1. ÑAÏI SOÁ TOÅ HÔÏP
Chöông V
NHÒ THÖÙC NEWTON (phần 2)
Daïng 2:
ÑAÏO HAØM HAI VEÁ CUÛA KHAI TRIEÅN NEWTON ÑEÅ
CHÖÙNG MINH MOÄT ÑAÚNG THÖÙC
– Vieát khai trieån Newton cuûa (ax + b)n.
– Ñaïo haøm 2 veá moät soá laàn thích hôïp .
– Choïn giaù trò x sao cho thay vaøo ta ñöôïc ñaúng thöùc phaûi chöùng minh.
Chuù yù :
• Khi caàn chöùng minh ñaúng thöùc chöùa k C n ta ñaïo haøm hai veá trong khai trieån (a
k
+ x)n..
• Khi caàn chöùng minh ñaúng thöùc chöùa k(k – 1) Cn ta ñaïo haøm 2 laàn hai veá cuûa
k
khai trieån (a + x)n.
Baøi 136. Chöùng minh :
a) C1 + 2C2 + 3C3 + ... + nCn = n2 n −1
n n n
n
b) C1 − 2C2 + 3C3 − ... + (−1)n −1 nCn = 0
n n n n
c) 2 n −1 C1 − 2 n −1 C2 + 3.2 n −3 C3 − ... + (−1)n −1 nCn = n .
n n n
n
Giaûi
Ta coù nhò thöùc
(a + x)n = C0 an + C1 an −1x + C2 an −2 x 2 + ... + Cn x n .
n n n n
Ñaïo haøm 2 veá ta ñöôïc :
n(a + x)n-1 = C1 an −1 + 2C2 an −2 x + 3C3 an −3 x 2 + ... + nCn x n −1
n n n n
a) Vôùi a = 1, x = 1, ta ñöôïc :
C1 + 2C2 + 3C3 + ... + nCn = n2 n −1
n n n
n
b) Vôùi a = 1, x = –1, ta ñöôïc :

2. C1 − 2C2 + 3C3 − ... + (−1)n −1 nCn = 0
n n n n
c) Vôùi a = 2, x = –1, ta ñöôïc :
2 n −1 C1 − 2 n −1 C2 + 3.2 n −3 C3 − ... + (−1)n −1 nCn = n .
n n n
n
Baøi 137. Cho (x – 2)100 = a0 + a1x + a2x2 + … + a100x100 . Tính :
a) a97
b) S = a0 + a1 + … + a100
c) M = a1 + 2a2 + 3a3 + … + 100a100
Ñaïi hoïc Haøng haûi 1998
Giaûi
Ta coù :
(x – 2)100 = (2 – x)100
= C100 2100 − C100 2 99.x + ... + C100 2100 − k (−x)k + ... + C100 x100
0 1 k
100
a) ÖÙng vôùi k = 97 ta ñöôïc a97.
Vaäy a97 = C100 23 (−1)97
97
100 ! −8 × 100 × 99 × 98
= –8. = = – 1 293 600
3!97! 6
b) Ñaët f(x) = (x – 2)100 = a0 + a1x + a2x2 + … + a100x100
Choïn x = 1 ta ñöôïc
S = a0 + a1 + a2 + … + a100 = (–1)100 = 1.
c) Ta coù : f ′(x) = a1 + 2a2x + 3a3x2 + … + 100a100x99
Maët khaùc f(x) = (x – 2)100
⇒ f ′(x) = 100(x – 2)99
Vaäy 100(x – 2)99 = a1 + 2a2x + 3a3x2 + … + 100a100x99
Choïn x = 1 ta ñöôïc
M = a1 + 2a2 + … + 100a100 = 100(–1)99 = –100.
