Introducció al càlcul d'errors per poder expressar incerteses en experiments.

1. Qualitat de les mesuresQualitat de les mesures
En Ciència és inevitable cometre errades, si més no perquè
el nostre aparell de mesura no és prou bo. A diferència del
món polític, on els errors s'oculten, en Ciència s'exhibeixen i
es valoren tan exactament com sigui possible de tal manera
que les persones que facin servir les nostres mesures tenguin
present quina confiabilitat tendran.

2. Qualitat de les mesuresQualitat de les mesures
Nosaltres mai sabrem quin és el valor real d'una quantitat,
només coneixem aproximacions, potser molt bones.
Habitualment, la millor estimació del valor real d'una magnitud
que coneixem és la mitjana que s'obté mesurant repetides
vegades i dividint la suma de totes les mesures entre el
nombre d'observacions

3. Qualitat de les mesuresQualitat de les mesures
Alguns errors provenen de la falta de PRECISIÓ de l'aparell
que és una combinació entre la SENSIBILITAT (la mínima
mesura que pot fer, per exemple 1 mm) i la FIDELITAT (la
característica de repetir una mesura i donar sempre el mateix
valor)

4. Qualitat de les mesuresQualitat de les mesures
L'EXACTITUD és la característica d'un aparell que indica que
està ben calibrat i que dóna valors molt pròxims al valor real o
al valor més probable, parlant en termes més realístics

5. Qualitat de les mesuresQualitat de les mesures
Per expressar els errors feim servir:
L'ERROR ABSOLUT que és la diferència entre el valor més
probable i el valor observat
i l'ERROR RELATIU que és el quocient entre l'error absolut i
el valor més probable. És freqüent donar aquesta mesura en
forma de percentatge

6. Qualitat de les mesuresQualitat de les mesures
Si tenim una col·lecció de mesures i volem descartar algunes
d'elles que no considerem confiables hi ha criteris estadístics
que ens ajuden a decidir quines mesures hem de descartar,
com ara la desviació típica
Si una mesura difereix de la mitjana en menys de 2σn-1 la
considerarem bona i si difereix en més de3σn-1 la
considerarem dolenta

7. Qualitat de les mesuresQualitat de les mesures
Igualment, l'error quadràtic mitjà
Permet assegurar que, el vertader valor, té:
Una prob. del 68,27% d'estar entre x-σx i x+σx
Una prob. del 95,45% d'estar entre x-2σx i x+2σx
Una prob. del 99,70% d'estar entre x-3σx i x+3σx

8. Qualitat de les mesuresQualitat de les mesures
D'aquesta manera l'única manera correcta de donar una
mesura d'una magnitud és amb el valor més probable més o
manco la meitat de l'interval d'incertesa que hàgim determinat
M = 31,4 ± 0,1 g
L = 16,5 ± 0,2 cm

9. Qualitat de les mesuresQualitat de les mesures
Els intervals d'error no es donen mai amb més d'un decimal,
en casos molt excepcionals amb dos. Si se'n tenen més s'ha
d'arrodonir fent servir la regla habitual: si el primer decimal
que es deixa és 5 o més de cinc s'arrodoneix per excés i si és
inferior a 5 s'arrodoneix per defecte
0,0053 s'arrodoneix a 0,005
0,0056 s'arrodoneix a 0,006
1,53 s'arrodoneix a 2
1,35 s'arrodoneix a 1
26,44576 s'arrodoneix a 30
12234,22345 s'arrodoneix a 12000
42234,55877 s'arrodoneix a 42000

10. Qualitat de les mesuresQualitat de les mesures
No és pot donar un interval d'error que sigui més petit que la
màxima resolució de l'aparell.
Per exemple, si es fa una mesura amb un regla que permet
mesurar mil·límetres no es pot donar un valor, com ara
L = 12,3 ± 0,05 cm

11. Qualitat de les mesuresQualitat de les mesures
Per determinar el marge d'error d'unes mesures ...
1.Es fan les mesures i s'alliberen d'errors sistemàtics (amb la
desviació estàndard)
2.Es calculen x i σx
3.Es determina l'error absolut derivat de l'aparell de mesura
que és, freqüentment, la precisió (però no sempre)
4.L'error absolut és el major valor entre la precisió de l'aparell
(punt 3) i σx

