Función Beta
1
𝑡 𝑥−1 (1 − 𝑡) 𝑦−1 𝑑𝑡 ;
𝛽 𝑥, 𝑦 =
𝑥>0
𝑦>0
0
Si hacemos 𝑡 = 𝑠𝑒𝑛2 𝜃
𝑑𝑡 = 2 𝑠𝑒𝑛 𝜃 cos 𝜃 𝑑𝜃
Si reemplazamos limites 𝑡 = 0 → 𝜃 = 0
𝑡=1 → 𝜃=
𝜋
2
Reemplazamos
𝜋
2
𝛽 𝑥, 𝑦 = 2
(𝑠𝑒𝑛2 𝜃) 𝑥−1 1 − 𝑠𝑒𝑛2
𝑦−1
𝑠𝑒𝑛 𝜃 cos 𝜃 𝑑𝜃
0
𝜋
2
𝛽 𝑥, 𝑦 = 2
𝑠𝑒𝑛2𝑥−1 𝜃 ∗ cos2y−1 𝜃 𝑑𝜃
0
𝜋
2
1
𝛽 𝑥, 𝑦 =
2
𝑠𝑒𝑛2𝑥−1 𝜃 ∗ cos2y−1 𝜃 𝑑𝜃
0
Si hacemos
𝑡=
1
1+ 𝑢
𝑑𝑢
1+ 𝑢
𝑑𝑡 =
0
𝛽 𝑥, 𝑦 = −
∞
∞
𝛽 𝑥, 𝑦 =
0
∞
𝛽 𝑥, 𝑦 =
0
2
𝑠𝑖 𝑡 = 0 → 𝑢 = ∞
1
1+ 𝑢
𝑥−1
𝑦 𝑠𝑖
1
1−
1+ 𝑢
𝑡=1→0=0
𝑦−1
1
1+ 𝑢
𝑥−1
1
1+ 𝑢
𝑢 𝑦 −1
𝑑𝑢
∗
∗
𝑥−1
1 + 𝑢 𝑦−1 1 + 𝑢
1+ 𝑢−1
1+ 𝑢
𝑢 𝑦 −1 𝑑𝑢
𝛽 𝑥, 𝑦 =
1 + 𝑢 𝑥−1+𝑦−1+2
𝑢 𝑦−1 𝑑𝑢
𝛽 𝑥, 𝑦 =
1 + 𝑢 𝑥+𝑦
𝑦−1
𝑑𝑢
1+ 𝑢
𝑑𝑢
1+ 𝑢
2
2
2

Teorema
𝛽 𝑥, 𝑦 =
ΓxΓy
;
Γ x+y
𝑥>0
𝑦>0
Ejemplo
𝜋
2
tan 𝜃 𝑑𝜃
0
𝜋/2
0
𝑠𝑒𝑛 𝜃
cos 𝜃
1/2
𝑑𝜃
𝜋/2
𝑠𝑒𝑛 1/2 𝜃 𝑐𝑜𝑠 −1/2 𝜃 𝑑𝜃
0
Comparando
1
𝛽 𝑥, 𝑦 =
2
2𝑥 − 1 =
1
2
2𝑦 − 1 = −
𝜋
2
𝑠𝑒𝑛2𝑥−1 𝜃 ∗ cos2y−1 𝜃 𝑑𝜃
0
→ 2𝑥 =
1
2
1
3
+ 1 → 2𝑥 =
2
2
→ 2𝑦 = −
→
1
1
+ 1 → 2𝑦 =
2
2
𝒙=
𝟑
𝟒
→
Si aplicamos el teorema
=
1
∗
2
1
= ∗
2
Γ 3 ∗Γ 1
4
4
Γ 3+1
4 4
Γ 3 ∗Γ 1
4
4
4
; 𝑐𝑜𝑚𝑜 Γ
=Γ 1 =1
4
4
Γ
4
𝒚=
𝟏
𝟒