Baøi 138. Cho f(x) = (1 + x)n vôùi n ≥ 2.
a) Tính f // (1)

3. b) Chöùng minh
2.1.C2 + 3.2.C3 + 4.3.C4 + ... + n(n − 1)Cn = n(n − 1)2 n −2 .
n n n n
Ñaïi hoïc An ninh 1998
Giaûi
a) Ta coù : f(x) = (1 + x)n
⇒ f ′(x) = n(1 + x)n – 1
⇒ f // (x) = n(n – 1)(1 + x)n – 2
Vaäy f // (1) = n(n – 1)2n – 2 .
b) Do khai trieån nhò thöùc Newton
f(x) = (1 + x)n = Cn + C1 x + C2 x 2 + C3 x 3 + Cn x 4 + ... + Cn x n
0
n n n
4 n
⇒ f ′(x) = n(1 + x)n - 1 = C1 + 2xC2 + 3x 2 C3 + 4x 3C4 + ... + nx n −1Cn
n n n n n
⇒ f ′′(x) = n(n – 1)(1 + x)n - 2 = 2C2 + 6xC3 + 12x 2 C4 + ... + n(n − 1)x n −2 Cn
n n n
n
Choïn x = 1 ta ñöôïc
n(n – 1)2n – 2 = 2C2 + 6C3 + 12C n + ... + n(n − 1)C n .
n n
4
n
Baøi 139. Chöùng minh
2 n −1 C1 + 2 n −1 C2 + 3.2 n −3 C3 + 4.2 n − 4 C4 + ... + nCn = n3n −1 .
n n n n
n
Ñaïi hoïc Kinh teá Quoác daân 2000
Giaûi
Ta coù :
(2 + x)n = C0 2 n + C1 2 n −1 x + C2 2 n −2 x 2 + C3 2 n −3 x 3 + ... + C n x n
n n n n
n
Ñaïo haøm 2 veá ta ñöôïc
n(2 + x)n – 1 = C1 2 n −1 + 2xC2 2 n −2 + 3x 2 C3 2 n −3 + ... + nx n −1Cn
n n n n
Choïn x = 1 ta ñöôïc
n3n – 1 = 2 n −1 C1 + 2 n −1 C2 + 3C3 2 n −3 + ... + nCn .
n n n
n
Baøi 140. Chöùng minh C1 3n −1 + 2C2 3n −2 + 3C3 3n −3 + ... + nCn = n4 n −1 .
n n n n
Ñaïi hoïc Luaät 2001

4. Giaûi
Ta coù :
(3 + x)n = C0 3n + C1 3n −1 x + C2 3n −2 x 2 + C3 3n −3 x 3 + ... + Cn x n
n n n n n
Ñaïo haøm 2 veá ta ñöôïc
n(3 + x)n – 1 = C1 3n −1 + 2xC2 3n −2 + 3x 2 C3 3n −3 + ... + nCn x n −1
n n n n
Choïn x = 1
⇒ n4n – 1 = C1 3n −1 + 2C2 3n −2 + 3C3 3n −3 + ... + nCn .
n n n
n
Baøi 141. Tính A = C1 − 2C2 + 3C3 − 4C4 + ... + (−1)n −1 nCn
n n n n n
Ñaïi hoïc Baùch khoa Haø Noäi 1999
Giaûi
Ta coù :
(1 – x )n = C0 − C1 x + C2 x 2 − C3 x 3 + ... + (−1)n Cn x n
n n n n
n
Laáy ñaïo haøm hai veá ta ñöôïc
–n(1 – x)n – 1 = −C1 + 2xC2 − 3x 2 C3 + ... + (−1)n nCn x n −1
n n n
n
Choïn x = 1 ta coù :
0 = −C1 + 2C2 − 3C3 + ... + (−1)n nCn
n n n
n
⇒ A = C1 − 2C2 + 3C3 + ... + (−1)n −1 nCn = 0
n n n
n
Baøi 142. Chöùng minh vôùi n ∈ N vaø n > 2
1 1
(Cn + 2C2 + 3C3 + ... + nCn ) < n!
