Introducció al càlcul d'errors per alumnat de Batxillerat

1. Qualitat ddee lleess mmeessuurreess
En Ciència és inevitable cometre errades, si més no perquè
el nostre aparell de mesura no és prou bo. A diferència del
món polític, on els errors s'oculten, en Ciència s'exhibeixen i
es valoren tan exactament com sigui possible de tal manera
que les persones que facin servir les nostres mesures tenguin
present quina confiabilitat tendran.

2. Qualitat ddee lleess mmeessuurreess
Nosaltres mai sabrem quin és el valor real d'una quantitat,
només coneixem aproximacions, potser molt bones.
Habitualment, la millor estimació del valor real d'una magnitud
que coneixem és la mitjana que s'obté mesurant repetides
vegades i dividint la suma de totes les mesures entre el
nombre d'observacions

3. Qualitat ddee lleess mmeessuurreess
Alguns errors provenen de la falta de PRECISIÓ de l'aparell
que és una combinació entre la SENSIBILITAT (la mínima
mesura que pot fer, per exemple 1 mm) i la FIDELITAT (la
característica de repetir una mesura i donar sempre el mateix
valor)

4. Qualitat ddee lleess mmeessuurreess
L'EXACTITUD és la característica d'un aparell que indica que
està ben calibrat i que dóna valors molt pròxims al valor real o
al valor més probable, parlant en termes més realístics

5. Qualitat ddee lleess mmeessuurreess
Per expressar els errors feim servir:
L'ERROR ABSOLUT que és la diferència entre el valor més
probable i el valor observat
i l'ERROR RELATIU que és el quocient entre l'error absolut i
el valor més probable. És freqüent donar aquesta mesura en
forma de percentatge

6. Qualitat ddee lleess mmeessuurreess
Si tenim una col·lecció de mesures i volem descartar algunes
d'elles que no considerem confiables hi ha criteris estadístics
que ens ajuden a decidir quines mesures hem de descartar,
com ara la ddeessvviiaacciióó ttííppiiccaa
Si una mesura difereix de la mitjana en menys de 2σn-1 la
considerarem bona i si difereix en més de3σn-1 la
considerarem dolenta

7. Qualitat ddee lleess mmeessuurreess
Igualment, l'eerrrroorr qquuaaddrrààttiicc mmiittjjàà
Permet assegurar que, el vertader valor, té:
Una prob. del 68,27% d'estar entre x-σx i x+σx
Una prob. del 95,45% d'estar entre x-2σx i x+2σx
Una prob. del 99,70% d'estar entre x-3σx i x+3σx

8. Qualitat ddee lleess mmeessuurreess
D'aquesta manera l'única manera correcta de donar una
mesura d'una magnitud és amb el valor més probable més o
manco la meitat de l'interval d'incertesa que hàgim determinat
M = 31,4 ± 0,1 g
L = 16,5 ± 0,2 cm
Qualsevulla mesura ha d'anar acompanyada per una
estimació raonable de l'error comès
L = 125,12 ± 3 cm és una estimació ridícula. No té cap sentit
una errada que invalida els dos decimals de la mesura
L = 2041,7 ± 20 m s'hauria d'expressar L = 2040 ± 30m

9. Qualitat ddee lleess mmeessuurreess
Els intervals d'error no es donen mai amb més d'un decimal,
en casos molt excepcionals amb dos. Si se'n tenen més s'ha
d'arrodonir fent servir la regla habitual: si el primer decimal
que es deixa és 5 o més de cinc s'arrodoneix per excés i si és
inferior a 5 s'arrodoneix per defecte
0,0053 s'arrodoneix a 0,005
0,0056 s'arrodoneix a 0,006
1,53 s'arrodoneix a 2
1,35 s'arrodoneix a 1
26,44576 s'arrodoneix a 30
12234,22345 s'arrodoneix a 12000
42234,55877 s'arrodoneix a 42000

10. Qualitat ddee lleess mmeessuurreess
No és pot donar un interval d'error que sigui més petit que la
màxima resolució de l'aparell.
Per exemple, si es fa una mesura amb un regla que permet
mesurar mil·límetres no es pot donar un valor, com ara
L = 12,3 ± 0,05 cm

11. Qualitat ddee lleess mmeessuurreess
Per determinar el marge d'error d'unes mesures ...
1.Es fan les mesures i s'alliberen d'errors sistemàtics (amb la
desviació estàndard)
2.Es calculen x i σx
3.Es determina l'error absolut derivat de l'aparell de mesura
que és, freqüentment, la precisió (però no sempre)
4.L'error absolut és el major valor entre la precisió de l'aparell
(punt 3) i σx

12. Qualitat ddee lleess mmeessuurreess
3

13. Qualitat ddee lleess mmeessuurreess
((PPrrooppaaggaacciióó ddeellss eerrrroorrss))
Quan, a partir de mesures afectades per errors coneguts,
feim càlculs per determinar altres magnituds derivades és
necessari conèixer quin és el valor de l'error que afecta el
resultat.
Per exemple, a partir de les mesures d'una taula 1,2 ±0,1 m i
3,5 ± 0,2 m volem determinar la superfície de la taula.
Evidentment el valor de la superfície serà 1,2*3,5 = 4,2 m2
però quina serà la incertesa en la seva mesura?
4,2 ± ? m2

