1. FİBONACCI SAYILARI VE ALTIN KURAL
Fibonacci sayıları ve altın oran matematiğin en ilgi çekici konuları arasındadır. Leonardo
Fibonacci 13. yüzyılda yaşamış bir İtalyan matematikçisiydi. Fibonacci (bu soyadının anlamı
"Bonacci'nin oğlu"dur) 1202' de, 1228 yılındaki ikinci baskısı sayesinde günümüze kadar
varolmayı sürdürmüş kitabı Liber Abaci'yi ("Abaküs konusunda bir kitap" olarak Türkçeye
çevirilebilir) yazmıştır. Liber Abaci, Hint-Arap sayılar sistemindeki sayısal simgelerin
(1,2,3,... sayıları) Avrupa'ya girmesinde oldukça önemli bir yer sahibidir. Oldukça büyük
boyutlu bir kitaptır ve o dönemde bilinen matematiğin büyük bir bölümünün kayıtlarını içerir.
Cebirin kullanımı , farklı önem ve zorluk derecesinde bir çok örnek de verilerek, çok özel bir
yer tutmaktadır. Ancak bunların arasından bir tanesi ve yalnız bir tanesi diğerlerinin çok
ötesinde ünlü olmuştur: Günümüze erişen 1228 yılındaki ikinci baskının 123-124.
sayfalarında yer almaktadır ve tavşan üretmek gibi matematikle pek ilgisi olmadığının
düşünüldüğü bir konuyla ilgilidir. Temelde sorulan soru şudur; eğer bir çift tavşan her ay yeni
bir çift tavşan doğurursa ve her yeni tavşan çifti kendi doğumlarından iki ay sonra
yavrulamaya başlarsa, bir çift tavşandan bir yılda kaç çift tavşan üretilebilir? İlk ay yeni
doğmuş bir çift tavşanımız olsun, tabi matematik bu yavruların anasız, babasız nasıl
büyütülecekleri veya bu iki tavşanın da aynı cinsten olup olmaması konusuna pek girmez.
İkinci ayda, bu tavşanlar daha yavrulamadıklarından, hala bir çift tavşanımız olacak. Üçüncü
ayda bu tavşanlarımız yavrulayacağından iki çift tavşanımız olacak. Bu yeni doğmuş olan çift
dördüncü ay doğurmayacak , oysa ana babaları yeniden bir çift yavru yapacak ve toplam üç
çift tavşanımız olacak. Bu mantıkla düşünmeye devam edersek aşağıdaki sayı dizisini elde
ederiz. Dizideki sayılar Ocak (ilk yavru çiftinin ortaya çıktığı ay) ile Aralık arasındaki takvim
aylarının her birinde bizim kahraman tavşan çiftlerimizin sayısını vermektedir:
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144
Bu diziye baktığımız zaman onun basit bir kurala dayanarak oluşturulduğunu
görebiliriz. Bu kuralı sözcüklerle ifade edersek; her sayı (ilk ikisi dışında) kendisinden önce
gelen iki sayının toplamından oluşmuştur. Böylece, örneğin, dizinin sonundaki Aralık ayı
sayısı , Ekim ve Kasım sayıları olan 55 ve 89 sayılarını toplayarak kolayca bulunabilir...
Zannedersem buraya kadar bir sorun yoktur, çünkü ilk bakışta gayet sıradan bir dizi
gibi durmaktadır, bizim dizimiz. Ancak matematikçileri bu kadar heyecanlandıran ve

2. peşinden sürükleyen olay nedir? Eğer siz matematiksever dostlarım için yazdığım bu yazı
amacını yerine getirebilirse, "Fibonacci Sayıları" nın esrarengiz özelliklerinden hiç olmazsa
bir kaçı onların neden bu kadar ilginç olduğunu anlaşılır kılacaktır. Şimdi bu diziyi
genelleyelim. Tavşanların bu şekilde devamlı yeni bebek sahibi olduklarını düşünürsek
dizimizi sonsuza kadar uzatabiliriz. Hatta tavşanların hepsini bir yana bırakarak , n'inci sayıyı
Fn olarak yazarak (Fibonacci adının baş harfi olduğundan F harfini kullanıyoruz) ve Fn 'in
kendinden önce gelen Fn-2 ve Fn-1 sayılarının toplamı olduğunu hatırlayarak sonsuz
bir sayı dizisi tanımlayabiliriz. Öyleyse Fibonacci sayılarının dizisi şu şekilde yazılabilir;
F1 , F2 , F3 , F4 , F5 , F6 , ....., Fn , .....