1
3
1
= ∗ Γ
∗ Γ
2
4
4
=
1
1
1
∗ Γ
∗ Γ 1−
2
4
4
Aplicamos teorema de gamma
=
1
π
∗
π
2
sen
4
=
1
2
=
𝜋
2
2
𝜋
2
∞ 𝑥 𝑝 −1
0 1+𝑥
Resolver
𝑑𝑥
Por definición
𝛽 𝑥, 𝑦 =
𝑢 𝑦 −1
𝑑𝑢
1+𝑢
𝑥 +𝑦
Comparando
y-1=p-1
x+y=1
y=p
x=1–p
Reemplazamos
∞
0
𝑥 𝑝−1
𝑑𝑥 = 𝛽 1 − 𝑝, 𝑝
1+ 𝑥
= 𝛽 𝑝, 1 − 𝑝

=
Γ p Γ 1−p
Γ p+1−p
= Γ p Γ 1−p
Aplicamos teorema de gamma
=
𝜋
𝑠𝑒𝑛 𝑝𝜋
Resolver
∞
−∞
𝑒 2𝑥
𝑒 3𝑥 + 1
2
𝑑𝑥
𝑢 = 𝑒 3𝑥 → ln 𝑢 = ln 𝑒 3𝑥 → ln 𝑢 = 3𝑥
𝑥=
1
ln 𝑢 →
3
1 𝑑𝑢
3 𝑑𝑥
𝑑𝑥 =
Evaluamos los límites
Cuando 𝑥 = ∞ →
∞
0
1
=
3
𝑢=∞
1
2∗ ln 𝑢
𝑒 3
𝑢+1
1 𝑑𝑢
3 𝑢
2
𝑒 3 ln 𝑢
∞
0
∗
2
𝑦 𝑥 = −∞ →
𝑢 𝑢+1
2
𝑑𝑢
Por propiedades de euler y logaritmos
1
=
3
1
=
3
∞
0
∞
0
2
𝑢3
∗ 𝑢−1
𝑑𝑢
𝑢+1 2
−1
𝑢3
𝑢+1
2
𝑑𝑢
𝑢=0

Si comparamos con
𝑦−1= −
1
3
𝛽 𝑥, 𝑦 =
→
Reemplazamos
1
4 2
𝛽
,
3
3 3
4
2
1 Γ 3 Γ 3
= ∗
4 2
3
Γ 3+3
1
1
2
Γ 3 Γ 3
1
= ∗ 3
6
3
Γ 3
1
2
1 Γ 3 Γ 3
= ∗
9
Γ(2)
Γ 2 = 1!
1
1
2
∗Γ
Γ
9
3
3
=
1
1
1
∗Γ
Γ 1−
9
3
3
Aplicamos teorema de gamma
=
=
=
1
π
∗
9 sen π
3
1 π
∗
9
3
2
2 π
∗
9
3
2
3
𝑑𝑢
1+𝑢 𝑥 +𝑦
𝑦= −
𝑥+ 𝑦 =2 → 𝑥 =2−
=
𝑢 𝑦 −1
1
𝟐
+1→ 𝒚=
3
𝟑
→ 𝒙=
𝟒
𝟑

Resolver
3
𝑑𝑥
𝑥−1
1
3
3− 𝑥
1
−
2
𝑥−1
3− 𝑥
1
−
2
𝑑𝑥
1
Sea x – 1 = 2y  x = 2y+1  dx = 2dy
Cuando x = 1 y = 0
1
=
1
−
2
2𝑦
cuando x=3 y=1
1
−
2
3 − 2𝑦 + 1
2𝑑𝑦
0
1
=2
1
−
2
2
1
(𝑦)−2
3 − 2𝑦 + 1
1
−
2
𝑑𝑦
0
=
=
=
=
1
2
2
1
1
1
𝑦 −2 2 − 2𝑦
1
−
𝑦 2
1
1
−
2
2 1− 𝑦
1
1
𝑦 −2 2−2
𝑑𝑦
1
−
2
𝑑𝑦
1− 𝑦
1
−
2
𝑑𝑦
0
1
2
=
𝑑𝑦
0
2
2
3 − 2𝑦 − 1
0
2
2
1
−
2
0
2
2
1
−
𝑦 2
𝑦 − 1/2 (1 − 𝑦)− 1/2 𝑑𝑦
2 2
0
x=½
Sea x - 1 = - ½
y – 1 = - ½  y= ½
Luego
𝛽
=
= 𝜋
1 1
,
2 2
𝜋∗
𝜋
Rta
1
=
1
Γ 2 Γ 2
1 1
Γ 2 +2
1
1
Γ 2 Γ 2

