1. Dao ham
Vi phan
Chương 7: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM SỐỐ
MỘT BIẾN SỐ
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng
Ngày 17 tháng 11 năm 2010
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Chương 7: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM SỐỐ MỘT BIẾN SỐ

2. Dao ham
Vi phan
Nội dung chính
Đạo hàm của hàm số
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Chương 7: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM SỐỐ MỘT BIẾN SỐ

3. Dao ham
Vi phan
Nội dung chính
Đạo hàm của hàm số
Vi phân của hàm số
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Chương 7: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM SỐỐ MỘT BIẾN SỐ

4. Dao ham
Vi phan
Nội dung chính
Đạo hàm của hàm số
Vi phân của hàm số
Các định lý về hàm khả vi
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Chương 7: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM SỐỐ MỘT BIẾN SỐ

5. Dao ham
Vi phan
Nội dung chính
Đạo hàm của hàm số
Vi phân của hàm số
Các định lý về hàm khả vi
Công thức Taylor, Maclaurint
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Chương 7: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM SỐỐ MỘT BIẾN SỐ

6. Dinh nghia
Dao ham
Cac phep toan dao ham
Vi phan
Dao ham cap cao
Định nghĩa đạo hàm
Định nghĩa
Hàm số f(x) xác định trong lân cận của điểm x0 .
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Chương 7: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM SỐỐ MỘT BIẾN SỐ

7. Dinh nghia
Dao ham
Cac phep toan dao ham
Vi phan
Dao ham cap cao
Định nghĩa đạo hàm
Định nghĩa
Hàm số f(x) xác định trong lân cận của điểm x0 .
f (x0 + ∆x) − f (x0 )
f (x0 ) = lim
∆x→0 ∆x
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Chương 7: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM SỐỐ MỘT BIẾN SỐ

8. Dinh nghia
Dao ham
Cac phep toan dao ham
Vi phan
Dao ham cap cao
Định nghĩa đạo hàm
Định nghĩa
Hàm số f(x) xác định trong lân cận của điểm x0 .
f (x0 + ∆x) − f (x0 )
f (x0 ) = lim
∆x→0 ∆x
f (x0 ) được gọi là đạo hàm của hàm f (x) tại điểm x0 .
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Chương 7: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM SỐỐ MỘT BIẾN SỐ

9. Dinh nghia
Dao ham
Cac phep toan dao ham
Vi phan
Dao ham cap cao
Định nghĩa đạo hàm
Định nghĩa
Hàm số f(x) xác định trong lân cận của điểm x0 .
f (x0 + ∆x) − f (x0 )
f (x0 ) = lim
∆x→0 ∆x
f (x0 ) được gọi là đạo hàm của hàm f (x) tại điểm x0 .
Ví dụ: Tìm đạo hàm của hàm số y = cosx tại điểm x0 .
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Chương 7: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM SỐỐ MỘT BIẾN SỐ

10. Dinh nghia
Dao ham
Cac phep toan dao ham
Vi phan
Dao ham cap cao
Định nghĩa đạo hàm
Định nghĩa
Hàm số f(x) xác định trong lân cận của điểm x0 .
f (x0 + ∆x) − f (x0 )
f (x0 ) = lim
∆x→0 ∆x
f (x0 ) được gọi là đạo hàm của hàm f (x) tại điểm x0 .
Ví dụ: Tìm đạo hàm của hàm số y = cosx tại điểm x0 .
f (x0 + ∆x) − f (x0 ) cos(x0 + ∆x) − cos x0
f (x0 ) = lim = lim
∆x→0 ∆x ∆x→0 ∆x
∆x
sin x0 + 2 · sin ∆x
2
= − lim = − sin(x0 )
∆x→0 ∆x
2
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Chương 7: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM SỐỐ MỘT BIẾN SỐ

11. Dinh nghia
Dao ham
Cac phep toan dao ham
Vi phan
Dao ham cap cao
Định nghĩa đạo hàm một phía
Định nghĩa đạo hàm phải
Hàm số f(x) xác định trong lân cận của điểm x0 .
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Chương 7: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM SỐỐ MỘT BIẾN SỐ

12. Dinh nghia
Dao ham
Cac phep toan dao ham
Vi phan
Dao ham cap cao
Định nghĩa đạo hàm một phía
Định nghĩa đạo hàm phải
Hàm số f(x) xác định trong lân cận của điểm x0 .
f (x0 + ∆x) − f (x0 )
f+ (x0 ) = lim +
∆x→0 ∆x
f+ (x0 ) được gọi là đạo hàm phải của hàm f (x) tại điểm x0 .
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Chương 7: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM SỐỐ MỘT BIẾN SỐ

13. Dinh nghia
Dao ham
Cac phep toan dao ham
Vi phan
Dao ham cap cao
Định nghĩa đạo hàm một phía
Định nghĩa đạo hàm phải
Hàm số f(x) xác định trong lân cận của điểm x0 .
f (x0 + ∆x) − f (x0 )
f+ (x0 ) = lim +
∆x→0 ∆x
f+ (x0 ) được gọi là đạo hàm phải của hàm f (x) tại điểm x0 .
Định nghĩa đạo hàm phải
Hàm số f(x) xác định trong lân cận của điểm x0 .
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Chương 7: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM SỐỐ MỘT BIẾN SỐ

