Giáo án 1

CƠ SỞ KỸ THUẬT ĐIỆN 2
Giáo viên: TS. Nguyễn Việt Sơn
Bộ môn: Kỹ thuật đo và Tin học công nghiệp
C1 - 108 - Đại học Bách Khoa Hà Nội
- 2010 -

Cơ sở kỹ thuật điện 2 2
Nội dung chƣơng trình:
Chƣơng 1: Khái niệm về mạch phi tuyến.
I. Khái niệm về mạch phi tuyến.
II. Tính chất mạch phi tuyến.
III. Tuyến tính hóa - Quán tính hóa phần tử phi tuyến.
IV. Phương pháp xét mạch phi tuyến.
Chƣơng 2: Chế độ xác lập hằng trong mạch phi tuyến.
I. Khái niệm chung.
II. Phương pháp đồ thị.
III. Phương pháp dò.
IV. Phương pháp lặp

Chƣơng 3: Chế độ xác lập dao động trong mạch phi tuyến
II. Phương pháp đồ thị với giá trị tức thời.
III. Phương pháp cân bằng điều hòa.
IV. Phương pháp điều hòa tương đương.
V. Phương pháp dò.
VI. Phương pháp tuyến tính hóa quanh điểm làm việc.
Chƣơng 4: Quá trình quá độ trong mạch phi tuyến.
II. Phương pháp tham số bé (nhiễu loạn).
III. Phương pháp sai phân liên tiếp.
IV. Phương pháp biên pha biến thiên chậm (hệ số tích phân).

Chƣơng 5: Lý thuyết về mạch có thông số dải - Đƣờng dây dài đều tuyến tính.
I. Mô hình đường dây dài đều.
II. Chế độ xác lập điều hòa trên đường dây dài.
III. Quá trình quá độ trên đường dây dài không tiêu tán.

Tài liệu tham khảo:
1. Cơ sở kỹ thuật điện 1 & 2 - Nguyễn Bình Thành - Nguyễn Trần Quân - Phạm Khắc
Chương - 1971.
2. Cơ sở kỹ thuật điện - Quyển 1 - Bộ môn Kỹ thuật đo và Tin học công nghiệp - 2004
3. Giáo trình lý thuyết mạch điện - PGS - TS. Lê Văn Bảng - 2005.
4. Fundamentals of electric circuits - David A.Bell - Prentice Hall International
Edition - 1990.
5. Electric circuits - Norman Blabanian - Mc Graw Hill - 1994.
6. Methodes d’etudes des circuit electriques - Fancois Mesa - Eyrolles - 1987.
7. An introduction to circuit analysis a system approach - Donald E.Scott - Mc
Graw Hill - 1994.
http://www.mica.edu.vn/perso/Nguyen-Viet-Son/Ly-Thuyet-Mach/

Chƣơng 1: Khái niệm về mạch phi tuyến
II. Tuyến tính hóa - Quán tính hóa phần tử phi tuyến.
III. Tính chất mạch phi tuyến.
IV. Phƣơng pháp xét mạch phi tuyến.
Bài tập: 1 - 4, 6, 7, 8 - 13.

I.1. Mạch và hệ phƣơng trình mạch phi tuyến.
I.2. Phần tử mạch phi tuyến.
I.3. Hàm đặc tính của phần tử phi tuyến.

Sơ đồ mạch
Luật
6000( )
c
m
f
  
E(x, y, z, t), H(x,y,z,t) …
Thiết bị điện
Mạch hóa
Mô hình trƣờngMô hình hệ thống
u(t), i(t), p(t) …
Mô hình mạch
(năng lƣợng) Kirchoff
Mô hình mạch
tín hiệu
Hệ phƣơng trình
toán học
 gtb >> gmoi truong
 Hữu hạn các trạng thái.
 l << λ
 Luật Kirchoff 1, 2
 Luật bảo toàn công suất
 Luật Ohm
Xét sự truyền đạt năng lƣợng
giữa các thiết bị điện
Hình vẽ mô phỏng
thiết bị điện

Cơ sở kỹ thuật điện 2
9
 Mô hình mạch phi tuyến là mô hình mạch mà quá trình xét được mô tả bởi một hệ
phương trình vi tích phân phi tuyến trong miền thời gian.
1
1 1 2
1 2
( , ,..., , )
...
( , ,..., , )
n
n
n n
dx
f x x x t
dt
dx
f x x x t
dt





 

 Trong mạch điện, ta có:
 Biến trạng thái x1, …, xn là dòng điện, điện áp, từ thông, điện tích …
 f1, …, fn là các kích thích, hàm phi tuyến.
 t biến độc lập thời gian

I.2. Phần tử mạch phi tuyến.
10
 Phần tử mạch phi tuyến là một phần tử của mạch điện mà quan hệ các trạng thái trên đó
là một phương trình (hệ phương trình) vi tích phân phi tuyến.
 Điện trở phi tuyến:
R(i)
u,r
R(i)
u(i)
i
0
u(t) = R(i).i(t)
 Cuộn dây phi tuyến:  Tụ điện phi tuyến:
L(i) C(u)
ψ,L
L(i)
ψ(i)
i
0
C,q
C(u)
q(u)
u
0
( ) ( ) ( )
( ) .
( )
( ) ( ).
L
L
t i di t
u t
t i dt
di t
u t L i
dt
  
 
 

( ) ( ) ( )
( ) .
( )
( ) ( ).
C
C
q t q u du t
i t
t u dt
du t
i t C u
dt
 
 
 


11
 Để thuận tiện cho tính toán, khảo sát, cần phân tích phương trình trạng thái các phần tử,
xác định rõ những quan hệ hàm đặc trưng (hàm đặc tính) của quá trình mỗi phần tử.
Tính chất, đặc điểm
quá trình mạch
Hệ phƣơng trình
toán học
(Bộ các toán tử)
Phần tử + Kết cấu
mạch
 Có 2 loại hàm đặc tính:
 Đặc tính trạng thái: Nói lên quan hệ giữa 2 trạng thái của cùng một phần tử phi
tuyến.
Ví dụ: u = u(i), ψ = ψ(i), q = q(u), …
 Đặc tính hệ số: Nói lên tính chất và quá trình của thiết bị điện (tuyến tính hay phi
tuyến, phi tuyến nhiều hay ít, đối xứng hay không đối xứng …)

12
 Với một phần tử phi tuyến:
 Định nghĩa những hàm đặc tính (đặc tính trạng thái hay đặc tính hệ số).
 Tìm cách đo và biểu diễn chúng:
 Bảng số.
 Đồ thị.
 Hàm giải tích.
 Có 2 loại đặc tính hệ số:
d
y
K
x



β
x
y
 Hệ số động:
Ví dụ: ( ) ( )
. ( ).
d i i di di
L i
dt i dt dt
 
 

 Hệ số tĩnh:
( )
t
y x
K
x

α
Ví dụ:
( ) ( )
( ) ; ( ) ,...t t
u i q u
r i c u
i u
 

13
 Đặc tính dạng đồ thị:
Ví dụ: Cho một diode
A
V
0,80,60,40,20
0,4
0,3
0,2
0,1
 Đặc tính dạng bảng số:
U(V) 0 0,2 0,4 0,6 0,8
I(A) 0 0,01 0,02 0,05 0,1
 Đặc tính dạng giải tích:
2
. .I aU bU 
Bằng cách coi đặc tính gần đúng đi qua 2 điểm B(0,2 ; 0,01) và C(0,8 ; 0,1)
2
2
0,2. 0,2 . 0,01 a = 0,025
b = 0,1250,8. 0,8 . 0,1
a b
a b
   
 
  
2
0,025. 0,125.I U U  
KA

I. Khái niệm về mạch phi tuyến - Phần tử phi tuyến.
II.1. Tuyến tính hóa.
II.2. Quán tính hóa phần tử phi tuyến.

II.1. Tuyến tính và phi tuyến
15
Hệ phƣơng trình vi
tích phân phi tuyến
Hệ thống phi tuyến
(đặc tính các phần tử phi
tuyến)
 Hệ thống phi tuyến nhiều nếu trong phạm vi làm việc, đoạn đặc tính trạng thái khác xa
với đường thẳng (hoặc đặc tính hệ số động biến thiên nhiều so với giá trị hằng (ngược lại
ta có hệ thống phi tuyến ít).
 Trong 1 hệ thống, đặc tính phi tuyến của 1 phần tử có thể (hoặc không) quyết định tính
phi tuyến nhiều / ít của hệ thống.
 Tuyến tính hóa:
 Đặc tính phi tuyến: Coi đoạn đặc tính làm việc gần với 1 đoạn thẳng.
 Phương trình toán học: Coi gần đúng số hạng phi tuyến trong phương trình là tuyến
tính hoặc triệt tiêu số hạng phi tuyến (phương trình tuyến tính suy biến)

II.2. Quán tính hóa phần tử phi tuyến
16
 Tính quán tính nói lên độ tức thì của 1 quá trình khi có sự thay đổi trạng thái.
 Phần tử có quán tính là phần tử có các thông số phi tuyến theo giá trị hiệu dụng
và tuyến tính theo giá trị tức thời
Ví dụ: Xét quá trình nhiệt của bếp điện, lò nung cao tần …
 Phương pháp xét phần tử phi tuyến có quán tính được gọi là phương pháp quán
tính hóa (phương pháp điều hòa tương đương).

I. Khái niệm về mạch phi tuyến và phần tử phi tuyến.

III. Tính chất của mạch phi tuyến
18
 Không có tính chất của mạch tuyến tính
 Tính chất tuyến tính
 Tính chất xếp chồng
 Tính tạo tần
 Có nhiều tính chất đặc biệt khác
Ví dụ: Tính chất đa trạng thái, tính chất tự dao động phi tuyến, ….

I. Khái niệm về mạch phi tuyến và phần tử phi tuyến.

IV. Các phƣơng pháp xét mạch phi tuyến
20
 Phương pháp giải tích:
 Biểu diễn đặc tính phi tuyến bằng những hàm giải tích phù hợp.
 Tìm nghiệm dưới dạng các chuỗi hàm.
Ví dụ: Phương pháp cân bằng điều hòa, phương pháp biên pha biến thiên chậm, phương
pháp tham số bé …
 Phương pháp đồ thị:
 Sử dụng đường cong phi tuyến để tìm nghiệm dưới dạng đồ thị.
 Thường dùng để giải các mạch đơn giản (không quá cấp 2).
 Phương pháp số:
 Sử dụng các thuật toán, chương trình để tính nghiệm dạng xấp xỉ, bảng số …
 Cho phép tính nghiệm đến độ chính xác tùy ý.
Ví dụ: Phương pháp dò, phương pháp lặp, phương pháp sai phân liên tiếp …

II. Phƣơng pháp đồ thị.
III. Phƣơng pháp dò.
IV. Phƣơng pháp lặp
Bài tập: 1, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 17, 18 + bài thêm

III.Phƣơng pháp dò.
IV.Phƣơng pháp lặp

Chƣơng 2: Chế độ xác lập hằng trong mạch phi tuyến
I. Khái niệm chung
23
 Xét mạch phi tuyến có kích thích hằng, vậy đáp ứng trong mạch có 2 trạng thái:
 Dao động chu kỳ (tự dao động phi tuyến).  Không xét
 Trạng thái hằng (dừng).