Öyleyse bize, F1 =1 ve F2 =1 verildiğinde daha sonra gelen bütün sayıları
bulabilmemizi sağlayan basit denklem şöyle olacaktır;
Fn = Fn-1 + Fn-2
Bu formüle bakarak bazı şeyleri söyleyebiliriz. Mesela n=3 ise;
F3 = F2 + F1 = 1 + 1 = 2 olur. Aynı şekilde F4 = 3 , F5 = 5 , F6 = 8 vb..
bulunabilir. Eğer biz bu işleme devam edersek sayılar korkunç derecede büyürler. Mesela
dizinin 25' inci sayısı 75.025 olmuş, 100'üncü sayısı olan F100 =
354.224.848.179.261.915.075 gibi 21 basamaklı dev bir sayı olmuştur. Ancak bu
dizinin terimlerine ilk bakışta görülemeyen bir başka düzen daha vardır. Dizinin sayıları
ilerledikçe bu düzen kendini daha belirgin bir biçimde ortaya koyar. Eğer her Fibonacci sayısı
kendisinden önce gelen komşusuna bölünürse ve bulunan oranlar yazılırsa bu düzen hemen
karşımıza çıkar. Böylece ilk birkaç oranla yola çıkarak, F2/F1=1 , F3/F2=2 ,
F4/F3=3/2 = 1,5 , F5/F4=5/3 = 1,66 olarak bulunur. Bu işlemi aynen devam
ettirirsek sonraki sayfada gösterildiği gibi sayılar elde edilir...
1.000000
2.000000
1.500000
1,666666
1,600000
1,625000
1,615384
1,619047
1,617647
1,618181
1,617977
1,618055
1,618025
1,618037
1,618032
1,618034
Bu sayılar gayet sıradan bir sayı gibi görünen 1.618034... sayısına doğru gidiyorlar.
Gerçekte, bu "Fibonacci Sayıları" nı almayı sonsuza kadar sürdürme sonucunda bulunan
sayılar ( +1)/2 sayısına giderek daha da yaklaşırlar, bu sayının ondalık ifadesi de
bilgisayarlarımızın verdiği tam hassasiyetle 1.618033989 olarak bulunmuştur. Fibonacci

3. sayıları ailesi üç ayrı nedenle, yüzyıllardan bu yana yoğun bir ilgi odağı olmuştur. Birincisi;
dizinin daha küçük üyelerinin doğada, beklenmedik yerlerde tekrar tekrar karşımıza
çıkmasıdır; bitkilerde, böceklerde, çiçeklerde vb. İkinci neden oranların limit değeri olan
1.618033989 sayısının çok önemli bir sayı olmasıdır; genellikle "altın oran" olarak
adlandırılan bu sayı, oyun kartlarının biçiminden Mısır'daki piramitlere kadar bir çok şeyin
matematiksel temelini oluşturmaktadır. Üçüncüsü daha çok, sayıların kendilerinin, sayılar
teorisinde beklenmedik biçimde farklı birçok kullanımı olan ilginç özellikleriyle ilgilidir.
