1. Pretest
1. Tentukan bentuk paling sederhana dari pecahan berikut:
30 cm
4 m
2. Isilah titik-titik berikut dengan tanda <, >, atau =
2
5
…
1
3
3. Urutkan pecahan
2
3
,
1
4
,
5
6
,
3
8
dalam urutan naik
4. Hitunglah operasi hitung pecahan berikut: 15
5
12
+ 7
3
4
5. Ibu Ijup memiliki terigu 11
1
6
kg. Kemudian membeli lagi 3
2
3
kg. Sebanyak 8
1
3
kg akan disimpan dan sisanya akan
dibagikan ke orang yang membutuhkan dalam plastik berisi masing-masing
1
2
kg. Berapa banyak plastik yang
dibutuhkan?
6. Definisi Himpunan
Himpunan adalah kumpulan atau sekelompok objek yang dapat didefinisikan dengan jelas dan terukur.
Jadi, anggota himpunan itu sangat jelas. Tetapi ada juga yang disebut bukan himpunan. Jika ada kata
bukan himpunan, berarti tidak dapat ditentukan secara jelas atau tidak dapat diukur.
Contoh Himpunan:
1. Hewan-hewan karnivora
2. Warna-warna pelangi
3. Bilangan asli
4. Bilangan genap antara 12 sampai 23
Contoh Bukan Himpunan:
1. Kumpulan hewan lucu
2. Lukisan-lukisan yang menarik
3. Penyanyi yang paling cantik
4. Kumpulan warna yang bagus
Definisi yang tidak dapat ditentukan secara jelas itu mengandung kata sifat
7. Contoh soal:
1. Dari kumpulan dibawah ini, manakah yang merupakan himpunan dan manakah
yang bukan?
Kumpulan guru yang tinggi
Kumpulan murid SMPN 2 yang memiliki tinggi
badan lebih dari 150cm
Kumpulan warna lalu lintas
Hewan yang berbulu halus
Kumpulan siswa yang lahir pada bulan Agustus √
Kumpulan makanan yang lezat ×
2. Berikan 1 contoh yang termasuk himpunan dan bukan himpunan
8. Anggota Himpunan
Sebuah hal dinyatakan anggota suatu himpunan jika hal tersebut ada didalam himpunan
tersebut.
Anggota dari suatu himpunan dilambangkan dengan ∈ , sedangkan yang bukan anggota dari
dilambangkan dengan ∉
Contoh ∈ 𝐚𝐭𝐚𝐮 ∉ ? Himpunan
Ayam ∉ Binatang mamalia
Biru ∈ Warna pelangi
192 ∈ 2, 4, 8, 16, 32,64, …
K ∈ Huruf konsonan dalam abjad
12 ∉ Bilangan Ganjil
9. 1. Mangga adalah anggota dari himpunan Buah-buahan
- Dapat dikatakan: Mangga adalah elemen dari himpunan buah-buahan
- Dilambangkan: mangga ∈ Buah-buahan.
2. Bayam bukan anggota dari himpunan bumbu dapur
- Dapat dikatakan: Bayam bukan elemen dari himpunan bumbu dapur
- Dilambangkan: Bayam ∉ Bumbu dapur..
10. Penulisan Himpunan
Aturan cara penulisan himpunan:
1. Penamaan sebuah himpunan dilambangkan dengan huruf kapital 𝐀, 𝐁, 𝐂, …
2. Penulisan anggota himpunan harus didalam kurung kurawal
3. Untuk memisahkan satu anggota dengan anggota lainnya
memakai tanda koma
4. Jika anggota himpunan masih banyak dan tidak dapat disebutkan satu per satu
(masih berlanjut) dapat digunakan tanda titik-titik
5. Notasi ∈ dibaca “anggota dari”
6. Notasi ∉ dibaca “bukan anggota dari”
… , 𝐚, 𝐛, …
...