),,...,(
...
),,...,(
),,...,(
21
.
212
.
2
211
.
1
txxxfx
txxxfx
txxxfx
nnn
n
n










0),...,(
...
0),...,(
0),...,(
21
212
211
nn
n
n
xxxf
xxxf
xxxf
Chế độ dừng
0,0 
dt
d
t
Hệ phƣơng trình đại
số phi tuyến
 Mạch phi tuyến ở chế độ xác lập hằng là mạch phi tuyến thuần trở.
 Phương pháp giải: Phương pháp đồ thị, phương pháp dò, phương pháp lặp.

II. Phƣơng pháp đồ thị
25
 Sử dụng các phép đồ thị để giải hệ phương trình đại số phi tuyến.
 Nội dung:
 Biểu diễn các quan hệ hàm dưới dạng đồ thị
 Thực hiện các phép đại số (cộng, trừ) các quan hệ hàm.
 Thực hiện phép cân bằng các quan hệ hàm.
 Ƣu, nhƣợc điểm:
 Cho kết quả nhanh.
 Sai số nghiệm lớn.
 Chỉ thực hiện đối với các bài toán đơn giản.

26
Ví dụ 1: Cho mạch phi tuyến ở chế độ xác lập hằng. Đặc tính phi tuyến của điện trở
phi tuyến cho như hình vẽ. Tìm dòng điện, điện áp trên các phần tử. R=10Ω
E=30V
U(I)
V
A
43210
40
30
20
10
Giải: Lập phương trình mạch: E = UR + U(I) = R.I + U(I)
Phương pháp trừ đồ thị:
1. E - R.I = U(I)  30 - 10I = U(I)
M
%667,1%100.
30
305.29
%
*





E
EE

2. Điểm cắt: M(0.85A ; 21V)
3. Sai số: E* = 0.85.10 + 21 = 29.5(V)

27
R=10Ω
E=30V
U(I)
V
A
43210
40
30
20
10
Giải: Lập phương trình mạch: E = UR + U(I) = R.I + U(I)
Phương pháp cộng đồ thị:
N
 Nhận xét:
Trong trường hợp này, phương pháp trừ đồ
thị cho kết quả chính xác hơn phương pháp
cộng đồ thị.
1. E = R.I + U(I)  30 = 10.I + U(I)
2. Điểm cắt: N(0.85A ; 30V)
Ví dụ 1: Cho mạch phi tuyến ở chế độ xác lập hằng. Đặc tính phi tuyến của điện trở
phi tuyến cho như hình vẽ. Tìm dòng điện, điện áp trên các phần tử.

28
A
V
806040200
2
1.5
1
0.5
 Lập phương trình mạch:








ab
ab
UUU
EUU
III
32
1
321
 Cộng dòng: )()()( 321 ababab UIUIUI 
 Cộng áp: )()( 111 IUIUE ab
 Đọc kết quả:








)(21
)(58
)(3.1
1
1
VU
VU
AI
ab






)(25.0
)(1
3
2
AI
AI
E=80V
U1(I1)
U2(I2)
U3(I3)
B
AGiải: Phương pháp cộng đồ thị
Ví dụ 1: Cho mạch phi tuyến ở chế độ xác lập hằng. Đặc tính phi tuyến của các
điện trở phi tuyến cho như hình vẽ. Tìm dòng điện, điện áp trên các phần tử.

29
A
V
129630
4
3
2
1
Giải:
U2(I2)
U3(I3)
 Lập phương trình mạch: 1 2 3
1 AB
I I I
E RI U
 

 
 Cộng dòng: )()()( 321 ababab UIUIUI 
 Trừ áp: 1 1 1( ) 12 3abU I E RI I   
 Đọc kết quả:
1 2,5( )
4,2( )ab
I A
U V



2
3
2,1( )
0.25( )
I A
I A

 

Ví dụ 3: Cho mạch điện như hình vẽ biết đặc tính phi tuyến của điện trở phi tuyến
R2 và R3 cho như hình vẽ. Tính dòng điện các nhánh theo phương pháp đồ thị
E=12V
U2(I2)
U3(I3)
B
A1 3R  
UAB(I1)
12 - 3I1

1
1
1
( ).
k k
k k k n n
n n k k
x x
x x f f
f f




  

III. Phƣơng pháp dò
31
 Thuật toán:
 Phù hợp với mạch phức tạp nối dạng xâu chuỗi.
 Tính nhanh, cho phép tính đến sai số nhỏ tùy ý.
 Có thể sử dụng máy tính để tính nghiệm (sử dụng hệ “chuyên gia”).
cy
k
f
ff
. 

Cho xk
n
Tính kích thích
fk
Nghiệm
Đúng
Sai

32
Các bước dò:
E=12V
U2(I2)
U3(I3)
B
A
 31R
A
V
129630
4
3
2
1
U3(I3)
15
Tra U3(I3)
Kết quả dò:
n Uab I2 I3 I1 Etính = R1.I1 + Uab
Sai số:
11,85 12
% 100% 1,25%
12


 
Ví dụ 3: Cho mạch điện biết đặc tính phi tuyến của điện trở phi
tuyến R2 và R3 cho như hình vẽ. Tính dòng điện các nhánh
theo dò
 Cho Uab
 Tính I1 = I2 + I3 ; Etính = R1.I1 + Uab
 So sánh Etính và Echo= 12V
I3
I2
3V1 1.95A 9.45V2.15A0.2A
4.5V3 2.2A 11.85V2.45A0.25A
6V2 2.45A 14.85V2.95A0.5A

33
Ví dụ 2: Cho mạch điện: R1 = R2 = 4Ω, R3 = 8Ω, R4 =
10Ω, E = 15V. Tính dòng I5 theo phương pháp dò.
A
V
43210
0.8
0.6
0.4
0.2
U5(I5)
Tra U5(I5)
n I5 U5 I4 I3 U3 UAC I2 I1 Etính
1 0.4 3 0.3 0.7 5.6 8.6 2.15 2.85 20V > 15V
2 0.2 2.5 0.25 0.45 3.6 6.1 1.53 1.98 14V < 15V
3 0.25 2.6 0.26 0.51 4.08 6.68 1.67 2.18 15.4V
E
BA
R1
R5
R2
R3
R4
Cách 1: Dò trực tiếp từ sơ đồ mạch
C
Cho I5 U5
5
4
4
U
I
R
 3 4 5I I I  3 3 3U I R 3 5ACU U U 
2
2
ACU
I
R
 1 2 3I I I  1 1tÝnh ACE R I U 
Sai số: 15.4 15
% 100% 2,67%
15


 
I1
I4
I5
I2
I3

34
Ví dụ 2: Cho mạch điện: R1 = R2 = 4Ω, R3 = 8Ω, R4 = 10Ω, E = 15V.
Tính dòng I5 theo phương pháp dò.
A
V
43210
0.8
0.6
0.4
0.2
U5(I5)
 Kết quả dò:
n I5 U5 Etính
1 0.4A 3V 5V > 3.75V
2 0.2A 2.5V 3.5V < 3.75V
3 0.25A 2.6V 3.85V > 3.75V
Ehở
Rv
R5
Cách 2:
 4 1 2 3/ / / /vR R R R R    5vR  
4
3 4
3.75hë
A
E R V
R R

  
1 2 3 4 1
1 1 1
6.75A A
E
V
R R R R R
 
 
     
 
 Lập phương trình: 5 5( )hë vE R I U I 
Tra U5(I5)
Cho I5 U5 5 5 5( )tÝnh vE R I U I 
 Biến đổi mạch theo sơ đồ Thevenil:
 Sai số:
3.85 3.75
% 100% 2,67%
3.75


 

35
Ví dụ 3: Cho mạch điện biết J = 12A (1 chiều), E =
20V (1 chiều), R = 30Ω. Mạng 2 cửa thuần trở có bộ
số: A11 = 1.1 ; A12 = 20 ; A21 = 0.5 ; A22 = 10. Phần tử
phi tuyến có đặc tính cho theo bảng:
Giải:
J
A
I1A
U1A
I2A
U2A
R
EU(I)
I(A) 0 0.5 1 1.5 2 2.2
U(V) 0 7 10 14 20 25
Tính dòng chảy qua điện trở phi
tuyến.
 Biến đổi mạng 2 cửa + nguồn dòng  sơ đồ Thevenil
1
2 22
2 210
10
20
0.5
A
vao
A I
U A
R
I A
     
2
1 1
2
21 210
12
24( )
0.5
th ho
I
I J
E U V
A A
    
Eth
R
EU(I)
Rvao
24 20
20 30 22,4( )
1 1 1 1
20 30
th
vao
TD
vao
E E
R R
E V
R R
 
  
 
. 20.30
12
20 30
th
TD
th
R R
R
R R
   
 

36
 Phương trình dò:
Eth
R
EU(I)
Rvao
. ( )TD TDE R I U I 
I(A) 0 0.5 1 1.5 2 2.2
U(V) 0 7 10 14 20 25
I(A) RTD.I Etính = RTD.I + U(I)
0.5 6 13V < 22.4V
1 12 22 < 22.4V
1.5 18 32 > 22.4V
22,4( )TDE V
12TDR  
 Áp dụng công thức nội suy tuyến tính:
1.5 1
1.5 (22.4 32). 1.02( )
32 22
I A

   

 Vậy dòng điện chảy qua điện trở phi tuyến là: I = 1.02(A)

IV.Phƣơng pháp lặp.

III. Phƣơng pháp lặp
38
 Nội dung phƣơng pháp:
Biểu diễn quá trình mạch Kirhoff theo phương trình phi tuyến dạng:
x = φ(x)
Cho một giá trị của x0  tính giá trị x1 = φ(x0)
Thay giá trị x1 để tính giá trị x2 = φ(x1)
Quá trình tính lặp dừng khi xn- xn-1 nhỏ hơn sai số cho trước.

39
 Nội dung phƣơng pháp:
y
x
0
y
x
0
y
x
0
y = φ(x)
y
x
0
y = φ(x)
x = φ(x)
Nghiệm là hoành độ giao điểm:
 Đường thẳng y = x
 Đường cong y = φ(x)
Điều kiện hội tụ : Trong miền các
giá trị lặp xk, trị tuyệt đối độ dốc
đường y = φ(x) nhỏ hơn độ dốc
đường y = x.
|φ’(x)| < 1

40
 Thuật toán:
 Cần kiểm tra điều kiện hội tụ của phép lặp.
 Tính nhanh, cho phép tính đến sai số nhỏ tùy ý.
 Có thể lập trình cho máy tính để tính nghiệm tự động.
Cho xk Tính
xk+1 = φ(xk)
Nghiệm
x = xk+1
Đúng
Sai
1
.
( ) ( )
( )
k k
y ck
x x
x
 
 



 
xk = xk+1

41
Ví dụ: Cho mạch điện gồm điện dẫn tuyến tính g = 0.2(Si) mắc nối tiếp với phần tử
phi tuyến có đặc tính u(i) = 2i2. Nguồn cung cấp một chiều E = 10V. Dùng phương
pháp lặp để tính các giá trị dòng áp trong mạch.
 Chọn biến lặp i: u = Ri + 2i2  10 = 5i + 2i2  i = - 0.4i2 + 2
Giải: Lập phương trình mạch: u = u(i) + ug
 Kết quả lặp:
k ik ik+1 = 2 – 0,4.ik
2 |∆ik| = |ik+1 - ik|
0 1(A) 1,6(A) 0,6(A)
1 1,6(A) 0,976(A) 0,624(A)
2 0,976(A) 1,619(A) 0,643(A)
3 1,619(A) 0,952(A) 0,667(A)
4 0,952(A) … …
Không hội tụ
 Điều kiện hội tụ:
0,8 1
d
i
dx

