Factorización de Polinomios

1. 1

2. 2
Objetivos:
FFaaccttoorriizzaarr ppoolliinnoommiiooss mmeeddiiaannttee llaass
ttééccnniiccaass ddee ffaaccttoorriizzaacciióónn..
FFaaccttoorr CCoommúúnn
DDiiffeerreenncciiaa ddee CCuuaaddrraaddooss
DDiiffeerreenncciiaa oo AAddiicciióónn ddee CCuubbooss
TTaanntteeoo
AAggrruuppaacciióónn

3. Aclaración: La factorización es el
proceso que se utiliza para expresar
un polinomio como una multiplicación.
3
Ejemplo:
x2 -9 = ( x + 3)( x -3)
x3 +8 = ( x + 2)(x2 - 2x + 4)
Factores del polinomio

4. Factores Comunes
Un factor se dice que es factor común si es
un factor de todos los términos de un
polinómio. Esta técnica consiste en
encontrar los factores comunes entre todos
los términos del polinomio.
4
Factorice cada polinomio :
4x3 y2 -10x2 y +18xy3 =
= 2xy ( 2x2 y - 5x + 9y2)
Ejemplos
:
1.

5. 5
4x ( 1 - 9y)
2x ( x2 - 3 )
4x - 36xy =
2x3 - 6x =
3x( x + 2) - 4( x + 2) =
( x + 2) (3x - 4)
2.
3.
4.

6. EEjjeemmpplloo::
SSiimmpplliiffiiqquuee mmeeddiiaannttee ffaaccttoorriizzaacciióónn::
7( 3x - 5) 4 ( x + 3) 2 + 5( 3x - 5)5 ( x + 3) =
( ) ( ) 4 = 3x - 5 x + 3 éë7( x + 3) + 5( 3x -5) ùû
( ) ( ) 4 = 3x - 5 x + 3 [ 7x + 21+15x - 25]
( ) ( ) 4 = 3x - 5 x + 3 ( 22x -4)
6

7. EEjjeemmpplloo::
SSiimmpplliiffiiqquuee mmeeddiiaannttee ffaaccttoorriizzaacciióónn::
( ) ( ) ( ) ( ) 1 5 4 1
5x +1 3 4x + 3 4 - 5x +1 3 4x + 3 4 =
( ) ( ) 1 1
é 4x + 3 4 - 5x +1 3 ù êë úû
= 5x +1 3 4x + 3 4 ( ) ( ) 4 3
= 5x +1 3 4x + 3 4 éë( 4x + 3) - ( 5x +1) ùû
( ) ( ) 1 1
7
( ) ( ) 1 1
= 5x +1 3 4x + 3 4 [ 4x + 3-5x -1]

8. = 5x + 1 3 4x + 3 4 [ 4x + 3- 5x - 1]
( ) ( ) 1 1
8
( ) ( ) 1 1
= 5x + 1 3 4x + 3 4 ( - x + 2)
( ) ( ) 1 1
= - 5x + 1 3 4x + 3 4 ( x - 2)

9. Una diferencia de cuadrados es un binomio de
la forma a 2 – b 2.
La factorización de una diferencia de
cuadrados es a 2 – b 2 =(a + b)(a –b).
Esta técnica se aplica a polinomios que
cumplan con los siguientes requisitos:
Que el polinomio sea un binomio.
La operación es resta.
Los términos se pueden escribir como
cuadrados.
9
DDiiffeerreenncciiaass ddee ccuuaaddrraaddooss

10. ( x + 6 ) (x - 6 )
( 4 y + 3 ) (4 y - 3 )
(5 x + ) (5 x - ) 3
3. 25 2 1 1
10
EEjjeemmppllooss::
FFaaccttoorriiccee ccoommpplleettaammeennttee::
1. x2 - 36 =
2. 16y2 - 9 =
1
3
x - =
9

11. ( y )( )
5
+ 8 7 - 8
(4 + ( z + 5 ))(4 - ( z + 5 ))
11
7 y
5
= (4 + z + 5)(4 - z - 5 )
= ( z + 9 )( - z - 1)
= -( z + 9 ) ( z + 1 )
4. 49 2 64
25
y - =
5. 16 -(z +5)2 =