Önce doğada küçük Fibonacci sayılarıyla ne şekilde karşılaşıldığına bir bakalım. İlk olarak bir
bitkinin sapındaki yaprakların, bir ağacın dallarının düzeninde hemen her zaman Fibonacci
sayılarını bulursunuz. Eğer yapraklardan biri başlangıç noktası olarak alınmışsa ve bundan
başlayarak, aşağıya veya yukarıya doğru, başlangıç noktasının tam olarak altında veya
üstünde olan bir yaprak bulunana kadar yapraklar sayılırsa (sap çevresinde birden fazla
dönmeye gerek olabilir) bulunan yaprak sayısı, farklı bitkiler, fidanlar ve ağaçlar için
farklıdır, ancak her zaman bir Fibonacci sayısıdır. Dahası yaprakları sayarken süreç kendini
tamamlamadan önce yapılan devir sayısı da bir Fibonacci sayısıdır. Ayrıca papatyaların da
normal olarak bir Fibonacci sayısı kadar taç yaprağı vardır, tabi seviyor - sevmiyor diye
koparılmamış ise:). Bu sebeple siz siz olun olaya matematiksel yaklaşarak genellikle elinize
aldığınız papatyaya "seviyor" sözcüğüyle başlayın, çünkü bir papatyanın yaprak sayısı
genelde Fibonacci sayılarından 21, 34, 55 ve 89 dur. Bunların 3/4 ü tek sayı olduğundan
büyük ihtimalle sonuç seviyor çıkar, bu da benden size bir matematikçi adayı tavsiyesi...
Doğadan Fibonacci sayılarına diğer bir örnek ise ayçiçekleriyle ilgilidir. Ayçiçeğinin çiçek
kısmında, ufak bölmelerde tohumlar vardır. Bu bölümlerin sınırları merkezden başlayıp
çiçeğin dış kenarına giden sarmal eğriler şeklindedir. Eğer bir ayçiçeğini inceleme şansınız
olursa ve hem saat yönünde hem de saat yönünün zıddındaki sarmalları sayarsanız bir
Fibonacci sayısıyla karşılaşacağınızdan şüpheniz olmasın. Ayçiçeklerinin tohumları büyük ve
bu sebeple incelenmesi rahat olduğundan örnek olarak verdim, yoksa ayçiçeğinin özel bir
durumu yoktur. Birçok çiçeğin tohum başı, bir kıvırcığın yaprakları, bir soğanın katmanları,
ananas ve kozalakların kat kat kabukları gibi bitkisel şekillerin birçoğu Fibonacci sarmalları
içerisindedir. "Fibonacci olmayan herhangi bir kozalak bulunmuş mudur?" diye sorabilirsiniz.
Yanıt "Evet ama çok az sayıda." şeklindedir. Yüzde bir veya iki oranında farklı kozalakları
olan (çoğu zaman bir kaç belirli çam türünden)bazı çam ağaçları vardır. Bunlar bile sık sık
Fibonacci kozalaklarıyla , yakından ilişkilidirler, örneğin, normal olan 5 ve 3 sayıları yerine
belki de bir çifte Fibonacci sarmalının 10 ve 6 sayı çiftine sahiptirler. Eğer Fibonacci
sayılarının nasıl oluştuğunu, yani n'inci sayının , daha küçük iki komşusundan
Fn = Fn-1 + Fn-2 denklemlerini kullanarak hesaplandığını hatırlarsak, ilk iki sayı
seçilmeden bütün dizinin tümüyle saptanmış olmayacağı açıkça görülür. Fibonacci dizisi, F1
= 1 ve F2 = 1 ile başlar, öbürlerini de yukarıdaki denkleme göre daha sonra saptarız.
Ancak bu iki başlangıç sayısının özel bir yanı olmadığından, başlangıç için başka değerler de
seçilebilir ve aynı tanımlayıcı denklemi kullanarak tümüyle farklı bir sayı dizisi elde
edebilirsiniz.
