More Related Content
More from BirendraAcharya1
More from BirendraAcharya1 (20)
CL-X MTA CH-4 PART-3.pdf
- 1. ଶ୍ରେଣୀ- ଦଶଭ
ଚତୁ ଥଥ ଅଧ୍ୟାୟ (ସମ୍ଭାଫୟତା )
(ବାଗ - 3 )
ଶିକ୍ଷକ – ଫିଶ୍ରଯନ୍ଦ୍ର କୁଭାଯ ଆଚାମଥୟ
ସଯକାଯୀ ଉନ୍ନୀତ ଉଚ୍ଚ ଫିଦୟାୟ ତଶ୍ରଫଗା,
ଜିଲ୍ଲା - କାହାଣ୍ଡି
- 2. ଆଶ୍ରଭ ଢିଥିଶ୍ରର
1. ଅନୁବ
ୂ ଭିକ ସମ୍ଭାଫୟତା ଫା Emperical Probability
“ଘଟଣାଯ ଆନୁବଫିକ ସମ୍ଭାଫୟତା” =
ଆବଶ୍ୟକ ଫଲର ବାରମବାରତା
ସମୁଦାୟ ପରୀକ୍ଷଣ ସଂଖ୍ୟା
2. ତତ୍ତ୍ଵାଧାଯିକ ସମ୍ଭାଫୟତା ଫା Theoritical ଫା
Classical Probability
“ଘଟଣା E ଯ ସମ୍ଭାଫୟତା “
P(E) =
ଅନୁଗୃହିତ ଫଲ ସଂଖ୍ୟା
ପରିକ୍ଷଣର ସମ୍ଭାବୟ ସମସ୍ତ ଫଲାଫଲ ସଂଖ୍ୟା
ଏହା ଯୀକ୍ଷଣ ସିଦ୍ଧ
- 3. ଶ୍ରସଟ ତତ୍ତ୍ଵ ସହାୟତାଶ୍ରଯ ସମ୍ଭାଫୟତାଯ ଧାଯଣା
SAMPLE SPACE (S) : ଶ୍ରକୌଣସି ଯୀକ୍ଷଣଯ ସଭସ୍ତ ପାପ
କୁ ଶ୍ରନଇ ଗଠିତ ଶ୍ରସଟ କୁ sample space କୁହାମାଏ I
ଉଦାହଯଣ: ଶ୍ରଗାଟିଏ ଭୁଦ୍ରାକୁ ଥଶ୍ରଯ ଟସ କଶ୍ରର,
S= { H,T} ଏଠାଶ୍ରଯ ISI=2
ଶ୍ରଗାଟିଏ ରୁ ଡ
ୁ ଶ୍ରଗାଟିଏ 1 ଥଯ ଟସ କଶ୍ରର,
S= {1,2,3,4,5,6}, ISI = 6 ଇତୟାଦି I
- 5. ସିଦ୍ଧାନ୍ତ : ଶ୍ରଗାଟିଏ ଅପ୍ରଫଣ ଭୁଦ୍ରାକୁ n ଥଯ ଟସ କଶ୍ରର
sample space ‘s’ ଯ ଉାଦାନ ସଂଖ୍ୟା ISI = 𝟐𝒏
Example: ଶ୍ରଗାଟିଏ ଅପ୍ରଫଣ ଭୁଦ୍ରାକୁ
(i) 6 ଥଯ ଟସ କଶ୍ରର ISI = 𝟐𝟔
= 64
(ii) 6 ଥଯ ଟସ କଶ୍ରର ISI = 𝟐10
= 1032
- 6. 11 12 13 14 15 16
21 22 23 24 25 26
31 32 33 34 35 36
41 42 43 44 45 46
51 52 53 54 55 56
61 62 63 64 65 66
ରୁ ଡ
ୁ ଶ୍ରଗାଟି 2 ଥଯ ଗଡାଇଶ୍ରର
- 7. ରୁ ଡ଼ୁଶ୍ରଗାଟିକୁ ଟସ ଶ୍ରକ୍ଷତ୍ରଶ୍ରଯ sample space
ଯ ଉାଦାନ ସଂଖ୍ୟା ISI ନିର୍ଣ୍ଥୟ I
(i) ରୁ ଡ
ୁ ଶ୍ରଗାଟି 1 ଥଯ ଗଡାଇଶ୍ରର s = {1,2,3,4,5,6},
ISI = 6 = 𝟔𝟏
(ii) ରୁ ଡ
ୁ ଶ୍ରଗାଟି 2 ଥଯ ଗଡାଇଶ୍ରର s = { 11,22,33,44,55,66,
21,22,23,24,25,26,
31,32,33,34,35,36,
41,42,43,44,45,46,
51,52,53,54,55,56,
61,62,63,64,65,66 }
