1. Toán Cao
cấp
Thestudy.com
.vn
MA TRẬN
NGHỊCH
ĐẢO
1) Ma trận đơn vị
2) Ma trận
nghịch đảo
3) Công thức xác
định ma trận
nghịch đảo
MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO
Toán Cao cấp
Thestudy.com .vn
Đại học Khoa học Tự nhiên
Đại học Quốc gia Hà Nội
2015
Thestudy.com .vn Toán Cao cấp

2. Toán Cao
cấp
Thestudy.com
.vn
MA TRẬN
NGHỊCH
ĐẢO
1) Ma trận đơn vị
2) Ma trận
nghịch đảo
3) Công thức xác
định ma trận
nghịch đảo
MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO
1) Ma trận đơn vị
2) Ma trận nghịch đảo
3) Công thức xác định ma trận nghịch đảo
1) Ma trận đơn vị: Xét ma trận cấp n
I =







1 0 . . . 0
0 1 . . . 0
...
0 0 . . . 1







trong đó các phần tử chéo bằng 1, các phần tử khác
bằng 0, gọi là ma trận đơn vị cấp n, ký hiệu bởi In
hay đơn giản là I.
Đặc điểm của ma trận đơn vị I là AI = IA = A, với
A ma trận vuông cấp n bất kỳ.
Thestudy.com .vn Toán Cao cấp

3. Toán Cao
cấp
Thestudy.com
.vn
MA TRẬN
NGHỊCH
ĐẢO
1) Ma trận đơn vị
2) Ma trận
nghịch đảo
3) Công thức xác
định ma trận
nghịch đảo
MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO
1) Ma trận đơn vị
2) Ma trận nghịch đảo
3) Công thức xác định ma trận nghịch đảo
2) Ma trận nghịch đảo: Giả sử A là ma trận vuông
cấp n, nếu tồn tại ma trận vuông B cấp n sao cho
AB = BA = I
thì ta nói A là ma trận khả đảo và gọi B là ma trận
nghịch đảo của A.
Khi A có nghịch đảo thì ta nói A không suy biến.
Ta ký kiệu ma trận nghịch đảo của A là A−1
, nghĩa là
AA−1
= A−1
A = I.
Định lí: Ma trận nghịch đảo A−1
của A nếu tồn tại là
duy nhất.
Thestudy.com .vn Toán Cao cấp

4. Toán Cao
cấp
Thestudy.com
.vn
MA TRẬN
NGHỊCH
ĐẢO
1) Ma trận đơn vị
2) Ma trận
nghịch đảo
3) Công thức xác
định ma trận
nghịch đảo
MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO
1) Ma trận đơn vị
2) Ma trận nghịch đảo
3) Công thức xác định ma trận nghịch đảo
Xét ma trận





a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
. . . . . . . . . . . .
an1 an2 . . . ann





Nhắc lại rằng ma trận Mij suy ra từ A bằng cách bỏ
đi hàng i cột j là ma trận con ứng phần tử aij.
Ta gọi
Dij = det(Mij)
là định thức con ứng phần tử aij và
Cij = (−1)i+j
Dij
là phụ đại số của aij.
Thestudy.com .vn Toán Cao cấp

5. Toán Cao
cấp
Thestudy.com
.vn
MA TRẬN
NGHỊCH
ĐẢO
1) Ma trận đơn vị
2) Ma trận
nghịch đảo
3) Công thức xác
định ma trận
nghịch đảo
MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO
1) Ma trận đơn vị
2) Ma trận nghịch đảo
3) Công thức xác định ma trận nghịch đảo
Định lí: Nếu det(A) = 0 thì ma trận A có nghịch đảo
A−1
được tính bằng công thức sau:
A−1
=
1
det(A)
Ct
=
1
det(A)





C11 C21 . . . Cn1
C12 C22 . . . Cn2
. . . . . . . . . . . .
C1n C2n . . . Cnn





Định lí: Nếu A và B là hai ma trận khả đảo cấp n thì
AB cũng khả đảo và
(AB)−1
= B−1
A−1
Thestudy.com .vn Toán Cao cấp

