Piramida, prizma

1. P R I Z M A
2

2. Prizma je poliedar određen s dva podudarna poligona koji leže u paralelnim ravnima i
imaju paralelne odgovarajuće stranice. Ako su sve bočne ivice normalne (ortogonalne)
u odnosu na bazu onda je prizma prava. Ona je pravilna ako su joj baze pravilni
mnogouglovi.
Ako su baze paralelogrami tada se prizma naziva paralelepiped i
ima šest strana. Posebni slučajevi paralelepipeda su:
- kvadar, kojem su baze - kocka, kojoj su
pravougaonici baze kvadrati
Visina H prizme je dužina normale koja je spuštena iz bilo koje tačke jedne baze na
ravan druge baze.

3. Zapremina prizme
V=B∙H
gdje je B površina baze, a H visina prizme.
Zapremina kocke V = a3
Zapremina kvadra V = abc
Površina prizme
P=2∙B+M
gdje je B površina baze, a M površina omotača.
Površina kocke P = 6a2
Površina kvadra P = 2(ab + ac + bc)
Pravilna prizma
Prizma je pravilna ukoliko je prava i njena je
baza pravilan mnogougao. Kocka je jedna vrsta
četvorostrane pravilne prizme.
Formule
Površina pravilne prizme: P=2∙B+M
gdje je B površina baze, a M površina omotača.
Zapremina pravilne prizme: V=B∙H
gdje je B površina baze, a H visina prizme.

4. Piramida je geometrijsko tijelo sastavljeno od baze (mnogougao, najčešće
trougao ili pravougaonik) i stranica (trouglovi).
U deskriptivnom smislu piramida "nastaje" kada:
1. Postavimo bazu u neku ravan (npr. horizontalna ravan). Baza može biti
bilo koji mnogougao (npr. kvadrat).
2. Visina je dužina kojoj je početna tačka u ravni baze, a krajnja tačka izvan
ravni baze.
3. Spojimo krajnju tačku visine s vrhovima baze.
P I R A M I D A

5. S obzirom na bazu, piramide se dijele na
trostrane (baza trougao), četverostrane (baza
četverougao) ili višestrane/poligonalne (baza
mnogougao/poligon). Ako je baza pravilni
poligon (sve stranice jednake), tu piramidu
nazivamo pravilna piramida.
S obzirom na ugao između ravni baze i visine,
piramide se dijele na prave (pravi ugao) i na
kose piramide (svaki ugao koji nije pravi).
Tako se, na primjer, piramida kojoj je baza
kvadrat a visina je dužina postavljena normalno
na tu bazu iz središta kvadrata naziva pravilna
prava četvorostrana piramida.

6. PRAVILNA TROSTRANA PIRAMIDA

8. Opšta svojstva mnogougla
- n je broj temena, stranica ili uglova mnogougla
- Broj dijagonala koje se mogu povući iz jednog temena mnogougla dn=n−3
- Broj svih dijagonala mnogougla Dn=n⋅(n−3)/2
- Zbir unutrašnjih uglova mnogougla Sn=(n−2)⋅180°
- Zbir spoljašnjih uglova mnogougla iznosi S′n=360°
M N O G O U G A O

9. Pravilni mnogouglovi
Pravilni mnogougao je mnogougao koji ima jednake stranice i jednake
uglove.
Unutrašnji ugao pravilnog mnogougla
α=Sn/n=(n−2)⋅180°/n
Spoljašnji ugao pravilnog mnogougla
α1=360°/n
α1=180°−α
Centralni ugao pravilnog mnogougla
φ=360°/n=α1

10. Obim i površina pravilnog mnogougla
jednakostranični trougao
P3=a2 3
4
O=3⋅a
P=3⋅a⋅ru/2
pravilni četvorougao – kvadrat
P4=a2=d2
2
O=4⋅a
P=4⋅a⋅ru
2
pravilni petougao
O=5⋅a
P=5⋅a⋅ru
2
pravilni šestougao
O=6⋅a
P=6⋅a⋅ru
2
P6=6⋅a2 3
4
pravilni osmougao
O=8⋅a
P=8⋅a⋅ru
2
P8=2R2 2 =2a2 ( 2 +1)
O=n∙a
P=
𝑛∙𝑎∙𝑟𝑢
2

