La matematica nella musica

1. La musica è il piacere che la mente umana prova quando conta senza essere conscia di contare”
G.W. Von Leibniz
Geometrie Musicali
Attraverso il linguaggio della geometria, è possibile descrivere e apprezzare le cosiddette simmetrie
musicali. Vennero utilizzate sistematicamente da J.S. Bach (ad esempio nelle opere Variazioni Goldberg,
l’Offerta musicale e L’arte della fuga). Vediamone alcune.
La traslazione orizzontale è trasformazione isometrica (“isometrico” che mantiene i rapporti tra le
distanze”) che provoca uno spostamento della figura interessata sull’asse delle ascisse, senza che la forma
venga modificata o ruotata. Trova una corrispondenza in musica nella ripetizione oppure nel canone
musicale (con l’unico vincolo che in musica il vettore di spostamento dev’essere positivo), a seconda della
quantità di tempo di cui viene traslato il frammento musicale (uguale, maggiore o minore alla sua durata).
Traslazione
Un esempio di ripetizione è il celebre “Fra Martino”.

2. Fra Martino POST Nuovo
Nel canone la melodia traslata inizia quando ancora non si è conclusa l’originale. Si crea così l’idea di più
voci che si sovrappongono:
Se la traslazione è sull’asse verticale, musicalmente otterremo una trasposizione, ovvero la stessa melodia
ma in una tonalità differente.
Un’altra trasformazione isometrica che troviamo in musica è la riflessione. Prendiamo in considerazione
la simmetria assiale: fissata una retta nel piano, ad ogni punto della figura corrisponde un secondo punto
dalla parte opposta rispetto all’asse, tale che abbia la stessa distanza dalla retta. In sostanza, l’immagine
viene “ribaltata” dall’altra parte della retta e la vediamo come se fosse riflessa nello specchio.

3. Riflessione - Simmetria Assiale
In musica, se l’asse di riflessione è verticale, si ottiene una retrogradazione. Vale a dire la riscrittura di una
melodia, a partire però dall’ultima nota e ripercorrendo all’indietro nella sequenza contraria la successione
delle note.
Se Melodia Originale e Retrograda vengono suonate una di seguito all’altra, saremo di fronte a un caso di
“simmetria melodica”.
Se la riflessione avviene su un a
Se la riflessione avviene su un asse orizzontale, musicalmente otteniamo una inversione. Se la melodia sale
di un semitono, l’inversa scenderà di un semitono.

4. Inversione
La Simmetria Centrale è invece la riflessione di una figura rispetto a un punto, detto centro di simmetria.
Ad ogni punto della figura corrisponde un secondo punto, tale che il centro di simmetria coincida con il
punto medio del segmento che congiunge i due punti.
Riflessione – Simmetria Assiale
In musica, il risultato che si ottiene applicando questa trasformazione viene detto inversione retrograda.
Infatti è dato dalla combinazione di una retrogradazione (simmetria su asse verticale) e una inversione
(simmetria su asse orizzontale). Anche in geometria la simmetria centrale può essere vista come la
combinazione di una simmetria assiale su asse verticale e di una su asse orizzontale.
Musica e Matematica

5. Le stesse trasformazioni, basilari per tutta la polifonia, sono poi state formulate esplicitamente come regole
della dodecafonia.
Il Canone Inverso e il Nastro di Möbius
Maestro di queste trasformazioni “geometrico-musicali” era indubbiamente J.S. Bach, che propone ad
esempio il canone cancrizzante o inverso.
Musica e Matematica
Come si può notare, il conseguente retrogrado (in rosso nella figura sopra) è la stessa melodia
dell’antecedente (in nero), suonata a partire dall’ultima nota e ripercorrendola a ritroso.
Questo particolare canone è stato preso ad esempio dai ricercatori della Simons Foundation. Hanno
analizzato il rapporto tra musica e matematica, attraverso gli occhi della topologia – importante branca
della matematica moderna che studia le proprietà di figure e forme che non cambiano dopo l’applicazione
di una deformazione.
Prendendo spunto dal lavoro di Dmitri Tymoczko “A geometry of music”, la Fondazione ha spiegato come le
proprietà del nastro di Möbius – una striscia di carta le cui estremità, ruotate di 180°, vengono incollate
l’una all’altra; se si traccia una riga su una superficie del foglio, si può percorrere tutto il nastro senza mai
staccare la penna, poiché ha una sola superficie – possano essere utilizzate per comprendere l’armonia che
lega due corde con note diverse.
I matematici hanno mostrato, grazie a software di visualizzazione grafica, come alcune melodie
corrispondano alle proprietà di opportune figure geometriche. Un esempio di quanto detto è visibile in un
filmato, caricato su youtube nel 2009.
Nuove metodologie didattiche
Come abbiamo visto, sono moltissimi i ponti che legano musica e matematica. Infatti è stata sviluppata una
metodologia didattica che permette l’insegnamento della matematica attraverso la musica: Doremat. Si
tratta di un nuovo approccio che sfrutta le analogie tra musica e matematica e correla, in chiave musicale le
competenze matematiche così come sono indicate nel quadro normativo nazionale.
“Il lampo di illuminazione a cui i matematici anelano assomiglia sovente all’atto di battere sui tasti di un
pianoforte finché all’improvviso non si trova una combinazione di note che contiene un’armonia interna.”
M.du Sautoy, L’enigma dei numeri primi

6. Guarda la nostra lezione “Le frazioni…In musica!”.
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