дисертацIя чепинога

1. МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
ЧЕРКАСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ТЕХНОЛОГІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
на правах рукопису
ЧЕПИНОГА Анатолій Володимирович
УДК 519.87:519.2:621.391(043)
МЕТОДИ ПОЛІНОМІАЛЬНОГО ОЦІНЮВАННЯ ПАРАМЕТРІВ
ПОЛІГАУСОВИХ МОДЕЛЕЙ ПРИ МОМЕНТНО-КУМУЛЯНТНОМУ ОПИСІ
01.05.02 – математичне моделювання та обчислювальні методи
Дисертація на здобуття наукового ступеня
кандидата технічних наук
Науковий керівник:
Заболотній Сергій Васильович,
доктор технічних наук, доцент
Черкаси - 2016

2. 2
ЗМІСТ
ВСТУП
РОЗДІЛ 1. АНАЛІЗ МАТЕМАТИЧНИХ МОДЕЛЕЙ ВИПАДКОВИХ
ПОСЛІДОВНОСТЕЙ ТА МЕТОДІВ ОЦІНКИ ЇХ ПАРАМЕТРІВ
1.1 Аналіз математичних моделей випадкових послідовностей
1.1.1 Апроксимаційні задачі обробки випадкових послідовностей
1.1.2 Моделі на основі типових розподілів
1.1.3 Моделі на основі спеціальних рядів
1.1.4 Моделі на основі універсальних сімейств розподілів
1.1.5 Полігаусові моделі щільності імовірності
1.2 Моментно-кумулянтний опис випадкових величин
1.3 Методи оцінки параметрів полігаусових моделей
1.3.1 Метод моментів
1.3.2 Метод максимальної правдоподібності
1.3.3 Метод максимізації полінома (метод Кунченка)
1.4 Висновки до розділу 1
РОЗДІЛ 2. СИНТЕЗ ПОЛІНОМІАЛЬНИХ МЕТОДІВ ОЦІНЮВАННЯ
ПАРАМЕТРІВ ПОЛІГАУСОВИХ МОДЕЛЕЙ
2.1 Поліноміальне оцінювання параметрів полігаусових моделей
асиметричних випадкових величин
2.2 Поліноміальне оцінювання параметрів полігаусових моделей
ексцесних випадкових величин
2.3 Застосування чисельних методів для пошуку поліноміальних оцінок
параметрів полігаусових моделей
2.4 Висновки до розділу 2
РОЗДІЛ 3. ЕФЕКТИВНІСТЬ ПОЛІНОМІАЛЬНИХ ОЦІНОК ПАРАМЕТРІВ
ПОЛІГАУСОВИХ МОДЕЛЕЙ
3.1 Аналіз ефективності оцінок параметрів полігаусових моделей
асиметричних випадкових величин
3.2 Аналіз ефективності оцінок параметрів полігаусових моделей
4
12
12
12
14
16
20
24
26
30
30
32
34
36
38
38
50
62
70
72
75

3. 3
ексцесних випадкових величин
3.3 Висновки до розділу 3
РОЗДІЛ 4. АПРОКСИМАЦІЯ ЕКСПЕРИМЕНТАЛЬНИХ ДАНИХ
ПОЛІГАУСОВИМИ РОЗПОДІЛАМИ
4.1 Критерії для перевірки адекватності полігаусових моделей
4.2 Оцінка адекватності застосування моделей на основі
непараметричних критеріїв
4.3 Апроксимація емпіричних розподілів поліноміальних статистик
полігаусовими моделями
4.4 Визначення індексів придатності виробничого процесу
4.5 Висновки до розділу 4
РОЗДІЛ 5. ГЕНЕРАЦІЯ ПСЕВДОВИПАДКОВИХ ПОСЛІДОВНОСТЕЙ НА
ОСНОВІ ПОЛІГАУСОВИХ МОДЕЛЕЙ
5.1 Побудова генераторів на основі бігаусових моделей
5.1.1 Побудова бігаусових генераторів асиметричних випадкових
величин
5.1.2 Побудова бігаусових генераторів ексцесних випадкових величин
5.2 Побудова генераторів на основі тригаусових моделей
5.2.1 Побудова тригаусових генераторів асиметричних випадкових
величин
5.2.2 Побудова тригаусових генераторів ексцесних випадкових
величин
5.3 Дослідження областей допустимих значень параметрів полігаусових
моделей
5.3.1 Області допустимих значень параметрів бігаусових моделей
5.3.2 Області допустимих значень параметрів тригаусових моделей
5.4 Висновки до розділу 5
ВИСНОВКИ
СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ
ДОДАТКИ
86
98
99
99
104
114
119
123
124
127
128
130
132
132
133
136
136
138
141
142
144
153

4. 4
ВСТУП
Наукові дослідження є складним, ітераційним процесом, що
представляють поєднання теоретичних, включаючи методи моделювання, і
експериментальних методів.
Не зменшуючи переваг теоретичних методів дослідження, значення
експериментальних методів важко переоцінити. Тільки за допомогою
експерименту можливо отримати достовірну інформацію про досліджуваний
об'єкт в реальному масштабі часу, після опрацювання якої можлива побудова
моделі. Відкривши новий ефект, нове явище експериментальним шляхом, які
неможливо пояснити за допомогою наявних теорій, експериментатор стимулює
розвиток фундаментальної науки. В той же час, отримавши новий теоретичний
науковий результат, дослідник, з метою підтвердження основних положень
нової теорії, потребує його експериментальної перевірки [70, 75].
Емпіричні дослідження є основним джерелом об'єктивної інформації про
характеристики процесів, що протікають в реальних об'єктах, зокрема в
інформаційно-технічних системах (ІТС). І, як відомо, більшість цих процесів, а
зокрема і сигналів, що поширюються в каналах ІТС, мають стохастичний
характер, і з цієї причини їхні інформативні параметри не можуть бути ідеально
точно зміряні [35, 38]. Отже, розробка нових та удосконалення наявних
математичних моделей реальних стохастичних процесів, створення і
дослідження нових методів їх статистичного опрацювання є важливим і
актуальним науково-технічним завданням.
Існують підходи до вирішення такої задачі, що базуються на використанні
моделей випадкових сигналів, заснованих на описі у вигляді функції або
щільності розподілу імовірності [13, 38, 52, 82]. Крім стандартних законів
розподілу, широко використовуються набори сімейств розподілів Пірсона і
Джонсона, статистичні ряди Лагранжа, Грамма-Шарльє [57, 73, 88, 119]. Проте
не завжди такі моделі можливо побудувати для значної кількості видів реальних
випадкових процесів.

5. 5
Іншим поширеним підходом є застосування сумішей типових розподілів,
зокрема гаусових [1, 16, 23, 42, 118]. Наукові дослідження, що стосуються
синтезу, аналізу та моделювання роботи різного роду технічних систем при
використанні полігаусових розподілів проводились Ш. М. Чабдаровим [68, 90,
96], А. Т.Трофімовим [94], Е. А. Ібатулліним [33, 34], Д. М. Тіттерінгтоном [124],
К. Н. Платаніотісом [122], Ц. Ш. Хессе [116], О. І. Красильніковим [47],
А. В. Горошком [20].
За допомогою таких моделей вирішується широке коло практичних задач,
наприклад, зі статистичної класифікації мовних сигналів [93, 115], аналізу
похибок вимірювання [4, 7], статистичного контролю якості технологічних
процесів [35, 41, 42], при автоматизованому радіоконтролі [5] тощо. Крім того,
існують задачі імітаційного моделювання та перевірки алгоритмів статистичної
обробки негаусових випадкових сигналів, вирішення яких потребує генерації
випадкових послідовностей [15, 18, 27, 54, 69], формування штучних завад та
шумоподібних сигналів негаусового характеру [3, 21, 39, 47, 74, 95].
Відомо, що один із ключових аспектів вирішення таких завдань полягає у
необхідності отримання оціночних значень параметрів полігаусових моделей з
реальних статистичних даних.
У переважній більшості робіт для отримання оцінок параметрів
полігаусових моделей найчастіше використовуються параметричні методи, що
базуються на функції правдоподібності (методи максимальної правдоподібності,
ММП) [33, 44, 45, 120] або ж методи на основі вибіркових характеристик
(наприклад, метод моментів, ММ) [1, 111, 115, 119]. При цьому результуючі
обчислювальні алгоритми, які отримуються на основі ММП, характеризуються
суттєвою складністю та малою швидкістю збіжності ітераційних процесів, щоб
застосовувати їх ,наприклад, в системах обробки сигналів реального часу, а
використання ММ, як правило, призводить до низької точності (великої
дисперсії) знайдених оцінок параметрів.
Ефективним напрямом вирішення таких завдань є модифікація
полігаусових моделей та розробка нових методів, які передбачають

6. 6
використання стохастичних поліномів Кунченка [50, 51, 117]. Разом з тим, як
апріорні дані пропонується застосувати моментно-кумулянтний опис
випадкових процесів, який здобув практичне підтвердження з напрямів:
перевірки статистичних гіпотез [29, 53, 121], розпізнавання та оцінювання
параметрів сигналів [18, 54, 65, 116], а також виявлення та нелінійної фільтрації
[27, 62, 66].
Актуальність роботи. Таким чином, актуальність такого науково-
технічного завдання полягає у розробці нових методів статистичного оцінювання
параметрів полігаусових моделей шляхом забезпечення компромісу між
реалізаційно-простим методом моментів та оптимальним з погляду мінімізації
дисперсії оцінок параметрів методом максимальної правдоподібності, практичне
використання якого потребує великого обсягу обчислювальних ресурсів. Цей
компромісний підхід ґрунтується на модифікації полігаусових моделей, заснованій
на використанні перфорованого моментно-кумулянтного опису та застосуванні
апарату стохастичних поліномів Кунченка. Забезпечення його практичної реалізації
додатково вимагає спеціалізації наявних чисельних методів для створення
ефективних програмних засобів, що враховують специфіку завдань.
Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами.
Дисертаційна робота виконана на кафедрі радіотехніки та інформаційно-
телекомунікаційних систем Черкаського державного технологічного
університету в межах держбюджетних тем: «Розробка математичних методів
вимірювання параметрів постійного сигналу при мультиплікативних та
адитивних негауссівських завадах», № держ. реєстрації 0103U003681 та
«Розробка теорії математичних методів та алгоритмів вимірювання параметрів
довільного радіосигналу при адитивних негауссівських завадах», № державної
реєстрації 0106U004485 і є інструментом для моделювання та перевірки
розроблених алгоритмів статистичного опрацювання сигналів при негаусових
завадах.
Мета і завдання дослідження. Метою роботи є розробка на основі
апарату стохастичних поліномів Кунченка методів статистичного оцінювання

7. 7
параметрів полігаусових моделей при перфорованому моментно-кумулянтному
описі, для ефективної реалізації процедур апроксимації розподілів емпіричних
даних та генерації випадкових послідовностей.
Для досягнення поставленої мети необхідно розв’язати такі завдання:
• систематизувати наявні способи опису ймовірнісних моделей та
методи статистичного оцінювання параметрів полігаусових розподілів;
• розробити методи поліноміального оцінювання параметрів
полігаусових моделей при перфорованому моментно-кумулянтному описі із
застосуванням апарату стохастичних поліномів Кунченка;
• дослідити асимптотичні властивості поліноміальних оцінок
параметрів полігаусових моделей та здійснити порівняльний аналіз їх
ефективності з наявними методами за критерієм величини зменшення дисперсії
оцінок;
• розробити новий метод апроксимації розподілів емпіричних даних
полігаусовими моделями при перфорованому моментно-кумулянтному описі та
дослідити їх адекватність;
• розвинути методи генерації випадкових послідовностей із заданими
властивостями моментно-кумулянтного опису, засновані на застосуванні
полігаусових моделей.
Об’єктом досліджень є процеси оцінювання параметрів полігаусових
моделей на основі стохастичних поліномів Кунченка.
Предметом досліджень є полігаусові моделі при перфорованому
моментно-кумулянтному описі та методи оцінювання їх параметрів, призначені
для підвищення ефективності їх застосування для вирішення прикладних
статистичних задач.
Методи досліджень. Теоретичні дослідження спираються на
використання математичного апарату теорії ймовірності та математичної
статистики, теорії сигналів, теорії апроксимаційних методів, імітаційного
(комп’ютерного) моделювання, а також математичних чисельних методів.
Методи статистичного опрацювання, одержані в дисертаційній роботі,

8. 8
ґрунтуються на використанні апарату стохастичних поліномів Кунченка,
ефективність використання якого проявляється за умови відмінності розподілу
статистичних даних від гаусового закону. Верифікація отриманих результатів
проводилася за допомогою статистичного моделювання (методу Монте-Карло).
Наукова новизна. Наукова новизна роботи полягає в такому:
Уперше:
• отримано модифіковані полігаусові ймовірнісні моделі, побудову яких
засновано на перфорації моментно-кумулянтного опису випадкових величин, що
надає нові можливості для зменшення розмірності моделей (кількості параметрів)
при збереженні коректності розрахунків;
• розроблено метод апроксимації емпіричних даних із застосуванням
полігаусових розподілів при перфорованому моментно-кумулянтному описі та
поліноміальному оцінюванні їх параметрів, що підвищує адекватність моделей.
Удосконалено:
• наявні чисельні методи розв’язування систем степеневих рівнянь для
поліноміального оцінювання параметрів полігаусових моделей, що дозволило
зменшити обсяг необхідних обчислювальних ресурсів;
Отримали подальший розвиток:
• апарат степеневих стохастичних поліномів Кунченка для побудови нових
обчислювальних методів нелінійного оцінювання параметрів полігаусових
моделей, побудова яких відрізняються використанням перфорованого моментно-
кумулянтного опису, що дало змогу отримати аналітичні вирази для знаходження
оцінок параметрів та їх дисперсій;
• методи генерації негаусових випадкових послідовностей, що
відрізняються застосуванням полігаусових моделей при перфорованому
моментно-кумулянтному описі, та дозволяють формувати при реалізації
статистичного моделювання тестові вибірки із необхідними значеннями
кумулянтів вищих порядків, що охоплюють практично весь діапазон їх ОДЗ.
Практична цінність отриманих результатів полягає в такому:
 побудовано нові алгоритми поліноміального оцінювання параметрів

9. 9
полігаусових моделей (до 4-х компонент), які дають врахувати моменти або
кумулянти невідомого розподілу до 12 порядку;
 отримано алгоритми на основі чисельних методів для розв’язування
систем рівнянь поліноміального оцінювання параметрів та запропоновано
методику відшукання початкового наближення за оцінюваною вибіркою, що
полегшує процес знаходження оцінок параметрів полігаусових моделей;
 розроблено методику синтезу обчислювальних алгоритмів
статистичного оцінювання параметрів полігаусових моделей, яка може бути
використана для вирішення прикладних задач стохастичної апроксимації та
генерації;
 запропоновано застосування розроблених методів для оцінювання
якості виробничих процесів, що дає змогу на 8-10 % скоригувати вибраковку
партій продукції;
 реалізовано програмний генератор тестових випадкових послідовностей
із заданими властивостями в пакетах інженерних розрахунків Mathematica,
MATLAB, MathCAD, як інструмент для перевірки нових алгоритмів обробки
сигналів.
Впровадження результатів роботи.
За результатами дисертаційної роботи: в НДІ «АКОРД» впроваджено
алгоритми програмної генерації тестових шумових негаусових сигналів для
перевірки методів, які використовуються в задачах неруйнівного контролю
металоконструкцій; в НВК «Фотоприлад» впроваджено розроблені
обчислювальні алгоритми у вигляді складової методу статистичного контролю
управління якістю технологічних процесів виробництва електронно-оптичних
приладів.
Матеріали дисертації також використовуються в навчальному процесі на
кафедрі радіотехніки та інформаційно-телекомунікаційних систем ЧДТУ в
спецкурсах «Основи теорії нелінійної статистичної радіотехніки» та «Методи
цифрового оброблення інформації».
Особистий внесок здобувача. Основні результати, які представлені до

10. 10
захисту, отримані здобувачем самостійно. В роботах [25, 28, 31] авторові
належать результати аналітичного розрахунку моментного та кумулянтного опису
полігаусових моделей. В роботах [26, 29, 30] – розробка методу апроксимації на
основі полігаусових моделей та моментно-кумулянтного опису. В роботі [107]
автору належить розробка методу поліноміального оцінювання. В роботах [32, 61]
запропоновані оптимальні з погляду простоти і швидкодії чисельні методи для
вирішення систем нелінійних степеневих рівнянь, що застосовуються при
побудові симетричних полігаусових моделей. У патентах [84, 85] запропоновано
реалізацію програмно-апаратного способу генерації випадкових послідовностей
на основі бігаусової і тригаусової моделі, а в [87] запропоновано використання
методу поліноміального оцінювання при побудові генераторів випадкових
послідовностей.
Апробація результатів роботи. Основні положення дисертаційної роботи
оприлюднені та обговорені на науково-технічних конференціях: 1-5 Міжнародній
науково-практичній конференції «Обробка сигналів і негауссівських процесів»
пам’яті професора Кунченка Ю.П. (Черкаси, ЧДТУ, 2007, 2009, 2011, 2013, 2015),
11-му Міжнародному молодіжному форумі «Радіоелектроніка і молодь у
ХХІ столітті (Харків, 2007), Всеукраїнській науковій конференції «Актуальні
проблеми аналізу та моделювання складних систем» (Черкаси, 2007), 2-й
Міжнародній науковій конференції «Теорія і методи обробки сигналів»
(Київ, 2008), ІII-му Міжнародному радіоелектронному форумі «Прикладна
радіоелектроніка. Стан і перспективи розвитку (МРФ-2008)» (Харків, 2008),
Всеукраїнській науковій конференції ІТОНТ-2010 (Черкаси, ЧДТУ, 2010),
V Міжнародному науково-технічному симпозіумі «Нові технології в
телекомунікаціях» (ДУІКТ-Карпати 2012), ХI Міжнародній конференції
«Контроль і управління в складних системах» (КУСС-2012), (Вінниця, ВНТУ,
2012).
Публікації. За темою дисертації опубліковано 22 наукові праці, з яких
7 статей у фахових наукових журналах України, (одна з яких в журналі з індексом
цитування Index Copernicus, DOAJ, РІНЦ), 12 публікацій у збірниках матеріалів

11. 11
та тез конференцій. Отримано 3 патенти України на корисну модель.
Структура та обсяг роботи. Дисертаційна робота складається зі вступу,
п’яти розділів, висновків, списку використаних джерел, що містить 124
найменування, та додатків. Робота містить 143 сторінки основного тексту, 13
таблиць та 38 рисунків.

12. 12
РОЗДІЛ 1. АНАЛІЗ МАТЕМАТИЧНИХ МОДЕЛЕЙ ВИПАДКОВИХ
ПОСЛІДОВНОСТЕЙ ТА МЕТОДІВ ОЦІНКИ ЇХ ПАРАМЕТРІВ
1.1 Аналіз математичних моделей випадкових послідовностей
1.1.1 Апроксимаційні задачі обробки випадкових послідовностей
Конкретний зміст обробки одновимірних випадкових послідовностей в
технічних системах залежить від поставлених цілей дослідження. У простому
випадку досить визначити перший момент розподілу, наприклад, середній час
обробки запитів до розподіленої бази даних. У інших випадках потрібно встановити
імовірнісно-часові характеристики розподілу, наприклад, оцінити імовірність
вчасної обробки запитів або імовірність безвідмовної роботи системи протягом
заданого періоду часу. Для знаходження таких значень потрібне знання закону
розподілу як найповнішої характеристики відповідної випадкової величини [38, 78].
У класичній математичній статистиці передбачається, що відомий вид закону
розподілу, а проводиться лише оцінка значень його параметрів за результатами
спостережень. Але зазвичай наперед вид закону розподілу невідомий, а теоретичні
припущення не дозволяють його однозначно встановити. Обробка випадкових
послідовностей також не дозволить точно обчислити дійсний закон розподілу.
Один з можливих способів вирішення цієї проблеми полягає в застосуванні
апроксимаційних методів, суть яких полягає в знаходженні відповідного
аналітичного виразу з невідомими параметрами, що задовольняють заданому
критерію адекватності, який би описував знайдені експериментальні результати.
Апроксимаційний підхід виявляється ефективним і при обробці результатів
імітаційного моделювання (обчислювального експерименту) [4].
Основними перевагами апроксимаційного підходу є:
 наочність і компактність отриманого аналітичного виразу;
 можливість використання аналітичного виразу для подальших аналітичних
досліджень і перетворень;

13. 13
 скорочення об'єму даних, що зберігаються.
Вирішення технічних завдань з апроксимаційної обробки експериментальних
даних зазвичай здійснюються автоматичними вимірювальними системами (рис.1.1),
які включають в себе блоки генерації випадкових величин [73, 74].
Рисунок 1.1 – Блочна структура автоматичної вимірювальної системи

14. 14
Недоліками методу, який покладено в основу цєї системи, варто вважати
наявність методичної погрішності, що виникає при заміні отриманих
експериментальних даних або іншої функції простішим аналітичним виразом [72], а
також використання для статистичного методу моментів, який має суттєву
дисперсію оціночних значень.
В цілому постановка задачі апроксимації закону розподілу емпіричних даних з
використанням аналогічних технічних систем формулюється так.
Нехай є вибірка спостережень )...,,,( 21 nxxx за випадковою величиною X .
Обсяг вибірки n фіксований. Необхідно підібрати закон розподілу (вигляд і
параметри), який би в статистичному сенсі відповідав наявним спостереженням.
Обмеження, що висуваються до параметрів вибірки: вибірка представницька,
її обсяг достатній для оцінки параметрів і перевірки узгодженості вибраного закону
розподілу і експериментальних даних.
Рішення поставленої задачі апроксимації в більшості випадків здійснюється на
основі застосування "типових" розподілів, спеціальних рядів (Еджворта, Грама-
Шарльє, Лагранжа) або сімейств універсальних розподілів [7, 40, 78].
1.1.2 Імовірнісні моделі на основі типових розподілів
В багатьох прикладних задачах з моделювання випадкових величин та
обробки емпіричних даних вважається цілком достатньо використання як
математичної моделі набору типових законів розподілу (нормального,
експоненціального закону, закону Вейбулла тощо). Перевага такого підходу полягає
в їх достатній вивченості та можливості отримання спроможних, незміщених і
відносно високоефективних оцінок параметрів [15, 41, 43].
Щодо вирішення завдань апроксимації та ідентифікації на основі типових
розподілів, то вони, як правило, розв'язуються ітераційно і включають виконання
трьох основних кроків.
На першому етапі проводиться вибір виду закону розподілу, який
здійснюється за допомогою аналізу гістограми розподілу, оцінок коефіцієнтів

15. 15
асиметрії і ексцесу. За ступенем "схожості" гістограми і графіків щільності
розподілу типових законів або за "близькістю" значень оцінок коефіцієнтів і
діапазонів їх теоретичних значень вибираються розподіли – кандидати для
подальшої оцінки параметрів.
Після вибору відповідного виду розподілу проводиться оцінка його
параметрів, використовуючи ММП, ММ або інші. Стосовно вибраного закону
розподілу проводиться перевірка гіпотези про те, що наявна вибірка може належати
цьому законові. Якщо гіпотеза не відкидається, то можна вважати, що завдання
апроксимації вирішене. Якщо гіпотеза відкидається, то можливі такі дії: зміни
значень оцінок параметрів розподілу; вибір іншого виду закону розподілу;
продовження спостережень і поповнення вибірки. Звичайно, такий підхід не
гарантує знаходження "істинного" або навіть підбору відповідного закону розподілу
[2, 55, 81]. Інформаційна технологія ідентифікації із застосуванням типових законів
розподілу та наведених алгоритмів показана в [6].
Рисунок 1.2 – Інформаційна технологія апроксимації та ідентифікації на
основі типових розподілів
У ній використано оціночні значення кумулянтів, обчислені методом
моментів. Вони потім зрівнюються з відповідними еталонними значеннями

16. 16
кумулянтів, а блок визначення закону розподілу видає вже ту щільність імовірності,
яка найбільше відповідає вимогам вибраного критерію.
Крім того, окремим блоком таких систем при проведенні експериментів зі
статистичного моделювання (методу Монте-Карло) зазвичай є програмні генератори
випадкових величин [82, 95].
Проте аналіз приведених технологій показує, що типові закони розподілу не
володіють необхідною різноманітністю форм, тому їх застосування не дає
необхідної спільності представлення випадкових величин, які трапляються при
дослідженні систем обробки сигналів [8, 15].
1.1.3 Імовірнісні моделі на основі спеціальних рядів
Поширеними імовірнісними моделями при вирішенні багатьох практичних
завдань статистичного опрацювання випадкових величин між іншими є спеціальні
статистичні ряди, тому що типові ряди, відомі з математичного аналізу (ряди
Тейлора, Фур'є), не підходять для опису функцій розподілів, оскільки не володіють
необхідними властивостями. Для подібного опису запропоновані спеціальні функції
(ряди), наприклад, засновані на поліномах Чебишева-Ерміта, Лагера, Грама-
Шарл’є [4, 8, 9].
У практичних завданнях часто доводиться мати справу зі щільністю
імовірності )(xP , що за виглядом не дуже відрізняється від нормальної. Характерні
особливості таких функцій полягають в такому:
 вони є одновершинними (тобто мають єдиний максимум);
 по обидва боки від вершини вони мають хвости, що достатньо швидко
наближаються до нуля при зростанні значення аргументу.
1. Ряд Еджворта. Вказану щільність імовірності можна представити у вигляді
такого ряду:





 
 

 


m
H
b
n
xpxP n
n
n
n
0 !
1
)()( ,

17. 17
де )(xp – нормальна щільність імовірності, а )(zHn – одновимірна щільність
Чебишева-Ерміта.
,...2,1,0,)1()(
22
2
1
2
1





ne
z
ezH
z
n
nz
n
n
Оскільки поліноми Чебишева-Ерміта ортогональні з вагою
2
2
1
z
e

, то










n.m0
n,m2!
2!)()(
2
2
1
при
приn
ndzezHzH mn
z
mn


Тому коефіцієнти nb , звані квазімоментами, визначаються формулою








 





 





mx
Hdx
mx
HxPb n
n
n
n
n )( .
Розкладання функції )(xP у ряд за ортогональними поліномами Чебишева-
Ерміта ґрунтується на такій теоремі: хай )(xP — довільна функція з інтегрованим
квадратом:



dxxP
2
)( .
Тоді
  0
!
1
)()(lim
2
0
 




dxH
b
n
xpxP n
n
n
n
N


.
Практично функцію )(xP потрібно знати з деякою кінцевою точністю. Тому
замість )(xP можна узяти кінцеву суму членів ряду, причому число доданків N
залежатиме від необхідної точності і від вибору величин m і 2
 .
Для вирішення практичних завдань апроксимації щільності імовірності та
моделювання випадкових величин, що не дуже відрізняються від нормальних, часто
обмежуються обліком тільки коефіцієнтів асиметрії і ексцесу. Варто зазначити, що
при застосуванні рядів Еджворта може дещо порушуватися властивість позитивної
визначеності для щільності імовірності: крива розподілу при великих значеннях X

18. 18
може набувати негативних значень, неприпустимих для щільності імовірності [16].
2. Ряд Лагера. Якщо щільність імовірності )(xP дорівнює нулю при
негативних значеннях аргументу (наприклад, у разі підсумовування обмеженого
числа позитивних випадкових величин), то відповідний ряд Еджворта сходиться
повільно. У подібних випадках більш відповідною є побудова щільності імовірності
за допомогою ряду Лагера:





0
)(
)()(
n
n
x
n xLxecxP 
,
де )()(
zLn

– узагальнений поліном Лагера.
1),(
!
)()(



 



 nz
n
n
z
n ze
zn
z
ezL .
Поліноми Лагера ортогональні на проміжку ),0(  з вагою 
ze z
:
mnmn
z
n
n
dzzLzLze 
)1(
!
1
)()( )()(
0



,
де )(z – гама-функція [8].
З урахуванням ортогональності знаходяться коефіцієнти розкладання nc :




0
)(
)()(
)1(
!
dxxPxL
n
n
c nn


.
3. Ряд Грама–Шарл’є. До таких функцій належить ряд виду:
     
   
   
 uuuuxP 6
3
2
2
34
3
2
2
33
3
2
2
3
72
1
3
24
1
6
1















,
де  u – функція нормального розподілу центрованої і нормованої випадкової
величини   2
1
21 mmxu  ,  
 uk
 – k -а похідна від функції нормального
розподілу.
Обчислення  u не вимагає чисельної інтеграції, оскільки є її наближення на
основі поліномів, а похідні є елементарними функціями:

19. 19
 
     ufuu н123
 ,  
     ufuuu н334
 ,  
     ufuuuu н510 356
 ,
  








2
exp
2
1 2
u
ufн

.
Всі зазначені алгоритми ортогонального подання щільності імовірності
покладено в основу автоматизованої системи для діагностики шумів колінних
суглобів, розробленої в [9].
Рисунок 1.3 – Блок-схема автоматизованої системи для діагностики колінних
суглобів
Критичний аналіз цієї системи з погляду того, що використано алгоритми
ортогональних подань щільності імовірності для обробки шумів колінних суглобів,
показує таке: поліноміальні ряди доцільно використовувати для опису розподілів,
близьких до нормального. У інших випадках починають виявлятися серйозні
недоліки: ряд може поводитися нерегулярно (збільшення кількості членів ряду іноді
знижує точність апроксимації чи моделювання випадкових величин); помилки
апроксимації зростають з віддаленням від центру розподілу; сума кінцевого числа
членів ряду при великій асиметрії розподілу приводить до негативних значень
функцій, особливо на краях розподілів. Отже, застосування рядів теж не забезпечує
необхідної спільності рішення задач апроксимації та генерації випадкових величин
із заданими статистичними властивостями [7, 72, 93].

20. 20
1.1.4 Імовірнісні моделі на основі універсальних сімейств розподілів
Цей тип імовірнісних моделей використовується в багатьох науково-технічних
завданнях: апроксимація закону розподілу часу напрацювання на відмову,
класифікація зображень, статична оцінка якості виробів тощо. Існує два найбільш
типових підходи до їх вирішення. Перший підхід заснований на методі моментів, а
другий – на заміні початкової вибірки іншою, розподіл якої є стандартним [8, 10, 15,
42, 70].
Імовірнісні моделі на основі сімейства розподілів Пірсона. В межах
першого підходу одне з універсальних сімейств розподілів запропонував К. Пірсон.
Моменти розподілу випадкової величини, навіть якщо всі вони існують, не
характеризують повністю цього розподілу, але вони визначають його однозначно за
деяких умов, які виконуються майже для всіх використовуваних на практиці
розподілів. Інакше кажучи, при рішенні задач обробки випадкових послідовностей
знання моментів еквівалентно в деякій степені знанню функції розподілу, і збіг
значень перших r моментів двох розподілів говорить про приблизну подібність
розподілів. Не знаючи точно вид функції розподілу, але, знайшовши r перших
моментів, можна підібрати інший розподіл з тими ж першими моментами.
Практично така апроксимація виявляється задовільною при збіганні перших трьох –
чотирьох моментів [70].
Аналіз характерних рис функцій щільності унімодальних розподілів показує,
що ці розподіли починаються з нуля, піднімаються до максимуму, а потім
зменшуються знову до нуля. Це означає, що для опису подібних функцій щільності
розподілів f(x) необхідно вибрати такі рівняння, для яких 0/)( dxxdf за таких
умов: 0f(x)  , тоді принаймні на одному краю розподілу буде перетин з віссю
абсцис вищого порядку; ax  , де величина a відповідає моді розподілу. Цим
умовам для центрованої змінної x задовольняє диференціальне рівняння
)/()()(/)( 2
210 xbxbbxfaxdxxdf  ,
рішення якого приводить до сімейства розподілів Пірсона. Сімейство включає не

21. 21
тільки унімодальні, але і розподіли, що мають U-подібну форму (дві моди).
Рівняння містить чотири невідомі параметри. Їх обчислення засноване на
методі моментів – чотири вибіркові моменти прирівнюються до відповідних
моментів теоретичного розподілу, що є функціями від невідомих параметрів.
Вирішуючи таку систему рівнянь щодо невідомих параметрів, одержують шукані
оцінки параметрів у вигляді функцій вибіркових моментів
Ab
AbAb
AAa
/)632(
/)3(/)34(
121810,/)3(
3
2
2
3422
2
2431
2
34220
2
3
3
242
2
243






Вирази для щільності f(x) виводяться шляхом інтеграції диференціального
рівняння. Інтеграція дозволяє одержати 11 типів функцій щільності розподілу, три з
яких є основними, а інші – їх окремими випадками, у тому числі і такі
загальновідомі, як нормальний, експоненціальний, гама-розподіл. Розподіл f(x)
зосереджений:
 на кінцевому інтервалі, якщо корені рівняння є дійсними числами різних
знаків;
 на позитивній напівпрямій, якщо корені – дійсні числа одного знаку і 0a ,
або на негативній напівпрямій при 0a ;
 на всій осі абсцис, якщо рівняння не має дійсного кореня.
Послідовність отримання опису емпіричних даних розподілами Пірсона
включає такі етапи:
 обчислення значення оцінок перших чотирьох моментів емпіричного
розподілу шляхом обробки випадкової послідовності;
 обчислення параметрів 0b , 1b , 2b , a сімейства розподілів, перехід від
початкової змінної x до центрованої і зміщеної змінної t ;
 аналіз коренів квадратного рівняння і визначення типу розподілу. При
цьому реальна область значень випадкової величини відіграє другорядну
роль.
 обчислення параметрів вибраного типу розподілу;

22. 22
 перевірку гіпотези про можливість застосування вибраного розподілу для
опису експериментальних даних.
Розподіли Пірсона цілком задовільно узагальнюють результати спостережень.
Але ці оцінки не є якнайкращими, оскільки мають не мінімальні дисперсії, а, отже,
не є якнайкращими оцінками параметрів генеральної сукупності [8, 46]. Ще одним
недоліком розглянутого методу можна вважати відносну трудомісткость
розрахунків значень функції розподілу.
Імовірнісні моделі на основі сімейства розподілів Джонсона. Цей
універсальний вид апроксимації заснований на такому перетворенні  xg початкової
випадкової величини X (заданої в деякому інтервалі), яке дозволить розглядати
результат перетворення як стандартизовану випадкову величину, розподілену за
нормальним законом. Таке перетворення допустимо лише за умов: функція
щільності розподілу випадкової величини X є унімодальною; функція  xg є
монотонною на заданому інтервалі; область значень функції  xg лежить в діапазоні
від мінус до плюс нескінченності. Вказаним умовам відповідає система функцій,
запропонована Джонсоном. Перевага даного підходу полягає в тому, що значення
емпіричної функції розподілу випадкової величини X обчислюються як значення
функції нормального розподілу. Перетворення Джонсона в загальному випадку має
вигляд:
);,,(  zx  ,0   , 0 ,   ,
де  ,,, – параметри розподілу; u – центрована і нормована випадкова величина,
розподілена за нормальним законом;  – деяка функція; x – випадкова величина з
довільною унімодальною щільністю розподілу [70].
За  запропоновано використовувати три види функцій:



 




 
 z
z
z ,ln),,()1 1 , 


 







 z
z
z
z ,ln),,()2 2 ,





 
 z
z
arcshz ,),,()3 3


 .

