Documentul explorează viața și contribuțiile lui Blaise Pascal, un matematician francez născut pe 19 iunie 1623. Acesta a realizat progrese semnificative în matematică, inclusiv în combinatorică și probabilități, și a dezvoltat triunghiul aritmetic, care este esențial în calculul combinărilor. De asemenea, documentul menționează schimbările sale de interes spre religie în mijlocul carierei sale științifice și ultimele sale lucrări.

1. Elemente de combinatoricăElemente de combinatorică
ProiectProiect
Grupa 1:Grupa 1:
Moro anu Gheorghi ăș țMoro anu Gheorghi ăș ț
Dascălu RobertDascălu Robert
Ciotină RăzvanCiotină Răzvan
Lupu ClaudiuLupu Claudiu

2. ConţinutConţinut
 Viaţa matematicianului Blaise PascalViaţa matematicianului Blaise Pascal
 PermutăriPermutări
 AranjamenteAranjamente şişi combinăricombinări
 Binomul lui NewtonBinomul lui Newton

3. 1.Viaţa lui Blaise Pascal1.Viaţa lui Blaise Pascal
 Blaise PascalBlaise Pascal s-a născut pe 19 iunies-a născut pe 19 iunie
1623 în Clermont şi a murit la Paris în 191623 în Clermont şi a murit la Paris în 19
august 1662. Tatăl lui, un judecător dinaugust 1662. Tatăl lui, un judecător din
Clermont, având la rândul sau un anumitClermont, având la rândul sau un anumit
renume în ştiinţă, s-a mutat în Paris înrenume în ştiinţă, s-a mutat în Paris în
1631, pentru a-şi continua propriile studii1631, pentru a-şi continua propriile studii
pe o parte, şi pentru a-şi educa unicul săupe o parte, şi pentru a-şi educa unicul său
fiu care dovedise deja abilităţifiu care dovedise deja abilităţi
excepţionale.excepţionale.

4.  Micul Blaise a fost ţinut acasă pentru nu seMicul Blaise a fost ţinut acasă pentru nu se
obosi prea mult şi din acelaşi motiv educaţia luiobosi prea mult şi din acelaşi motiv educaţia lui
a fost mai întâi restrânsă la învăţarea limbilora fost mai întâi restrânsă la învăţarea limbilor
străine, neincluzând evident matematica. Aceststrăine, neincluzând evident matematica. Acest
program a simulat curiozitatea băiatului şi, într-oprogram a simulat curiozitatea băiatului şi, într-o
zi, la doisprezece ani, a întrebat ce estezi, la doisprezece ani, a întrebat ce este
geometria. Învăţătorul lui i-a răspuns că estegeometria. Învăţătorul lui i-a răspuns că este
ştiinţa construirii figurilor exacte şi a determinăriiştiinţa construirii figurilor exacte şi a determinării
proporţiilor dintre diferite parţi ale lor.proporţiilor dintre diferite parţi ale lor.

5.  În curând Pascal se apucă de studiat geometria,În curând Pascal se apucă de studiat geometria,
sacrificându-şi timpul de joacă şi în ciudasacrificându-şi timpul de joacă şi în ciuda
restricţiilor care îi erau impuse, şi în câtevarestricţiilor care îi erau impuse, şi în câteva
săptămâni descoperă singur multe proprietăţisăptămâni descoperă singur multe proprietăţi
ale figurilor. Cea mai importantă este aceeaale figurilor. Cea mai importantă este aceea
privitoare la suma unghiurilor unui triunghi careprivitoare la suma unghiurilor unui triunghi care
este egală cu două unghiuri drepte, respectiveste egală cu două unghiuri drepte, respectiv
180 de grade.180 de grade.

