Автореферат Чепиноги А.В.

1. МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
ЧЕРКАСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ТЕХНОЛОГІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
ЧЕПИНОГА Анатолій Володимирович
УДК 519.87:519.2:621.391(043)
МЕТОДИ ПОЛІНОМІАЛЬНОГО ОЦІНЮВАННЯ
ПАРАМЕТРІВ ПОЛІГАУСОВИХ МОДЕЛЕЙ ПРИ
МОМЕНТНО-КУМУЛЯНТНОМУ ОПИСІ
01.05.02 – математичне моделювання та обчислювальні методи
АВТОРЕФЕРАТ
дисертації на здобуття наукового ступеня
кандидата технічних наук
Черкаси – 2016

2. Дисертацією є рукопис.
Робота виконана в Черкаському державному технологічному університеті
Міністерства освіти і науки України.
Науковий керівник доктор технічних наук, доцент
ЗАБОЛОТНІЙ Сергій Васильович, Черкаський
державний технологічний університет, проректор із
НДР та міжнародних зв’язків.
Офіційні опоненти: доктор технічних наук, професор
ЯВОРСЬКИЙ Богдан Іванович, Тернопільський
національний технічний університет імені Івана
Пулюя, завідувач кафедри біотехнічних систем;
кандидат технічних наук
ГАРМАШ Оксана Вікторівна, Національний
технічний університет України «КПІ», м. Київ,
викладач кафедри акустики та акустоелектроніки.
Захист відбудеться “28” квітня 2016 р. о 14-00 годині на засіданні
спеціалізованої вченої ради К 73.052.01 Черкаського державного технологічного
університету за адресою: 18006, м. Черкаси, бул. Шевченка, 460, ауд. 229.
З дисертацією можна ознайомитися у бібліотеці Черкаського державного
технологічного університету за адресою: 18006, м. Черкаси, бул. Шевченка, 460.
Автореферат розісланий “28” березня 2016 р.
Вчений секретар
спеціалізованої вченої ради А.В. Гончаров

3. 1
ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ
Актуальність теми. Розробка нових та удосконалення наявних математичних
моделей реальних стохастичних процесів, створення і дослідження нових методів їх
статистичного опрацювання є важливим і актуальним науково-технічним завданням.
Одним із підходів до його вирішення є застосування сумішей типових розподілів,
зокрема гаусових. Наукові дослідження, стосовно синтезу, аналізу та моделювання
роботи різного роду технічних систем при використанні полігаусових розподілів
проводились Ш.М. Чабдаровим, А.Т. Трофімовим, Е.А. Ібатулліним,
Д.М. Тіттерінгтоном, К.Н. Платаніотісом, Ц.Ш. Хессе, О.І. Красильніковим,
А.В. Горошком.
За допомогою полігаусових моделей вирішується широке коло практичних
завдань, наприклад, зі статистичної класифікації мовних сигналів, аналізу похибок
вимірювання, статистичного контролю якості технологічних процесів тощо. Крім
того, існують завдання імітаційного моделювання та перевірки алгоритмів
статистичного опрацювання негаусових випадкових сигналів, вирішення яких
потребує генерації випадкових послідовностей, формування штучних завад
негаусового характеру.
Одним із ключових аспектів вирішення таких завдань полягає у необхідності
отримання оціночних значень параметрів імовірнісних моделей із реальних
статистичних даних. Для отримання таких оцінок найчастіше використовують метод
максимальної правдоподібності або метод моментів. Проте відомо, що
обчислювальні алгоритми, які отримано на основі застосування функціоналу
максимальної правдоподібності, часто характеризуються значною складністю та
малою швидкістю збіжності ітераційних процесів, а отримані на основі моментів –
низькою точністю (великою дисперсією) знайдених оцінок параметрів.
Отже, актуальність такого науково-технічного завдання полягає у розробці
нових методів статистичного оцінювання параметрів полігаусових моделей шляхом
забезпечення компромісу між реалізаційно-простим методом моментів та
оптимальним з погляду мінімізації дисперсії оцінок параметрів методом
максимальної правдоподібності, практичне використання якого потребує великого
обсягу обчислювальних ресурсів. Цей компромісний підхід ґрунтується на
модифікації полігаусових моделей, заснованій на використанні перфорованого
моментно-кумулянтного опису та застосуванні апарату стохастичних поліномів
Кунченка. Забезпечення його практичної реалізації додатково вимагає спеціалізації
наявних чисельних методів для створення ефективних програмних засобів, що
враховують специфіку завдань.
Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна
робота виконана на кафедрі радіотехніки та інформаційно-телекомунікаційних
систем Черкаського державного технологічного університету в межах
держбюджетних тем: «Розробка математичних методів вимірювання параметрів
постійного сигналу при мультиплікативних та адитивних негауссівських завадах»,
№ держ. реєстрації 0103U003681 та «Розробка теорії математичних методів та
алгоритмів вимірювання параметрів довільного радіосигналу при адитивних
негауссівських завадах», № державної реєстрації 0106U004485 і є інструментом для

4. 2
моделювання та перевірки розроблених алгоритмів статистичного опрацювання
сигналів при негаусових завадах.
Мета і завдання дослідження. Метою роботи є розробка на основі апарату
стохастичних поліномів Кунченка методів статистичного оцінювання параметрів
полігаусових моделей при перфорованому моментно-кумулянтному описі, для
ефективної реалізації процедур апроксимації розподілів емпіричних даних та
генерації випадкових послідовностей.
Для досягнення поставленої мети необхідно розв’язати такі завдання:
• систематизувати наявні способи опису ймовірнісних моделей та методи
статистичного оцінювання параметрів полігаусових розподілів;
• розробити методи поліноміального оцінювання параметрів полігаусових
моделей при перфорованому моментно-кумулянтному описі із застосуванням
апарату стохастичних поліномів Кунченка;
• дослідити асимптотичні властивості поліноміальних оцінок параметрів
полігаусових моделей та здійснити порівняльний аналіз їх ефективності з наявними
методами за критерієм величини зменшення дисперсії оцінок;
• розробити новий метод апроксимації розподілів емпіричних даних
полігаусовими моделями при перфорованому моментно-кумулянтному описі та
дослідити їх адекватність;
• розвинути методи генерації випадкових послідовностей із заданими
властивостями моментно-кумулянтного опису, засновані на застосуванні
полігаусових моделей.
Об’єктом досліджень є процеси оцінювання параметрів полігаусових
моделей на основі стохастичних поліномів Кунченка.
Предметом досліджень є полігаусові моделі при перфорованому моментно-
кумулянтному описі та методи оцінювання їх параметрів, призначені для
підвищення ефективності їх застосування для вирішення прикладних статистичних
задач.
Методи досліджень. Теоретичні дослідження спираються на використання
математичного апарату теорії ймовірності та математичної статистики, теорії
сигналів, теорії апроксимаційних методів, імітаційного (комп’ютерного)
моделювання, а також математичних чисельних методів. Методи статистичного
опрацювання, одержані в дисертаційній роботі, ґрунтуються на використанні
апарату стохастичних поліномів Кунченка, ефективність використання якого
проявляється за умови відмінності розподілу статистичних даних від гаусового
закону. Верифікація отриманих результатів проводилася за допомогою
статистичного моделювання (методу Монте-Карло).
Наукова новизна. Наукова новизна роботи полягає в такому:
Уперше:
• отримано модифіковані полігаусові ймовірнісні моделі, побудову яких
засновано на перфорації моментно-кумулянтного опису випадкових величин, що
надає нові можливості для зменшення розмірності моделей (кількості параметрів)
при збереженні коректності розрахунків;