12. Qualitat de les mesuresQualitat de les mesures

13. Qualitat de les mesuresQualitat de les mesures
((Propagació dels errorsPropagació dels errors))
Quan, a partir de mesures afectades per errors coneguts,
feim càlculs per determinar altres magnituds derivades és
necessari conèixer quin és el valor de l'error que afecta el
resultat.
Per exemple, a partir de les mesures d'una taula 1,2 ±0,1 m i
3,5 ± 0,2 m volem determinar la superfície de la taula.
Evidentment el valor de la superfície serà 1,2*3,5 = 4,2 m però
quina serà la incertesa en la seva mesura?
4,2 ± ? m

14. Qualitat de les mesuresQualitat de les mesures
((Propagació dels errors : SUMAPropagació dels errors : SUMA))
Quan sumam dues (o més) variables mesurades, per
determinar l'error de la suma, s'han de sumar, en valor
absolut, les incerteses de les variables
Volem sumar dues masses
m1
= 200 ± 2 g m2
= 150 ± 3 g
mmàx
= 202 + 153 = 355 g mmín
= 198 + 147 = 345 g
m = suma ± (2 + 3) = 350 ± 5 g

15. Qualitat de les mesuresQualitat de les mesures
((Propagació dels errors : RESTAPropagació dels errors : RESTA))
Quan restam dues (o més) variables mesurades, per
determinar l'error del resultat, s'han de sumar, en valor
absolut, les incerteses de les variables
Volem restar dues masses
m1
= 200 ± 2 g m2
= 150 ± 3 g
mmàx
= 202 - 147 = 55 g mmín
= 198 - 153 = 45 g
m = resta ± (2 + 3) = 50 ± 5 g

16. Qualitat de les mesuresQualitat de les mesures
((Propagació dels errors : MULTIPLICACIÓPropagació dels errors : MULTIPLICACIÓ))
Quan multiplicam dues (o més) variables mesurades, per
determinar l'error [aproximat, millor com més petits són els
errors] del resultat, s'han de sumar, en valor relatiu, les
incerteses de les variables i multiplicar-les pel resultat de
multiplicar les variables
Volem multiplicar dues longituds
l1
= 20 ± 2 cm l2
= 15 ± 1 cm
Amàx
= 22 * 16 352 cm2
Amín
= 18 * 14 = 252 cm2
A = producte ± (producte *(2/20 + 1/15)) = 300 ± 50 cm2

17. Qualitat de les mesuresQualitat de les mesures
((Propagació dels errors : MULTIPLICACIÓPropagació dels errors : MULTIPLICACIÓ))
Quan multiplicam dues (o més) variables mesurades, per
determinar l'error [aproximat, millor com més petits són els
errors] del resultat, s'han de sumar, en valor relatiu, les
incerteses de les variables i multiplicar-les pel resultat de
multiplicar les variables
Volem multiplicar dues longituds
l1
= 20,0 ± 0,2 cm l2
= 15,0 ± 0,1 cm
Amàx
=20,2 * 15,1 = 305,02 cm2
Amín
=19,8 * 14,9 = 295,02 cm2
A = producte ± (producte *(0,2/20 + 0,1/15)) = 300 ± 5 cm2

18. Qualitat de les mesuresQualitat de les mesures
((Propagació dels errors : DIVISIÓPropagació dels errors : DIVISIÓ))
Quan dividim dues variables mesurades, per determinar
l'error [aproximat, millor com més petits són els errors] del
resultat, s'han de sumar, en valor relatiu, les incerteses de les
variables i multiplicar-les pel resultat de dividir les variables
l = 20 ± 2 cm t = 2,0 ± 0,5 s
Vmàx
=22/1,5= 14,67 m/s Vmín
=18/2,5 = 7,20 m/s
V = quocient ± (quocient *(2/20 + 0,5/2)) = 10 ± 3,5 cm2

19. Qualitat de les mesuresQualitat de les mesures
((Propagació dels errors : DIVISIÓPropagació dels errors : DIVISIÓ))
Quan dividim dues variables mesurades, per determinar
l'error [aproximat, millor com més petits són els errors] del
resultat, s'han de sumar, en valor relatiu, les incerteses de les
variables i multiplicar-les pel resultat de dividir les variables
l = 20 ± 1 cm t = 2,0 ± 0,1 s
Vmàx
=21/1,9= 11,05 m/s Vmín
=19/2,1 = 9,05 m/s
V = quocient ± (quocient *(1/20 + 0,1/2)) = 10 ± 1 cm2