6.  Se pare că dovada consta simplu în împăturareaSe pare că dovada consta simplu în împăturarea
unghiurilor peste figură astfel încât vârfurile lorunghiurilor peste figură astfel încât vârfurile lor
să se întâlnească în centrul cercului înscris însă se întâlnească în centrul cercului înscris în
triunghi. O demonstraţie similară se poate obţinetriunghi. O demonstraţie similară se poate obţine
prin împăturarea unghiurilor astfel încât ele săprin împăturarea unghiurilor astfel încât ele să
se întâlnească pe piciorul perpendicularei dusese întâlnească pe piciorul perpendicularei duse
din vârful unghiului cel mai mare pe laturadin vârful unghiului cel mai mare pe latura
opusă. Impresionat de această demonstraţieopusă. Impresionat de această demonstraţie
inteligenţă, tatăl său i-a dat o copie a cărţiiinteligenţă, tatăl său i-a dat o copie a cărţii
Elementele de Euclid, pe care Pascal o citeşteElementele de Euclid, pe care Pascal o citeşte
cu interes până când o învaţă.cu interes până când o învaţă.

7.  La vârsta de paisprezece ani este admis la întâlnirileLa vârsta de paisprezece ani este admis la întâlnirile
săptămânale ţinute de Roberval, Mersenne, Mydorge şisăptămânale ţinute de Roberval, Mersenne, Mydorge şi
de alţi matematicieni francezi. În final din aceste şedinţede alţi matematicieni francezi. În final din aceste şedinţe
se naşte Academia Franceză. La vârsta de şaisprezecese naşte Academia Franceză. La vârsta de şaisprezece
ani Pascal scrie un eseu despre conice, iar laani Pascal scrie un eseu despre conice, iar la
optsprezece ani construieşte prima maşină aritmetică,optsprezece ani construieşte prima maşină aritmetică,
unun calculatorcalculator rudimentar, pe care o va îmbunătăţii pesterudimentar, pe care o va îmbunătăţii peste
opt ani. Scrisorile lui către Fermat arată că aproximativopt ani. Scrisorile lui către Fermat arată că aproximativ
în această perioadă se concentra asupra geometrieiîn această perioadă se concentra asupra geometriei
analitice şi fizicii. A repetat şi experimentele lui Toricelli.analitice şi fizicii. A repetat şi experimentele lui Toricelli.

8.  În 1650 la mijlocul carierei lui ştiinţifice, PascalÎn 1650 la mijlocul carierei lui ştiinţifice, Pascal
şi-a abandonat brusc idealurile lui în favoareaşi-a abandonat brusc idealurile lui în favoarea
religiei, aşa cum zice în Pensées,religiei, aşa cum zice în Pensées,
"contemplează măreţia şi misterul omului"."contemplează măreţia şi misterul omului".
În 1653 a trebuit să administreze moşia tatăluiÎn 1653 a trebuit să administreze moşia tatălui
său. Acum a adoptat iarăşi vechile lui ocupaţii şisău. Acum a adoptat iarăşi vechile lui ocupaţii şi
a făcut câteva experimente asupra presiuniia făcut câteva experimente asupra presiunii
exercitate de lichide şi gaze. În aceeaşi perioadăexercitate de lichide şi gaze. În aceeaşi perioadă
a inventat triunghiul aritmetic, şi împreună cua inventat triunghiul aritmetic, şi împreună cu
Fermat a creat calculul probabilităţilor.Fermat a creat calculul probabilităţilor.

9.  Medita asupra căsătoriei când un accident l-a determinatMedita asupra căsătoriei când un accident l-a determinat
iarăşi să se concentreze asupra religiei. S-a mutat laiarăşi să se concentreze asupra religiei. S-a mutat la
Port Royal unde a trăit până în 1662.Port Royal unde a trăit până în 1662.
Singura lucrare matematică care o mai scrie o a fost unSingura lucrare matematică care o mai scrie o a fost un
eseu despre cicloidă în 1685.eseu despre cicloidă în 1685.
 Suferea de insomnie şi de o durere de dinţi când i-aSuferea de insomnie şi de o durere de dinţi când i-a
venit idea şi spre surprinderea lui suferinţa i-a trecut.venit idea şi spre surprinderea lui suferinţa i-a trecut.
Privind aceasta ca un semn divin a continuat problema,Privind aceasta ca un semn divin a continuat problema,
lucrând fără oprire opt zile, şi a terminat o lucrare relativlucrând fără oprire opt zile, şi a terminat o lucrare relativ
completă despre geometria cicloidei.completă despre geometria cicloidei.