5. 3
• розроблено метод апроксимації емпіричних даних із застосуванням
полігаусових розподілів при перфорованому моментно-кумулянтному описі та
поліноміальному оцінюванні їх параметрів, що підвищує адекватність моделей.
Удосконалено:
• наявні чисельні методи розв’язування систем степеневих рівнянь для
поліноміального оцінювання параметрів полігаусових моделей, що дозволило
зменшити обсяг необхідних обчислювальних ресурсів.
Отримали подальший розвиток:
• апарат степеневих стохастичних поліномів Кунченка для побудови нових
обчислювальних методів нелінійного оцінювання параметрів полігаусових моделей,
побудова яких відрізняються використанням перфорованого моментно-
кумулянтного опису, що дало змогу отримати аналітичні вирази для знаходження
оцінок параметрів та їх дисперсій;
• методи генерації негаусових випадкових послідовностей, що відрізняються
застосуванням полігаусових моделей при перфорованому моментно-кумулянтному
описі, та дозволяють формувати при реалізації статистичного моделювання тестові
вибірки із необхідними значеннями кумулянтів вищих порядків, що охоплюють
практично весь діапазон їх ОДЗ.
Практична цінність отриманих результатів полягає в такому:
 побудовано нові алгоритми поліноміального оцінювання параметрів
полігаусових моделей (до 4-х компонент), які дають врахувати моменти або
кумулянти невідомого розподілу до 12 порядку;
 отримано алгоритми на основі чисельних методів для розв’язування систем
рівнянь поліноміального оцінювання параметрів та запропоновано методику
відшукання початкового наближення за оцінюваною вибіркою, що полегшує процес
знаходження оцінок параметрів полігаусових моделей;
 розроблено методику синтезу обчислювальних алгоритмів статистичного
оцінювання параметрів полігаусових моделей, яка може бути використана для
вирішення прикладних задач стохастичної апроксимації та генерації;
 запропоновано застосування розроблених методів для оцінювання якості
виробничих процесів, що дає змогу на 8-10 % скоригувати вибраковку партій
продукції;
 реалізовано програмний генератор тестових випадкових послідовностей із
заданими властивостями в пакетах інженерних розрахунків Mathematica, MATLAB,
MathCAD, як інструмент для перевірки нових алгоритмів обробки сигналів.
За результатами дисертаційної роботи: в НДІ «АКОРД» впроваджено
алгоритми програмної генерації тестових шумових негаусових сигналів для
перевірки методів, які використовуються в задачах неруйнівного контролю
металоконструкцій; в НВК «Фотоприлад» впроваджено розроблені обчислювальні
алгоритми у вигляді складової методу статистичного контролю управління якістю
технологічних процесів виробництва електронно-оптичних приладів.
Матеріали дисертації також використовуються в навчальному процесі на
кафедрі радіотехніки та інформаційно-телекомунікаційних систем ЧДТУ в

6. 4
спецкурсах «Основи теорії нелінійної статистичної радіотехніки» та «Методи
цифрового оброблення інформації».
Апробація результатів роботи. Основні положення дисертаційної роботи
оприлюднені та обговорені на науково-технічних конференціях: 1-5 Міжнародній
науково-практичній конференції «Обробка сигналів і негауссівських процесів»
пам’яті професора Кунченка Ю.П. (Черкаси, ЧДТУ, 2007, 2009, 2011, 2013, 2015),
11-му Міжнародному молодіжному форумі «Радіоелектроніка і молодь у
ХХІ столітті (Харків, 2007), Всеукраїнській науковій конференції «Актуальні
проблеми аналізу та моделювання складних систем» (Черкаси, 2007), 2-й
Міжнародній науковій конференції «Теорія і методи обробки сигналів» (Київ, 2008),
ІII-му Міжнародному радіоелектронному форумі «Прикладна радіоелектроніка.
Стан і перспективи розвитку (МРФ-2008)» (Харків, 2008), Всеукраїнській науковій
конференції ІТОНТ-2010 (Черкаси, ЧДТУ, 2010), V Міжнародному науково-
технічному симпозіумі «Нові технології в телекомунікаціях» (ДУІКТ-Карпати 2012),
ХI Міжнародній конференції «Контроль і управління в складних системах» (КУСС-
2012), (Вінниця, ВНТУ, 2012).
Особистий внесок здобувача. Основні результати, які представлені до
захисту, отримані здобувачем самостійно. В роботах [4, 8] авторові належать
результати аналітичного розрахунку моментного та кумулянтного опису
полігаусових моделей. В роботах [3, 16, 17] – розробка методу апроксимації на
основі полігаусових моделей та моментно-кумулянтного опису. В роботі [1] автору
належить розробка методу поліноміального оцінювання. В роботах [2, 5]
запропоновані оптимальні з погляду простоти і швидкодії чисельні методи для
вирішення систем нелінійних степеневих рівнянь, що застосовуються при побудові
симетричних полігаусових моделей. У патентах [20, 21] запропоновано реалізацію
програмно-апаратного способу генерації випадкових послідовностей на основі
бігаусової і тригаусової моделі, а в [22] запропоновано використання методу
поліноміального оцінювання при побудові генераторів випадкових послідовностей.
Публікації. За темою дисертації опубліковано 22 наукові праці, з яких
7 статей у фахових наукових журналах України, (одна з яких в журналі з індексом
цитування Index Copernicus, DOAJ, РІНЦ), 12 публікацій у збірниках матеріалів та
тез конференцій. Отримано 3 патенти України на корисну модель.
Структура та обсяг роботи. Дисертаційна робота складається зі вступу, п’яти
розділів, висновків, списку використаних джерел, що містить 124 найменування, та
додатків. Робота містить 143 сторінки основного тексту, 13 таблиць та 38 рисунків.
ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ
У вступі показано актуальність поставленого завдання, взаємозв’язок його
з науковими програмами, планами та темами, сформульовано мету і завдання
дослідження, наукову новизну і практичну цінність отриманих в роботі
результатів, наведено дані про особистий внесок здобувача, апробацію роботи і
публікації за темою дисертації.
У першому розділі дисертації проведено аналіз технічних систем, для
забезпечення функціонування яких виникає необхідність вирішення науково-
технічних завдань автоматичної апроксимації та ідентифікації розподілів,