n n n (*)
n
Giaûi
Ta coù : (1 + x)n = C0 + xC1 + x 2 C2 + ... + x n Cn
n n n
n
Laáy ñaïo haøm theo x hai veá ta ñöôïc :
n(1 + x)n – 1 = C1 + 2xC2 + ... + nx n −1Cn
n n
n
Choïn x = 1 ta ñöôïc
n2n – 1 = C1 + 2C2 + ... + nCn
n n n

5. 1
Vaäy (*) ⇔ (n.2 n −1 ) < n! ⇔ 2n – 1 < n! (**)
n
Keát quaû (**) seõ ñöôïc chöùng minh baèng qui naïp
(**) ñuùng khi n = 3. Thaät vaäy 4 = 22 < 3! = 6
Giaû söû (**) ñuùng khi n = k vôùi k > 3 nghóa laø ta ñaõ coù : k! > 2k – 1
Vaäy (k + 1)k! > (k + 1)2k – 1
⇔ (k + 1)! > 2 . 2k – 1 = 2k (do k > 3 neân k + 1 > 4 )
Do ñoù (**) ñuùng khi n = k + 1.
Keát luaän : 2n – 1 < n! ñuùng vôùi ∀ n ∈ N vaø n > 2.
Baøi 143. Chöùng minh
a) 1.2C2 + 2.3C3 + ... + (n − 1)nCn = n(n − 1)2 n−2
n n n
b) 1.2C2 − 2.3C3 + ... + (−1)n −2 (n − 1)nC n = 0
n n
n
c) 2 n −1 C2 + 3.2 n −2 C3 + 3.4.2 n − 4 C 4 + ... + (n − 1)nCn = n(n − 1)3n −2
n n n n
d) 2 n −1 C2 − 3.2 n −2 C3 + 3.4.2 n − 4 Cn − ... + (−1)n −2 (n − 1)nC n = n(n − 1) .
n n
4
n
Giaûi
Ta coù nhò thöùc
(a + x)n = C0 an + C1 an −1x + C2 an −2 x 2 + ... + Cn x n .
n n n n
Ñaïo haøm 2 veá 2 laàn , ta ñöôïc :
n(n – 1)(a + x)n – 2 = 1.2C2 an −2 + 2.3C3 an −3 x + ... + (n − 1)nCn x n −2
n n
n
a) Vôùi a = 1, x = 1, ta ñöôïc :
1.2C2 + 2.3C3 + ... + (n − 1)nCn = n(n − 1)2 n −2
n n n
b) Vôùi a = 1, x = – 1, ta ñöôïc :
1.2C2 − 2.3C3 + ... + (−1)n −2 (n − 1)nC n = 0
n n
n
c) Vôùi a = 2, x = 1, ta ñöôïc :
1.2.2 n −2 C2 + 2.3.2 n −3 C3 + ... + (n − 1)nCn = n(n − 1)3n −2
n n n
⇔ 2 n −1 C2 + 3.2 n −2 C3 + 3.4.2 n − 4 C 4 + ... + (n − 1)nCn = n(n − 1)3n −2
n n n n
d) Vôùi a = 2, x = –1, ta ñöôïc :

6. 1.2.2 n −2 C2 − 2.3.2 n −3 C3 + 3.4.2 n − 4 C 4 − ... + (−1)n −2 (n − 1)nCn = n(n − 1)
n n n n
⇔ 2 n −1 C2 − 3.2 n −2 C3 + 3.4.2 n − 4 C4 − ... + (−1)n −2 (n − 1)nC n = n(n − 1) .
n n n n
Baøi 144. Chöùng minh :
a) 3C0 + 4C1 + ... + (n + 3)Cn = 2 n −1 (6 + n) .
n n n
b) 3C0 − 4C1 + ... + (−1)n (n + 3)C n = 0 .
