1. 最適コントラスト補正による視程障害画像の明瞭化
Restoration of Low Visibility Image under Haze Conditions
by Optimal Contrast Correction
松永 力
Chikara Matsunaga
株式会社朋栄 佐倉研究開発センター
FOR-A Co., Ltd. Sakura R&D Center
E-mail: matsunaga@for-a.co.jp
図1 補正処理結果（１）．左から順に，観測画像，補正画像，擬似奥行き距離画像．
Abstract を解くことによって，映像のみから視程障害の発生し
た画像を補正し視認性を向上するものである．
視程とは，肉眼で物体がはっきりと確認できる最大 視程障害の発生した画像を補正する処理は，いわゆ
の距離のことである．視程が通常より小さくなること る コントラスト補正 ”
“ と呼ばれる画像の濃淡処理であ
を気象学では特に視程障害といい，代表的なものに霧， る [20, 27]．はじめに従来の方法についてまとめた後，
靄，霞，煙霧などがある．本研究では，視程障害の発生 本研究における方法について説明する．本研究におけ
している画像を明瞭化するための画像処理について述 る方法は，モデルベースの方法 [15, 16, 17, 25] として
べる．これは，大気中の光の輸送に関する物理モデル 位置付けられる．その基本となる物理モデルである放
に基づき，あるコスト関数を最適化することによって， 射輸送方程式について説明し，放射輸送方程式に基く
視程障害画像をその画像のみから補正し，その視認性 コントラスト補正処理をあるコスト関数の最適化問題
を向上するものである． として定式化する．コスト関数としてカルバック‐ライ
ブラー情報量（Kullback-Leibler divergence）[24] によ
るものを提案する．コスト関数の最適化には，事前の
1 はじめに
知識を反映した正則化 [7, 10, 22] を導入した反復によ
るニュートン法を用いる．コスト関数の勾配およびヘ
視程とは，肉眼で物体がはっきりと確認できる最大
シアンを示すとともに，その手順について説明し，実
の距離のことであり，大気の見通しのことである．視程
際の視程障害画像を処理した結果を示す．
が通常より小さくなることを気象学では特に視程障害
といい，代表的なものに霧、靄、霞、煙霧などがある．
2 コントラスト補正処理
雨や雪でも視程障害がよく起こるが，人工的に排出さ
れる大気汚染物質の影響も大きい．本研究では，視程
画像の濃淡処理としてのコントラスト補正は画像処
障害の発生した画像を明瞭化するための画像処理につ
理の代表的なものであり，これまでに多くの方法が提
いて述べる．これは，大気中を通過する物体の光の強
案されてきた [20, 27]．主な方法は，画像中の画素値の
度に関する物理モデルに基くコスト関数の最適化問題
最大最小値を検出して，画素値のダイナミックレンジを

2. 広げるリニア変換であり，指数関数等の非線形な関数
によりレベル操作を行うガンマ補正であり，ヒストグ
ラムを一様分布化するヒストグラム等化であろう．こ
れらは簡便な方法としてよく用いられているが，いず
れも画面中一様な補正である．
thgilriA
一方，画像は反射成分と照明成分の積により表され tceriD
aremaC
るとして，これを対数変換により加法性とした後，フィ
gnirettacS noissimsnart
tcejbO
ルタ処理によって分離し，分離した照明成分あるいは ecnatsiD
反射成分に対してリニア変換，ガンマ補正，ヒストグ
ラム等化等々，何らかのダイナミックレンジの変換を施 図2 大気中の光の輸送モデル．
すものもある [2, 8, 12, 18, 19]．これらは，対数変換に
よる 準同型処理 ”
“ [18, 19] に始まるものであるが，対
(x, y) は画像中の画素位置を表し，減衰率は次のような
数変換の有無やフィルタ処理の順序，フィルタやダイ