  
0 1,25i  

42
Ví dụ: Cho mạch điện gồm điện dẫn tuyến tính g = 0.2(Si) mắc nối tiếp với phần tử
phi tuyến có đặc tính u(i) = 2i2. Nguồn cung cấp một chiều E = 10V. Dùng phương
pháp lặp để tính các giá trị dòng áp trong mạch.
 Chọn biến lặp u1: u = u1 + 2i2  10 = u1 + 2(u1 / R)2  u1 = 10 – 0,08. u1
2
k uk uk+1 = 10 – 0,08.uk
2 |∆uk| = |uk+1 - uk|
0 6(V) 7,12(V) 1,12(V)
1 7,12(V) 5,945(V) 1,176(V)
2 5,945(V) 7,173(V) 1,228(V)
3 7,173(V) 5,884(V) 1,289(V)
4 5,884(V) … …
Không hội tụ
 Điều kiện hội tụ:
1
( )
0,16 1
d x
u
dx

  
10 6,25u  

43
 Chọn biến lặp u:
Hội tụ
2
( )
2
2
u Ri u i
u
u i i
 


  

10 5 10 5
2 2
u u
u u     
k uk uk+1 = 10 – 5.sqrt(uk/2) |∆uk| = |uk+1 - uk|
0 3,2(V) 3,67(V) 0,47(V)
1 3,67(V) 3,23(V) 0,44(V)
2 3,23(V) 3,65(V) 0,42(V)
3 3,65(V) 3,24(V) 0,41(V)
4 3,24(V) 3,64(V) 0,40(V)
5 3,64(V) 3,25(V) 0,39(V)
6 3,25(V) 3,63(V) 0,38(V)
7 3,63(V) 3,26(V) 0,37(V)

II. Phƣơng pháp đồ thị với giá trị tức thời.
III. Phƣơng pháp cân bằng điều hòa.
IV. Phƣơng pháp điều hòa tƣơng đƣơng.
V. Phƣơng pháp tuyến tính hóa quanh điểm làm việc.
Bài tập: 2, 5, 6, 7, 8, 13, 14, 15, 16 + bài thêm

Chƣơng 3 : Chế độ xác lập dao động
trong mạch phi tuyến
 Xét mạch phi tuyến làm việc ở chế độ dao động xác lập:
 Kích thích không chu kỳ  tự dao động phi tuyến.
 Kích thích chu kỳ  dao động cưỡng bức.
45












),,...,(
...
),,...,(
),,...,(
21
.
212
.
2
211
.
1
txxxfx
txxxfx
txxxfx
nnn
n
n
Chế độ xác lập dao động
.
1 1 1 2
.
2 2 1 2
.
1 2
( , ,... , )
( , ,... , )
...
( , ,... , )
n
n
n n n
x f x x x t
x f x x x t
x f x x x t






 



 
 Phƣơng pháp giải: Đồ thị với giá trị tức thời ; Cân bằng điều hòa ; Điều hòa tương
đương ; Phương pháp dò ; Tuyến tính hóa quanh điểm làm việc.

II. Phƣơng pháp đồ thị với giá trị tức thời
 Nội dung: Thực hiện bằng đồ thị những phép đại số và giải tích (đạo hàm, tích phân …)
trên các biến thời gian và những hàm đặc tính nhằm giải hệ phương trình vi tích phân phi
tuyến của mạch.
 Ví dụ: Cho mạch điện gồm 1 điện trở R = 50 Ω mắc song song với một diode biết đặc
tính V-A như hình vẽ. Dòng điện iAB(t) = 0,2.sin1000t (A). Vẽ điện áp uAB(t)
47
A
B
uR(t)ud(t)
iAB(t)
id(t)
u(t)
5 10
iAB(t)
0.1
0.2
T/4T/8 3T/8
T/2 3T/4 7T/8
5T/8
T/8
T/4
3T/8
T/2
5T/8
3T/4
7T/8
T
T
t
t
ud(t) uR(t)
uAB(t)
iAB(t)
iR(t)
0.2
0.1
0
0

III. Phƣơng pháp cân bằng điều hòa
 Phương pháp cân bằng điều hòa thường sử dụng xét :
 Mạch tự dao động xác lập (không có kích thích chu kỳ)
 Mạch dao động phi tuyến kích thích chu kỳ.
49
1 1
( ) .cos .sin
n n
k kx t A k t B k t   
 Nội dung:
 Xét hệ phi tuyến có kích thích chu kỳ với tần số cơ bản ω mô tả bởi hệ vi phân :
f(x, x’, x’’, …, t) = 0
 Chú ý: Cần vận dụng các tính chất của mạch (mạch thuần trở, thuần kháng …)
để đơn giản hóa việc đặt nghiệm.
 Đặt nghiệm cần tìm dạng các hàm điều hòa bội (đến cấp cần thiết) của ω:
 Thay nghiệm x(t) vào phương trình mạch và áp dụng nguyên tắc cân bằng điều hòa
để tính các giá trị biên độ hiệu dụng Ak, Bk.

 Đặt nghiệm:
Ví dụ 1: Điện cảm có đặc tính phi tuyến ψ(i) = 2.i – 3,75.i3. Dùng
phương pháp cân bằng điều hòa tính điều hòa bậc 1 và bậc 3 của
áp u(t) nếu biết dòng i(t) = 0,5sin314t (A)
50
2
( ) . ( ) . . ( ) 100 2 ' 11,25 '(*)
d i
u t R i t R i u t i i i i
dt i t
  
       
 
 Giải:
 Lập pt mạch:
Ψ(i)
u(t)
R = 100
2 2 2
2
( ) 0,5sin314 ( ) ' 157cos(314 )( )
' 0,25.157sin 314 . os314 39,25(1 os 314 ) os314
' 9,8125cos314 9,8125cos942
i t t A i t A
i i t c t c t c t
i i t t
  
  
 
( ) Asin314 cos314 sin942 cos942u t t B t C t D t   
 Thay vào phương trình (*):
50sin314 203,58cos314 110,39cos942VP t t t  
50
203,58
0
110,39
A
B
C
D

 
 

 
 Vậy nghiệm:
( ) 50sin314 203,58cos314 110,39cos942 ( )u t t t t V  

 Đặt nghiệm: i(t) = Amsinωt + Bmcosωt
Ví dụ 2: Xét mạch điện nối tiếp bởi cuộn dây tuyến tính L1 = 0,5H
và một cuộn dây phi tuyến có đặc tính ψ(i) = a.i – b.i3 =0,5.i –
0,01.i3 với -4A < I < 4A. Cho u(t) = 300.cos314t (V). Tìm hàm
điều hòa cơ bản của dòng điện xác lập trong mạch.
51
L1 Ψ(i)
u(t)
1 2
'
1
' 2 ' ' 2 '
1
( ) ( ) ( ) . . ( )
. ( 3. . ). ( ) 0,03. . 300.cos
L L
i
u t u t u t L i u t
i t
L i a bi i u t i i i t


 
    
 
     
 Giải:
 Lập phương trình vi tích phân của mạch:
Thuần cảm
i’ = ω.Im.cosωt  i2.i’ = ω.Im
3.sin2(ωt).cos(ωt) = 0,5.ωIm
3.sin(2ωt).sin(ωt)
i2 = Im
2.sin2ωt  i2.i’ = 0,25.ωIm
3.[cos(ωt) - cos(3ωt)]
i(t) = Amsinωt

 Thay vào phương trình:
ω.Im.cosωt – 0,03.0,25.ωIm
3.[cos(ωt) - cos(3ωt)] = 300.cos(ωt)
52
L1 Ψ(i)
u(t)
 Giải:
 Cân bằng điều hòa cùng cấp:
ω.Im – 0,0075.ω.Im
3 = 300
3,26. Im
3 – 314.Im + 300 = 0
 Giải phương trình ta có: I1m = 0,96 (A) ; I2m = 11 (A) ; I3m = 12 (A)
 Vậy dòng điện trong mạch là:
i(t) = 0,96.sin(314t) (A)

IV. Phƣơng pháp điều hòa tƣơng đƣơng
 Phương pháp điều hòa tương đương dùng để giải bài toán phần tử phi tuyến có
quán tính:
 Với trị tức thời ~ có thể coi phần tử phi tuyến có quán tính như phần tử tuyến tính.
 Với kích thích điều hòa  đáp ứng rất gần với điều hòa.
 Bỏ qua hiện tượng tạo tần số  có thể lập phương trình phức với trị hiệu dụng.
54
C Ψ(i)
u(t) = Umsin(ωt)
. . .
L C
L C
U U U
U U U
 
 
.
LU
.
CU
.
I
1. Phƣơng pháp đồ thị với trị hiệu dụng:
Ví dụ 1: Xét mạch thuần kháng gồm tụ điện C mắc nối tiếp với một cuộn dây phi tuyến có
quán tính cung cấp bằng 1 nguồn áp điều hòa.
 Phương trình mạch:

 Từ phương trình, ta có đồ thị dạng chữ N.
55
C Ψ(i)
u(t) = Umsin(ωt)
U
I
43210
40
30
20
10
C
L phi tuyến
. . .
L C
L C
U U U
U U U
 
 
c
a
b
 Hiện tượng trigơ dòng (đa trạng thái dòng):
 Tăng áp liên tục từ 0  ∞:
 Dòng tăng từ điểm 0  a.
 Dòng nhảy từ a  c.
 Dòng tăng liên tục từ c  ∞.
 Giảm áp liên tục từ ∞  0:
 Dòng giảm từ ∞  c  b.
 Dòng nhảy từ b  ~ 0 (do có điện áp rơi
trên điện trở của cuộn dây).
 Tính chất:
 Đa trạng thái về dòng điện: một giá trị áp có 2 - 3 trạng thái dòng.
 Tồn tại 2 trạng thái ổn định của áp: 1 khi áp tăng, 1 khi áp giảm.
 Tăng (giảm) dòng liên tục từ 0  ∞ (∞  0): Ta thu được toàn bộ đặc tính chữ N.

Ví dụ 2: Xét mạch thuần kháng gồm tụ C mắc song song với
một cuộn dây phi tuyến có quán tính.
 Phương trình mạch:
56
. . .
;L C L CI I I I I I    .
CI
.
LI
.
U
C
Ψ(i)
U
I
43210
40
30
20
10
C
L phi tuyến
c
a
b
 Hiện tượng trigơ áp (đa trạng thái áp):
 Tăng dòng liên tục từ 0  ∞:
 Áp tăng từ điểm 0  a.
 Áp nhảy từ a  c.
 Áp tăng liên tục từ c  ∞.
 Giảm dòng liên tục từ ∞  0:
 Áp giảm từ ∞  c  b.
 Áp nhảy từ b  ~ 0.
 Tăng (giảm) áp liên tục từ 0  ∞ (∞  0):
Ta thu được toàn bộ đặc tính.
 Tính chất:
 Đa trạng thái về điện áp.
 Tồn tại 2 trạng thái ổn định của dòng.

2. Phƣơng pháp dò phức:
 Nội dung:
 Thuật toán dò giống với phép dò đã xét.
 Thực hiện phép dò với các đại lượng phức.
57
Sai
Nghiệm
Đúng
Cho
.
k
nX
Tính kích thích.
k
F
. .
..
k
y c
F F
F
 

 
 Chú ý: Trong phương pháp dò phức, nói chung góc pha của các đại lượng phức được
hiệu chỉnh sau khi dò.