7. 5
класифікації мовних сигналів, аналізу похибок вимірювання, статистичного
контролю якості технологічних процесів, діагностики шумів колінних суглобів,
генерації випадкових послідовностей при імітаційному моделюванні та
формування штучних завад негаусового характеру. Крім того, проаналізовано
способи побудови та використання математичних ймовірнісних моделей, які
ґрунтуються як на основі апарату щільності розподілу, так і моментно-
кумулянтного опису. Показано, що один із можливих способів вирішення цих
завдань полягає в застосуванні часткового опису випадкових величин для
знаходження аналітичного виразу щільності розподілу з невідомими
параметрами, що задовольняють заданий критерій оптимальності.
Постановка задачі апроксимації закону розподілу випадкових
послідовностей формулюється так: нехай є представницька вибірка
спостережень )...,,,( 21 nxxx за випадковою величиною X . Необхідно підібрати
закон розподілу (вигляд і оцінити параметри), який би в статистичному сенсі
відповідав наявним спостереженням за певним критерієм узгодженості.
Зворотною до такої задачі є генерація випадкової послідовності із заданими
статистичними властивостями.
Рішення цих задач здебільшого здійснюється на основі застосування
«типових» розподілів, спеціальних рядів (Еджворта, Грама-Шарльє), сімейств
універсальних розподілів (Пірсона та Джонсона), кусково-лінійної апроксимації
тощо. Але основними недоліками, що притаманні як «типовим розподілам»,
рядам та сімействам розподілів – це їх не достатня універсальність, тому що в
реальних інформаційно-технічних системах умови розповсюдження сигналів і
виникнення завад недетерміновані та різноманітні.
Згадані недоліки усуваються при використанні як моделі щільності
ймовірності полігаусових розподілів. Перевагою їх застосування є те, що на
відміну від ортогональних розподілів, кожна складова моделі (гаусова
компонента) має визначений теоретично-імовірнісний зміст. Тому можливі
полігаусові представлення з будь-якою кількістю компонентів, які
задовольняють всі аксіоми теорії ймовірності.
Варто зазначити, що полігаусова випадкова величина має свій наближений
(частковий) опис за допомогою моментів чи кумулянтів. Перевагою такого
опису є те, що він описує не одну певну випадкову величину, а нескінченну
безліч випадкових величин. Тому, як для випадкових послідовностей так і для
полігаусових моделей можна застосувати перфорований моментно-кумулянтний
опис, що значно спрощує математичний апарат з одного боку, та дає змогу
врахувати тонку структуру реальних випадкових процесів з дискретним часом з
іншого.
Для побудови полігаусових моделей використовують оцінювання їх
параметрів або ж за вибіркою, або ж за кінцевим набором кумулянтів
(моментів). Найпростіший метод, який для цього використовується, – це метод
моментів (ММ), який часто не в змозі забезпечити вимоги до точності оцінки
параметрів. Оптимальний в сенсі мінімізації дисперсії оцінок результат
забезпечує метод максимальної правдоподібності (ММП), що базується на
повному описі у вигляді щільності розподілу. Проте складність такого підходу

8. 6
часто не дозволяє його використати в багатьох прикладних завданнях. Тому в
цій роботі для визначення параметрів полігаусових моделей пропонується
розробка нового методу поліноміального оцінювання (МПО) з використанням
стохастичних поліномів Кунченка. Цей метод можна позиціонувати як
компромісний, оскільки він використовує частковий опис випадкових
послідовностей, але за рахунок збільшення нелінійних перетворень (степені
поліному) дозволяє асимптотично наближатись до ефективності ММП.
У другому розділі розроблено класифікацію модифікованих полігаусових
моделей за типами і для кожного з типів розраховано перфорований моментно-
кумулянтний опис: як для асиметричних, так і для ексцесних розподілів. На
основі стохастичних поліномів Кунченка синтезовані вирази для методу
поліноміального оцінювання параметрів полігаусових моделей для степенів
поліному 62 s залежно від типу моделі. Також спеціалізовано наявні
чисельні методи розв’язку систем нелінійних рівнянь, які отримані на основі
методу поліноміального оцінювання для полігаусових моделей. Обґрунтовано
використання модифікованих методів Ньютона для пошуку параметрів моделі з
їх реалізацією на ЕОМ чи цифрових процесорах обробки сигналів.
Загальний вигляд полігаусової моделі для асиметричних випадкових величин:
 
 

 






 

k
j j
j
j
j mx
xp
1
2
2
2 2
exp
2 

, (1)
а її початкові моменти отримуються зі співвідношень:
sim jj
k
j
ijji 2,1),;(
1
 

 , (2)
де ij - i -ий початковий момент j -ої гаусової компоненти, який залежить від
математичного сподівання jm і дисперсії j , j – коефіцієнт пропорційного вкладу
компонент. Саме ці параметри і підлягають оцінюванню, коли є вибірка з n
незалежних вибіркових значень )...,,,( 21 nxxxX  . Модифікація полігаусових
моделей полягає у тому, що вважаються невідомими тільки частина оцінюваних
параметрів полігаусового розподілу, що не заперечує загальній теорії
рандомізованих сумішей. Такий підхід забезпечить досить вагоме спрощення
математичного апарату, зберігаючи результуючі статистичні властивості
випадкових величин.
Застосування методу поліноміального оцінювання для знаходження параметрів
при деякій степені s передбачає розв’язок системи нелінійних рівнянь виду:
  0)()(
ˆ1 1
)( 
 
 
s
i
n
v
i
i
vri xh  , q,1r  , (3)

9. 7
де i
vx - вибіркові значення, )(i – початкові моменти i -го порядку, які можуть
бути знайдені з (2), )()( rih – коефіцієнти рівняння, які мінімізують дисперсії
знайдених оцінок, можуть бути отримані при степені s :
)(
)(
)(
)(
)(



s
ri
rih , q,1r  , (4)
де 0)( s – це об’єм тіла оцінюваної полігаусової моделі, складений із
центрованих корелянтів )()()()(F jijij,i    , а )()(  ri – часткові
визначники, утворені з )(s заміною i -го стовпця на стовпець похідних з
шуканих параметрів у межах q,1r  . Необхідно зауважити, що при спільному
оцінюванні параметрів за допомогою методу поліноміального оцінювання потрібно
використовувати степінь полінома qs  .
У роботі розроблено методи поліноміального оцінювання параметрів
полігаусових моделей порядку 3,2k для асиметричних випадкових
послідовностей до степені стохастичного поліному 4s , і до 6s – для ексцесних.
Досить цікавим та часто застосовуваним на практиці частковим випадком
полігаусової моделі при 2k є так званий «засмічений» гаусовий закон. У роботі
він класифікується як бігаусова моделлю першого типу для асиметричних
випадкових величин виду (1), де 12
1  , 0m1  , 22
2   , mm2  та 5.0 із
вектором оцінюваних параметрів ),m(   .
Моментно-кумулянтний опис цієї моделі при використанні для спрощення
позначення d2
 набуде вигляду:
).mdm28md210md420d105(
2
1
2
105
),mdm21md105md105(
2
1
),mdm15md45d15(
2
1
2
15
),mdm10md15(
2
1
),mdm6d3(
2
1
2
3
),mmd3(
2
1
),md(
2
1
2
1
,
2
m
8642234
8
75323
7
64223
6
532
5
422
4
3
3
2
21