10.  Prima lucrare asupra geometriei conicilor, scrisă în 1639, a fostPrima lucrare asupra geometriei conicilor, scrisă în 1639, a fost
publicată doar în 1779. Conica este o curbă plană rezultată dinpublicată doar în 1779. Conica este o curbă plană rezultată din
intersecţia unui con circular cu un plan. Se pare că a fost scrisă subintersecţia unui con circular cu un plan. Se pare că a fost scrisă sub
îndrumarea lui Desargues. Două rezultate sunt deopotrivăîndrumarea lui Desargues. Două rezultate sunt deopotrivă
importante şi interesante. Primul este o teoremă cunoscută subimportante şi interesante. Primul este o teoremă cunoscută sub
numele de Teorema lui Pascal :numele de Teorema lui Pascal :
Dacă un hexagon poate fi înscris într-o conică atunci punctele deDacă un hexagon poate fi înscris într-o conică atunci punctele de
intersecţie ale laturilor opuse vor fi colinieare (pe aceiaşi dreaptă). Aintersecţie ale laturilor opuse vor fi colinieare (pe aceiaşi dreaptă). A
doua care i se datorează în mare parte lui Desargues spunedoua care i se datorează în mare parte lui Desargues spune
următoarele:următoarele:
Dacă un patrulater poate fi înscris într-o conică şi ducem o dreaptăDacă un patrulater poate fi înscris într-o conică şi ducem o dreaptă
care intersectează laturile în A, B ,C respectiv D, şi conica în P şi Qcare intersectează laturile în A, B ,C respectiv D, şi conica în P şi Q
atunci:atunci:
Pascal şi-a îmbunătăţit triunghiul aritmetic în 1653, dar nu există niciPascal şi-a îmbunătăţit triunghiul aritmetic în 1653, dar nu există nici
o consemnare a metodei lui până în 1665. Triunghiul este o figurăo consemnare a metodei lui până în 1665. Triunghiul este o figură
simplă (ca cele două şi se poate continua la infinit). Fiecare liniesimplă (ca cele două şi se poate continua la infinit). Fiecare linie
este formată din numere egale cu suma numerelor din stângaeste formată din numere egale cu suma numerelor din stânga
poziţiei de pe linia precedentă. De exemplu 20=1+3+6+10. Dacăpoziţiei de pe linia precedentă. De exemplu 20=1+3+6+10. Dacă
aşezăm triunghiul altfel (ca în dreapta) este mai uşor să vedem căaşezăm triunghiul altfel (ca în dreapta) este mai uşor să vedem că
un număr este egal cu suma celor două numere de deasupra lui,un număr este egal cu suma celor două numere de deasupra lui,
respectiv suma dintre numărul din stânga şi cel de deasupra înrespectiv suma dintre numărul din stânga şi cel de deasupra în
prima figură. vârful triunghiului fiind 1. Cele două reguli suntprima figură. vârful triunghiului fiind 1. Cele două reguli sunt
echivalente.echivalente.