14. Dinh nghia
Dao ham
Cac phep toan dao ham
Vi phan
Dao ham cap cao
Định nghĩa đạo hàm một phía
Định nghĩa đạo hàm phải
Hàm số f(x) xác định trong lân cận của điểm x0 .
f (x0 + ∆x) − f (x0 )
f+ (x0 ) = lim +
∆x→0 ∆x
f+ (x0 ) được gọi là đạo hàm phải của hàm f (x) tại điểm x0 .
Định nghĩa đạo hàm phải
Hàm số f(x) xác định trong lân cận của điểm x0 .
f (x0 + ∆x) − f (x0 )
f− (x0 ) = lim
∆x→0− ∆x
f− (x0 ) được gọi là đạo hàm phải của hàm f (x) tại điểm x0 .
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Chương 7: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM SỐỐ MỘT BIẾN SỐ

15. Dinh nghia
Dao ham
Cac phep toan dao ham
Vi phan
Dao ham cap cao
Định nghĩa đạo hàm một phía
Định nghĩa đạo hàm phải
Hàm số f(x) xác định trong lân cận của điểm x0 .
f (x0 + ∆x) − f (x0 )
f+ (x0 ) = lim +
∆x→0 ∆x
f+ (x0 ) được gọi là đạo hàm phải của hàm f (x) tại điểm x0 .
Định nghĩa đạo hàm phải
Hàm số f(x) xác định trong lân cận của điểm x0 .
f (x0 + ∆x) − f (x0 )
f− (x0 ) = lim
∆x→0− ∆x
f− (x0 ) được gọi là đạo hàm phải của hàm f (x) tại điểm x0 .
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Chương 7: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM SỐỐ MỘT BIẾN SỐ

16. Dinh nghia
Dao ham
Cac phep toan dao ham
Vi phan
Dao ham cap cao
Định lý
Hàm số y = f (x) có đạo hàm tại điểm x0 khi và chỉ khi nó có đạo
hàm trái và đạo hàm phải tại điểm x0 và hai đạo hàm này bằng
nhau.
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Chương 7: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM SỐỐ MỘT BIẾN SỐ

17. Dinh nghia
Dao ham
Cac phep toan dao ham
Vi phan
Dao ham cap cao
Định lý
Hàm số y = f (x) có đạo hàm tại điểm x0 khi và chỉ khi nó có đạo
hàm trái và đạo hàm phải tại điểm x0 và hai đạo hàm này bằng
nhau.
Định nghĩa đạo hàm vô cùng
f (x0 + ∆x) − f (x0 )
Nếu lim = ∞ thì ta nói f (x) có đạo hàm vô
∆x→0 ∆x
cùng tại điểm x0 .
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Chương 7: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM SỐỐ MỘT BIẾN SỐ

18. Dinh nghia
Dao ham
Cac phep toan dao ham
Vi phan
Dao ham cap cao
Ví dụ
Ví dụ
1


Tìm f+ (0); f− (0) biết f (x) = ex ,x = 0
0, x = 0

Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Chương 7: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM SỐỐ MỘT BIẾN SỐ

19. Dinh nghia
Dao ham
Cac phep toan dao ham
Vi phan
Dao ham cap cao
Ví dụ
Ví dụ
1


Tìm f+ (0); f− (0) biết f (x) = ex ,x = 0
0, x = 0

f (0 + ∆x) − f (0)
f+ (0) = lim +
∆x→0 ∆x
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Chương 7: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM SỐỐ MỘT BIẾN SỐ

20. Dinh nghia
Dao ham
Cac phep toan dao ham
Vi phan
Dao ham cap cao
Ví dụ
Ví dụ
1


Tìm f+ (0); f− (0) biết f (x) = ex ,x = 0
0, x = 0

f (0 + ∆x) − f (0) e 1/∆x − 0
f+ (0) = lim + = lim + = +∞
∆x→0 ∆x ∆x→0 ∆x
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Chương 7: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM SỐỐ MỘT BIẾN SỐ

21. Dinh nghia
Dao ham
Cac phep toan dao ham
Vi phan
Dao ham cap cao
Ví dụ
Ví dụ
1


Tìm f+ (0); f− (0) biết f (x) = ex ,x = 0
0, x = 0

f (0 + ∆x) − f (0) e 1/∆x − 0
f+ (0) = lim + = lim + = +∞
∆x→0 ∆x ∆x→0 ∆x
f (0 + ∆x) − f (0)
f− (0) = lim
∆x→0 − ∆x
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Chương 7: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM SỐỐ MỘT BIẾN SỐ

22. Dinh nghia
Dao ham
Cac phep toan dao ham
Vi phan
Dao ham cap cao
Ví dụ
Ví dụ
1


Tìm f+ (0); f− (0) biết f (x) = ex ,x = 0
0, x = 0

f (0 + ∆x) − f (0) e 1/∆x − 0
f+ (0) = lim + = lim + = +∞
∆x→0 ∆x ∆x→0 ∆x
f (0 + ∆x) − f (0) e 1/∆x − 0
f− (0) = lim = lim =0
∆x→0− ∆x ∆x→0− ∆x
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Chương 7: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM SỐỐ MỘT BIẾN SỐ