(5)
Метод моментів передбачає використання наведених виразів якості системи
нелінійних рівнянь. Відмінністю розробленого МПО від ММ буде те, що потрібно
спочатку знайти центровані корелянти, оптимальні коефіцієнти і вже потім складати
систему рівнянь для спільної оцінки векторного параметра ),( dm .
Використавши (4), при 3s об’єм тіла для бігаусового розподілу першого
типу, матиме вигляд:

10. 8
).))3(1(
)1(2))))10(4(10(1(6))))3(12(
3(1)(1(18))))25(6(2))(52(5(3(
16
1
86
22
3
dmmdd
dmddddmdd
dddddddd



(6)
Оптимальні коефіцієнти було отримано такі:
3
1
1


 m
mh ,
3
2
2


 m
mh ,
3
3
3


 m
mh ,
3
1
1


 d
dh ,
3
2
2


 d
dh ,
3
3
3


 d
dh , (7)
де часткові визначники:
).)47())2(21)(1(3)))213(
2(5(9))52(5)(235(3(
16
1
6242
3
1
mdmdddmd
ddddddm


).)633()))4
17(2(33())))25(21(11(13(3(
16
1
7523
2
mmddmdd
dmddddm


).)23(
)25)(1)(1(3))52(5)(1(3(
16
1
6422
3
mmddm
ddddddm


).)4(3))2(
35(3))))138(3(22(10(3(
16
1
7523
1
dmmdmdd
dmddddd


).)1())5(1(3
)1(3))))25(6(5(2(3(
8
1
64
23
2
mdmdd
mdddddd


).)2())29(24())3(4(3(
16
1 532
3 mdmddmddd  (8)
Аналогічно до цього, МПО було отримано вирази для оцінювання параметрів і
інших типів бігаусових і тригаусових моделей. Причому, треба зазначити, що для
оцінювання параметрів ексцесних полігаусових моделей потрібно використати
степінь полінома qs 2 , оскільки непарні моменти та оптимальні коефіцієнти
будуть рівні нулю.
Оскільки системи рівнянь МПО нелінійні, то в роботі проводиться
спеціалізація чисельних методів для синтезу алгоритмів функціонування моделей на
ЕОМ чи на процесорах цифрової обробки сигналів.
Проаналізувавши чисельні методи рішення систем нелінійних рівнянь,
запропоновано використати три найбільш поширені методи обчислювальної математики:
це метод Ньютона, метод простих ітерацій та метод найшвидшого спуску.
У результаті досліджень було зроблено такі висновки, що найбільш
оптимальним з погляду точності та часу розв’язання, є метод Ньютона та його

11. 9
модифікації. Одна з таких модифікацій, яка застосовується при вирішенні завдань
цифрової обробки сигналів, – це метод Ньютона-Канторовича (Ньютона-Рафсона).
Але і тут є недолік у вигляді трудомісткості відшукання диференціалів для матриці
Якобі. В роботі пропонується використання такої операції тільки на першому кроці
ітерацій для задавання напряму пошуку коренів. Також розроблено методику вибору
початкових значень для ітераційного процесу та програмну реалізацію цих методів в
пакеті інженерних розрахунків Mathematica.
У таблиці 1 наведено порівняння ефективності методів при оцінюванні параметрів
бігаусової моделі першого типу для асиметричних випадкових величин.
Таблиця 1 – Порівняння ефективності методів при оцінюванні параметрів бігаусової
моделі першого типу для асиметричних випадкових величин
Оцінені параметри
бігаусової моделі
Кількість
ітерацій
Середній час
виконанняНазва чисельного
методу
Назва методу
оцінки
параметрів m 2
 і t (c)
ММ 1.1623 1.5498 47 0.144
МПО 1.0048 1.863 85 1.278
Метод простих
ітерацій
ММП 1.0020 1.9065 184 4.434
ММ 1.1623 1.5498 5 0.025
МПО 1.0048 1.863 6 0.042
Метод Ньютона-
Рафсона
ММП 1.002 1.9065 5 2.254
ММ 1.1623 1.5498 254 0.217
МПО 1.0048 1.863 38 2.776
Метод найшвидшого
спуску
ММП 1.002 1.9065 29 135.8
Отримані результати показують, що розроблений метод поліноміального
оцінювання за швидкодією наближається до ММ, а по точності результатів до
ММП. Що ж до методів обчислювальної математики, то результати дозволяють
обґрунтувати застосування методу Ньютона-Рафсона як найкращого з розглянутих
методів вирішення систем нелінійних рівнянь для всіх трьох статистичних методів
оцінювання параметрів, і такого, що дозволяє зменшити обсяг необхідних
обчислювальних ресурсів не менше ніж на 40%.
У третьому розділі розраховано асимптотичні властивості отриманих
поліноміальних оцінок та проведено порівняльний аналіз їх ефективності щодо
оцінок класичних методів.
Однією з характеристик оцінок, знайдених МПО, які є слушними та
асимптотично незміщеними, є варіаційна матриця )(V 0sn  оцінок компонентів
векторного параметра  , яка асимптотично дорівнює зворотній матриці )(J 0sn  ,
складеній з елементів )(J )r,k(
sn  виду:
)()(hn)(F)(h)(hnJ i
k
s
1i
)r(i
s
1i
s
1j
j,i)k(i)k(i
)r,k(
sn 

 


 
 
. (9)
)(J)(J )k,r(
sn
)r,k(
sn   . (10)
Вона називається матрицею кількості добутої інформації про векторний
параметр при спільному поліноміальному оцінюванні параметрів полігаусової

12. 10
моделі. Зазначимо, що на головній діагоналі цієї матриці перебувають кількості
видобутої інформації про складові векторного параметра.
Що ж до порівняння дисперсії оцінок, знайдених МПО щодо дисперсії оцінок,
знайдених ММ, (як з таким, що використовує частковий опис випадкових величин),
то необхідно визначити коефіцієнти зменшення дисперсії оцінок.
 
 
 
2
2
q
q
q
s
sg





 , (11)
де  
2
sq – дисперсія оцінки параметра q з вектора оцінюваних параметрів  МПО
при степені s ,  
2
q – дисперсія оцінки ММ.
Згідно з виразом (9) для першого типу бігаусової моделі з вектором
оцінюваних параметрів ),( m було знайдено елементи матриці кількості
добутої інформації )(),(
rk
snJ при степені поліному 2s , використовуючи
оптимальні коефіцієнти ),( dmhim та ),( dmhid . Відповідно, діагональні елементи
варіаційної матриці оцінок будуть дисперсіями оцінюваних параметрів. Тому для
параметрів m та d вони запишуться у вигляді:
  )22(
1 22
2
11
2 md
n
)Θ(V m
),(
n   ,
  )52525(
1
)( 4222
2
)2,2(
2 md)m(dd
n
V dn   . (12)
Дані дисперсії оцінок виявились такими ж як при оцінюванні параметрів
бігаусової моделі за допомогою ММ. Це підтверджується для інших типів моделей.
Тому можна говорити про те, що степінь полінома для оцінювання полігаусових
моделей повинна бути більша за кількість оцінюваних параметрів.
Для порівняння МПО з ММ були знайдені дисперсії оцінок для двох
параметрів m та d при 3s . Вони запишуться у вигляді:
 