23. 23
Для сімейства функцій першого вигляду dx
x
du



 , тоді



















 




2
ln
2
1
1
)(2
)(





x
e
x
xf .
Ця функція відповідає логарифмічно нормальному розподілові і називається
сімейством LS розподілів Джонсона. Логарифмічно нормальний розподіл не володіє
загальністю початкового сімейства, оскільки воно фактично залежить від трьох, а не
від чотирьох параметрів. Дійсно, вираз





 




z
ln
можна записати у вигляді )ln(ln   x , і величину  ln варто
розглядати як єдиний параметр.
Можливості розподілів Джонсона з опису статистичних даних практично
еквівалентні розподілам Пірсона. Функції розподілу Джонсона в явному вигляді
представити не можна, проте в цьому і немає необхідності, оскільки розрахунок
значень функцій розподілу здійснюється на основі нормального розподілу [10].
Визначення моментів або побудова функції правдоподібності для розподілів
Джонсона є достатньо трудомісткою задачею. Для цілей апроксимації простіше
використовувати метод квантилів. Кількість використовуваних квантилів і
відповідно рівнянь дорівнює кількості параметрів розподілу, що визначаються.
Рішення систем рівнянь для пошуку параметрів зазвичай можливо тільки на основі
чисельних методів. При цьому основна складність полягає у визначенні початкових
наближень для шуканих параметрів.
Завершальним етапом апроксимації з використанням сімейств розподілів
Джонсона повинні бути перевірка узгодженості підібраного розподілу і
експериментальної послідовності [41, 55, 76].
Таким чином, універсальні розподіли, забезпечуючи високу гнучкість рішення
задачі підгонки розподілів до експериментальних даних, вимагають істотних
обчислювальних витрат на свою реалізацію і застосування спеціалізованих пакетів

24. 24
обробки даних. Крім того, варто враховувати, що розглянуті універсальні розподіли
не є всеосяжними – існують випадкові величини, розподіл яких погано описується
вказаними залежностями. В першу чергу до них належать випадкові величини з
усіченими законами розподілу.
1.1.5 Полігаусові моделі щільності імовірності
Згадані в попередніх підрозділах моделі, що використовуються для
апроксимації щільності імовірності випадкових послідовностей та генерації
шумоподібних сигналів з дискретним часом, досить часто можуть застосовуватись
до вирішення проаналізованих науково-технічних задач. Але одним із основних
недоліків, притаманних як типовим розподілам, рядам та сімействам розподілів – це
їх мала універсальність, тому що у реальних ІТС умови передачі і розповсюдження
сигналів, як і умови виникнення завад і їх дії на виявлювачі сигналів,
недетерміновані і нескінченно різноманітні. Другим важливим фактором
практичного використання таких моделей є складність реалізації обчислювальних
алгоритмів або навіть неможливість їх реалізації при врахуванні вищих моментів
розподілу імовірності вхідної випадкової величини [23, 83].
Варто відзначити, що серед математичних моделей щільності імовірності
найважливішою в теорії ймовірностей та математичній статистиці є нормальний
(гаусовий) закон розподілу. Відомо, що багато статистичних даних, які
спостерігаються, можна успішно описати нормальним розподілом, або принаймні
нормальний розподіл може стати першим наближенням. Фундаментальну роль, яку
відіграє цей розподіл, пояснюється наслідком центральної граничної теореми,
відповідно до якої, суми випадкових величин із збільшенням кількості складових
поводять себе асимптотично нормально. І хоча теоретично не існує таких розподілів
емпіричних даних, які були б в точності нормальними (оскільки межами будь-якої
нормальної величини є  ), проте як наближення нормальний розподіл часто є
адекватним [1, 8, 57, 88].
Перевагами гаусової моделі також можна вважати і той факт, що її

25. 25
використання значно спрощує розробку методів і алгоритмів оптимального
опрацювання стохастичних сигналів. Саме для цієї моделі вдалося знайти
функціонал відношення правдоподібності, на основі якого були розвинені сучасні
методи оптимального виявлення сигналів та оцінювання їх параметрів [16, 110]. З
іншого боку, природа більш різноманітна і не завжди вкладається в рамки
конкретної, зручної з погляду дослідника, моделі.
Значно більші можливості для опису реальних сигналів і завад представляють
імовірнісні суміші стандартних розподілів, які називають рандомізованими
розподілами. Завдяки відомим достоїнствам гаусових розподілів, що полягають у
зручності їх застосування при статистичному опрацюванні, для випадку довільних
флуктуацій сигналів, завад і збурюючих дій, найбільш зручними виявляються
суміші саме гаусових розподілів або так звані полігаусові моделі. Бібліографія щодо
сумішей гаусових розподілів налічує сотні робіт, а останні роки характеризуються
інтенсивним їх використанням в прикладних задачах, особливо в статистичній теорії
зв'язку і управління, в теорії розпізнавання образів тощо [34, 44, 68, 94, 115, 122].
Перевагою застосування полігаусових моделей є те, що на відміну від відомих
ортогональних розподілів, кожна складова моделі (гаусова компонента) має
визначений теоретично-імовірнісний зміст. Тому можливі полігаусові представлення
з будь-якою кількістю компонентів, які задовольняють всі аксіоми теорії імовірності.
Наприклад, полігаусові представлення щільності імовірності з кінцевим числом
компонент, на відміну від рядів Еджворта, Лагера, Грама-Шарл’є завжди є щільністю
імовірності і додатні у всій області визначення [83, 90, 96, 111, 118].
Випадковий сигнал (величину, послідовність) називають полігаусовими, якщо
відповідні щільності ймовірностей можуть бути представлені сумішами гаусових
компонент:
   

 






 

r
n n
n
n
n mx
xp
1
2
2
2 2
exp
2 

, (1.1)
де r – порядок полігаусової моделі, nm і 2
n – відповідно математичні сподівання та
дисперсії гаусових компонент, а n – коефіцієнти пропорційності, які повинні

26. 26
задовольняти умові нормування:
1
n
n .
Звертаючись до математичного і фізичного змісту полігаусових моделей, перш
за все потрібно відзначити, що використання систем гаусових процесів при
полігаусових представленнях випадкових сигналів і перешкод не означає
розкладання окремих реалізацій цих сигналів і перешкод по елементах гаусового
базису, як при відомих представленнях Карунена–Лоєва, Котельникова, Пугачова;
навпаки, всі можливі реалізації сигналів і перешкод використовуються в незмінному
вигляді. На безлічі всіх можливих реалізацій негаусових сигналів і перешкод
визначаються деякі гаусові розподіли імовірності [96, 124].
Фізичний зміст полігаусових моделей можна представити так. Як відомо, всі
випадкові явища, що розглядаються в теорії імовірності, мають місце при дотриманні
певного комплексу умов, що і є основою їх статистичної стійкості – теоретично-
імовірнісній однорідності. Можливість представлення тих або інших випадкових
явищ сумішшю деяких типових, зокрема гаусових явищ, відображає можливість
доповнення, посилення початкового комплексу умов так, що ці окремі випадки
комплексу умов приводять до типових випадкових явищ; при цьому результуючий
комплекс є відносно широким. Практично всі можливі в радіосистемах сигнально-
завадові ситуації не протирічать подібним уявленням [111].
1.2 Моментно-кумулянтний опис випадкових величин
У попередніх пунктах було проаналізовано опис випадкових величин та
процесів за допомогою щільності розподілу імовірності. Але іноді на практиці
досить складно, а іноді навіть неможливо представити вихідну випадкову величину
 за допомогою її розподілу.
Тому у більшості робіт, присвячених прикладним теоріям випадкових
процесів стосовно різних статистичних завдань радіофізики, радіотехніки і
електроніки, як правило, основним способом представлення випадкових величин і

27. 27
процесів, крім функцій розподілу і характеристичних функцій, є опис їх різними
статистичними середніми, зокрема моментами і моментними функціями.
Аналізуючи перетворення випадкових змінних, особливо нелінійних перетворень,
дослідники в першу чергу цікавляться тим, як перетворяться імовірнісні розподіли,
моменти і моментні функції; для них пишуть рівняння і з їх допомогою аналізують
ті або інші статистичні закономірності перетворень [24].
Разом з цим існує й інший підхід до вивчення випадкових величин і процесів
– їх опис за допомогою кумулянтів (семиінваріантів) і кумулянтних функцій, що є
нелінійними комбінаціями статистичних середніх. Хоча з формального погляду
кумулянтний опис випадкових змінних дає таке ж повне їх статистичне
представлення, наскільки і моментний, та володіє важливими і привабливими
перевагами.
Перша перевага полягає в тому, що кумулянти і кумулянтні функції, на
відміну від моментів і моментних функцій, а також і від так званих квазімоментних
функцій, мають чітко виражений самостійний статистичний зміст і можуть бути
задані певною мірою незалежно один від одного, будучи в цьому плані деякими
«нормальними координатами» статистичного опису [58].
Друга перевага кумулянтів і кумулянтних функцій пов'язана з тим, що
врахування їх вищих порядків дозволяє просто описати будь-який ступінь
негаусовості випадкових величин і процесів. З цієї причини основну цінність
кумулянтний опис має саме для негаусових емпіричних даних [49, 117].
Третя, вельми важлива перевага кумулянтного опису випадкових величин і
процесів обумовлена тим, що кінцевому набору кумулянтів завжди відповідає
деяка дійсна функція, що апроксимує імовірнісний розподіл, тоді як несингулярної
функції, всі вищі моменти якої дорівнювали б нулю, не існує. Ця обставина має
важливе значення при наближеному представленні імовірнісних розподілів тих
випадкових величин і процесів, для яких можна відшукати лише кінцеві набори
кумулянтів і кумулянтних функцій [56, 58].
Варто відзначити, що кінцева послідовність моментів, або кумулянтів, є
частковим описом випадкової величини. Перевагою часткового опису є те, що він

28. 28
описує не одну певну випадкову величину, а нескінченну безліч випадкових
величин. У кожної випадкової величини цієї множини перші кумулянти (моменти)
до певного порядку одні і ті ж, а кумулянти (моменти) вищого порядку можуть
бути різними.
Моментний опис випадкової величини. Хай випадкова величина  задана
щільністю імовірності )(xP , яка називається також імовірнісним розподілом або
просто розподілом випадкової величини. Якщо припустити, що щільність
імовірності і її похідні за наявності сингулярностей можуть бути виражені через
дельта-функції, то в точках розриву щільності імовірності або її похідних
довизначатимуться їх напівсумою меж справа і зліва.
Будь-яка щільність вірогідності повинна задовольняти двом умовам:
0)( xP для всі x , 1)( 


dxxP .
Найважливішим апаратом теорії випадкових величин є апарат статистичних
середніх. Хай )(f – яка-небудь функція від випадкової величини  . Тоді середнє
статистичне значення цієї функції визначається як



 dxxPxff )()()(  .
Моментами випадкової величини  називаються інтеграли виду



 dxxPxnn
n )(

 де ...,2,1n . (1.2)
якщо вони існують. Про момент n говорять як про момент n -го порядку.
Для всякого розподілу )(xP моменти згідно з (1.2) визначаються
однозначно. Це означає, що вони є характеристиками розподілу — деякими
величинами, що представляють щільність вірогідності )(xP , тобто певні
властивості випадкової величини. Разом з тим зовсім не у кожного розподілу
існують (є кінцевими) всі моменти. З іншого боку, якщо щільність імовірності
відрізняється від нуля тільки в якому-небудь кінцевому інтервалі значень x ,

29. 29
тобто якщо )(xP є фінітною функцією, то у нього існують всі моменти. Тому
будь-який з цих нескінченних рядів вичерпно представляє випадкову величину,
будучи тотожним представленням її імовірнісного розподілу. У такому разі
можна говорити про моментне представлення випадкової величини [52, 75].
Кумулянтний опис випадкової величини. Оскільки щільність імовірності
будь-якої випадкової величини абсолютно інтегрована і завжди існує її спряжене
перетворення, то й існує характеристична функція цієї випадкової величини.
Характеристичну функцію можна записати у вигляді ))(exp()( uBu  , де,
очевидно, повинно бути 0)0( B . Розкладемо функцію )(uB в степеневий ряд
виду:




1
)(
!
)(ln)(
k
kk
ju
k
uuB

.
Коефіцієнти цього ряду
0
)( )(ln
)0(







 

u
k
k
kkk
k
du
ud
jBj
так само, як і моменти, є характеристиками імовірнісного розподілу і мають назву
кумулянтів або семиінваріантів. Таким чином,






 

1
k
)(
!
exp)(
k
k
ju
k
u

. (1.3)
Кумулянти однозначно визначають випадкову величину, якщо ряд (1.3)
сходиться для всіх u . Тому набір кумулянтів ,..., 11  також може служити
тотожним представленням імовірнісного розподілу. Якщо відомі моменти, то
кумулянти можуть бути знайдені з відомих співвідношень. А також існує
можливість розглянути такі розподіли, кумулянти яких, починаючи з деякого
порядку будуть рівні нулю, тоді як моменти не рівні нулю [50, 51, 58].

30. 30
1.3 Методи оцінки параметрів полігаусових моделей
1.3.1 Метод моментів
Нехай  – досліджувана випадкова величина, що підкоряється закону
розподілу  ;Xf , де функція  ;Xf – щільність імовірності, якщо 
безперервна, і імовірність }|{  XP  , якщо  дискретна, залежить від деякого
багатовимірного параметра ),...,( 1 r . І нехай потрібно оцінити невідоме
значення цього параметра, тобто знайти оцінку ˆ по наявній в розпорядженні
вибірці обсягу n , що складається з незалежних вибіркових значень ),...,( 1 nXXX  .
Метод моментів полягає в прирівнюванні певної кількості вибіркових
моментів до відповідних теоретичних, тобто обчислених з використанням функції
 ;Xf моментів досліджуваної випадкової величини, причому останні, очевидно, є
функціями від невідомих параметрів ),...,( 1 r . Розглядаючи кількість моментів,
рівну числу r параметрів, що підлягають оцінці, і вирішуючи отримані рівняння
відносно цих параметрів, отримуються шукані оцінки. Таким чином, оцінки
)ˆ,...,ˆ(ˆ
1 r за методом моментів невідомих параметрів ),...,( 1 r є рішеннями
системи рівнянь:












 
 


.............................................
,
1
);(
,
1
);(
1
22
1
n
i
i
n
i
i
x
n
dXXfx
x
n
dXXfx


(1.4)
Очевидно, якщо аналізована випадкова величина  дискретна, інтеграли в
лівих частинах (1.4) варто замінити відповідними сумами типу
 
j
k
i
k
i XPX }|{ 00
 ).
Число рівнянь у системі (1.4) має бути рівним числу оцінюваних параметрів.

31. 31
Питання про те, які саме моменти включати в систему (1.4) (початкові, центральні
або їх деякі модифікації типу коефіцієнтів асиметрії або ексцесу), варто вирішувати,
керуючись конкретними цілями дослідження і порівняльною простотою форми
залежності альтернативних теоретичних характеристик від оцінюваних
параметрів ),...( 1 q .
Перевагами методу моментів є його простота обчислювальної реалізації, а
також те, що оцінки, отримані як рішення системи (1.4), є функціями від вибіркових
моментів. В той же час, асимптотична ефективність оцінок, отриманих методом
моментів, виявляється, як правило, менше одиниці, і в цьому вони поступаються
оцінкам, отриманим методом максимальної правдоподібності або методом
максимізації полінома. Іноді оцінки, що отримуються за допомогою методу
моментів, приймаються як перше наближення, за яким можна визначати іншими
методами оцінки більш високої ефективності [46].
Складаючи системи рівнянь методу моментів для сумішей розподілів,
реалізують наступну схему:
1) використовують знання загального вигляду функції щільності (полігону
імовірності) суміші  ;Xf та обчислюють залежності від невідомих параметрів
),...( 1 q теоретичних моментів вибірки X з досліджуваної ознаки: перші
моменти XEm 1 , другі моменти  2
2 XEm  і так далі в кількості, яка дорівнює
загальній розмірності оцінюваного параметра  . Загальна розмірність оцінюваного
параметра  при заданому числі компонентів суміші r складе 13 r [1];
2) за вибіркою класифікованих спостережень підраховуються відповідні
вибіркові моменти 1ˆm , 2ˆm …;
3) складається система виду







.,....................
ˆ)(
ˆ)(
22
11
mm
mm
(1.5)
де ліві частини рівнянь – це відомі функції від невідомих значень параметрів –

32. 32
),...,,;,...,,( 21121 rrppp  , а праві частини рівнянь – відомі числа.
Подальші зусилля спрямовані на рішення системи (1.5), яка у кожному
конкретному випадку (при конкретизації загального вигляду компонентів );( Xf )
має свої специфічні обчислювальні труднощі.
Недоліками цього підходу є дуже мала якість статистичних властивостей
отримуваних при цьому оцінок ˆ (зокрема, дисперсія оцінок rˆ для 2r , а
відповідно і дисперсія отримуваних рішень ˆ залишається занадто великою навіть
при зростанні обсягу вибірки n ) [47].
1.3.2 Метод максимальної правдоподібності
Відповідно до постановки задачі, наведеної для методу моментів, для методу
максимальної правдоподібності вираз для щільності імовірності  ;Xf :



r
i
ii XfpXf
1
),/();( 
де r – кількість стохастичних компонентів: )/( iXf  – часткова щільність розподілу
імовірності, яка характеризується сукупністю параметрів i ; ip – вага i -ї
компоненти в суміші.
Тоді для логарифма функції правдоподібності з вибірки обсягом n
незалежних випадкових величин [44].
 
 

n
l
r
i
ili xfpXL
1 1
)/(ln);(ln  , (1.6)
де ),...,,,...,( 11 rrpp  .
Якщо тепер продиференціювати вираз (1.6) за невідомими параметрами
часткових щільностей імовірності і прирівняти отримані вирази нулю, то отримуємо
систему рівнянь максимальної правдоподібності. Рішення цієї системи рівнянь
дозволяє отримати ефективні оцінки для невідомих параметрів
),...,,,...,( 11 rrpp  .

33. 33
Отримаємо систему рівнянь максимальної правдоподібності для полігаусової
моделі. При цьому ria iii ,1},,{ 2
  , де 2
, iia  – відповідно, середнє і дисперсія i -ої
щільності розподілу.
Далі, враховуючи (1.6), маємо наступні вирази для рівнянь правдоподібності
,0
2
ln
1 1
2
)(
2
2













 
 

n
l
r
i
ax
i
i
i
i
il
e
p
a


,0
2
ln
1 1
2
)(
2
2













 
 

n
l
r
i
ax
i
i
i
i
il
e
p 

rie
p
p
n
l
r
i
ax
i
i
i
i
il
,1,0
2
ln
1 1
2
)(
2
2













 
 




.
Провівши диференціювання і відповідні скорочення, у результаті отримуємо
систему рівнянь правдоподібності (1.7).
Таким чином, маємо систему нелінійних рівнянь rifi 2,1,0  , для вирішення
якої можуть бути використані тільки чисельні методи. Одним з таких методів є
ітераційний метод Ньютона, використовуючи який можна знайти оцінки для
невідомих параметрів.

























































.,1,0
)
2
)(
exp(
)
2
)(
exp(
1
,1,0
)
2
)(
exp(
1
)(
)
2
)(
exp(
,1,0
)
2
)(
exp(
)
2
)(
exp(
)(
1
1
2
2
2
2
1
1
2
2
2
2
2
2
2
1
1
2
2
2
2
3
ri
axp
ax
ri
axp
axaxp
ri
axp
axaxp
n
l
r
i i
il
i
i
i
il
i
n
l
r
i i
il
i
i
i
il
i
il
i
i
n
l
r
i i
il
i
i
i
il
i
ili






(1.7)
Основними недоліками для методу максимальної правдоподібності в

34. 34
застосуванні до оцінки векторного параметра суміші розподілів є застосування
вимог обмеженості до аналізованої функції правдоподібності )(L , висока
складність і трудомісткість процесу реалізації відповідних обчислювальних
процедур та повільна збіжність породжуваних ними ітераційних процедур [33].
1.3.3 Метод максимізації полінома (метод Кунченка)
Метод максимізації полінома є відносно новим методом знаходження оцінок
параметрів випадкової величини. У цьому методі за відсутності повної апріорної
інформації використовується кінцева послідовність моментів і кумулянтів, що є
частковим описом випадкових величин [51].
Відповідно до постановки задачі, описаної вище, потрібно оцінити векторний
параметр ),...,( 1 q .
Для оцінки параметрів методом максимізації полінома як апріорну
інформацію використовують послідовність функцій )(i , si 2,1 , яка в такому
разі залежатиме від векторного параметра  при степені поліному s . Під час
оцінювання векторного параметра ці функції в загальному випадку залежатимуть
або від усіх складових векторного параметра, або тільки від частини. Проте надалі
залежність функцій від векторного параметра позначатимемо )(i .
Припускатимемо, що функції )(i , si 2,1 існують, тобто  ii c)( ,
для  і вони диференційовані за кожною складовою векторного параметра,
тобто



ii
i
b)(

для  i .
Також припускатимемо, що випадкові величини  спостерігаються, коли
параметр  має істинні значення ),...,( 10 q . Необхідно знайти оцінку
векторного параметра ˆ , маючи на увазі, що необхідно знайти оцінку кожної

35. 35
складової векторного параметра, тобто )ˆ,...,ˆ(ˆ
10 q .
У роботі [50] показано, що для знаходження оцінки векторного параметра
необхідно для кожної складової r , qi ,1 вектору  побудувати узагальнений
стохастичний поліном степеня s виду
)()()(),( )(0
1 1
)()(   
 
r
s
i
n
v
virirsn kk  , (1.8)
де
 
r
ra
rriri dhk

)()( )()( ,  


s
i a
ririr
r
r
dhnk
1
)()(0 )()()(

 .
А функції )()( rih параметра  знаходяться для кожної складової r з
рішення системи рівнянь лінійних алгебраїчних рівнянь:
)()()( ,
1
)( 




i
r
ji
s
j
rj Fh 

, si ,1 , qr ,1 . (1.9)
Індексом r в дужках внизу у ),()(  rsn і у коефіцієнтів )()( rih надалі
позначатимемо номер складової оцінюваного векторного параметра.
Якщо задано поліном в класі степеневих функцій виду i
i  )( , то він
описується за допомогою початкових моментів sii 2,1),(  порядку i . В цьому
разі об’єм тіла стохастичного полінома )(s визначається через центровані
корелянти розмірністю ),( ji , тобто функції )(, jiF дорівнюють:
)()()()(,   jijijiF  . (1.10)
Використовуючи знайдені центровані корелянти записують матрицю для
знаходження об’єму тіла стохастичного полінома:


















)().....()(
............................................
)().....()(
)().....()(
)(
,2,1,
,22,21,2
,12,11,1
ssss
s
s
s
FFF
FFF
FFF
F .

36. 36
За оцінку )ˆ,...,ˆ(ˆ
10 q беруться ті значення параметрів складових, для яких
кожен із стохастичних поліномів ),()(  rsn , qr ,1 виду (1.8) досягає спільно
максимального значення. Оскільки кожен зі стохастичних поліномів (1.8)
диференційований за параметром r , то знаходження оцінки призводить до того, що
оцінки складових вектору  знаходяться зі спільного рішення системи рівнянь
максимізації полінома виду
0),(
ˆ
)( 




 rsn
r
, qr ,1 (1.11)
Ця система в розгорнутому вигляді буде дорівнювати
  0)()()(
ˆ1 1
)( 
 
 
s
i
n
v
ivirih  , qr ,1
Таким чином, метод максимізації полінома для знаходження оцінок
векторного параметра спостережуваної скалярної випадкової величини за
незалежних і однаково розподілених вибіркових значеннях полягає в тому, що
оцінки складових векторного параметра знаходяться із спільного рішення системи
рівнянь (1.11). При цьому в кожному r -му рівнянні коефіцієнти )()( rih
знаходяться з рішення системи лінійних алгебраїчних рівнянь (1.9).
Як видно з (1.9), система рівнянь для знаходження коефіцієнтів з різним
номером (r ) відрізняється один від одного тільки правою частиною рівнянь. При
цьому в правій частині цієї системи рівнянь використовуються часткові похідні від
функцій )(i , si 2,1 , за тією складовою векторного параметра r , для якої
знаходяться коефіцієнти )()( rih r -го рівняння, qr ,1 .
Оцінки векторного параметра спостережуваної скалярної випадкової
величини, знайдені методом максимізації полінома із спільного рішення системи
рівнянь (1.11), будуть спроможними [117].

37. 37
1.4 Висновки до розділу 1
1. Тематичний аналіз інформаційних джерел показав, що існує задача
створення адекватних моделей випадкових величин та методів оцінки їх параметрів
стосовно практичного застосування для апроксимації законів розподілу емпіричних
даних та генерації випадкових послідовностей із заданими статистичними
властивостями.
2. Аналізуючи наявні математичні моделі, які застосовуються для опису
незалежних однаково розподілених випадкових послідовностей можна дійти
висновку, що в багатьох задачах доводиться застосовувати апроксимаційні методи
для знаходження щільності розподілу імовірності.
3. Моделі на основі стандартних розподілів не дозволяють адекватно описати
випадкову величину, а використання статистичних рядів Еджворта, Лагранжа,
Грама-Шарльє має обмеження, тому що вони набувають від’ємних значень і не
завжди можуть бути як щільності розподілу. Моделі на основі сімейств розподілів
Джонсона та Пірсона ускладнюються відшуканням їх параметрів чисельними
методами, що не завжди приводить до правильного вирішення задачі.
4. Одним із підходів до отримання щільності імовірності може бути
застосування полігаусових моделей при їх частковому описі у вигляді послідовності
моментів чи кумулянтів. Разом з тим, цей підхід дає змогу вирішувати задачі з
генерації випадкових послідовностей.
5. На основі порівняльного аналізу методів знаходження параметрів
імовірнісних моделей емпіричних даних ефективним рішенням є застосування
стохастичних поліномів Кунченка для побудови нового поліноміального методу
оцінювання параметрів полігаусових моделей.

38. 38
РОЗДІЛ 2. СИНТЕЗ ПОЛІНОМІАЛЬНИХ МЕТОДІВ ОЦІНЮВАННЯ
ПАРАМЕТРІВ ПОЛІГАУСОВИХ МОДЕЛЕЙ
Систематизований матеріал попереднього розділу показує, що перспективним
напрямом розробки нових математичних моделей для апроксимації емпіричних
даних та способів генерування випадкових величин із заданими статистичними
властивостями є використання полігаусових моделей. Але оцінювання усіх
можливих їх параметрів для вирішення певного кола практичних задач потребує
значних затрат ресурсів електронно-обчислювальної техніки. Тому в роботі
пропонується для побудови моделей випадкових послідовностей модифікувати
полігаусові моделі, а саме вважати невідомими тільки частину оцінюваних
параметрів полігаусового розподілу, що не заперечує загальній теорії
рандомізованих сумішей. Такий підхід забезпечить досить вагоме спрощення
математичного апарату, зберігаючи результуючі статистичні властивості
випадкових величин [6, 20, 33, 47].
Таким чином, метою цього розділу дисертаційного дослідження є розробка
модифікованих полігаусових моделей та методів поліноміального оцінювання
(МПО) їх параметрів при перфорованому моментно-кумулянтному описі з
використанням стохастичних поліномів Кунченка. Крім того, запропоновано
удосконалити методи чисельної математики для вирішення нелінійних рівнянь МПО
з відповідною методикою відшукання початкових наближень. Основні наукові
результати розділу опубліковано в роботах [32, 99, 101, 105-108].
2.1 Поліноміальне оцінювання параметрів полігаусових моделей
асиметричних випадкових величин
Перш ніж перейти до реалізації самих полігаусових моделей потрібно
визначити для них перфорований моментно-кумулянтний опис. Його потрібно
розуміти як випадкову величину, у якої частина кумулянтів (моментів), починаючи з
третього, відрізняються від нуля і набувають певних значень, а частина строго

39. 39
дорівнюють нулеві, а ще інші можуть набувати довільних значень, але таких, щоб у
цілому нескінченна послідовність кумулянтів відповідала характеристичній функції
певної випадкової величини [50, 51].
Початкові моменти полігаусових моделей отримуються зі співвідношень:
sim jj
r
j
ijji 2,1),;(
1
 

 , (2.1)
де ij - i -ий початковий момент j -ої гаусової компоненти, який залежить лише від
двох параметрів jm (математичного сподівання компоненти ) і j (дисперсії
компоненти), j – коефіцієнт пропорційного вкладу компоненти.
Для гаусової випадкової величини було розраховано вирази для представлення
перших дванадцяти початкових моментів, які мають такий вигляд:
121012
84664821012
12
108365472911
11
108264462810
10
86345279
9
86244268
8
643257
7
642246
6
4235
5
4224
4
23
3
22
21
1039562370
5197513860148566
,1039517325693099055
,9454725315063045
,945126037836
,10542021028
,10510521
,154515,1510
,36,3,,


















m
mmmmm
mmmmmm
mmmmm
mmmmm
mmmm
mmmm
mmmmmm
mmmmmm
(2.2)
Дванадцяти початкових моментів цілком достатньо, щоб побудувати
полігаусові моделі до четвертого порядку включно при степені полінома 6s . Це
випливає безпосередньо з кількості ступенів свободи полігаусової щільності
розподілу імовірності та методу поліноміального оцінювання. Як показано в
[44, 120, 124], такий вибір кількості гаусових складових дає оптимальне
співвідношення між точністю представлення сигналів та складністю реалізації
обчислювальних алгоритмів і подальше збільшення кількості компонентів суміші
впливає на точність не більш ніж на 1% в більшості задач, які можуть бути вирішені

40. 40
за допомогою полігаусових моделей.
Крім цього, для оптимізації розрахунків та раціонального зменшення
розмірності рівнянь методу поліноміального оцінювання доцільно ввести
класифікацію модифікованих полігаусових моделей за типами в межах класів
(бігаус, тригаус і т.д.). Такі типи моделей матимуть певний модифікований опис
вектора оцінюваних параметрів ),...,( 1 q полігаусової щільності розподілу
[101, 102].
Як наслідок, запропонована класифікація модифікованих полігаусових
моделей дає гнучкий апарат знаходження параметрів. Це в свою чергу дає
можливість зменшити використання таких важливих машинних ресурсів для систем
обробки даних реального часу, як час обрахунку математичних операцій,
завантаженість оперативної пам’яті та кількість ітерацій обчислювального процесу.
Для найпростішого – бігаусового розподілу загального виду:
 
   
2
2
2
2
2
1
2
1
2
2
2
2
2
1 2
1
2





mxmx
eexp





 (2.3)
було отримано чотири типи моделей для асиметричних випадкових величин [26].
Визначення 2.1. Бігаусовою моделлю першого типу для асиметричних
випадкових величин будемо називати модель виду (2.3), де 12
1  , 01 m , 22
2   ,
mm 2 та 5.0 .
 
 
2
2
2
2
2
2
22
1
22
1 

mx
x
eexp



 (2.4)
з вектором оцінюваних параметрів ),( m .
Відповідно вихідні дані наведеної моделі для методу поліноміального
оцінювання записують у вигляді перфорованого моментного опису:
sim
j
ijji 2,1),,(
2
1
 

 . (2.5)
Загалом, кількість початкових моментів повинна бути рівна s2 , де s – степінь

41. 41
полінома.
Визначення 2.2. Бігаусовою моделлю другого типу для асиметричних
випадкових величин будемо називати модель виду (2.3), де ,12
1  22
2   , 01 m ,
mm 2 та   .
 