11.  Numerele unei linii se numesc numere figurate. Primele se numescNumerele unei linii se numesc numere figurate. Primele se numesc
numere de ordinul întâi, cele din a doua linie numere de ordinul doi,numere de ordinul întâi, cele din a doua linie numere de ordinul doi,
cele din a treia linie numere de ordinul trei ş.a.m.d. Se poate uşorcele din a treia linie numere de ordinul trei ş.a.m.d. Se poate uşor
demonstra că a m-lea număr de pe al n-lea rând este:demonstra că a m-lea număr de pe al n-lea rând este:
Triunghiul se obţine, în cazul primei figuri, trasând o diagonală în josTriunghiul se obţine, în cazul primei figuri, trasând o diagonală în jos
din colţul dreapta sus. Numărul pe fiecare diagonală dau coeficienţiidin colţul dreapta sus. Numărul pe fiecare diagonală dau coeficienţii
binomiali al unei dezvoltări, sunt coeficienţii binomiali ai binomului luibinomiali al unei dezvoltări, sunt coeficienţii binomiali ai binomului lui
Newton. De exemplu a cincia diagonală 1, 4, 6, 4, 1 sunt coeficienţiiNewton. De exemplu a cincia diagonală 1, 4, 6, 4, 1 sunt coeficienţii
binomiali ai dezvoltării (a+b)4 .binomiali ai dezvoltării (a+b)4 .
Pascal a folosit triunghiul pe de-o parte pentru diferite calcule propriiPascal a folosit triunghiul pe de-o parte pentru diferite calcule proprii
şi pe de altă parte pentru a calcula combinări de m luate câte nşi pe de altă parte pentru a calcula combinări de m luate câte n
pentru cate a găsit formula corectă:Probabil ca matematician Pascalpentru cate a găsit formula corectă:Probabil ca matematician Pascal
este cel mai bine cunoscut pentru corespondenţa lui cu Fermat dineste cel mai bine cunoscut pentru corespondenţa lui cu Fermat din
1657 în care a stabilit principiile probabilităţii. Totul a pornit de la o1657 în care a stabilit principiile probabilităţii. Totul a pornit de la o
problemă propusă lui Pascal de un jucător numit Chavalier de Méréproblemă propusă lui Pascal de un jucător numit Chavalier de Méré
(Cavalerul Marii).(Cavalerul Marii).

12.  La rândul său acesta i-a transmis-o lui Fermat. Problema eraLa rândul său acesta i-a transmis-o lui Fermat. Problema era
următoarea: Doi jucători de valori egale vreau să plece de la masăurmătoarea: Doi jucători de valori egale vreau să plece de la masă
înainte de a termina o partida. Dacă se cunoaşte scorul (în puncte)înainte de a termina o partida. Dacă se cunoaşte scorul (în puncte)
şi numărul de punctelor până la care vroiau să joace (adică numărulşi numărul de punctelor până la care vroiau să joace (adică numărul
turelor dacă o tură câştigată înseamnă un punct) se cere să se afleturelor dacă o tură câştigată înseamnă un punct) se cere să se afle
în ce proporţie trebuie să împartă miza. Fermat şi Pascal au datîn ce proporţie trebuie să împartă miza. Fermat şi Pascal au dat
acelaşi răspuns dar demonstraţi diferite.acelaşi răspuns dar demonstraţi diferite.
Următoarea este demonstraţia celui din urmă:Următoarea este demonstraţia celui din urmă:
Aceasta este metoda mea de a determina partea fiecărui jucătorAceasta este metoda mea de a determina partea fiecărui jucător
când, de exemplu, doi jucători joacă pe trei ture şi fiecare au pus 32când, de exemplu, doi jucători joacă pe trei ture şi fiecare au pus 32
de galbeni.de galbeni.
Să zicem că primul jucător a câştigat două puncte, iar al doilea unul.Să zicem că primul jucător a câştigat două puncte, iar al doilea unul.
Acum trebuie să joace ultima tură pentru un punct. Dacă primulAcum trebuie să joace ultima tură pentru un punct. Dacă primul
jucător ar câştiga ar lua toată miza adică 64 de galbeni, în timp cejucător ar câştiga ar lua toată miza adică 64 de galbeni, în timp ce
dacă al doilea ar câştiga fiecare ar avea două puncte şi ar trebuidacă al doilea ar câştiga fiecare ar avea două puncte şi ar trebui
împărţită miza, adică 32 de galbeni la fiecare. Aşadar dacă primulîmpărţită miza, adică 32 de galbeni la fiecare. Aşadar dacă primul
jucător ar câştiga 64 de galbeni i-ar aparţine, dacă nu ar lua 32 dejucător ar câştiga 64 de galbeni i-ar aparţine, dacă nu ar lua 32 de
galbeni.galbeni.
 CuprinsCuprins