n n n
Giaûi
Ta coù nhò thöùc (a + x)n = C0 an + C1 an −1x + C2 an −2 x 2 + ... + Cn x n
n n n n
Nhaân 2 veá vôùi x3, ta ñöôïc :
x3(a + x)n = C0 an x 3 + C1 an −1x 4 + C2 an −2 x 5 + ... + Cn x n +3 .
n n n
n
Ñaïo haøm 2 veá, ta ñöôïc :
3x2(a + x)n + nx3(a + x)n – 1 = 3C0 an x 2 + 4C1 an −1x 3 + ... + (n + 3)Cn x n + 2 .
n n n
a) Vôùi a = 1, x = 1, ta ñöôïc :
3C0 + 4C1 + ... + (n + 3)Cn = 3.2 n + n2 n −1 = 2 n −1 (6 + n) .
n n n
b) Vôùi a = 1, x = –1, ta ñöôïc :
3C0 − 4C1 + ... + (−1)n (n + 3)C n = 0 .
n n
n
-----------------------------------------
Daïng 3:
TÍCH PHAÂN HAI VEÁ CUÛA NHÒ THÖÙC NEWTON ÑEÅ
CHÖÙNG MINH MOÄT ÑAÚNG THÖÙC
+ Vieát khai trieån Newton cuûa (ax + b)n.
+ Laáy tích phaân xaùc ñònh hai veá thöôøng laø treân caùc ñoaïn : [0, 1], [0, 2] hay [1, 2]
ta seõ ñöôïc ñaúng thöùc caàn chöùng minh.
Chuù yù :
Cn
k
• Caàn chöùng minh ñaúng thöùc chöùa ta laáy tích phaân vôùi caän thích hôïp hai veá
k +1
trong khai trieån cuûa (a + x)n.

7. 1
• Caàn chöùng minh ñaúng thöùc chöùa C n ta laáy tích phaân vôùi caän thích hôïp
k
k + m +1
hai veá trong khai trieån cuûa xm(a + x)n.
Baøi 145. Cho n ∈ N vaø n ≥ 2.
1
a) Tính I = ∫ x (1 + x ) dx
2 3 n
0
1 0 1 1 1 2 1 2 n +1 − 1
b) Chöùng minh : Cn + Cn + Cn + ... + Cn =
n .
3 6 9 3(n + 1) 3(n + 1)
Ñaïi hoïc Môû 1999
Giaûi
1 1 1
a) Ta coù : I = ∫ x (1 + x ) dx = ∫ (1 + x ) d(x + 1)
2 3 n 3 n 3
0 3 0
1
1 (1 + x 3 )n +1 ⎤ 1
I= . ⎥ = 3(n + 1) ⎡2 − 1⎤ .
⎣
n +1
⎦
3 n + 1 ⎦0
b) Ta coù : (1 + x3)n = C0 + C1 x 3 + C2 x 6 + ... + Cn x 3n
n n n n
⇒ x2(1 + x3)n = x 2 C0 + x 5C1 + x 8C2 + ... + x 3 n + 2 Cn
n n n n
Laáy tích phaân töø 0 ñeán 1 hai veá ta ñöôïc :
1
⎡ x3 x6 x9 x 3n +3 ⎤
I = ⎢ C0 + C1 + C2 + ... +
3n + 3 ⎥ 0
n n n
⎣3 6 9 ⎦
2 n +1 − 1 1 0 1 1 1 2 1
Vaäy : = C n + Cn + Cn + ... + Cn
n
3(n + 1) 3 6 9 3n + 3
n
Cn
k
2 n +1 − 1
Baøi 146. Chöùng minh ∑ k +1 n +1
k =0
=
Ñaïi hoïc Giao thoâng Vaän taûi 2000
Giaûi
Ta coù : (1 + x)n = C0 + C1 x + C2 x 2 + ... + Cn x n
n n n n
∫ (1 + x) dx = ∫ ( C + C1 x + C2 x 2 + ... + Cn x n ) dx
1 1
Vaäy n 0
n n n
n
0 0
1 1
⎡ (1 + x)n +1 ⎤ ⎡ x2 x3 x n +1 ⎤
⇔ ⎢ n +1 ⎥ = ⎢ C0 x + C1 + C2 + ... + Cn
n + 1⎥0
n n n n
⎣ ⎦0 ⎣ 2 3 ⎦

8. 2 n +1 − 1 1 1 1
⇔ = C0 + C1 + C2 + ... +
n n n Cn
n
n +1 2 3 n +1
2 n +1 − 1 n
Cn
k
⇔
n +1
= ∑ k +1
k =0
2 2 − 1 1 23 − 1 2 2 n +1 − 1 n
Baøi 147. Tính : C0 +
n Cn + Cn + ... + Cn .