,
)md)m(--
d)m(d)d)m(-(--d) d)m(-(
-md)(-d)))d(d(-((
d)(d))))d (d (-d ((((
n
σ)Θ(V m
),(
n
64
642
22
2
3
11
3
46
443647
3923656
52325652621





 
.
46
42928682710
3923656
262365525321
64
86242
22
2
3
22
3
)md)m(--
)m)md(d)d))m(-d((--d)d)m(-d(d (
-md)(-d)))d(d(-((
(-d)))d (d (-d)) (d (-(((
n
σ)Θ(V d
),(
n





(13)
Таким чином існує необхідність перевірки, чи впливає збільшення степені
полінома s на зменшення дисперсії оцінок параметрів бігаусової моделі і як
наслідок для полігаусових моделей при кількості компонентів 2r . Для цього

13. 11
використано вираз (13), згідно з яким коефіцієнти зменшення дисперсії МПО щодо
ММ будуть мати таку залежність:
 
 
 
,
)md)(md)m(--
d)m(d)d)m(-(--d) d)m(-(
-md)(-d)))d(d(-((
d)(d))))d (d (-d ((((
σ
σ
g
m
m
m
264
642
222
2
2
3
32
2246
443647
3923656
5232565262





(14)
 
 
 
.
5252546
42928682710
3923656
26236552532
42264
86242
222
2
2
3
32
)md) m(dd)(md)m(--
)m)md(d)d))m(-d((--d)d)m(-d((
-md)(-d)))d(d(-((
d(-d)))d (d (-d)) (d (-(((
σ
σ
g
d
d
d





(15)
На рис.1 наведено графік функції  32mg , яка залежить від двох параметрів і
має симетричну форму стосовно початку координат 0 dm . Причому
максимальне значення коефіцієнта зменшення дисперсії буде в точці     11,032 mg .
Це пов’язано з тим, що в цій точці бігаусова модель перетвориться в гаусову, при
якій ефект зменшення дисперсії оцінок для МПО не проявляється. Це доводить
правильність розрахунків та підтверджує теоретичні засади МПО.
Рисунок 1 – Коефіцієнти зменшення дисперсії оцінки  32mg та  32dg
параметрів математичного сподівання m та дисперсії d
Очевидно, що збільшення кількості оцінюваних параметрів полігаусових
моделей значно ускладнює аналіз асимптотичних властивостей, які
характеризують виграш у точності оцінок і отримуються при застосуванні МПО.
Для підтвердження теоретичних результатів було проведено статистичні
експерименти за методом Монте-Карло з використанням розроблених
полігаусових моделей. Експеримент мав у собі 1000 незалежних випробувань із
визначенням параметрів та обчисленням експериментальної дисперсії оцінок
параметрів при різних степенях полінома s . Візуалізація результатів

14. 12
експериментальних точок сумісно з розрахованими коефіцієнтами зменшення
дисперсії для асиметричних випадкових величин показана на рис.2.
а) б)
Рисунок 2 – Порівняльний аналіз теоретичної та експериментальної
залежності коефіцієнтів зменшення дисперсії  32mg та  32dg від параметрів
бігаусової моделі: а) «–» – теоретична залежність від математичного сподівання m
при дисперсії 5.0d , «-∙-» – теоретична залежність від математичного сподівання
m при дисперсії 5.1d , «■» – експериментальна залежність математичного
сподівання m при дисперсії 5.0d , «♦» – експериментальна залежність
математичного сподівання m при дисперсії 5.1d ;
б) «–» – теоретична залежність від дисперсії d при математичному сподіванні
1m , «-∙-» – теоретична залежність від дисперсії d при математичному сподіванні
3m , «■» – експериментальна залежність від дисперсії d при математичному
сподіванні 1m , «♦» – експериментальна залежність від дисперсії d при
математичному сподіванні 3m
Порівняльний аналіз теоретичної та експериментальної залежності
коефіцієнтів зменшення дисперсії показує, що їх розбіжність не перевищує 10%.
У четвертому розділі на основі МПО та модифікованих полігаусових
моделей розроблено ефективні способи рішення апроксимаційних задач із
використанням статистичних критеріїв для перевірки гіпотез про відповідність
полігаусової щільності, отриманій експериментальним шляхом, гістограмі.
Розроблено програмну реалізацію цих методів в пакеті інженерних розрахунків
Mathematica та проведено обчислювальні експерименти, вирішено прикладні задачі:
визначення порогу спрацювання вирішувального пристрою і статистичне
визначення індексів придатності виробничого процесу.
Для перевірки статистичних гіпотез запропоновано використовувати
непараметричний критерій узгодження 2
 -Пірсона, тому як основне його
застосування, – це перевірка гіпотези про відповідність емпіричного розподілу
деякому теоретичному. Було обґрунтовано вибір кількості інтервалів варіаційного
ряду, оскільки цей параметр суттєво впливає на потужність критеріїв згоди, та було
обрано рекомендації НДІ Метрології, які затверджені як держстандарт.

15. 13
Щоб оцінити ефективність МПО для оцінки параметрів полігаусових моделей
різного порядку та типів, у роботі було запропоновано одночасне розв’язання задачі
апроксимації для кожної згенерованої вибірки об’єму 300n при кількості
експериментів 1000i . Для цього використано три методи: МПО при 4...2s та
ММ і ММП.
Візуалізація апроксимації однієї з реалізацій вибірки з невідомим законом
розподілу з використанням бігаусової моделі І типу на основі перфорованого
моментного опису для асиметричних випадкових величин наведена на рис. 3, а
порівняльний аналіз адекватності вирішення апроксимаційної задачі – в таблиці 2.
а) б)
Рисунок 3 – Графічне порівняння ефективності апроксимації однієї з реалізацій
вибірки з невідомим законом розподілу:
а) бігаусовою моделлю І типу, б) бігаусовою та тригаусовою моделями І типу
Таблиця 2 – Порівняльний аналіз адекватності вирішення апроксимаційної задачі на
основі критерію Пірсона
Метод
оцінювання
параметрів
Кількість
оцінюваних
параметрів
моделі
Кількість
інтервалів
розбиття
вибірки
Рівень
значущості

Середнє
значення
статистики
критерію
2

Межа
ухвалення
рішення
критерію 2
a,k
МПО (s=2) 31.1
МПО (s=3) 19.35
МПО (s=4) 17.8
ММ 31.1
ММП
2 12 0.01
19.73
21.66
Тригаусова І-
го типу МПО
3 12 0.01 17,5 18,5
Для проведення експерименту зі статистичного визначення індексів
придатності виробничого процесу було отримано 10 вибірок з 95 виробами із 10-ти
різних партій об’ємом 500 шт. Як виріб було взято шайби кріплення обертового
механізму в оптоелектронному пристрої наведення з допуском діаметру від 17+6
до
17-4
мм. Оцінювався зовнішній діаметр шайби за допомогою повіреного мікрометра.