Ví dụ 1: Cho mạch điện, biết phần tử phi tuyến có quán tính có đặc tính như
hình vẽ. Biết , tụ điện tuyến tính C = 20μF.
Tìm điện áp trên các phần tử.
Giải:
58
A
V
129630
4
3
2
1
UR(IR)
15
. . .
. . .
2 2
ABR L
C R L
C R L
U U U
I I I
I I I

 

 

 

.
ABU
.
RI
.
LI
.
0
0 ( )AB ABU U V
Tra đồ thị
.
0
.
0
0 ( )
90 ( )
R R
L L
I I A
I I A



  
2 2
.
0
:
C R L
C C L
R
I I I
I I I
arctg
I


  

  


. .
. . .
1
.
. .
C C
ABC
U I
j C
U U U





 
So sánh .
0
130 30tinhU 
A
B
u(t)
UL(I)UR(I)
C
3 0
( ) 130 2sin(10 30 )( )u t t V 
 Các bước dò:
Cho
Tính Tính
 Lập phương trình mạch:

 Bảng kết quả dò:
59
A
V
129630
4
3
2
1
UR(IR)
15
A
B
u(t) UL(I)
UR(I)
C
n UAB(V) IL(A) IR(A) So sánh
1
2
3
.
( )tinhU V
.
( )CU V
.
( )CI A
2,35 77,74 117,5 167,74 111,64 167,09
3,28 52,43 164 142,43 156,97 140,43
2,69 68,2 134,5 158,2 127,59 156,93
6 0
9 0
7,5 0
2,3 90
2,6 90
2,5 90
0,5 0
2 0
1 0
127,59 130
% 1,85%
130
tinh cho
cho
U U
U

 
  
 Hiệu chỉnh góc pha:
.
130 30( )U V
.
.
7,5 186,93( )
134,5 28,73( )
AB
C
U V
U V


 
 
. .
2,5 96,93( ) ; 1 186,93( )RLI A I A  
.
2,69 118,73( )CI A
130V
130V
~130V

Ví dụ 2: Cho mạch điện, biết nguồn điều hòa E1 = 20V, ω = 5 rad/s,
R1 = 20Ω, R2 = 10Ω, ZC = -j10Ω. Cuộn dây phi tuyến có đặc tính phi
tuyến theo trị hiệu dụng cho theo bảng. Tính công suất phát của
nguồn và công suất tiêu tán trên R1, R2.
60
.
0
0L LI I
 Các bước dò:
Cho
Giải:
.
0
90LU I
I

 
Ψ 0 0.6 0.9 1.4 2
I(A) 0 0.25 0.5 0.75 1
.
0
2 2 0R LU R I 
. . .
2C R LU U U  
.
.
C
C
C
U
I
Z
 
. . .
1 2R R CI I I  
. . .
1 11. R CE R I U  tÝnh
n
.
LI
.
LU
.
2RU
.
CU
.
CI
.
1RI
.
1E tÝnh
0
0.5 0
0
4.5 90 0
5 0 0
6.73 41.99 0
0.67131.99 0
0.5 84.06 0
15.7167.39
0
0.75 0
0
7 90 0
7.5 0 0
10.26 43.03 0
1.03133.03 0
0.75 86.41 0
23.56 69.012
1

.
61
 Áp dụng công thức nội suy tuyến tính:
Giải:
n
1
2
.
LI
.
LU
.
2RU
.
CU
.
CI
.
1RI
.
1E tÝnh
0
0.5 0
0
4.5 90 0
5 0 0
6.73 41.99 0
0.67131.99 0
0.5 84.06 0
15.7167.39
0
0.75 0
0
7 90 0
7.5 0 0
10.26 43.03 0
1.03133.03 0
0.75 86.41 0
23.56 69.01
 
0,75 0,5
20 15,71 0,5 0,64
23,56 15,71
LI

   

 
7 4,5
0,64 0,5 4,5 5,9
0,75 0,5
LU

   

;
0
0.64 0
0
5.9 90 0
6.4 0
0
8.7 42.67 0
0.87132.67 0
0.64 85.53 0
20.1168.413
 Công suất phát của nguồn:
   1 1 11 1 cos 20,11.0,64.cos 68,41 85,53 12,30( )E E IP E I W    
 Công suất tiêu tán trên điện trở:
1 1
2
2
1 20.0,64 8,19( )R RP R I W   2
2
2
2 10.0,64 4,10( )LR RP R I W  

V. Phƣơng pháp tuyến tính hóa quanh điểm làm việc
1. Khái niệm:
 Phương pháp tuyến tính hóa là phương pháp tìm cách thay thế đặc tính phi tuyến của một
phần tử phi tuyến bằng một hay nhiều đoạn thẳng tuyến tính (phần tử tuyến tính):
 Tuyến tính hóa đoạn đặc tính làm việc.
 Tuyến tính hóa quanh điểm làm việc.
63
i
u(i)
i1 i2 i5i4i3
0
 Quá trình tuyến tính đoạn đặc tính làm việc phải đảm bảo sai số
giữa đường cong phi tuyến và đường thẳng tuyến tính luôn nhỏ
hơn sai số yêu cầu: δk ≤ γy.c
δk
 Sau khi tuyến tính hóa, trong mỗi khoảng tuyến tính hóa hoặc
tại mỗi vị trí điểm làm việc M, mạch phi tuyến được xét như
một mạch tuyến tính. i
u(i)
I0
MU

2. Nội dung:
 Phương pháp tuyến tính hóa quanh điểm làm việc thường được sử dụng giải mạch phi
tuyến có nguồn kích thích chu kỳ (1 chiều + xoay chiều điều hòa các tần số) trong đó
thành phần 1 chiều có biên độ lớn hơn nhiều so với thành phần điều hòa.
64
 Xét thành phần điều hòa:
 Xét thành phần 1 chiều : Tìm điểm làm việc của mạch.
 Gây ra dao động nhỏ xung quanh điểm làm việc.
 Thay thế phần tử phi tuyến bằng hệ số động Kd.
 Xét và giải mạch tuyến tính.

Ví dụ 1: Cho mạch điện biết . Điện trở phi tuyến có đặc tính U(I) như hình
vẽ. Tính dòng điện qua nhánh không nguồn.
65
A
B
e(t)25V
10mH
U(I)
20μF
3
( ) 2sin10 . ( )e t t V
V
A
0,40,30,20,10
40
30
20
10
Giải:
 Xét thành phần 1 chiều: U(I) = 25V  dùng phương pháp đồ thị xác
định được điểm làm việc M(0,14A ; 25V).
M
 Xét thành phần xoay chiều:
 Biên độ nguồn xoay chiều nhỏ hơn nhiều so với
nguồn 1 chiều  dùng phương pháp tuyến tính
hóa quanh điểm làm việc.
 Kẻ tiếp tuyến của đặc tính tại điểm làm việc M
 Thay điện trở phi tuyến bằng hệ số động Rd
27 22
46
0,2 0,09
d
U
R
I
 
   
 

66
A
B
e(t)
10mH
Rd
20μF
Giải:
 Tính dòng điện trong các nhánh
.
0.
. . . . .
10
0,0013 *0,0247( )
. 2,0758 *40,4513
0,0051 *0,0014( ) ; 0,0063 *0,0233( )
C
d L
C
d L
L
R C L C R
L
E
I j A
R Z jZ
R Z
Z
I I j A I I I j A
R Z
   


       

Tổng hợp nghiệm:
3 0
0 1( ) ( ) 0,14 0,0052. 2.sin(10 165 )( )Ri t i i t t A    

67
( ) 50 2sin5. ( )e t t V 
Giải:
 Xét thành phần 1 chiều:
Ví dụ 2: Cho mạch điện biết , R1 = 10Ω, R2 =
15Ω, L = 0.1H, tụ điện phi tuyến Cx có đặc tính q = 10-3u + 10-5 u3.
Tính công suất tiêu tán trên R1, R2.
1
1 2
50
2( )
25
E
I A
R R
  

 Điểm làm việc của Cx : 2 2 1 30( )C RU U R I V  
Tuyến tính hóa tụ phi tuyến:
3 5 2
30
'( ) 10 10 .3 0,028( )d u
C q u u F 

   
1 1
.5.0,1 0,5 ; 7,14
5.0,028dL CZ j L j j Z j j j
C


          
 1 2/ / 14.12 24.61dtd C LZ R Z R Z        1 0,1 24,61R
td
E
I A
Z
  
2 1
2
0,044 41,51d
d
C
R R
C L
Z
I I A
Z R Z
   
 
1
2 2
10.2 10.0,1 40,10( )RP W  
2
2 2
15.2 15.0,044 60,03( )RP W  

68
( ) 50 2sin5. ( )e t t V 
Giải:
Ví dụ 2: Cho mạch điện biết , R1 =
10Ω, R2 = 15Ω, L = 0.1H, tụ điện phi tuyến Cx có đặc
tính q = 10-3u + 10-5 u3. Tính công suất trên R1, R2.
1
1 2
50
2( )
25
E
I A
R R
  

 Điểm làm việc của Cx : 2 2 1 30( )C RU U R I V  
Tuyến tính hóa tụ phi tuyến bằng hệ số động:
3 5 2
30
'( ) 10 10 .3 0,028( )d u
C q u u F 

   

69
Giải:
1 1
.5.0,1 0,5 ; 7,14
5.0,028dL CZ j L j j Z j j j
C


          
 1 2/ / 14.12 24.61dtd C LZ R Z R Z       
1 0,1 24,61R
td
E
I A
Z
   2 1
2
0,044 41,51d
d
C
R R
C L
Z
I I A
Z R Z
   
 
1
2 2
10.2 10.0,1 40,10( )RP W   2
2 2
15.2 15.0,044 60,03( )RP W  
( ) 50 2sin5. ( )e t t V Ví dụ 2: Cho mạch điện biết , R1 =
10Ω, R2 = 15Ω, L = 0.1H, tụ điện phi tuyến Cx có đặc
tính q = 10-3u + 10-5 u3. Tính công suất trên R1, R2.

70
( ) 2 2 sin1000 ( )e t t V
Giải:
Ví dụ 3: Cho mạch phi tuyến ở chế độ xác lập điều hòa. Biết E1 =
15V (1 chiều), C = 20μF, L = 20mH, , điện
trở phi tuyến có đặc tính cho trong bảng. Tính áp uC(t) và công suất
của nguồn.
Đoạn chứa điểm làm việc: (0.4A ; 13.5V) – (1.6A ; 16.5V)
E1 C
e2(t)
R1
R2L
I(A) 0 0.4 1.6 2 2.5 3
U(V) 0 13.5 16.5 20 22 23
1.6 0.4
1.6 (15 16.5). 1( )
16.5 13.5
I A

   

 Điểm làm việc: (1A ; 15V)
Tuyến tính hóa điện trở phi tuyến bằng hệ số động:
16.5 13.5
2.5
1.6 0.4
d
U
R
I
 
   
 

71
( ) 2 2 sin1000 ( )e t t V
Giải:
Ví dụ 3: Cho mạch phi tuyến ở chế độ xác lập điều hòa. Biết E1 =
15V (1 chiều), C = 20μF, L = 20mH, , điện
trở phi tuyến có đặc tính cho trong bảng. Tính áp uC(t) và công suất
của nguồn.
E1 C
e2(t)
R1
R2L
I(A) 0 0.4 1.6 2 2.5 3
U(V) 0 13.5 16.5 20 22 23
Công suất nguồn 1 chiều:
PE1 = 15.1 = 15W
.
2
.
0.2493 85.7212
1 1 1
L
C
d C L
E
Z
U
R Z Z
  
 
Vậy áp uC(t) là:
( ) 0.2493 2.sin(1000. 85.7212)( )Cu t t V 
.
.
2
0.1 82.8678
( / / )
L
L d C
E
I
Z R Z
  

Công suất nguồn xoay chiều:
*. .
22 Re( . ) 0.0249( )LEP E I W 

II. Phƣơng pháp tham số bé (nhiễu loạn).
III. Phƣơng pháp sai phân liên tiếp.
IV. Phƣơng pháp biên pha biến thiên chậm (hệ số tích phân).
Bài tập: 2, 3, 7, 13 + bài thêm.

