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![3.3 Probability Distributions
p([x,y]): xからyの確率
p(x) : 確率密度](https://image.slidesharecdn.com/dbda03-130808084640-phpapp02/85/Dbda03-8-320.jpg)
![3.3.2.2 The Normal Probability Density
Function
• 一番有名な分布
– ガウス分布・正規分布
– E[p(x)] = μ
– Var[p(x)] = σ^2](https://image.slidesharecdn.com/dbda03-130808084640-phpapp02/85/Dbda03-11-320.jpg)
Dbda03
- 1. Doing Baysian DataAnalysis Chap 3. What Is This Stuff Called Probability? Yoshifumi Seki 2013/08/03 @Matsuo Lab. Summer Seminar
- 2. 3.1 The setof all possible events • 確率を考えるために起こりうるすべての結果を考えよう • コインを投げるとき – 表がでるのか – 裏がでるのか – 横になるのか • 事象は２つ – コインが均一に作られていれば表がでる確率: θ=0.5 • p(θ）を考える – コインが均一に作られている確率はいくらか – p(θ=0.5) = 0.99 – p(θ=0.1) = 0.0001 • 「どのような結果がでるか」も「その結果がどれぐらい信頼 できるか」も両方確率である．
- 3. 3.1.1 Coin Flips:Why You Should Care? • なんでそんなにコインを投げることにこだわる の？？？？ • コインの表裏なんて人生に関係無いじゃん？ – でも薬が効くか効かないかとかだったら重要だよね？ – コインの表裏も薬の効果も本質的にはいっしょなんだよ！ – だからみんながんばろうね！
- 4. 3.2 Probability: outsideor inside the head • 確率の事象には outsideなものとinside the headなもの がある – outside • この世で起こっている誰もが観察できる事象 • コインの投げるとか、サイコロを振るとか • 一定数の試行によって一律に収束する – inside the head • 主観的な確率 ( subjective belief ) • ギャンブルの話 – １月１日の大雪で道路が通行止めになると$100，コインが表 だと$100もらえるのいずれか » コインのほうを選ぶよね – 明日雨が振ると$100もらえる，サイコロが1をでると$100もら える » これだとどうだろうー » 雨を降る確率が50%はないだろうけど，10% ~ 20%ぐらい あるかもなーって思ってる感じ • こういった結果にたいする信頼性の度合いも確率で表現できる
- 5. 3.3 Probability Distributions •コインを投げるとか，サイコロを振るとかっていう話 – 離散的な数値 – 1が1/6で出るとか • 1日に成人男性が消費するカロリー – 連続値 – ex: 平均2000カロリー – あるときは2345.223かもしれない，あるときは1734.2かもしれ ない • 確率的な話だけど離散値みたいには表現できない – 区間に区切ってみよう • 1500未満， 1500以上2000未満, 2000以上2500未満, 2500以上 • これなら確率として表現できるね！
- 6. probability density • ボードゲームなどで使われる”spin”で針がど こを指すかを考える •SpinがFairであれば – 均等に２分割した時それぞれの領域が選ばれる確 率は0.5 – 均等にN分割したときそれぞれの領域が選ばれる 確率は1/N – Nを大きくしていくと確率はどんどん小さくなっ ていく • 人間にとってわかりにくい・計算しにくい • Spinの針が指す確率を考える代わりに幅を考 えることにしよう – これを確率密度という – 1/Nのsectorに止まる確率は1/N => (1/N)/(1/N) = 1 – そのsectorにおけるprobabilitu massを表す – FairなSpinにおいては確率密度はすべて1
- 7. probability density • scaleを0から0.5にする –0から0.1を考える • probability : 0.2 • width : 0.1 • density : 0.2/0.1 = 2 – 一般化 • width: w • probabilty : 2w • density : 2 • scaleを1.0から100に，進 み方を対数にする – 図のような形になる
- 8. 3.3 Probability Distributions p([x,y]):xからyの確率 p(x) : 確率密度
- 9. 3.3.3 Mean andVariance of a Distribution • Mean – 期待値 – サイコロ • 1/6 * 1 + 1/6 * 2 + … + 1/6 * 6 = 3.5 – 連続値でどのように扱うか？
- 10. • Variance – 分散 –期待値からどれだけ分布が離れているか？ • Mean Squared Deviation (MSD) 3.3.3 Mean and Variance of a Distribution
- 11. 3.3.2.2 The NormalProbability Density Function • 一番有名な分布 – ガウス分布・正規分布 – E[p(x)] = μ – Var[p(x)] = σ^2
- 12. Variance as Uncertaintyin Beliefs • p(θ) : θの信頼出来る程度を示 す • Variance – どれだけ分布が広がっているか • Varが大きいと正規分布だとよ こにでかくなる • Varが小さい＝＞ certainである – ある領域に定まる • Highest Density Interval(HDI) – 分布のW％がどの範囲に収まる か？
- 13. 3.4 Two-Way Distribution •同時確率分布 – コインを３こ同時になげたときにどうやって確率を表現する か？ • 表が何回でるか？ • 何回結果が変わるか？
- 14. 同時分布と周辺確率 • 同時確率 – P(S, H ) • S回入れ替わった時にH回表がでる確率 – S = 0, H = 0 : P(S, H) = 0.0 ( 裏裏裏 ) – S = 1. H = 1 : P(S, H) = 0.25 (裏裏表, 表裏裏) • 周辺確率 ( marginal ) – P(S), P(H) • P(S=0) = 2/8
- 15. 3.4.1 Marginal Probability •離散値 • 連続値
- 16. 3.4.2 Conditional Probability •条件付き確率 • コインを３回投げるとき – 表が２回でる時に，何回表裏が入れ替わるのか？ • 表が２回でる事象 – 表表裏: S=1 , 表裏表 : S=2, 裏表表: S=1 » P(S=1| H=2) = 2/3 » P(S=2| H=2) = 1/3 – P(H=2,S=1) = 2/8 , P(H=2) = 3/8 – P(S=1|H=2) = 2/3
- 17. 3.4.3 Independence ofAttributes • 事象が独立であるときに，条件付き確率はどのようにな るか？ – サイコロを２こふったとき、１こ目が１だった時に２個めいく つがでるか • まぁ関係ないよね！ – なので以下のようになる