 
 
2
2
2
2
2
2
2
1
2





mx
x
eexp


 
 (2.6)
з вектором оцінюваних параметрів ),,( m .
Відповідно вихідні дані наведеної моделі для методу поліноміального
оцінювання записують у вигляді перфорованого моментного опису:
sim
j
ijji 2,1),,,(
2
1
 

 . (2.7)
Визначення 2.3. Бігаусовою моделлю третього типу для асиметричних
випадкових величин будемо називати модель виду (2.3), де 22
2
2
1   ,
 
   
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
1
2





mxmx
eexp





 (2.8)
з вектором оцінюваних параметрів ),,,( 21 mm .
Відповідно вихідні дані наведеної моделі для методу поліноміального
оцінювання записують у вигляді перфорованого моментного опису:
simm
j
ijji 2,1),,,,( 21
2
1
 

 . (2.9)
Визначення 2.4. Бігаусовою моделлю четвертого типу для асиметричних
випадкових величин будемо називати модель виду (2.3), з вектором оцінюваних
параметрів ),,,,( 2121 mm .
Відповідно вихідні дані приведеної моделі для методу поліноміального
оцінювання запишуться у вигляді перфорованого моментного опису:

42. 42
simm
j
ijji 2,1),,,,,( 2121
2
1
 

 . (2.10)
Як показали дослідження, при створенні перфорації у векторі оцінюваних
параметрів полігаусових моделей не змінюється їх теоретично-імовірнісний зміст, а
переваги виявляються в значному спрощенні математичних викладок, що в свою
чергу збільшує в рази швидкодію вирішення прикладних науково-технічних
завдань. Таких різновидів моделей може бути більше, ніж наведено вище, але було
показано тільки ті моделі, в результаті дослідження яких було отримано рішення
нелінійної системи рівнянь методу поліноміального оцінювання [108].
Розглянемо синтез методу поліноміального оцінювання для відшукання
параметрів найпростішої бігаусової моделі першого типу асиметричних випадкових
величин з вектором шуканих параметрів ),( m .
Для побудови методу поліноміального оцінювання, мінімальна степінь
полінома, яку необхідно застосовувати для оцінки векторного параметра випадкових
величин повинна бути qs  [50]. Таким чином, визначені початкові моменти для
першого типу бігаусового розподілу, виходячи із загальних виразів для моментів
гаусового розподілу виду (2.2), які можна використати для застосування методу
поліноміального оцінювання до степені 4s включно. При цьому для спрощення
використано позначення d2
 .
).28210420105(
2
1
2
105
),21105105(
2
1
),154515(
2
1
2
15
),1015(
2
1
),63(
2
1
2
3
),3(
2
1
),(
2
1
2
1
,
2
8642234
8
75323
7
64223
6
532
5
422
4
3
3
2
21
mdmmdmdd
mdmmdmd
mdmmdd
mdmmdmdmd
mmdmd
m










(2.10)
Метод моментів передбачає використання наведених виразів якості системи
нелінійних рівнянь, яку необхідно вирішувати для знаходження параметрів бігасової

43. 43
моделі. Причому, як рівняння існує можливість взяти будь-які два.
Метод поліноміального оцінювання відрізняється від методу моментів тим, що
для формування системи рівнянь потрібно спочатку знайти центровані корелянти,
оптимальні коефіцієнти, і вже потім складати систему рівнянь для спільної оцінки
векторного параметра  бігаусової моделі.
Відповідно для знаходження оптимальних коефіцієнтів ih , потрібно знайти
похідні від s початкових моментів. Похідні за шуканими параметрами m і d :
.,
2
1 21
m
mm





 
.
2
1
,0 21






dd

Згідно з методом поліноміального оцінювання та (1.10), центровані корелянти
бігаусової моделі матимуть вигляд:
),51(
4
1
),22(
4
1 2
12
2
11 mdmFmdF 
),)51(2525(
4
1
),51(
4
1 4222
22
2
21 mmdddFmdmF 
Існують об’єми тіл та області визначення для кумулянтних коефіцієнтів різних
типів випадкових величин. Вони визначають співвідношення значень n , які не
можуть бути довільними.
За оцінки полігаусових моделей методом поліноміального оцінювання
виникає ще одне обмеження у вигляді додатного об’єму тіла полігаусового
розподілу.
Об’єм тіла при 2s для бігаусового розподілу першого типу матиме вигляд:
))1(12))53(3(5(
8
1 42
2 mddmddd 
Проаналізувавши цей вираз, вдалося виявити, що умова 02  виконується на
всіх можливих значеннях m та при додатних значеннях d (яке за своїм означенням
не може бути від’ємним).
Використовуючи вираз (1.9), знаходимо коефіцієнти ),( dmhim та ),( dmhid з
рішення системи лінійних рівнянь за допомогою часткових визначників.

44. 44
42
4
2
1
1
1125335
525
),(
d) m(d md))d (d (
d)-md (-
dmh m
m





 ,
42
2
2
2
2
1125335
5
),(
d) m(d md))d (d (
)m-dm (
dmh m
m





 ,
42
2
2
2
1
1125335
51
),(
d) m(d md))d (d (
)mdm (-
dmh d
d






42
2
2
2
2
1125335
22
),(
d) m(d md))d (d (
md
dmh m
d





 . (2.11)
Такі коефіцієнти будуть оптимальними в сенсі мінімуму дисперсії знайдених
оцінок бігаусової моделі першого типу для асиметричних випадкових величин
методом поліноміального оцінювання.
Система рівнянь для оцінювання параметрів бігаусової моделі асиметричних
випадкових величин з використанням (2.11) матиме вигляд:
 
  .0),(),(
,0),(),(
ˆ1 1
ˆ1 1


 
 
 
 
dd
s
i
n
v
i
i
vid
mm
s
i
n
v
i
i
vim
dmdmh
dmdmh


(2.12)
Як видно з (2.12), система рівнянь методу поліноміального оцінювання в
загальному випадку нелінійна і потребує застосування чисельних методів для її
вирішення. Це питання буде вирішене в наступних розділах.
Задля порівняння ефективності методу поліноміального оцінювання відносно
методу моментів та методу максимальної правдоподібності, а також порівняння
ефективності методу поліноміального оцінювання при збільшення степені s було
також розраховано вирази коефіцієнтів ih для даної моделі при 4,3s . Вони
показані в додатку А.
Також важливими для практичного застосування у вирішенні задач розділення
сумішей є полігаусові моделі, в яких є невідомими вагові коефіцієнти (імовірності
появи тієї чи іншої компоненти) j . Тож в роботі розглянуто синтез методу

45. 45
поліноміального оцінювання параметрів моделі типу (2.6) з вектором оцінюваних
параметрів ),,( m , причому для такої моделі потрібно використати степінь
полінома .3s
Згідно з виразами (2.2), отримані вирази для початкових моментів:
).28210420105)(1(105
),21105105)(1(
),154515)(1(15
),1015)(1(),63)(1(3
),3)(1(,)m)(d-(1),1(
8642234
8
75323
7
64223
6
532
5
422
4
3
3
2
21
mdmmdmdd
mdmmdmd
mdmmdd
mdmmdmdmd
mmdm










(2.13)
Відповідно, для знаходження оптимальних коефіцієнтів ih , потрібно знайти
похідні від s початкових моментів. Похідні за шуканими параметрами m , d ,  :
),33(
2
1
,,
2
1 2321
md
m
m
mm








 
,
2
3
,
2
1
,0 321 m
ddd








 
.3,1, 33221
mdmmdm 














Центровані корелянти цього типу бігаусової моделі матимуть вигляд:
.2334915115
),)23)(1()2(6)(1(
)),1(33)(1(3
),)23)(1()2(6)(1(
,)1())1(223()2(2
),)1(2)(1(
)),1(33)(1(3
),)1(2)(1(),)(1(
42263
33
222
32
242
31
222
23
224222
22
2
21
242
13
2
12
2
11
))(d m)(mdmd) ((F
mdmdmddmF
dmmdF
mdmdmddmF
mdmmdddmddF
mddmF
dmmdF
mddmFmdF
















Об’єм тіла при 3s для бігаусового розподілу другого типу матиме вигляд:

46. 46
)))4(9)1)(3(4(2736(
)1(2))35(93611
830()1()13311
)5(9)1(1515(12)2(1
6313992131
229191636
222
22283
642263
2433
634222
252224
3












mmm
δdmδ)(m)(
mmδdδ)δ(δ)(m)(
mm)(d)(
dδ)δδ))(mm(m(δδ))()(
m(d)) ()) (m(m(dΔ
Проаналізувавши цей вираз, виявилось, що умова 03  виконується на всіх
можливих значеннях m та за додатних значеннях d (яке за своїм означенням не
може бути від’ємним), а також при значеннях 10   .
Використовуючи вираз (1.9), знаходимо коефіцієнти imh , idh та ih з рішення
системи лінійних рівнянь за допомогою часткових визначників.
Отже коефіцієнти imh матимуть такі значення:
3
1
1


 m
mh ,
3
2
2


 m
mh
3
3
3


 m
mh
де
,32633271)2327230
113156193)5
132133151
73391121
35222
2222
2232
22224
1
)(d)))(m(m(m(
)(d))) (m(m(d
)) (m(m()(d))())(
)m(m)(((m)(d)((m








,7129126131
2113151271
6151431
242
42422
423
2
δ)))(mδδ)(mδ)((dδ)δ(
)mmd(δ)δδ))(mm(δ)(
dδ)δ)(δ)(m(dδ)δ(m(Δ m



.3491261)91
6(15))3(3)31)3(9(
112231
242
22222
23
3
δ)))(mδδ)(mδ)((dδδ)(
)mmd(δδ)(mm(m
δ)δ)(δ)(m(dδ)δ((Δ m





Коефіцієнти idh матимуть такі значення:

47. 47
3
1
1


 d
dh ,
3
2
2


 d
dh ,
3
3
3


 d
dh ,
де
,5631511
541312261
2331831
26
24422
422223
1
δ)))(δ)(mδ)(δ)δ(m(
dδ)(δ)(dδ)δ)(m(δδδ)(
)mm(dδ)δ))(m(dδ)(m(Δ d



,133(321)1
215151)1361
)1253161
2422
6442
2224
2
)δ))(mmm(δ)(δ)(
mmd(δ)(δ)(m(dδ)δ(
δ)(m(dδ)(dδ)((Δ d





))))222213)
252))4(5(33(161
422242
3


md()mdd(dd)((mm
d)(ddd(δ)((δ)m(Δ d


.
Коефіцієнти ih матимуть такі значення:
3
1
1


 
h ,
3
2
2


 
h ,
3
3
3


 
h ,
де
,)51
532)8)1(325)1(21
)13)1(5136
22
22222
425223
1
)δm(δ)δ(
)m(dδ)m(md(δ)m(
d(d)δ))(m((mm(dΔ





,1161112171
151215611
12171423
243
4222242
22524
2
δ)))(mδδ)(mδ)((dδ)δ)(
)mm(mdδδ)δm(δ)δ)(mm(
dδ)(dδ)δ)(δ)(m((dΔ δ



δ)).δ)(m(m(dδδmδ)((
dm)(δ))(m(d(dm(Δ δ
61)23)6)1(31
3132)132
222
3222224
3




Як і для попередньої моделі, використовуючи ці коефіцієнти, можна скласти
систему рівнянь для оцінювання параметрів бігаусової моделі асиметричних
випадкових величин:

48. 48
 
 
  .0),,(),,(
.0),,(),,(
,0),,(),,(
ˆ1 1
ˆ1 1
ˆ1 1



 
 
 
 
 
 

 


s
i
n
v
i
i
vi
dd
s
i
n
v
i
i
vid
mm
s
i
n
v
i
i
vim
dmdmh
dmdmh
dmdmh
(2.14)
Систему (2.14) розв’язують чисельними методами відносно параметрів ,,dm .
Як видно з розроблених методів поліноміального оцінювання бігаусових
моделей, їх можна аналогічно поширити і на полігаусові моделі вищих порядків.
Так для тригаусової моделі загального виду:
 
     
2
3
2
3
2
2
2
2
2
1
2
1
2
2
3
212
2
2
22
2
1
1
2
1
22







mxmxmx
eeexp







 , (2.15)
використовуючи моментний опис (2.2), було також розроблено декілька типів
тригаусових моделей. Для них отримано оцінки їх параметрів за допомогою методів
поліноміального оцінювання, а деякі з них наведено нижче.
Визначення 2.5. Тригаусовою моделлю першого типу для асиметричних
випадкових величин будемо називати модель виду (2.15), де 22
3
2
2
2
1   ,
01 m та 3/121   .
 
     
2
2
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
23
1
23
1
23
1 

mxmxx
eeexp




 . (2.16)
з вектором оцінюваних параметрів ),,( 32 mm .
Виходячи з цього визначення, вирази для формування рівнянь методу
поліноміального оцінювання параметрів тригаусової моделі першого типу для
асиметричних випадкових величин приведено у додатку Б.
Визначення 2.6. Тригаусовою моделлю другого типу для асиметричних
випадкових величин будемо називати модель виду (2.15), де 22
3
2
2
2
1   ,
232 mm  , 232 mm  та   21 .

49. 49
 
     
2
2
23
2
2
23
2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
21
22







mxmxmx
eeexp







 . (2.17)
з вектором оцінюваних параметрів ),,,( 231 mm .
Аналізуючи отримані вирази, можна дійти висновку, що використання типів
значно спрощує побудову методів поліноміального оцінювання, але звичайно існує
можливість сформувати й інші типи як бігаусових, так і тригаусових моделей, з
вибором інших наборів вихідних даних. Але такі моделі можуть бути сформовані
лише при доданому об’ємі тіла полінома та існуванні варіаційної матриці, яка
характеризує дисперсії оцінок параметрів моделі. В іншому разі при розв’язуванні
рівнянь, складених за методом поліноміального оцінювання, не буде дійсних
значень оцінок параметрів полігаусових моделей.

50. 50
2.2 Поліноміальне оцінювання параметрів полігаусових моделей
ексцесних випадкових величин
Як окремий випадок, у дисертаційній роботі також розглядається синтез
методів поліноміального оцінювання для моделей негаусових випадкових сигналів,
що мають симетричний закон розподілу щільності імовірності за допомогою
полігаусових розподілів. Часто цей клас величин також називають ексцесним. Така
назва зумовлена особливістю їх моментно-кумулянтного опису. У цих випадкових
величин всі непарні кумулянти (моменти) тотожні нулю, а не рівність нулеві парних
кумулянтів, зокрема кумулянтного коефіцієнту 4-го порядку (коефіцієнта ексцесу)
саме і характеризує ступінь негаусовості розподілів [50, 72].
Подібні полігаусові ексцесні моделі широко використовуються для
апроксимації не лише щільності розподілу випадкових процесів, але і розподілів їх
обвідних. Так, наприклад, зважаючи на те, що ідеальний амплітудний детектор
дозволяє виділити без спотворень обвідну сигналу, що подається на нього,
математичний імовірнісний опис для обвідної завади можна розглядати як модель
завади, що діє на виході амплітудного детектора, для якого можна знехтувати
спотворенням обвідної в процесі детектування. Зокрема у роботах [111, 121]
розглянуті моделі обвідної широкосмугових і вузькосмугових завад при
використанні полігаусових методів. При цьому використовуються саме симетричні
полігаусові розподіли.
Ще однією сферою застосування симетричних законів розподілу є
метрологічні дослідження, метою яких є підвищення точності за рахунок
усереднення випадкової складової похибок вимірювання. Зазвичай, за математичну
моделі випадкової похибки використовують ергодичний випадковий процес з
дискретним часом, який має нульове середнє і симетричний закон розподілу
ймовірностей. Але на практиці, вигляд цього закону часто апріорно не є відомим. А
оскільки знання реального закону розподілу необхідне для вибору методики
отримання оцінок вимірюваної величини, то в таких випадках доводиться підбирати
апроксимаційний закон розподілу, який в найбільшій мірі відповідає

51. 51
експериментальним даним [2, 4, 71].
Отже, в даній роботі вирішення таких задач пропонується за рахунок
використання методів поліноміального оцінювання для ексцесних полігаусових
моделей при перфорованому моментно-кумулянтному описі випадкових величин та
послідовностей.
Основною перевагою полігаусових моделей є те, що властива їм зручність
математичного апарату гаусових розподілів поєднується із збільшенням
функціональності, що виражається в значному розширенні можливого діапазону
статистичних характеристик експериментальних даних з використанням кумулянтів
вищих порядків, які можуть бути адекватно описані цими моделями [110, 124].
У ході проведених досліджень, було виявлено, що для методу поліноміального
оцінювання параметрів полігаусових моделей симетричних випадкових величин
потрібно використати степінь полінома qs 2 , де q – кількість оцінюваних
параметрів. Це пов’язано з тим, що частина моментів, і як наслідок, частина
кумулянтів та оптимальних коефіцієнтів дорівнює нулеві.
Під час проведення дослідження для спрощення розрахунків та симетризації
розподілу було отримано перфорований моментний опис з використанням (2.2).
Крім того, було проведено модифікацію полігаусових моделей, яка для ексцесних
розподілів матиме такий вигляд: рівність нулю математичних сподівань гаусових
компонент jm чи використання симетричних 1 jj mm , а дисперсії компонент або
ж обирають рівними j  ...21 або ж невідомими, а також використано
припущення про однаковий внесок компонент у суміш – 5.0j .
Завдяки цьому аналогічно до бігаусових моделей асиметричних випадкових
величин виду (2.3) було отримано два типи моделей симетричних випадкових
величин [28, 32].
Визначення 2.5. Бігаусовою моделлю першого типу для симетричних
випадкових величин будемо називати модель виду (2.3), де 021  mm , 5.0 :

52. 52
 
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
1 2
5.0
2
5.0 

xx
eexp

 (2.18)
з вектором оцінюваних параметрів ),( 21  .
Відповідно вихідні дані наведеної моделі у вигляді перфорованого
моментного опису для парних моментів будуть:
s,im
s
j
ijji 21),,(
1
 

 .
Згідно з методом поліноміального оцінювання кількість початкових моментів
повинна дорівнювати s2 , де s – степінь полінома.
Визначення 2.6. Бігаусовою моделлю другого типу для симетричних
випадкових величин будемо називати модель виду (2.3), де mm 1 , mm 2 ,
22
2
2
1   та 5.0 :
 
   
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
5.0
2
5.0 

mxmx
eexp




 (2.19)
з вектором оцінюваних параметрів ),( m .
Відповідно вихідні дані наведеної моделі для методу максимізації полінома
записують у вигляді перфорованого моментного опису для парних моментів:
si
s
j
ijji 2,1),,,( 21
1
 

 .
Необхідно зауважити, що перший тип бігаусової моделі розрахований на
від’ємні значення коефіцієнта ексцесу, а другий – на додатні. Ці моделі були
складені з врахуванням якомога меншої обчислювальної складності [106].
На рис. 2.1 наведено графічні зображення розроблених моделей на основі
модифікованих бігаусових розподілів з однаковою дисперсією, побудовані із
використанням розподілів І-го (рис. 2.1(а)) та ІІ-го (рис. 2.1(б)) типу.

53. 53
а) б)
Рисунок 2.1 – Щільності ймовірностей ексцесних випадкових величин,
побудовані на основі бігаусових розподілів: (а) – І-го типу; (б) – ІІ-го типу.
Для ексцесних бігаусових моделей моментний опис з врахуванням перфорації
і виразу (2.2) набуде такого вигляду:
).28210420105)(1(
)28210420105(
,0),15
4515)(1()154515(
,0),63)(1()63(
,0),)(1()(,0
6
1
2
1
4
1
4
1
2
1
6
1
8
1
8
1
6
1
2
1
4
1
4
1
2
1
6
1
8
18
7
6
2
4
2
2
2
2
2
4
2
6
2
6
1
4
1
2
1
2
1
4
1
6
16
5
4
2
2
2
2
2
4
2
4
1
2
1
2
1
4
14
3
2
2
2
2
2
1
2
121
mmmm
mmmm
mm
mmmm
mmmm
mm












(2.20)
Розглянемо метод поліноміального оцінювання параметрів бігаусової моделі
першого типу симетричних випадкових величин з такими параметрами: 01 m ,
02 m , 1
2
1 d , 2
2
2 d та 5.0 .
Виходячи з виразів (2.20), отримаємо такі початкові моменти, які необхідні
для оцінки параметрів при степені поліному 4s :
.
2
)(105
,0,
2
)(15
,0
,
2
)(3
,0,
2
,0
4
2
4
1
87
3
2
3
1
65
2
2
2
1
43
21
21
dddd
dddd











54. 54
Відповідно для знаходження оптимальних коефіцієнтів ih , потрібно знайти
похідні від s початкових моментів.
Похідні за шуканими параметрами 1d та 2d :
.3,0,
2
1
,0 1
1
4
1
3
1
2
1
1
d
dddd











 
.3,0,
2
1
,0 2
2
4
2
3
2
2
2
1
d
dddd











 
Згідно з методом поліноміального оцінювання, центровані корелянти
бігаусової моделі матимуть вигляд:
,FF),d(dFFFF,
)d(d
F 0
2
3
,0
2
4114
2
2
2
131132112
21
11 


,FF),ddd-d(F 0525
4
1
3223
2
221
2
122 
,FF),d(dF),ddd-d) (d(dF 0
2
15
9109
4
3
4334
3
2
3
133
2
221
2
12124 
).ddd-d(F),ddd-d)(d(dF 4
2
2
1
2
1
4
144
2
221
2
12142 67667
4
3
9109
4
3

Для цього типу бігаусового розподілу об’єм тіла при 4s матиме вигляд:
)dddddddddddd(
)dddddddd(Δ
6
2
5
21
4
2
2
1
3
2
3
1
2
2
4
12
5
1
6
1
4
2
3
21
2
2
2
12
3
1
4
14
232089120892023
25652
16
9


Аналіз показав, що умова 04  виконується на всіх можливих додатних
значеннях 1d та 2d (які за своїм означенням не можуть бути від’ємними).
Згідно з методом поліноміального оцінювання, знаходимо коефіцієнти 1idh та
2idh з рішення системи лінійних рівнянь за допомогою часткових визначників.
Отже, коефіцієнти 1idh та 2idh матимуть такі значення:
0
4
3
3
4
1
1
4
3
3
4
1
1
2
2
2
2
1
1
1
1













d
d
d
d
d
d
d
d hhhh

55. 55
)dddddddddddd(
dddddd
h
d
d 6
2
5
21
4
2
2
1
3
2
3
1
2
2
4
12
5
1
6
1
4
2
3
212
3
1
4
1
4
2
2
2320891208920232
67546131
1





 ,
)dddddddddddd(
dddddd
h
d
d 6
2
5
21
4
2
2
1
3
2
3
1
2
2
4
12
5
1
6
1
2
221
2
121
4
4
4
2320891208920232
)92)((1
1





 ,
)dddddddddddd(
dddddd
h
d
d 6
2
5
21
4
2
2
1
3
2
3
1
2
2
4
12
5
1
6
1
4
2
3
212
3
1
4
1
4
2
2
2320891208920232
13654672
2





 ,
)dddddddddddd(
dddddd
h
d
d 6
2
5
21
4
2
2
1
3
2
3
1
2
2
4
12
5
1
6
1
2
221
2
121
4
4
4
2320891208920232
)29)((2
2





 .(2.21)
Система рівнянь методу поліноміального оцінювання параметрів бігаусової
моделі ексцесних випадкових величин з використанням знайдених коефіцієнтів
матиме вигляд:
 
  .0),(),(
,0),(),(
22
2
11
1
ˆ1 1
2121
ˆ1 1
2121


 
 
 
 
dd
s
i
n
v
i
i
vid
dd
s
i
n
v
i
i
vid
ddddh
ddddh


(2.22)
Як і для асиметричних моделей, ця система рівнянь методу поліноміального
оцінювання в загальному випадку нелінійна і потребує застосування чисельних
методів для її вирішення, що далі планується провести в дисертаційній роботі.
Аналогічно було проведено синтез методу поліноміального оцінювання
параметрів бігаусової моделі другого типу ексцесних випадкових величин з такими
параметрами: mm 1 , mm 2 , d2
1 , d2
2 та 5.0 .
Виходячи з таких умов, отримаємо початкові моменти, які необхідні для
оцінки параметрів при степені поліному 4s :
.28210420105,0
,154515,0
,63,0,,0
8642234
87
64223
65
422
43
2
21
mdmmdmdd
mdmmdd
mdmdmd






(2.23)
Відповідно для знаходження оптимальних коефіцієнтів ih , потрібно знайти

56. 56
похідні від s початкових моментів.
Похідні за шуканими параметрами m та d :
.412,0,2,0 34321
mdm
mm
m
mm











 
.66,0,1,0 24321
md
dddd











 
Згідно з методом поліноміального оцінювання, центровані корелянти
бігаусової моделі матимуть вигляд:
,0,63,0, 4114
422
132112
2
11  FFmdmdFFFmdF
),293(4,0),2(2 422
243223
2
22 mdmddFFFmddF 
,0,154515,63 4334
64223
33
422
31  FFmdmmddFmdmdF
).2214812(8),293(4 64223
44
422
42 mdmmdddFmdmddF 
Для ексцесних випадкових величин існують об’єми тіл та області визначення
для кумулянтних коефіцієнтів різних типів випадкових величин. Вони визначають
співвідношення значень n , які не можуть бути довільними.
Застосовуючи метод поліноміального оцінювання полігаусових моделей,
спостерігається ще одне обмеження у вигляді додатного об’єму тіла полігаусового
розподілу.
Об’єм тіла для бігаусового розподілу при 4s матиме вигляд:
)824183)(29123(32 64223642234
4 mdmmddmdmmddd 
Аналіз показав, що умова 04  виконується на всіх можливих значеннях m
та при додатних значеннях d (яке за своїм означенням не може бути від’ємним).
Використовуючи вираз (1.57), знаходимо коефіцієнти imh та idh з рішення
системи лінійних рівнянь за допомогою часткових визначників.
Отже коефіцієнти imh та idh матимуть такі значення:
0
4
3
3
4
1
1 





 m
m
m
m hh , 0
4
3
3
4
1
1 





 d
d
d
d hh

57. 57
)824183(
)26(3
64223
422
4
2
2
mdmmddd
mdmdm
h m
m





 ,
)824183( 64223
3
4
4
4
mdmmddd
m
h m
m




 ,
)824183(2
412123
642232
64223
4
2
2
mdmmddd
mdmmdd
h d
d





 ,
)824183( 642232
4
4
4
4
mdmmddd
m
h d
d




 . (2.24)
Ці коефіцієнти будуть оптимальними в сенсі мінімуму дисперсії
поліноміальних оцінок бігаусової моделі першого типу для ексцесних випадкових
величин.
Система рівнянь для оцінки параметрів матиме вигляд:
 
  .0),(),(
,0),(),(
ˆ1 1
ˆ1 1


 
 
 
 
dd
s
i
n
v
i
i
vid
mm
s
i
n
v
i
i
vim
dmdmh
dmdmh


(2.25)
Як уже зазначалося, система рівнянь поліноміального методу оцінювання в
загальному випадку нелінійна і потребує застосування чисельних методів для її
вирішення.
Відповідно до вже визначених бігаусових моделей симетричних випадкових
величин розроблено тригаусові моделі різних типів, використовуючи модель:
 
     
.
2
1
22
2
3
2
3
2
2
2
2
2
1
2
1
2
2
3
212
2
2
22
2
1
1 






mxmxmx
eeexp







 (2.26)
Для того щоб забезпечити симетричність розподілу (2.26) на значення його
параметрів 1 , 2 31 mm  і 31   (як і у випадку з бігаусовим розподілом),
необхідно накласти певні умови і отримати при цьому два типи симетричних
(ексцесних) тригаусових моделей.

58. 58
Визначення 2.6. Тригаусовою моделлю першого типу для симетричних
випадкових величин будемо називати модель виду (2.26), де 0321  mmm , 13  ,
3/121   :
  2
2
3
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
1
2
23
1
23
1
23
1
xxx
eeexp




, (2.27)
з вектором оцінюваних параметрів ),( 21  .
Визначення 2.7. Тригаусовою моделлю другого типу для симетричних
випадкових величин будемо називати модель виду (2.26), де 0,, 321  mmmmm ,
22
3
2
2
2
1   , 3/121   :
 
   
.
23
1
23
1
23
1 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2


xmxmx
eeexp





 (2.28)
з вектором оцінюваних параметрів ),( m .
Отже, за аналогіює до бігаусових моделей симетричних випадкових величин,
обчисливши початкові моменти, використовуючи (2.2), можна легко отримати
поліноміальні оцінки параметрів вище згаданих тригаусових моделей.
На рисунку 2.2 представлені графіки прикладів побудови щільності розподілу
імовірності тригаусових моделей І-го та ІІ-го типів.
а) б)
Рисунок 2.2 – Щільності ймовірностей ексцесних випадкових величин,
побудовані на основі тригаусових розподілів: (а) – І-го типу; (б) – ІІ-го типу.

59. 59
Основні розрахункові співвідношення для поліноміального оцінювання
параметрів тригаусових моделей показано в додатку В.
Оскільки інколи існує необхідність використання також тетрагаусових
моделей, то в роботі пропонується їх декілька типів. Загальний вираз тетрагаусової
моделі можна представити у вигляді:
     
    ,
2
exp
2
1
2
exp
2
2
exp
22
exp
2
2
4
2
4
2
4
321
2
3
2
3
2
3
3
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
1







 










 









 








 









mxmx
mxmx
xp
(2.29)
Визначення 2.8. Тетрагаусовою моделлю першого типу для симетричних
випадкових величин будемо називати модель виду (2.29), де 04321  mmmm та
4
1
321   :
 
,
2
exp
24
1
2
exp
24
1
2
exp
24
1
2
exp
24
1
2
4
2
2
4
2
3
2
2
3
2
2
2
2
2
2
1
2
2
1































xx
xx
xp
(2.30)
з вектором оцінюваних параметрів ),,,( 4321  .
Визначення 2.9. Тетрагаусовою моделлю другого типу для симетричних
випадкових величин будемо називати модель виду (2.29), де 21 mmm  ,
043  mm , 2
2
2
1
2
12   та 21221   ,
2
1 12
43



 :
     
,
2
exp
2
1
2
exp
2
1
2
exp
2
exp
22
2
4
2
2
4
12
2
3
2
2
3
12
2
12
2
2
12
2
2
12
12


































 








 







xx
mxmx
xp
(2.31)
з вектором оцінюваних параметрів ),,,,( 124312 m .
Визначення 2.10. Тетрагаусовою моделлю третього типу для симетричних

60. 60
випадкових величин будемо називати модель виду (2.29), де 2112 mmm  ,
4334 mmm  , 2
2
2
1
2
12   та 2
4
2
3
2
34   і 21221   ,
2
1 12
43



 :
     
   
,
2
exp
2
exp
22
1
2
exp
2
exp
22
2
34
2
34
2
34
2
34
2
34
12
2
12
2
12
2
12
2
12
2
12
12















 








 



















 








 





mxmx
mxmx
xp
(2.32)
з вектором оцінюваних параметрів ),,,,( 1234123412 mm .
а) б)
в)
Рисунок 2.3 – Щільності ймовірностей ексцесних випадкових величин,
побудовані на основі тетрагаусових розподілів: (а) – І-го типу; (б) – ІІ-го типу;
(в) – ІІІ-го типу.

61. 61
Аналогічно до оцінки параметрів бігаусових та тригаусових моделей
ексцесних випадкових величин, обчисливши початкові моменти, використовуючи
формулу (2.2), можна легко отримати поліноміальні оцінки параметрів розроблених
тетрагаусових моделей.
Аналізуючи наведені результати синтезу методів поліноміального оцінювання
параметрів полігаусових симетричних моделей та характер наведених на рисунках
2.1, 2.2 та 2.3 прикладів отриманих моделей есцесних розподілів, необхідно
відзначити їх різноманітність. Це потенційно дозволяє застосовувати їх для
апроксимації ексцесних випадкових величин з різними статистичними
характеристиками, що змінюються в досить великому діапазоні значень, при цьому
отримуючи поліноміально ефективні оцінки моделей.