23. Dinh nghia
Dao ham
Cac phep toan dao ham
Vi phan
Dao ham cap cao
Ví dụ
Ví dụ
1


Tìm f+ (0); f− (0) biết f (x) = ex ,x = 0
0, x = 0

f (0 + ∆x) − f (0) e 1/∆x − 0
f+ (0) = lim + = lim + = +∞
∆x→0 ∆x ∆x→0 ∆x
f (0 + ∆x) − f (0) e 1/∆x − 0
f− (0) = lim = lim =0
∆x→0− ∆x ∆x→0− ∆x
Đạo hàm trái và đạo hàm phải không bằng nhau nên không tồn tại
đạo hàm tại điểm x = 0
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Chương 7: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM SỐỐ MỘT BIẾN SỐ

24. Dinh nghia
Dao ham
Cac phep toan dao ham
Vi phan
Dao ham cap cao
Ví dụ
Ví dụ
Tìm f (x) biết f (x) = x 2 − 3|x| + 2
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Chương 7: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM SỐỐ MỘT BIẾN SỐ

25. Dinh nghia
Dao ham
Cac phep toan dao ham
Vi phan
Dao ham cap cao
Ví dụ
Ví dụ
Tìm f (x) biết f (x) = x 2 − 3|x| + 2
x 2 − 3x + 2, x ≥ 0
f (x) =
x 2 + 3x + 2, x < 0
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Chương 7: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM SỐỐ MỘT BIẾN SỐ

26. Dinh nghia
Dao ham
Cac phep toan dao ham
Vi phan
Dao ham cap cao
Ví dụ
Ví dụ
Tìm f (x) biết f (x) = x 2 − 3|x| + 2
x 2 − 3x + 2, x ≥ 0 2x − 3, x > 0
f (x) = ⇒ f (x) =
x 2 + 3x + 2, x < 0 2x + 3, x < 0
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Chương 7: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM SỐỐ MỘT BIẾN SỐ

27. Dinh nghia
Dao ham
Cac phep toan dao ham
Vi phan
Dao ham cap cao
Ví dụ
Ví dụ
Tìm f (x) biết f (x) = x 2 − 3|x| + 2
x 2 − 3x + 2, x ≥ 0 2x − 3, x > 0
f (x) = ⇒ f (x) =
x 2 + 3x + 2, x < 0 2x + 3, x < 0
Tại điểm x = 0: f+ (0) = −3; f− (0) = 3.
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Chương 7: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM SỐỐ MỘT BIẾN SỐ

28. Dinh nghia
Dao ham
Cac phep toan dao ham
Vi phan
Dao ham cap cao
Ví dụ
Ví dụ
Tìm f (x) biết f (x) = x 2 − 3|x| + 2
x 2 − 3x + 2, x ≥ 0 2x − 3, x > 0
f (x) = ⇒ f (x) =
x 2 + 3x + 2, x < 0 2x + 3, x < 0
Tại điểm x = 0: f+ (0) = −3; f− (0) = 3.
Đạo hàm trái và đạo hàm phải không bằng nhau suy ra không tồn
tại đạo hàm tại điểm x = 0.
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Chương 7: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM SỐỐ MỘT BIẾN SỐ

29. Dinh nghia
Dao ham
Cac phep toan dao ham
Vi phan
Dao ham cap cao
Bảng đạo hàm cơ bản
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Chương 7: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM SỐỐ MỘT BIẾN SỐ

30. Dinh nghia
Dao ham
Cac phep toan dao ham
Vi phan
Dao ham cap cao
Bảng đạo hàm cơ bản
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Chương 7: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM SỐỐ MỘT BIẾN SỐ

31. Dinh nghia
Dao ham
Cac phep toan dao ham
Vi phan
Dao ham cap cao
Các phép toán đạo hàm
Đạo hàm của tổng hiệu, tích thương:
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Chương 7: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM SỐỐ MỘT BIẾN SỐ

32. Dinh nghia
Dao ham
Cac phep toan dao ham
Vi phan
Dao ham cap cao
Các phép toán đạo hàm
Đạo hàm của tổng hiệu, tích thương:
1 (αu) = αu
2 (u ± v ) = u ± v
3 (u.v ) = u.v + u .v
u u v −v u
4 =
v v2
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Chương 7: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM SỐỐ MỘT BIẾN SỐ

33. Dinh nghia
Dao ham
Cac phep toan dao ham
Vi phan
Dao ham cap cao
Các phép toán đạo hàm
Đạo hàm của tổng hiệu, tích thương:
1 (αu) = αu
2 (u ± v ) = u ± v
3 (u.v ) = u.v + u .v
u u v −v u
4 =
v v2
Đạo hàm của hàm hợp:
f = f (u), u = u(x) ⇒ f (x) = f (u) · u (x)
Đạo hàm của hàm ngược:
1
x (y ) =
y (x)
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Chương 7: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM SỐỐ MỘT BIẾN SỐ