Fransız matematikçisi Edward Lucas'ın adıyla anılan Lucas sıyıları dizisi Fibonacci sayı
dizileriyle akrabadır. Başlangıç sayıları için seçilebilecek ikinci en basit sayıları seçerek F1
= 1 ve F2 = 3 olarak almıştır. F1 = 1 ve F2 = 2 koyarsak Fibonacci dizisini bazı
ufak düzensizliklerle tekrarlayan bir dizi oluştuğuna ve yeni hiç bir şey elde edilmediğine
dikkat etmenizi istiyorum. Oysa Lucas sayıları Fibonacci akrabalarından çok farklı bir dizi
oluştururlar ve şu şekildelerdir;
1,3,4,7,11,18,29,47,76,123,199,322,...

4. Genellikle Lucas'ın baş harfi olan Ln ile gösterilirler. Lucas dizisi Fibonacci dizisinin
birçok akrabasından biridir ancak ilginç olan bu sayıların da bazen doğada görülmesidir.
Mesela Lucas ayçiçekleri olduğu belirlenmiştir. Fibonacci arkadaşlarından daha az rastlanıyor
ancak 123 sağ sarmalı ve 76 sol sarmalı olan örnekler görülmüştür...
Doğada Fibonacci sayılarının ve çok sık olmamakla beraber Lucas sayılarının
görülmesini açıklamaya çalışan bazı görüşler vardır. Bunlar içinde akla en yatkın olan, bir sap
çevresindeki yaprakların Fibonacci sarmallarına göre sıralanmakla yüzeylerinin Güneş'i en
verimli biçimde almalarının sağlandığı yolundadır. Diğer bir görüş ise (daha az doğrulanabilir
olmasına rağmen), polen taşıyan böceklerin "sayısal düzenler" i tercih ettikleri varsayımına
dayanmaktadır. Bu tercih sebebiyle evrim süreci boyunca Fibonacci geometrilerinin baskın
çıkmasına yol açmıştır.
Şimdi ise Fibonacci ve Lucas sayı dizilerinin sonsuza gitmeleri sonucu ortaya çıkan ve
altın oran denilen limit oranı 1.618033989... sayısı üzerinde duralım. Bu sayıya olan ilgi 2000
yıl öncesinden de geriye dayanır. "Atalarımız" altın oranı temel alan sanat (resim heykel gibi)
ve mimarinin göze olağanüstü güzel göründüğünü biliyorlardı. İdeal insanın boyu x birim
olsun. Göbeğinden ayak ucuna olan uzaklık da y birim olsun. Bu durumda göbeğinden
başucuna olan uzaklık da x-y birim olacak. İddiaya göre ideal insandaki ölçüler şu denklemi
sağlamalıdır;
x/y=y/(x-y)
İdeal insanda sağlanması istenen bu oran, yani x/y oranı aynı zamanda altın orandır. Bu
oranı A ile gösterelim. Yukarıdaki denklemin sağ tarafındaki pay ve paydayı x e bölerek, altın
oran yani A için şu denklemi buluruz;
A = (1/A) / [1-(1/A)]
Buradan A ifademizi çekersek A = ( + 1) / 2 yani altın oran bulunur.
Kısa kenarının uzun kenarına olan oranı, altın oran olan bir dikdörtgen çizerseniz çok
ünlü bir sanat eseri ortaya çıkarmış olursunuz, ve buna altın dikdörtgen adı verilir. Eski
Yunan'da buna Kutsal kesit adını vermişlerdi.
