
by
ax
0
c
by
ax














20.  Primjer 3. Data je jednačina prave u implicitnom
obliku 2x-3y+6=0. Odredi njen koeficijent
pravca k i odsječke m i n koje ona
odsijeca na koordinatnim osama.
Rješenje: Da bismo odredili parametre k, m i n
moramo jednačinu prave napisati u
eksplicitnom i segmentnom obliku.

21. 0
6
y
3
x
2 


(-3)
:
/
6
x
2
y
3 



2
x
3
2
y 

2
n
,
3
2
k 

0
6
y
3
x
2
)
b 


1
6
y
3
6
x
2




6)
(-
:
/
6
y
3
x
2 


1
2
y
3
x



2
n
,
3
m 


a)

22. Sad kad znamo odsječke lako je nacrtati pravu.

23. Zaključak:
 Da bismo napisali jednačinu date prave moramo
iskoristiti podatke da odredimo njene parametre.
 Ako odredimo koeficijent pravca k i odsječak n na
osi y možemo je napisati u eksplicitnom obliku.
 Ako izračunamo njene odsječke m i n na
koordinatnim osama možemo je napisati u
segmentnom obliku.
 Svaki oblik jednačine prave možemo transformisati
u ostale oblike.

24. Zadaci:
 1. Napisati jednačinu prave koja prolazi kroz tačku
M(6,-4) i na osi x odsijeca odsječak 3.
 2. Odrediti jednačinu prave koja prolazi kroz tačku
M(3,-7) i na koordinatnim osama odsijeca jednake
odsječke.
 3. Prava prolazi kroz tačku M(-5,4) i sa koordinatnim
osama gradi trougao površine P=5. Odredi njenu
jednačinu.
 4. U jednačini 2x-(5p-2)y-3=0, odrediti parametar p
tako da grafik prave sa osom x gradi ugao α=45˚.

25. HVALA NA PAŽNJI!