16. 14
Таблиця 3 – Порівняльний аналіз адекватності вирішення апроксимаційної задачі на
основі критерію Пірсона для індексів придатності
Метод
оцінювання
К-сть
пара-
метрів
К-сть
інтер-
валів
Рівень
значущості
α
Середнє
значення
статистики
χ2
Межа
ухвалення
рішення
χ2
k,α
Середній
показник
придатності
Сp
ММ гаус 12,71 12,6 0,62
ММ Бігаус 9,34 12,6 0,65
МПО Бігаус
2 9 0,05
6,03 12,6 0,68
Таким чином, розроблені МПО та модифіковані полігаусові моделі дали змогу
досягнути покращення точності визначення індексів придатності, що дозволить на
8-10% краще оцінити долю виробів, що виходять за межі заздалегідь заданого
діапазону допустимих значень (допуску), і відбракувати партію виробів.
У п’ятому розділі дисертаційної роботи розроблено програмну реалізацію
генераторів псевдовипадкових послідовностей із різними статистичними
властивостями. Крім того, було розраховано області допустимих значень параметрів
полігаусових моделей з використанням МПО та ММ у співвідношенні до області
допустимих значень кумулянтних коефіцієнтів.
У результаті дослідження вперше було синтезовано узагальнену структурну
схему полігаусового генератора на основі перфорованого моментно-кумулянтного
опису з використанням МПО, яка зображена на рисунку 4.
Такі генератори використовуються для отримання вхідних даних при
апробації методів обробки негаусових процесів, дослідження систем обробки
негаусових сигналів та послідовностей, можуть бути використані у сфері радіо-
боротьби для постановки завад негаусового характеру.
Рисунок 4 – Узагальнена структурна схема полігаусового генератора
АП – арифметичний пристрій, який щодо заданих статистичних параметрів
випадкової послідовності видає на свої виходи сигнали керування r , rm , r для
гаусових генераторів, перемножувачів та суматорів.
Г1Гr – гаусові генератори, що генерують вибірки об’ємом nr .
П1Пr – перемножувачі вибіркових значень отриманих випадкових
послідовностей та значень дисперсій гаусових компонент r .

17. 15
1r – суматори вибіркових значень отриманих випадкових послідовностей
та значень математичного сподівання гаусових компонент rm .
Зм. – змішувач, який перемішує вибіркові значення за рівномірним законом.
ПЗП – постійний запам’ятовувальний пристрій із записаними коригувальними
коефіцієнтами ih .
Сам метод формування випадкової послідовності  n21 x,...x,xx 

об’єму n , що
належить генеральній сукупності випадкової величини з істинними значеннями
відповідних початкових моментів i чи кумулянтів i на основі використання r
генераторів випадкових величин із гаусовим розподілом, виглядає таким чином:
1) розв’язують систему нелінійних рівнянь МПО щодо невідомих параметрів
r 1 , rmm 1 , r 1 з використанням коригувальних коефіцієнтів ih ;
2) формують вибірки },...,{ 121 nr yyyy 

об’ємами nn rr  значень із
випадкової послідовності, що мають гаусовий закон розподілу з математичним
сподіванням rm і дисперсією r ;
3) для надання генерованим послідовностям вигляду, що відповідає характеру
вибірок із реального випадкового процесу, випадково перемішують елементи
вибірок і отримують вибірку x

об’єму n .
Результати роботи розробленого генератора на основі бігаусової моделі І-го
типу (5) подані на рис.5 а) у виді гістограми та теоретичної щільності розподілу, а на
рис.5 б) у вигляді реалізації наведені згенеровані випадкові послідовності об’ємом
500n  асиметричної випадкової величини з такими значеннями кумулянтних
коефіцієнтів : 01  , 122  , 13  та 14  .
а) б)
Рисунок 5 – Результати моделювання генератора випадкових послідовностей
на основі бігаусової моделі ІІ-го типу: а) гістограма, б) реалізація
Як відомо, для різних видів перфорованих випадкових величин існують
співвідношення, які визначають область допустимих значень кумулянтних
коефіцієнтів 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 . Ця особливість випливає з поняття додатного
об’єму тіла при степені полінома s .
Що стосується полігаусових моделей, то система нелінійних рівнянь, яка
вирішується у процесі моделювання, має свою область, де лежать значення її

18. 16
змінних. Такі області значень параметрів для бігаусової моделі І та ІІ типу показані
на рис. 6.
а) б)
Рисунок 6 – Порівняльний аналіз областей допустимих значень параметрів для
бігаусових моделей: а) І типу , б) ІІ типу; 1 – область для ММ; 2 - область для МПО
Аналіз областей значень параметрів доводить, що рівняння МПО вирішуються
на всій ОДЗ кумулянтних коефіцієнтів, чого не можна сказати про ММ.
Моделювання генераторів випадкових послідовностей із використанням МПО
підтверджує їх ефективність та функціональність порівняно з використанням
генераторів на основі ММ. Це проявляється у тому, що при використанні степені
полінома qs  можливо задавати кумулянти більше ніж порядку s2 .
У додатках до роботи наведено ілюстративні матеріали, формули розрахунку
полігаусових моделей МПО.
Висновки
У роботі вирішено важливе науково-технічне завдання – розробку на основі
апарату стохастичних поліномів Кунченка методів поліноміального оцінювання
параметрів полігаусових моделей при перфорованому моментно-кумулянтному описі
для ефективної реалізації процедур апроксимації розподілів емпіричних даних та
генерації випадкових послідовностей.
Отримані такі наукові та практичні результати:
1. На основі порівняльного аналізу способів опису ймовірнісних моделей та
методів статистичного опрацювання випадкових сигналів обґрунтовано застосування
стохастичних поліномів Кунченка для оцінювання параметрів полігаусових моделей.
2. Розроблено методи поліноміального оцінювання параметрів полігаусових
моделей при перфорованому моментно-кумулянтному описі, що забезпечує
отримання компромісних із погляду складності та точності обчислювальних
алгоритмів.
3. Удосконалено чисельні методи для розв’язування систем степеневих рівнянь,
розроблено методику відшукання початкового наближення, яка полегшує процес
знаходження оцінок параметрів полігаусових моделей, що дозволило зменшити обсяг