14. Qualitat ddee lleess mmeessuurreess
((PPrrooppaaggaacciióó ddeellss eerrrroorrss :: SSUUMMAA))
Quan sumam dues (o més) variables mesurades, per
determinar l'error de la suma, s'han de sumar, en valor
absolut, les incerteses de les variables
Volem sumar dues masses
m1 = 200 ± 2 g m2 = 150 ± 3 g
mmàx = 202 + 153 = 355 g mmín = 198 + 147 = 345 g
m = Suma ± (2 + 3) = 350 ± 5 g

15. Qualitat ddee lleess mmeessuurreess
((PPrrooppaaggaacciióó ddeellss eerrrroorrss :: RREESSTTAA))
Quan restam dues (o més) variables mesurades, per
determinar l'error del resultat, s'han de sumar, en valor
absolut, les incerteses de les variables
Volem restar dues masses
m1 = 200 ± 2 g m2 = 150 ± 3 g
mmàx = 202 - 147 = 55 g mmín = 198 - 153 = 45 g
m = Resta ± (2 + 3) = 50 ± 5 g

16. Qualitat ddee lleess mmeessuurreess
((PPrrooppaaggaacciióó ddeellss eerrrroorrss :: MMUULLTTIIPPLLIICCAACCIIÓÓ II
LLeess iinnddiiccaacciioonnss qquuee vvéénneeDDnnI I aaVV ccIIooSSnnIIÓtÓtii)n)nuuaacciióó ssóónn,, nnoommééss,,
aapprrooxxiimmaaddeess
La manera rigorosa de calcular l'error propagat per una
mesura indirecta exigeix diferenciar l'equació que dóna el
valor de la variable mesurada indirectament respecte de
cadascuna de les variables mesurades directament i equiparar
els diferencials als errors absoluts.

17. Qualitat ddee lleess mmeessuurreess
((PPrrooppaaggaacciióó ddeellss eerrrroorrss :: MMUULLTTIIPPLLIICCAACCIIÓÓ))
Quan multiplicam dues (o més) variables mesurades, per
determinar l'error [aproximat, millor com més petits són els
errors] del resultat, s'han de sumar, en valor relatiu, les
incerteses de les variables i multiplicar-les pel resultat de
multiplicar les variables
Volem multiplicar dues longituds
l1 = 20 ± 2 cm l2 = 15 ± 1 cm
Amàx = 22 * 16 352 cm2 Amín = 18 * 14 = 252 cm2
A = producte ± (producte *(2/20 + 1/15)) = 300 ± 50 cm2

18. Qualitat ddee lleess mmeessuurreess
((PPrrooppaaggaacciióó ddeellss eerrrroorrss :: MMUULLTTIIPPLLIICCAACCIIÓÓ))
Quan multiplicam dues (o més) variables mesurades, per
determinar l'error [aproximat, millor com més petits són els
errors] del resultat, s'han de sumar, en valor relatiu, les
incerteses de les variables i multiplicar-les pel resultat de
multiplicar les variables
Volem multiplicar dues longituds
l1 = 20,0 ± 0,2 cm l2 = 15,0 ± 0,1 cm
Amàx=20,2 * 15,1 = 305,02 cm2 Amín=19,8 * 14,9 = 295,02 cm2
A = producte ± (producte *(0,2/20 + 0,1/15)) = 300 ± 5 cm2

19. Qualitat ddee lleess mmeessuurreess
((PPrrooppaaggaacciióó ddeellss eerrrroorrss :: DDIIVVIISSIIÓÓ))
Quan dividim dues variables mesurades, per determinar
l'error [aproximat, millor com més petits són els errors] del
resultat, s'han de sumar, en valor relatiu, les incerteses de les
variables i multiplicar-les pel resultat de dividir les variables
l = 20 ± 2 cm t = 2,0 ± 0,5 s
Vmàx=22/1,5= 14,67 m/s Vmín=18/2,5 = 7,20 m/s
V = quocient ± (quocient *(2/20 + 0,5/2)) = 10 ± 4 cm2

20. Qualitat ddee lleess mmeessuurreess
((PPrrooppaaggaacciióó ddeellss eerrrroorrss :: DDIIVVIISSIIÓÓ))
Quan dividim dues variables mesurades, per determinar
l'error [aproximat, millor com més petits són els errors] del
resultat, s'han de sumar, en valor relatiu, les incerteses de les
variables i multiplicar-les pel resultat de dividir les variables
l = 20 ± 1 cm t = 2,0 ± 0,1 s
Vmàx=21/1,9= 11,05 m/s Vmín=19/2,1 = 9,05 m/s
V = quocient ± (quocient *(1/20 + 0,1/2)) = 10 ± 1 cm2