62. 62
2.3 Застосування чисельних методів для пошуку поліноміальних оцінок
параметрів полігаусових моделей
Неможливо уявити сучасну науку без широкого застосування математичного
моделювання. Робота не з самим об'єктом (явищем, процесом), а з його моделлю дає
можливість відносно швидко і без істотних витрат досліджувати його властивості і
поведінку в будь-яких ситуаціях. В той же час обчислювальні (комп'ютерні,
імітаційні) експерименти з моделями об'єктів дозволяють, спираючись на
потужність сучасних обчислювальних методів і технічних інструментів, детально
вивчати об'єкти в достатній повноті, недоступній теоретичним підходам. Не дивно,
що методологія математичного моделювання бурхливо розвивається, охоплюючи
все нові сфери – від розробки технічних систем і управління ними до аналізу
складних економічних і соціальних процесів [79].
Як правило, кожна математична модель не може бути розроблена без
застосування чисельних методів, що будуть реалізовані на певній обчислювальній
системі. Тож реалізація і використання розроблених методів поліноміального
оцінювання параметрів полігаусових моделей також пов’язана з певними
проблемами вибору оптимального, відносно машинних ресурсів, обчислювального
алгоритму.
Саме тому в цьому пункті дисертаційної роботи вирішується задача вибору та
модифікації чисельного методу для вирішення нелінійних рівнянь, які отримані
МПО параметрів полігаусових моделей при перфорованому моментно-
кумулянтному описі випадкових послідовностей. Наразі, пропонується визначити
оптимальний метод, який би забезпечив необхідну швидкодію моделей та
знаходження правильного розв’язку системи на ЕОМ чи на процесорах цифрової
обробки сигналів.
У попередніх розділах отримано системи рівнянь для спільного оцінювання
векторного параметра  полігаусових моделей, які виявились нелінійними. Така
система в найпростішому випадку містить два нелінійні рівняння, які не
вирішуються аналітичними методами. Тож актуальною проблемою постає задача
вирішення цієї системи, що потребує вибору та обґрунтування певних чисельних

63. 63
методів.
Від того, який метод буде використовуватись прямо залежить адекватність
моделі поставленій задачі. Ще одним критерієм вибору методу повинна бути
можливість якомога простішої реалізації на ЕОМ та відносно мале споживання
обчислювальних ресурсів у вигляді процесорного часу та кількості ітерацій
чисельного методу.
Проаналізувавши чисельні методи рішення систем нелінійних рівнянь,
наведені в [17, 37, 67, 77, 80] запропоновано зупинитись на трьох найбільш
поширених методах обчислювальної математики стосовно вирішення систем
нелінійних рівнянь. Це метод Ньютона, метод простих ітерацій та метод
найшвидшого спуску. Ці методи найбільш поширені у використанні та мають
просту реалізацію на ЕОМ. Постає питання вибору найліпшого методу, згідно з
вибраними критеріями, серед трьох названих.
Система нелінійних рівнянь у загальному випадку має вигляд:
 
 







.0,
,0,
)(
1
11
nn
n
xxf
xxf
xf



(2.33)
Тут nxx ,,1  – невідомі змінні, а система (2.33) називається нормальною
системою порядку n , якщо хоч би одна з функцій ),...,( 1 ni xxf нелінійна.
Рішення систем нелінійних рівнянь – одне з важких завдань обчислювальної
математики. Трудність полягає в тому, щоб визначити: чи має система рішення, і
якщо так, то скільки. Уточнення рішень в заданій області – простіше завдання.
Метод простих ітерацій. З початкової системи (2.33) шляхом еквівалентних
перетворень переходять до системи вигляду:
 
 






.,,
,,,
1
111
nnn
n
xxx
xxx



Ітераційний процес, який визначається формулами

64. 64
    
    








,,,
,,,
1
1
11
1
1
k
n
k
n
k
n
k
n
kk
xxx
xxx



,1,0k
можна почати, задавши початкове наближення         00
1
0
,, nxxx  .
Достатньою умовою збіжності ітераційного процесу є одна з двох умов:
ni
x
n
j j
i
,1,1
1





або nj
x
n
i j
i
,1,1
1





.
Розписавши першу умову, маємо:
11
2
1
1
1









nxxx
 при 1i ,
1
21









n
nnn
xxx
 при ni  .
Розписавши другу умову:
1
11
2
1
1









xxx
n
 при 1j ,
121









n
n
nn xxx
 при nj  .
Метод простих ітерацій є самовиправлюваним, універсальним і простим для
реалізації на ЕОМ. Якщо система має великий порядок, то застосування цього
методу, що має повільну швидкість збіжності, не рекомендується [17, 77].
Метод Ньютона. Нехай потрібно вирішити систему нелінійних рівнянь
вигляду (2.33). Припустимо, що рішення існує в деякій області  , у якій всі функції
  nixxf ni ,1,,,1  безперервні і мають, принаймні, першу похідну. Метод Ньютона
є ітераційним процесом, який здійснюється за певною формулою вигляду:
         ,11 kkkk
xfxWxx 
 (2.34)
де

65. 65
  
   
        
.
,,
,,
,,
11
1
1
1
k
n
kn
n
xx
xnxn
xx
k
ff
ff
xW



















– матриця Якобі.
Труднощі при використанні методу Ньютона полягають у відшуканні
зворотної матриці та визначенні, чи не виходить  1k
x за межі області  .
Ітераційний процес за формулою (2.34) закінчується, якщо виконується така
умова:
     kk
xx 1
. (2.35)
Перевагою методу Ньютона є його швидка збіжність у порівнянні з методом
простих ітерацій [77, 80].
Метод найшвидшого спуску. Цей метод є одним із градієнтних методів
вирішення систем нелінійних рівнянь. Система рівнянь (2.33) еквівалентна одному
рівнянню
0)(  x (2.36)
де )(...)()()( 22
2
2
1 xfxfxfx n .
Очевидно, рішеннями рівняння (2.36) є точки нульових мінімумів функції
),...,,()( 21 nxxxx  .
Допустимо, що )(x двічі неперервно диференційована в області, яка
включає в себе ізольоване рішення *x . Потім, задаючи початкове наближення 0
x ,
шукають мінімум функції   )0()0(
xgradx   однієї змінної  . Фактично
знаходиться мінімальний невід’ємний корінь 0  рівняння
   0)0()0(



xgradx 

.
Тоді взагалі ітерації набудуть вигляду:
 )()()1( k
k
kk
xgradxx 
 ,

66. 66
де k – мінімальний невід’ємний корінь рівняння
   0)()(


 kk
xgradx 

.
Градієнт функції )(x визначається як      kk
xfxW , де   k
xW –
транспонована матриця Якобі, а мінімальний корінь рівняння в матричній формі
запису:
             
                 kkkkkk
kkkk
k
xfxWxWxfxWxW
xfxWxWxf


 . (2.37)
Ітераційний процес за формулою даного методу можна закінчувати за умови,
яка наведена для методу Ньютона [67].
Вище перераховані чисельні методи були застосовані для розрахунку систем
нелінійних рівнянь, що входять до бігаусових моделей різних типів, що дає
можливість правильно трактувати ефективність кожного із них. Вони також були в
подальшому поширені для розрахунку вищих типів полігаусових моделей [99].
Але для кожного з них збіжність ітераційного процесу істотно залежить від
початкових наближень параметрів. Пропонується такий спосіб формування
початкових наближень, який ґрунтований на принципі максимального рознесення
математичних очікувань компонент в області значень елементів вибірки. Початкові
наближення вагових коефіцієнтів j , rj ,1 , при компонентах, якщо вони невідомі,
то вважаються рівними r/1 , дисперсії компонентів 2
j однаковими і покладаються
пропорційними дисперсії вибірки (зазвичай 1,5 рази). Початкові значення jm
середніх поміщаються на краях вектора, центр якого розташований у точці
середнього значення вибірки, відстані від центру дорівнюють
середньоквадратичним відхиленням вибірки. Якщо j непарне, то як початкове
наближення для одного з jm вибирається середнє значення вибірки. Інші значення
jm розташовуються в попарно симетричних відносно центру точках. При такому
виборі початкових наближень метод поліноміального оцінювання (МПО) дозволяє
оцінити параметри полігаусового розподілу за допомогою вище згаданих

67. 67
ітераційних методів [98].
Для першого експерименту було проведено вирішення нелінійних рівнянь
трьома обраними чисельними методами для різних статистичних методів оцінки
параметрів полігаусових моделей – ММ, ММП та МПО. Системи рівнянь було
сформовано так: для ММ – безпосередньо з виразів (2.2), для ММП – відповідно до
(1.53) та для МПО при 4s – згідно з (А.16).
Таким чином, було проведено відносне порівняння використання ресурсів
різними статистичними та чисельними методами. Початкові умови для розрахунків
були обрані однаковими, що звичайно інформативно відображає кількість ітерацій,
які необхідні для досягнення заданої точності обчислень, а час їх виконання обрано
за показник ефективності роботи методу, як чисельного так і статистичного.
Початкові умови були розраховані по вибіркових даних відповідно до
наведених рекомендацій: 0.479m та 1.8932
d . Точність обчислень була
задана 2 =10–8
.
У таблиці 2.1 наведено результати порівняння ефективності методів
оцінювання параметрів бігаусової моделі першого типу (2.4) для асиметричних
випадкових величин.
Таблиця 2.1 – Порівняння ефективності методів оцінювання параметрів
бігаусової моделі першого типу для асиметричних випадкових величин
Оцінені параметри
бігаусової моделі
Кількість
ітерацій
Середній час
виконання
Назва чисельного
методу
Назва методу
оцінки
параметрів m 2
 і t (c)
ММ 1.16238511 1.54981264 47 0.144
МПО 1.00480694 1.86306847 85 1.278
Метод простих
ітерацій
ММП 1.00206328 1.90650525 184 4.434
ММ 1.16238511 1.54981264 5 0.025
МПО 1.00480696 1.86306845 6 0.042Метод Ньютона
ММП 1.00206328 1.90650525 5 2.254
ММ 1.16238448 1.54981372 254 0.217
МПО 1.00480696 1.86306848 38 2.776
Метод найшвидшого
спуску
ММП 1.00206329 1.90650532 29 135.8

68. 68
Аналізуючи результати застосування різних чисельних і статистичних методів
для оцінювання параметрів бігаусової моделі першого типу, найшвидшим є метод
моментів фактично в незалежності від застосовуваного методу обчислювальної
математики. Щодо застосування методу Ньютона можна говорити, що він і є
оптимальним вибором для вирішення систем нелінійних рівнянь для всіх трьох
статистичних методів оцінювання параметрів. Варто зауважити, що результати
МПО і ММП досить сильно наближені один до одного.
Наступним кроком дослідження було використання бігаусової моделі другого
типу (2.6) з вектором оцінюваних параметрів ),,( m .
За початкові умови було розраховано наближення для вибіркових даних
відповідно до наведених рекомендацій: 1.06m та 4.22
d , 5.0 . Точність
обчислень задана 2 =10–8
. Результати роботи методів, що застосовувались для
вирішення систем нелінійних рівнянь наведено в таблиці 2.2.
Таблиця 2.2 – Порівняння ефективності методів оцінювання параметрів
бігаусової моделі другого типу для асиметричних випадкових величин
Оцінені параметри
бігаусової моделі
Кількість
ітерацій
Середній
час
виконання
Назва
чисельного
методу
Назва методу
оцінки
параметрів
m 2
  і t (c)
ММ 1.00476150 3.39544836 0.47224252 9 0.006
МПО 1.00076232 3.39744277 0.45222278 26 0.156
Метод простих
ітерацій
ММП 0.92721277 3.4007425 0.44554365 35 8.242
ММ 1.00476150 3.39544836 0.47224252 5 0.066
МПО 1.00076232 3.39744276 0.45222278 6 0.061Метод Ньютона
ММП 0.92721277 3.4007425 0.44554365 5 4.57
ММ 1.00476483 3.3086962 0.4628634 940 46.98
МПО 0.99736137 3.39551128 0.4722341 31 9.7
Метод
найшвидшого
спуску ММП 0.99810449 4.09493248 0.51115412 120 257
Як і в попередньому випадку, маємо найбільшу кількість ітерації в методі
найшвидшого спуску. Причому час їх проходження набагато більший у порівняні з

69. 69
першими двома. Таким чином, проведений експеримент показує, що найліпше з
задачею вирішення систем нелінійних рівнянь справляється метод Ньютона.
Аналогічну процедуру порівняння чисельних методів було застосовано до
другого типу бігаусової моделі ексцесних випадкових величин (2.19) з вектором
оцінюваних параметрів ),( m .
За початкові умови було розраховано наближення за вибірковими даними
відповідно до розроблених методик: 0.9m та 0.462
d . Точність обчислень
задана 2 =10–8
. Результати роботи методів, що застосовувались для вирішення
систем нелінійних рівнянь наведено в таблиці 2.3.
Таблиця 2.3 – Порівняння ефективності методів оцінювання параметрів
бігаусової моделі другого типу для ексцесних випадкових величин.
Оцінені параметри
бігаусової моделі
Кількість
ітерацій
Середній час
виконанняНазва чисельного
методу
Назва методу
оцінки
параметрів m 2
 і t (c)
ММ 0.78290027 0.30356124 10 0.003
МПО 0.78190029 0.30556122 33 0.027
Метод простих
ітерацій
ММП 0.78092286 0.30665353 39 4.283
ММ 0.78293087 0.30352131 4 0.055
МПО 0.78190025 0.30556127 5 0.014Метод Ньютона
ММП 0.78092286 0.30665354 5 3.058
ММ 0.78290060 0.30356092 77 0.059
МПО 0.78190026 0.30556126 14 1.443
Метод найшвидшого
спуску
ММП 0.78092378 0.30665177 15 156.71
Підсумовуючи всі результати роботи трьох чисельних методів, можна сказати,
що найоптимальнішим при вирішення систем нелінійних рівнянь для оцінки
параметрів як бігаусових, так і полігаусових моделей є метод Ньютона незалежно
від статистичного методу оцінювання параметрів. Перш за все необхідно відзначити
малу кількість ітерацій цього методу, що говорить про швидку збіжність
ітераційного процесу, а також час виконання кожної ітерації методом Ньютона

70. 70
менший, ніж в інших. Щодо методу простих ітерацій, то він є ефективним тільки
при малих розмінностях нелінійних систем рівнянь. Проводячи аналіз швидкодії
статистичних методів ММ, МПО та ММП можна говорити про те, що МПО можна
позиціонувати, як відносно не ресурсоємкий метод, заснований на використанні
елементарних статистик, але при цьому він дає виграш в точності знайдених оцінок
порівняно з методом моментів, маючи при цьому перевагу в швидкодії перед ММП.
Як подальший розвиток застосування методу Ньютона в спеціалізованих
обчислювальних системах для роботи з полігаусовими моделями можна
запропонувати модифікації методу Ньютона, такі як метод Ньютона-Канторовича чи
модифікацію методу, в якій обрахунок матриці Якобі відбувається тільки один раз
на першому кроці ітерації. Необхідно зауважити, що при застосуванні
модифікованих методів Ньютона збіжність методу не змінюється, але за рахунок
цього можна значно скоротити час виконання ітераційного процесу.
2.4 Висновки до розділу 2
1. Розроблено модифіковані полігаусові моделі при перфорованому
моментно-кумулянтному описі, використання яких дозволяє спростити математичні
алгоритми для оцінювання параметрів моделі, що не заперечує загальній теорії
рандомізованих сумішей.
2. Визначено, що в загальному випадку задача поліноміального
оцінювання N параметрів полігаусових моделей полягає у побудові 13 N
нелінійних рівнянь, які залежать від параметрів гаусових компонент, при
використанні степені поліному 13  Ns , що дає широкий вибір варіацій та ступеня
складності обчислювальних процедур в залежності від типу моделі та апріорної
інформації про її параметри.
3. Вперше розроблено методи поліноміального оцінювання параметрів
полігаусових моделей при перфорованому моментно-кумулянтному описі, які
забезпечують отримання компромісних з погляду складності та точності
обчислювальних алгоритмів.
4. Застосовано поділ полігаусових моделей на два класи для асиметричних

71. 71
та ексцесних випадкових величин, що дало змогу зменшити вдвічі розмірність
системи рівнянь при однаковому степені полінома та зменшити за рахунок цього
використання апаратних ресурсів та затрат часу.
5. Застосування саме методу Ньютона та його модифікацій для
розв’язування систем нелінійних рівнянь, що входять до МПО для визначення
параметрів полігаусових моделей при перфорованому моментно-кумулянтному
описі, дає виграш в швидкодії більш, ніж в три рази для вирішення задачі
оцінювання.

72. 72
РОЗДІЛ 3. ЕФЕКТИВНІСТЬ ПОЛІНОМІАЛЬНИХ ОЦІНОК ПАРАМЕТРІВ
ПОЛІГАУСОВИХ МОДЕЛЕЙ
У попередньому розділі розроблено метод поліноміального оцінювання
параметрів полігаусових моделей при перфорованому моментно-кумулянтному
описі, який ґрунтується на використанні стохастичних поліномів Кунченка. Крім
того, було розроблено класифікацію модифікованих полігаусових моделей за
типами залежно від оцінюваних параметрів. Отримані системи рівнянь МПО
виявилися нелінійними, а тому для їх вирішення розроблено методику відшукання
початкових наближень для чисельного методу Ньютона-Канторовича, який
виявився найдосконаліший у сенсі швидкодії та меншої кількості ітерацій.
Оскільки оцінки параметрів полігаусових моделей знаходяться тільки
чисельними методами, то дослідження їх статистичних властивостей можливе лише
при асимптотичному випадку, а саме, коли обсяг вибірки n прямує до безмежності
[50]. Саме в цьому розділі і проводиться дослідження ефективності оцінок
параметрів полігаусових моделей, отриманих МПО порівняно з класичними
методами. Основні наукові результати розділу опубліковано в роботах [104, 107].
Що ж до знайдених оцінок МПО, то як оцінки параметру в принципі можна
вибрати будь-яку функцію від 

(будь-яку статистику), що приймає значення в
області  .
Але зрозуміло те, що оцінки повинні володіти деякими властивостями, які
дозволяють надавати перевагу одним оцінкам над іншими, розумно їх
використовувати в практичних цілях. Для цього насамперед необхідно визначити
перелік вимог, які ставляться до оцінок, і визначити якість отриманих оцінок.
Однією з характеристик знайдених оцінок є математичне сподівання оцінки:
.,1,ˆ
)( qkbE knk 
Якщо математичне сподівання оцінки kb рівне істинному значенню оцінки,
тобто 0kkb  , то оцінка називається незміщеною. А якщо 0kkb  , то оцінка
називається зміщеною. При цьому величина 0kkk b  називається зміщенням k-ї

73. 73
компоненти оцінки.
Доволі часто до оцінок висувають вимоги, які полягають у тому щоб оцінка
була асимтотично незміщеною, тобто:
0)(
ˆlim knk
n
E  

.
Наступною усередненою характеристикою є дисперсія незміщеної оцінки:
2
0)(
2
)ˆ( knkE   .
Дисперсія характеризує розкид величини )(
ˆ
nk навколо істинного значення
0k . Причому, чим менша дисперсія оцінки, тим ближче в середньому значення
)(
ˆ
nk лежать біля 0k . Вважається, що з двох оцінок )1(
)(
ˆ
nk і )2(
)(
ˆ
nk одного і того ж k-го
параметра кращою (або більш ефективною) оцінкою буде та, для якої дисперсія буде
меншою.
Оцінка )1(
)(
ˆ
nk називається більш ефективною порівняно з оцінкою )2(
)(
ˆ
nk , якщо:
2
0
)2(
)(
2
0
)1(
)( )ˆˆ()ˆˆ( knkknk EE   .
Отже, якість оцінки характеризується дисперсією оцінки. Тому другою
вимогою до оцінок є вимога, щоб у класі незміщених оцінок дисперсія оцінки була
мінімальною.
Існує і менш жорстка вимога, щоб дисперсія була асимптотично мінімальною.
Ще одна властивість , яка необхідна, але не пов'язана з усередненими
характеристиками — це властивість спроможності оцінки. Оцінка називається
спроможною, якщо границя )(
ˆlim nk
n
E

збігається за імовірністю до (чи в
середньоквадратичному) істинного значення параметра 0k .
Щодо оцінок, знайдених методом поліноміального оцінювання з системи
рівнянь виду (1.11), то перш за все потрібно сказати, що вони будуть спроможними.
Це безпосередньо випливає з твердження, що значення nˆ при якому стохастичний
поліном приймає максимальне значення, збігається за імовірністю до істинного
значення при n . З іншого боку в методі поліноміального оцінювання береться

74. 74
саме значення nˆ .
Одними із найважливіших властивостей оцінок, знайдених методом
поліноміального оцінювання, є те, що оцінки nˆ , знайдені з рішення рівняння
(1.11), будуть асимптотично незміщеними, тобто при n
0)ˆ( 0 nE ,
Інша властивість полягає в тому, що коефіцієнти )()( rih , знайдені з рішення
системи лінійних алгебраїчних рівнянь виду (1.9) є стаціонарною точкою для
дисперсії оцінки, знайденої методом поліноміального оцінювання. Іншими словами,
коефіцієнти )()( rih забезпечують екстремум дисперсії оцінки, яка знаходиться з
рішення системи рівнянь (1.11). Цей екстремум при дослідженні виявляється
мінімумом. Тож коефіцієнти )()( rih забезпечують мінімум дисперсії оцінки nˆ .
Оскільки оцінки методу поліноміального оцінювання є поліноміально
ефективними, то при збільшенні степені полінома s можна знайти оцінки, які
наскільки завгодно близько наближаються до ефективних оцінок.
Саме ж знаходженням дисперсії оцінок складових векторного параметра буде
наступним. У класі незміщених оцінок використовується варіаційна матриця оцінок:
)()( 0
),(
0  ji
snsn VV ,
з елементами
)}ˆ)(ˆ{()( 000
),(
jjii
ji
sn EV   , qji ,1,  .
Знаходження варіаційної матриці оцінок, знайдених методом поліноміального
оцінювання, за формою збігається з випадком знаходження оцінок методом
максимальної правдоподібності. Тільки в цьому випадку використовуються
стохастичні поліноми (1.11), а не функція правдоподібності.
Варіаційна матриця )( 0snV оцінок компонент векторного параметра  ,
знайдених методом поліноміального оцінювання, асимптотично дорівнює зворотній
матриці )( 0snJ , складеної з елементів )(),(
rk
snJ , тобто:

75. 75
 )ˆ)(ˆ()( 000 rrkksn EV 
1
0
),(
0
1
)()(

 rk
snsn JJ qrk ,1,  . (3.1)
Матриця )( 0snJ називається матрицею кількості видобутої інформації про
векторний параметр, яку можна витягнути з незалежної і однаково розподіленої
випадкової величини  при спільному оцінюванні параметрів методом
поліноміального оцінювання, або коротко матрицею кількості видобутої інформації
про векторний параметр спостережуваної випадкової величини.
)()()()()(
1
)(
1 1
,)()(
),(



 
 
i
k
s
i
ri
s
i
s
j
jikiki
rk
sn hnFhhnJ 

. (3.2)
)()( ),(),(
 kr
sn
rk
sn JJ .
Зазначимо, що на головній діагоналі цієї матриці перебувають кількості
видобутої інформації про складові векторного параметра.
3.1 Аналіз ефективності оцінок параметрів полігаусових моделей
асиметричних випадкових величин
У пункті 2.1 проведено синтез методу поліноміального оцінювання параметрів
полігаусових моделей асиметричних випадкових величин порядку 2r та 3r при
різних степенях полінома s . Для того, щоб перевірити ефективність оцінок МПО,
необхідно порівняти дисперсії цих оцінок із дисперсіями оцінок класичними
методами. Як відомо, асимптотичні дисперсії оцінок при зростанні степеня полінома
s зменшуються. Доведено, що при s дисперсії оцінок прямують до дисперсії
оцінок, знайдених ММП. Тобто матриця видобутої інформації, яка є оберненою до
варіаційної матриці оцінок прямує до інформаційної матриці Фішера. Але з
практичних міркувань не можливо задати якомога більшу степінь полінома, так як
це веде до суттєвого ускладнення обчислювальних процедур у зв’язку з нелінійною
обробкою випадкових послідовностей. Ще один фактор – це порівняно невеликий
виграш (менше 5 %) зменшення дисперсії оцінок при використанні наступного
степеня s порівняно з попереднім при 6s . Що ж до порівняння дисперсії оцінок,

76. 76
знайдених МПО стосовно дисперсії оцінок, знайдених ММ, (як із таким що часто
використовується як метод часткового опису випадкових величин), то необхідно
визначити коефіцієнти зменшення дисперсії оцінок.
 
 
 
2
2
q
q
q
s
sg





 . (3.3)
де  
2
sq – дисперсія оцінки параметра q з вектора оцінюваних параметрів 
МПО при степені s ,  
2
q – дисперсія оцінки ММ.
Це дослідження дає можливість обґрунтувати та перевірити відповідність
постулатів МПО щодо зменшення дисперсії оцінок стосовно ММ, як такого, що
також використовує частковий опис у вигляді певної кількості моментів, при
оцінюванні параметрів полігаусових моделей.
Згідно з виразом (3.2) для першого типу бігаусової моделі (2.4) з вектором
оцінюваних параметрів ),( m було знайдено елементи матриці кількості
видобутої інформації )(),(
rk
snJ при степені поліному 2s , використовуючи
оптимальні коефіцієнти ),( dmhim та ),( dmhid виду (2.11).
)d) m(d md))d (d ((
md) m(dd
nJ n 42
422
)1,1(
2
11253352
52525
)(


 ,
)d) m(d md))d (d ((
)mdm (
n)Θ(J)Θ(J ),(
n
),(
n 42
2
12
2
21
2
11253352
5


 ,
)d) m(d md))d (d ((
md
n)Θ(J ),(
n 42
2
22
2
11253352
22


 .
Діагональні елементи варіаційної матриці оцінок згідно з (3.1) будуть
дисперсіями оцінок параметрів. Тому для математичного сподівання m та дисперсії
d вони запишуться так:
  )md22(
1 22
2
11
2 
n
)Θ(V m
),(
n  ,

77. 77
  )52525(
1
)( 4222
2
)2,2(
2 md) m(dd
n
V dn   . (3.4)
Під час аналізу асимптотичних дисперсій оцінок ММ, виявилось, що дисперсії
оцінок для ММ і для МПО при 2s збігаються. Це не заперечує теорію
застосування стохастичних поліномів Кунченка, за якою при спільному оцінюванні
параметрів деяких моделей випадкових сигналів при рівності кількості одночасних
оцінюваних параметрів q степеню полінома s для зменшення дисперсії оцінки
потрібно застосувати степінь полінома qs  .
Крім того, для першого типу бігаусової моделі було отримано оптимальні
коефіцієнти ),( dmhim та ),( dmhid виду (А.2–А.6) для 3s . Таким чином, елементи
матриці кількості видобутої інформації )(),(
rk
snJ набудуть вигляду:
),m)md(d)d))m(-d((--d)d)m(-(
dd((-d)))d(d(-d))(d(-((
Δ
n
)Θ(J ),(
n
86242
3
11
3
429286827
102623655253
32


),mm
))mddd(-()mddd--((-
Δ
n
)Θ(J)Θ(J ),(
n
),(
n
75
3243
3
12
3
21
3
6
2835513
16


),d)m(d)d)m((d) d)m(
d)((d))))d(d(-d(((
Δ
n
)Θ(J ),(
n
642
3
22
3
44364
7523256526
32


де 3 – об’єм тіла при 3s за виразом (А.1).
Діагональні елементи варіаційної матриці оцінок згідно (3.1) будуть
дисперсіями оцінок параметрів при 3s . Тому дисперсії оцінок для математичного
сподівання m та дисперсії d гаусових компонент запишуться так:
 
,
)md)m(--
d)m(d)d)m(-(--d) d)m(-(
-md)(-d)))d(d(-((
d)(d))))d (d (-d ((((
n
σ)Θ(V m
),(
n
64
642
22
2
3
11
3
46
443647
3923656
52325652621






78. 78
 
)md)m(--
)m)md(d)d))m(-d((--d)d)m(-d(d (
-md)(-d)))d(d(-((
(-d)))d (d (-d)) (d (-(((
n
σ)Θ(V d
),(
n
64
86242
22
2
3
22
3
46
42928682710
3923656
262365525321





(3.5)
Таким чином, існує необхідність перевірки, чи впливає збільшення степені
полінома s на зменшення дисперсії оцінок параметрів бігаусової моделі і як
наслідок для полігаусових моделей при кількості компонентів 2r . Для цього
використано вираз (3.3), згідно з яким коефіцієнти зменшення дисперсії МПО щодо
ММ будуть мати таку залежність:
 
 
 
,
)md)(md)m(--
d)m(d)d)m(-(--d) d)m(-(
-md)(-d)))d(d(-((
d)(d))))d (d (-d ((((
σ
σ
g
m
m
m
264
642
222
2
2
3
32
2246
443647
3923656
5232565262





 
 
 
.
5252546
42928682710
3923656
26236552532
42264
86242
222
2
2
3
32
)md) m(dd)(md)m(--
)m)md(d)d))m(-d((--d)d)m(-d((
-md)(-d)))d(d(-((
d(-d)))d (d (-d)) (d (-(((
σ
σ
g
d
d
d





На рис. 3.1 а) наведено графік функції  32mg , яка залежить від двох
параметрів і має симетричну форму щодо початку координат при 0m . Причому
максимальне значення коефіцієнта зменшення дисперсії буде в точці     11,032 mg .
Це пов’язано з тим, що в цій точці бігаусова модель перетвориться в гаусову, при
якій ефект зменшення дисперсії оцінок для МПО не проявляється. Це доводить
правильність розрахунків та підтверджує теоретичні засади, обґрунтовані в
розділі 2.
Аналогічно до дисперсії оцінки параметра m , дисперсія оцінки  32dg
параметра d бігаусової компоненти також прямує до одиниці при наближенні
бігаусової моделі до гаусової, що чітко показує графік на рисунку 3.1 б).

79. 79
а) б)
Рисунок 3.1 – Графічний аналіз коефіцієнтів зменшення дисперсії оцінки:
а)  32mg математичного сподівання m , б)  32dg дисперсії d
Очевидно, що збільшення кількості оцінюваних параметрів полігаусових
моделей значно ускладнює аналіз асимптотичних властивостей, що
характеризують виграш у точності оцінок, які отримуються при застосуванні МПО.
Тому, в дисертаційній роботі проведено аналіз коефіцієнтів зменшення дисперсії
оцінки лише для тих типів моделей, для яких кількість оцінюваних параметрів не
перевищує 3.
Для підтвердження теоретичних результатів проведено статистичні
експерименти за методом Монте-Карло з використанням розроблених у розділі 2
полігаусових моделей асиметричних випадкових величин. Експеримент мав у собі
1000 незалежних випробувань із визначенням параметрів моделей та обчисленням
експериментальної дисперсії оцінок параметрів при різних степенях полінома s .
Для цього побудовано графіки експериментальної залежності для декількох
точок, отриманих експериментально, сумісно з теоретично розрахованими
коефіцієнтами зменшення дисперсії. Для бігаусової моделі першого типу їх
показано на рисунку 3.2 а) та б).

80. 80
а) б)
Рисунок 3.2 – Порівняльний аналіз теоретичної та експериментальної
залежності коефіцієнтів зменшення дисперсії  32mg та  32dg від параметрів
бігаусової моделі:
а) «–» – теоретична та «■» – експериментальна залежність від математичного
сподівання m при дисперсії 5.0d ,
«-∙-» – теоретична та «♦» – експериментальна залежність від математичного
сподівання m при дисперсії 5.1d ,
б) «–» – теоретична та «■» – експериментальна залежність від дисперсії d при
математичному сподіванні 1m ,
«-∙-» – теоретична та «♦» – експериментальна залежність від дисперсії d при
математичному сподіванні 3m .
Для аналізу ефективності МПО при оцінюванні параметрів тригаусової моделі
першого типу (2.16) з оцінюваним вектором параметрів )d,3m,2m( було також
знайдено варіаційні матриці оцінок: )Θ(V n3 для степені полінома 3s  , при якому
дисперсія оцінок параметрів рівна дисперсії оцінок при оцінюванні ММ та )Θ(V n4
для степені полінома 4s  , при якому дисперсія оцінок параметрів виявилася
меншою ніж для ММ.
Вирази для варіаційні матриці )Θ(V n3 отримано з використанням
оптимальних коефіцієнтів ),3,2(2 dmmhim , ),3,2(3 dmmhim та ),3,2( dmmhid виду (Б.2–

81. 81
Б.10) для 3s .
 
,
))mmm-mmd(m)mm-m(mm
)-m(m
)-m(m)mm-m(mdd(
n
σ)Θ(V m
),(
n
43224222
222
22223
2
32
11
3
323243222333223
32
322332236541



 
,
))mmmmmmd()mm-m(m
)-m(m
)-m(mm)mm-m(mdd(
n
σ)Θ(V m
),(
n
4223422
222
222223
2
33
22
3
33223242233322
32
3222332236541



 
.
)mmm-mmmm-)mmdmd(
)-m(m
)mmd(m-mmdd(
n
σ)Θ(V d
),(
n
6542332422
222
426223
2
3
33
3
332632123210324218273
329
32926228110821



(3.6)
Вирази для )Θ(V n4 отримано з використанням оптимальних коефіцієнтів
),3,2(2 dmmhim , ),3,2(3 dmmhim та ),3,2( dmmhid виду (Б.13–Б.25) для 4s .
 








224224322
222654233
222242
425622365
4233245644
3223452224
422267
2
42
11
4
32723322144332
33222433532105321223269
2322432108322
32663249215332212353215
32313237322032422144314
32283238322421321633223
32233226048388831
)m(md)mmm(md)mmm
)mm-m(md)mmm-mmmm
(mmdm)m(md()m(m
mmmmm)(mm-m(md)mmm
mmmmmmmmm(d)m
mmmmmm-m(d)mmm(mm
)-m(mm)mm-m(mdd(
n
σ)Θ(V m
),(
n


)mm-m(m)mmm(m
mmmmmmmmmm(m
224224
5344352678
33223322
3225322632153283242

82. 82
))mmmmmmm
))mmmmmmm
mmmmmmmmmm
mmmmmmmm(m
mm-)(mmm-md(m)mmmmm
1098273
876253
6455463728
44352678
910228762
32321032223228
33253293210
32373255326432493224
321432103293252
32723322233243213





 
))mmmmmmm
))mmmmmmm
mmmmmmmmmmmm
mmmmmmmm(m
m)(mmmd(m)mmmmmmm
)mmm(m)mmm(m
mmmmmmmm)(mmmm
)m(md)mmm(md)mmm
(md)mmmmmmmmm
(mmdm)m(md()m(m
mmm)(mmm(md)mmmm
mmmmmmmm(d)mm
mmmmmm(d)mmm(mm
)-m(mm)mm-m(mdd(
n
σ)Θ(V m
),(
n
1098273
876253
64554637289
44352678
1022876253
224224
443526782
224224322
2265423324
222242
56223654
2332456443
223452222
442267
2
43
22
4
332732243249
33253293210
326432553237322832223210
321432103293252
223322233243283215
33223322
3226322532133242332
32723322144332
22431532493266326932122
2322432108322
32105235332212323243
220323732313215251443133
2243238322821421633223
32233226048388831















 





22224
335622224
3223452
264647
2
4
33
4
23224321086
32532323322328314
3224324732242148643593250
2594323322155521
(mmdm)m(md(
mmmm)(mmmm(mmdm)m
mmmmmmm(d)mmm
m(dm)-m(mmd
n
σ)Θ(V d
),(
n

83. 83
))mmm-mmmm-mmmm
))mmmmmmmmmmm
mmmmmmmm(md)m
mmmm)(mmmm(m
mmmmmmmmmm
)mmm(m)m(md
m(d)mmmmmmmm
)mmm(md)mmm
mmmm)(mmm(md)mmm
10982736455
8762534435
46372891026
267822
54233245
422422
646542332
4224322
45622365
3326322332683212932146
3325329321032143210
321293268322332621237
32932523322
32183210832142321083218
33223272
27144333217325032433
3322144332
2503217233322483323









(3.7)
На наступному кроці було знайдено коефіцієнти зменшення дисперсії  43q
g 
МПО щодо ММ для степені полінома 4s стосовно 3s . Вони будуть мати таку
залежність:
 
 
 
,
)Θ(V
)Θ(V
σ
σ
g ),(
n
),(
n
m
m
m 11
4
11
3
2
32
2
42
432   
 
 
,
)Θ(V
)Θ(V
σ
σ
g ),(
n
),(
n
m
m
m 22
4
22
3
2
33
2
43
433   
 
 
.33
4
33
3
2
3
2
4
43
)Θ(V
)Θ(V
σ
σ
g ),(
n
),(
n
d
d
d 
Проаналізувавши вирази для коефіцієнтів зменшення дисперсій оцінених
параметрів тригаусової моделі ),3,2( dmmΘ , видно, що всі вони залежать у цілому
від трьох параметрів. Тому побудова об’ємних графіків для  43q
g  можлива лише
при певних значеннях одних із компонентів.
На рис.3.3 а) наведено графік функції  432mg при 03 m та  433mg при
02 m , яка залежить від двох параметрів і має симетричну форму щодо початку
координат 02  dm . Причому максимальне значення коефіцієнта зменшення
дисперсії буде на прямій )03(02  mm . Відповідно до того, що для оцінки
параметрів тригаусової моделі використовуються вибіркові моменти до 4-го
порядку включно, від яких залежать кумулянтні коефіцієнти, то і за межами ОДЗ
для 3 , 4 коефіцієнт зменшення дисперсії оцінки параметрів тригаусових моделей
буде прямувати до 1. Це знову ж таки доводить правильність розрахунків та
підтверджує теоретичні засади.