2 3 n +1
Tuyeån sinh Ñaïi hoïc khoái B 2003
Giaûi
Ta coù : (1 + x)n = C0 + C1 x + C2 x 2 + C3 x 3 + ... + Cn x n
n n n n n
∫ (C + C1 x + C2 x 2 + C3 x 3 + ... + C n x n ) dx
2 2
Vaäy ∫ (1 + x)n dx = 0
1 1 n n n n n
2 2
⎡ (1 + x)n +1 ⎤ ⎡ x2 x3 x4 x n +1 ⎤
⇔ ⎢ n +1 ⎥ = ⎢ C0 x + C1 + C 2 + C3 + ... + Cn
n + 1 ⎥1
n n n n n
⎣ ⎦1 ⎣ 2 3 4 ⎦
3n +1 2 n +1 1 2 1 2 1 2
⇔ − = C0 [x]1 + C1 ⎡ x 2 ⎤ + C2 ⎡ x 3 ⎤ + ... +
n
2
n ⎣ ⎦1 3 n ⎣ ⎦1 Cn ⎡ x n +1 ⎤
n ⎣ ⎦1
n +1 n +1 2 n +1
3n +1 − 2 n +1 1 2 −1
2
2 2 −1
3
n 2
n +1
−1
⇔ = Cn + Cn
0
+ Cn + ... + Cn
n +1 2 3 n +1
Baøi 148. Chöùng minh :
1 1 (−1)n n +1 n 1 + (−1)n
2C0 − 22.C1 + 23.C2 + ... +
n n n 2 Cn =
2 3 n +1 n +1
Ñaïi hoïc Giao thoâng Vaän taûi 1996
Giaûi
Ta coù : (1 – x)n = C0 − C1 x + C2 x 2 + ... + (−1)n Cn x n
n n n n
∫ (C − C1 x + C2 x 2 + ... + (−1)n C n x n ) dx
2 2
Vaäy ∫ (1 − x)n dx = 0
0 0 n n n n
2 2
⎡ (1 − x)n +1 ⎤ ⎡ 1 x3 (−1)n x n +1 n ⎤
⇔ ⎢ − = ⎢C0 x − x 2 C1 + C2 + ... + Cn ⎥
n + 1 ⎥0 ⎣
n n n
⎣ ⎦ 2 3 n +1 ⎦0
(−1)n +1 − 1 2 2 1 23 2 (−1)n 2 n +1 n
⇔ − = 2Cn − Cn + Cn + ... +
0
Cn
n +1 2 3 n +1
1 + (−1)n 2 2 1 23 2 (−1)n 2 n +1 n
⇔ = 2Cn − Cn + Cn + ... +
0
Cn
n +1 2 3 n +1

9. Baøi 149. Chöùng minh :
1 1 1 (−1)n
a) (−1) C + (−1)
n 0
n
n −1
Cn + ... + Cn =
n
2 n +1 n +1
1 1 1
b) C0 − C1 + ... + (−1)n
n n Cn =
n
.