13. PermutăriPermutări
DefiniţieDefiniţie:: Se numeşteSe numeşte permutare a mulţimii Apermutare a mulţimii A oricareoricare
mulţime ordonată care se formează cu elementele sale.mulţime ordonată care se formează cu elementele sale.
Dacă A este o mulţime finită cu n elemente numărulDacă A este o mulţime finită cu n elemente numărul
permutărilor ei se notează .permutărilor ei se notează .
Convenim că mulţimea vidă se poate ordona într-un singurConvenim că mulţimea vidă se poate ordona într-un singur
mod şimod şi
nP
10 =P

14. Calculul numerelorCalculul numerelor
O mulţime cu un element poate fi ordonată într-un singurO mulţime cu un element poate fi ordonată într-un singur
mod, deci .mod, deci .
Fie o mulţime formată din două elemente. Cu elementeleFie o mulţime formată din două elemente. Cu elementele
mulţimii A se pot forma două mulţimi ordonate şi , decimulţimii A se pot forma două mulţimi ordonate şi , deci
..
Fie . Permutările mulţimii se pot obţine din permutărileFie . Permutările mulţimii se pot obţine din permutările
mulţimii , prin completarea acestora cu elementul .mulţimii , prin completarea acestora cu elementul .
Se obţine pentru fiecare permutare cu două elemente, treiSe obţine pentru fiecare permutare cu două elemente, trei
permutări cu trei elemente, deci .permutări cu trei elemente, deci .
Această relaţie sugerează relaţia generală .Această relaţie sugerează relaţia generală .
Din această relaţie se obţine succesiv:Din această relaţie se obţine succesiv:
Deci, .Deci, .
nP
}{ 11 aA =
11 =P
},{ 212 aaA =
),( 21 aa ),( 12 aa
22 =P
},,{ 3213 aaaA = 3A
2A 3a
6233 23 =⋅== PP
1,1 ≥= − nnPP nn
123)...1(123)...2)(1(...)1( 021 ⋅⋅−=⋅⋅⋅−−==−== −− nnPnnnPnnnPP nnn
nnPn )1...(321 −⋅⋅=

15. Pentru simplificarea scrierii se foloseşte notaţiaPentru simplificarea scrierii se foloseşte notaţia
Prin convenţiePrin convenţie
AplicaţiiAplicaţii::
1) Să se calculeze: a) b) .1) Să se calculeze: a) b) .
2) Câte numere de cinci cifre distincte se pot forma cu cifrele2) Câte numere de cinci cifre distincte se pot forma cu cifrele
1,2,3,4,5?1,2,3,4,5?
CuprinsCuprins
!)1...(321 nnn =−⋅⋅
1!0 =
!3!5 − !128
!129

16. ARANJAMENTEARANJAMENTE
DefiniţieDefiniţie:: FieFie A=A= { } şi . Se numeşte{ } şi . Se numeşte aranjamentaranjament
dede nn elemente luate câteelemente luate câte kk orice mulţime ordonată alcătuită dinorice mulţime ordonată alcătuită din kk
elemente ale mulţimiielemente ale mulţimii A.A.
ObservaţiiObservaţii::
Două aranjamente deDouă aranjamente de nn luate câteluate câte kk diferă:diferă:
1.1. prin natura elementelor;prin natura elementelor;
2.2. prin ordinea de dispunere a elementelorprin ordinea de dispunere a elementelor..
TeoremăTeoremă:: Numărul de aranjamente deNumărul de aranjamente de nn luate câteluate câte kk, ,, , kk,, nn
numere naturale,numere naturale, nn nenul este egal cu .nenul este egal cu .
naaa ,...,, 21 nk ≤≤1
nk ≤≤0
( )( ) ( )1...21 +−−−= knnnnAk
n