12. La suma y la diferencia de cubos
Una diferencia ddee ccuubbooss eess uunn bbiinnoommiioo ddee llaa
ffoorrmmaa aa33 –– bb33 ..
LLaa ffaaccttoorriizzaacciióónn ddee uunnaa ddiiffeerreenncciiaa ddee ccuubbooss eess;;
aa33 –– bb33 ==((aa –– bb))((aa22 ++aabb ++ bb22))
UUnnaa ssuummaa ddee ccuubbooss eess uunn bbiinnoommiioo ddee llaa ffoorrmmaa
aa33 ++ bb33 ..
LLaa ffaaccttoorriizzaacciióónn ddee uunnaa ssuummaa ddee ccuubbooss eess;;
aa33 ++ bb33 ==((aa ++ bb))((aa22 -- aabb ++ bb22))
PPaarraa aapplliiccaarr eessttaa ttééccnniiccaa eell ppoolliinnoommiioo ddeebbee:
SSeerr uunn bbiinnoommiioo ccoonn ttéérrmmiinnooss ccúúbbiiccooss
LLaa ooppeerraacciióónn ppuueeddee sseerr ssuummaa oo rreessttaa
12

13. 13
Ejemplos:
FFaaccttoorriiccee ccoommpplleettaammeennttee
1. x3 + 8 = ( x + 2 ) ( x 2 - 2 x + 4 )
2. y3 - 27 = ( y - 3 ) ( ) y2 + 3y + 9

14. 3. 64x3 + y3 = (4 x + y )(1 6 x 2- 4 x y + y 2)
4. 4x7 - 4x =4x( x 6 - 1)
14
= 4x
( x3 + 1 ) ( x3-1
) = 4x
( x + 1 )( x2- x + 1 )( x-1 )( x2+ x +1
)

15. El método de Tanteo para trinomios
cuadráticos
Para poder aplicar eessttaa ttééccnniiccaa eell ppoolliinnoommiioo ddeebbee;;
11.. SSeerr uunn ttrriinnoommiioo ddee ffoorrmmaa ccuuaaddrrááttiiccaa yy eessttaarr eenn
ffoorrmmaa ddeesscceennddeennttee oo aasscceennddeennttee ddee aaccuueerrddoo
aa llooss eexxppoonneenntteess..
22.. NNoo sseerr uunn ppoolliinnoommiioo pprriimmoo..
LLaa ttééccnniiccaa ccoonnssiissttee eenn eennccoonnttrraarr ffaaccttoorreess ddeell
pprriimmeerr ttéérrmmiinnoo yy eell úúllttiimmoo ttéérrmmiinnoo qquuee
ccoommbbiinnaaddooss bbaajjoo ssuummaa oo rreessttaa pprroodduuzzccaann eell
ttéérrmmiinnoo ddeell mmeeddiioo..
SSii eell pprriimmeerr yy eell úúllttiimmoo ttéérrmmiinnoo ttiieenneenn ssiiggnnooss
iigguuaalleess llaa ccoommbbiinnaacciióónn ddee llooss ffaaccttoorreess ssee ssuummaa,,
ssii ssoonn ddiiffeerreenntteess ssee rreessttaa..
15

16. 16
Ejemplo:
FFaaccttoorriiccee ccoommpplleettaammeennttee
1. x2 + 3x + 2 =
2. x2 - x -12 =
( x + 2 ) ( x + 1 )
( x - 4 ) ( x + 3 )

17. ( 3 x - 1)(2 x - 1 )
17
3. 6x2 - 5x +1 =
4. 20x4 + 7x2 y2 - 6y4
= (5 x 2 - 2 y 2) (4 x 2 + 3 y 2)

18. Generalmente eessttaa ttééccnniiccaa ssee aapplliiccaa ccuuaannddoo eell
ppoolliinnoommiioo ttiieennee ccuuaattrroo ttéérrmmiinnooss oo mmááss..
SSee uuttiilliizzaa eenn ccoommbbiinnaacciióónn ccoonn llaass oottrraass
ttééccnniiccaass eessppeecciiaallmmeennttee ccoonn llaa ddee ffaaccttoorreess
ccoommuunneess..
18
El método de agrupación

19. Ejemplo:
FFaaccttoorriiccee ccoommpplleettaammeennttee
1. 3x3 + 2x2 -12x - 8 =
=( 3 x 3 + 2 x 2) + (- 1 2 x - 8 )
= x2 ( 3 x + 2 ) - 4 ( 3 x + 2 )
= ( 3 x + 2 )( ) x2 - 4
19

20. = ( 3 x + 2 )( ) x2- 4
= (3 x + 2 )( x + 2 )( x - 2 )
20

21. 2. 12x2 z + 8y2 z -15x2w -10y2w
= (12x2z+8y2z) +(-15x2w -10y2w )
=4 z (3x2+2y2 ) - 5w(3x2+ 2y2)
= (3x2 + 2y2 ) (4z - 5w )
21

22. 3. 6ax - 3ay + 2bx - by
=(6ax - 3ay) +(2bx - by)
=3a(2x - y) +b(2x - y)
=(2x - y)(3a+b)
22