34. Dinh nghia
Dao ham
Cac phep toan dao ham
Vi phan
Dao ham cap cao
Các phép toán đạo hàm
Đạo hàm của hàm cho bởi phương trình tham số
x = x(t)
Hàm y = y (x) được cho bởi phương trình tham số:
y = y (t)
Giả sử hàm x = x(t) có hàm ngược t = t(x). Khi đó hàm
y = y (t)=y (t(x)) là hàm của y theo biến x.
dy y (t)dt y (t) y (t)
y (x) = = = ⇒ y (x) = Đạo hàm của
dx x (t)dt x (t) x (t)
hàm ẩn
Hàm y = y (x) với x ∈ (a, b) cho ẩn bởi phương trình F (x, y ) = 0
Để tìm đạo hàm hàm ẩn, ta đạo hàm hai vế, coi x là biến, y là
hàm theo x
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Chương 7: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM SỐỐ MỘT BIẾN SỐ

35. Dinh nghia
Dao ham
Cac phep toan dao ham
Vi phan
Dao ham cap cao
Các ví dụ
Ví dụ 1: Tìm đạo hàm của hàm ngược hàm f (x) = x + x 3
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Chương 7: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM SỐỐ MỘT BIẾN SỐ

36. Dinh nghia
Dao ham
Cac phep toan dao ham
Vi phan
Dao ham cap cao
Các ví dụ
Ví dụ 1: Tìm đạo hàm của hàm ngược hàm f (x) = x + x 3
f (x) là hàm 1 − 1 trên R, đạo hàm f (x) = 1 + 3x 2 = 0, ∀x. Do đó
dx 1 1
= =
dy y (x) 1 + 3x 2
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Chương 7: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM SỐỐ MỘT BIẾN SỐ

37. Dinh nghia
Dao ham
Cac phep toan dao ham
Vi phan
Dao ham cap cao
Các ví dụ
Ví dụ 1: Tìm đạo hàm của hàm ngược hàm f (x) = x + x 3
f (x) là hàm 1 − 1 trên R, đạo hàm f (x) = 1 + 3x 2 = 0, ∀x. Do đó
dx 1 1
= =
dy y (x) 1 + 3x 2
Ví dụ 2: Tìm đạo hàm của hàm cho bởi phương trình tham số:
x = a · cos3 t, y = b · sin3 t, t ∈ (0, π/2).
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Chương 7: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM SỐỐ MỘT BIẾN SỐ

38. Dinh nghia
Dao ham
Cac phep toan dao ham
Vi phan
Dao ham cap cao
Các ví dụ
Ví dụ 1: Tìm đạo hàm của hàm ngược hàm f (x) = x + x 3
f (x) là hàm 1 − 1 trên R, đạo hàm f (x) = 1 + 3x 2 = 0, ∀x. Do đó
dx 1 1
= =
dy y (x) 1 + 3x 2
Ví dụ 2: Tìm đạo hàm của hàm cho bởi phương trình tham số:
x = a · cos3 t, y = b · sin3 t, t ∈ (0, π/2).
x (t) = −3acos2 t sin t = 0, ∀t ∈ (0, π/2)
y (t) = 3bsin2 t cos t
y (t) 3bsin2 t cos t b
y (x) = = = − tan t
x (t) −3acos2 t sin t a
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Chương 7: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM SỐỐ MỘT BIẾN SỐ

39. Dinh nghia
Dao ham
Cac phep toan dao ham
Vi phan
Dao ham cap cao
Các ví dụ
Ví dụ 3: Tìm y (x) biết y = y (x) là hàm ẩn xác định bởi phương
trình e 2x+y = x 3 + cos y
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Chương 7: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM SỐỐ MỘT BIẾN SỐ

40. Dinh nghia
Dao ham
Cac phep toan dao ham
Vi phan
Dao ham cap cao
Các ví dụ
Ví dụ 3: Tìm y (x) biết y = y (x) là hàm ẩn xác định bởi phương
trình e 2x+y = x 3 + cos y
e 2x+y (2 + y (x)) = 3x 2 − y (x) · sin y
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Chương 7: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM SỐỐ MỘT BIẾN SỐ

41. Dinh nghia
Dao ham
Cac phep toan dao ham
Vi phan
Dao ham cap cao
Các ví dụ
Ví dụ 3: Tìm y (x) biết y = y (x) là hàm ẩn xác định bởi phương
trình e 2x+y = x 3 + cos y
3x 2 − 2e 2x+y
e 2x+y (2 + y (x)) = 3x 2 − y (x) · sin y ⇒ y (x) = 2x+y
e + sin y
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Chương 7: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM SỐỐ MỘT BIẾN SỐ

42. Dinh nghia
Dao ham
Cac phep toan dao ham
Vi phan
Dao ham cap cao
Định nghĩa
Đạo hàm của hàm y = f (x) là một hàm số
Có thể lấy một lần nữa của đạo hàm cấp một ta được khái niệm
đạo hàm cấp 2
f (x) = f (x)
Tiếp tục quá trình trên ta có đạo hàm cấp n
f (n) (x) = f (n−1) (x)
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Chương 7: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM SỐỐ MỘT BIẾN SỐ