19. 17
необхідних обчислювальних ресурсів не менше ніж на 40% для модифікованого
методу Ньютона-Рафсона.
4. Доведено ефективність використання розроблених поліноміальних методів для
полігаусових моделей порівняно з методом моментів за критерієм величини зменшення
дисперсії оцінок. Показано, що оцінки розробленого методу поліноміального
оцінювання асимптотично наближаються за точністю до методу максимальної
правдоподібності, при цьому швидкодія обчислювальних алгоритмів залишається
близькою до методу моментів.
5. Розроблено новий метод апроксимації розподілу емпіричних даних на основі
полігаусових моделей при перфорованому моментно-кумулянтному описі. Доведено
їх ефективність проведеними експериментами за методом Монте-Карло з
використанням критерію адекватності 2
 -Пірсона, що дало зменшення процента
помилок рішення апроксимаційної задачі на 30 %.
6. Удосконалено генератори випадкових величин на основі полігаусових моделей
та поліноміального оцінювання, які можуть бути застосовані як програмно-апаратні
генератори випадкових послідовностей. Це дозволяє в широких межах змінювати
статистичні властивості отриманих випадкових величин із використанням кумулянтних
коефіцієнтів до 12-го порядку включно.
7. Розроблено програмний комплекс поліноміальних методів апроксимації
емпіричних даних та генерації випадкових послідовностей із застосуванням
полігаусових моделей при перфорованому моментно-кумулянтному описі в
середовищах для інженерних розрахунків Mathematica, MATLAB, MathCAD.
СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ
1. Чепинога А. Оценивание параметров полигауссовых моделей методом
максимизации полинома / А. Чепинога, С. Заболотний, Е. Бурдукова // Восточно-
Европейский журнал передовых технологий. – 2014. – T.2, – № 4(68). – С. 43-46.
Включено до міжнародних наукометричних баз (Index Copernicus, DOAJ, РІНЦ).
2. Кунченко Ю.П. Моделювання ексцесних випадкових величин із заданим
кумулянтним описом на основі бігаусового розподілу / Ю.П. Кунченко, С.В. Заболотній,
В.В. Коваль, А.В. Чепинога // Вісник ЧДТУ. – Черкаси, 2005. – №1. – С.38-42.
3. Заболотній С.В. Апроксимація типових імовірнісних розподілів бігаусовою
моделлю / С.В. Заболотній, А.В. Чепинога // Вісник ЧДТУ. – Черкаси, 2006. – № 3. – C.42-47.
4. Заболотній С.В. Ідентифікація законів розподілу похибок вимірювання на
основі полігаусових симетричних моделей і моментного опису / С.В. Заболотній, А.В.
Чепинога // Відбір і обробка інформації. – Львів, 2007. – № 26(102). – С.36-43.
5. Заболотній С.В. Тетрагаусові симетрично-розподілені імовірнісні моделі на
основі моментного опису / С.В. Заболотній, А.В. Чепинога // Зб.наук.праць ІПМЕ
ім.Г.Є.Пухова НАН України. – Київ, 2008. – №.47 – С.92-99.
6. Чепинога А.В. Аналіз ефективності застосування чисельних методів для
пошуку параметрів полігаусових моделей / А.В. Чепинога // «Вісник Інженерної
академії України». – Київ, 2010, – №2. – с.135-139.

20. 18
7. Чепинога А.В. Області реалізації бігаусових моделей асиметрично-
ексцесних випадкових величин з перфорованим моментно-кумулянтним описом /
А.В. Чепинога // Вісник ЧДТУ. – Черкаси, 2010, – № 2. – С.91-95.
8. Заболотній С.В. Апроксимація експериментальних даних на основі
полігаусових розподілів і моментного опису в середовищі MATLAB /
С.В. Заболотній, А.В. Чепинога, К.Л. Кононенко // Праці Міжнародної науково-
практичної конференції «Обробка сигналів і негауссівських процесів» пам’яті
професора Кунченко Ю.П. – Черкаси, 2007. – С.31-33.
9. Чепинога А.В. Розробка бігаусових імовірнісних моделей на основі моментно-
кумулянтного опису / А.В. Чепинога // Матеріали 11-го Міжнародного молодіжного
форуму «Радіоелектроніка і молодь в ХХІ столітті». – Харків, 2007. – С.201.
10. Чепинога А.В. Зменшення розмірностей полігаусових моделей на основі
застосування моментно-кумулянтного опису / А.В. Чепинога // Матеріали Всеукраїнської
наукової конференції «Актуальні проблеми аналізу та моделювання складних систем». –
Черкаси, 2007. – С. 45.
11. Чепинога А.В. Моделювання генераторів симетрично-розподілених
випадкових величин на основі полігаусових моделей із застосуванням перфорованого
моментно-кумулянтного опису / А.В. Чепинога // Збірник праць ІII-го Міжнародного
радіоелектронного форуму «Прикладна радіоелектроніка. Стан і перспективи
розвитку (МРФ-2008)». – Харків, 2008. – С.37-38.
12. Чепинога А.В. Розробка полігаусових моделей симетрично-розподілених
випадкових величин із застосуванням перфорованого моментно-кумулянтного опису /
А.В. Чепинога // Матеріали Другої міжнародної наукової конференції «Теорія і методи
обробки сигналів». – Київ, 2008. – С.118-119.
13. Чепинога А.В. Дослідження областей генерації випадкових величин з
перфорованим описом на основі полігаусових моделей / А.В. Чепинога // Праці ІІ
Міжнародної науково-практичної конференції «Обробка сигналів і негауссівських
процесів» пам’яті професора Кунченко Ю.П. – Черкаси, 2009. – С.88-89.
14. Чепинога А.В. Аналіз застосування чисельних методів для пошуку
параметрів полігаусових моделей з перфорованим моментно-кумулянтним описом /
А.В. Чепинога // Тези доповідей VII Всеукраїнської наукової конференції ІТОНТ-
2010. – Черкаси, 2009. – С.64.
15. Чепинога А.В. Імовірнісні моделі на основі полігаусових розподілів та
перфорованого моментно-кумулянтного опису / А.В. Чепинога // Праці ІІІ
Міжнародної науково-практичної конференції «Обробка сигналів і негауссівських
процесів» пам’яті професора Кунченка Ю.П. – Черкаси, 2011. – С.71-74.
16. Заболотній С.В. Апроксимація емпіричних розподілів поліноміальних
статистик полігаусовими моделями / С.В. Заболотній, А.В. Чепинога // Тези доповідей V