Γ(1)

Γ
1
2
Γ
1
2

Ejercicio especial
Resolver
1
𝑥
𝑚 −1
1 − 𝑥 𝑛−1
𝑑𝑥
𝑥 + 𝑟 𝑚 +𝑛
0
𝑟+1 𝑥
𝑦=
Sugerencia
𝑟+𝑥
𝑦 𝑟+ 𝑥 = 𝑟+1 𝑥
Derivada de un cociente
𝑦𝑟 + 𝑦𝑥 = 𝑟 + 1 𝑥
𝑟(𝑟 + 1 − 𝑦) − 𝑦𝑟(−1)
𝑦𝑟 = 𝑟 + 1 𝑥 − 𝑦𝑥
𝑟 𝑟 + 1 − 𝑦 + 𝑦𝑟
𝑦𝑟 = 𝑟 + 1 − 𝑦 𝑥
𝑟 2 + 𝑟 − 𝑦𝑟 + 𝑦𝑟
𝑦𝑟
𝑟+1− 𝑦
𝑟2 + 𝑟
𝑥=
𝑑𝑥 =
𝑟(𝑟 + 1)
𝑟 𝑟 + 1 𝑑𝑦
𝑟+1− 𝑦 2
𝑠𝑖 𝑥 = 0 → 𝑦 = 0
Reemplazamos
1
𝑦𝑟
𝑟+1− 𝑦
0
1
0
1
0
1−
𝑦𝑟
𝑟+1− 𝑦
𝑦𝑟
𝑟+1− 𝑦+ 𝑟
0
1
𝑚 −1
𝑠𝑖 𝑥 = 1
𝑛−1
𝑟 𝑟+1
𝑟+1− 𝑦
𝑚 +𝑛
𝑦𝑟 𝑚 −1
𝑟 + 1 − 𝑦 − 𝑦𝑟
𝑟+1− 𝑦
𝑟 + 1 − 𝑦 𝑚 −1
𝑚 +𝑛
𝑦𝑟 + 𝑟 𝑟 + 1 − 𝑦
𝑟+1− 𝑦
1=
𝑑𝑦
2
𝑟 + 1 − 𝑦 = 𝑦𝑟
𝑟 + 1 = 𝑦𝑟 + 𝑦
𝑛−1
𝑟 𝑟+1
𝑟+1− 𝑦
2
𝑑𝑦
𝑦𝑟 𝑚 −1
𝑟 + 1 − 𝑦 − 𝑦𝑟 𝑛−1
𝑚 −1
𝑟(𝑟 + 1)
𝑟+1− 𝑦
𝑟 + 1 − 𝑦 𝑛−1
𝑑𝑦
2 + 𝑟 − 𝑦𝑟 𝑚 +𝑛
𝑦𝑟 + 𝑟
(𝑟 + 1 − 𝑦)2
𝑟 + 1 − 𝑦 𝑚 +𝑛
𝑦𝑟
𝑚 −1
𝑟 + 1 − 𝑦 − 𝑦𝑟 𝑛−1 𝑟 2 + 𝑟
𝑟 + 1 − 𝑦 𝑚 −1+𝑛−1+2
𝑟 2 + 𝑟 𝑚 +𝑛
𝑟 + 1 − 𝑦 𝑚 +𝑛
𝑦𝑟
𝑟+1− 𝑦
𝑑𝑦
𝑟+1= 𝑦 𝑟+1
𝑟+1
= 𝑦
𝑟+1
1= 𝑦