84. 84
а) б)
Рисунок 3.3 – Графічний аналіз коефіцієнтів зменшення дисперсії оцінки:
а)  432mg математичного сподівання 2m при 03 m і  433mg математичного
сподівання 3m при 02 m ;
б)  43dg дисперсії d при 02 m та 03 m ;
Щоб підтвердити теоретичні результати, також проведено статистичні
експерименти за методом Монте-Карло. Експеримент мав у собі 1000 незалежних
випробувань із визначенням параметрів моделей та обчисленням експериментальної
дисперсії оцінок параметрів при степенях полінома 3s та 4s . У результаті
побудовано графіки для декількох експериментальних точок сумісно з теоретично
розрахованими коефіцієнтами зменшення дисперсії. Функція  432mg була отримана
при значенні 23 m з використанням двох значень дисперсії d , а функція  43dg
побудована при 22 m при двох значеннях математичного сподівання 3m . Для
тригаусової моделі першого типу їх показано на рисунках 3.4 а) та б).

85. 85
а) б)
Рисунок 3.4 – Порівняльний аналіз теоретичної та експериментальної
залежності коефіцієнтів зменшення дисперсії     )( 433432 mm gg та  43dg від
параметрів бігаусової моделі:
а) «–» – теоретична та «■» – експериментальна залежність від математичного
сподівання m при дисперсії 5.0d ,
«-∙-» – теоретична та «♦» – експериментальна залежність від математичного
сподівання m при дисперсії 5.1d ,
б) «–» – теоретична та «■» – експериментальна залежність від дисперсії d при
математичному сподіванні 12 m ,
«-∙-» – теоретична та «♦» – експериментальна залежність від дисперсії d при
математичному сподіванні 32 m ,
Проаналізувавши теоретичні та експериментальні дослідження дисперсії
оцінок параметрів декількох бігаусових та тригаусових моделей, можна зробити
висновок про більшу ефективність МПО щодо ММ. Це пояснюється тим, що МПО
дає перевагу в точності оцінок при оцінюванні негаусових випадкових величин,
причому за графіками коефіцієнтів зменшення дисперсії підтверджується
збільшенням точності при збільшенні негаусовості. Саме тому ефективність МПО
буде зберігатись і при оцінюванні полігаусових моделей вищих порядків та з
використанням будь-якої кількості їх оцінюваних (невідомих) параметрів.

86. 86
3.2 Аналіз ефективності оцінок параметрів полігаусових моделей
ексцесних випадкових величин
Для ексцесних випадкових величин у підрозділі 2.2 проведено синтез і спільне
оцінювання параметрів полігаусових моделей симетричних випадкових величин
порядку 4...2r при різних степенях полінома s . Як і для асиметричних
випадкових величин необхідно знайти міру збільшення ефективності оцінок МПО
порівняно з ММ, як найближчим по своїй суті, і таким, що використовує частковий
опис стохастичних послідовностей.
Але варто пам’ятати про те, що знаходження параметрів полігаусових моделей
симетричних випадкових величин значно простіше, то і виграш за дисперсію оцінки
треба очікувати меншим при більшому степені полінома. Проте для ексцесних
моделей можна застосовувати збільшення степеня полінома без значного
ускладнення обчислювальних процедур.
Згідно з виразом (3.2) для першого типу бігаусової моделі ексцесних
випадкових величин (2.38) з вектором оцінюваних параметрів ),( 21 dd було
знайдено елементи матриці кількості видобутої інформації )(),(
rk
snJ при степені
поліному 4s , використовуючи оптимальні коефіцієнти ),( 211
ddhid та ),( 212
ddhid
виду (2.21). Відповідно до (3.1) отримано діагональні елементи варіаційної матриці
оцінок, які і будуть дисперсіями оцінок параметрів. Тому для двох параметрів 1d та
2d вони запишуться так:
  2
21
4
2
3
21
2
2
2
12
3
1
4
12
4
11
4
12
191266108671
1
)d(d
dddddddd
n
σ)Θ(V d
),(
n


 ,
  2
21
4
2
3
21
2
2
2
12
3
1
4
12
4
)2,2(
4
12
671086612191
)( 2
)d(d
dddddddd
n
V dn


  . (3.8)
Оскільки асимптотичну дисперсію оцінок ММ аналітично визначити не
можливо, було проведено низку експериментів щодо порівняння практичної
дисперсії оцінок параметрів бігаусової моделі з використанням МПО та ММ для

87. 87
набору різних значень. Виявилось, що експериментальні дисперсії оцінок для ММ і
для МПО при 4s збігаються. Отже, для зменшення дисперсії оцінки потрібно
застосувати для цієї моделі степінь полінома 4s . Причому збільшення степеня
полінома для оцінки полігаусових моделей ексцесних випадкових величин повинно
проводитись одразу на 2. Тому для порівняння ефективності МПО щодо ММ
розраховано асимптотичні дисперсії оцінок при степені полінома 6s .
 
,
)373510
1722161563
315100315510
4264661662404822
3733
541664684344135141
6
2
5
21
10
2
9
21
8
2
2
1
4
2
2
1
3
2
3
1
2
2
4
12
5
1
7
2
3
1
6
2
4
1
5
2
5
1
4
2
6
1
6
1
2
21
3
2
7
1
2
2
8
12
9
1
10
12
6
11
6 1
ddd
ddddd
dddddddd
dddddddd
d()d(d
ddddddd(
n
σ)Θ(V d
),(
n







 
.
)373510
135143446468
315100315510
5416482262406616
3733
4264156321617241
6
2
5
21
10
2
9
21
8
2
2
1
4
2
2
1
3
2
3
1
2
2
4
12
5
1
7
2
3
1
6
2
4
1
5
2
5
1
4
2
6
1
6
1
2
21
3
2
7
1
2
2
8
12
9
1
10
12
6
22
6 2
ddd
ddddd
dddddddd
dddddddd
d()d(d
ddddddd(
n
σ)Θ(V d
),(
n







. (3.9)
Використовуючи вирази (3.8) та (3.9), отримано коефіцієнти зменшення
дисперсії оцінок параметрів 1d та 2d для МПО при степені полінома 6s щодо
ММ (або ж при МПО 4s ). Вони будуть мати таку залежність:
 
 
 
,
)Θ(V
)Θ(V
σ
σ
g ),(
n
),(
n
d
d
d 11
4
11
6
2
4
2
6
64
2
1
1
  
 
 
,
)Θ(V
)Θ(V
σ
σ
g ),(
n
),(
n
d
d
d 22
4
22
6
2
4
2
6
64
2
2
2

На рис.3.5 наведено графіки функції  641dg та  642dg , які залежать від двох
параметрів 1d та 2d , що оцінювались у бігаусовій моделі першого типу.

88. 88
а) б)
Рисунок 3.5 – Графічний аналіз коефіцієнтів зменшення дисперсії оцінки:
а)  641dg дисперсії 1d ; б)  642dg дисперсії 2d ;
Як можна побачити з графіків, коефіцієнти зменшення дисперсії оцінки
зменшуються при збільшенні ступеня негаусовості бігаусової моделі, а саме при
збільшенні дисперсії 2
d однієї з компонент, тобто збільшення так званих
«хвостів» розподілу. Тому така модель покликана забезпечити точнішу порівняно з
ММ апроксимацію розподілів із важкими «хвостами».
Експериментальне підтвердження правильності теоретичних розрахунків
проведено згідно із попередніми схемами для асиметричних моделей. Лише для
цього типу бігаусової моделі експеримент було проведено для отримання  641dg , так
як він повністю повторює  642dg . Отримані результати експерименту відображено
на рис. 3.6.
Для другого типу бігаусової моделі ексцесних випадкових величин (2.19) з
вектором оцінюваних параметрів ),( dm було знайдено елементи матриці
кількості видобутої інформації )(),(
rk
snJ при степені поліному 4s ,
використовуючи оптимальні коефіцієнти ),( dmhim та ),( dmhid виду (2.24).

89. 89
Рисунок 3.6 – Порівняльний аналіз теоретичної та експериментальної
залежності коефіцієнтів зменшення дисперсії  641dg від параметрів бігаусової
моделі: а) «–» – теоретична та «■» – експериментальна залежність від дисперсії 1d
при дисперсії 5.02 d ,
«-∙-» – теоретична та «♦» – експериментальна залежність від дисперсії 1d при
дисперсії 5.12 d ,
Відповідно до (3.1) було отримано діагональні елементи варіаційної матриці
оцінок, які і будуть дисперсіями оцінок. Тому їх отримано для параметрів m та d :
  )
2
3
8
3
(d
1
4
3
6
4
2
4
11
4
m
d
m
d
n
σ)Θ(V m
),(
n  ,
  ).
m
d
m
d
d(
n
V dn 2
3
4
4
22
4
)2,2(
4
6
2
3
2
1
)(   (3.10)
Аналогічно до дисперсій оцінок параметрів бігаусової моделі першого типу,
дисперсії оцінок для ММ і для МПО при 4s співпадають. Отже для зменшення
дисперсії оцінки потрібно застосувати для даної моделі степінь полінома 4s .
Причому збільшення степеня полінома для оцінки полігаусових моделей ексцесних
випадкових величин повинно проводитись одразу на 2. Тому для порівняння
ефективності МПО відносно ММ було розраховано асимптотичні дисперсії оцінок
при степені полінома 6s .

90. 90
 
,
)mdm
)mdmmd
mdd(m
mdmdmddd(
n
σ)Θ(V m
),(
n
64
121082
2236
6344256
2
6
11
6
872
64576720
90158
7201080450451





 
.
)mdm
)mdm
mdd(m
mdmdmdd(d
n
σ)Θ(V d
),(
n
64
108
2234
2432452
2
6
22
6
872
32288
90152
69601140450451





. (3.11)
Використовуючи вирази (3.10) та (3.11), отримано коефіцієнти зменшення
дисперсії оцінок параметрів МПО для m та d щодо ММ для степені полінома 6s .
Вони будуть мати таку залежність:
 
 
 
,
)Θ(V
)Θ(V
σ
σ
g ),(
n
),(
n
m
m
m 11
4
11
6
2
4
2
6
64   
 
 
.22
4
22
6
2
4
2
6
64
)Θ(V
)Θ(V
σ
σ
g ),(
n
),(
n
d
d
d 
На рис.3.7 наведено графіки функції  64mg та  64dg , які залежать від двох
параметрів m та d , що оцінювались у бігаусовій моделі другого типу.
а) б)
Рисунок 3.7 – Графічний аналіз коефіцієнтів зменшення дисперсії оцінки:
а)  64mg математичного сподівання m , б)  64dg дисперсії d
Аналіз графіків коефіцієнтів зменшення дисперсії оцінки показує, що вони
зменшуються при збільшенні ступеня негаусовості бігаусової моделі, а саме при

91. 91
збільшенні дисперсії 2
d компонент розподілу та при їх розходженні щодо
математичного сподівання ексцесного бігаусового розподілу другого типу.
Експериментальне підтвердження правильності теоретичних розрахунків
проведено згідно із попередніми схемами.
а) б)
Рисунок 3.8 – Порівняльний аналіз теоретичної та експериментальної
залежності коефіцієнтів зменшення дисперсії  64mg та  64dg від параметрів
бігаусової моделі:
а) «–» – теоретична та «■» – експериментальна залежність від математичного
сподівання m при дисперсії 1d ,
«-∙-» – теоретична та «♦» – експериментальна залежність від математичного
сподівання m при дисперсії 3d ,
б) «–» – теоретична та «■» – експериментальна залежність від дисперсії d при
математичному сподіванні 1m ,
«-∙-» – теоретична та «♦» – експериментальна залежність від дисперсії d при
математичному сподіванні 3m ,
Тригаусова модель першого типу (2.27) аналогічно була досліджена на
коефіцієнти зменшення дисперсії  64i
g  при використанні МПО при 4s та 6s
для оцінювання параметрів з оцінюваним вектором параметрів ),,( 321  . Але
для простішого аналізу було прийнято 13  . Таким чином, отримано вектор

92. 92
оцінюваних параметрів моделі ),( 21  . Основні розрахункові співвідношення
для знаходження оцінок 4s та 6s показано в додатку В. Використовуючи їх,
розраховано асимптотичні дисперсії оцінок при степені полінома 4s .
 
,
)51217417
2
1414217171
4
2
3
21
2
211
2
21
2
3
1
2
11
4
1
2
12
4
11
4 1
d)dd()dd(d(
)d(d
)dddd(dd
n
)Θ(V d
),(
n



 
,
 
.
))d(d(d)ddd
)d(d
(d)d(dddd
n
V dn
22
2
1
3
2
2
22
2
21
12
3
1
4
2
2
2
4
12
4
)2,2(
4
1741714
2
14212175171
)( 2



 
(3.12)
Асимптотичні дисперсії оцінок при степені полінома 6s .
 















73890102912313422323
4231360270752224633832
131143916230
24635222707539684625
83274325115
12545169201254546253968
28115107651860
1481222177210450
5931108121
21017744162126572
1539028113762
63553722225429022251074
12701144112149271043341
549033414010859671
11
5
2111
11
4
2111
222221
111
3
21
2222
2
1
11111
3
2222
1
2
21111
2222
3
122
111121
4
12
5
1
6
1
2
21
111111
11
3
1111
111
2
12
6
11
6 1
(d(d()))))dd(d(d
(d(d())))))dd(d(d
)))))d(d(d(d(d(d
(d(d(d())))))dd
))))d(d(d(d(d
(d(d(d(d(d(
)))dd(d(d
)d())))))))dd(d(d(d
(d)))d(d(d(d)d(d
(d(d(d(d())))))))dd
(dddd()d(d
(d(d(d(d(d(d
(d)(d()))))))dd(d(d
(d(d(d(d(
n
)Θ(V d
),(
n 

93. 93
,
5601432160937816093
334735903347141029190
10
2
9
21
8
211
7
2111
6
211
)d)dd())dd(d(
))dd(d)(d())))dd(d


 
)))))))))d(-d(d(d(-d(d
(d(-d)(d(d))))))))-d
(-d(d(d(-d(d(d
(-d(d))))))dd-(d(d
)))))))d(-d(-d(d
(-d(d(d(-d))))))d
(-d(d))))d(-d(d
(-d(d(-d(d
(-d(d)))dd-
(-d)(d(d))))))-d(d
-(d(d(-d)))d(-d
(d(-d(d(d(d
-(d(d))d(d(-d
)))))d(d(-d(-d(d(d-
dd-d()-d(d(
))))-d(d(-d(d(d(d
))d(-d)(d(d))-d(-d
(d)d(d-d(
n
σ)Θ(V d
),(
n
222222
22212
222222
2
2
1
3
2222
2222
222
2
22
21222
2222
2
2
1
3
12
22
3
122
22222
2222
4
1
2
3
122
4
1
22222
5
1
2
5
1
6
1
2
21
2222
6
1
6
1
222
7
122
8
12
9
1
10
12
6
22
6
5726355372222542902225
10741270114411281
222177210450210177
44162126149271043341
131143
549033414010873968
9162308327
4625125451692012545
432511528115
46253968142707522
10765186059
24633832246352227075
3110812115
3134223234231360
39028113762
102919073890102912102912
334735903347141609378
16093143256041721
2



















(3.13)
Використовуючи вирази (3.12) та (3.13), отримано коефіцієнти зменшення
дисперсії оцінок параметрів 1d та 2d МПО щодо ММ для степені полінома 6s .
Вони будуть мати таку залежність:

94. 94
 
 
 
,
)Θ(V
)Θ(V
σ
σ
g ),(
n
),(
n
d
d
d 11
4
11
6
2
4
2
6
64
1
1
1
  
 
 
.22
4
22
6
2
4
2
6
64
2
2
2
)Θ(V
)Θ(V
σ
σ
g ),(
n
),(
n
d
d
d 
На рис. 3.9 наведено графіки функції  641dg та  642dg , які залежать від двох
параметрів 1d та 2d , що оцінювались у тригаусовій моделі першого типу.
а) б)
Рисунок 3.9 – Графічний аналіз коефіцієнтів зменшення дисперсії оцінки:
а)  641dg дисперсії 1d , б)  642dg дисперсії 2d
Із графічного аналізу коефіцієнтів можна зробити такі висновки: коефіцієнти
зменшуються при прямуванні тригаусових моделей до найбільшого ступеня
негаусовості, аналогічно як і у випадку з бігаусовими моделями. Це говорить про
поліноміальну ефективність МПО для оцінки параметрів ексцесних полігаусових
моделей.
Для підтвердження теоретичних розрахунків проведено моделювання за
методом Монте-Карло з використанням 1000 експериментальних значень для
кожної точки визначення коефіцієнта зменшення дисперсії  641dg . Причому було
проведено експеримент тільки для  641dg , так як  642dg має аналогічну поверхню.
Для аналізу ефективності МПО при оцінюванні параметрів тригаусової моделі
другого типу (2.28) з оцінюваним вектором параметрів ),,( 31 m також
проведено перевірку коефіцієнта зменшення дисперсії. Але для простішого аналізу

95. 95
було прийнято 13   і таким чином, було отримано вектор оцінюваних параметрів
),( dm . Основні розрахункові співвідношення для 4s та 6s показано в
додатку Г.
Рисунок 3.10 – Порівняльний аналіз теоретичної та експериментальної
залежності коефіцієнтів зменшення дисперсії  641dg :
«–» – теоретична та «■» – експериментальна залежність від дисперсії 1d при
дисперсії 12 d ,
«-∙-» – теоретична та «♦» – експериментальна залежність від дисперсії 1d при
дисперсії 32 d ,
Асимптотичні дисперсії оцінок при степені полінома 4s .
  6
42242
2
4
11
4
32
3166631
m
)mdmd)(md(
n
)Θ(V m
),(
n

  ,
  ).
m
m
d
m
d
d(
n
V dn
18
166
6
1
)(
4
2
3
4
4
22
4
)2,2(
4   (3.14)
Асимптотичні дисперсії оцінок при степені полінома 6s .
 
)32288
)2325623581341627360
4428576014404
633608424043200648031
128263
181614212310485
442566
6647289
2
6
11
6
mmdmd
mdmmdmdmdmd
mdmdd(m
mdmdmddd(
n
)Θ(V m
),(
n




 
,

96. 96
 
.
mmdmdmd
mdmmdmdmdmd
)
mdd(m
mdmdd(d
(
n
V dn
)322884428
)11288165618432132012414720
576014409
5184002592003888021
)(
12826344
16141221038465
2564
462782
2
6
)2,2(
6




 
(3.15)
Використовуючи вирази (3.14) та (3.15), отримано коефіцієнти зменшення
дисперсії оцінок параметрів m та d МПО щодо ММ для степені полінома 6s .
Вони будуть мати таку залежність:
 
 
 
,
)Θ(V
)Θ(V
σ
σ
g ),(
n
),(
n
m
m
m 11
4
11
6
2
4
2
6
64   
 
 
.22
4
22
6
2
4
2
6
64
)Θ(V
)Θ(V
σ
σ
g ),(
n
),(
n
d
d
d 
На рис. 3.11 наведено графіки функції  64mg та  64dg , які залежать від двох
параметрів m та d , що оцінювались у тригаусовій моделі другого типу.
а) б)
Рисунок 3.11 – Графічний аналіз коефіцієнтів зменшення дисперсії оцінки:
а)  64mg математичного сподівання m , б)  64dg дисперсії d
Графічний аналіз коефіцієнтів зменшення дисперсії оцінки показує, що вони
зменшуються при збільшенні ступеня негаусовості бігаусової моделі, а саме при
збільшенні дисперсії 2
d гаусових компонент розподілу та при їх розходженні
щодо математичного сподівання ексцесного тригаусового розподілу другого типу.
Така модель покликана забезпечити точнішу порівняно з ММ апроксимацію
розподілів із від’ємними значеннями коефіцієнта ексцесу.

97. 97
Експериментальне підтвердження правильності теоретичних розрахунків
проведено згідно із попередніми схемами для бігаусової моделі.
а) б)
Рисунок 3.12 – Порівняльний аналіз теоретичної та експериментальної
залежності коефіцієнтів зменшення дисперсії  64mg та  64dg від параметрів
бігаусової моделі:
а) «–» – теоретична та «■» – експериментальна залежність від математичного
сподівання m при дисперсії 1d ,
«-∙-» – теоретична та «♦» – експериментальна залежність від математичного
сподівання m при дисперсії 3d ,
б) «–» – теоретична та «■» – експериментальна залежність від дисперсії d при
математичному сподіванні 1m ,
«-∙-» – теоретична та «♦» – експериментальна залежність від дисперсії d при
математичному сподіванні 3m ,
Як показують проведені експерименти, коефіцієнти зменшення дисперсії
оцінок параметрів із використанням МПО щодо ММ прямують до нуля при
прямуванні тригаусових моделей якомога ближче до негаусових розподілів, що і
було показано на рис. 3.12. Це підтверджує загальну теорію використання МПО для
оцінки параметрів полігаусових моделей.

98. 98
3.3 Висновки до розділу 3:
Отримані в цьому розділі результати дозволяють виокремити такі висновки:
1. Досліджено і доведено ефективність використання розробленого МПО для
полігаусових моделей порівняно з ММ за критерієм величини зменшення дисперсії
оцінок, що дозволяє говорити про виграш у точності не менше ніж в 30 %.
2. Застосування класифікаційного поділу випадкових величин на
асиметричні та ексцесні дозволило провести більш ґрунтовне дослідження
ефективності МПО для оцінки параметрів полігаусових моделей. Причому
ефективність МПО більше проявляється для асиметричних моделей.
3. Показано, що оцінки МПО асимптотично наближаються за точністю до
методу максимальної правдоподібності, при цьому швидкодія обчислювальних
алгоритмів залишається близькою до методу моментів.
4. Ефективність МПО при оцінюванні параметрів полігаусових моделей
залежить від того, який саме параметр оцінюється та від того, наскільки модель
відрізняється від гаусової, що підтверджено багатьма експериментами і доводить
правильність теоретичних розрахунків.
5. При застосуванні МПО для полігаусових моделей отримано
поліноміально ефективні оцінки параметрів. Збільшення степеня полінома s сприяє
підвищенню точності оцінок параметрів при дотриманні правила 1 qs , де q –
кількість оцінюваних параметрів полігаусових моделей.

99. 99
РОЗДІЛ 4. АПРОКСИМАЦІЯ ЕКСПЕРИМЕНТАЛЬНИХ ДАНИХ
ПОЛІГАУСОВИМИ РОЗПОДІЛАМИ
Задача апроксимації вибірки емпіричних даних із генеральної сукупності
невідомої випадкової величини є досить актуальною при обробці випадкових
послідовностей. Саме тому в даному розділі дисертаційної роботи вирішується
науково-технічне завдання застосування модифікованих полігаусових моделей при
перфорованому моментно-кумулянтному описі для апроксимації закону щільності
розподілу імовірності незалежних однаково розподілених випадкових
послідовностей. Як метод для оцінювання параметрів моделей використано
розроблений у другому розділі МПО. Для підтвердження ефективності та
адекватності розроблених моделей при вирішенні такої задачі запропоновано
використати статистичні критерії перевірки гіпотез про відповідність емпіричного
розподілу (гістограми) теоретичному.
Основні результати цього дослідження опубліковано в роботах [25, 29, 102,
106, 109].
4.1 Критерії для перевірки адекватності полігаусових моделей
Застосовуючи критерії згоди, необхідно розрізняти перевірку простих і
складних гіпотез. Проста гіпотеза, що перевіряється, має вигляд 0H : )F(x,F(x)  ,
де )F(x, – функція розподілу імовірності, з якою перевіряється узгодженість
вибірки, що спостерігається, а  – відоме значення параметра (скалярного чи
векторного). При перевірці ж складної гіпотези перевіряється гіпотеза 0H :
  ),,()( xFxF . В цьому випадку оцінка параметра розподілу ˆ обчислюється
за тією самою вибіркою, за якою перевіряється узгодженість [1, 55].
У процесі перевірки узгодженості за вибіркою обчислюється значення *
S
статистики критерію. Потім для того, щоб зробити висновок про те, прийняти чи
відхилити гіпотезу 0H , необхідно знати умовний розподіл )( 0HSG статистики S

100. 100
при справедливості 0H . І якщо імовірність










2
1}{
*
* k
kk
S
KSSP
достатньо велика, принаймні  }{ *
SSP , де )( 0Hsg – умовна щільність, а  –
рівень значущості, що задається, то прийнято вважати, що немає підстав для
відхилення гіпотези 0H .
Якщо у процесі аналізу вибірки розглядається деяка альтернатива 1H :
),()( 1 xFxF  , то з нею зв'язують умовний розподіл )( 1HSG і вірогідність помилки
другого роду  (прийняти гіпотезу 0H , тоді як правильна гіпотеза 1H ). При цьому,
чим більша потужність критерію 1 , тим краще він розрізняє відповідні
гіпотези [8, 55, 63].
Критерій Колмогорова. У разі простих гіпотез граничні розподіли статистик
критеріїв згоди Колмогорова, Смірнова і Мізеса відомі і не залежать від виду закону
розподілу, що спостерігається, та від його параметрів. Ця перевага визначає широке
використання таких критеріїв.
Розподіл статистики
),()(sup xFxFD n
x
n 

,
де )(xFn – емпірична функція розподілу, ),( xF – теоретична функція розподілу, n
– об’єм вибірки, називають критерієм Колмогорова. При n розподіл статистики
nDn сходиться рівномірно до розподілу Колмогорова:





k
skk
eSK
22
2
)1()( .
Найчастіше у критерії Колмогорова (Колмогорова-Смірнова)
використовується статистика вигляду:
n
ND
S n
k
18
)16( 2

 ,

101. 101
де
),,max( 
 nnn DDD ,)(max
1 








i
ni
n xF
n
i
D ,
1
)(max
1 




 



n
i
xFD i
ni
n
та n - об'єм вибірки, nxxx ,,, 21  - впорядковані за зростанням вибіркові значення,
)(xF - функція закону розподілу, узгодження з яким перевіряється. Розподіл
величини KS при простій гіпотезі в границі підпадає під закон Колмогорова )(SK .
Якщо для обчисленого з вибірки значення статистики *
K
S виконується нерівність










2
1}{
*
* k
kk
S
KSSP ,
то немає підстав для відхилення гіпотези 0H [22, 23].
Критерій Смірнова. У критерії Смірнова використовуються статистики
 ),()(sup xFxFD n
x
n



,  ),()(inf xFxFD n
xn



.
Хоча реально в критерії зазвичай використовується статистика
N
ND
S N
m
9
)16( 2



,
яка при простій гіпотезі в межі підкоряється розподілу 2
 з числом степенів
свободи, рівним 2.
Гіпотеза 0H не відкидається, якщо для обчисленого за вибіркою значення
статистики *
mS виконується нерівність
 


2/2/* *
*
1
2
1
}{ m
m
Sx
S
mm edxeSSP .
Крім цих критеріїв, існують і інші, але не варто брати їх до уваги, так як вони
рідко використовуються і не набули широкого поширення [43, 46].
Проте при перевірці складних гіпотез, коли за тією самою вибіркою
оцінюються параметри спостережуваного закону розподілу імовірності,
непараметричні критерії згоди Колмогорова, Смірнова чи Мізеса втрачають

102. 102
властивість «свободи від розподілу». В цьому випадку граничні розподіли статистик
цих критеріїв залежатимуть від закону, якому підпорядкована спостережувана
вибірка. Більш того розподіли статистик цих критеріїв згоди залежать до того ж і від
використовуваного методу оцінювання параметрів. Необхідно також враховувати,
що розподіли статистик істотно залежать від обсягу вибірки [55, 73].
Звичайно, на сьогодні існують розроблені алгоритми для перевірки складних
статистичних гіпотез для більшості відомих стандартних законів розподілу. Але в
дисертаційній роботі використовується полігаусова модель при перфорованому
моментно-кумулянтному описі, для якої досить складно, а практично не можливо за
великою кількості компонент знайти чисельний метод перевірки гіпотези за
згаданими критеріями.
Серед параметричних критеріїв найбільш відомі та досліджені критерій t -
Стьюдента та критерій F -Фішера.
Критерій t -Стьюдента застосовується для вибірок із нормальним законом
розподілу. В разі застосування двовибіркового критерію для незалежних вибірок
також необхідна умова рівності дисперсій [43]. В зв’язку з такими умовами для
вирішення поставленої задачі в даній дисертаційній критерій Стьюдента не може
бути застосований.
Критерій F -Фішера зазвичай застосовується для перевірки міри відмінності
чи подібності дисперсій двох випадкових величин, заданих у вигляді варіаційних
рядів, розподілених за нормальним законом [23]. Виходячи з цього, можна зробити
висновок про неможливість використання цього критерію для перевірки гіпотез про
полігаусовість вибіркових значень.
Проаналізувавши всі недоліки розглянутих критеріїв, запропоновано
використовувати ще один поширений непараметричний критерій узгодження 2
 -
Пірсона. Основне його застосування в дисертаційній роботі – це перевірка складної
гіпотези про відповідність емпіричного розподілу деякому теоретичному.
Відомо з [22, 76], що загальна ідея цього критерію полягає у використанні
розбіжності між гіпотетичною і реальною щільністю ймовірностей деякої
статистики 2
 , яка приблизно розподілена за законом хі-квадрат:

103. 103
 




k
i i
ii
F
Ff
1
2
2
 , (4.1)
де if - кількість реальних частот попадання експериментальних даних в i -ий
інтервал розбиття діапазону значень вибірки x

, а iF - очікувані (згідно з
розрахованою моделлю) частоти попадання в ці інтервали.

104. 104
4.2 Оцінка адекватності застосування моделей на основі непараметричних
критеріїв
Для перевірки адекватності застосування при вирішенні апроксимаційної
задачі методу поліноміального оцінювання параметрів модифікованих полігаусових
моделей при перфорованому моментно-кумулянтному описі розроблено таку
методику імітаційного моделювання, яку можна представити у вигляді трьох
основних етапів:
І етап – формування експериментальних даних: генерація вибірки об'єму n з
генеральної сукупності незалежних випадкових величин, розподілених за умовно
невідомим законом імовірності на основі використання функцій генерації
випадкових чисел, вбудованих у прикладні математичні пакети.
ІІ етап – апроксимація експериментальних даних імовірнісною моделлю:
- вибір і формалізація отриманих апроксимуючих полігаусових моделей
певного типу на основі ММ, МПО та ММП;
- знаходження оцінок параметрів полігаусових моделей за вибіркою
експериментальних даних із розв’язанням системи нелінійних рівнянь із
використанням чисельних методів;
- візуалізація результатів апроксимації (побудова гістограми реалізації
вибірки та щільності апроксимуючого закону розподілу ймовірностей).
ІІІ етап – оцінка ефективності апроксимаційної моделі та порівняльний аналіз:
- вибір k інтервалів групування та підрахунок кількості очікуваних (згідно з
розрахованою моделлю) частот попадання iF та кількості реальних частот
попадання if в них експериментальних даних;
- обчислення статистики 2
 критерію Пірсона;
- визначення межі 2
,k області ухвалення гіпотези 0H при певному рівні
значущості  ;
- порівняльний аналіз ефективності апроксимаційної моделі на основі
обраного критерію узгодження для трьох методів отримання оцінок.

105. 105
Варто зауважити, що одним із ключових моментів застосування цієї
процедури є вибір кількості інтервалів розбиття варіаційного ряду, так як від цієї
величини залежить потужність критеріїв перевірки гіпотез.
Кількість інтервалів групування, що рекомендується в різних джерелах і
використовується при обчисленні оцінок параметрів, побудові гістограм, обчисленні
статистик типу 2
 Пірсона коливається в дуже широких межах. Більшість формул,
що рекомендуються, для оцінки числа інтервалів k носить емпіричний характер і
зазвичай дає завищені величини.
Природно, що визначення кількості інтервалів зв'язується з обсягом вибірки.
Далі основоположним є вимога, щоб вид гістограми був якомога ближчий до
плавної кривої щільності розподілу генеральної сукупності. Ціла низка
рекомендацій із різних джерел щодо вибору числа інтервалів k приводиться в [76].
При виборі інтервалів рівної довжини є визначальна вимога, щоб кількість
спостережень, що потрапили в інтервали, була не дуже малою. При цьому
найчастіше рекомендується, щоб кількість спостережень, що потрапили в інтервал,
була не менше 3.
Найпоширеніші формули, що рекомендуються [76] для практичного
використання наведені нижче.
Формула Стерджесса для визначення оптимального числа інтервалів:
1lg3.31log2  nnk .
Формула Брукса і Каррузера:
nk lg5 .
Для рівно-імовірних інтервалів їх кількість обраховується так:
4.05
)/(24 tnk  ,
де t - квантиль стандартного нормального розподілу для заданого рівня значущості.
При великих обсягах вибірок n розкид значень k , що задаються різними
формулами, достатньо великий. Тому на практиці при виборі числа інтервалів
більше керуються розумними міркуваннями, вибираючи число інтервалів так, щоб в
інтервали потрапляло число спостережень не менше 3.