指数関数で表される．
ナミックレンジ変換方法の違いにより様々である．
これらの方法は，いずれも画素値のダイナミックレ d(x, y) = exp − βz(x, y) (2)
ンジを広げる，という発想による素朴な方法であるが，
β は減衰定数，z(x, y) はその画素位置における奥行き
近年，より現実世界に即した物理的なモデルに基く方
距離である．したがって，散乱による減衰率 d は奥行き
法が提案されている [15, 16, 17, 25]．それは大気中の
距離に依存し，一般には画素毎に異なるが，大気光 A
光の輸送現象をモデル化した放射輸送方程式に基くも
は画像中一様定数としてよい [15, 16, 17, 25]．式（1）
のである．物理モデルを用いることによって，個々の
は放射輸送方程式と呼ばれる．
パラメータの持つ意味が明確になり，その調整範囲も
物体が無限遠方にあるとすると（z = ∞） d = 0 で
，
既定される等，モデルベースの方法の利点は多い．し
あり，観測画素 I は大気光 A のみになる．散乱による
かし，従来の放射輸送方程式に基く方法では，カメラ
影響がなければ（d = 1），観測画素 I は原画素 Io に一
のレンズに偏光フィルタという特別なフィルタを付け
致する．したがって，減衰率 d の範囲は 0 ≤ d ≤ 1 で
て同一シーンを条件を変えて撮影した複数枚の画像を
あり，d と A を推定すれば，放射輸送方程式（1）を解
用いるものだったり [16, 25]，ユーザーによる指定が介
くことによって，減衰のない理想的な原画素のレベル
在する半自動的な処理だったり [17]，付加的な情報を
の画像 Io が得られるが，それは 1 枚の画像のみからで
画像以外から得るものだったりする [15]．本研究では，
は厳密には不可能である．そこで，次のような仮定に
放射輸送方程式という物理モデルを用いて，1 枚の画像
基き近似的な解を求めることを考える．
のみからでも補正を可能とするものである．
• 奥行き距離は画素毎に異なるが，通常近傍領域に
3 放射輸送方程式 おける画素は奥行き距離がほぼ一定であろう．
ただし，物体境界による不連続性は存在する．
霞や霧などの気象現象は屋外画像における遠方の視
認性を著しく低下させる．物体からの反射光は，大気
中の光の減衰と散乱のためにその一部しかカメラへは
4 カルバック-ライブラー情報量による
届かない（図 2）．さらに，物体からの反射光は物体と コスト関数
カメラの間の散乱による大気光（airlight）と呼ばれる
放射輸送方程式（1）を Io について解くことから，コ
環境光と混合される．したがって，シーン中遠方の物
ントラスト補正された画素 I は，次のように計算される．
ˆ
体は，近距離の物体と比較して，一般に輝度が高く，そ
の特徴が失われている．各画素における奥行き距離が ˆ
I = ClipImax
I −A 1−d
(3)
0
既知であれば，次のような物理モデルを用いて視程障 d
害を取り除くことが可能である [15, 16, 17, 25]． 画素値は予め量子化数により [0, 1] 正規化しておく．大
気光 A は，画像中のすべての画素における最大レベル
I(x, y) = Io (x, y)d(x, y) + A 1 − d(x, y) (1)
（Imax ）とする．Clipb ( · ) はレベルに関するクリップ関
a
ここで，I(x, y) は観測された画素のレベルであり， 数であり，次のように定義される．
Io (x, y) は同一シーンから減衰せずに理想的にカメラ

 t, a < t < b
へ到達する散乱によらない原画素のレベルである．A

b
Clipa (t) = a, t ≤ a (4)
は大気光であり，d(x, y) は散乱による減衰率である．

b, t ≥ b


3. 画像中の任意の画素 (x, y) を中心とするブロック領域 B(α, β) は次のベータ関数である [28]．
B における画素値のレベルに関するヒストグラム h か 1