2 n +1 n +1
Giaûi
Ta coù nhò thöùc
(a + x)n = C0 an + C1 an −1x + C2 an −2 x 2 + ... + Cn x n .
n n n n
∫ (a + x) dx = ∫ ( C a + C1 an −1x + ... + C n x n ) dx
1 1
Vaäy : n 0 n
n n n
0 0
1 1
(a + x)n +1 ⎛ 1 1 ⎞
⇔ = ⎜ C0 an x + C1 an −1x 2 + ... +
n n Cn x n +1 ⎟
n
n +1 0 ⎝ 2 n +1 ⎠0
(a + 1)n +1 − an +1 1 1
⇔ = C0 an + C1 an −1 + ... +
n n Cn .
n
n +1 2 n +1
a) Vôùi a = –1 , ta ñöôïc :
1 1 −(−1)n +1 (−1)n
(−1)n C0 + (−1)n −1 C1 + ... +
n n Cn =
n =
2 n +1 n +1 n +1
b) Ta coù nhò thöùc
(a + x)n = C0 an + C1 an −1x + C2 an −2 x 2 + ... + Cn x n .
n n n n
∫ (C a + C1 an −1x + ... + C n x n ) dx
−1 −1
Vaäy ∫ (a + x)n dx = 0 n
0 0 n n n
−1 −1
(a + x)n +1 ⎛ 1 1 ⎞
⇔ = ⎜ C0 an x + C1 an −1x 2 + ... +
n n Cn x n +1 ⎟
n
n +1 0 ⎝ 2 n +1 ⎠0
(a − 1)n +1 − an +1 1 1
⇔ = −C0 an + C1 an −1 − ... + (−1)n +1
n n Cn .
n
n +1 2 n +1
Vôùi a = 1, ta ñöôïc :
1 1 −1
−C0 + C1 − ... + (−1)n +1
n n Cn =
n
.
2 n +1 n +1
1 1 1
⇔ C0 − C1 + ... + (−1)n
n n Cn =
n .
2 n +1 n +1

10. 1
Baøi 150. Tính ∫ 0
x(1 − x)19 dx
1 0 1 1 1 2 1 1
Ruùt goïn S = C19 − C19 + C19 + ... + C18 − C19
19 19
2 3 4 20 21
Ñaïi hoïc Noâng nghieäp Haø Noäi 1999
Giaûi
• Ñaët t=1–x ⇒ dt = –dx
Ñoåi caän
x 0 1
t 1 0
1 0
Vaäy I= ∫0
x(1 − x)19 dx = ∫
1
(1 − t)t19 (−dt)
1
1 1 20 1 21 ⎤ 1 1 1
⇔ I = ∫ (t − t )dt =19
t − t ⎥ =
20
− =
0 20 21 ⎦ 0 20 21 420
• Ta coù : (1 – x)19 = C19 − C1 x + C19 x 2 + ... + C18 x18 − C19 x19
0
19
2
19 19
⇒ x(1 – x)19 = xC19 − C1 x 2 + C19 x 3 + ... + C19 x19 − C19 x 20
0
19
2 18
19
1
1 ⎡ x 2 0 x3 1 x 20 18 x 21 19 ⎤
Vaäy I = ∫ x(1 − x) dx = ⎢ C19 − C19 + ... +
19
C19 − C19 ⎥
0
⎣2 3 20 21 ⎦0
1 1 0 1 1 1 1
⇔ = C19 − C19 + ... + C18 − C19
19 19
420 2 3 20 21
1
Vaäy S= .
420
Baøi 151.
1
a) Tính ∫ 0
x(1− x 2 )n dx
1 0 1 1 1 2 1 3 (−1)n n 1
b) Chöùng minh C n − C n + C n − C n + ... + Cn =
2 4 6 8 2n + 2 2(n + 1)
Ñaïi hoïc Baùch khoa Haø Noäi 1997
Giaûi

11. 1 1 1
a) Ta coù : I = ∫ x(1 − x 2 )n dx = − ∫0 (1 − x ) d(1 − x )
2 n 2
0 2
1
1 ⎡ (1 − x 2 )n +1 ⎤ 1
⇔ I= − ⎢ ⎥ = − 2(n + 1) ⎡ 0 − 1 ⎤
⎣
n +1
⎦
2 ⎣ n + 1 ⎦0
1
⇔ I= .