17. ProprietăţiProprietăţi ::
1.Numărul se poate exprima cu ajutorul1.Numărul se poate exprima cu ajutorul
factorialelor, astfel:factorialelor, astfel:
Au loc următoarele relaţii de recurenţă:Au loc următoarele relaţii de recurenţă:
a)a)
b)b)
c)c)
d)d)
k
nA
( )
.1
1,,,
!
!
0
=
≤≤∈
−
=
n
k
n
A
nkkn
kn
n
A N
1
11
−
−− += k
n
k
n
k
n kAAA
1
1
−
−= k
n
k
n nAA
( ) 1
1 −
+−= k
n
k
n AknA
k
n
k
n A
kn
n
A 1−
−
=

18. AplicaţiiAplicaţii::
1) Să se calculeze: a) b) .1) Să se calculeze: a) b) .
2) La o întrunire, 20 de persoane au2) La o întrunire, 20 de persoane au
schimbat fotografii între ele. Câte fotografiischimbat fotografii între ele. Câte fotografii
au fost necesare?au fost necesare?
4
5A 2
5
5
4
7
A
PA −
Cuprins

19. COMBINARICOMBINARI
DefinitieDefinitie :: Daca A este o mulţime cuDaca A este o mulţime cu nn
elemente, atunci submulţimile lui A avândelemente, atunci submulţimile lui A având
kk elemente, unde , se numescelemente, unde , se numesc
combinări decombinări de nn luate cateluate cate kk, notate ., notate .
TeoremaTeorema :: DacăDacă kk şişi nn sunt numeresunt numere
naturale, astfel încâtnaturale, astfel încât ,, atunciatunci
k
nC
nk ≤≤0
nk ≤≤0
!
)1)...(1(
!)!(
!
k
knnn
kkn
n
Ck
n
+−−
=
⋅−
=

20. DemonstratieDemonstratie
Fie A o multime cuFie A o multime cu nn elemente. Sa consideramelemente. Sa consideram
toate submultimile multimii A care autoate submultimile multimii A care au kk elemente.elemente.
Ordonăm fiecare dintre aceste submulţimi în toateOrdonăm fiecare dintre aceste submulţimi în toate
modurile posibile. Obţinem astfel, toate submulţimilemodurile posibile. Obţinem astfel, toate submulţimile
ordonate ale lui A, care au cateordonate ale lui A, care au cate kk elemente. Numărul lor,elemente. Numărul lor,
după cum ştim , estedupă cum ştim , este . Dar cum numărul tuturor. Dar cum numărul tuturor
submulţimilor lui A avândsubmulţimilor lui A având kk elemente este egal cu , iarelemente este egal cu , iar
fiecare din acestea se pot ordona înfiecare din acestea se pot ordona în moduri, rezultămoduri, rezultă
că . Din aceasta egalitate rezultă că .că . Din aceasta egalitate rezultă că .
Înlocuind în aceasta formula expresiile şiÎnlocuind în aceasta formula expresiile şi
obţine ,obţine , , ceea ce se poate scrie, ceea ce se poate scrie
k
nA
k
nC
kP
k
k
n
k
n PCA ⋅=
k
k
nk
n
P
A
C =
)!(
!
kn
n
Ak
n
−
= !kPk =
!)!(
!
kkn
n
Ck
n
⋅−
=
!
)1)...(2)(1(
k
knnnn
Ck
n
+−−−
=

21. ObservaţiiObservaţii::
Două combinări deDouă combinări de nn luate câteluate câte kk diferă prin natura elementelor;diferă prin natura elementelor;
ProprietăţiProprietăţi ::
1.1. Formula combinărilor complementare : , .Formula combinărilor complementare : , .
2.2. Formula de recurenţă : , .Formula de recurenţă : , .
3.3. Pentru orice număr natural n are loc egalitatea :Pentru orice număr natural n are loc egalitatea :
AplicaţiiAplicaţii::
1) Să se calculeze: a) b) .1) Să se calculeze: a) b) .
2) Câte drepte pot fi duse prin 6 puncte dacă oricare trei nu sunt2) Câte drepte pot fi duse prin 6 puncte dacă oricare trei nu sunt
coliniare.coliniare.
kn
n
k
n CC −
=
nk ≤≤0
nk ≤≤0
1
11
−
−− += k
n
k
n
k
n CCC
.2...10 nn
nnn CCC =+++
8
10
9
10 CC −
2
5
19
20
1
20
2A
CC +
Cuprins

