General Relativity, Principle of Least or Stationary Action, Einstein Equation, Lagrangian

1. Θεόκλητος Μπαμπούρης
https://science4allstudents.wordpress.com
Εξισώσεις Einstein και Αρχή τής Στάσιμης Δράσης
Ένας εναλλακτικός τρόπος εξαγωγής των πεδιακών εξισώσεων Einstein είναι μέσω
της Αρχής τής Στάσιμης Δράσης:
δSG
δgab
≡ 0, SG[gab
] =
∫
D
d4
x LG. (1)
Απαιτείται, λοιπόν, η εξεύρεση μιας κατάλληλης Λαγκρανζιανής πυκνότητας LG για
το πεδίο βαρύτητας. Η λαγκρανζιανή διατύπωση της ΓΘΣ είναι ιδιαίτερα χρήσιμη στις
κβαντικές θεωρίες βαρύτητας, κατά την χρήση των ολοκληρωμάτων τροχιών.
Θεωρούμε, επομένως, την εξής δράση (σε πρώτη φάση δεν λαμβάνουμε υπόψη την
παρουσία ύλης)
SG = SEH + SΛ, (2)
όπου
SEH ≡
1
16πG
∫
D
d4
x
√
−gR, η δράση Einstein-Hilbert (3)
SΛ ≡ −
1
8πG
∫
D
d4
x
√
−gΛ, η δράση λόγω ενέργειας του κενού (4)
Ξεκινώντας από την Εξ. (4) έχουμε
δSΛ = −
Λ
8πG
∫
D
d4
x δ(
√
−g). (5)
Είναι
δ(
√
−g) =
1
2
(−g)−1/2
δ(−g) = −
1
2
(−g)−1/2
δg. (6)
Για τον υπολογισμό του δg, θα χρειαστούμε την βοήθεια της γραμμικής άλγεβρας. Γνω-
ρίζουμε ότι
etrB
= det(eB
) ⇔ trB = ln[det(eB
)]. (7)
Αν eB
≡ A, τότε B = ln A. Συνεπώς,
tr(ln A) = ln(detA) ⇒
tr(A−1
δA) =
1
detA
δ(detA) ⇔
δ(detA) = detA · tr(A−1
δA). (8)
Δηλαδή,
δg = g(gab
δgab). (9)
Όμως, η gab
gbc = δa
c δίνει
gab
gab = 1 ⇒ gab
δgab + gabδgab
= 0 ⇔ gab
δgab = −gabδgab
. (10)
Οπότε
δ(
√
−g) =
1
2
(−g)−1/2
ggabδgab
= −
1
2
√
−ggabδgab
. (11)
1

2. Θεόκλητος Μπαμπούρης
https://science4allstudents.wordpress.com
Άρα
δSΛ
δgab
=
1
16πG
√
−gΛgab. (12)
Όσον αφορά τώρα την μεταβολή της Εξ. (3), ας θυμηθούμε τον ορισμό της βαθμωτής
καμπυλότητας, ως το ίχνος τού τανυστή Ricci: R = R a
a , και ας γράψουμε R = Rabgab
.
Επομένως,
δSEH =
1
16πG
∫
D
d4
x
√
−gRabδgab
+
1
16πG
∫
D
d4
x Rδ(
√
−g)+
+
1
16πG
∫
D
d4
x
√
−g(δRab)gab
.
(13)
Ο πρώτος όρος είναι στην μορφή που επιθυμούμε. Στον δεύτερο, θα χρησιμοποιήσουμε
την Εξ. (11). Συνεπώς, απομένει ο τρίτος όρος, που περιέχει το gab
δRab. Αποδεικνύεται
ότι ∗
gab
δRab = ∇a
[∇b
(δgab) − gcd
∇a(δgcd)]. (14)
Λόγω του θεωρήματος τού Gauss ισχύει
∫
D
d4
x
√
−g(∇aAa
) =
∫
D
d4
x ∂a(
√
−gAa
) =
∫
∂D
dΣa
√
−gAa
, (15)
όπου ∂D, το σύνορο της τετραδιάστατης περιοχής ολοκλήρωσης D. Στην πρώτη ισό-
τητα κάναμε χρήση τής ιδότητας
∇aAa
=
1
√
−g
∂a(
√
−gAa
) (16)
Αν λάβουμε την υπερεπιφάνεια, που περικλείει τον τετραδιάστατο όγκο, να εκτείνεται
στο άπειρο, μπορούμε να θεωρήσουμε ότι το ολοκλήρωμα μηδενίζεται †
. Συνεπώς,
δSEH
δgab
=
1
16πG
√
−g
(
Rab −
1
2
Rgab
)
. (17)
Άρα
δSG
δgab
≡ 0 ⇔
δSEH
δgab
+
δSΛ
δgab
≡ 0 ⇔
Rab −
1
2
Rgab + Λgab = 0. (18)
Καταλήξαμε, λοιπόν, στις εξισώσεις Einstein απουσία ύλης. Αν, όμως, συμπεριλάβουμε
στα παραπάνω και την δράση λόγω ύλης SM , και ορίσουμε τον τανυστή ύλης ως
Tab ≡ −
2
√
−g
δSM
δgab
, (19)
τότε, λαμβάνουμε τις πλήρεις πεδιακές εξισώσεις Einstein
Rab − 1
2
Rgab + Λgab = 8πGTab. (20)
∗
Για μια λεπτομερή απόδειξη βλ. τις Αναφ. [1, 2].
†
Εν γένει, κάτι τέτοιο δεν συμβαίνει. Για τον υπολογισμό αυτού του όρου και για το πως πρέπει να
τροποποιηθεί η SEH, βλ. την Αναφ. [3]
2

3. Θεόκλητος Μπαμπούρης
https://science4allstudents.wordpress.com
Aναφορές
1. Carroll, S. M. Spacetime and Geometry: An Introduction to General Relativity (Addison
Wesley, 2004).
2. Landau, L. D. & Lifshitz, E. M. The Classical Theory of Fields: Volume 2 (Course of
Theoretical Physics Series) 4th (Butterworth-Heinemann, 1975).
3. Wald, R. M. General Relativity (University of Chicago Press, 1984).
3