2(n + 1)
b) Ta coù :
(1 – x2)n = C0 − C1 x 2 + C2 x 4 − C3 x 6 + ... + (−1)n Cn x 2n
n n n n n
⇒ x(1 – x2)n = xC0 − C1 x 3 + C2 x 5 − C3 x 7 + ... + (−1)n Cn x 2n +1
n n n n n
1
1 ⎡ x2 x4 x6 x8 (−1)n 2n + 2 n ⎤
Vaäy I = ∫ x(1 − x ) dx = ⎢ C0 − C1 + C2 − C3 + ... +
2 n
n n n n x Cn ⎥
0
⎣2 4 6 8 2n + 2 ⎦0
1 1 1 1 1 (−1)n n
⇔ = C0 − C1 + C2 − C3 + ... +
n n n n Cn
2(n + 1) 2 4 6 8 2n + 2
Baøi 152* .Chöùng minh :
1 0 1 1 1 2 n +1 (n 2 + n + 2) − 2
Cn + C n + ... + Cn =
n .
3 4 n+3 (n + 1)(n + 2)(n + 3)
Giaûi
a) Ta coù nhò thöùc
(a + x)n = C0 an + C1 an −1x + ... + C n x n
n n
n
Suy ra : x2(a + x)n = C0 an x 2 + C1 an −1x 3 + ... + Cn x n + 2
n n
n
∫ (C a x + C1 an −1x 3 + ... + C n x n + 2 )dx
1 1
Vaäy ∫ x 2 (a + x)n dx = 0 n 2 n
0 0 n n
1 0 n 1 1 n −1 1
= Cn a + Cn a + ... + Cn
n
3 4 n+3
Ñeå tính tích phaân ôû veá traùi, ñaët t=a+x ⇒ dt = dx
Ñoåi caän :
x 0 1
t a a+1

12. Suy ra :
1 a +1
∫ 0
x 2 (a + x)n dx = ∫a
(t − a)2 t n dt
a +1
a +1 ⎛ t n +3 2at n + 2 a2 t n +1 ⎞
= ∫ (t − 2at + a t )dt = ⎜
n +2 n +1 2 n
− + ⎟
a
⎝ n+3 n+2 n +1 ⎠ a
(a + 1)n +3 − an +3 2a ⎡(a + 1) − a ⎤ a2 ⎡(a + 1)n +1 − a n +1 ⎤
n+2 n +2
= − ⎣ ⎦+ ⎣ ⎦
n+3 n+2 n +1
Vôùi a = 1, ta ñöôïc :
1 2 n +3 − 1 2(2 n + 2 − 1) 2 n +1 − 1
∫ 0
x 2 (a + x)n dx =
n+3
−
n+2
+
n +1
⎛ 4 4 1 ⎞ ⎛ 2 1 1 ⎞
= 2 n +1 ⎜ − + ⎟+⎜ − − ⎟
⎝ n + 3 n + 2 n +1⎠ ⎝ n + 2 n + 3 n +1⎠
n2 + n + 2 2
= 2 n +1 −
(n + 1)(n + 2)(n + 3) (n + 1)(n + 2)(n + 3)
2 n +1 (n 2 + n + 2) − 2
=
(n + 1)(n + 2)(n + 3)
1 0 1 1 1 2 n +1 (n 2 + n + 2) − 2
Suy ra : Cn + Cn + ... + Cn =
n .
3 4 n+3 (n + 1)(n + 2)(n + 3)
PHAÏM HOÀNG DANH - NGUYEÃN VAÊN NHAÂN - TRAÀN MINH QUANG
(Trung taâm Boài döôõng vaên hoùa vaø luyeän thi ñaïi hoïc Vónh Vieãn)