𝑦𝑟
1
𝑚 −1
𝑟 + 1 − 𝑦 − 𝑦𝑟 𝑛−1
𝑟 + 1 − 𝑦 𝑚 +𝑛
𝑟 2 + 𝑟 𝑚 +𝑛
𝑟 + 1 − 𝑦 𝑚 +𝑛
0
1
𝑦𝑟
𝑚 −1
𝑦𝑟
𝑚 −1
𝑦𝑟
𝑚 −1
𝑟 + 1 − 𝑦 − 𝑦𝑟
𝑟 2 + 𝑟 𝑚 +𝑛
0
1
𝑟 + 1 − 𝑦 − 𝑦𝑟
2 + 𝑟 𝑚 +𝑛−1
𝑟
0
1
𝑦
𝑚 −1
𝑦
𝑟
𝑚 −1
𝑟
𝑚−1
𝑟
𝑚 +𝑛−1
1
𝑦
∗
𝑟
𝑚 −1
𝑟
0
𝑛
=
𝑟
𝑚 +𝑛
𝑑𝑦
𝑚 +𝑛
𝑑𝑦
𝑛−1
𝑑𝑦
𝑟 + 1 − 𝑦 − 𝑦𝑟
𝑟 + 1 𝑚 +𝑛−1
−𝑚 +1
𝑟+1− 𝑦
𝑟2 + 𝑟
𝑟 + 1 − 𝑦 − 𝑦𝑟
𝑟 𝑟 + 1 𝑚 +𝑛−1
𝑚 +𝑛−1
𝑟
0
𝑛−1
𝑚−1
0
1
𝑑𝑦
𝑟 + 1 − 𝑦 − 𝑦𝑟 𝑛−1 𝑟 2 + 𝑟
𝑟 + 1 − 𝑦 𝑚 +𝑛 𝑟 2 + 𝑟
0
1
𝑟2 + 𝑟
𝑛−1
𝑑𝑦
𝑛−1
𝑑𝑦
𝑚 +𝑛−1−𝑚 +1
𝑟 + 1 − 𝑦 − 𝑦𝑟
𝑟 + 1 𝑚 +𝑛−1
=
𝑛
𝑟
𝑛−1
𝑑𝑦
Como m, n, r son constantes son sacadas de la integral
𝑟
𝑛
1
𝑟+1
1
𝑦
𝑚 +𝑛−1
𝑚 −1
𝑟 + 1 − 𝑦 − 𝑦𝑟
𝑛−1
𝑑𝑦
0
𝑟 + 1 − 𝑦 − 𝑦𝑟 = 𝑟 + 1 − 𝑦(1 + 𝑟)
= 𝑟 + 1 (1 − 𝑦)
Nos queda entonces
𝑟
𝑟
𝑟
𝑛
𝑛
𝑛
1
𝑟+1
1
𝑦
𝑚 −1
𝑟+1
𝑛−1
1
1− 𝑦
𝑛−1
0
1
𝑚
𝑦
0
(1 − 𝑦) 𝑛−1 𝑑𝑦
0
𝑟 + 1 𝑛−1
𝑟 + 1 𝑚 +𝑛−1
1
𝑟+1
𝑚 −1
𝑦
𝑚 +𝑛−1
𝑚 −1
(1 − 𝑦) 𝑛−1 𝑑𝑦
𝑑𝑦

Si comparamos con
1
𝑡 𝑥−1 1 − 𝑡
𝛽 𝑥, 𝑦 =
0
𝑥−1= 𝑚−1 → 𝑥 = 𝑚
𝑦−1= 𝑛−1 → 𝑦 = 𝑛
Reemplazamos los nuevos valores
=
1
𝑟
𝑛
𝑟+1 𝑚
𝛽(𝑚, 𝑛)
… Rta
𝑦 −1
𝑑𝑡 ;
𝑥>0
𝑦>0