Şekildeki ACGH dikdörtgeni bir altın dikdörtgendir. Siz de eğer bir altın dikdörtgenim
olsun diyorsanız, önce bir ABCD karesi çizin. CD kenarının orta noktası F ise, CD kenarını
FG=FB olacak şekilde uzatın. ACGH dikdörtgeni bir altın dikdörtgendir. İlk bakışta o kadar
övgüye değer bir özellik göze çarpmasa da, bir çok yönden ilginç bir yapıdır. Bunun nedeni
günümüze kadar uzanan nesiller boyunca insanların çoğunun onu bütün dikdörtgenler içinde
göze en hoş gelen dikdörtgen olarak görmesidir. Bunun sonucunda da günlük hayatımızda

5. karşılaştığımız binlerce dikdörtgenin büyük bir bölümünün boyutları, altın dikdörtgeninkine
yakındır. Bayraklar, kibrit kutuları, gazeteler, oyun kağıtları, yazı kağıtları ve sayısız başka
binlerce örnek bu sınıftandır. Sanatçıların ve psikologların tam anlayamadıkları bir nedenle
altın dikdörtgenin estetik bir çekiciliği vardır. Yunan mimarisi ve çömlekçiliğinin dışında
heykel, resim sanatları, mobilya ve sanatsal tasarımlar için de doğrudur. Parthenon
tapınağının ön bölümünü eksiksiz olduğu dönemde, bir altın dikdörtgenin içine neredeyse
tıpatıp girebilirdi. Altın orana Mısır piramitlerinin bazılarının boyutlarında da rastlanır.
Leonardo da Vinci de altın dikdörtgenlerden çok etkilenmiş, hatta bu konuda hazırlanan
kitaba yazılarıyla katılmıştır. Ayrıca aralarında Mona Lisa tablosunun da bulunduğu bir çok
eserin tuvalin içine bu oran gözetilerek yerleştirildiği iddia edilir. Altın dikdörtgenin bir diğer
özelliği de içinden bir kare attığınız zaman geriye kalan dikdörtgenin de bir altın dikdörtgen
olmasıdır. Şekildeki ACGH dikdörtgeninden ABCD karesini atarsak geriye kalan BHDG
dikdörtgeni de bir altın dikdörtgendir. Bu işlemi istediğimiz kadar devam ettirebiliriz, ve her
seferinde bir öncekinden daha küçük altın dikdörtgenler elde ederiz. Bunlar içeriye doğru bir
sarmal oluşturarak sonuçta bir noktaya yönelirler. Eğer giderek küçülen bu karelerin veya
dikdörtgenlerin köşelerini veya merkezlerini sırasıyla birleştirirsek altın sarmal olarak bilinen
bir sarmal elde etmiş oluruz. Bu sarmal öyle herhangi bir sarmal değildir. Özel bir sarmaldır
ve daha öncede bahsettiğim ayçiçeğindeki sarmalın aynısıdır. Matematiksel olarak bu sarmala
eşit açılı sarmal ya da logaritmik sarmal adı verilir. Logaritmik sarmal denilmesinin nedeni,
onu en basit biçimde ifade eden cebirsel denklemlerin logaritma ifadelerinin kullanılarak
yazılmasındandır. Eşit açılı sarmal denilmesinin nedeni ise sarmalın merkezinden çizilen bir
düz doğrunun sarmalı hep aynı açıda kesmesidir. Bu şekilde çizilen başka bir doğru da aynı
şeyi yapar...
Bu çok özel sarmalın, bir nedenle, doğada çok sık tercih görmesi gerçekten ilginç bir
durumdur. Deniz kabukları, salyangozlar, doğanın boynuzları, azı dişleri, pençeleri ve daha
önce de bahsettiğim kozalaklar ve çiçekler; bunların hepsinin eşit açılı sarmalın bölümleri
olduğu anlaşılıyor. Uzayın derinliklerindeki büyük galaksilerin bile dışa doğru dönen
yıldızlardan oluşmuş, devasa boyutta eşit açılı sarmal kolları var. Ancak Fibonacci sayılarının
ve altın oranın doğa ve sanattan ayrı olarak tümüyle matematiksel olan ilginç yönleri de var.
Fibonacci dizileri ve altın sarmal tekrarlanan büyüme modellerinin önemli bir parçası;
ancak "nasıl" ve "neden" olduğu tam bir sır. Ve bunun yaratıcısı da 13. yüzyılda yaşamış
delikanlı Fibonacci'dir. Kayıtlara göre komşularının bu delikanlıya karşı takındıkları tavır için
saygılı sözcüğü uygun düşmüyor; ona, biraz küçümseyerek, "Bigollone" yani "mankafa"
derlermiş.