ら核関数を用いて次のように確率密度関数を計算する B(α, β) = tα−1 (1 − t)β−1 dt (11)
[7, 26]．
0
付録 A にベータ分布の例を示す．
N
ˆ
p(I) =
1 ˆ
h(Ij )K
ˆ ˆ
I − Ij
(5) 注目画素を中心とするブロック領域毎の画素値のレ
nW j=1
W ベルに関するヒストグラムから核関数を用いて確率密
度関数を計算し，カルバック-ライブラー情報量による
ここで，n はブロック領域 B 中の画素数であり，N は
次のコスト関数 JKL を最小にする減衰率 d(x, y) をす
ヒストグラムの階級数である．K( · ) は核関数であり，
べての画素において推定する4 ．
例えば次のようなガウス関数を用いる．
γ
1 t2 JKL = CKL (x, y) + λ 1 − d(x, y) (12)
K(t) = √ exp − (6)
2π 2
第 2 項は減衰率 d に関する大きさの拘束による正則化
W は核関数表現におけるバンド幅であり，例えば次の 項である．γ はべき乗定数であり，λ は正則化パラメー
ような 経験則（Rule-of-Thumb） により決定される
“ ” タである．
[26]．
1/5 5 ニュートン法を用いた最適化
4
W ≈ σ (7)
コスト関数の未知パラメータである d に関する勾配
3n
σ はブロック領域中の画素値の標本標準偏差である1 ． （1 次微分）とヘシアン（2 次微分）を求めることができ
ブロック領域の中心画素との差分絶対値があるしき れば，それらの情報を用いてコスト関数の最適化が可
い値以上の画素は有意な物体境界によるものであると 能となる．代表的な方法はニュートン法である [13, 21]．
して，そのような画素はブロック領域のヒストグラム カルバック-ライブラー情報量によるコスト関数 JKL の
生成には用いない．これによって，物体境界による不 勾配およびヘシアンは次のようになる．
連続性が保存された d 値の推定が可能になる．中心画 ∂JKL ∂CKL γ−1
= − λγ 1 − d(x, y) (13)
素との差分絶対値と比較するしきい値は，差分絶対値 ∂d ∂d
のメジアン値によるヒストグラム分布の標準偏差の推 ∂ 2 JKL ∂ 2 CKL γ−2
= + λγ(γ − 1) 1 − d(x, y) (14)
定値を用いる [23]． ∂d2 ∂d2
ニュートン法の手順は次のようになる．
σ = 1.4826 medj∈B |Ic − Ij |
ˆ (8)
1. 画素毎の減衰率 d(x, y) の初期値を与える．
Ic はブロック領域 B の中心画素レベルである．medj は 2. コスト関数の勾配 ∂JKL /∂d とヘシアン
j に関するメジアン値である．このようにして推定した ∂ 2 JKL /∂d2 の d(x, y) における値を計算する5 ．
σ を用いて，その c 倍区間2 に存在する画素のみを処理
ˆ 3. 更新量 ∆d(x, y) を次のように計算する．
に用いることにする．
−1
したがって，カルバック-ライブラー情報量 [24] によ ∆d(x, y) = −
∂ 2 JKL ∂JKL
(15)
るコスト関数を次のように定義する3 ．
∂d2 ∂d
N ˆ 4. d(x, y) の変化分 |∆d(x, y)| < δ となるまで d(x, y)
p(Ii )
CKL = ˆ
p(Ii ) log (9) を次のように更新して次のように置いてステップ
ˆ
q(Ii )
i=1
2 に戻る．
q(I) は理想的な画像の確率密度関数であり，例えば次
ˆ
d(x, y) ← d(x, y) + ∆d(x, y) (16)
のようなベータ分布 [28] を用いる．
ˆ ˆ ここで，δ は収束判定のための微小定数である．
ˆ I α−1 (1 − I)β−1
q(I) = (10)
B(α, β) これをすべての画素において行う．CKL の勾配