Chƣơng 4 : Quá trình quá độ trong mạch phi tuyến
73
Mạch phi tuyến
(quy luật, tính chất)
Hệ phƣơng trình vi tích
phân phi tuyến
Luật
 Mạch phi tuyến được mô tả bởi những hệ phương trình vi tích phân phi tuyến trong miền thời gian.
 Quá trình quá độ của hệ thống nghiệm đúng hệ phương trình mới, khởi đầu từ thời điểm t = 0+.
t = t0:
Thay đổi kết cấu
thông số của mạch
Mạch phi tuyến mới
(Quy luật, tính chất mới)
Hệ phƣơng trình vi tích
phân phi tuyến mới
Luật
K
K
 Động tác đóng mở kết thúc một quá trình cũ và khởi đầu một quá trình quá độ hiện hành.
t
Quá trình cũ Quá trình mới
0- +
Quá trình quá độ Quá trình mới
xác lậpThời gian quá độ

75
 Nội dung: Được sử dụng để giải các bài toán quá độ của mạch phi tuyến (tính phi tuyến
ít) có phương trình mô tả dạng:
f(x, x’, x’’, …, t) = μ.φ(x, x’, …) (*)
trong đó: f(x, x’, x’’, …) là những số hạng tuyến tính.
μ.φ(x, x’, …) là số hạng phi tuyến (ít  đủ nhỏ so với số hạng tuyến tính).
 Phƣơng pháp:
 Tìm nghiệm của phương trình tuyến tính cốt yếu: f(x, x’, x’’, …, t) = 0  x0(t).
 Đặt nghiệm của phương trình (*) dưới dạng các hàm hiệu chỉnh (số hàm hiệu chỉnh
được đặt tùy theo độ chính xác yêu cầu):
x(t) = x0(t) + μ.x1(t) + μ2.x2(t) + …
 Thay vào phương trình (*) và cân bằng theo bậc của μ để tìm các hàm hiệu chỉnh.

76
Ví dụ 1: Dùng phương pháp nhiễu loạn tính dòng quá độ với 1 hàm hiệu
chỉnh trong cuộn dây lõi thép đóng vào nguồn áp E = 24V, biết đặc tính
cuộn dây: ψ(i) = 2.i – 3,75.i3,R = 50Ω.
E = 24V
Ψ(i)
R=50Ω
2
50. . 24 2. ' 50. 24 11,25. . ' (*) ( 11,25)
i
i i i i i
i t


 
      
 
 Đặt nghiệm gần đúng với 1 hàm hiệu chỉnh: i(t) = i0(t) + μ.i1(t) 
' '
0 1
2 2 2 2
0 1 0 1
' .
. 2. . .
i i i
i i i i i

 
 
  
 Thay vào (*):
' ' 2 2 2 ' '
0 1 0 1 0 1 0 1 0 1
' ' 2 ' 2 3
0 0 1 1 0 0
2. 2. . 50. 50. . 24 .( . 2. . . )( . )
(2. 50. 24) .(2. 50. . ) .(...) .(...) 0
i i i i i i i i i i
i i i i i i
     
  
       
        
 Cân bằng theo bậc của μ:
'
0 02. 50. 24 0i i  
 μ bậc 1:
' 2 '
1 1 0 02. 50. . 0i i i i  
 μ bậc 0 (phương trình tuyến tính suy biến)
Giải:

77
E = 24V
Ψ(i)
R=50Ω
 Xét phương trình tuyến tính suy biến:
 Sơ kiện: i(0) = 0; Nghiệm xác lập: i = 24/50 = 0,48(A)
2 2 . 2. .
0 0
' .
0
.(1 2. )
. .
t t
t
o
i I e e
i I e
 


 

  

 Tra bảng Ảnh - Gốc (dùng công thức Hevixaide):
'
0 02. 50. 24 0i i  
' 2 '
1 1 0 02. 50. . 0i i i i  
 Phương trình đặc trưng: 2.p + 50 = 0  p = -25
 Nghiệm là : i0(t) = 0,48.(1 – e-25.t) (A) = I0.(1 – e-α.t) (A) 
 Xét phương trình μ bậc 1:
 Thay vào ta có: ' 3 . 2. . 3. .
1 1 02. 50. . .( 2. )t t t
i i I e e e  
   
   
 Chuyển sang miền ảnh Laplace:
3
1 0
1 2 1
2( ). ( ) . .( )
2. 3.
p I p I
p p p
 
  
   
  
3
0
1 2
. 1 2 1
( ) .
2 ( ) ( 2. ).( ) ( 3. ).( )
I
I p
p p p p p

    
 
         
25. 50. 75.
1( ) 0,0555. (25. 1,5). 2. 0,5.t t t
i t t e e e  
     
 Vậy nghiệm của bài toán là:
25. 25. 50. 75.
( ) 0,48.(1 ) 0,625. (25. 1,5). 2. 0,5.t t t t
i t e t e e e   
       

78
Ví dụ 2: Dùng phương pháp nhiễu với 1 hàm hiệu chỉnh tính quá trình
điện tích khi 1 tụ phi tuyến phóng điện qua 1 điện trở R. Biết sơ kiện
q(0) = Q và đặc tính phi tuyến của tụ uC(q) =q.1/C0 + αq3 (α>0)
3
0
1
' 0q q Rq
C
    Lập phương trình: uC + uR = 0
 Đặt nghiệm với 1 hàm hiệu chỉnh: q(t) = q0(t) + μ.q1(t) ' '
0 1' .q q q  
 Thay vào (*):      
3' '
0 1 0 1 0 1
0
1
R q q q q q q
C
       
 Cân bằng theo bậc của μ:
'
0 0
0
1
2. . 0q q
C
 
 μ bậc 1:
' 3
1 1 0
0
1
.R q q q
C
 
 μ bậc 0 (phương trình tuyến tính suy biến):
C R
Giải:
3 3
0
1
' (*)Rq q q q
C
     

79
Ví dụ 2: Dùng phương pháp nhiễu với 1 hàm hiệu chỉnh tính quá trình
điện tích khi 1 tụ phi tuyến phóng điện qua 1 điện trở R. Biết sơ kiện
q(0) = Q và đặc tính phi tuyến của tụ uC(q) =q.1/C0 + αq3 (α>0)
 Xét phương trình tuyến tính suy biến:
 Phương trình đặc trưng:
0 0
1 1
0Rp p
C RC
      
 Xét phương trình μ bậc 1:
'
0 0
0
1
2 0q q
C
 
C R
Giải:
0
t
q Ae 
 td
 Nghiệm quá độ: 0 0 0
t
q q q Ae 
  qd xl td
Sơ kiện
q(0) = Q0
0 0. t
q Q e 
qd
3
' 30
1 1
tQ
q q e
R

 
 
3
0
1
1
( ) ( )
3
Q
p Q p
R p


 

3
0
1( )
( 3 )( )
Q
Q p
R p p 
 
 
Laplace
Hevixaide
 
3
30
1( )
2
t tQ
q t e e
R
 

 
 
3 3
' ' 0 0 0 0
0 1 0' .
2 2
t t tC Q C Q
q q q Q e e e   
   
     

III. Phƣơng pháp sai phân liên tiếp
81
 Là phương pháp gần đúng tính bằng số dùng sai phân hóa để giải bài toán vi tích phân thời
gian của các hệ thống phi tuyến và tuyến tính.
 Chia trục thời gian t thành những bước h = Δt.
t0 = 0 ; t1 = Δt ; t2 = 2.Δt ; … ; tk = k.Δt
Δt t
 Sai phân hóa:
1k kx xdx x
dt t h
 
 

2
2 1
2 2
2.k k kx x xd x
dt h
  

 Sai phân hóa hệ phương trình mạch bằng những biểu thức sai phân  thu được một hệ
sai phân liên hệ trị xk ở các bước thời gian liên tiếp  biết xk  tính được giá trị xk+1
 Sai phân hóa là thay thế gần đúng những vi phân của biến thời gian t của ẩn x bằng những vi
phân của chúng.
 Phương pháp sai phân liên tiếp chuyển hệ phương trình vi phân thành hệ sai phân gần đúng và
dùng phương pháp số để tìm dần từng bước nghiệm gần đúng:

IV. Phƣơng pháp sai phân liên tiếp
82
Ví dụ 1: Dùng phương pháp sai phân tính dòng quá độ khi đóng mạch vào
một cuộn dây có đặc tính ψ(i) = 1,75i – 2,8.i3, R = 60Ω, vào nguồn hằng E
= 24V.
2
60. . 24 60. (1,75 8,4. ). ' 24
i
i i i i
i t
 
     
 
1 2
(24 60. ).
1,75 8,4.
k
k k
k
i h
i i
i


  

E = 24V
Ψ(i)
R=60Ω
 Sai phân hóa phương trình mạch: 2 1
60. (1,75 8,4. ). 24k k
k k
i i
i i
h
 
  
 Tính bước sai phân: Xét phương trình tuyến tính suy biến:
1 1
1,75. ' 60 24 1,75. 60 0 34,3 0,03 .3. 10
| | 10
i i p p s h ms
p
              
24
0,4( )
60
xli A  Nghiệm xác lập:
 Bảng kết quả:
t(ms) 0 10 20 30 40 50 60 70 80
i(A) 0 0,14 0,24 0,32 0,37 0,4 0,4 0,4 0,4

83
Ví dụ 2: Cho mạch điện, biết R1 = 30Ω, R2 = 40Ω, C = 100μF, E
= 40V, cuộn dây phi tuyến có đặc tính ψ(i) = 1,75i – 2,8.i3. Tính
10 giá trị đầu tiên của dòng quá độ trên tụ C (cho h = 10ms)
Giải:
 Biến đổi mạch:
 Đạo hàm 2 vế của phương trình:
1 2
12
1 2
17,14
R R
R
R R
  

12 2
1 2
22,86
E
E R V
R R
 

 Lập phương trình mạch: 12 12R L Cu u u E  
 2
12 12 12
1 1
. 1,75 8,4
di di
R i idt R i i idt E
i dt C dt C

       
  
0'')4,875,1()'(8,16' 22
12 
C
i
iiiiiR
0
10
'')4,875,1()'(8,16'14,17 4
22
 
i
iiiii

84
Giải:
 Sai phân hóa:
 Tính sơ kiện: i0 = i(0) = 0 ; uC(0) = 0
0
10
2
)4,875,1()(8,1614,17 42
122211







 kkkk
k
kk
k
kk i
h
iii
i
h
ii
i
h
ii
)4,875,1(10
)(10.8,16)(10.14,17
2 24
2
1
4
1
42
12
k
kkkkkk
kkk
i
iiiiihih
iii


 





