PROBLEM BASED ON AREA AND ITS SOLUTION

1. କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
ଭାଗ -3
ଶିେକ – ବିକ୍ଷେନ୍ଦ୍ର କୁମାେ ଆଚାର୍ଯ୍ୟ
ସେକାେୀ ଉନ୍ନୀତ ଉଚ୍ଚ ବିଦ୍ୟାଳୟ ତଳକ୍ଷବଳଗା,
ଜିଲ୍ଲା - କଳାହାଣ୍ଡି

2.  ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ର (ବା କ୍ଷସହିପରି କ୍ଷେତ୍ର –
ଆୟତକ୍ଷେତ୍ର, ବର୍ଗକ୍ଷେତ୍ର, ରମ୍ବସ୍) ମାନଙ୍କର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ,
କ୍ଷସମାନଙ୍କର ଭ
ୂ ମି (କ୍ଷର୍ାଟିଏ ବାହୁ) ଏବଂ ଉଚ୍ଚତା
(କ୍ଷସହି ବାହୁର ବିପରୀତ କ୍ଷକୌଣିକ ବିନ୍ଦୁର
ୁ ଅଙ୍କିତ ଲମ୍ବ)
ଉପକ୍ଷର ନିଭଗର କକ୍ଷର ।
 ଏହି କ୍ଷେତ୍ରମାନଙ୍କର ଭ
ୂ ମିର କ୍ଷ ୈର୍ଘଗୟ ,ଉଚ୍ଚତା ଓ
କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ମଧ୍ୟର
ୁ କ୍ଷେ କ୍ଷକୌଣସି ୁଇଟି ଏକା ବା ସମାନ
କ୍ଷହକ୍ଷଲ , ତୃ ତୀୟଟି ଏକା ବା ସମାନ କ୍ଷହବ ।

3. A
B C
D E
F
କ୍ଷତଣୁ ABCD କ୍ଷେତ୍ରେ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = FBCE କ୍ଷେତ୍ରେ
କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ।
ଚିତ୍ରକ୍ଷେ ABCD ଓ
FBCE କ୍ଷେତ୍ରଦ୍ୱୟ
ଏକା ଭ
ୂ ମି BC
ଉପକ୍ଷେ ଅବସ୍ଥିତ
ଏବଂ AE ∥ BC ।

4. A
B C
D P
R
Q
S
ଚିତ୍ରକ୍ଷେ ABCD କ୍ଷେତ୍ରେ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = PQRS କ୍ଷେତ୍ରେ
କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ଏବଂ AS ∥ BR । କ୍ଷତଣୁ BC = QR ।

5. ଉପପାଦ୍ୟ -36
ଏକା ଭ
ୂ ମି ଉପକ୍ଷେ ଏବଂ ତାହାେ ଏକ
ପାର୍ଶ୍୍କ୍ଷେ ଅବସ୍ଥିତ ସମାନ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ବିଶିଷ୍ଟ
ତ୍ରିଭ
ୁ ଜ ମାନ ଏକା ସମାନ୍ତେ ସେଳକ୍ଷେଖାଦ୍ୱୟ
ମଧ୍ୟକ୍ଷେ ଅବସ୍ଥିତ ।

6. A
B C
Y
X
P
ଦ୍ତ୍ତ :
ସମକ୍ଷେତ୍ରଫଳ ବିଶିଷ୍ଟ
ABC ଓ PBC ଦ୍ୱୟ
ଏକାଭ
ୂ ମି BC ଉପକ୍ଷେ ଏବଂ
ତାହାେ ଏକ ପାର୍ଶ୍୍କ୍ଷେ
ଅବସ୍ଥିତ ।
ପ୍ରାମାଣୟ : AP ∥ BC
ଅଙ୍କନ : A ଓ P ବିନ୍ଦୁେ
ୁ BC ପ୍ରତି ର୍ଯଥାକ୍ରକ୍ଷମ AX ଓ PY
ଲମ୍ବ ଅଙ୍କନ କେ ।

7. ପ୍ରଶ୍ନ : ପାର୍ଶ୍୍ସ୍ଥ ଚିତ୍ରକ୍ଷେ
AF ∥ BG , AB∥DC ,
BE ∥ CF ଓ AC ∥ DG
A
B C
F
D
E
∥
G
(i ) ABCD କ୍ଷେତ୍ର ସହ
.................. ଓ .....................
କ୍ଷେତ୍ରଦ୍ୱୟେ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ସମାନ ।
(ii) ABC କ୍ଷେତ୍ର ସହ
.................. ଓ .....................
କ୍ଷେତ୍ରଦ୍ୱୟେ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ସମାନ ।
EBCF
ACGD
FBC
ACD

8. ପ୍ରଶ୍ନ : ଚିତ୍ରକ୍ଷେ ABCD ଏକ ସାମାନ୍ତେିକ କ୍ଷେତ୍ର ।
PQ ∥ AD , 𝐗𝐘 ∥ AB ପ୍ରମାଣ କେ କ୍ଷର୍ଯ ,
(i) POYB ଓ XOQD କ୍ଷେତ୍ରଦ୍ୱୟ ସମକ୍ଷେତ୍ରଫଳ
ବିଶିଷ୍ଟ ।
(ii) AXYB ଓ APQD କ୍ଷେତ୍ରଦ୍ୱୟ ସମକ୍ଷେତ୍ରଫଳ ବିଶିଷ୍ଟ
।
(iii) PBCQ ଓ XYCD କ୍ଷେତ୍ରଦ୍ୱୟ ସମକ୍ଷେତ୍ରଫଳ ବିଶିଷ୍ଟ
।
A
B C
P
D
X
Y
O
Q

