Defense 2005-11-24

1. エンタングルメントコストの解析と
ホレボ容量の計算
東京大学大学院 / 情報理工学系研究科 /
コンピュータ科学専攻 / 博士課程
下野寿之
1

2. 本研究のテーマ
• 量子情報科学に特有の現象の解明
– 量子もつれの有用性の定量化
– 量子通信路の容量の加法性が破れないか？
• 研究を遂行する上での面白さ / 難しさ
– ( 最も ) 単純な量子系でも
次元数の高い問題が現れること
– 問題の難しさを示すこと
2

3. 研究成果
「量子もつれ」 非一意
性
の定量化 計算可能か
の問題 重複の問題 具体例で EC の下限値を計算
具体例で EF(ρ⊗ ρ ) =2 EF(ρ)
加法性
同値な
命題群 EC = EF ? EC と ED で差を持つ例の発
見
EF の加法性
超加法性の数値検証
EF の超加法性
ホ容量の加法性
真値に収束するアルゴリズ
量子通信路 ム
の問題 ホ容量は計算できるか 4 信号を最適とする
量子ビット通信路の発見
ホレボ容量 量子ビット通信は 2 信号
が ホ容量加法性の示唆
ホ容量達成に最適である
か
3

4. 量子力学による物理世界の描像
光の偏光状態
4

5. 密度行列の導入
5

6. 量子もつれの応用
• 量子テレポーテーション
• 物体をコピーするにはどれだけ情報が必要か
?
6

7. 量子もつれに関する歴史的背
景
• 1925 シュレーディンガー方程式
– 量子的現象が定式化される。
• 1935 アインシュタインらによる量子もつれ
– 量子力学を仮定すると、量子もつれの存在を導く
ことにより、それが超光速通信をするかのように
振る舞うことから、量子力学が不完全ではないか
と論争。
• 1964 ベルの不等式
– ベルの不等式は実験的に確かめることができる。
不等式が破れは、量子もつれの存在を意味する。
• 1982 アスペの実験
– 一つの原子から飛び出る二つの光の粒子の
量子もつれを示した。 7

8. 量子もつれの計量 (1)
純粋状態の場合
(1) LOCC( 局所操作 + 古典通信 ) の操作で増加しない
(2) 局所ユニタリ変換で値が変わらない。
(3) 加法性が成り立つ。
8

9. 量子もつれの計量 (2)
混合状態の場合 (Bennett, DiVincenzo, Smolin, Wootters, PRA,1996)
(Vedral, Plenio, Rippin, Knight, PRL,1997)
C,D,F,R は Cost, Distillation, Formation, Relative entropy の略。
9

10. 量子もつれ計量に関して
課題となっていたこと
10

11. 量子もつれ計量の加法性に関し
て
11

12. 他の加法性問題
• 量子情報理論において、量子通信路容量の加法性が
関心を集めていた。
ホレボ容量 :
その量子通信路を多数回用いた場合の
1 回あたりの古典メッセージの通信効率。
ただし条件 :
「入力量子同士はもつれなし」
「出力量子を一括測定する」
・ 加法性が成り立つ [ 成り立たない ]
⇔ 入力量子間のもつれにより容量が
各通信路の容量の総和より増えない [ 増える ] 。
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13. ホレボ容量の加法性に関して
• 2 および 3 準位系の通信路に対する
数値実験例による加法性の示唆
(Osawa, Nagaoka, IEICE Trans. Fundamentals. 2001)
• ( ホレボ容量加法性を導く ) 最大 p ノルムの乗法性が
成り立たない HW 通信路の発見
(Holevo, Werner, quant-ph, 2002)
• もつれ破壊通信路の加法性 (Shor, J.Math.Phys. 2002)
• Unital 通信路の加法性 (King, J.Math.Phys. 2002)
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14. MSW 対応
[Matsumoto,Shimono,Winter, Commun.Math.Phys. 2004]
環境に放出した量子状態と
出力量子状態
入力量子状態 中間状態
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15. 研究成果
「量子もつれ」 非一意
性
の定量化 計算可能か
の問題 重複の問題 具体例で EC の下限値を計算
具体例で EF(ρ⊗ ρ ) =2 EF(ρ)
加法性
同値な
命題群 EC = EF ? EC と ED で差を持つ例の発
見
EF の加法性
超加法性の数値検証
EF の超加法性
ホ容量の加法性
真値に収束するアルゴリズ
量子通信路 ム
の問題 ホ容量は計算できるか 4 信号を最適とする
量子ビット通信路の発見
ホレボ容量 量子ビット通信は 2 信号
が ホ容量加法性の示唆
ホ容量達成に最適である
か
15

16. 量子もつれの計量の計算に関し
て
※ HW 通信路のホレボ容量の加法性が示される。
16

17. 、
17

18. (2)
18

19. 加法性命題の依存関係
MSW 対応を
用いた証明
結局 1. 2. 3. 4. 全部が同値。
K.Matsumoto, T.Shimono, A.Winter. “Remarks on additivity of the Holevo
channel capacity and of the entanglement of formation”, Commun. Math.
Phys. 246 (2004)
P.W.Shor, “Equivalence of Additivity Questions in Quantum Information
Theory”, Commun. Math. Phys. 246 (2004)
A.A.Pomeransky, “Strong superadditivity of the entanglement of formation
follows from its additivity”, Phys. Rev. A, 68 (2003)
19