)0(')0(
)0(
)0(' 1
101
hiii
h
ii
h
ii
i 




2
17,14 (0) [1,75 8,4 (0)] '(0) (0) 22,86Ci i i u    
Phương trình mạch ở chế độ mới:
 2
12 121,75 8,4 '( ) ( )CR i i i t u t E   
'(0) 13,06( / )i A s  1 (0) '(0) 13.06i i hi h   

85
Giải:
 Phương trình sai phân:
t(ms) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
i(A) 0 0,0131 0,0260 0,0387 0,0513 0,0635 0,0754 0,0869 0,0979 0,1084
)4,875,1(10
)(10.8,16)(10.14,17
2 24
2
1
4
1
42
12
k
kkkkkk
kkk
i
iiiiihih
iii


 





0
1
0
13.06
i
i h


 Bảng kết quả:

V. Phƣơng pháp biên pha biến thiên chậm
87
 Nội dung:
 Phương pháp biên pha biến thiên chậm (phương pháp biến thiên hệ số tích phân)
thường được dùng để xét bài toán mạch phi tuyến Kirhoff cấp 2 với chế độ tự dao
động phi tuyến:
0 0 0( ) ( ). os[ ( )] ( ).cos ( )sinx t A t c t t B t t C t t      
 Với những dao động gần với điều hòa, các cặp A(t), θ(t) hay B(t), C(t) sẽ biến thiên
chậm: và đủ nhỏ  gia tốc và lũy thừa của tốc độ rất nhỏ, có
thể bỏ qua.
.( )
( )
dA t
A t
dt

.( )
( )
d t
t
dt


.. .
2
0 . . ( , ) 0x x f x x   
 Nghiệm của phương trình xét có tính dao động, nhưng do tính chất phi tuyến nên
dao động rất gần với điều hòa  được biểu diễn toán học bằng các hàm điều hòa có
biên độ và góc pha biến thiên.

88
 Nội dung:
 Do nghiệm của bài toán rất gần với điều hòa  có thể coi nghiệm x(t) chuyển dần từ
nghiệm dao động điều hòa x0(t) của phương trình dao động tuyến tính suy biến:
x0(t) = A0.cos(ω0t + θ0)
. .
0 0 0
0 0
( ) ( ) .cos ( ) ( ).cos ( )
t t
x t A A t dt t t dt A t t   
   
       
   
 
. . .
0.cos .( ).sinx A A     
Bỏ qua những số
hạng nhỏ
.
0. .sinx A  
.. .. . . .. . . .
2
0 0 0.cos .( ).sin . .sin ( ). .sin ( ) . .cosx A A A A A                  
.. . .
2
0 0 02. . .sin ( 2. . ). .cosx A A        
Bỏ qua những số
hạng nhỏ
 Nghiệm x(t) của bài toán sẽ có dạng:
 Vậy ta có:

89
Ví dụ: Cho phương trình Vanderpol (*)
Sơ kiện x(0) = X0 và
 Phân tích phương trình:
.
(0) 0x 
.. .
2
.(1 ). 0x x x x   
.. .
2
.(1 ). 0x x x x   
tuyến tính phi tuyến
 Xét phương trình tuyến tính:  đa thức đặc trưng p2 + 1 = 0  p = ± j
..
0x x 
 Nghiệm: x0(t) = A0.cos(t + φ0)  dx0/dt = -A0.sin(t + φ0)
Xét tại t = 0:  x0(t) = X0.cos(t)0 0 0
0 0
.cos
0 .sin
X A
A




 
 Nghiệm của phương trình (*) là:
. .
0
0 0
( ) .cos ( ).cos ( )
t t
x t X Adt t dt A t t 
   
      
   
 

90
Ví dụ:
 Thay vào phương trình (*):
. .
2 2
2. .sin (1 2. ). . os . os .(1 .cos ). .sin 0A Ac Ac A A            
3 3. . . .
2. .sin 2. . . os . .sin sin .sin 2
4 4
A A
A Ac A
 
           
 Biến đổi lượng giác:
 Cân bằng các điều hòa cùng cấp:
33 ..
. .
1 ..
.2. .
2 44
2. . 0 0 do A 0
AA
A AA A
A
 
 
  
        
  
 
   
3
0
0
1 .
( ) . cos
2 4
t
A
x t X A dt t


  
    
  

 Vậy nghiệm là:

Chƣơng 5: Lý thuyết về mạch có thông số dải - Đƣờng dây dài
đều tuyến tính
I. Mô hình đƣờng dây dài đều.
II. Chế độ xác lập điều hòa trên đƣờng dây dài.
III. Quá trình quá độ trên đƣờng dây dài không tiêu tán.
Bài tập: 1 - 7, 10, 11, 19 - 24 + Bài thêm.

Chƣơng 5 : Lý thuyết về mạch có thông số rải
Đƣờng dây dài đều tuyến tính
I. Mô hình đƣờng dây dài đều
93
6000( )
c
km
f
  
Thiết bị điện
Mô hình trƣờngMô hình hệ thống
u(t), i(t), p(t) …
Mô hình
trƣờng điện từ
Mô hình
đƣờng dây dài
E(x, y, z, t), H(x,y,z,t) …
Hệ phƣơng trình Macxuel
u(x, t), i(x, t) …
Hệ phƣơng trình Kirhoff
 Mô hình đường dây dài mô tả những đường dây trên không, cáp có chiều dài so được với
độ dài sóng hoặc độ dài xung: l ~ 1/10 bước sóng.
 Thời gian truyền sóng điện từ dọc đường dây đủ lớn  quá trình dòng điện, điện áp ở hai
đầu dây sai khác rõ rệt.
 Không thể mô tả sự phân bố dòng, áp liên tục dọc đường dây bằng một vài phần tử mạch.

94
 Trong mô hình đường dây dài: Biến u(x, t), i(x, t) phân bố, truyền dọc đường dây.
i(x, t) i + di
dx
u(x, t)
- du- di
x
u + du
Rdx Ldx
Gdx Cdx
 Luật Kirhoff 1: -di(x, t) = i(x, t) – i(x+dx, t) = diC(x, t) + dig(x, t)
( , )
( , ) . ( , ). ( , )g C
u x t
di x t G u x t dx di x t C dx
t

 

( , ) ( , )
. . ( , )
i x t u x t
C G u x t
x t
 
  
 
 Xét nguyên tố đường dây dx trên đó có cặp i(x, t), u(x, t):
Gọi C và G là điện dung và điện dẫn rò tính cho một vi phân đường dây dx.

95
i(x, t) i + di
dx
u(x, t)
- du- di
x
u + du
Rdx Ldx
Gdx Cdx
 Luật Kirhoff 2: -du(x, t) = u(x, t) – u(x+dx, t) = duL(x, t) + duR(x, t)
Gọi L và R là điện cảm và điện trở tính cho một vi phân đường dây dx.
( , )
( , ) dx ( , ) . ( , )L R
i x t
du x t L du x t R i x t dx
t

 

( , ) ( , )
. . ( , )
u x t i x t
L dx R i x t
x t
 
  
 
 Mô hình toán học của đường dây dài: ( , ) ( , )
. . ( , )
( , ) ( , )
. . ( , )
i x t u x t
C G u x t
x t
u x t i x t
L dx R i x t
x t
 
    

   
  

96
Rdx Ldx
Gdx Cdx
 Mô hình toán học của đường dây dài:
( , ) ( , )
. . ( , )
( , ) ( , )
. . ( , )
u x t i x t
L dx R i x t
x t
i x t u x t
C G u x t
x t
 
    

    
  
 Hệ phương trình ứng với sơ đồ mạch tạo bởi các phần tử
của mạch Kirhoff, nhưng vô cùng nhỏ: Rdx, Ldx, Cdx,
Gdx và phân bố rải dọc đường dây.
 Bài toán đường dây dài là bài toán bờ có sơ kiện: Nghiệm
được xác định bởi điều kiện bờ hai đầu đường dây (x = x1,
x = x2) và sơ kiện tại t = t0.
 Đường dây dài đều là mô hình đường dây dài có các thông số cơ bản của đường dây (R, L, C,
G) không thay đổi theo không gian và thời gian.
 Đường dây dài đều không tiêu tán: R = G = 0
( , ) ( , )
.
( , ) ( , )
.
u x t i x t
L dx
x t
i x t u x t
C
x t
 
   

   
  

1. Hiện tƣợng sóng chạy.
2. Các thông số đặc trƣng sự truyền sóng trên đƣờng dây.
3. Hiện tƣợng méo – Đƣờng dây dài không méo.
4. Hiện tƣợng phản xạ sóng trên đƣờng dây dài.
5. Sự phân bố áp, dòng dạng hàm lƣợng giác Hypecbol.
6. Đƣờng dây dài đều không tiêu tán.

II. Chế độ xác lập điều hòa trên đƣờng dây dài
1. Hiện tƣợng sóng chạy
98
 Xét đường dây hệ số hằng có kích thích điều hòa:
 Ở chế độ xác lập điều hòa: Trạng thái dòng, áp trên mỗi vi phân đường dây là một hàm
điều hòa có biên – pha tùy thuộc vào x.
( , ) ( , )
. . ( , )
( , ) ( , )
. . ( , )
u x t i x t
L dx R i x t
x t
i x t u x t
C G u x t
x t
 
    

    
  
   
   
( , ) ( ). 2.sin ( ) ( ), ( )
( , ) ( ). 2.sin ( ) ( ), ( )
u u
i i
u x t U x t x U x x
i x t I x t x I x x
  
  
   

  
 Xét trong miền ảnh phức ta có: .
.
( , )
. . ( )
( , ) ( )
u x t
j U x
t
u x t dU x
x dx


 


 
.
. ( )
.
. ( )
( , ) ( ). ( )
( , ) ( ). ( )
u
i
j x
j x
u x t U x e U x
i x t I x e I x



 

  
 Vậy ta có mô hình toán học trong miền ảnh phức: .
. .
.
. .
( . . ). .
( . . ). .
dU
R j L I Z I
dx
d I
G j C U Y U
dx



    



   


99
2 2
0 ( . )p p j       
Trong đó:
2
.
( ) . ( )
Z Y
j

    

 
( ) . .Z j R j L  
 Phương trình đặc trưng có dạng:
.
. .
.
. .
( . . ). .
( . . ). .
dU
R j L I Z I
dx
d I
G j C U Y U
dx



    



   

.
2 . .
2
2
.
2 . .
2
2
. . .
. . .
d U
Z Y U U
dx
d I
Z Y I I
dx



  



 

Đạo hàm theo x
hai vế phương trình
: Tổng trở trên đơn vị dài
( ) . .Y j G j C   : Tổng dẫn trên đơn vị dài
 Vậy nghiệm tổng quát có dạng:
. . . . . .
. . . .
1 2 1 2( ) . . ; ( ) . .x x x x
U x A e A e I x B e B e    
   
 Mặt khác:
. . .
. . .
1 2. . . .
1 2
1
. . . .x x x xdU A A
I A e A e e e
Z ZZ dx Z Z
    
 
 
     

100
.
. j
C c
Z
Z Z e 

 
1
2
.
.
1 1
.
.
2 2
.
.
j
j
A A e
A A e




 Chuyển về miền thời gian ta có:
1 2
1 2
.
. . . . . .. .
1 2
.
. . . . . . . .. .1 2
( ) . . . .
( ) . . . .
j x j j x jx x
j x j j j x j jx x
C C
U x A e e A e e
A A
I x e e e e
Z Z
    
      
  
    

 

 

 Đặt: là tổng trở sóng của đường dây.
. . . .
.
1 2 1 2. . . . . .
. . . .x x x j x j
C C
A A A A
I e e e e
Z Z Z Z
     
 
   
    Giả sử:
 Vậy ta có:
. . .
. .
1 2
. . .
. .
1 2
( ) . .
( ) . .
x x
x x
U x A e A e
I x B e B e
 
 


 
 
 Thay vào phương trình ta có:
. .
1 1 2 2
. .1 2
1 2
( , ) 2. . .sin( . ) 2. . .sin( . )
( , ) 2. . .sin( . ) 2. . .sin( . )
x x
x x
C C
u x t A e t x A e t x
A A
i x t e t x e t x
Z Z
 
 
     
       


      


       


101
 Xét hàm sin(ω.t – β.x) = -sin(β.x - ω.t):
. .
1 1 2 2
. .1 2
1 2
( , ) 2. . .sin( . ) 2. . .sin( . )
( , ) 2. . .sin( . ) 2. . .sin( . )
x x
x x
C C
A A
i x t e t x e t x
Z Z
 
 
     
       


      


       

. . .x t x t

  

        
 Vậy hàm sin(ω.t – β.x) với 2 đối số không gian – thời gian ngược dấu nhau mô tả sóng
hình sin dịch theo chiều x với vận tốc đều: v



π
v
x0
2π Δψ = β.xΔψ
Δx
u+
 Tại t = 0: -sin(β.x)
 Sau khoảng Δt: -sin(β.x- ω.Δt)
 Sóng truyền đi theo chiều x một đoạn βΔx
tương ứng với một đoạn dịch pha của tín hiệu
là Δψ = ω.Δt.