ISI = 36 = 𝟔𝟐
- 8. ସିଦ୍ଧାନ୍ତ : ଶ୍ରଗାଟିଏ ରୁ ଡ
ୁ ଶ୍ରଗାଟିକୁ n ଥଯ ଗଡାଇଶ୍ରର
sample space ‘S’ ଯ ଉାଦାନ ସଂଖ୍ୟା
ISI = 𝟔𝒏
ଉଦାହଯଣ : ରୁ ଡ
ୁ ଶ୍ରଗାଟି ଶ୍ରକ୍ଷତ୍ରଶ୍ରଯ
(i) 3 ଥଯ ଗଡାଇଶ୍ରର ISI = 𝟔𝟑
= 216
(ii) 4 ଥଯ ଗଡାଇଶ୍ରର ISI = 𝟔𝟒
= 1296
- 9. ଏକ ଘଟଣା E ଶ୍ରହଶ୍ରର, ଯୀକ୍ଷଣଯ ଅଫଶିଷ୍ଟ ଘଟଣା ଗୁଡିକୁ
E ଯ ଯିୂଯକ ଘଟଣା ଫା (COMPLEMENTARY
EVENT) କୁହାମାଏ I
E ଯ ଯିୂଯକ ଘଟଣାକୁ E ଫା E’ ଯ
ୂ ଶ୍ର ଶ୍ରରଖ୍ାମାଏ I
P(E) + P(E’) = 1
ଫା P(E’) = 1 – P(E)
- 10. ସଯ ଫା ଶ୍ରଭୌିକ ଘଟଣା ( Simple or Elementary Event)
ଏକ ଉାଦାନ ଫିଶିଷ୍ଟ ଘଟଣାକୁ ସଯ ଫା ଶ୍ରଭୌିକ
ଘଟଣା କୁହାମାଏ I
ଉଦାହଯଣ :
ଭୁଦ୍ରାକୁ 1 ଥଯ ଟସ କଶ୍ରର E1 = {H} , E2 = {T}
E1 ଓ E2 ପ୍ରଶ୍ରତୟାକ ଘଟଣା I
ଭୁଦ୍ରାକୁ 2 ଥଯ ଟସ କଶ୍ରର E1 = {HH} , E2 =
{HT}, E3 = {TH} , E4 = {TT}
E1,E2 , E3 ଓ E4 ପ୍ରଶ୍ରତୟାକ ଶ୍ରଗାଟିଏ ଶ୍ରଗାଟିଏ
ଶ୍ରଭୌିକ ଘଟଣା I
- 11. ଶ୍ରମୌଗିକ ଘଟଣା (Compound Eevent)
ଏକାଧିକ ଉପାଦାନ ବିଶ୍ିଷ୍ଟ ଘଟଣା କୁ ୄଯାଗିକ
ଘଟଣା କୁହଯାଏ।
Ex- ୄଗାଟାଏ ମୁଦ୍ରା କୁ 2 ଥର ଟସ କରାଗା
E1=ଅତି କମ ୄର ୄଗାଟାଏ H ଥିବା
={HH, HT, TH}
ଏଠାୄର [E1]= 3 ଏଣୁ E1 ଏକ ୄଯୌଗିକ ଘଟଣା
E2=ୄକବଲ H ବା ୄକବଲ T ଥିବା
= {HH, TT}
ଏଠାୄର IE2I=2 ଏହା ମଧ୍ୟ ୄଯୌଗିକ ଘଟଣା
- 12. ଯସ୍ପଯ ଫହିବଥ
ୂ କ୍ତ ଘଟଣା (Mutually Execlusive Events)
ଦୁଇଟି ଘଟଣା E1 ଓ E2 (E1 C S, E2 C S)
ଯସ୍ପଯ ଫହିବଥ
ୂ କ୍ତ ଶ୍ରହଫ ମଦି E1 ∩ E2= ∅ ଶ୍ରହଫ
Ex- ଭୁଦ୍ରାକୁ 2 ଥଯ ଟସ କଶ୍ର
E1: ଶ୍ରକଫ H ଆସିଫ = > E1= {HH}
E2: ଶ୍ରକଫ T ଆସିଫ => E2= {TT}
=> E1 ∩ E2= ∅
- 13. ଯିୂଯକ ଘଟଣା (Complementary Events)
E1 ଓ E2 ଘଟଣା ଦ୍ୱୟ ପରିପୂରକ ୄହବ ଯଦି E1 ଓ E2
ପରସ୍ପର ବହିଭଭ
ୂ କ୍ତ ଓ ୄସମାନଙ୍କ ସଂୄଯାଗ ୄହତୁ S ସୃଷ୍ଟି ୄହବ ।
Ex: ୄଗାଟାଏ ୁଡ
ୁ ୄଗାଟି 1 ଥର ୄଗାଡାଇୄ
S= {1,2,3,4,5,6}
E1= ଫ ଏକ ଅଯୁଗମ ସଂଖ୍ୟା = {1,3,5}