43. Dinh nghia
Dao ham
Cac phep toan dao ham
Vi phan
Dao ham cap cao
Công thức leibnitz
Giả sử y = f .g
Dùng quy nạp ta chứng minh được công thức:
n
(f · g )(n) = k
Cn f (k) · g (n−k)
k=0
⇔ (f · g )(n) = Cn f (0) · g (n) + Cn f (1) · g (n−1) + · · · + Cn f (n) · g (0)
0 1 n
Trong đó quy ước f (0) = f ; g (0) = g .
Phương pháp tính đạo hàm cấp cao
1 Sử dụng đạo hàm cấp cao của một số hàm số đã biết
2 Phân tích thành tổng các hàm đơn giản
3 Sử dụng công thức leibnitz
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Chương 7: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM SỐỐ MỘT BIẾN SỐ

44. Dinh nghia
Dao ham
Cac phep toan dao ham
Vi phan
Dao ham cap cao
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Chương 7: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM SỐỐ MỘT BIẾN SỐ

45. Dinh nghia
Dao ham
Cac phep toan dao ham
Vi phan
Dao ham cap cao
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Chương 7: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM SỐỐ MỘT BIẾN SỐ

46. Dinh nghia
Dao ham
Cac phep toan dao ham
Vi phan
Dao ham cap cao
Ví dụ
Ví dụ
1
Tính y (n) (x) biết y =
x2 −4
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Chương 7: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM SỐỐ MỘT BIẾN SỐ

47. Dinh nghia
Dao ham
Cac phep toan dao ham
Vi phan
Dao ham cap cao
Ví dụ
Ví dụ
1
Tính y (n) (x) biết y =
x2 −4
Giải:
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Chương 7: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM SỐỐ MỘT BIẾN SỐ

48. Dinh nghia
Dao ham
Cac phep toan dao ham
Vi phan
Dao ham cap cao
Ví dụ
Ví dụ
1
Tính y (n) (x) biết y =
x2 −4
Giải:
1 1 1 1
y= = −
(x − 2)(x + 2) 4 x −2 x +2
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Chương 7: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM SỐỐ MỘT BIẾN SỐ

49. Dinh nghia
Dao ham
Cac phep toan dao ham
Vi phan
Dao ham cap cao
Ví dụ
Ví dụ
1
Tính y (n) (x) biết y =
x2 −4
Giải:
1 1 1 1
y= = −
(x − 2)(x + 2) 4 x −2 x +2
(n)
1 1
Sử dụng công thức = (−1)n n!
x +a (x + a)n+1
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Chương 7: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM SỐỐ MỘT BIẾN SỐ

50. Dinh nghia
Dao ham
Cac phep toan dao ham
Vi phan
Dao ham cap cao
Ví dụ
Ví dụ
1
Tính y (n) (x) biết y =
x2 −4
Giải:
1 1 1 1
y= = −
(x − 2)(x + 2) 4 x −2 x +2
(n)
1 1
Sử dụng công thức = (−1)n n!
x +a (x + a)n+1
n
(−1) n! 1 1
Ta được y (n) = · n+1
−
4 (x − 2) (x + 2)n+1
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Chương 7: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM SỐỐ MỘT BIẾN SỐ

51. Dinh nghia
Dao ham
Cac phep toan dao ham
Vi phan
Dao ham cap cao
Ví dụ
Ví dụ
1
Tính y (100) (0) biết y =
x2 + 4
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Chương 7: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM SỐỐ MỘT BIẾN SỐ

52. Dinh nghia
Dao ham
Cac phep toan dao ham
Vi phan
Dao ham cap cao
Ví dụ
Ví dụ
1
Tính y (100) (0) biết y =
x2 + 4
Giải:
1 1 1 1
y= = −
(x − 2i)(x + 2i) 4i x − 2i x + 2i
(n)
1 1
Sử dụng công thức = (−1)n n!
x +a (x + a)n+1
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Chương 7: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM SỐỐ MỘT BIẾN SỐ

53. Dinh nghia
Dao ham
Cac phep toan dao ham
Vi phan
Dao ham cap cao
Ví dụ
Ví dụ
1
Tính y (100) (0) biết y =
x2 + 4
Giải:
1 1 1 1
y= = −
(x − 2i)(x + 2i) 4i x − 2i x + 2i
(n)
1 1
Sử dụng công thức = (−1)n n!
x +a (x + a)n+1
Ta được:
(−1)n n! 1 1
y (n) = · n+1
−
4i (x − 2i) (x + 2i)n+1
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Chương 7: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM SỐỐ MỘT BIẾN SỐ

54. Dinh nghia
Dao ham
Cac phep toan dao ham
Vi phan
Dao ham cap cao
Ví dụ
Ví dụ
1
Tính y (100) (0) biết y =
x2 + 4
Giải:
1 1 1 1
y= = −
(x − 2i)(x + 2i) 4i x − 2i x + 2i
(n)
1 1
Sử dụng công thức = (−1)n n!
x +a (x + a)n+1
Ta được:
(−1)n n! 1 1
y (n) = · n+1
−
4i (x − 2i) (x + 2i)n+1
(−1)100 100! 1 1 100!
⇒ y (100) = 4i · (−2i)101
− (2i)101
= 4·2100
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Chương 7: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM SỐỐ MỘT BIẾN SỐ