11. Penyajian Himpunan
Himpunan dapat disajikan dengan 3 cara:
1. Menyebutkan anggota Himpunan (enumerasi)
2. Menuliskan sifat anggota Himpunan atau cara deskripsi
3. Dengan Penulisan Notasi
12. Yaitu dengan menuliskan semua anggota dari himpunan tersebut di dalam kurung kurawal dan tiap
anggotanya dibatasi dengan tanda koma. Manakala banyak anggotanya sangat banyak,
cara mendaftarkan ini biasanya dimodifikasi, yaitu diberi tanda tiga titik (“…”)
dengan pengertian “dan seterusnya mengikuti pola”
Contoh soal:
Nyatakan himpunan berikut dengan cara mendaftar semua anggotanya:
a. B adalah bilangan asli yang lebih dari 3 dan kurang atau sama dengan 15
c. C adalah bilangan bulat lebih dari atau sama dengan -5 tetapi kurang dari 10
b. D adalah bilangan ganjil kurang dari 20
Jawab: B = 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15
Jawab: D = 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19
Jawab: C = −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 C = −5, −4, −3, … , 9
1. Menyebutkan anggota Himpunan (enumerasi)
13. Yaitu menyatakan himpunan dengan menuliskan syarat-syarat atau sifat-sifat yang dimiliki anggotanya
Contoh Penulisan Himpunan dengan deskripsi atau kalimat:
Nyatakan himpunan berikut dengan cara deskripsikan semua anggotanya:
a. A adalah himpunan bilangan cacah kurang dari 7
b. B adalah himpunan bilangan bulat antara −3 dan 5
c. D merupakan bilangan ganjil kurang dari atau sama dengan 9
Jawab: A = Bilangan cacah kurang dari 7
Jawab: B = Bilangan bulat antara − 3 dan 5
Jawab: D = Bilangan ganjil kurang dari atau sama dengan 9
2. Menuliskan sifat anggota Himpunan atau cara deskripsi
14. 3. Dengan Penulisan Notasi
Suatu himpunan dapat dinyatakan dengan menuliskan syarat keanggotaan himpunan tersebut.
Simbol x bisa diganti oleh variabel yang lain, seperti y, z, dan lain-lain.
Misalnya,
A = 1, 2, 3, 4, 5
Bisa dinyatakan dengan notasi pembentuk himpunan, yaitu
A = 𝑥|𝑥 < 6, 𝑑𝑎𝑛 𝑥 ∈ Bilangan Asli
Lambang 𝒙|𝒙 < 𝟔, 𝒅𝒂𝒏 𝒙 ∈ 𝐁𝐢𝐥𝐚𝐧𝐠𝐚𝐧 𝑨𝒔𝒍𝒊 ini bisa dibaca dengan “Himpunan x, demikian sehingga x
kurang dari 6 dan x merupakan anggota bilangan asli”. Tetapi, jika sudah dapat memahami dengan
baik, lambang ini biasanya cukup dibaca dengan “Himpunan bilangan asli kurang dari 6”
Bentuk umum :
𝑥|𝑃(𝑥)
Dimana,
𝑥 mewakili anggota dari himpunan
𝑃(𝑥) menyatakan syarat yang harus dipenuhi oleh 𝑥 agar bisa menjadi
anggota himpunan tersebut
15. Contoh Penulisan Notasi Himpunan:
Nyatakan himpunan berikut dengan cara penulisan notasi semua anggotanya:
a. A merupakan anggota bilangan asli kurang dari atau sama dengan 5
b. B merupakan bilangan prima kurang dari 10
c. D merupakan bilangan genap antara 10 dan 40
Jawab: A = x|x ≤ 5, x ∈ Bilangan asli
Jawab: B = y|y < 10, y adalah Bilangan Prima
Jawab: D = x|10 < x < 40, x ∈ Bilangan genap
16. Simbol-simbol Baku
P = himpunan bilangan bulat positif = { 1, 2, 3, ... }
N = himpunan bilangan alami (natural) = { 1, 2, ... }
Z = himpunan bilangan bulat = { ..., -2, -1, 0, 1, 2, ... }
Q = himpunan bilangan rasional
R = himpunan bilangan riil
C = himpunan bilangan kompleks
17. 1. x kurang dari 5
2. x lebih dari 2
3. x kurang dari atau sama dengan 10
4. x lebih dari atau sama dengan 4
Jawab: x < 5
Catatan tambahan
Jawab: x > 2
Jawab: x ≤ 10
Jawab: x ≥ 4
Simbol Dibaca sebagai
< Kurang dari
> Lebih dari
≤ Kurang dari atau sama dengan
≥ Lebih dari atau sama dengan
18. 1. Tuliskan himpunan tersebut dalam bentuk penulisan himpunan
secara enumerasi: A = x|2 ≤ x ≤ 23, x ∈ Bilangan Prima
Pembahasan Latihan Soal
x merupakan bilangan faktor dari 12, x lebih besar atau sama dengan 2 dan kurang dari atau sama dengan 23.