E2= ଫ ଏକ ଯୁଗମ ସଂଖ୍ୟା = {2,4,6}
ଏଠାୄର E1 ∩ E2= ∅ ଓ E1 ∪ E2= S
ୄତଣୁ E1 ଓ E2 ପରସ୍ପର ପରିପୂରକ ଘଟଣା।
E ଘଟଣା ପରିପୂରକ ଘଟଣା କୁ E’ ବା E ର
ୂ ୄପ ୄଖ୍ାଯାଇଥାଏ
[ସମସ୍ତ ବହିିଃଭ
ୁ କ୍ତ ଘଟଣା ପରିପୂରକ ନୁହନ୍ତି କିନ୍ତୁ ସମସ୍ତ
ପରିପୂରକ ଘଟଣା ବହିିଃଭ
ୁ କ୍ତ ଅୄଟ I ]
- 14. ଏକ ଘଟଣା E ଯ ସମ୍ଭାଫୟତା
P(E) =
𝑰𝑬𝑰
𝑰𝑺𝑰
ସମ୍ଭାଫୟତା ଯ ଶ୍ରକଶ୍ରତକ ଧଭଥ :
I. E C S ଶ୍ରହଶ୍ରର
P(∅) = 𝟎, 0≤ P(E) ≤ 1, P(S) = 1
ଏଠାଶ୍ରଯ ∅ = ଅନିଶ୍ଚିତ ଘଟଣା (impossible event)
S= ନିଶ୍ଚିତ ଘଟଣା (SURE EVENT )
- 15. ଏକ ଘଟଣା (E) ଓ ଏହାଯ ଯିୂଯକ ଘଟଣା
E’ ଦ୍ୱୟ S ଯ ଉଶ୍ରସଟ ଏଫଂ
P(E) + P(E’) = 1
- 16. E1 ଓ E2 ଦୁଇଟି ଘଟଣା ଓ E1 C S, E2 C S ଶ୍ରହଶ୍ରର E1 ∪ E2 , E1 ∩
E2, ଭଧ୍ୟ ଶ୍ରଗାଟିଏ ଶ୍ରଗାଟିଏ ଘଟଣା ଏଫଂ
(E1 ∪ E2 ) C S, (E1 ∩ E2) C S,
ଶ୍ରସଟ ତତ୍ଵ ଆନୁମାୟୀ I E1 ∪ E2 I = IE1I +IE2I - I E1 ∩ E2I
ଶ୍ରତଣୁ P (E1 ∪ E2 ) =
I E1 ∪ E2 I
𝑰𝑺𝑰
=> P (E1 ∪ E2 ) =
IE1I +IE2I − I E1 ∩ E2I
𝑰𝑺𝑰
P (E1 ∪ E2 ) =
IE1I
𝑰𝑺𝑰
+
IE𝟐I
𝑰𝑺𝑰
-
I E1 ∩ E2I
𝑰𝑺𝑰
E1 ଓ E2 ଯସ୍ପଯ ଫହିିଃବ
ୂ କ୍ତ ଶ୍ରହଶ୍ରର ,
E1 ∩ E2= ∅ => P(E1 ∩ E2)=0,
=> P (E1 ∪ E2 ) = P(E1) + P(E2)
- 17. ୄଗାଟିଏ ୁ ଡ
ୁ ୄଗାଟିକୁ 1 ଥର ଗଡାଇୄ ଫଲଟି “ ଏକ ଯୁଗମ ସଂଖ୍ୟା କିମବା
ଫଲ ≥ 4" ୄହବାର ସମ୍ଭାବୟତା ସ୍ଥିର କର ?
ଏଠାଶ୍ରଯ S = { 1,2,3,4,5,6} => ISI= 6
E1= ମୁଗମ ସଂଖ୍ୟା = { 2,4,6} => IE1I= 3
E2 ≥ 𝟒 = { 4,5,6} => IE2I= 3
E1 ∩ E2 = { 2,4,6} ∩ { 4,5,6} = {4,6} =>I E1 ∩ E2 I = 2
ପ ମୁଗମ ସଂଖ୍ୟା ଶ୍ରହଫା କିଭବା ≥ 𝟒 ଶ୍ରହଫା ଘଟଣା P(E1 ∪ E2 ) ଦ୍ୱାଯା
ନିର୍ଣ୍ଥୟ ଶ୍ରହଫ I
P ( E1 ∪ E2 ) = P (E1) + P (E2) - P(E1 ∩ E2)
=> P (E1 ∪ E2 ) =
IE1I
𝑰𝑺𝑰
+
IE𝟐I
𝑰𝑺𝑰
-
I E1 ∩ E2I
𝑰𝑺𝑰
=
𝟑
𝟔
+
𝟑
𝟔
-
𝟐
𝟔
=
𝟒
𝟔
=
𝟐
𝟑
ରକ୍ଷକଯ ଏଠାଶ୍ରଯ IE1 ∪ E2 I = 4
P IE1 ∪ E2 I = -
I E1∪E2I
𝑰𝑺𝑰
= =
𝟒
𝟔
=
𝟐
𝟑