55. Dinh nghia
Dao ham
Cac phep toan dao ham
Vi phan
Dao ham cap cao
Ví dụ
Ví dụ
Tính y (100) (x) biết
y = sin2 x
y = (3x 2 + 1) ln x
y = (2x + 3) · cos 2x
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Chương 7: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM SỐỐ MỘT BIẾN SỐ

56. Dinh nghia
Dao ham
Cac phep toan vi phan
Vi phan
Ung dung
Định nghĩa
Định nghĩa khả vi
Hàm số f (x) được gọi là khả vi tại điểm x0 nếu
f (x0 + ∆x) − f (x0 ) = A · ∆x + o(∆x)
Khi đó, A · ∆x được gọi là vi phân của hàm f (x) tại điểm x0 , ký
hiệu df (x0 ) = A · ∆x
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Chương 7: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM SỐỐ MỘT BIẾN SỐ

57. Dinh nghia
Dao ham
Cac phep toan vi phan
Vi phan
Ung dung
Định nghĩa
Định nghĩa khả vi
Hàm số f (x) được gọi là khả vi tại điểm x0 nếu
f (x0 + ∆x) − f (x0 ) = A · ∆x + o(∆x)
Khi đó, A · ∆x được gọi là vi phân của hàm f (x) tại điểm x0 , ký
hiệu df (x0 ) = A · ∆x
Định lý
Hàm số y = f (x) khả vi tại x0 khi và chỉ khi tồn tại f (x0 ).
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Chương 7: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM SỐỐ MỘT BIẾN SỐ

58. Dinh nghia
Dao ham
Cac phep toan vi phan
Vi phan
Ung dung
Chứng minh
Nếu f (x) khả vi tại x0 , khi đó:
f (x0 + ∆x) − f (x0 ) = A · ∆x + o(∆x)
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Chương 7: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM SỐỐ MỘT BIẾN SỐ

59. Dinh nghia
Dao ham
Cac phep toan vi phan
Vi phan
Ung dung
Chứng minh
Nếu f (x) khả vi tại x0 , khi đó:
f (x0 + ∆x) − f (x0 ) = A · ∆x + o(∆x)
f (x0 + ∆x) − f (x0 ) o(∆x)
⇒ =A+
∆x ∆x
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Chương 7: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM SỐỐ MỘT BIẾN SỐ

60. Dinh nghia
Dao ham
Cac phep toan vi phan
Vi phan
Ung dung
Chứng minh
Nếu f (x) khả vi tại x0 , khi đó:
f (x0 + ∆x) − f (x0 ) = A · ∆x + o(∆x)
f (x0 + ∆x) − f (x0 ) o(∆x)
⇒ =A+
∆x ∆x
f (x0 + ∆x) − f (x0 ) o(∆x)
⇒ ∃f (x0 ) = lim = lim A + =A
∆x→0 ∆x ∆x→0 ∆x
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Chương 7: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM SỐỐ MỘT BIẾN SỐ

61. Dinh nghia
Dao ham
Cac phep toan vi phan
Vi phan
Ung dung
Chứng minh
Nếu f (x) khả vi tại x0 , khi đó:
f (x0 + ∆x) − f (x0 ) = A · ∆x + o(∆x)
f (x0 + ∆x) − f (x0 ) o(∆x)
⇒ =A+
∆x ∆x
f (x0 + ∆x) − f (x0 ) o(∆x)
⇒ ∃f (x0 ) = lim = lim A + =A
∆x→0 ∆x ∆x→0 ∆x
Ngược lại, nếu tồn tại
f (x0 + ∆x) − f (x0 )
f (x0 ) = lim
∆x→0 ∆x
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Chương 7: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM SỐỐ MỘT BIẾN SỐ

62. Dinh nghia
Dao ham
Cac phep toan vi phan
Vi phan
Ung dung
Chứng minh
Nếu f (x) khả vi tại x0 , khi đó:
f (x0 + ∆x) − f (x0 ) = A · ∆x + o(∆x)
f (x0 + ∆x) − f (x0 ) o(∆x)
⇒ =A+
∆x ∆x
f (x0 + ∆x) − f (x0 ) o(∆x)
⇒ ∃f (x0 ) = lim = lim A + =A
∆x→0 ∆x ∆x→0 ∆x
Ngược lại, nếu tồn tại
f (x0 + ∆x) − f (x0 )
f (x0 ) = lim
∆x→0 ∆x
f (x0 +∆x)−f (x0 )
⇒ ∆x − f (x0 ) → 0.
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Chương 7: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM SỐỐ MỘT BIẾN SỐ