Jawab:
Cara enumerasi
A = 2,3,5,7,11,13,17,19,23
2. Tuliskan himpunan tersebut dalam bentuk penulisan notasi himpunan:
A adalah himpunan bilangan cacah kurang dari 5
Jawab:
Cara Penulisan Notasi
A = x|0 ≤ x < 5, x ∈ Bilangan Cacah
3. Tuliskan termasuk jenis himpunan apa himpunan ini:
Bilangan ganjil yang lebih dari 250, yaitu 250,251,252,...
Jawab:
Himpunan tak terhingga
19. 4. Tuliskan termasuk jenis himpunan apa himpunan ini:
E = Bilangan kuadrat antara 36 dan 49
Jawab:
Himpunan kosong
5. A={Faktor prima dari 12} dan B={Faktor prima dari 60}
Jawab:
A = 2,3 dan B = 2,3,5
6. Diketahui: A = 2,3,4,5,6,7,8
B = 2,3,5
Maka himpunan semestanya berapa?
Jawab:
S = 2,3,4,5,6,7,8
7. P = {1, 2, 3}
Q = {1, 2, 3, 4, 5}
Jawab:
Setiap anggota himpunan P
merupakan anggota himpunan
Q, ditulis P ⊂ Q
8. Q = {1, 2, 3, 4, 5}
R = {4, 5, 6}
Jawab:
Setiap anggota himpunan R bukan
merupakan anggota himpunan Q,
begitupun sebaliknya. Ditulis P ⊄ R
20. Operasi Himpunan
A gabung B ditulis sebagai berikut: A ∪ B = x|x ∈ A atau x ∈ B
1. Gabungan
Contoh:
1. A = 1,2,3,4
B = 2,3,4,5,6
A ∪ B = 1,2,3,4,5,6
2. A = 5,7,9,11
B = 7,8,9,10,11,12
A ∪ B = 5,7,8,9,10,11,12
Gabungan dari dua himpunan A dan B adalah himpunan yang terdiri dari semua anggota himpunan A
dan himpunan B, dimana anggota yang sama hanya ditulis sekali.
Latihan:
1. A = 10,12,14,16 3. P = 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑
B = 9,10,11,12 Q = 𝑎, 𝑖, 𝑢, 𝑒, 𝑜
A ∪ B = 9,10,11,12,14,16 A ∪ B = 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑖, 𝑢, 𝑒, 𝑜
2. A = −1, −2, −3, −4
B = −1, −3, −5
A ∪ B = −1, −2, −3, −4, −5
21. Komplemen dari A dinotasikan: Ac
atau A′
dibaca: A Komplemen
2. Komplemen
Contoh:
1. S = 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10
B = 2,3,4,5,6
Bc
= 1, 7,8,9,10
2. S = 5,7,8,9,10,11,12
A = 7,8,9,10,11,12
Ac = 5
3. S = Bilangan ganjil kurang dari 20
P = 1,3, … , 9
Pc = 11,13,15,17,19
Komplemen dari suatu himpunan adalah unsur-unsur yang ada pada himpunan semesta, kecuali anggota
himpunan tersebut.
Latihan:
1. S = Bilangan genap kurang dari 20
B = 2,6,10,14
Bc
= 4,8,12,16,18
2. S = 1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21
A = 3,7,15
Ac = 1,5,9,11,13,17,19,21
3. S = Bilangan prima kurang dari 20
P = 5,7,11
Pc = 2,3,13,17,19
22. Irisan bisa dibaca “dan” dengan lambang: ∩
3. Irisan
Contoh:
1. A = 1,2,3,4,5,6,7,8
B = 2,4,6,8,10
A ∩ B = 2,4,6,8
2. P = 1,2,3,4,5
Q = 1,3,5,7,8
P ∩ Q = 1,3,5
Irisan kedua himpunan adalah himpunan yang berisikan anggota kedua himpunan yang sama.