1 標準偏差をはじめ，計算はすべてヒストグラムを用いて行うこ ∂CKL /∂d およびヘシアン ∂ 2 CKL /∂d2 の具体的な式は
とができる．I = Ij ± 3W における核関数 K 値をほぼ 0 と見なせ
ˆ ˆ
付録 C に示す．
ば，すべての I 値に対する核関数 K 値は ±3W 区間でのみ計算す
ˆ
ればよいが，W は適当な定数とする（詳細は付録 C 参照） ．
2 c = 2∼3 とする． 4 画像の境界領域における画素は，反射境界拡張して処理を行う．
3 q(I) = 1（一様分布）とすると，いわゆる エントロピー ”
ˆ “ に 5 いずれも計算はすべてヒストグラムを用いて行うことができる
一致する． （詳細は付録 C 参照）．

4. ニュートン法による反復のためには初期値が必要であ
る．ニュートン法のためのヘシアンにはガウス・ニュー
トン近似 [13] を用いる（付録 C 参照）．これは，解に十
分近いときには収束は速いが，解から遠いと正しい解
に収束するとは限らない．そこで，画像ピラミッド [5]
を用いることにより，処理の高速化，収束の効率化/安
定を図る．コスト関数を分解能の低い（画像サイズが
小さい）画像で推定した結果を次の分解能の画像にお
ける初期値として用いる．これを最も分解能の高い画
像（原画像）まで繰り返す．分解能が最も低い画像の
ための初期値は，例えば黄金分割法 [21] によって推定
(a)
したおおよその解を用いる．
そのようにして推定したすべての画素における d 値
に対してバイラテラルフィルタ [29] を適用する．バイ
ラテラルフィルタによって物体境界の不連続性を保存
した平滑化が可能となる．バイラテラルフィルタによ
る平滑化処理も階層毎に繰り返し行うことにする．
カラー画像への対応は，RGB 色空間から輝度色差空
間 Y CB CR に変換して，その輝度成分 Y についてのみ
d 値を推定して，補正処理を行えばよい．RGB 色空間
から輝度色差空間 Y CB CR への変換については付録 B
に示す． (b) (c)
6 実験結果および考察 図3 (a) 模擬画像とブロック領域．(b) 画面中央
ブロック領域における KL 情報量によるコスト関
適当な画像を用いて，大気光 A と画面一様に同じ減 数の変化（通常状態） (c) 画面左上ブロック領域
．
衰率 d 値を指定し，放射輸送方程式により視程障害の発 における KL 情報量によるコスト関数の変化（退
生している模擬画像を生成した．ここでは，A = 250, 化状態）．
d = 0.7 とした．視程障害の模擬画像中，任意の画素を
指定し，その画素を中心とするブロック領域において
画素の分布が存在しない場合もあり得る（退化状態）．
コスト関数 JKL を d 値および大きさの拘束による正則
そのような場合には，コスト関数が極小値を持たない
化パラメータ λ 値を変化させて計算する．図 3(a) に視
（図 3(a) 模擬画像左上のブロック領域とその d 値，λ 値
程障害の模擬画像を示す．模擬画像の左下は原画像を
に対するコスト関数の変化は図 3(c)）．そこで，d 値の
縮小したものであり，処理したブロック領域は枠で囲っ
大きさの拘束による正則化項を正則化パラメータ λ 値
て表示している．ブロックサイズは 21 × 21 画素とし
により調整する．これは大きい d 値が推定される様，拘
た．図 3(b)(c) は，d 値，λ 値に対するコスト関数 JKL
束条件を課すものであり，λ 値により，極小値を取る d
の変化のプロットである．
値が次第に大きくなっていくのがわかる．退化状態で
模擬画像の中央ブロック領域の場合，d 値を 1.0 から
も，大きさの拘束による正則化項によって，安定にコ
次第に減少させていくと，コスト関数 JKL は減少して
スト関数の極小値が得られることがわかる．正則化パ
いく．ある d 値で極小値を取り，その後，JKL は増加
ラメータ λ は画像全体で同じ値とする．
に転じる（図 3(b)）．コスト関数 JKL の極小値が補正
推定した d 値は真の値ではないが，視認性の向上は