106. 106
У рекомендаціях НДІ Метрології [76] залежно від n пропонуються такі
величини k (табл. 4.1):
Таблиця 4.1 – Залежність кількості інтервалів від обсягу вибірки
n k
40–100 7–9
100–500 8–12
500–1000 10–16
1000–10000 12–22
Проаналізувавши наявні методи вибору інтервалів розбиття варіаційного ряду,
обрано рекомендації НДІ Метрології, які затверджені як держстандарт [76].
Згідно з розробленою методикою, щоб оцінити ефективність МПО для оцінки
параметрів полігаусових моделей різного порядку та типів, розроблених у розділі 2,
у цій роботі було запропоновано одночасне розв’язання задачі апроксимації для
кожної згенерованої вибірки об’єму 300n при кількості експериментів 1000i з
використанням трьох методів: МПО при 4...2s та ММ і ММП.
Рисунок 4.1 – Графічне порівняння ефективності апроксимації однієї з
реалізацій вибірки з невідомим законом розподілу бігаусовою моделлю І типу

107. 107
Візуалізація апроксимації однієї з реалізацій вибірки з невідомим законом
розподілу з використанням бігаусової моделі І типу при перфорованому
моментному описі для асиметричних випадкових величин представлено на рис. 4.1.
А в таблиці 4.2 наведено порівняльний аналіз ефективності методів для І типу
бігаусової моделі асиметричних випадкових величин.
Таблиця 4.2 – Порівняння ефективності методів для І типу бігаусової моделі
асиметричних випадкових величин
Метод
оцінювання
Кількість
оцінюваних
параметрів
Кількість
інтервалів
Рівень
значущості

Середнє
значення
статистики
2

Межа
ухвалення
рішення
2
a,k
МПО (s=2) 31.1
МПО (s=3) 19.35
МПО (s=4) 17.8
ММ 31.1
ММП
2 12 0.01
19.73
21.66
Як видно з табличних даних, можна стверджувати, що при оцінюванні
параметрів ММ та МПО при 2s апроксимаційна модель І-го типу не є
адекватною. Але вже при використанні МПО при 3s , адекватність за критерієм
2
 підтверджується і стає близькою до ММП. Такий експеримент підтверджує
теоретичні передумови оцінювання полігаусових моделей, які викладені в розділі 3,
що при збільшенні степеня полінома покращується якість оцінок МПО, яка полягає
у зменшенні дисперсії оцінок.
Наступним кроком для порівняння ефективності при тих же умовах
експерименту було отримано рішення апроксимаційної задачі для бігаусової і
тригаусової моделі І типу з використанням МПО при 4s . Вони показані на рис.
4.2 та в таблиці 4.3.

108. 108
Рисунок 4.2 – Графічне порівняння ефективності апроксимації однієї з
реалізацій вибірки з невідомим законом розподілу бігаусовою та тригаусовою
моделями І типу
Таблиця 4.3 – Порівняння ефективності МПО для І типу бігаусової та
тригаусової моделі асиметричних випадкових величин
Модель Кількість
оцінюваних
параметрів
Кількість
інтервалів
Рівень
значущості

Середнє
значення
статистики
2

Межа
ухвалення
рішення
2
a,k
Бігаусова
І-го типу
2 18,1 21.66
Тригаусова
І-го типу
3
12 0.01
17,5 18,5
Цей експеримент показує підвищення адекватності апроксимації зі
збільшенням порядку полігаусових моделей, а також доводить ефективність МПО
при збільшенні степеня s поліному.
Надалі було проведено експерименти із визначення якості апроксимації
бігаусовими моделями ексцесних випадкових величин. Аналогічно до експерименту
з асиметричними моделями, запропоновано одночасне розв’язання задачі

109. 109
апроксимації для кожної згенерованої вибірки обсягу 300n при кількості
експериментів 1000i з використанням ексцесних бігаусових моделей. Як вихідні
дані було обрано розподіл із додатнім коефіцієнтом ексцесу та використано три
методи: МПО при 6,4s та ММ і ММП.
Візуалізація результатів апроксимації для однієї реалізації приведено на
рисунку 4.3, а якісна оцінка середнього значення критерію 2
 – у таблиці 4.4.
Рисунок 4.3 – Графічне порівняння ефективності апроксимації однієї з
реалізацій вибірки з невідомим законом розподілу гаусовою моделлю та бігаусовою
І типу
Проаналізувавши результати в табл. 4.4, необхідно зазначити, що середні
значення статистики 2
 для всіх методів із використанням бігаусової моделі
дозволяє говорити про адекватність апроксимації, тобто про прийняття гіпотези, що
розподіл є бігаусовим. Причому значення 2
 для МПО при 6s та ММП досить
мало відрізняються між собою.

110. 110
Таблиця 4.4 – Порівняння ефективності методів для І типу бігаусової моделі
ексцесних випадкових величин
Метод
оцінювання
Кількість
оцінюваних
параметрів
Кількість
інтервалів
Рівень
значущості

Середнє
значення
статистики
2

Межа
ухвалення
рішення
2
a,k
ММ (Гаусовий) 28.26
МПО (s=4) 17.48
МПО (s=6) 13.51
ММ 18.08
ММП
2 11 0.01
14.19
20.1
Аналогічний експеримент проведено і для перевірки ефективності МПО та
розроблених у роботі полігаусових моделей зі збільшенням їх порядку r .
Відповідно до цієї задачі для порівняння ефективності при тих же умовах
експерименту отримано рішення апроксимаційної задачі для бігаусової і тригаусової
моделі І типу з використанням МПО для степені 6s при перфорованому
моментному описі для ексцесних випадкових величин. Вони показані на рис. 4.4 та в
таблиці 4.5.
Рисунок 4.4 – Графічне порівняння ефективності апроксимації однієї з
реалізацій вибірки з невідомим законом розподілу бігаусовою та тригаусовою
моделями І типу

111. 111
Таблиця 4.5 – Порівняння ефективності МПО для І типу бігаусової та
тригаусової моделі ексцесних випадкових величин
Модель Кількість
оцінюваних
параметрів
Кількість
інтервалів
Рівень
значущості

Середнє
значення
статистики
2

Межа
ухвалення
рішення
2
a,k
Бігаусова
І-го типу
2 13.65
Тригаусова
І-го типу
2
11 0.01
11.3
20.1
Цей експеримент показує підвищення адекватності апроксимації зі
збільшенням порядку полігаусових моделей, а також доводить ефективність МПО зі
збільшенням степеня s поліному. Тому можна стверджувати про той факт, що
якість апроксимації з використанням МПО можна підвищувати двома способами –
підвищуючи порядок полігаусових моделей та збільшуючи степінь полінома.
При тих же умовах експерименту для ІІ типу бігаусових моделей отримано
рішення апроксимаційної задачі. Візуалізація результатів апроксимації для однієї
реалізації наведено на рисунку 4.5, а якісна оцінка середнього значення критерію
2
 – у таблиці 4.6.
Рисунок 4.5 – Графічне порівняння ефективності апроксимації однієї з
реалізацій вибірки з невідомим законом розподілу бігаусовою моделлю ІІ типу

112. 112
Таблиця 4.6 – Порівняння ефективності методів для ІІ типу бігаусової моделі
ексцесних випадкових величин
Метод
оцінювання
Кількість
оцінюваних
параметрів
Кількість
інтервалів
Рівень
значущості

Середнє
значення
статистики
2

Межа
ухвалення
рішення
2
a,k
МПО (s=4) 15.7
МПО (s=6) 13.8
ММ 15.7
ММП
2 11 0.01
13.4
20.1
Проаналізувавши результати, зазначимо, що середні значення статистики 2

для всіх методів із використанням бігаусової моделі дозволяє говорити про
адекватність апроксимації, тобто про прийняття гіпотези, що розподіл є бігаусовим.
Причому значення 2
 для ММПл при 6s та ММП досить мало відрізняються між
собою.
Рисунок 4.6 – Графічне порівняння ефективності апроксимації однієї з
реалізацій вибірки з невідомим законом розподілу бігаусовою та тригаусовою
моделями ІІ типу

113. 113
Таблиця 4.7 – Порівняння ефективності МПО для ІІ типу бігаусової та
тригаусової моделей ексцесних випадкових величин
Модель Кількість
оцінюваних
параметрів
Кількість
інтервалів
Рівень
значущості

Середнє
значення
статистики
2

Межа
ухвалення
рішення
2
a,k
Бігаусова
І-го типу
2 14.1 20,1
Тригаусова
І-го типу
2
11 0.01
13.4 20,1
Аналізуючи отримані результати апроксимацій за допомогою полігаусових
моделей різних типів та провівши перевірку адекватності за критерієм 2
 Пірсона і
ефективності в процентному співвідношенні прийняття та відкидання гіпотези 0H ,
можна зробити висновок про доцільність використання розробленого МПО
вирішення апроксимаційної задачі при невідомому законі розподілу досліджуваної
випадкової послідовності.

114. 114
4.3 Апроксимація емпіричних розподілів поліноміальних статистик
полігаусовими моделями
Апроксимація законів розподілу щільності імовірності використовується для
вирішення багатьох прикладних задач математичної статистики, обробки сигналів
на тлі завад із невідомим законом розподілу, вирішення задач прогнозування
споживання ресурсів, відшукання розподілу похибок при проведенні вимірювань.
У цьому підрозділі пропонується вирішення такої важливої і актуальної
прикладної задачі, як апроксимація щільності імовірності на виході пристрою
виявлення сигналів для визначення порогу прийняття рішення.
При розгляді завдань щодо виявлення сигналів на тлі завад одним із найбільш
зручних методів є метод перевірки статистичних гіпотез. При виявленні сигналів
йде мова про вибір із двох конкуруючих гіпотез: 0H – сигнал відсутній, 1H – сигнал
наявний. До проведення спостережень, зазвичай, розробляють вирішальні правила,
за якими проводитиметься вибір між гіпотезами 0H і 1H . Для того, щоб визначити
вирішальні правила, необхідно мати в своєму розпорядженні певні відомості про
залежність подій від збурювальних їх причин. У теорії статистичних рішень ці
відомості задаються у формі щільності розподілу імовірності. При цьому
передбачається, що відомі імовірнісні закони 0P та 1P при гіпотезах 0H і 1H [62].
У телекомунікаційних та радіотехнічних системах для ухвалення рішення про
наявність або відсутність сигналу зазвичай застосовується пороговий пристрій із
деяким порогом CU . Якщо напруга U в приймальному каналі, що подається на
пороговий пристрій, перевищує CU , тобто CUU  , то ухвалюється рішення, що
сигнал є; якщо CUU  , то вважають, що сигналу немає. Існує деяка, відмінна від
нуля, імовірність того, що за відсутності сигналу рівень порогу буде перевищений за
рахунок шумів. При застосуванні достатньо поширеного критерію типу Неймана-
Піросна, фіксується на визначеному рівні імовірність фальшивої тривоги та
вибирається правило, при якому імовірність пропуску сигналу має мінімальну
величину.

115. 115
Але при застосуванні систем виявлення сигналів, заснованих на нелінійних
перетвореннях вхідного сигналу (в тому числі і поліноміальних), на тлі негаусових
завад аналітично виразити щільності імовірності )(upn та )(upsn практично не
можливо, тому метою цього пункту є дослідження шляхом статистичного
моделювання ефективності застосування методів на основі рядів Грамма-Шарльє та
полігаусових моделей для отримання імовірності розподілу помилок
поліноміальних статистик.
Нехай при роботі системи розпізнавання, побудованої на поліноміальних
вирішальних правилах визначено дві гіпотези: 0H – у каналі системи наявна тільки
завада, 1H – присутні і сигнал завада. Вирішальні правила перевірки цих
статистичних гіпотез, які застосовуються для розпізнавання при проведенні
експерименту, ґрунтуються на поліноміальних квадратичних статистиках загального
виду:
         
 







N
n
S
i
m
ni
i
n
m
ni
m
S xhZ
1
2
1
,,  ,
де nx , Nn ,1 - вхідна послідовність обсягу N ,  m
ni, , Mm ,1 - теоретичні
моменти вхідної послідовності для кожного із M класів очікуваних сигналів,  m
nih , ,
Si ,1 – коефіцієнти стохастичного полінома Кунченка степені S , що мінімізують
величину статистики  m
SZ для відповідного m -го класу.
Необхідно знайти за допомогою застосування апроксимації на основі рядів
Грамма-Шарльє та полігаусових моделей закони розподілу вирішальних статистик
при гіпотезах 0H та 1H , за якими в подальшому визначити імовірності пропуску
сигналу (імовірність помилки другого роду) при заданій імовірності фальшивої
тривоги і порівняти точність знаходження порогу CU .
У дисертаційній роботі пропонується використати в якості апроксимаційних
моделей бігаусові та тригаусові розподіли при перфорованому моментно-
кумулянтному описі та класичні статистичні ряди Ерміта і Грамма-Шарльє з
врахуванням членів ряду до шостого порядку.

116. 116
Як вхідні даних було використано моментно-кумулянтний опис емпіричної
вибірки, отриманої на виході порогового пристрою системи розпізнавання сигналів.
Розрахунок проводився до 12-го кумулянтного коефіцієнта включно. Для
апроксимації було використано бігаусову модель ІІ-го типу та тригаусову модель ІІ-
го типу.
Обчислення статистичної стійкості результатів моделювання проводилося за
допомогою обрахунків довірчих інтервалів (додаток Г), де відповідні оцінки
вираховуються як середні значення з великого числа реалізацій [39].
Експеримент проводився з використанням середовища інтерактивного
моделювання Simulink з пакету інженерних та математичних розрахунків MATLAB.
Опрацювання результатів апроксимації експериментальних даних за допомогою
статистичних рядів та полігаусових моделей проводилося в пакеті Mathematica.
Результати представлені у вигляді таблиці, де вказано степінь стохастичного
полінома s , параметри завади 43, , отриманої за допомогою бігаусового
генератора [87] та теоретичні і експериментальні значення імовірності хибної
тривоги  , імовірності помилки другого роду  та порогу спрацювання пристрою
виявлення сигналів CU .
Таблиця 4.8 – Порівняння ефективності рішення апроксимаційної задачі для
поліноміальних статистик
S Шум теор. практ. Функція Поріг βмод βтеор βпракт.
0.00959259 Бі-Гаусс 0.852451 0,01055 0.0359781 0.00996259
0.00859259 Три-Гаусс 0.857591 Синус 0.0208133 0.0128143
0.00903704 Еджворта2 0.854954 А=3,08 0.0686149 0.0115181
0.0087037 Еджворта3 0.857312
0.00903704 Ерміта2 0.854954 Поріг виб. 0.0463631 0.0111848
S=3 3=0,
4=5
0,01
0.00877778 Ерміта3 0.856629 0.851198
0.00918519 Бі-Гаусс 0.553709 0.04877 0.13301 0.0534054
0.00962963 Три-Гаусс 0.551984 Синус 0.0831009 0.048776
0.00911111 Еджворта2 0.553842 А=1.9 0.159463 0.0537388
0.00825926 Еджворта3 0.555784 0.29584 0.0597385
0.00911111 Ерміта2 0.553842 Поріг виб. 0.159463 0.0537388
S=5 3=0,
4=5
0,01
0.00822222 Ерміта3 0.555972 0.550761 0.0974398 0.0604052

117. 117
Графічне порівняння результатів апроксимації розподілів імовірності
поліноміальних статистик наведено на рисунках у додатку Г. Для аналізу якості
визначення порогу на рисунку 4.7 зображено графічний аналіз апроксимації хвостів
розподілів для ймовірностей  і  .
а)
б)
Рисунок 4.7 – Графічний аналіз порогів прийняття рішень при гіпотезах:
0H – а) і 1H – б)
Аналіз проведених статистичних експериментів показав, що при задаванні
помилок прийняття рішень 10-1
-10-2
є достатньою апроксимація розподілу
імовірності навіть найпростішою бігаусовою моделлю, яка забезпечує розбіжність
між теоретичними і експериментальними значеннями ймовірностей помилок на
рівні 3-5%. При зниженні величини помилок до рівня 10-3
-10-4
більш адекватним є
апроксимація тригаусовою моделлю, яка забезпечила точність визначення
імовірності помилок другого роду на рівні не більшому за 10%.

118. 118
Отже, отримані результати дозволяють зробити висновки про адекватність та
достатньо високу ступінь ефективності застосування модифікованих полігаусових
моделей при моментно-кумулянтному описі для апроксимації емпіричних
розподілів вирішальних статистик, побудованих із застосуванням методу
поліноміального оцінювання параметрів.

119. 119
4.4 Визначення індексів придатності виробничого процесу
Загальна проблема, з якою стикаються інженери з контролю якості, полягає в
тому, щоб визначити, скільки виробів із партії (наприклад, отриманою від
постачальника) необхідно досліджувати, щоб бути упевненими в тому, що вироби
цієї партії мають прийнятну якість. Процедури вибіркового контролю
застосовуються у тому випадку, коли треба вирішити, чи задовольняє певним
специфікаціям партія виробів, не вивчаючи при цьому усі вироби. В силу природи
проблеми - приймати або не приймати партію виробів - ці методи іноді називають
статистичним приймальним контролем [4].
Аналізуючи якість процесу (наприклад, виробничого), корисно оцінити долю
виробів, що виходять за межі заздалегідь заданого діапазону допустимих значень
(допуску), причому процес повинен мати статистичну стабільність. Наприклад, так
званий показник потенціалу працездатності процесу pC обчислюється за формулою:
6/)( НМДВМДCp  ,
де сигма  – це оцінка стандартного відхилення процесу, а ВМД і НМД - це верхня
і нижня межі допуску відповідно. Якщо розподіл відповідного параметра якості або
змінної нормальний і процес ідеально центрований (тобто середнє процесу дорівнює
номіналу), то цей показник можна інтерпретувати як долю стандартної кривої
нормального розподілу, що потрапляє у вказані технічними умовами межі. Якщо
процес не центрований, використовується скоректований показник працездатності
процесу для двох меж допуску pkC [41].
Але досить часто на практиці щільності розподілу відхилення якості виробів є
негаусовими з різними значеннями коефіцієнтів вищих порядків. І тоді
спостережувану гістограму можна апроксимувати відмінним від нормального
розподілом і обчислити показники придатності за допомогою так званого методу
процентилів. Окрім стандартних розподілів, використовують для розрахунку
показників придатності сімейства розподілів Джонсона і Пірсона або ж статистичні
ряди Ерміта, Лагранжа. Їх недоліки були згадані вище.

120. 120
В дисертаційній роботі для апроксимації пропонується використати
модифіковані полігаусові моделі та розроблений МПО. Далі за отриманою
щільністю розподілу можна обчислити процентилі і оцінити долю виробів, які
задовольняють технічним умовам.
Показники придатності обчислюються для того, щоб оцінити якість процесу,
тобто отримати оцінки розкиду вироблених виробів щодо розмаху допуску. Для
стандартних показників придатності процесу, ґрунтованих на нормальному
розподілі, розмах процесу зазвичай визначається як 6 сигма, тобто як плюс-мінус
потрійна оцінка стандартного відхилення процесу. Для стандартної кривої
нормального розподілу ці межі ( 3lz і 3uz ) перераховуються в 0.135 і 99.865
процентилі відповідно. Для розподілів, відмінних від нормального, межі 3 сигма, а
також середнє ( 0Mz ) можна замінити відповідними стандартними значеннями, що
дають ті ж величини процентилів під кривою негаусового розподілу, що і було
зроблено в цій роботі [109].
Коли отримано апроксимативну криву щільності розподілу, індекси
(показники) придатності для негаусового розподілу обраховуються за такими
формулами:
))(( ppp LUНМДВМДC  ))(( ppL LMНМДМC 
))(( MUМВМДC ppU  ),min( pLpUpk CCC 
У цих рівняннях M означає медіану (50 процентиль) відповідного розподілу,
а pU і pL – 99.865 і 0.135 процентилі відповідно, у випадку, якщо обчислення
ґрунтуються на розмаху процесу, рівному ±3 сигма.
Відповідно до поставленої задачі було розроблено блок-схему алгоритму
визначення індексів придатності виробничого процесу, зображену на рис. 4.9. На
вході мається певний технологічний процес, параметри якого задані технологічними
допусками у вигляді маси, довжини та інших фізичних параметрів. Ці параметри
фактично і складають фізичну модель разом із технологічними допусками.
Використовуючи фізичну модель та отримані у результаті вимірювань
експериментальні дані, було побудовано математичну модель статистичних даних,

121. 121
яка є полігаусовою щільністю з невідомими параметрами. І щоб отримати ці
параметри, використовуючи емпіричні дані, вирішується задача апроксимації з
використання МПО. Наступним кроком є перевірка адекватності застосованої
моделі за статистичним критерієм (в цій роботі 2
 -Пірсона). Якщо гіпотеза не
відкидається, то проводиться визначення індексів придатності, якщо ж відкидається,
то відбувається зміна порядку полігаусової моделі r , степеня поліному s тощо.
Рисунок 4.19 – Блок-схема визначення індексів придатності виробничого
процесу
Для проведення експерименту було отримано 10 вибірок з 95 виробів із 10-ти
різних партій. Як виріб було взято шайби кріплення обертового механізму в

122. 122
оптоелектронному пристрої. Оцінювався зовнішній діаметр шайби за допомогою
повіреного мікрометра. Апроксимація гістограми зображена на рис. 4.10.
Рисунок 4.10 – Візуалізація рішення апроксимаційної задачі для однієї вибірки
з партії деталей
Таблиця 4.9 – Вихідні дані до експерименту
Об’єм партії
заготовок
Об’єм вибірки Кількість
вибірок
Максимальний
діаметр, мм
Мінімальний
діаметр, мм
500 95 10 17+6
17-4
Таблиця 4.10 – Порівняльний аналіз адекватності вирішення апроксимаційної
задачі на основі критерію Пірсона
Метод
оцінювання
К-сть
пара-
метрів
К-сть
інтер-
валів
Рівень
значущості
α
Середнє
значення
статистики
χ2
Границя
прийняття
рішення
χ2
k,α
Середнє
значення
показника
придатності
pC
ММ гаус 12,71 12,6 0,62
ММ Бігаус 9,34 12,6 0,65
МПО
Бігаус
2 9 0,05
6,03 12,6 0,68

123. 123
Таким чином, при застосуванні методу поліноміального оцінювання
параметрів полігаусових моделей було досягнуто покращення точності визначення
індексів придатності, що передусім дозволить на 8-10% краще оцінити долю
виробів, що виходять за межі заздалегідь заданого діапазону допустимих значень
(допуску) і відбракувати партію виробів.
4.5 Висновки до розділу 4
1. Доведено, що найбільш відповідним поставленій задачі перевірки
статистичної гіпотези про адекватність заміни гістограми емпіричних даних
полігаусової щільністю, є критерій 2
 Пірсона.
2. Розроблено новий метод апроксимації розподілу емпіричних даних на
основі полігаусових моделей за методом поліноміального оцінювання, що
дозволило використати його при вирішенні прикладних задач.
3. Перевірено адекватність розробленого методу апроксимації проведеними
експериментами за методом Монте-Карло з використанням обраного критерію 2

Пірсона, що доводить ефективність отриманих алгоритмів.
4. Розроблені методи із застосуванням полігаусової апроксимації дозволили
отримати виграш в 10-15 % в точності при вирішенні задачі апроксимації
поліноміальних статистик для відшукання порогу прийняття рішень та перевагу у 8-
10% при вирішенні задачі визначення індексів придатності виробничого процесу
виготовлення виробів порівняно з класичними методами.
5. Застосування МПО дозволило отримати гнучкий механізм підвищення
адекватності моделей, такий як збільшення порядку полігаусової моделі r або ж
збільшення степені полінома s , що дає змогу якомога точніше вирішувати
апроксимаційну задачу ( s , r ), про що свідчить зменшення статистики
критерію 2
 .

124. 124
РОЗДІЛ 5. ГЕНЕРАЦІЯ ПСЕВДОВИПАДКОВИХ ПОСЛІДОВНОСТЕЙ НА
ОСНОВІ ПОЛІГАУСОВИХ МОДЕЛЕЙ
Існує два основних способи генерації випадкових величин – апаратний та
програмний. Зазвичай перший використовується для випробувань різного виду
апаратури при дії на неї завад [3, 19, 92, 95]. Програмним же способом користуються
для перевірки різноманітних алгоритмів опрацювання сигналів на фоні завад з
використанням обчислювальної техніки. Реалізація такого способу можлива як на
мові програмування високого рівня, так і за допомогою пакетів прикладних програм
для інженерних розрахунків типу MathCAD, Mathlab, Mathematica, Maple. Він також
може бути реалізований у вигляді програмно керованої апаратури, що в останні
роки досить актуально і набуває все більшого поширення.
На сьогодні існує досить багато різних способів генерації негаусових
випадкових величин із заданим законом розподілу [69, 112]. Основні з них
ґрунтуються на проаналізованих у першому розділі моделях і їм притаманні всі
недоліки, які присутні при апроксимації щільності розподілу імовірності. Відомі
також кускові методи генерації негаусових випадкових величин [12, 39], які
засновано на стикуванні визначених ділянок гаусового розподілу з різними
параметрами. Такий підхід дозволяє варіювати статистичними властивостями
результуючої вибірки. Але недоліком цього способу є складність отримання
негаусового розподілу з врахуванням моментів чи кумулянтів вище четвертого
порядку, що обмежує їх використання.
Для подолання вказаних недоліків у цьому розділі пропонується вирішення
задачі генерації випадкових послідовностей із використанням полігаусових моделей
при перфорованому моментно-кумулянтному описі та оцінюванні їх параметрів
МПО. Такий метод генерації дозволяє як отримати криву щільності розподілу
згенерованої вибірки, так і мати в розпорядженні дослідника елементарні статистки,
у вигляді заданих моментів чи кумулянтів (кумулянтних коефіцієнтів). Матеріали
розділу 5 були опубліковані в наукових працях [31, 61, 84, 85, 87, 100, 103, 104].
У процесі попередніх досліджень синтезовано узагальнену структурну схему

125. 125
полігаусового генератора при перфорованому моментно-кумулянтному описі з
використанням ММ, яка зображена на рисунку 5.1.
Рисунок 5.1 – Узагальнена структурна схема полігаусового генератора на
основі ММ
АП – арифметичний пристрій, який щодо заданих статистичних параметрів
випадкової послідовності видає на свої виходи сигнали керування r , rm , r для
гаусових генераторів, перемножувачів та суматорів.
Г1Гr – гаусові генератори, що генерують вибірки об’ємом nr .
П1Пr – перемножувачі вибіркових значень отриманих випадкових
послідовностей та значень дисперсій гаусових компонент r .
1r – суматори вибіркових значень отриманих випадкових послідовностей
та значень математичного сподівання гаусових компонент rm .
Зм. – змішувач, який перемішує вибіркові значення за рівномірним законом
розподілу.
Ця схема генератора полігаусових випадкових величин була використана в
якості прототипу у патентах на корисну модель [84-86].
У процесі досліджень генератор випадкових послідовностей було
вдосконалено з використання МПО. Це ґрунтувалось на визначеному вище факті

126. 126
зменшення дисперсії оцінок параметрів полігаусових моделей при оцінюванні їх з
використанням МПО, що дає зменшення розкиду параметрів кумулянтних
коефіцієнтів, які задаються [87].
Для надання визначених статистичних властивостей вибіркам, що будуть
отримані в процесі генерації, у дисертаційній роботі використано різну глибину
перфорації за класифікацією випадкових величин, зробленою професором
Кунченком [50].
Рисунок 5.2 – Узагальнена структурна схема полігаусового генератора на
основі МПО
Основною відмінністю цієї схеми від схеми з ММ є використання ПЗП –
постійного запам’ятовувального пристрою з записаними коригувальними
коефіцієнтами ih .
Такий підхід дає істоті переваги перед порівняно з ММ:
1. Розкид значень заданих моментів чи кумулянтів (кумулянтних
коефіцієнтів) зменшується відповідно до зменшення дисперсії оцінок параметрів – в
середньому на 30-40%.
2. Збільшення порядку заданих моментів чи кумулянтів можна здійснити не
тільки за допомогою збільшення порядку полігауса r , але і за рахунок збільшення
степені полінома s , що дає більшу гнучкість генераторам випадкових
послідовностей.

127. 127
3. Область значень заданих кумулянтних коефіцієнтів, в якій можливе
отримання рішення задачі генерації фактично рівна їх ОДЗ, визначених у [50], що не
можливо для ММ.
Причому необхідно зазначити, що пряме використання ММП не дає
можливості отримати з часткового опису щільність розподілу імовірності. А інші
шматково-лінійні методи або ж мають складність алгоритмічної реалізації чи в
кінцевому результаті не дають щільність розподілу імовірності в її класичному
понятті (площа під кривою не рівна 1) .
Оскільки генерована вибірка повинна бути представницькою і володіти
заданими статистичними властивостями, було визначено отримувати від генератора
500 значень полігаусової випадкової величини з наступним представленням її у
вигляді випадкового процесу з дискретним часом із метою надання вигляду
реального процесу [103].
У процесі виконання роботи розроблено програмний комплекс статистичного
моделювання, побудований на основі пакету прикладних програм Mathematica, який
призначений для інженерних і математичних розрахунків. Цей вибір був
обумовлений насамперед широким поширенням цього пакета, його універсальністю,
великою обчислювальною потужністю, що поєднується з простотою використання
та наочністю відображення результатів.
5.1 Побудова генераторів на основі бігаусових моделей
Розглянемо більш докладно найпростіший випадок, коли результуюча
випадкова величина формується з двох гаусових компонент (бігаусова модель).
Закон розподілу щільності ймовірностей в цьому випадку описується виразом (2.4).
На основі використання бігаусової моделі з початковими моментами, знайденими за
виразом (2.2), побудовано модель генератора випадкових послідовностей із
необхідними значеннями імовірнісних параметрів (величини математичного
сподівання, дисперсії та кумулянтних коефіцієнтів вищих порядків) [31].
Алгоритм формування випадкової послідовності  nxxxx ,..., 21

об’єму n , що

128. 128
належить генеральній сукупності випадкової величини з істинними значеннями
відповідних початкових моментів i чи кумулянтів i на основі використання r
генераторів випадкових величин із гаусовим (нормальним) розподілом, виглядає
так:
1) розв’язують систему нелінійних рівнянь МПО стосовно невідомих
параметрів r 1 , rmm 1 , r 1 з використанням коригувальних коефіцієнтів ih ;
2) формують вибірки },...,{ 121 nr yyyy 

об’ємами nn rr  значень із
випадкової послідовності, що мають гаусовий закон розподілу з математичним
сподіванням rm і дисперсією r ;
3) для надання генерованим послідовностям вигляду, що відповідає характеру
вибірок із реального випадкового процесу, випадково перемішують елементи
вибірок і отримують результуючу вибірку x

об’єму n .
5.1.1 Побудова бігаусових генераторів асиметричних випадкових величин
Як відомо, асиметричні випадкові величини характеризуються не рівними
нулю кумулянтами непарного порядку. Особливістю бігаусової моделі для
асиметричних випадкових величин є те, що не буде дорівнювати нулю кумулянтний
коефіцієнт 3 , який і називається коефіцієнтом асиметрії, а коефіцієнт ексцесу 4
може приймати будь-які значення зі своєї області визначення, в тому числі і нульові.
Бігаусова модель І-го типу (2.4) для асиметричних випадкових величин із
погляду розробленого в другому розділі моментно-кумулянтного опису (2.5)
залежно від степеня полінома може використовувати наступні вихідні дані:
 початкові моменти при степені полінома s : s21   ;
 кумулянти при степені полінома s : s21   ;
 кумулянтні коефіцієнти при степені полінома s : s2321 ,,   .
Аналогічні вихідні дані використовуються для генерування випадкових
послідовностей на основі інших асиметричних як бігаусових, так і моделей вищих
порядків.

129. 129
Однією з особливостей та переваг використання МПО для генерації процесів
із дискретним часом порівняно з ММ є те, що з використанням моделі одного ж і
того порядку r можна задавати більші ніж rq  кумулянтні коефіцієнти, при цьому
збільшуючи саме порядок полінома s .
Моделювання роботи генератора на основі бігаусової моделі І-го типу
показана на рис. 5.3 а) у виді гістограми та теоретичної щільності розподілу, а на
рис. 5.3 б) у вигляді реалізації наведені згенеровані випадкові послідовності об’ємом
500n  асиметричної випадкової величини з наступними параметрами: 01  ,
122  , 4.03  та 04  .
а) б)
Рисунок 5.3 – Результати моделювання генератора випадкових послідовностей
на основі бігаусової моделі І-го типу: а) гістограма, б) реалізація
Результати генерації на основі бігаусової моделі ІІ-го типу асиметричних
випадкових величин (2.6) з моментно-кумулянтним описом (2.7) та заданими
статистичними параметрами вибірки показано на рис. 5.4 у вигляді гістограми та
теоретичної щільності розподілу, а у вигляді реалізації наведені згенеровані
випадкові послідовності об’ємом 500n  асиметричної випадкової величини з
такими вихідними даними: 01  , 122  , 13  та 14  .

130. 130
а) б)
Рисунок 5.4 – Результати моделювання генератора випадкових послідовностей
на основі бігаусової моделі ІІ-го типу: а) гістограма, б) реалізація
Проведені дослідження генераторів асиметричних випадкових величин на
основі бігаусових моделей довели їх високу ефективність та можливість генерації
вибірок з широкими межами статистичних властивостей.
5.1.2 Побудова бігаусових генераторів ексцесних випадкових величин
Як вже було сказано раніше, особливістю моментно-кумулянтного опису
ексцесних випадкових величин є рівність нулю парних моментів чи кумулянтів.
Врахування такої особливості дозволило значно спростити процедуру розрахунку
бігаусових моделей для ексцесних випадкових величин та збільшити швидкодію в
рази.
При побудові бігаусових генераторів ексцесних випадкових величин на основі
МПО при моментно-кумулянтному описі моделей було використано співвідношення
(2.18-2.25).
У результаті, для бігаусової моделі І-го типу ексцесних випадкових величин
(2.18) була отримана реалізація, показана на рис. 5.5 а) у вигляді гістограми та
теоретичної щільності розподілу, а на рис. 5.5 б) у вигляді процесу наведені
згенеровані випадкові послідовності об’ємом 500n  ексцесної випадкової
величини з такими параметрами: 01  , 122  , 03  , 3.24  .