6. Toán Cao
cấp
Thestudy.com
.vn
MA TRẬN
NGHỊCH
ĐẢO
1) Ma trận đơn vị
2) Ma trận
nghịch đảo
3) Công thức xác
định ma trận
nghịch đảo
MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO
1) Ma trận đơn vị
2) Ma trận nghịch đảo
3) Công thức xác định ma trận nghịch đảo
Ví dụ: Tính ma trận nghịch đảo của
A =



1 2 3
2 5 3
1 0 8



Thestudy.com .vn Toán Cao cấp

7. Toán Cao
cấp
Thestudy.com
.vn
MA TRẬN
NGHỊCH
ĐẢO
1) Ma trận đơn vị
2) Ma trận
nghịch đảo
3) Công thức xác
định ma trận
nghịch đảo
MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO
1) Ma trận đơn vị
2) Ma trận nghịch đảo
3) Công thức xác định ma trận nghịch đảo
Ví dụ: Tính ma trận nghịch đảo của
A =



1 2 3
2 5 3
1 0 8



A−1
=



−40 16 9
13 −5 −3
5 −2 −1



Thestudy.com .vn Toán Cao cấp

8. Toán Cao
cấp
Thestudy.com
.vn
MA TRẬN
NGHỊCH
ĐẢO
1) Ma trận đơn vị
2) Ma trận
nghịch đảo
3) Công thức xác
định ma trận
nghịch đảo
MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO
1) Ma trận đơn vị
2) Ma trận nghịch đảo
3) Công thức xác định ma trận nghịch đảo
Chú ý
Nếu ma trận A khả đảo và có nghịch đảo A−1
thì
• A−1
cũng khả đảo và (A−1
)−1
= A.
• Với m nguyên dương thì Am
cũng khả đảo và
(Am
)−1
= (A−1
)m
.
• Với mọi k = 0 ta có kA cũng khả đảo và
(kA)−1
=
1
k
A−1
.
Thestudy.com .vn Toán Cao cấp

9. Toán Cao
cấp
Thestudy.com
.vn
MA TRẬN
NGHỊCH
ĐẢO
1) Ma trận đơn vị
2) Ma trận
nghịch đảo
3) Công thức xác
định ma trận
nghịch đảo
MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO
1) Ma trận đơn vị
2) Ma trận nghịch đảo
3) Công thức xác định ma trận nghịch đảo
Định lí: Nếu A và B là hai ma trận vuông cùng cấp thì
det(AB) = det(A) det(B).
Thestudy.com .vn Toán Cao cấp

10. Toán Cao
cấp
Thestudy.com
.vn
MA TRẬN
NGHỊCH
ĐẢO
1) Ma trận đơn vị
2) Ma trận
nghịch đảo
3) Công thức xác
định ma trận
nghịch đảo
MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO
1) Ma trận đơn vị
2) Ma trận nghịch đảo
3) Công thức xác định ma trận nghịch đảo
Định lí: Nếu A và B là hai ma trận vuông cùng cấp thì
det(AB) = det(A) det(B).
Định lí: Nếu ma trận A khả đảo thì det(A) = 0.
Thestudy.com .vn Toán Cao cấp

11. Toán Cao
cấp
Thestudy.com
.vn
MA TRẬN
NGHỊCH
ĐẢO
1) Ma trận đơn vị
2) Ma trận
nghịch đảo
3) Công thức xác
định ma trận
nghịch đảo
MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO
1) Ma trận đơn vị
2) Ma trận nghịch đảo
3) Công thức xác định ma trận nghịch đảo
Định lí: Nếu A và B là hai ma trận vuông cùng cấp thì
det(AB) = det(A) det(B).
Định lí: Nếu ma trận A khả đảo thì det(A) = 0.
Định lí:
1 Nếu B là ma trận vuông cùng cấp với A sao cho
BA = I thì A khả đảo và B = A−1
.
2 Nếu B là ma trận vuông cùng cấp với A sao cho
AB = I thì A khả đảo và B = A−1
.
Thestudy.com .vn Toán Cao cấp