のために最適な d 値として推定される．ここで，大きさ
期待できる．本研究の目的は，真の奥行き距離による減
の拘束による正則化パラメータ λ 値が 0.0 の場合，d =
衰率を推定することではなく，あくまでも視程障害の
0.8380 と推定された．べき乗定数 γ = 3 とした．ベー
発生している画像の視認性を向上することにある．ブ
タ分布は α = β = 8 とした．
ロック領域中特定のレベルに画素値の分布が集中して
ブロック領域のサイズは，その領域中には十分な画
いるような退化状態でも正則化によって，安定にコス
素の分布があることが期待できるサイズでなければな
ト関数の最小化を行うものである．
らない．しかし，それは画像内容にもより，事前には未
図 1，4，5 は実画像における補正処理の結果である．
知である．画像によっては，ブロック領域中に十分な

5. は滑らかさの拘束による正則化を用いたが，通常の正
則化では，物体境界も平滑化してしまう．推定時におい
ても，画素毎にブロック単位で処理しているため，そ
のままでは物体境界領域では正しい推定ができない．
不連続性を考慮したパラメータ推定あるいは正則化
として，M 推定 [4, 11]，全変動ノルムによる正則化 [22]
があるが，本研究では，d 値の推定に際して，ヒストグ
ラム生成時にしきい値処理を行い7 ，さらに平滑化処理
としてバイラテラルフィルタ [29] を適用した8 ．
7 まとめ
本研究では，視程障害画像の視認性を向上させるこ
とを目的として，物理的なモデルとして大気中の光の
輸送モデルである放射輸送方程式を解くことによるモ
デルベースのコントラスト補正処理の新しい方法を提
案した．これは，画像中のブロック領域における画素値
のカルバック‐ライブラー情報量によるコスト関数の最
適化問題として定式化したものであり，視程障害の発
生した画像のみから最適なコントラスト補正処理を行
い，視認性を向上させることが可能となった．コスト
関数の最適化には，事前の知識を反映させた正則化を
導入した反復によるニュートン法を用いた．コスト関
数の具体的な勾配およびヘシアンを示すとともに，そ
の手順を説明した．実際の視程障害画像を処理した結
果を推定した擬似奥行き距離画像とともに示した．今
後の課題としては，様々な視程障害の発生した画像/映
像，霧，靄，霞，雨，雪，地吹雪，砂嵐，光化学スモッ
グ等の大気汚染，煙霧，水中撮影等に適用することが
図4 補正処理結果（２）．上から順に観測画像， 考えられる．
補正画像，擬似奥行き距離画像． 実際には，画素毎に処理を行うブロックサイズや理
想的な画像の分布としてのベータ分布のパラメータ，大
きさの拘束による正則化パラメータ λ，平滑化のため
いずれも奥行き距離が画素毎に異なるような画像例で のバイラテラルフィルタの調整パラメータ等々，いわ
あり，視程が低下している．画素毎に推定した d 値， ゆる 超パラメータ ”
“ が存在する．例えば，正則化パラ
0 < d ≤ 1 を [0, 255] に変換して画像として表示したも メータをデータ自身から最適にベイズ推定することも
のが擬似奥行き距離画像である．推定した d 値の結果 できる [14]．同様に，その他の超パラメータも交互反復
を用いて補正処理を行ったものが補正画像である．物 的に最適推定することが理論的には可能と思われるが，
体境界における不連続性が保存されている．一方，図 6 これは，今後の研究課題とする．
は従来のコントラスト補正方法によって図 5 と同一画 また，理想的な画像の分布としてベータ分布を用い
像を補正した結果である6 ．いずれも画像一様な補正方 た．これは，ベータ分布のパラメータを調整すること
法のため，画素毎の奥行き距離の違いに十分対応でき により，一様分布から正規分布まで，対称な分布から
ていない． 非対称な分布まで表現できるからである9 ．それでは，
画素毎に独立に推定した d 値による補正結果では，画
7 簡易な M 推定と見なすことができるが，M 推定は線過程やバ