102
 Xét hàm sin(ω.t + β.x)
. .
1 1 2 2
. .1 2
1 2
( , ) 2. . .sin( . ) 2. . .sin( . )
( , ) 2. . .sin( . ) 2. . .sin( . )
x x
x x
C C
A A
i x t e t x e t x
Z Z
 
 
     
       


      


       

. . .x t x t

  

        
 Vậy hàm sin(ω.t + β.x) với 2 đối số không gian – thời gian cùng dấu nhau mô tả sóng
hình sin chạy theo ngược chiều x với vận tốc đều: v



u+
v
x
ψ = β.x
Δψ
Δx
 Tại t = 0: sin(β.x)
 Sau khoảng Δt: sin(β.x + ω.Δt)
 Sóng truyền đi theo chiều -x một đoạn βΔx
tương ứng với một đoạn dịch pha của tín hiệu
là Δψ = ω.Δt.

103
 Vậy ở chế độ xác lập điều hòa:
 Sự phân bố dòng, áp trên dây là sự xếp chồng của sóng chạy thuận và sóng chạy ngược
. .
1 1 2 2
. .1 2
1 2
( , ) 2. . .sin( . ) 2. . .sin( . )
( , ) 2. . .sin( . ) 2. . .sin( . )
x x
x x
C C
A A
i x t e t x e t x
Z Z
 
 
     
       


      


       

( , ) ( , ) ( , )
( , ) ( , ) ( , )
u x t u x t u x t
i x t i x t i x t
 
 
  

 
 Sóng thuận u+(x, t), i+(x, t) có dạng hình sin với biên độ giảm dần theo chiều truyền
sóng (chiều x).
. .. . .
. .
1 2
. .
. ..
( ) ( ) ( ) . .
( ) ( )
( ) ( ) ( )
x x
C C
U x U x U x A e A e
U x U x
I x I x I x
Z Z
   
 
 

   


    

 Sóng ngược u-(x, t), i-(x, t) có dạng hình sin với biên độ tăng dần theo chiều x (giảm dần
theo chiều truyền sóng).

2. Các thông số đặc trƣng sự truyền sóng trên đƣờng dây
104
 Hệ số tắt α(ω):
 Đặc trưng cho tốc độ tắt của biên độ sóng dọc đường dây theo chiều truyền sóng.
. .
1 1 2 2
. .1 2
1 2
( , ) 2. . .sin( . ) 2. . .sin( . )
( , ) 2. . .sin( . ) 2. . .sin( . )
x x
x x
C C
A A
i x t e t x e t x
Z Z
 
 
     
       


      


       

.
1
.( 1)
1
[ /m ; nep/km ; dB]2. .( ) ( )
ln
1 8,68( 1) ( 1)2. .
x
x
nepA eU x U x
e
nep dBU x U xA e




 
  
   
 
 Xét trên một đơn vị dài đường dây  biên độ sóng giảm đi exp(α) lần.
 Hệ số pha β(ω) [rad/m ; rad/km]:
 Đặc trưng cho tốc độ biến thiên góc pha của sóng dọc đường dây theo chiều truyền
sóng.

2. Các thông số đặc trƣng sự truyền sóng trên đƣờng dây
105
 Vận tốc truyền sóng v(ω):
 Đặc trưng cho tốc độ truyền sóng trên đường dây.
 Sự phân bố vận tốc truyền sóng theo tần số gọi là sự tán sắc vận tốc trong quá
trình truyền sóng.
v



 Tổng trở sóng ZC(ω):
. .
. .
.
C
U U Z Z Z
Z
YZ YI I

 
 
    
 Hệ truyền sóng γ(ω) :
 Đặc trưng cho quá trình truyền sóng (biến thiên về biên độ và góc pha) dọc đường
dây theo chiều truyền sóng.
. .j Z Y    

3. Hiện tƣợng méo - Đƣờng dây dài không méo
106
 Xét đường dây tiêu tán truyền tín hiệu dòng (áp) gồm phổ sóng điều hòa nhiều tần số.
 Do α, v, ZC là các hàm phụ thuộc vào tần số  các điều hòa sẽ lan truyền:
 Vận tốc khác nhau v(ω)
 Biên độ tắt khác nhau: α(ω)
 Tổng trở sóng khác nhau: ZC(ω)
 Thay đổi tỷ số biên độ các điều hòa.
 Thay đổi vị trí tương đối các điều hòa.
 Thay đổi quan hệ sóng áp - sóng dòng.
Hiện tƣợng méo tín hiệu
 Một đường dây dài có tiêu tán không làm méo tín hiệu nếu các thông số của đường dây
thỏa mãn điều kiện: R G
L C

1
. ; ;
.
C
R
R G v Z
GL C
   
 Các đường dây thông tin muốn tránh méo phải thực hiện Pupin hóa đường dây: Nối
thêm vào đường dây những cuộn cảm tập trung L có giá trị phù hợp.

4. Hiện tƣợng phản xạ sóng trên đƣờng dây dài
107
 Ta coi sóng ngược là kết quả phản xạ của sóng thuận đi tới.
 Tại vị trí cuối dây (đầu dây) nối tải Z2 (Z1) ta có:
. ..
. ..
( ) ( ) ( )
. ( ) ( ) ( )C
U x U x U x
Z I x U x U x
 
 

 

  
 Hệ số phản xạ n(x) tại điểm x là tỉ số của sóng ngược và với sóng thuận
và ở điểm đó.
.
( )U x
.
( )I x
.
( )U x
.
( )I x
. . . .
. . . .
( ) . ( )( ) ( )
( )
( ) . ( )( ) ( )
C
C
U x Z I xU x I x
n x
U x Z I xU x I x
 
 

  

.
.
( )
( )
( )
U x
Z x
I x

Tổng trở vào tại x ( )
( )
( )
C
C
Z x Z
n x
Z x Z



2 1
2 1
2 1
;C C
C C
Z Z Z Z
n n
Z Z Z Z
 
 
 
với
 Nếu Z2 = ZC (n2 = 0)  không có sóng phản xạ (tải hòa hợp đường dây)
 Nếu Z2 = ∞ (n2 = 1)  phản xạ toàn phần.
 Nếu Z2 = 0 hoặc Z1 = 0 (n2 = -1 ; n1 = -1)  phản xạ toàn phần có đổi dấu

5. Sự phân bố áp – dòng dạng hàm lƣợng giác Hyperbol
108
 Đặt:
 Vậy ta có phương trình dạng Hyperbol:
 Ta có:
.
( ) . ( . ) . ( . )U x M ch x N sh x  
.
0
.
0
. 0 . 0
. . 0 . 0C
U M ch N sh M
Z I M sh N ch N

  

   
 
.
. 1 1
( ) . . . ( . ) . . ( . ) . ( . ) . ( . )
C
dU
I x M sh x N ch x M sh x N ch x
Z dx Z Z Z
 
          
 Tại gốc tọa độ x = 0 có:
. .
0 0,U I
. . .
00
.
. .
0
0
( ) . ( . ) . . ( . )
( ) . ( . ) . ( . )
C
C
U x U ch x Z I sh x
U
I x sh x I ch x
Z
 
 

 

   

.
2 . .
2
2
.
2 . .
2
2
. . .
. . .
d U
Z Y U U
dx
d I
Z Y I I
dx



  



 


5. Sự phân bố áp, dòng dạng hàm lƣợng giác Hyperbol
109
 Khi biết trị số dòng – áp ở đầu dây  gắn gốc tọa độ x = 0 ở đầu dây, hướng chiều x về
phía cuối dây. Khi đó ta có hệ phương trình:
. . .
11
.
. .
1
1
( ) . ( . ) . . ( . )
( ) . ( . ) . ( . )
C
C
U x U ch x Z I sh x
U
I x sh x I ch x
Z
 
 

 

   

 Khi biết trị số dòng - áp ở cuối dây  gắn gốc tọa độ x = 0 ở cuối dây, hướng chiều x về
phía đầu dây. Khi đó:
( . ) ( . )
( . ) ( . )
x x
sh x sh x
ch x ch x
 
 
 
  
 
. . .
22
.
. .
2
2
( ) . ( . ) . . ( . )
( ) . ( . ) . ( . )
C
C
U x U ch x Z I sh x
U
I x sh x I ch x
Z
 
 

 

  


5. Sự phân bố áp – dòng dạng hàm lƣợng giác Hyperbol
110
 Mạng hai cửa tương đương của đường dây dài đều:
 Khi dùng đường dây dài truyền tải năng lượng, ta quan tâm quan hệ truyền đạt dòng áp
giữa 2 đầu đường dây.
 Ta coi quá trình truyền đạt của đường dây theo mô hình mạng 2 cửa Kifhoff.
 Do kết cấu đối xứng của đường dây, mạng 2 cửa của đường dây dài là đối xứng.
 Xét phương trình bộ số A
. . .
. . .
21 2
221 11 12
. . .
. . .
221 1 2221 22
( . ). . ( . ). . .
( . )
. ( . ). . .
C
C
U ch l U Z sh l I U A U A I
sh l
I U ch l I I A U A IZ
 


     
 
    
2 2
11 22 12 21
11 22
. . ( . ) ( . ) 1
( . )
A A A A ch l sh l
A A ch l
 

    

 
Mạng 2 cửa tuyến
tính, tương hỗ,
đối xứng
T
π

6. Đƣờng dây dài đều không tiêu tán.
111
 Một đường dây dài không tiêu tán nếu các thông số của đường dây thỏa mãn điều kiện:
R << ω.L (R = 0) ; G << ω.C (G = 0)
 Đặc điểm của đường dây dài không tiêu tán:
 Hệ số tắt: α(ω) = 0
( ) . .LC  
. . .
22
.
. .
2
2
( ) . os( . ) . . .sin( . )
( ) . .sin( . ) .cos( . )
C
C
U x U c x j Z I x
U
I x j x I x
Z
 