131. 131
а) б)
Рисунок 5.5 – Результати моделювання генератора випадкових послідовностей
на основі бігаусової моделі І-го типу: а) гістограма, б) реалізація
Аналогічно ІІ-й тип бігаусової моделі ексцесних випадкових величин,
отриманий на основі виразів (2.19-2.20) і МПО матимуть вигляд, показаний на
рис.5.6 а) у вигляді гістограми та теоретичної щільності розподілу, а на рис.5.6 б) у
вигляді реалізації наведені згенеровані випадкові послідовності об’ємом 500n 
ексцесної випадкової величини з наступними параметрами: 01  , 122  ,
03  , 8.04  .
а) б)
Рисунок 5.6 – Результати моделювання генератора випадкових послідовностей
на основі бігаусової моделі ІІ-го типу: а) гістограма, б) реалізація
Аналізуючи отримані результати, можна зробити висновок про те, що

132. 132
розроблені бігаусові моделі для ексцесних випадкових величин дозволяють
генерувати вибірки з діапазоном значень коефіцієнту ексцесу, який наближається до
його ОДЗ. Варто зазначити, що модель І-го типу використовується для генерації при
04  , а ІІ-го типу – при 04  .
5.2 Побудова генераторів на основі тригаусових моделей
Генератори псевдовипадкових величин на основі тригаусових моделей
відрізняються від аналогічних для бігаусових моделей лише тим, що додатково
вводиться ще один канал генерації гаусової випадкової величини. Загалом для
отримання випадкової послідовності потрібно знайти математичні сподівання гаусових
компонент 31 mm  , дисперсії 2
3
2
1   та коефіцієнти пропорційності 1 і 2 .
5.2.1 Побудова тригаусових генераторів асиметричних випадкових
величин
Особливістю тригаусової моделі для асиметричних випадкових величин є те,
що при застосуванні такого ж степеня полінома як і для бігаусових моделей при
рівній кількості оцінюваних параметрів зменшується розкид заданих кумулянтних
коефіцієнтів у згенерованій вибірці на 10-20%. Але при цьому збільшується
математична складність реалізації.
Тригаусова модель І-го типу для асиметричних випадкових величин (2.16) з
використанням МПО при моментно-кумулянтному описі, наведеному у додатку Б,
матиме реалізації, показані на рис. 5.7 а) у вигляді гістограми та теоретичної
щільності розподілу, а на рис. 5.7 б) у вигляді реалізації згенеровані випадкові
послідовності об’ємом 500n  асиметричної випадкової величини з такими
параметрами: 01  , 122  , 03  , 4.04  , 15  , 206  .

133. 133
а) б)
Рисунок 5.7 – Результати моделювання генератора випадкових послідовностей
на основі тригаусової моделі І-го типу: а) гістограма, б) реалізація
Для тригаусової моделі ІІ-го типу для асиметричних випадкових величин
(2.17) наведено реалізацію роботи на рис. 5.8 а) у вигляді гістограми та теоретичної
щільності розподілу, а на рис.5.8 б) у вигляді реалізації наведені згенеровані
випадкові послідовності об’ємом 500n  асиметричної випадкової величини з
такими параметрами: 01  , 122  , 13  , 34  , 45  , 86  .
а) б)
Рисунок 5.8 – Результати моделювання генератора випадкових послідовностей
на основі тригаусової моделі ІІ -го типу: а) гістограма, б) реалізація
5.2.2 Побудова тригаусових генераторів ексцесних випадкових величин
Аналогічно до бігаусової моделі було отримано генератори ексцесних
псевдовипадкових величин на основі тригаусової моделі (2.27).

134. 134
Робота генератора на основі тригаусової моделі І-го типу показана на
рис. 5.9 а) у вигляді гістограми та теоретичної щільності розподілу, а на рис. 5.9 б) у
вигляді реалізації наведена випадкова послідовність об’ємом 500n  ексцесних
випадкової величини з такими параметрами: 01  , 122  , 24  , 46  .
а) б)
Рисунок 5.9 – Результати моделювання генератора випадкових послідовностей
на основі тригаусової моделі І-го типу: а) гістограма, б) реалізація
Робота генератора з використанням тригаусової моделі ІІ-го типу показана на
рис. 5.10 а) у вигляді гістограми та теоретичної щільності розподілу, а на рис. 5.10 б)
у вигляді реалізації наведена випадкова послідовність об’ємом 500n  ексцесних
випадкової величини з такими параметрами: 01  , 122  , 4.04  , 46  ,
58  .
а) б)
Рисунок 5.10 – Результати моделювання генератора випадкових
послідовностей на основі тригаусової моделі ІІ-го типу: а) гістограма, б) реалізація

135. 135
Підводячи підсумки синтезу та моделювання генераторів псевдовипадкових
послідовностей і процесів із дискретним часом, які засновані на МПО при
використанні моментно-кумулянтного опису, можна говорити про їх високу
ефективність. Розроблені моделі розрізняються структурою та кількістю параметрів,
що дозволяє їх застосовувати для генерації випадкових послідовностей, імовірнісні
властивості яких можуть бути змінені в широкому діапазоні значень, який
наближається до ОДЗ кумулянтних коефіцієнтів. Для зручності дослідника існує
можливість задавання статистичних параметрів генерованої вибірки як у вигляді
початкових моментів, так і у вигляді кумулянтів.
Загальна функціональність таких моделей (в сенсі збільшення кількості
моментів та кумулянтів, що задаються) буде покращуватися із збільшенням
гаусових компонент, але при цьому можна очікувати ускладнення розв’язання
систем нелінійних рівнянь МПО. Іншим можливим варіантом є збільшення степеня
полінома s при використанні одного і того ж типу моделі [107].

136. 136
5.3 Дослідження областей допустимих значень параметрів полігаусових
моделей
Як відомо з [50, 51], для різних видів перфорованих випадкових величин
існують співвідношення, які визначають область допустимих значень кумулянтних
коефіцієнтів 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 . Ця особливість випливає з поняття додатного
об’єму тіла при степені полінома s . Що стосується полігаусових моделей, то
система нелінійних рівнянь, яка вирішується в процесі моделювання, має свою
область, де лежать значення її змінних. Тому постає задача відшукання області
значень параметрів розроблених полігаусових моделей на основі МПО з
перфорованим моментно-кумулянтним описом із врахуванням обмеження, які
накладає додатній об’єм тіла для різних типів випадкових величин. Причому такі
області буде порівняно з областями при оцінюванні параметрів полігаусових
моделей на основі ММ [104].
У процесі дослідження було визначено, що всі об’єми тіл полігаусових
моделей мають додатні значення в незалежності від значень оцінюваних параметрів.
А тому область значень кумулянтних коефіцієнтів, які можна задавати для
генераторів, буде фактично рівною ОДЗ випадкових величин. Що ж до переваги
МПО над ММ за областю значень кумулянтних коефіцієнтів, то було проведено
дослідження [100]. Для уніфікації розрахунків областей значень воно проводилося
при математичному сподіванні 01  та кумулянті другого порядку 12  .
5.3.1 Області допустимих значень параметрів бігаусових моделей
Області визначення асиметрично-ексцесних випадкових величин разом із
областями значень параметрів бігаусових моделей наведені на рисунках нижче. На
рисунках зображено порівняльний аналіз областей значень параметрів для ММ та
для МПО.

137. 137
а) б)
Рисунок 5.11 – Порівняльний аналіз областей допустимих значень параметрів
бігаусової моделі а) І типу, б) ІІ типу: 1 – область допустимих значень параметрів
для ММ; 2 - область допустимих значень параметрів для МПО
Рисунок 5.12 – Порівняльний аналіз областей допустимих значень параметрів
бігаусової моделі ІІІ типу: 1 – область допустимих значень параметрів для ММ; 2 -
область допустимих значень параметрів для МПО
Провівши аналіз отриманих результатів, можна говорити про те, що ММ не
дає змоги оцінити параметри бігаусових моделей при виродженні бігаусової моделі

138. 138
в гаусову, що створює складнощі при реалізації наскрізного моделювання
генераторів випадкових послідовностей. Причому, моделі І та ІІ типу не дають
змоги реалізувати від’ємний коефіцієнт ексцесу, що значно звужує використання
ММ порівняно з МПО. А тому розроблені нові генератори випадкових
послідовностей на основі МПО мають значну перевагу в застосуванні.
Бігаусові моделі ексцесних випадкових величин також були досліджені на
області значень параметрів у вигляді залежності коефіцієнтів асиметрії 6 та 4 .
Рисунок 5.13 – Порівняльний аналіз областей допустимих значень параметрів
бігаусової моделі І типу: 1 – область допустимих значень параметрів для ММ; 2 -
область допустимих значень параметрів для МПО
Розрахована область значень параметрів бігаусової моделі ІІ типу буде
залежати тільки від параметра 4 , тому область значень буде у вигляді відрізка:
)0;67.1(4  , при цьому ОДЗ має значення )0;2(4  . Тому, аналогічно до
асиметричних випадкових величин, генератори ексцесних також мають обмеження в
задаванні вихідних значень кумулянтних коефіцієнтів.
5.3.2 Області допустимих значень параметрів тригаусових моделей
Оскільки тригаусові моделі дозволяють враховувати кумулянтні коефіцієнти

139. 139
вищих порядків: 63  , то для них було отримано та побудовано області значень
параметрів відповідно до класифікації негаусових випадкових величин,
розробленою Кунченком Ю.П. Такий принцип побудови дозволяє оцінити
співвідношення між різними кумулянтними коефіцієнтами та надати необхідні
статистичні властивості випадковим величинам при генерації.
Області значень параметрів полігаусових моделей для ММ разом з областями
допустимих значень асиметричних випадкових величин, які є областями значень
при використанні МПО для об’єму тіла 3s  показано на рис. 5.14.
а) б)
Рисунок 5.14 – Порівняльний аналіз областей допустимих значень параметрів
бігаусової моделі І та ІІ типу: а) при 03  і 04  , б) при 03  і 06  : 1 –
область допустимих значень параметрів для ММ; 2 - область допустимих значень
параметрів для МПО
Як показали дослідження, області допустимих значень параметрів для
тригаусової моделі першого та другого типів збігаються і фактично однакові як для
ММ, так і для МПО. Але при цьому останній має перевагу при оцінюванні
параметрів моделей.
Для ексцесних випадкових величин аналогічно було отримано області значень
параметрів для ММ та для МПО залежно від кумулянтних коефіцієнтів.

140. 140
а) б)
Рисунок 5.15 – Порівняльний аналіз областей допустимих значень параметрів
бігаусової моделі І та ІІ типу: а) при 04  і 05  , б) 05  і 06  :
1 – область допустимих значень параметрів для ММ; 2 - область допустимих
значень параметрів для МПО
Рисунок 5.16 – Порівняльний аналіз областей допустимих значень параметрів
бігаусової моделі: а) І типу при 04  , 06  , б) ІІ типу при 04  , 06  : 1 –
область допустимих значень параметрів для ММ; 2 - область допустимих значень
параметрів для МПО

141. 141
Як показали дослідження, області допустимих значень параметрів для
тригаусової моделі ексцесних випадкових величин із використанням ММ та МПО,
можна говорити про значне обмеження саме для таких моделей використання ММ.
5.4 Висновки до розділу 5
Із проведених досліджень можна зробити такі висновки:
1. Розроблено нові схеми і методи побудови генераторів негаусових
випадкових величин на основі модифікованих полігаусових моделей та методу
поліноміального оцінювання, які можуть бути застосовані як програмно-апаратні
генератори випадкових сигналів.
2. Розроблені генератори на основі МПО дозволяють у широких межах
змінювати статистичні властивості випадкових величин до кумулянтного 12-го
порядку включно, що дає досліднику потужний інструмент для моделювання
випадкових впливів негаусового характеру.
3. Застосування МПО для побудови програмних генераторів дозволило
зменшити розкид значень вихідних кумулянтних коефіцієнтів середньому на 30-40%
порівняно з ММ.
4. Зроблено порівняльний аналіз областей допустимих значень параметрів
МПО порівняно з областями значень параметрів ММ, який говорить про те, що
області значень МПО покривають повністю ОДЗ для кумулянтних коефіцієнтів,
чого не можна сказати про ММ. Тому це є додатковою перевагою застосування
розробленого методу для оцінювання параметрів полігаусових моделей.
5. Розроблено програмну реалізацію методу генерації випадкових
послідовностей із застосуванням синтезованих полігаусових моделей при
перфорованому моментно-кумулянтному описі на основі методу поліноміального
оцінювання в середовищах наукових та інженерних розрахунків Mathematica,
MATLAB, MathCAD.

142. 142
ВИСНОВКИ
У роботі вирішено важливе науково-технічне завдання – розробку на основі
апарату стохастичних поліномів Кунченка методів поліноміального оцінювання
параметрів полігаусових моделей при перфорованому моментно-кумулянтному описі
для ефективної реалізації процедур апроксимації розподілів емпіричних даних та
генерації випадкових послідовностей.
Отримані такі наукові та практичні результати:
1. На основі порівняльного аналізу способів опису ймовірнісних моделей та
методів статистичного опрацювання випадкових сигналів обґрунтовано застосування
стохастичних поліномів Кунченка для оцінювання параметрів полігаусових моделей.
2. Розроблено методи поліноміального оцінювання параметрів полігаусових
моделей при перфорованому моментно-кумулянтному описі, що забезпечує
отримання компромісних із погляду складності та точності обчислювальних
алгоритмів.
3. Удосконалено чисельні методи для розв’язування систем степеневих рівнянь,
розроблено методику відшукання початкового наближення, яка полегшує процес
знаходження оцінок параметрів полігаусових моделей, що дозволило зменшити обсяг
необхідних обчислювальних ресурсів не менше ніж на 40% для модифікованого
методу Ньютона-Рафсона.
4. Доведено ефективність використання розроблених поліноміальних методів
для полігаусових моделей порівняно з методом моментів за критерієм величини
зменшення дисперсії оцінок. Показано, що оцінки розробленого методу
поліноміального оцінювання асимптотично наближаються за точністю до методу
максимальної правдоподібності, при цьому швидкодія обчислювальних алгоритмів
залишається близькою до методу моментів.
5. Розроблено новий метод апроксимації розподілу емпіричних даних на основі
полігаусових моделей при перфорованому моментно-кумулянтному описі. Доведено
їх ефективність проведеними експериментами за методом Монте-Карло з
використанням критерію адекватності 2
 -Пірсона, що дало зменшення процента

143. 143
помилок рішення апроксимаційної задачі на 30 %.
6. Удосконалено генератори випадкових величин на основі полігаусових
моделей та поліноміального оцінювання, які можуть бути застосовані як програмно-
апаратні генератори випадкових послідовностей. Це дозволяє в широких межах
змінювати статистичні властивості отриманих випадкових величин із використанням
кумулянтних коефіцієнтів до 12-го порядку включно.
7. Розроблено програмний комплекс поліноміальних методів апроксимації
емпіричних даних та генерації випадкових послідовностей із застосуванням
полігаусових моделей при перфорованому моментно-кумулянтному описі в
середовищах для інженерних розрахунків Mathematica, MATLAB, MathCAD.
Заключним етапом дослідження стало практичне впровадження розроблених
методів, про що свідчать відповідні акти.

144. 144
СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ
1. Айвазян С. А. Прикладная статистика: Основы моделирования и первичная
обработка данных. Справочное изд. / С. А. Айвазян, И. С. Енюков, Л. Д. Мешалкин.
– М.: Финансы и статистика, 1983. – 471 с.
2. Алешкин А.Н. Идентификация формы закона распределения случайных
величин как задача приближения функций / А.Н. Алешкин, С.А. Лабутин //
Современные проблемы математики и естествознания. Методы и средства
измерений: материалы заочных ВНТК.– Н. Новгород, 2002. – С. 6–9.
3. Бакалов, В.П. Цифровое моделирование случайных процессов / В.П. Ба-
калов. – М.: МАИ, 2002. – 88 с.
4. Батищев В.И. Аппроксимационные методы и системы промышленных
измерений, контроля, испытаний, диагностики / В.И. Батищев, В.С. Мелентьев – М.:
Машиностроение, 2007 – 393 с.
5. Безрук В.М. Теоретические основы проектирования систем распознавания
сигналов для автоматизированного радиоконтроля /В.М. Безрук, Г.В. Певцов. –
Харьков: Коллегиум, 2006. – 430 с.
6. Безуглов Д.А. Информационная технология идентификации вида закона
распределения на базе кумулянтного метода анализа результатов измерений / Д.А.
Безуглов, И.В. Андрющенко, С.А. Швидченко // Информационные системы и
технологии. Теория и практика: сб. науч. трудов / ФГБОУ ВПО «ЮРГУЭС».
Шахты, 2011. – С. 186–194.
7. Беляев М.Ю. Влияние вариаций плотности атмосферы, вызываемых
геомагнитной активностью, на точность прогноза движения МКС / М. Ю. Беляев, Е.
С. Медведев, Д. Н. Рулев, В. В. Сазонов, – М.: ИПМ им. М. В. Келдыша, 2004. – 35
с. – (Препринт / ИПМ им. М. В. Келдыша, 2004–018)
8. Бендат Дж. Прикладной анализ случайных данных / Дж. Бендат, А. Пирсол;
пер с англ. – М.: Мир, 1989. – 540 с.
9. Берегун В.С., Горовецька Т.А., Красильніков О.І. Статистичний аналіз
шумів колінних суглобів // Акустичний вісник. – 2011. – Т. 14, № 2. – С. 3–15.
10.Буркатовская Ю.Б. Применение распределений Джонсона к задаче
классификации аэрокосмических изображений / Ю.Б. Буркатовская, Н.Г. Марков,
А.С. Морозов // Известия Томского политехнического университета. – 2007. –
Т. 311, № 5. – С. 76-80.
11.Бусленко Н.П. Метод статистических испытаний (Монте-Карло) и его
реализация на цифровых вычислительных машинах / Бусленко Н.П., Шрейдер Ю.А.
– М.: ФИЗМАТЛИТ, 1961. - 228 с.
12.Быков В.В. Цифровое моделирование в статистической радиотехнике /
Быков В.В. – М.: Сов. радио, 1971. – 328 с.
13.Ван Кампен Н.Г. Стохастические процессы в физике и химии / Ван Кампен
Н.Г. – М.: Высшая школа, 1990. – 376 с.
14.Ван Трис Г. Теория обнаружения, оценок и модуляции: в 2 т. / Ван Трис Г.
– М.: Сов. радио, Т.1, 1972. – 744 с. – Т.2, 1975. – 344 с.

145. 145
15.Васильев К.К. Математическое моделирование систем связи: учебное
пособие / К.К. Васильев, М.Н. Служивый. – Ульяновск : УлГТУ, 2008. – 170 с.
16.Вентцель Е.С. Теория случайных процессов и ее инженерные приложения:
учеб. пособие для втузов. / Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. – М.: КноРус., 2011. – 480 с.
17.Вержбицкий В.М. Численные методы. Линейная алгебра и нелинейные
уравнения: учеб. пособие для втузов. / Вержбицкий В.М. – М.: Оникс 21 век, 2005. –
402 с.
18.Воробкало Т.В. Оцінювання часу запізнення гармонічного сигналу в
умовах апріорної невизначеності статистичних характеристик асиметричної завади /
Т.В. Воробкало, О.С. Гавриш // Вісник ЧДТУ. – Черкаси, 2008. – № 2. – с. 59-62
19.Гантмахер В.Е. Шумоподобные сигналы. Анализ, синтез, обработка / В.Е.
Гантмахер, Н.Е. Быстров, Д.В. Чеботарев. – СПб.: Наука и техника, 2005. – 400 с.
20.Горошко А. В. Розрахунок допустимих значень параметрів об’єктів у
випадку полімодальності їх імовірнісних розподілів / А. В. Горошко, В. П Ройзман //
Вібрації в техніці та технологіях. – 2013. – № 4 (72). – С. 19-26.
21.Денда В. Шум как источник информации / Денда В.; пер. с нем. – М.: Мир,
1993. – 192 с.
22.Денисов В.И. Прикладная статистика. Правила проверки согласия
опытного распределения с теоретическим. Методические рекомендации. Часть I.
Критерии типа 2
 / Денисов В.И., Лемешко Б.Ю., Постовалов С.Н. – Новосибирск:
Изд-во НГТУ, 1998. – С. 126.
23.Джонсон Н., Лион Ф. Статистика и планирование эксперимента в технике и
науке. Методы обработки данных / Джонсон Н., Лион Ф.; пер. с англ.; под. ред.
Лецкого Э.К. – М.: Мир, 1980. – 510 с.
24.Драган Я.П. Структура и представления моделей стохастических сигналов /
Драган Я.П. – К.: Наук. думка, 1980. – 381с.
25.Заболотній С.В. Апроксимація експериментальних даних на основі
полігаусових розподілів і моментного опису в середовищі MATLAB / С.В.
Заболотній, А.В. Чепинога, К.Л. Кононенко // Праці Міжнародної науково-
практичної конференції «Обробка сигналів і негауссівських процесів» пам’яті
професора Кунченко Ю.П. – Черкаси, 2007. – с. 31-33.
26.Заболотній С.В. Апроксимація типових імовірнісних розподілів бігаусовою
моделлю / С.В. Заболотній, А.В. Чепинога // Вісник ЧДТУ. – Черкаси, 2006. – № 3.
– c.42-47.
27.Заболотній С.В. Виявлення сигналів із застосуванням нелінійних
дискретних фільтрів з постійними коефіцієнтами, оптимальними за критерієм
мінімуму скп розкладу в просторі Кунченка / С.В. Заболотній, В.В. Коваль, С.В.
Салипа // Матеріали Другої міжнародної наукової конференції «Теорія і методи
обробки сигналів». – Київ, 2008. – с.40-41.
28.Заболотній С.В. Ідентифікація законів розподілу похибок вимірювання на
основі полігаусових симетричних моделей і моментного опису / С.В. Заболотній,
А.В. Чепинога // Відбір і обробка інформації. – Львів, 2007. – № 26(102). – с.36-43.
29.Заболотній С.В. Апроксимація емпіричних розподілів вихідних сигналів
поліноміальних виявлячів енергетичного типу / С.В. Заболотній, А.В. Чепинога,

146. 146
С.В. Салипа // Тези доповідей ХI Міжнародної конференції «Контроль і управління
в складних системах» (КУСС-2012) – Вінниця: ВНТУ, - 2012. С.19.
30.Заболотній С.В. Апроксимація емпіричних розподілів поліноміальних статистик
полігаусовими моделями / С.В. Заболотній, А.В. Чепинога // Тези доповідей V
Міжнародного науково-технічного симпозіуму «Нові технології в телекомунікаціях»
(ДУІКТ-Карпати 2012) – Вишків: ДУІКТ, – 2012. – С.86-88.
31.Заболотній С.В. Розробка генераторів випадкових величин з перфорованим
моментно-кумулянтним описом на основі полігаусових моделей / С.В. Заболотній,
А.В. Чепинога, Т.В. Воробкало // Праці ІII-го Міжнародного радіоелектронного
форуму «Прикладна радіоелектроніка. Стан і перспективи розвитку (МРФ-2008)». –
Харків, 2008. – с. 39-40.
32.Заболотній С.В. Тетрагаусові симетрично-розподілені імовірнісні моделі на
основі моментного опису / С.В. Заболотній, А.В. Чепинога // Зб.наук.праць ІПМЕ
ім.Г.Є.Пухова НАН України. – Київ, 2008. – №.47 – с.92-99.
33.Ибатуллин Э.А. Оценивание параметров полигауссового распределения
плотностей вероятности сигналов методом максимального правдоподобия / Э.А.
Ибатуллин // Электронный научно-технический журнал "Информационные
технологии и телерадиокоммуникации". – 2005. – №5 (1).
34.Ибатуллин Э.А. Электромагнитная совместимость и помехоустойчивость
информационных систем / Э.А. Ибатуллин. – Казань: Из-во Казанского ун-та, 1989.
– 151 с.
35.Иванкин Е.Ф. Информационные системы с апостериорной обработкой
результатов наблюдений / Е.Ф. Иванкин. – М.: Горячая Линия – Телеком, 2008. –
168 с.
36.Исимару А. Распространение и рассеяние волн в случайно-неоднородных
средах / А. Исимару; пер. с англ. – М.: Мир, 1981. – 317 с.
37.Калиткин Н.Н. Численные методы / Калиткин Н.Н. – М.: Наука, 1978. – 512
с.
38.Кашяп Р.Л. Построение динамических стохастических моделей по
экспериментальным данным / Р.Л. Кашяп, А.Р. Рао; пер. с англ. – М.: Наука. – 1983.
–384с.
39.Кельтон В. Имитационное моделирование. Классика CS. / Кельтон В., Лоу
А. 3-е изд. – СПб.: Питер; Киев: Издательская группа BHV, 2004. – 847 с.
40.Кендалл М. Теория распределений / Кендалл М., Стьюарт А.; под. ред.
Колмогорова А.Н.; пер. с англ. – М.: Наука, 1966. – 588 с.
41.Клочков Ю.С. Совершенствование методики оценки уровня качества
технологического процесса / Клочков Ю.С., Шахов П.А. // 8 Королевские чтения:
всероссийская молодежная научная конференция. – Самара, 2005. – с.172.
42.Клячкин В.Н. Статистические методы в управлении качеством:
компьютерные технологии: учебное пособие для вузов / В.Н. Клячкин. – М.:
Финансы и статистика, 2007. – c. 304.
43.Кобзарь А.И. Прикладная математическая статистика. Для инженеров и
научных работников / Кобзарь А.И. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. – 816 с.
44.Королёв В.Ю. Вероятностно-статистический анализ хаотических процессов
с помощью смешанных гауссовских моделей. Декомпозиция волатильности

147. 147
финансовых индексов и турбулентной плазмы / Королёв В.Ю. – М.: Изд-во
ИПИРАН, 2007. – 390 с.
45.Королёв В.Ю. ЕМ-алгоритм, его модификации и их применение к задаче
разделения смесей вероятностных распределений. Теоретический обзор / Королёв
В.Ю. – М.: ИПИРАН, 2007. – 284с.
46.Крамер Г. Математические методы статистики / Г. Крамер; под. ред.
Колмогорова А.Н.; пер. с англ. – М.: Мир, 1975. – 648с.
47.Красильников А.И. Моделирование дискретных смесей распределений /
А.И. Красильников, К.П. Пилипенко // Электроника и связь. Тематический выпуск
«Электроника и нанотехнологии». – Киев, 2010. – № 2. – с. 57-61.
48.Крянев А.В. Математические методы обработки неопределенных данных /
Крянев А.В., Лукин Г.В. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. – 216 стр.
49.Кунченко Ю.П. Оценка параметров случайных величин методом
максимизации полинома / Ю.П. Кунченко, Ю.Г. Лега – К.: Наукова думка, 1992. –
180 с.
50.Кунченко Ю.П. Поліноміальні оцінки параметрів близьких до гауссівських
випадкових величин / Ю.П. Кунченко, С.В. Заболотній; під. ред. Ю.П.Кунченко. –
Черкаси: ЧІТІ, Частина 1, 2001. – 133 с. – Частина 2, 2001. – 251 с.
51.Кунченко Ю.П. Стохастические полиномы / Ю.П. Кунченко. – К.: Наук.
думка, 2006. – 275 с.
52.Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники / Б.Р.
Левин – М.: Сов. Радио, Т.1, 1974. – 552 с. – Т.2, 1975. – 392 с. – Т.3, 1976. – 288 с.
53.Лега Ю.Г. Построение полиномиальных решающих правил по моментному
критерию типа Неймана-Пирсона для проверки статистических гипотез / Лега Ю.Г.,
Палагін В.В., Лелеко С.А. // Електроніка та системи управління. – Київ, 2008. – №
4(18)
54.Лега Ю.Г. Статистичні властивості оцінок параметра корисного сигналу
при усіченому оцінюванні кумулянта другого порядку асиметричної завади першого
типу першого виду /Лега Ю.Г., Гончаров А.В., Філіпов В.В. // Вісник ЧДТУ. –
Черкаси, 2008. – № 2. – с. 50-53.
55.Лемешко Б.Ю. Прикладная статистика. Правила проверки согласия
опытного распределения с теоретическим: Методические рекомендации. Часть II.
Непараметрические критерии / Лемешко Б.Ю., Постовалов С.Н. – Новосибирск:
Изд-во НГТУ, 1999. – 85 с.
56.Леонов В.П. Некоторые применения старших семиинвариантов к теории
стационарных случайных процессов / Леонов В.П. – М.: Наука, 1964. – 69 с.
57.Липкин Н.А. Статистическая радиотехника. Теория информации и
кодирования / Липкин Н.А. – М.: «Вузовская книга», 2002. – 216 с.
58.Малахов А.Н. Кумулянтный анализ негауссовских случайных процессов и
их преобразований / А.Н. Малахов. – М.: Сов. радио, 1978. – 376с.
59.Мизес Р. Вероятность и статистика / Р. Мизес – М: Либроком, 2009. – 264 с.
60.Моделювання випадкових величин із заданими кумулянтними
коефіцієнтами / Кунченко Ю.П., Гавриш О.С., Іванченко А.Ю., Заболотній С.В. //
Праці IV Всеукраїнської Міжнародної конференції “УкрОБРАЗ-98”. – Київ, 1998. –
с.37-38.

148. 148
61.Моделювання ексцесних випадкових величин із заданим кумулянтним
описом на основі бігаусового розподілу / Ю.П. Кунченко, С.В. Заболотній, В.В.
Коваль, А.В. Чепинога // Вісник ЧДТУ. – Черкаси, 2005. – №1. – с.38-42.
62.Обнаружение радиосигналов / П.С. Акимов, Ф.Ф. Евстратов, С.И. Захаров
и др.; под ред. А.А. Колосова. – Радио и связь, 1989. – 288 с.
63.Павлов И.Н Исследование распределения деревьев сосны по диаметру
методами анализа смесей распределений / И.Н. Павлов, С.В. Ушанов. // Вестник
СибГТУ. – Красноярск, 2005. – № 1. – с. 38-46.
64.Палагин В.В. Построение нелинейных решающих правил для проверки
статистических гипотез по моментному критерию типа Неймана-Пирсона на фоне
асимметричных негауссовских помех / В.В. Палагин, С.А. Лелеко // Международная
научно-техническая конференция «Радиолокация, навигация, связь» - RLNC. –
Воронеж, 2008. – с.38-46.
65.Палагін В.В., Жила О.М. Імітаційне моделювання поліноміальних
алгоритмів розпізнавання сигналів на тлі негауссівських завад / В.В. Палагін, О.М.
Жила. // Друга міжнародна наукова конференція «Теорія і методи обробки
сигналів». – Київ, 2008. – с.96-97.
66.Первунинский С.М. Нелинейная фильтрация негауссовых сигналов в
классе степенных полиномиальных операторов / С.М. Первунинский. – К.: Наук.
думка, 2001. – 236 с.
67.Пирумов А.Г. Численные методы. Учебное пособие / А.Г. Пирумов. – М.:
МАИ, 1998. – 188 с.
68.Полигауссовый алгоритм выделения вызванных потенциалов головного
мозга / Чабдаров Ш. М., Щербакова Т. Ф., Коробков А. А., Можгинский В. Л.,
Култынов Ю. И., Улитина Е. А. // Фундаментальные исследования. – М.: 2004. – № 2
– с. 103-105.
69.Помехозащищенность систем радиосвязи с расширением спектра сигналов
методом псевдослучайной перестройки рабочей частоты / В.И. Борисов, В.М.
Зинчук, А.Е. Лимарев, Н.П. Мухин, В.И. Шестопалов. – М.: Радио и связь, 2000. –
384 с.
70.Попов А.В. Разработка метода построения негауссовских статистических
моделей экспериментальных данных / А.В. Попов, И.Н.Колесник // Радіоелектронні
і комп’ютерні системи. – Харків: 2009. – № 3 (37) – с. 33-39.
71.Пригарин С.М. Методы численного моделирования случайных процессов и
полей / С.М. Пригарин. – Новосибирск: ИВМиМГ СО РАН, 2005. – 259 с.
72.Прикладной анализ случайных процессов / под ред. Прохорова С.А. –
Самара: СНЦ РАН, 2007. – 582 с.
73.Прохоров С.А. Аппроксимативный анализ случайных процессов / С.А.
Прохоров. – Самара: Самар. гос.аэрокосм. ун-т, 2001. – 329 с.
74.Прохоров С.А. Математическое описание и моделирование случайных
процессов / С.А. Прохоров. – Самара: / Самар. гос.аэрокосм. ун-т, 2001. – 209 с.
75.Прохоров С.А. Структурно-спектральный анализ случайных процессов /
С.А. Прохоров, В.В. Графкин. – Самара: СНЦ РАН, 2010. – 128 с.