像中平坦な領域で量子化ノイズが目立つ場合があるた
イラテラルフィルタにほぼ等価である [4, 8]．
め平滑化処理を行う必要がある．ここで，物体境界に 8 近年，バイラテラルフィルタと全変動ノルム正則化，平均値シフ
ト法 [9] が，いずれもほぼ等価な処理であることが示されている [3]．
よる有意な不連続性は保存しなければならない．オプ Comaniciu らは，画像の追跡処理のために画素値のヒストグラムか
ティカルフローの推定において，Horn & Schunck[10] ら核関数を計算して平均値シフト法を用いたが [6]，本研究では，画
像の濃淡処理にほぼ同様な処理を用いたとも言えるだろう．
9 ベータ分布を対称な分布とした場合，正規分布よりも一様分布
6 ガンマ補正は，リニア変換の結果を二乗する指数変換とする． とした方が，よりコントラスト補正の程度が強まる傾向は見られた．

6. 図5 補正処理結果（３）．上から順に観測画像， 図6 従来の方法による補正処理結果．上から順
補正画像，擬似奥行き距離画像． にリニア変換，ガンマ補正，ヒストグラム等化．
「理想的な画像の分布とは何か？」と言うことになるが， and Pattern Recognition (CVPR), Washington, DC,
それを明確に定義することは難しい問題である10 ． 2004.
この問題は， 理想的な画像の分布 ≈ 画質 ”
“ と見なす [3] D. Barash and D. Comaniciu, A common framework
こともできて，本研究のような 画質改善処理 ”
“ におけ for nonlinear diffusion, adaptive smoothing, bilateral
る評価の方法，特に定量的な評価にも関係する．本研 filtering and mean shift, Image and Video Computing,
究の手法の評価方法としては，従来の方法との主観的
22-1, (2004), 73–81.
[4] M. Black and A. Rangarajan, On the unification of
な評価に留まっている．したがって，定量的な評価の
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方法についても今後の研究課題としたい．
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ICCV Workshop on Color and Photometric Methods 布となり，α = β として，α, β を大きくしていくと正
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[25] Y. Y. Schechner, S. G. Narasimhan and S. K. Na- によるコスト関数の勾配とヘシアン
yar, Polarization-based vision through haze, Applied
Optics, 42-3, (2003), 511–525. カルバック-ライブラー情報量による CKL の減衰率
[26] B. W. Silverman, Density Estimation, London, Chap- d に関する勾配 ∂CKL /∂d は，微分の連鎖則により次の
man and Hall, 1986.

8. ようになる． ここで，厳密には解析的にクリップ関数 Clipb ( · ) の上
a
N ˆ ˆ 限下限値で微分はできないが，クリップ関数の微分を
∂CKL p(Ii ) ∂p(Ii )
ˆ
= log
q(Ii )
+1
∂d
(C.1) 次のように定義する．
∂p(Ii ) i=1
ˆ N ˆ ˆ 1, a ≤ t ≤ b
∂p(Ii ) 1 1 ∂W ˆ Ii − Ij Clipb (t) = (C.9)
0, その他
= − h(Ij )K a
