1. Līga Blumfelde, Liepājas 15.vidusskola
Ekvivalentas nevienādības un ekvivalenti pārveidojumi.
Tāpat ka algebriskām izteiksmēm un vienādojumiem, arī nevienādībām tiek apskatīts to
definīcijas apgabals.
Nevienādības A( x) > B( x) (vai < ≥ ≤) definīcijas apgabalu veido visas tās mainīgā x
, ,
vērtības, ar kurām abām izteiksmēm ir matemātiska jēga.
Nevienādības x2 − 2 < x + 7 definīcijas apgabals ir visi reālie skaitļi, savukārt
x 2 + 7 x + 10
nevienādības ≥ +2 x definīcijas apgabals ir skaitļu kopa ( − ;4) ∪( 4;+ ) , jo ar
∞ ∞
x−4
mainīgā vērtību x = 4 izteiksmei nevienādības kreisajā pusē nav matemātiskas jēgas.
 Atceries! Ar nulli dalīt nedrīkst.
Divas nevienādības sauc par ekvivalentām, ja abu nevienādību atrisinājumu kopas ir
vienādas.
 Ievēro! Nevienādības A( x) > B( x) un B( x) < A( x)
x −2
Piemēram, nevienādības x 2 − 4 < 0 un < 0 ir ekvivalentas, jo abu nevienādību
x+2
atrisinājumu kopa ir skaitļu intervāls (− ;2) . Par to var pārliecināties atrisinot abas
2
nevienādības.
Savukārt nevienādības 7 x ≥ 28 un 1,2 x > 4,8 nav ekvivalentas, jo pirmās nevienādības
atrisinājumu kopa ir skaitļu intervāls [ 4;+ ) , bet otrās nevienādības atrisinājumu kopa ir
∞
skaitļu intervāls (4;+ ) .
∞
 Ievēro! Skaitlis 4 ir tikai nevienādības atrisinājums.
Dotajai nevienādībai ekvivalentu nevienādību iegūst veicot ekvivalentus pārveidojumus.
Ja nevienādības A( x ) > B( x) (vai < ≥ ≤) definīcijas apgabals ir kopa D un izteiksme
, ,
C ( x) ir definēta visiem šīs kopas elementiem, tad
• nevienādības A( x) > B( x) un A( x) + C ( x) > B( x) + C ( x) ir ekvivalentas,

2. • ja C ( x) > 0 visiem kopas D elementiem, nevienādības A( x ) > B ( x ) un
A( x ) ⋅ C ( x ) > B ( x ) ⋅ C ( x ) ir ekvivalentas,
• ja C ( x) < 0 visiem kopas D elementiem, nevienādības A( x ) > B ( x ) un
A( x ) ⋅ C ( x ) < B ( x ) ⋅ C ( x ) ir ekvivalentas,
Minētās īpašības ļauj vienkāršot nevienādības, veikt ekvivalentos pārveidojumus.
 Piemēri.
1) Nevienādības 4 y 2 + 2 y < −4 + 3 y labās puses saskaitāmos pārnesot uz nevienādības
kreiso pusi, iegūst dotajai nevienādībai ekvivalentu nevienādību.
4 y 2 + 2 y < −4 + 3 y ⇔ 4 y 2 + 2 y + 4 − 3y < 0
2) Nevienādības 0,2 y 2 < 10 abas puses reizinot ar skaitli 5, iegūst dotajai nevienādībai
ekvivalentu nevienādību.
0,2 ⋅ 5 y 2 < 10 ⋅ 5 ⇔ y 2 < 50
3) Nevienādības 2 z 2 + z > 0 abas puses ar izteiksmi z dalīt nedrīkst, jo, lai gan
nevienādības definīcijas apgabals ir D ( z ) ∈(−∞ +∞) un arī izteiksme z ir tajā definēta,
;
mainīgā z vērtības kopā D ir gan pozitīvas, gan negatīvas, gan 0, un līdz ar to dalīšanas rezultātā
netiks iegūta ekvivalenta nevienādība.