149. 149
76.Р 50.1.033-2001. Рекомендации по стандартизации. Прикладная статистика.
Правила проверки согласия опытного распределения с теоретическим. Часть I.
Критерии типа хи-квадрат. – М.: Изд-во стандартов. 2002. – 87 с.
77.Ракитин В.И. Практическое руководство по методам вычислений с
приложением программ для персональных компьютеров / Ракитин В.И., Первушин
В.Е. – М.: Высшая школа, 1998. – 383 с.
78.Роганов В.Р. Обработка экспериментальных данных: учебное пособие /
Роганов В.Р., Роганова С.М., Новосельцева М.Е. – Пенза: Пенз. гос. ун-т, 2007. – 171
с.
79.Самарский А.А. Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры
/ Самарский А.А., Михайлов А.П. – М.: Физматлит, 2005. – 320 с.
80.Самарский А.А. Численные методы: учебное пособие для вузов /
Самарский А.А., Гулин А.В. – М.: Наука, 1989. – 432 с.
81.Свешников А.А. Прикладные методы теории случайных функций / А.А.
Свешников. – СПб.: Лань, 2011. – 464 с.
82.Современный эксперимент: подготовка, проведение, анализ результатов /
Блохин В. Г., Глудкин О. П., Гуров А. И., Ханин М. А.; под ред. О. П. Глудкина, –
М.: Радио и связь, 1997. – 232 с.
83.Соленов В.И., Шелухин О.И. Нелинейная обработка и адаптация в
негауссовских помехах / Соленов В.И., Шелухин О.И. – К.: КМУГА, 1997. – 180с.
84.Спосіб генерації випадкових величин. Деклараційний патент України на
корисну модель МПК G06F7/58 / С.В. Заболотній, А.В. Чепинога, С.В. Салипа. – №
57092; Заявл. 16.07.2010; Опубл. 10.02.2011, Бюл. № 3.
85.Спосіб генерації випадкових величин. Деклараційний патент України на
корисну модель МПК G06F7/58 / С.В. Заболотній, А.В. Чепинога, В.В. Коваль. – №
66412; Заявл. 28.03.2011; Опубл. 10.01.2012, Бюл. № 1.
86.Спосіб генерації корельованих випадкових величин. Деклараційний патент
України на корисну модель МПК G06F7/58 / Ю.Г. Лега, В.В. Палагін, А.В.
Чепинога, О.В. Івченко. – № 64971; Заявл. 18.04.2011; Опубл. 25.11.2011, Бюл. № 22.
87.Спосіб генерації випадкових величин. Деклараційний патент України на
корисну модель МПК G06F7/58 / С.В. Заболотній, А.В. Чепинога, П.А.
Клопотовський, В.В. Філіпов. – № 89446; Заявл. 26.09.2013; Опубл. 25.04.2014, Бюл.
№ 8.
88.Справочник по теории вероятности и математической статистике / В.С.
Королюк, Н.И. Портенко, А.В. Скороход, А.Ф. Турбин – М.: Наука, 1985. – 640 с.
89.Статистическая теория связи и ее практические приложения / под. ред. Б.Р.
Левина – М.: Связь, 1979. – 288 с.
90.Статистические модели и методы обработки сигналов в системах
радиосвязи: Учебное пособие / Ш.М. Чабдаров, P.P. Файзуллин, А.Ф. Надеев, Р.Х.
Рахимов, А.Ю. Феоктистов – Казань: Изд-во Казан, гос. техн. ун-та. 1997. – 90 с.
91.Татарский В.И. Распространение волн в турбулентной атмосфере / В.И.
Татарский. – М.: Наука, 1967. – 548с.
92.Теория и применение псевдослучайных сигналов / А.И. Алексеев, А.Г.
Шереметьев, Г.И. Тузов, Б.И. Глазов. – М.: Наука, 1969. – 365 с.

150. 150
93.Тихонов В.А. Негауссовы характеристики речевых сигналов / В.А. Тихонов
// АСУ и приборы автоматики. – 2003. – №123. – С. 57 – 62.
94.Трофимов А.Т. Полигауссовские вероятностные модели и синтез
информационных систем. Монография. / А.Т. Трофимов. – Новгород: Издательско-
полиграфический центр Новгородского государственного университета им.
Ярослава Мудрого, 2002. – 183 с.
95.Ферапонтов М.М. Моделирование случайных воздействий на ЭВМ.
Учебное пособие / Ферапонтов М.М., Крицына Н.А., Деев Д.Л. – М.: МИФИ, 1995. –
120 с.
96.Чабдаров Ш.М. Основы статистической теории радиосвязи: Полигауссовы
модели и методы. Учебное пособие / Чабдаров Ш. М., Сафиуллин Н. З., Феоктистов
А. Ю. – Казань: КАИ, 1983. – 86 с.
97.Чабдаров Ш.М. Полигауссовый алгоритм выделения вызванных
потенциалов головного мозга / Ш.М. Чабдаров, Т.Ф. Щербакова, А.А. Коробков,
В.Л. Можгинский, Ю.И. Култынов, Е.А. Улитина // Фундаментальные
исследования. – ГРНТИ, 2004, – №2, – с.103-105.
98.Чепинога А.В. Аналіз ефективності застосування чисельних методів для
пошуку параметрів полігаусових моделей / А.В. Чепинога // «Вісник Інженерної
академії України». – Київ, 2010, – №2, – с.135-139.
99.Чепинога А.В. Аналіз застосування чисельних методів для пошуку
параметрів полігаусових моделей з перфорованим моментно-кумулянтним описом /
А.В. Чепинога // Тези доповідей VII Всеукраїнської наукової конференції ІТОНТ-
2010. – Черкаси, 2009. – с. 64.
100. Чепинога А.В. Дослідження областей генерації випадкових величин з
перфорованим описом на основі полігаусових моделей / А.В. Чепинога // Праці ІІ
Міжнародної науково-практичної конференції «Обробка сигналів і негауссівських
процесів» пам’яті професора Кунченко Ю.П. – Черкаси, 2009. – с. 88-89.
101. Чепинога А.В. Зменшення розмірностей полігаусових моделей на основі
застосування моментно-кумулянтного опису / А.В. Чепинога // Матеріали
Всеукраїнської наукової конференції «Актуальні проблеми аналізу та моделювання
складних систем». – Черкаси, 2007. – с. 45.
102. Чепинога А.В. Імовірнісні моделі на основі полігаусових розподілів та
перфорованого моментно-кумулянтного опису / А.В. Чепинога // Праці ІІІ
Міжнародної науково-практичної конференції «Обробка сигналів і негауссівських
процесів» пам’яті професора Кунченка Ю.П. – Черкаси, 2011. – с. 71-74.
103. Чепинога А.В. Моделювання генераторів симетрично-розподілених
випадкових величин на основі полігаусових моделей із застосуванням
перфорованого моментно-кумулянтного опису / А.В. Чепинога // Збірник праць ІII-
го Міжнародного радіоелектронного форуму «Прикладна радіоелектроніка. Стан і
перспективи розвитку (МРФ-2008)». – Харків, 2008. – с. 37-38.
104. Чепинога А.В. Області реалізації бігаусових моделей асиметрично-
ексцесних випадкових величин з перфорованим моментно-кумулянтним описом /
А.В. Чепинога // Вісник ЧДТУ. – Черкаси, 2010, – № 2. – с.91-95.
105. Чепинога А.В. Розробка бігаусових імовірнісних моделей на основі
моментно-кумулянтного опису / А.В. Чепинога // Матеріали 11-го Міжнародного

151. 151
молодіжного форуму «Радіоелектроніка і молодь в ХХІ столітті». – Харків, 2007. –
с. 201.
106. Чепинога А.В. Розробка полігаусових моделей симетрично-
розподілених випадкових величин із застосуванням перфорованого моментно-
кумулянтного опису / А.В. Чепинога // Матеріали Другої міжнародної наукової
конференції «Теорія і методи обробки сигналів». – Київ, 2008. – с. 118-119.
107. Чепинога А.В. Оценивание параметров полигауссовых моделей методом
максимизации полинома / А.В. Чепинога, С.В. Заболотний, Е.В. Бурдукова //
ВЕЖПТ. – 2014. – Т.2, – №4 (68). – С.43-46.
108. Чепинога А.В. Особливості застосування методу Кунченко для оцінки
параметрів полігаусових моделей / А.В. Чепинога // Праці ІV Міжнародної науково-
практичної конференції «Обробка сигналів і негауссівських процесів» пам’яті
професора Кунченка Ю.П. – Черкаси, 2013. – с. 71-74.
109. Чепинога А.В. Застосування полігаусових моделей на основі методу
Кунченка для визначення індексів придатності виробничого процесу / А.В.
Чепинога // Праці V Міжнародної науково-практичної конференції «Обробка
сигналів і негауссівських процесів» пам’яті професора Кунченка Ю.П. – Черкаси,
2015. – с. 137-139.
110. Шахтарин Б.И. Случайные процессы в радиотехнике. В 2-х т. /
Шахтарин Б.И. – М.: Гелиос АРВ, 2007.
111. Шелухин О.И. Негауссовские процессы в радиотехнике / О.И. Шелухин.
– М.: Радио и связь, 1998. – 310 с.
112. Шеннон Р. Имитационное моделирование систем - искусство и наука / Р.
Шеннон – М.: Мир, 1978. – 418 с.
113. Шумоподобные сигналы в системах передачи информации / под ред.
Проф. В.Б. Пестрякова. – М.: «Сов. радио», 1973. – 424 с.
114. Аkim E.L., Tuchin D.A. GPS errors statistical analysis for ground receiver
measurements // The Proceedings of the 17th International Symposium on Space Flight
Dynamics, 16-20 June, Moscow, Russia. M.: Keldysh Institute of Applied Mathematics,
KIA Systems, 2003
115. Akira Kurematsu. Performance analysis of Gaussian Mixture Model speaker
recognition systems with different speaker features // Technical Acoustics. 2005. Vol.14.
116. Hesse C.W., Holtackers D., Heskes T. On the use of mixtures of Gaussians
and mixtures of generalized exponentials for modelling and classification of biomedical
signals // Belgian Day on Biomedical Engineering IEEE Benelux EMBS Symposium.
2006.
117. Kunchenko Y.P. Polynomial parameter estimation of close to Gaussian
random variables. – Aachen: Shaker, 2002. – 396 p.
118. McLachlan G., Peel D. Finite Mixture Models. – Wiley, 2000. – 456 p.
119. Mehta, N.B. Molisch, A.F., Jingxian Wu, Jin Zhang, Approximating The Sum
Of Correlated Lognormal Or Lognormal-Rice Random Variables // IEEE International
Conference On Communications, 2006. 8 p.
120. Melnykov V. Maitra R. Finite mixture models and model-based clustering. //
Statist. Surv. Volume 4 (2010), 80-116.

152. 152
121. Morton J. Principal Cumulant Component Analysis / Morton J., Lim Lek-
Heng // University of California, Berkeley, 2009, 1/20. – 10 p.
122. Plataniotis Kostantinos N. & D. Hatzinakos. Gaussian Mixtures and Their
Applications to Signal Processing. Advanced Signal Processing Handbook. Editor:
Stergios Stergiopoulos. – Boca Raton: CRC Press LLC, 2001.
123. Szyszkowicz S.S., And Yanikomeroglu H., Fitting The Modified-Power-
Lognormal To The Sum Of Independent Lognormals Distribution // IEEE Globecom,
2009. 6 p.
124. Titterington D.M. Statistical Analysis of Finite Mixture Distributions. –
Chicester: Wiley, 1985. – 245 p.

153. 153
Додаток А
ВИРАЗИ ДЛЯ ЗНАХОДЖЕННЯ ПАРАМЕТРІВ БІГАУСОВОЇ МОДЕЛІ
ПЕРШОГО ТИПУ АСИМЕТРИЧНИХ ВИПАДКОВИХ ВЕЛИЧИН ПРИ СТЕПЕНІ
ПОЛІНОМА 3s .
Об’єм тіла:
)))3(1(
)1(2))))10(4(10(1(6))))3(12(
3(1)(1(18))))25(6(2))(52(5(3(
16
1
86
22
3
dmmdd
dmddddmdd
dddddddd



(А.1)
Коефіцієнти:
3
1
1


 m
mh , (А.2)
де
).)47())2(21)(1(3)))213(
2(5(9))52(5)(235(3(
16
1
6242
3
1
mdmdddmd
ddddddm


3
2
2


 m
mh , (А.3)
де
).)633()))4
17(2(33())))25(21(11(13(3(
16
1
7523
2
mmddmdd
dmddddm


3
3
3


 m
mh , (А.4)
де
).)23(
)25)(1)(1(3))52(5)(1(3(
16
1
6422
3
mmddm
ddddddm


3
1
1


 d
dh , (А.5)
де
).)4(3))2(
35(3))))138(3(22(10(3(
16
1
7523
1
dmmdmdd
dmddddd


3
2
2


 d
dh , (А.6)

154. 154
де
).)1())5(1(3
)1(3))))25(6(5(2(3(
8
1
64
23
2
mdmdd
mdddddd


3
3
3


 d
dh , (А.6)
де ).)2())29(24())3(4(3(
16
1 532
3 mdmddmddd 
Вирази для знаходження параметрів бігаусової моделі для 4s .
Об’єм тіла:
))1())3(1)(
1(6))))))215(24(150(24(15(
2(3)))))))419(36(109(109(36(
19(4(12))))))429(98(90(98(
29(4()1(45)))))))920(382(15(
15(82(60(27(90))))))2320(89(
120(89(20(23))))(25(6(5(2(9(
16
1
12210
8
6
4
22
4
mddmddd
dmdddddd
mdddddd
dmddddd
ddmdddd
ddddddd
ddddddd







(А.7)
Коефіцієнти:
4
1
1


 m
mh , (А.8)
де
).)md()))mdd
d(d((d))))))md(d(d(
d(d(()))))mddd(
d(d(d((d))))))md(
d(d(d(d((d))))))d(
d(d(d(d()(dd((Δ m
10283
6
43
2
3
1
1113215
253594343536
1165425621511
30109590369880
607820267606992320
891208920232359
16
1






4
2
2 )(


 m
m mh , (А.9)

155. 155
де
).mdd))m(d(d)))))md(d(d(
d((d))))))md(d(d(d(
d((d))))))md(d(d(
d(d((d))))))))md(d(d(
d(d(d(d(((Δ m
112927
5
3
2
3534365639
146625511981
161018415234360
129604920979134
3024193572481849
16
1





4
3
3


 m
mh , (А.10)
де
).)md(
d)))md(d((d)d))))md(d(d(
d((d))))))md(d(d(d(
d((d)))))md(d(d(
d(d)(())))))d(d(
d(d(d(d)(((Δ m
102
86
4
2
3
51
3533343830
103647513282
533077435446
32319232089
12089202319
16
1






4
4
4


 m
mh , (А.11)
де
).)21()41(6)))))
2(6(21(3(3(6))))))35(
4(25(32(5(4(6)))))9(
8(241(8(23()1(9(
16
1
9275
3
2
4
mddmdmdd
dddmdd
ddddmdd
ddddm




4
1
1


 d
dh , (А.12)
де
).dm)mdd(d)))))md(d(
d(d((d)d))))m(d(d(
d(d)((d)d))))))m(d(d(
d(d(d((d))))))))d(d(
d(d(d(d(d((m(Δ d
10846
4
2
1
221533115
62294123733
295236110121370
92210101306231062
5115730762415193
16
3





4
2
2
Δ
Δ
h d
d  , (А.13)

156. 156
де
).dmdmd)))m
(dd((d)))))md(d(d(
d((d))))))md(d(d(
d(d((d)))))))md(d(
d(d(d(d((d))))
d(d(d()(ddd((Δ d
12108
26
4
2
43
2
62
3952231451324
132141220143200262
280596091092123
270362642134182
565213654679
16
1






4
3
3


 d
dh , (А.14)
де
).dmd)d)m((d)))md(d(
d)((d)))))md(d(
d(d((d))))))md(
d(d(d(d((d))))))md(
d(d(d(d(((Δ d
1197
5
3
3
103279
416124142
48505620243
40018140394031922
85244213102139
16
1





4
4
4


 d
dh , (А.15)
де
).))5(2(3))8(26(6
))))720(9(28(10(6)))))6
47(23(9(67(8)(1(9))))2
5(6(5(2)()2(9)(1(9(
32
1
10862
422
4
dmmddmdddd
mddddmd
dddddd
ddddddd




Система рівнянь для оцінки параметрів бігаусової моделі першого типу при
3s .
 
  .0)d,m()d,m(h
,0)d,m()d,m(h
dˆd
s
1i
n
1v
i
i
vid
mˆm
s
1i
n
1v
i
i
vim


 
 
 
 


(А.16)

157. 157
Додаток Б
ВИРАЗИ ДЛЯ ЗНАХОДЖЕННЯ ПАРАМЕТРІВ ТРИГАУСОВОЇ МОДЕЛІ
ПЕРШОГО ТИПУ АСИМЕТРИЧНИХ ВИПАДКОВИХ ВЕЛИЧИН
При степені полінома 3s .
Об’єм тіла:
.32326
32153220321532622423
3232123219321232323
3224332233223
32257633221296972
81
1
65
4233245626
5423324562
222222222
232245
3
))mmm
mmmmmmmmm(d)m
mmmmmmmmmm)(mm
mmd(m)mmm(mm)m(mm)m
mm(md)mmm(mddd(Δ





(Б.1)
Коефіцієнти:
3
21
21
Δ
Δ
h m
m  , (Б.2)
де
.3232632133230
322124332333253223212
32233216266311321432524
183932622543322324
81
1
653324
56654233
2456243224
32243345
21
))mmmmmmm
mm-m()m-md(m)mmmmmmm
mmmmm(d)mmmmmm(
d)mmmm(dm)m(mmd(Δ m




3
22
22
Δ
Δ
h m
m  , (Б.3)
де
)).343223
32363234322332824()3326
326223432263532203215
2818323322322108
81
1
76
5243346732
23222322
332334
22
mmm
mmmmmmmmmdmmm
mmm)(mmm(md)mmmmm
m(d)m(mm)m(mm)mm(d(Δ m




3
23
23
Δ
Δ
h m
m  , (Б.4)
де

158. 158
)).mmmmm
mmmmmmmd()mmm(m
)m(mmd)mmmm(dm)m(m(mΔ m
6542
33245622
22223233
23
33273212
3212321132622234322
3221233222183322
81
1



3
31
31
Δ
Δ
h m
m  , (Б.5)
де
.34322132303213
3262232236321632233212
322325236343253214211
183232629543322324
81
1
654233
56654233
2456242234
32244335
31
))mmmmmmm
mmm)(m(mdm)mmmmmmm
mmmmm(d)mmmmmm(
d)mmmm(dm)m(mmd(Δ m




3
32
32
Δ
Δ
h m
m  , (Б.6)
де
)).343283223
32343236322324()32326
32623322463832153220
2518323322322108
81
1
7643
34256732
23222322
333324
22
mmmmm
mmmmmmmdmmm
mm)(mmmmm(d)mmmmm
m(d)m(mm)m(mm)m(md(Δ m




3
33
33
Δ
Δ
h m
m  , (Б.7)
де
)).mmmmm
mmmmmmd(m)mmmm()m
(mmd)mmm(mdm)m(mm(Δ m
6542
33245622
22223232
23
323263211
3212321232722332243
231232322183322
81
1



3
1
1


 d
dh , (Б.8)
де

159. 159
.
m)(mmmmd()mmmm)(mmm
(m)m(m)mmmm(dd)(md(mΔ d
))3m35m2m3
233232223323222332
2323232223610832
27
1
2
222222
222223
1



3
2
2
Δ
Δ
h d
d  , (Б.9)
де
).mmm
mmmmmd()mmmmmm(
)mmm(m)mmm(mddd(Δ d
43
22344334
222223
2
373211
32932112763432532524
33223322144162
27
1



3
3
3
Δ
Δ
h d
d  , (Б.10)
де
).mmmmd)(m)(mmm)(md(mΔ d
22
3 3322632322322
27
1

Система рівнянь для оцінки параметрів тригаусової моделі.
 
 
  .0),3,2(),3,2(
,0),3,2(),3,2(
,0),3,2(),3,2(
ˆ
3
1 1
3ˆ3
3
1 1
3
2ˆ2
3
1 1
2



 
 
 
 
 
 
ddi
n
v
i
i
vid
mmi
n
v
i
i
vim
mmi
n
v
i
i
vim
dmmdmmh
dmmdmmh
dmmdmmh



(Б.11)
При степені полінома 4s .
Об’єм тіла:

160. 160
))mmmmmmm
mmmmmmmm
mmmmmmmmm(d
)mmm-mmmm-mm
mmm)(mmm(md)m
mmmmmmmmmm
m(d)mmm-mmmm
mmmmm()mm-m(md
)mmmmmmmmm
mmm)(mmm(mm)m(mdm
)mmm(mm)m(mm)mmm
(md)mmm(mdd(dΔ
121110293
84756657
483921011122
65423324
562246
54233245
65654233
24562223
65423324
5622222
22244422
2622782
4
3432243214832520
321189321900322210321900
32118932520321483224243
3117323513297032135532970
323512117332236322
32663214732184321473266
222108032032603223332366
322333260220332218
373221324832613248
32212733223322
33223322332
26480033227776034992
243
2












(Б.12)
Коефіцієнти:
4
21
21
Δ
Δ
h m
m  , (Б.13)
де
)).m-mm
mm-mmmmmm-mm
mm-mmmm-m()m-m(md
)m-mmmm-mmmm
mm-mmmm-mm
mm-m(d)-m-mmmm-
-mmmmmm-mmmm-
-m(d)-m-mmmm-mm
mmmm-m(d)-m-mm
mm-mmmm-m(m)-m(mdm
)mmm-mmm(-md)m
mm-m(dm)-m(m-mdd(Δ m
109
8273645546
37289102
109827364
55463728
91038762
534435267
84654233
2456554
322345333
322362
276648
21
32326
3220324132433220932303
32241321123229243326
3273290321863229432107
3296632139032104832459
32110218123493213632217
322623250324043238432162
245723133323003236932298
322032143288144323211
321532103222233223
311332178321632683432343
32342221296332223328
247
1













161. 161
4
22
22
Δ
Δ
h m
m  , (Б.14)
де
)).m+mm
-mm+mm-mm+mm-mm
+mm+mm-mm+mm-m(d
)-m+mm-mm+mm-mm
+mm-mm+mm-mm-m(d
)-m+mm-mm+mm-mm-mm
+mm-mm+mm-m()m-m(mdm
)-m-mm+mm-mm+mm
-mm+mm-m(d)+m-mm
+mm-mm+mm-m(d)+m
-m+mmm+mm-m(m)-m(m)+mm
mm+mm-m(d)+-mm(dd(Δ m
1110
9283746556
47382910112
98726354
453627893
9872635445
3627892
76524334
2567454
32234554
322345333
22367
22
323228
3210232251324303243332213
3218329332563216246
3283222132641321348321870
3215223269032120323022012
3232432632832203263
3273324432152333222
34432252325433288332885
324743212321872317032757
321102321174326952242723
32323325233322337
32126321112684323227776
243
1












4
23
23
Δ
Δ
h m
m  , (Б.15)
де
)).mmmmmmm
mmmmmmmmmm
mmm(d)mmmmmmm
mmmmmmmm(m)mm(mdm
mmmmm(d)mmmmm
mmmmmmm(d)mmm
mmm(m)-m(mm)mmmmm
m)(-m(md)-mmmm(dd(Δ m
1098273
6455463728
9102876253
443526782
267836542
332456443
224433322
35226
23
3321032383262
321213218632176321083243
321022123432832113242
326632563226324233222
322023272220243732123253
32663270324722014432325
32322332232326323
25328643322221296
243
1








4
24
24
Δ
Δ
h m
m  , (Б.16)
де

162. 162
)).mmmmmmm
mmmmm(d)mmmmm
mmmmmmm(md)mmm
mmmmmmm()mm(mdm)m
mmmmmmm(d)mmm(m
m)m(mm)mmm(md)(mmd(Δ m
654233
245636542
33245622642
33245624
32234422
433225
24
31432232333266
32433212241232325323
32183214326223632323
3283293262233222318
321332263226213363322
33223322432322
243
1






4
31
31
Δ
Δ
h m
m  , (Б.17)
де
)).mmmmmmmmm
mmmmmmmmmmm(
)m(mmd)mmmmmmm
mmmmmmmmmm
mmm(d)mmmmm
mmmmmmmmmm
m(d)mmmmmmm
mmmmm(d)mmm
mmmmmmm(m)m(mdm
)mmmmmm(md)m
mmm(dm)m(mmdd(Δ m
109827364
55463728910
21098273
6455463728
91038762
534435267
84654233
2456554
322345333
322362
274668
31
343229321123224132303
3220932433241322032622
32263183211032459321048
32139032966321073229432186
3290227123453216232384
324043250322623221732136
2497238832143322032298
3236932300213314432322
3210321532112233223
368321633217821132432322
32342431296332223328
243
1











4
32
32
Δ
Δ
h m
m  , (Б.18)
де

163. 163
)).mmmmmmm
mmmmmmmmmm
mmmmm(d)mmm
mmmmmmmm
mmmmmmm(d
)mmmmmmmmmmm
mmmmmmm()mm(mdm
)mmmmmmmmm
mmmmm(d)mmm
mmmmmmm(d)m
mmmmmm(mm)m(mm)m
mmmmm(d)m(mdd(Δ m
11109283
7465564738
291011298
72635445
3627893
9872635445
3627892
76524334
2567454
32234554
322343353
22367
32
34321632563293
321832213324333243032251
3210232282263203230
3212032690321522321870
321348326413222122812
3332153244327332633220
3283263242233222
31832123324743288532883
325433225224472324232695
3211743211023275721707233
3253233223322368
32111321262374323227776
243
1












4
33
33
Δ
Δ
h m
m  , (Б.19)
де
)).mmmmmmm
mmmmmmmmmm
mm(md)mmmmmmm
mmmmmmmmm()mm(mdm
)mmmmmmmmmmm
mmmmm(d)mmmmm
mmmmmmm(d)mmm
mmm(m)m(mm)mmmmm
m)(m(md)mmm(mdd(Δ m
1098273
6455463728
9102876253
443526782
8762534435
267836542
3324564422
34334322
35226
33
323210324332108
32176321863212132623238
3210212332432263256
3266324232113282433222
320327232202323123227532178
321213228282432032473270
3266325332122714432323
32522332235323326
22328643232221296
243
1









4
34
34
Δ
Δ
h m
m  , (Б.20)
де

164. 164
)).mmmmm
mmmmmmm(d)mmm
mmmmmmmmm(md)m
mmmmmmmmm()mm(mdm
)mmmmmmmm(d)mmm
(mm)m(mm)mmm(md)(md(mΔ m
6542
332456365
42332456226
542332462
43223442
2334225
34
3432123243
326632333222141232326
32143218323325222632
3263293283232233222
31332263226321321836332
233223322432322
243
1






4
1
1


 d
dh , (Б.21)
де
)).mmm
mmmmmmmmmm
mmm(d)mmmmmmm
mmmmmmmmm)(mmm
m(d)mmmmmmmmm
m(d)mmmmmmm
m(d)mmmmmmmm()m
mm(mm)m(mdm)mmmm(d
)mmm(mm)m(mmd)(md(mΔ d
87
6253443526
783876253
443526782
226542245
6443223
4543223422
22226
2223437
1
32632154
3238432553326103255332384
321542261232321432473283
32983283324732142232323
226383249324232423249
2872374321013215732101
2747234322232373222243
32233223143211214864
33223322777632
81
1









4
2
2
Δ
Δ
h d
d  , (Б.22)
де

165. 165
)).mmm
mmmmmmmmmm
mmmmmmm(d)mmm
mmmmmmmmmm
mmm(d)mmmmmmm
mmmmmmmmm()mmm
d(m)mmmmmmmmm
mmm(d)mmmmmmm
m(d)mmmmmmm(m)mmm
(mm)m(mm)mmm(mddd(Δ d
109
8273645546
3728910287
6253443526
783876253
4435267822
265423324
56443223
4543223422
22222267
2
38324
328732312325583266632558
3231232873242863113258
3226232397324153239732262
325821112323223293243
3266324332932222332
223263224321593235632159
322422636379321493220132149
279144332323322332
2332233222073611664
81
1










4
3
3
Δ
Δ
h d
d  , (Б.23)
де
)).mmmmmmm
mmmmmmmmm(
d)mmmmmmmmm
mmm(d)mmmmmmm
mmmmm()mmmd(m)mmm
m)(mmm(md)mmmm()mmm
(mm)m(mm)mm)(m(md)(md(mΔ d
876253
44352678
265423324
563654233
24562222
22242222
22225
3
31232543213032201
3223232201321303254212
1233432122322053222032205
32122234243232732183225
321832722332243183237
2183322723232322332
2332232232243232
81
1







4
4
4
Δ
Δ
h d
d  , (Б.24)
де

166. 166
)).mmmmmmmmmmm
m(d)mmmmmmmmm
mmm)(mmm(md)mmmmm
mmmmmm(m)mmmd(m)m
mm(mm)m(mm)mmm(mdd(Δ d
654233245
6365423324
562226542
33245622232
22222224
4
3623218632255322003225532186
2626343212322132223221
3212243322183323329
32133293232332243
32233223322288
81
1





Система рівнянь для оцінки параметрів тригаусової моделі при 4s .
 
 
  .0),3,2(),3,2(
,0),3,2(),3,2(
,0),3,2(),3,2(
ˆ
4
1 1
3ˆ3
4
1 1
3
2ˆ2
4
1 1
2



 
 
 
 
 
 
ddi
n
v
i
i
vid
mmi
n
v
i
i
vim
mmi
n
v
i
i
vim
dmmdmmh
dmmdmmh
dmmdmmh



(Б.25)

167. 167
Додаток В
ВИРАЗИ ДЛЯ ЗНАХОДЖЕННЯ ПАРАМЕТРІВ ТРИГАУСОВОЇ МОДЕЛІ
ЕКСЦЕСНИХ ВИПАДКОВИХ ВЕЛИЧИН
Співвідношення МПО для першого типу тригаусової моделі при степені
полінома 4s :
Об’єм тіла:
))d(-dd-dd))(d(-d)d(-d
-d(/))d(d)d(dd-ddd-
-)(-/))(-(dd)(dd(/)dd(-(
22424
2222323
33222
4
2112172117172412211
1449421121121422114
149121121135211



(В.1)
Коефіцієнти:
0
4
11
11 


 d
dh , (В.2)
4
12
12


 d
dh , (В.3)
де
).d(d
(d)d(d)d(d)-d(dd(
))d-dd(-d)d(dd-dd(Δ d
2
32234
323424
12
252
652211521162115122
2142214121121721317
9
2



0
4
13
13 


 d
dh , (В.4)
4
14
14


 d
dh , (В.5)
де
).d(d(-d(d)d(d
)d(d)-d(dd)))(d(-d
(d)d(d-d-ddd(-Δ d
225262522115
2116211512221742
1712113214221214
27
1
3
2234
2323
14



0
4
21
21 


 d
dh , (В.6)
4
22
22


 d
dh , (В.7)

168. 168
де
).d(d(-d(d)d(d
)d(d)-d(dd())d(dd
dddd-d)-d(-dd(Δ d
225262522115
21162115122221
232211421421111717
9
2
3
22343
43324
22



0
4
23
23 


 d
dh , (В.8)
4
22
24


 d
dh , (В.9)
де
.
Δ d
2d2)))d2(5d2(-6d2(5)d25d1(1)d2(16d1-
-d2)(15d12d1)(22d2-d1)d23(1
17d1)d1d2-(417d2-14d1))d1(-1d1(-1(14
27
1
322
3432
24



Співвідношення МПО для другого типу тригаусової моделі при степені
полінома 4s :
Об’єм тіла:
)mdmmdmd
mdd)(mdmmdd(dΔ
1086243
245642232
4
4515281404
1296324583
27
8


(В.10)
Коефіцієнти:
0
4
1
1 


 m
mh , (В.11)
4
2
2


 m
mh , (В.12)
де
)-mdm-md
mdd)(mdmmdddm(Δ m
8642
23464223
2
6144
396108583
27
16


0
4
3
3 


 m
mh , (В.13)
4
4
4


 m
mh , (В.14)
де ).mdmmdd)(-md(dmΔ m
64223423
4 58318
27
16


169. 169
0
4
1
1 


 d
dh , (В.15)
4
2
2


 d
dh , (В.16)
де ).-mdm-md-mdd)(mdmmddd(Δ d
864223464223
2 22249636583
3
4

0
4
3
3 


 d
dh , (В.17)
4
2
4


 d
dh , (В.18)
де ).mdmmdd)(md(dmΔ d
6422324
4 5838
3
4


170. 170
Додаток Г
ОБЧИСЛЕННЯ СТАТИСТИЧНОЇ СТІЙКОСТІ ТА РЕЗУЛЬТАТИ
МОДЕЛЮВАННЯ АПРОКСИМАЦІЇ ПОЛІНОМІАЛЬНИХ СТАТИСТИК
Для обчислення ймовірності p появи деякої випадкової події A при
моделюванні можна вважати, що в кожній з N реалізацій процесу число подій A є
випадковою величиною X , що приймає значення 11 x з ймовірністю p , і значення
02 x з імовірністю )1( p .
Для шуканої імовірності p оцінкою вважається частота Nm/ настання події
A в N реалізаціях чи експериментах:



N
iNN
m
1
1
,
де ix – число настання події A в реалізації (експерименті) з номером i .
В силу центральної крайової теореми теорії ймовірностей частота Nm/ при
достатньо великих N має розподіл, близький до нормального, тому для кожного
значення достовірності dt  )( можна вибрати з таблиць інтеграла ймовірностей
таку величину dt , що точність  буде рівна
NXDtNmDt dd /)()/(  .
Звідси, число реалізацій 22
/)( XDtN d .
Підставивши у попередню формулу замість )(XD її значення, число
реалізацій, необхідних для отримання оцінки частоти Nm/ з точністю  і
достовірністю d можна визначити як
2
2 )1(

 
 dtN .
З достовірністю 9,0d будемо вважати, що хибна тривога (помилка першого
роду) з’являється з імовірністю 01,0 . Щоб правильно оцінити частоту Nm/ ,
точність  повинна бути на порядок вища за  , тобто 001,0 .
З таблиць інтеграла ймовірностей для 01,0 знаходимо 645,1dt , звідси,

171. 171
мінімальна кількість реалізацій (експериментів) при 001,0 :
2700026790
)001,0(
)01,01(01,0
)645,1( 2
2


N .
Результати апроксимації поліноміальних статистик:
Рисунок Г.1 - Апроксимація бігаусової моделлю поліноміальних статистик
при гіпотезах 0H та 1H
Рисунок Г.2 - Апроксимація тригаусової моделлю поліноміальних статистик
при гіпотезах 0H та 1H

172. 172
Рисунок Г.3 - Апроксимація рядом Еджворта 2-го порядку поліноміальних
статистик при гіпотезах 0H та 1H
Рисунок Г.4 - Апроксимація рядом Еджворта 2-го порядку поліноміальних
статистик при гіпотезах 0H та 1H

173. 173
Рисунок Г.5 - Апроксимація рядом Ерміта 2-го порядку поліноміальних
статистик при гіпотезах 0H та 1H
Рисунок Г.6 - Апроксимація рядом Ерміта 3-го порядку поліноміальних
статистик при гіпотезах 0H та 1H

174. 174
Додаток Д
ДОКУМЕНТИ ПРО ВПРОВАДЖЕННЯ РЕЗУЛЬТАТІВ
ДИСЕРТАЦІЙНОЇ РОБОТИ

175. 175

176. 176

177. 177