Latihan:
1. A = 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12
B = 2,6,10,14
A ∩ B = 2,6,10
2. T = 1,3,5,7,9,11,13,15
U = 3,5,7,11,13,17
T ∩ U = 3,5,7,11,13
3. P = Bilangan prima kurang dari 20
Q = 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, … , 25
P ∩ Q = 2,3,5,7,11,13,17,19
23. 4. Selisih
Contoh:
1. A = 1,2,3,4,5,6
B = 1,3,5,7,8,9
A − B = 2,4,6
B − A = 7,8,9
2. P = 1,2,3,4,5
Q = 1,3,5,7,8
P − Q = 2,4
Q − P = 7,8
A − B
Jika himpunan A dikurangi himpunan B, maka akan membentuk suatu himpunan yang bersisikan anggota
yang hanya ada di himpunan A.
Latihan:
1. A = 1,2,3,4,5, … , 15
B = 1,3,5,7,9,11,13,15,17,19
A − B = 2,4,6,8,10,12,14
B − A = 17,19
2. P = 1,2,3, … , 10
Q = 2,4,6,8,10,12,14
P − Q = 1,3,5,7,9
Q − P = 12,14
24. 5. Penjumlahan
A + B
Jika himpunan A ditambah himpunan B, maka akan membentuk suatu himpunan yang bersisikan anggota
yang hanya ada di himpunan A dan hanya ada di B, artinya anggota yang ada dikeduanya tidak
dimasukkan.
Contoh:
1. A = 1,2,3, … , 10
B = 2,4,6,8,10,12,14
A + B = 1,12,14
2. P = 1,3,5,7,9,11,13
Q = 2,3,5,7,11,13,17
P + Q = 1,2,9,17
Contoh:
1. A = 1,2,3,4,5,6
B = 1,3,5,7,8,9
A + B = 2,4,6,7,8,9
2. P = 1,2,3,4,5
Q = 1,3,5,7,8
P + Q = 2,4,7,8
25. 1. A = 1,2,3,4,5,6,7
B = 1,3,5,7,9
Maka gabungan dari A dan B adalah
Pembahasan Latihan Soal
Jawab:
A ∪ B = 1,2,3,4,5,6,7,9
2. A = 1,2,3,4,5,6,7
B = 1,3,5,7,9
Maka A irisan B adalah
Jawab:
A ∩ B = 1,3,5,7
3. S = Bilangan asli kurang dari 23
B = 1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21
Maka B kompelemen nya adalah
Jawab:
Bc = 2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22
4. A = 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10
B = 1,3,5,7,9,11,13
A + B =
Jawab:
A + B = 2,4,6,8,10,11,13
5. A = 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10
B = 1,3,5,7,9
A − B =
Jawab:
A − B = 2,4,6,8,10
6. A = 2,3,5,7,11,13,17,19
B = 1,2,3,4, … , 20
B − A =
Jawab:
B − A = 1,4,6,8,9,10,12,14,15,16,18,20
26. Diagram Venn
Diagram Venn merupakan diagram yang pertama kali dikemukakan oleh ilmuwan asal Inggris yang bernama Jhon
Venn
Untuk membuat diagram Venn, ada beberapa hal yang perlu diperhatikan, yaitu sebagai berikut.
1. Himpunan semesta (S) dinyatakan dalam bentuk persegi panjang. Himpunan semesta adalah semua anggota
himpunan yang di dalamnya memuat himpunan yang sedang menjadi fokus pembahasan.