22. BINOMUL LUI NEWTONBINOMUL LUI NEWTON
Binomul lui Newton este o teoremă care neBinomul lui Newton este o teoremă care ne
dă regula de dezvoltare a expresiei ,dă regula de dezvoltare a expresiei ,
undeunde aa şişi bb sunt două numere reale, iarsunt două numere reale, iar nn
este un număr natural diferit de zero.este un număr natural diferit de zero.
TeoremăTeoremă:: FieFie aa şişi bb două numere reale,două numere reale, nn
număr natural nenul. Atunci:număr natural nenul. Atunci:
( )n
ba +
( ) nn
n
n
n
n
n
n
n
n
baCbaCbaCbaCba 022211100
...++++=+ −−

23. ObservaţiiObservaţii::
1.1. Putem scrie formula de mai sus astfel: ,Putem scrie formula de mai sus astfel: ,
de unde deducem uşor formula termenului generalde unde deducem uşor formula termenului general
..
2. Dezvoltarea unui binom are2. Dezvoltarea unui binom are nn + 1 termeni.+ 1 termeni.
3. Coeficienţii se numesc coeficienţii3. Coeficienţii se numesc coeficienţii
binomiali ai dezvoltării.binomiali ai dezvoltării.
4. Coeficienţii binomiali din dezvoltare egal depărtaţi de4. Coeficienţii binomiali din dezvoltare egal depărtaţi de
termenii extremi ai dezvoltării sunt egali,termenii extremi ai dezvoltării sunt egali,
(formula combinărilor complementare).(formula combinărilor complementare).
( ) ∑=
−
=+
n
k
kknk
n
n
baCba
0
kknk
nk baCT −
+ =1
n
nnnn CCCC ,...,,, 210
,..., 110 −
== n
nn
n
nn CCCC

24. 5.Dacă exponentul puterii este par5.Dacă exponentul puterii este par nn == 2k2k, atunci, atunci
dezvoltarea aredezvoltarea are 2k2k ++ 11 termeni, iar termenul din mijloctermeni, iar termenul din mijloc
are coeficientul binomial cel mai mare:are coeficientul binomial cel mai mare:
;;
DacăDacă nn == 2k + 12k + 1, atunci dezvoltarea are, atunci dezvoltarea are 2k + 22k + 2 termeni şitermeni şi
avem doi termeni la mijlocul dezvoltării care auavem doi termeni la mijlocul dezvoltării care au
coeficienţii binomiali egali şi de valoare cea mai mare:coeficienţii binomiali egali şi de valoare cea mai mare:
..
6.Avem următoarea formulă de recurenţă: Între doi termeni6.Avem următoarea formulă de recurenţă: Între doi termeni
consecutivi din dezvoltarea binomului are locconsecutivi din dezvoltarea binomului are loc
relaţia:relaţia:
n
n
k
n
k
nnnn CCCCCC >>><<<< +
...... 1210
21, ++ kk TT
12
1
++ ⋅
+
−
= kk T
a
b
k
kn
T
n
n
k
n
k
n
k
nnnn CCCCCCC >>>=<<<< ++
...... 21210

25. AplicaţiiAplicaţii::
1. Să se dezvolte: a) b) .1. Să se dezvolte: a) b) .
2. Se consideră binomul .2. Se consideră binomul .
a) Scrieţi termenul general al dezvoltării,a) Scrieţi termenul general al dezvoltării,
aducându-l la o formă mai simplă.aducându-l la o formă mai simplă.
b) Calculaţi termenii .b) Calculaţi termenii .
c) Există termenul care-l conţine pe ?c) Există termenul care-l conţine pe ?
6
)32( ba + 8
)2( −x
113
)( xxx −
114 ,TT
2
x
Cuprins