Funzioni, modelli esponenziali, polinomio interpolatore di Lagrange...

1. Titolo: Funzioni e modelli matematici
Autore: Prof. Salvatore Menniti

2. Supponiamo che il Presidente di un'importante azienda abbia il brevetto per la
realizzazione di un nuovo prodotto, di notevole utilità per la collettività.
Per evitare spionaggio, nasconde il brevetto in cassaforte ma ha bisogno di
permettere ad alcune persone che dovranno occuparsi della realizzazione
del prodotto di potervi accedere.
Per la sicurezza, il Presidente decide saggiamente di dividere l'informazione
in n segmenti d'informazione, distribuendoli tra n persone, in modo che
sia necessaria la presenza di almeno k persone (con k minore o uguale di n)per
ricostruire il segreto.
Si potrà utilizzare per risolvere tale problema l'interpolazione di Lagrange.
Interpolazione di Lagrange ed applicazioni

5. Il Presidente sa che per realizzare il nuovo prodotto attraverso il brevetto
è necessaria la presenza di almeno quattro collaboratori e sceglie k=4.
Decide di nascondere la chiave segreta -1 fra i coefficienti di un polinomio
di grado k-1=3 ad esempio: p(x)=x3
-x2
+1.

7. Attraverso l'interpolazione di Lagrange è possibile quindi, avendo punti Pidi R2
,
determinare il polinomio interpolatore passante per tali punti.
.
Vediamo ora un esempio concreto dalla fonte ISTAT, ovvero: www.istat.it/it/ambiente-ed-energia

8. Dai dati dal 2009 al 2012 nella tabella seguente:
si può notare una crescita del consumo di energia da fonti rinnovabili con linea di
tendenza polinomiale.
Possiamo costruire un modello matematico abbastanza approssimato con una
curva esponenziale.
Tuttavia si è interessati principalmente alla determinazione del polinomio
interpolatore di Lagrange, passante per i valori reali riportati in tabella, piuttosto
che della linea di tendenza del polinomio di ordine 3 e potremo stimarne il
valore per l'anno 2015.

9. Si fornisce un'approssimazione piuttosto grossolana con curva esponenziale e con foglio elettronico
EXCEL si determina facilmente la linea di tendenza/regressione esponenziale come indicato sopra e
come si evince anche dal grafico.

11. Per la determinazione del polinomio interpolatore di Lagrange eseguiamo quanto di seguito riportato:

12. Vediamo ora il problema della raccolta differenziata, da fonte ISTAT, dal sito: www.istat.it/it/ambiente-ed-energia

13. E' stato possibile determinare la retta di regressione ed è possibile eseguire una previsione per gli
anni 2015, 2016, 2017, come di seguito riportato:

14. Precisamente, ricordiamo che la retta di regressione yi
stim
=a+bxisi ottiene attraverso le formule:
dove per le coppie di osservazioni (xi;yi) abbiamo precisamente l'analisi lineare seguente:
dove:

15. Bibliografia
1) Piacentini Cattaneo Giulia Maria – Matematica discreta ed applicazioni – Ed. Zanichelli, 2008.
2) Hardy, G.H., Wright,E.M. – An introduction to the theory of numbers. Fifth edition. The Clarendon Press
Oxford University Press, New)York, 1979.
3) www.istat.it/it/ambiente-ed-energia.
4) Brandi Primo, Salvadori Anna - Modelli matematici elementari – Matematica e dintorni – Ed. Mondadori,
2004.
5) Denis Antoni - Statistics for Health , Life and Social Sciences, Bookboon.com.