∂d n W 2 ∂d j=1
W
1
N ˆ ˆ
Ii − Ij さらに，CKL の減衰率 d に関するヘシアン（2 次微
+ ˆ
h(Ij )K
W W 分）は次のようになる．
j=1
ˆ ˆ ˆ
−(∂ Ij /∂d)W − (Ii − Ij )(∂W/∂d) ∂ 2 CKL
N ˆ
p(Ii ) ˆ
∂ 2 p(Ii )
× (C.2) = log +1
W2 ˆ
∂p(Ii )2 ˆ
q(Ii ) ∂d 2
i=1
1/5 Nˆ 2
∂W 4 1 1 ˆ ∂ Ij h(Ij )
ˆ 1 ˆ
∂p(Ii )
= Ij +
∂d 3n σ n j=1 ∂d ˆ
p(Ii ) ∂d
N N ˆ N 2
1 ˆ ˆ ∂ Ij ˆ ˆ
∂ 2 p(Ii ) 1 ˆ
∂p(Ii )
− Ij h(Ij ) h(Ij ) (C.3) ≈ + (C.10)
n2 j=1 j=1
∂d ∂d 2 ˆ
p(Ii ) ∂d
i=1
ここで，n はブロック領域中の画素数，N はヒストグ ここで，最後の近似は p(I) ≈ q(I) であることによる
ˆ ˆ
ラムの階級数，σ はブロック領域中の画素値による標本 （ガウス・ニュートン近似 [13]） ．
標準偏差であり，離散的なヒストグラム h から次のよ W を定数として，∂p(I
ˆi )/∂d を式（C.7）とすると，
うに計算される．
N 2
ˆ
∂ 2 p(Ii ) 1 ˆ ˆ
Ii − Ij ˆ
∂ Ij
N = ˆ
h(Ij )K
1 ˆ2 ˆ ¯
ˆ ∂d 2 nW 3 W ∂d
σ= Ij h(Ij ) − I 2 , (C.4) j=1
n j=1
1
N ˆ ˆ
Ii − Ij ˆ2
∂ Ij
N − ˆ
h(Ij )K
¯
ˆ 1 ˆ ˆ nW 2 W ∂d2
I = Ij h(Ij ) (C.5) j=1
n j=1 (C.11)
K ( · ) は核関数 K( · ) の微分であり，次のように計算さ
ここで，
れる．
1 t2 t2 t2
t t2 K (t) = − √ exp − + √ exp −
K (t) = − √ exp − (C.6) 2π 2 2π 2
2π 2
(C.12)
ブロック領域中のすべての画素値が同一値に近づく
と，σ → 0 となり，W → 0 になるため，ヒストグラ ˆ2 2
∂ Ij Ij − A(1 − d) Ij − A
ムから核関数を用いて確率密度関数を計算することが = 2
ClipImax
0 −
∂d2 d d2
できない（退化状態） 実際には，厳密に同一値にな
．
Ij − A(1 − d) 2(Ij − A)
らなくとも，数値計算的に不安定になる．そこで，核 + ClipImax
0
d d3
関数におけるバンド幅 W を適当な定数とする11 ．する ˆ
d ∂ Ij
と，式（C.3）の ∂W/∂d = 0 であり，したがって，式 Clipb ( · ) = 0
2
=− a (C.13)
2 ∂d
（C.2）は
したがって，式（C.11）は，
ˆ N ˆ ˆ ˆ
∂p(Ii ) 1 ˆ Ii − Ij ∂ Ij N 2
=− h(Ij )K (C.7) ˆ
∂ 2 p(Ii ) 1 ˆ ˆ
Ii − Ij ˆ
∂ Ij
∂d nW 2 j=1
W ∂d = ˆ
h(Ij )K
∂d2 nW 3 j=1
W ∂d
となる．数値計算の安定化を図るためにも，勾配計算 N
1 ˆ ˆ
Ii − Ij ˆ
d ∂ Ij
の簡略化のためにも W を適当な値に固定するのは現実 − ˆ
h(Ij )K −
nW 2 W 2 ∂d
的と思われる． j=1
∂ Ij /∂d は式（3）から次のようになる． N 2
ˆ 1 ˆ ˆ
Ii − Ij ˆ
∂ Ij
= ˆ
h(Ij )K
ˆ nW 3 j=1
W ∂d
∂ Ij Ij − A(1 − d) Ij − A
= ClipImax
0 − (C.8) ˆ
∂d d d2 d ∂p(Ij )
11 式（8）によって標準偏差を推定したとしても退化状態は避けら
− (C.14)
2 ∂d
れない．