2. Himpunan lain yang menjadi fokus pembahasan dinyatakan dalam bentuk lingkaran atau kurva tertutup.
3. Anggota setiap himpunan dinyatakan dalam bentuk titik atau noktah.
4. Jika anggota himpunannya tak terhingga, masing-masing anggota tidak perlu dinyatakan sebagai titik.
27. Bentuk-bentuk Diagram Venn :
1. Himpunan yang berpotongan
Himpunan yang pertama adalah himpunan yang berpotongan. Himpunan yang berpotongan adalah
jika ada anggota himpunan A dan B yang sama. Jadi anggota yang masuk ke dalam himpunan A juga
ternyata masuk ke himpunan B. Himpunan A berpotongan dengan himpunan B dapat ditulis A ∩ B
28. 2. Himpunan saling lepas
Selanjutnya, himpunan saling lepas. Himpunan A dan B dikatakan saling lepas jika tidak ada anggota
himpunan A dan B yang sama. Himpunan A saling lepas dengan himpunan B dapat ditulis sebagai
A ∕∕ B
29. 3. Himpunan bagian
Himpunan yang ketiga adalah himpunan bagian. Himpunan A dapat dikatakan himpunan
bagian dari himpunan B jika semua anggota himpunan A merupakan anggota dari
himpunan B.
30. 4. Himpunan yang sama
Himpunan yang sama dapat dinyatakan jika setiap anggota A merupakan anggota B dan setiap
anggota B merupakan anggota A.
31. 1. S = 1,2,3, … , 10
A = 2,4,6
B = 1,3,5
2. S =
x|2 ≤ x ≤ 23,
x ∈ Bilangan Prima
A = 2,11,17
B = 5,13,23
S
.2
.4
.6
.1
.3
.5
.7
.8 .9 .10
S
.2
.11
.17
.5
.13
.23
.7
.3
.19
3. S = 1,2,3, … , 10
A = 1,2,3,4,5
B = 4,5,6,7
A ∩ B = 4,5
S
.1
.2
.3
.6
.7
.9
.8
.10
.4
.5
4. S = 1,2,3, … , 10
A = 1,3,5,7,9
B = 5,10
A ∩ B = 5
S
.1
.3
.7
.9
.10
.4
.2
.6
.5
.8
A B
A B
A B
A B
5. A = 1,2,3
B = 1,2,3,4,5
S
.4
.5
.1
.2
.3
S
.3
.5
.9
.11
.13
.1
.7
.15
.6
.2
.4
.8
B
A
B
A
6. S = 1,2,3, … 15
A = 1,3,5,7,9,11,13,15
B = 1,7,15
.10
32. Latihan soal:
S = 1,2,3, … , 10
A = 1,2,3,4,5,6,7
B = 2,4,5,8,9
C = 1,3,4,6,7,9
Berdasarkan data diatas, sebutkan:
a. A ∩ B
b. B ∩ C
c. A ∩ C
d. A ∩ B ∩ C
e. A ∪ B
f. B ∪ C
g. A ∪ C
h. C′
i. A′
j. B′
k. A′ ∩ B
33. a. A ∩ B
A ∩ B = 2,4,5
Jawaban latihan soal
S
.1
.3
.6
.7
.8
.9
.2
.4
.5
A B d. A ∩ B ∩ C
A ∩ B ∩ C = 4
e. A ∪ B
A ∪ B = 1,2,3,4,5,6,7,8,9
b. B ∩ C
B ∩ C = 4,9
c. A ∩ C
A ∩ C = 1,3,4,6,7
f. B ∪ C
B ∪ C = 1,3,4,6,7,8,9
S
.1
.3
.6
.7
.8
.9
.2
.4
.5
A B
S
.2
.4
.5
.8
.1
.3
.6
.7
.4
.9
B C
S
.2
.5
.8
.1
.3
.6
.7
.4
.9
B C
S
.2
.5
.9
.1
.3
.4
.6
.7
A C
.10
.8
.10
.10
.10
.10
S
.8
.2
.5
A B
C
.4
34. g. A ∪ C
A ∪ C = 1,2,3,4,5,6,7,9
Jawaban latihan soal
h. C′
C′ = 2,5,8,10
S
.2
.5
.9
.1
.3
.4
.6
.7
A C
.8 .10
S
.1
.3
.4
.6
.7
.9
C
.5
.10
.2
.8
i. A′
A′
= 8,9,10
S C
.9
.10
.8
.1
.2
.3
.4
.5
.6
.7
j. B′
A′
= 1,3,6,7,10
S B
.3
.10
.1 .2
.4
.5
.8
.9
.6
.7
k. A′
∩ B
A′ ∩ B = 8,9
S
.10
.2
.4
.5
.8
.9
A′
B
.1
.3
.6 .7