63. Dinh nghia
Dao ham
Cac phep toan vi phan
Vi phan
Ung dung
Chứng minh
Nếu f (x) khả vi tại x0 , khi đó:
f (x0 + ∆x) − f (x0 ) = A · ∆x + o(∆x)
f (x0 + ∆x) − f (x0 ) o(∆x)
⇒ =A+
∆x ∆x
f (x0 + ∆x) − f (x0 ) o(∆x)
⇒ ∃f (x0 ) = lim = lim A + =A
∆x→0 ∆x ∆x→0 ∆x
Ngược lại, nếu tồn tại
f (x0 + ∆x) − f (x0 )
f (x0 ) = lim
∆x→0 ∆x
f (x0 +∆x)−f (x0 )
⇒ ∆x − f (x0 ) → 0. Suy ra f (x) khả vi tại x0
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Chương 7: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM SỐỐ MỘT BIẾN SỐ

64. Dinh nghia
Dao ham
Cac phep toan vi phan
Vi phan
Ung dung
Tính chất của vi phân
Vi phân của hàm f (x) tại điểm x0 : df (x0 ) = f (x0 )dx
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Chương 7: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM SỐỐ MỘT BIẾN SỐ

65. Dinh nghia
Dao ham
Cac phep toan vi phan
Vi phan
Ung dung
Tính chất của vi phân
Vi phân của hàm f (x) tại điểm x0 : df (x0 ) = f (x0 )dx
Tính chất
1 d α = 0, α ∈ R
2 d (αf ) = α · df , α ∈ R
3 d (f + g ) = df + dg
4 d (f · g ) = gdf + fdg
f gdf −fdg
5 d g = g2
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Chương 7: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM SỐỐ MỘT BIẾN SỐ

66. Dinh nghia
Dao ham
Cac phep toan vi phan
Vi phan
Ung dung
Tính chất của vi phân
Vi phân của hàm f (x) tại điểm x0 : df (x0 ) = f (x0 )dx
Tính chất
1 d α = 0, α ∈ R
2 d (αf ) = α · df , α ∈ R
3 d (f + g ) = df + dg
4 d (f · g ) = gdf + fdg
f gdf −fdg
5 d g = g2
Các tính chất này suy ra trực tiếp từ tính chất của đạo hàm.
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Chương 7: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM SỐỐ MỘT BIẾN SỐ

67. Dinh nghia
Dao ham
Cac phep toan vi phan
Vi phan
Ung dung
Vi phân của hàm hợp
y = y (u)
⇒ y = y (u(x))
u = u(x)
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Chương 7: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM SỐỐ MỘT BIẾN SỐ

68. Dinh nghia
Dao ham
Cac phep toan vi phan
Vi phan
Ung dung
Vi phân của hàm hợp
y = y (u)
⇒ y = y (u(x))
u = u(x)
dy = y (x)dx = y (u) · u (x)dx = y (u)du
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Chương 7: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM SỐỐ MỘT BIẾN SỐ

69. Dinh nghia
Dao ham
Cac phep toan vi phan
Vi phan
Ung dung
Vi phân của hàm hợp
y = y (u)
⇒ y = y (u(x))
u = u(x)
dy = y (x)dx = y (u) · u (x)dx = y (u)du
dy = y (x)dx; dy = y (u)du
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Chương 7: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM SỐỐ MỘT BIẾN SỐ

70. Dinh nghia
Dao ham
Cac phep toan vi phan
Vi phan
Ung dung
Vi phân của hàm hợp
y = y (u)
⇒ y = y (u(x))
u = u(x)
dy = y (x)dx = y (u) · u (x)dx = y (u)du
dy = y (x)dx; dy = y (u)du
Hai công thức này có dạng giống nhau, không phụ thuộc biến độc
lập x hay biến hàm u.
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Chương 7: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM SỐỐ MỘT BIẾN SỐ

71. Dinh nghia
Dao ham
Cac phep toan vi phan
Vi phan
Ung dung
Vi phân của hàm hợp
y = y (u)
⇒ y = y (u(x))
u = u(x)
dy = y (x)dx = y (u) · u (x)dx = y (u)du
dy = y (x)dx; dy = y (u)du
Hai công thức này có dạng giống nhau, không phụ thuộc biến độc
lập x hay biến hàm u.
Vi phân cấp 1 có tính bất biến.
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Chương 7: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM SỐỐ MỘT BIẾN SỐ

72. Dinh nghia
Dao ham
Cac phep toan vi phan
Vi phan
Ung dung
Vi phân của hàm hợp
y = y (u)
⇒ y = y (u(x))
u = u(x)
dy = y (x)dx = y (u) · u (x)dx = y (u)du
dy = y (x)dx; dy = y (u)du
Hai công thức này có dạng giống nhau, không phụ thuộc biến độc
lập x hay biến hàm u.
Vi phân cấp 1 có tính bất biến.
Vi phân của hàm cho bởi ptts
x = x(t) y (t)
⇒ dy = y (x)dx = dx
y = y (t) x (t)
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Chương 7: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM SỐỐ MỘT BIẾN SỐ

73. Dinh nghia
Dao ham
Cac phep toan vi phan
Vi phan
Ung dung
Ứng dụng vi phân tính gần đúng
y = y (x) là hàm khả vi trong lân cận của x0 .
f (x0 + ∆x) − f (x0 ) = f (x0 )∆x + o(∆x)
⇒ f (x) − f (x0 ) ≈ f (x0 ) (x − x0 )
∆f ≈ df
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Chương 7: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM SỐỐ MỘT BIẾN SỐ