 

 

  

 Hệ số pha:
 Tổng trở sóng: ( ) /CZ L C 
 Vận tốc sóng: ( ) 1/ . ( ons )v LC c t 
 Hệ số truyền sóng: ( ) . ( )j   
 Phân bố dòng – áp trên đường dây không tiêu tán:
( ) .sin( . )
( ) os( . )
sh j x j x
ch j x c x
 
 



112
Ví dụ 1: Cho đường dây dài đều R = 0,3Ω/Km, L = 2,88mH/Km, C = 3,15.10-9F/Km, G = 0.
Tính hệ số truyền sóng γ, vận tốc truyền sóng υ, bước sóng λ và tổng trở sóng ZC của đường
dây ở tần số f = 50Hz.
Giải:
6
0,3 0,9 / ; 1,21.10 /Z R j L j Km Y G j C j Si Km  
       
6 3
. (0,3 0,9) 1,21.10 (0,18 1,09).10 (1/ )Z Y j j j Km  
     
 Hệ số truyền sóng:
5
3
2 314
2,88.10 /
1,09.10
f
v Km s
 
  
   
 Vận tốc truyền sóng:
886,1 9,2C
Z
Z
Y
   
 Tổng trở sóng:
5
2,88.10
5760
50
v
km
f
   
 Bước sóng:

113
Ví dụ 2: Cho đường dây dài đều. Chứng minh rằng:
a. Ở tần số đủ cao:
b. Ở tần số đủ thấp:
1
; ; C
L
v LC Z
CLC
   
Giải:
a. Ở tần số đủ cao:
Z R j L Z j L
Y G j C Y j C
 
 
 

 
; C
R
RG Z
G
  
. .Z Y j L j C j LC      
LC  
1
v
LC LC
 
 
   C
Z j L L
Z
Y j C C


   
b. Ở tần số đủ thấp:
Z R j L Z R
Y G j C Y G


 

 
. .Z Y RG    
C
Z R
Z
Y G
  

114
Ví dụ 3: Cho đường dây dài đều không tiêu tán biết hệ số truyền sóng γ = jβl, hệ số phản xạ
cuối dây n2. Đầu dây cung cấp bởi nguồn điều hòa có biên độ U1, cuối dây nối tải R2. Coi
mọi trạng thái dòng áp trên đường dây là sự xếp chồng của sóng tới và sóng phản xạ.
a. Tính
. .
1 1 2theo , ,U U n j l

.
1U
2R
.
1I
.
2U
l. . . . . .
1 1 1 1 1 1U U U U U U
   
    
.
1U

ch¹y tõ phÝa 2 vÒ 1
. .
1 2 . j l
U U e 
 

 
.
. .
2
2 22 2.
2
U
U n U
U

 

  MÆt kh¸c: n
. .
1 22. . j l
U n U e 
 

 
.
2U

ch¹y tõ phÝa 1 vÒ 2
. .
2 1 . j l
U U e 
 

 
. .
2
1 12. . j l
U n U e 
 

 
. . . . .
2
1 1 1 1 12 . j l
U U U U n U e 
  

   
 
.
.
1
1
2
21 . j l
U
U
n e 


 

 
. .
2
1 1 21 . j l
U U n e 


  

115
b. Tính .
1U
2R
. .
2 2, , UU U K
 
.
1I
.
2U
l.
. .
1
2 1 2
21
j l
j l
j l
U e
U U e
n e



  


 

.
. . .
1
2 2 2 22
2
(1 )
1
j l
j l
U e
U U U n
n e


  

   

.
2 2
. 2
21
(1 )
1
j l
U j l
n eU
K
n eU





  


116
c. Tính công suất P2 theo .
1U
2R
.
1 2, ,U n j l
.
1I
.
2U
l
*. .
222 2 2Re . .U I U I
 
  
 
Ta cã: P
. .
2
2 12
2
(1 )
1
j l
j l
n e
U U
n e







 
. .
. . . .
2 2 2
2 2 2 1
2
2
(1 )
1
j l
j l
C C C
n eU U
I I I U
Z Z Z n e


 
  


    

C
Z L
Z
Y C
  
§êng d©y kh«ng tiªu t¸n
(sè thùc)
2
2 2 21 1 cos(2 ) sin(2 )j l
n e n l jn l
 
   XÐt
2 2 2 2 2
2 2 2 21 1 2 cos(2 ) cos (2 ) sin (2 )j l
n e n l n l n l
  
     

117
c. Tính công suất P2 theo .
1U
2R
.
1 2, ,U n j l
.
1I
.
2U
l
 
22 2
2 2 21 1 2 cos(2 )j l
n e n l n

    
. . . .
2 2
2 1 2 12 2
2 2 2
(1 ) 1
1 1 2 cos2
j l
j l
n e n
U U U U
n e n l n





 
  
  
   
. . . .
2 2
2 21 1
2 2
2 2 2
(1 ) 1
1 1 2 cos2
j l
j l
C C
n e n
I U I U
Z n e Z n l n





 
  
  

1. Khái niệm.
2. Phƣơng pháp Petecxen.
3. Phản xạ nhiều lần trên đƣờng dây.

119
 Xét sự truyền sóng dạng bất kỳ trên đường dây dài không tiêu tán khi có một kích thích
tác động lên đường dây (đóng 1 nguồn áp, xung sét đánh hoặc cảm ứng vào đường dây).
 Xét phương trình cơ bản của đường dây không tiêu tán:
( , )
.
( , )
.
u x t i
L
x t
i x t u
C
x t
 
   

  
  
( , )
. . ( , ) . ( ,0)
( , )
. . ( , ) . ( ,0)
dU x p
p L I x p L i x
dx
dI x p
p CU x p C u x
dx

  

  

Chuyển sang miền
ảnh Laplace
 Giả thiết tại t = 0, trên đường dây không có dòng và áp: u(x, 0) = 0; i(x, 0) = 0
( , )
. . ( , )
( , )
. . ( , )
dU x p
p L I x p
dx
dI x p
p CU x p
dx

 

 

2
2 2
2
2
2 2
2
( , )
. . . ( , ) . ( , )
( , )
. . . ( , ) . ( , )
d U x p
p L CU x p U x p
dx
d I x p
p L C I x p I x p
dx



 

  

Đạo hàm
theo x
1. Khái niệm

120
1. Khái niệm
 Biến đổi ngược từ ảnh ra gốc, đặt:
1 1
2 2
( , ) ( , ) ; ( , ) ( , )
( , ) ( , ) ; ( , ) ( , )
U x p u x t A x p f x t
I x p i x t A x p f x t
 
 
. . . . .
1 2
. . . . . .1 2
( , ) ( , ). ( , ).
( , ) ( , )
( , ) . .
p L C x p L C x
p L C x p L C x
U x p A x p e A x p e
A x p A x p
I x p e e
L L
C C


  


 


Dịch gốc
. . .
1 1
. . .
2 2
( , ). ( . . )
( , ). ( . . )
p L C x
p L C x
A x p e f t L C x
A x p e f t L C x

 
 
 Đặt:
1
. ; C
L
L C Z
v C
 
 Vậy nghiểm tổng quát của phương trình là:
1 2( , ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1
( , ) . ( ) . ( ) ( ) ( )
C C
x x x x
u x t f t f t u t u t
v v v v
x x x x
i x t u t u t i t i t
Z v Z v v v
 
   

       

        

 Nghiệm của phương trình có dạng:

121
 Nhận xét:
 Sự phân bố áp là tổng 2 thành phần: Áp thuận và áp ngược
1. Khái niệm
1 2( , ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1
( , ) . ( ) . ( ) ( ) ( )
C C
x x x x
u x t f t f t u t u t
v v v v
x x x x
i x t u t u t i t i t
Z v Z v v v
 
   

       

        

1
.
v
L C

( )
x
u t
v

 ( )
x
u t
v


 Sự phân bố dòng là hiệu 2 thành phần: Dòng thuận và dòng ngược( )
x
i t
v

 ( )
x
i t
v


 Các sóng dòng, áp đều truyền với vận tốc đều:
0 t
u
0
t
u
( )u t ( )
x
u t
v

1t
 Nghiệm tổng quát của phương trình:
1
x
t
v


122
2. Phƣơng pháp Petecxen:
 Dùng tính dòng, áp cuối dây trong chế độ quá độ trên đường dây dài không tiêu tán.
 Xét một sóng tới utới từ phía đầu dây truyền tới, đập vào tải tập trung Z2:
 Gặp 1 điều kiện bờ mới, tạo trên tải Z2 một hàm u2(t) = Z2.i2.
 Tại thời điểm đó và xuất phát từ vị trí tải sẽ có một sóng phản xạ ngược lại uphản sao
cho hợp với utới vừa bằng u2.
 Gắn gốc tọa độ vào cuối dây, và chọn gốc thời gian là thời điểm sóng tới đập vào cuối
dây, khi đó:
 Tại tải tập trung, có quan hệ:
u2(t) = u2tới + u2ph
i2(t) = i2tới – i2ph
ZC. itới = utới
ZC. iph = uph
 Quan hệ sóng tới, sóng phản:
2.u2tới = ZC.i2 + u2
2.u2tới = (ZC + Z2) i2

123
 Dòng, áp cuối dây u2(t), i2(t) được tính theo một sơ đồ tập trung gồm:
 01 nguồn áp bằng 2 lần sóng tới: 2.utới
 Tổng trở trong của nguồn có giá trị bằng tổng trở sóng ZC của đường dây tới.
 Đóng mạch vào tải tập trung ở cuối đường dây.
u2ph(t) = u2 - u2tới
i2ph(t) = i2tới – i2 = u2ph / ZC
 Dòng, áp phản xạ truyền về phia đầu dây:
2.u2tới = (ZC + Z2) i2
Tải
Z
u2
i2
utới
ZC
Tải
Z
2.utới
u2
i2
ZC
uph(x’,t) = u2ph(t - x’/v)
iph(x’,t) = i2ph(t-x’/v)
(Gốc: x’=0 ở
cuối dây)
Sơ đồ Petecxen

124
 Xét đường dây ZC1 nối với đường dây ZC2:
 Sóng từ đường dây 1 đến điểm nối sẽ sinh ra sóng phản xạ và tín hiệu u2(t), i2(t)
truyền (khúc xạ) vào đường dây 2 (sóng khúc xạ ukx, ikx)
 Khi sóng khúc xạ chưa truyền tới cuối đường dây 2 (chưa có sóng phản xạ lại) thì
chúng liên hệ với nhau qua ZC2: u2kx(t) = ZC2.i2kx(t)
u+
ZC1
2.u+
u2
i2
ZC1
ZC2
Dây 1 Dây 2
ZC2
 Nếu tại điểm nối giữa 2 đường dây có thêm các tải tập trung (L, C, …) thì trong sơ
đồ Petecxen cần bổ sung các phần tử tập trung đó.
Sơ đồ Petecxen

125
utới
ZC1 2.utới
ZC1
ZC2 ZC2
L/2
L/2
3’
3
2’
2
2’
2
3’
3
L
utới
ZC1
ZC2C
3
2’
2
2.utới
ZC1
ZC2
2’
2
C
Sơ đồ Petecxen
Sơ đồ Petecxen

Giáo án 1

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (18)

Similar to Giáo án 1

Similar to Giáo án 1 (20)

More from Carot Bapsulo

More from Carot Bapsulo (15)

Giáo án 1