11. Linearna funkcija je funkcija oblika
y = kx+n
i predstavlja zavisnost veličine y od promjenljive veličine x za zadate realne brojeve k i n.
Veličina x je nezavisno promjenljiva i naziva se argument funkcije.
Veličina y je zavisno promjenljiva i naziva se vrijednost funkcije.
S obzirom da za svaki realan broj x postoji jedinstveno određen realan broj y=kx+n, to znači
da nezavisno promjenljiva x može uzimati vrijednosti iz cijelog skupa realnih brojeva R ili
nekog njegovog podskupa.
Skup D dopustivih vrednosti nezavisno promjenljive naziva se domen ili oblast definisanosti
funkcije. Ako domen linearne funkcije nije unapred zadat, tada je cio skup R domen funkcije.

12. Grafik linearne funkcije predstavlja skup svih parova (x, y), tj. tačaka u koordinatnoj ravni za koje važi
veza y = kx+n.
Razmotrimo grafik linearne funkcije y = kx+n u zavisnosti od realnih brojeva k i n:
za k=0 i n=0, funkcija glasi y=0, njen grafik je prava koja se poklapa sa x-osom;
za k=0 i n≠0, funkcija glasi y=n, njen grafik je prava paralelna sa x-osom a y-osu preseca u tački (0, n);
za k≠0 i n=0, funkcija glasi y = kx, njen grafik je prava koja sadrži koordinatni početak (ako je k>0 prava sa osom Ox gradi oštar ugao,
ako je k<0 prava sa osom Ox gradi tup ugao);
za k≠0 i n≠0, funkcija glasi y = kx+n, njen grafik je prava koja sadrži tačku (0,n) na y-osi i paralelna je pravoj y = kx. (Slika 1.)
Izraz y = kx+n predstavlja jednačinu prave.
Broj k je koeficijent pravca prave.
Broj n je odsečak koji prava gradi na y osi, jednak je vrijednosti funkcije
y=kx+n za x=0.
Dvije prave koje imaju jednak koeficijent pravca su međusobno paralelne.

13. Nula linearne funkcije je vrednost nezavisno promejnljive x za koju je vrijednost linearne
funkcije y = kx+n jednaka nuli. Dakle, nula funkcije se dobija rješavajem jednačine
kx + n = 0
Nula funkcije je prva koordinata tačke presjeka grafika funkcije i x-ose. Dakle, ako je x0 nula
date funkcije, onda je tačka (x0, 0) tačka presjeka grafika funkcije i x-ose.
Primjer 1: Odrediti nulu funkcije:
a) y = 2x+1
b) y = 3
c) y = 0.
Rješenje a): 2x + 1 = 0
2x = -1
x = -1/2
Nula funkcije je x= - 1/2. Tačka presjeka grafika funkcije i x-ose je (-1/2,0). (Slika 1a.)
Rješenje b): 3=0
Jednačina nema rješenja. Funkcija nema nulu. Grafik funkcije ne prjeseca x- osu. (Slika 1b.)
Rješenje c): 0=0
Jednačina ima beskonačno mnogo rješenja. Svaki realan broj x je nula funkcije. Grafik
funkcije se poklapa sa x-osom. (Slika 1c.)

14. Primjer 2: Zadata je funkcija y = -3x+2. Nacrtati grafik funkcije.
Domen ove linearne funkcije nije zadan, pa uzimamo da je domen cio
skup R. To znači da za crtanje grafika funkcije možemo proizvoljno
izabrati dvije vrijednosti nezavisno promjenljive x za koje računamo
vrijednost funkcije. Formiramo tabelu, u prvoj vrsti upisujemo izabrane
vrijednosti nezavisno promjenljive x, a u drugoj vrsti izračunate vrijednosti
funkcije.
x -1 2
y 5 -4
y = -3x+2, y(-1) = -3∙(-1)+2 = 5, y(2) = -3∙2+2 = -4.
Uređeni par (x,y) predstavlja jednu tačku u koordinatnoj ravni Oxy. Dakle,
u koordinatnu ravan unosimo tačke (-1,5) i (2,-4) i skiciramo grafik zadate
funkcije. (Slika 1.)

15. Radila – Anastasija Orlović