74. Dinh nghia
Dao ham
Cac phep toan vi phan
Vi phan
Ung dung
Ứng dụng vi phân tính gần đúng
y = y (x) là hàm khả vi trong lân cận của x0 .
f (x0 + ∆x) − f (x0 ) = f (x0 )∆x + o(∆x)
⇒ f (x) − f (x0 ) ≈ f (x0 ) (x − x0 )
∆f ≈ df
Công thức tính gần đúng nhờ vi phân cấp 1:
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Chương 7: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM SỐỐ MỘT BIẾN SỐ

75. Dinh nghia
Dao ham
Cac phep toan vi phan
Vi phan
Ung dung
Ứng dụng vi phân tính gần đúng
y = y (x) là hàm khả vi trong lân cận của x0 .
f (x0 + ∆x) − f (x0 ) = f (x0 )∆x + o(∆x)
⇒ f (x) − f (x0 ) ≈ f (x0 ) (x − x0 )
∆f ≈ df
Công thức tính gần đúng nhờ vi phân cấp 1:
f (x) ≈ f (x0 ) + f (x0 ) (x − x0 )
Thay vì tính giá trị ∆f phức tạp, ta tính df đơn giản hơn.
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Chương 7: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM SỐỐ MỘT BIẾN SỐ

76. Dinh nghia
Dao ham
Cac phep toan vi phan
Vi phan
Ung dung
Ví dụ
Ví dụ 1
Cho f (x) = x 3 + x 2 − 2x + 1
a. Tính ∆f và df nếu x thay đổi từ 2 đến 2.01
b. Tính ∆f và df nếu x thay đổi từ 2 đến 2.05
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Chương 7: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM SỐỐ MỘT BIẾN SỐ

77. Dinh nghia
Dao ham
Cac phep toan vi phan
Vi phan
Ung dung
Ví dụ
Ví dụ 1
Cho f (x) = x 3 + x 2 − 2x + 1
a. Tính ∆f và df nếu x thay đổi từ 2 đến 2.01
b. Tính ∆f và df nếu x thay đổi từ 2 đến 2.05
Giải
a. f (2) = 23 + 22 − 2.2 + 1 = 9
f (2.01) = (2.01)3 + (2.01)2 − 2. (2.01) + 1 = 9.140701
∆f = f (x0 + ∆x) − f (x0 ) = f (2.01) − f (2) = 0.140701
df = f (x0 ) (x − x0 ) = 3.22 + 2.2 − 2 × 0.01 = 0.14
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Chương 7: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM SỐỐ MỘT BIẾN SỐ

78. Dinh nghia
Dao ham
Cac phep toan vi phan
Vi phan
Ung dung
Ví dụ
Ví dụ 1
Cho f (x) = x 3 + x 2 − 2x + 1
a. Tính ∆f và df nếu x thay đổi từ 2 đến 2.01
b. Tính ∆f và df nếu x thay đổi từ 2 đến 2.05
Giải
a. f (2) = 23 + 22 − 2.2 + 1 = 9
f (2.01) = (2.01)3 + (2.01)2 − 2. (2.01) + 1 = 9.140701
∆f = f (x0 + ∆x) − f (x0 ) = f (2.01) − f (2) = 0.140701
df = f (x0 ) (x − x0 ) = 3.22 + 2.2 − 2 × 0.01 = 0.14
b. Tương tự, ∆f = 0.717625, df = 0.7
Khi x thay đổi nhỏ ∆f và df càng gần nhau.
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Chương 7: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM SỐỐ MỘT BIẾN SỐ

79. Dinh nghia
Dao ham
Cac phep toan vi phan
Vi phan
Ung dung
Ví dụ
Ví dụ 2
√
4
Tính gần đúng 17
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Chương 7: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM SỐỐ MỘT BIẾN SỐ

80. Dinh nghia
Dao ham
Cac phep toan vi phan
Vi phan
Ung dung
Ví dụ
Ví dụ 2
√
4
Tính gần đúng 17
√
Giải Ta xét hàm số f (x) = 4 x. Áp dụng công thức tính gần đúng
ta có:
√ 1
4
x0 + ∆x ∼ 4 x0 + 4
= ∆x
4 x0 3
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Chương 7: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM SỐỐ MỘT BIẾN SỐ

81. Dinh nghia
Dao ham
Cac phep toan vi phan
Vi phan
Ung dung
Ví dụ
Ví dụ 2
√
4
Tính gần đúng 17
√
Giải Ta xét hàm số f (x) = 4 x. Áp dụng công thức tính gần đúng
ta có:
√ 1
4
x0 + ∆x ∼ 4 x0 + 4
= ∆x
4 x0 3
Chọn x0 = 16, ∆x = 1 ta có:
√ √ 1 1
4 ∼
17 = 4 16 + √ .1 = 2 + = 2.031
4
4 163 4.23
Đàm Thanh Phương, Ngô Mạnh Tưởng Chương 7: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM SỐỐ MỘT BIẾN SỐ