21. 19
Міжнародного науково-технічного симпозіуму «Нові технології в телекомунікаціях»
(ДУІКТ-Карпати 2012) – Вишків: ДУІКТ, – 2012. – С.86-88.
17. Заболотній С.В. Апроксимація емпіричних розподілів вихідних сигналів
поліноміальних виявлячів енергетичного типу / С.В. Заболотній, А.В. Чепинога, С.В.
Салипа // Тези доповідей ХI Міжнародної конференції «Контроль і управління в
складних системах» (КУСС-2012) – Вінниця: ВНТУ, – 2012. – С.19.
18. Чепинога А.В. Особливості застосування методу Кунченка для оцінки
параметрів полігаусових моделей / А.В. Чепинога // Праці ІV Міжнародної науково-
практичної конференції «Обробка сигналів і негауссівських процесів» пам’яті
професора Кунченка Ю.П. – Черкаси, 2013. – С.71-74.
19. Чепинога А.В. Застосування полігаусових моделей на основі методу
Кунченка для визначення індексів придатності виробничого процесу / А.В. Чепинога //
Праці V Міжнародної науково-практичної конференції «Обробка сигналів і
негауссівських процесів» пам’яті професора Кунченка Ю.П. – Черкаси, 2015. – С.137-139.
20. Спосіб генерації випадкових величин. Деклараційний патент України на
корисну модель МПК G06F7/58 / С.В. Заболотній, А.В. Чепинога, С.В. Салипа. –
№ 57092; Заявл. 16.07.2010; Опубл. 10.02.2011, Бюл. № 3.
21. Спосіб генерації випадкових величин. Деклараційний патент України на
корисну модель МПК G06F7/58 / С.В. Заболотній, А.В. Чепинога, В.В. Коваль. –
№ 66412; Заявл. 28.03.2011; Опубл. 10.01.2012, Бюл. № 1.
22. Спосіб генерації випадкових величин. Деклараційний патент України на
корисну модель МПК G06F7/58 / С.В. Заболотній, А.В. Чепинога, П.А. Клопотовський,
В.В. Філіпов. – № 89446; Заявл. 26.09.2013; Опубл. 25.04.2014, Бюл. № 8.
АНОТАЦІЯ
Чепинога А. В. Методи поліноміального оцінювання параметрів полігаусових
моделей при моментно-кумулянтному описі. – Рукопис.
Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук зі
спеціальності 01.05.02 – математичне моделювання та обчислювальні методи. –
Черкаський державний технологічний університет. – Черкаси, 2015.
Дисертацію присвячено питанням розробки на основі апарату стохастичних
поліномів Кунченка методів оцінювання параметрів полігаусових моделей при
перфорованому моментно-кумулянтному описі, для ефективної реалізації процедур
апроксимації розподілів емпіричних даних та генерації випадкових послідовностей.
Запропоновано модифіковані полігаусові імовірнісні моделі, побудову яких
засновано на перфорації моментно-кумулянтного опису випадкових величин.
Розроблено метод апроксимації емпіричних даних із застосуванням полігаусових
розподілів та поліноміальне оцінювання їх параметрів, що підвищує адекватність
моделей. Отримали подальший розвиток методи генерації негаусових випадкових
послідовностей, які відрізняються застосуванням полігаусових моделей із
перфорованим моментно-кумулянтного описом, та дозволяють формувати при
реалізації статистичного моделювання тестові вибірки із необхідними значеннями

22. 20
кумулянтів вищих порядків, що належать достатньо широкому діапазону.
Проаналізовано асимптотичні властивості отриманих поліноміальних оцінок та
проведено порівняльний аналіз їх ефективності щодо оцінок класичних методів.
Удосконалені наявні чисельні методи розв’язку систем степеневих рівнянь для
поліноміального оцінювання параметрів полігаусових моделей, що дозволило
зменшити обсяг обчислювальних ресурсів. Для перевірки результатів теоретичних
розрахунків проведено комп’ютерне моделювання алгоритмів статистичного
оцінювання параметрів полігаусових моделей.
Ключові слова: поліноміальні оцінки, метод поліноміального оцінювання,
полігаусові моделі, моментно-кумулянтний опис, чисельні методи, генератор
випадкових послідовностей.
АННОТАЦИЯ
Чепинога А. В. Методы полиномиального оценивания параметров
полигауссовых моделей при моментно-кумулянтном описании. – Рукопись.
Диссертация на соискание научной степени кандидата технических наук по
специальности 01.05.02 – математическое моделирование и вычислительные методы. –
Черкасский государственный технологический университет. – Черкассы, 2016.
Диссертация посвящена вопросам разработки на основе аппарата
стохастических полиномов Кунченка методов оценивания параметров
полигауссовых моделей при перфорированном моментно-кумулянтном описании,
для эффективной реализации процедур аппроксимации распределений
эмпирических данных и генерации случайных последовательностей.
В работе систематизированы математические модели для задач
аппроксимации эмпирических данных и генерации случайных последовательностей,
как на основании плотности распределения, так с применением частичного
описания случайных величин. Рассмотрены методы оценки параметров моделей, в
том числе и полигауссовых. Эффективным направлением решения таких задач есть
модификация полигауссовых моделей и разработка новых методов, которые
предусматривают использование стохастических полиномов Кунченка.
Разработана классификация модифицированных полигауссовых моделей по
типам и рассчитано перфорированное моментно-кумулянтное описание. На основе
стохастических полиномов Кунченка синтезированы выражения для метода
полиномиального оценивания параметров полигауссовых моделей при степенях
полинома 62 s в зависимости от типа модели. Специализированы численные
методы решения систем нелинейных уравнений для полиномиального оценивания.
Разработана методика поиска начальных приближений. Обосновано использование
модифицированных методов Ньютона для поиска параметров модели при их
реализации на ЭВМ или цифровых процессорах обработки сигналов, что позволило
уменьшить объем вычислительных ресурсов.
Проанализированы асимптотические свойства полученных полиномиальных
оценок и проведен сравнительный анализ их эффективности с оценками
классических методов с использованием характеристики – коэффициента
уменьшения дисперсии. Сравнительный анализ их теоретической и
экспериментальной зависимости показал, что их расхождение не превышает 10%.

23. 21
На основе метода полиномиального оценивания и модифицированных
полигауссовых моделей разработаны эффективные методы решения
аппроксимационных задач с использованием статистических критериев проверки
гипотез о соответствии полигауссовой плотности полученной экспериментальной
гистограмме. Разработанная программная реализация этих методов в системе
Mathematica® и проведены вычислительные эксперименты, решены прикладные
задачи: определение порога срабатывания решающего устройства и статистическое
определение индексов пригодности производственного процесса.
Получили дальнейшее развитие методы генерации случайных негауссовых
последовательностей, которые отличаются применением модифицированных
полигауссовых моделей с перфорированным моментно-кумулянтным описанием, и
позволяют формировать при реализации статистического моделирования тестовые
выборки с необходимыми значениями кумулянтов высших порядков, которые
принадлежат достаточно широкому диапазону.
Ключевые слова: полиномиальные оценки, метод полиномиального
оценивания, полигауссовы модели, моментно-кумулянтное описание, итерационные
методы, генератор случайных последовательностей.
SUMMARY
Chepynoha A. V. Methods of polynomial estimation of polygaussian models
parameters with the moment and cumulant description. – Manuscript.
Thesis to obtain the scientific degree Candidate of Technical Sciences in speciality
01.05.02 – mathematical modeling and computational methods. – Cherkasy State
Technological University. – Cherkasy, 2016.
The dissertation is devoted to questions of development of methods for estimation of
parameters of polygaussian models with punched moment and cumulant description based
on the apparatus of stochastic polynomials Kunchenko for effective implementation of
distribution approximation procedures for empirical data and generation of random series.
Proposed modified polygaussian probabilistic models, the construction of which is
based on a moment-perforation cumulant description of random variables. A method for
approximating the empirical data using polygaussian distributions and polynomial
estimation of parameters, which increases the adequacy of models is developed. An
improved method for generating random sequences of non-Gaussian models using
polygaussian perforated moment-cumulant description, and allow to shape the
implementation of statistical simulation test sample with the necessary values of higher-
order cumulants, which belong to a fairly wide range. The asymptotic properties of the
polynomial estimates were analyzed and compared their performance with the estimates of
classical methods.
Improved numerical methods for solving systems of equations for polynomial
estimation the parameters of the poligaussian model, which reduced the amount of
computing resources. Computer modeling was conducted to check theoretical calculations
of statistical algorithms for estimating the parameters of polygaussian models.
Keywords: polynomial estimates, polynomial method of estimation, polygaussian
models, moment and cumulant description, numerical methods, generator of random
sequences.