9. A
B C
P
D
X
Y
Q
O

10. ପ୍ରଶ୍ନ : ଚିତ୍ରକ୍ଷେ ABCD ଏକ ସାମାନ୍ତେିକ କ୍ଷେତ୍ର ।
PQ ∥ AD , 𝐗𝐘 ∥ AB ପ୍ରମାଣ କେ କ୍ଷର୍ଯ ,
(i) POYB ଓ XOQD କ୍ଷେତ୍ରଦ୍ୱୟ ସମକ୍ଷେତ୍ରଫଳ
ବିଶିଷ୍ଟ ।
(ii) AXYB ଓ APQD କ୍ଷେତ୍ରଦ୍ୱୟ ସମକ୍ଷେତ୍ରଫଳ ବିଶିଷ୍ଟ
।
(iii) PBCQ ଓ XYCD କ୍ଷେତ୍ରଦ୍ୱୟ ସମକ୍ଷେତ୍ରଫଳ ବିଶିଷ୍ଟ
।
A
B C
P
D
X
O
Q

11. ପ୍ରଶ୍ନ : ପ୍ରମାଣ କେ କ୍ଷର୍ଯ , କ୍ଷକୌଣସି ତ୍ରିଭ
ୁ ଜେ
ମଧ୍ୟମା ତାହାକୁ ଦ୍ୁଇ ସମକ୍ଷେତ୍ରଫଳ ବିଶିଷ୍ଟ
ତ୍ରିଭ
ୁ ଜକ୍ଷେ ବିଭକ୍ତ କକ୍ଷେ | A
B C
D
E
ଦ୍ତ୍ତ : ABC େ ମଧ୍ୟମା
AD ।
ଅଥ୍ାତ୍ BD = CD
ପ୍ରାମାଣୟ : ABD ଓ ACD
ସମକ୍ଷେତ୍ରଫଳ ବିଶିଷ୍ଟ ।
ଅଙ୍କନ : AE ⊥ BC ଅଙ୍କନ କେ ।

12. ପ୍ରଶ୍ନ : ଚିତ୍ରକ୍ଷର ABCD ଏକ ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ର ପ୍ରମାଣ
କର କ୍ଷେ, ADQP ଓ BCQP କ୍ଷେତ୍ରଦ୍ଵୟ ସମକ୍ଷେତ୍ରଫଳ
ବିଶିଷ୍ଟ ।
A
C
D
P
O
B
Q

13. A
C
D
P
O
B
Q
i . ପ୍ରାମାଣୟ :
ADQP କ୍ଷେତ୍ରେ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ=BCQP କ୍ଷେତ୍ରେ
କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
A B
ଦ୍ତ୍ତ : ଚିତ୍ରକ୍ଷର ABCD ଏକ
ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ର । AC ଓ BD
ଏହାର ୁଇଟି କର୍ଣ୍ଗ ।

14. C
D
P
Q
A B
O
C

15. ପ୍ରାମାଣୟ :( ii) AOD ର
କ୍ଷେତ୍ରଫଳ =
1
4
ABCD
ସାମାନ୍ତରିକ କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
।
A
C
D
O
B
A B
ଦ୍ତ୍ତ :
ABCD ସାମାନ୍ତେିକ କ୍ଷେତ୍ରେ
AC ଓ BD କର୍ଣ୍୍ଦ୍ୱୟ ପେସ୍ପେକୁ
O ବିନ୍ଦୁକ୍ଷେ କ୍ଷେଦ୍ କେନ୍ତି ।

16. ପ୍ରମାଣ: ଏକ ସାମାନ୍ତେିକ
ଚିତ୍ରେ କର୍ଣ୍୍ଦ୍ୱୟ ପେସ୍ପେକୁ
ସମଦ୍ୱିଖଣ୍ଡ କେନ୍ତି |
AC ଓ BD କର୍ଣ୍୍ ଦ୍ୱୟ ପେସ୍ପେକୁ O ବିନ୍ଦୁକ୍ଷେ କ୍ଷେଦ୍
କେନ୍ତି ।
କ୍ଷତଣୁ AO =CO ଏବଂ BO = DO
A
C
D
O
B
A B

17. A
C
D
O
B
ABC କ୍ଷେ BO ମଧ୍ୟମା ।
∴ OAB େ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
=
OBC େ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
BCD କ୍ଷେ CO ମଧ୍ୟମା
।
∴ OBC େ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
=
OCD େ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
CDA କ୍ଷେ DO ମଧ୍ୟମା ।
∴ OCD େ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ = OAD େ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ

18. ∴ OAB େ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
= OBC େ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
= OCD େ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
= OAD େ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ
A
C
D
O
B
A B
∴ OAD େ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ =
1
4
× ABCD
ସାମାନ୍ତେିକ କ୍ଷେତ୍ରେ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ

19. ଆକ୍ଷମ କ‘ଣ ଜାଣିକ୍ଷଲ
• ଏକା ଭ
ୂ ମି ଉପକ୍ଷେ ଏବଂ ତାହାେ ଏକ ପାର୍ଶ୍୍କ୍ଷେ
ଅବସ୍ଥିତ ସମାନ କ୍ଷେତ୍ରଫଳ ବିଶିଷ୍ଟ ତ୍ରିଭ
ୁ ଜ ମାନ ଏକା
ସମାନ୍ତେ ସେଳକ୍ଷେଖାଦ୍ୱୟ ମଧ୍ୟକ୍ଷେ ଅବସ୍ଥିତ ।
• କ୍ଷକୌଣସି ତ୍ରିଭ
ୁ ଜେ ମଧ୍ୟମା ତାହାକୁ ଦ୍ୁଇ
ସମକ୍ଷେତ୍ରଫଳ ବିଶିଷ୍ଟ ତ୍ରିଭ
ୁ ଜକ୍ଷେ ବିଭକ୍ତ କକ୍ଷେ |