20. 超加法性 strong superadditivity
• EF で 4 個の粒子の量子もつれ量を AB 間で計る場合
、
右のように 2 組に切り離して計った和が、
元の左の量より増えないことを指す。
20

21. EF の超加法性について
数値計算による反例探索 (1)
(H. Fan, T.Shimono. EQIS, 2003)
左辺≧右辺 を満たさないものはないか？
→ ( 最も単純な ) ２準位系４粒子なら計算
できる
ρ : 16(= 24 ) 準位系 は純粋状態とする
左辺 : 縮約フォンノイマンエントロピー
右辺 : 2×2 の E は concurrence 21

22. EF の超加法性について
数値計算による反例探索 (2)
(H. Fan, T.Shimono. EQIS, 2003)
[ 左辺－右辺 ]≧ ０ を満たさないものはないか？
２準位系４粒子に対し、反例は無し。
辺
ランダム 左辺－右辺 に
右
サンプル
辺
降下法を適用
＜
右
辺
辺
＝
左
右
辺
＞
左
辺
左
22

23. ホレボ容量の加法性は破れないか ?
－まず量子ビット通信路に対する計算法を確
立
(Hayashi,Imai,Matsumoto,Ruskai,Shimono, QIC, 2004)
23

24. 見つけた４信号量子ビット通信
路
24

25. 超加法的であるか ?
• 2C(Λ) を計算するのは困難なので工夫する。
25

26. 超加法的であるか？ (2)
超加法的では無かった
次の方向性 :
このグラフの凸性が普遍的なら
加法性問題の解決になる。
26

27. 文献リスト
反対称状態の EC の計算の試み EF の超加法性の検出の試み
(1) T.S. : (4) H.Fan, T.S.,
“Lower bound for entanglement “Numerical test of the
superadditivity of entanglement of
cost of antisymmetric states”,
formation for four-partite qubits”,
quant-ph/0203039 (2002)
EQIS2003, Poster (2003)
(2) T.S. :
“Additivity of Entanglement of 量子ビット通信路のホレボ容量の計
Formation of Two Three-level- 算
antisymmetric States”, (5) M.Hayashi, H.Imai, K.Matsumoto,
International Journal of Quantum M.B. Ruskai, T.S. :
Information, 1(2) (2003) “Qubit Channels which require four
intputs to achieve capacity”,
MSW 対応、 EC と ED の違いの検出 Quantum Information and Computation,
5 (2005)
(3) K.Matsumoto, T.S., A.Winter :
“Entanglement Cost of
Antisymmetric States and
Additivity of Capacity of Some
Quantum Channel”,
Commun. Math. Phys. 246 (2004)

28. 関連研究との位置づけ
※ 長方形の重なりは長方形に記載された研究項目の直接の関係を表す。
※ みかん色に色づけされた長方形が本博士論文に収録された研究内容。
反対称状態 → HW 通信路のホ容量加法性
一般次元に拡張 Matsumoto Yura 04
EC と E F の EC の決定 Yura 03
EC ,ED,EF の提案
Bennett DiVicenzo 漸近的関係 EF(ρ⊗ ρ ) =2 EF(ρ) 03 非漸近的な
Hayden
エンタングルメントの
Smolin Woottes 96 Horodecki EC の下限値 02 比較
Terhal 01
EC の計算の試み Vidal Dur Cirac 02 Vidal 99,00
ED =0, EC > 0 純粋状態の
なる例の発見 エンタングルメント
Horodecki 98 EC と ED で
各種加法性 超加法性の数値検証 03 定量の一意性
差を持つ例 Popscu Rohlich 97;
EN の提案 Vidal Dur Cirac 02 問題の同値性 2 量子ビットの E の計算法 F
Vidal 00; Nielsen 00;
Hill Wootters 97; Wootters 98
Vidal Werner 02 ホ容量から EC を求め Matsumoto Donald Horodecki Rudolph 02
Shimono Winter 04;
ホ容量から EF が ED で差を持つ例 04 Shor 04;
Pomeransky 03
求まらない例 ユニタル経路に関 そのさらに高速な
フォンノイマンエントロピー
Ruskai 04 する加法性 King 02 アルゴリズム の定式化
そのホ容量加法性の示唆 05 Oto Imai 05
Neumann 1932
ホレボ容量の定式化 量子ビット経路に
関する CPTP 性 4 信号を最適とする 真値に収束するホレボ容量を
Holevo73.97.98; Ruskai Szarek
Werner 02 量子ビット経路 05
計算するアルゴリズム 05
Shumacher
Westmoreland 97; 3 信号を最適とする ホ容量計算の試み シャノン容量の計算
量子ビット経路 Osawa Nagaoka 01; Shor 03
Ohya Petz Watanabe 97 King Nathanson Ruskai 02
Arimoto 72; Blahut 72
非直交入力が最適とな
る量子経路 Fuchs 97 情報通信路の定式化
Shannon 1948

29. 研究成果
「量子もつれ」 非一意
性
の定量化 計算可能か
の問題 重複の問題 具体例で EC の下限値を計算
具体例で EF(ρ⊗ ρ ) =2 EF(ρ)
加法性
同値な
命題群 EC = EF ? EC と ED で差を持つ例の発
見
EF の加法性
超加法性の数値検証
EF の超加法性
ホ容量の加法性
真値に収束するアルゴリズ
量子通信路 ム
の問題 ホ容量は計算できるか 4 信号を最適とする
量子ビット通信路の発見
ホレボ容量 量子ビット通信は 2 信号
が ホ容量加法性の示唆
ホ容量達成に最適である
か