2024 State of Marketing Report – by HubspotMarius Sescu
https://www.hubspot.com/state-of-marketing
· Scaling relationships and proving ROI
· Social media is the place for search, sales, and service
· Authentic influencer partnerships fuel brand growth
· The strongest connections happen via call, click, chat, and camera.
· Time saved with AI leads to more creative work
· Seeking: A single source of truth
· TLDR; Get on social, try AI, and align your systems.
· More human marketing, powered by robots
ChatGPT is a revolutionary addition to the world since its introduction in 2022. A big shift in the sector of information gathering and processing happened because of this chatbot. What is the story of ChatGPT? How is the bot responding to prompts and generating contents? Swipe through these slides prepared by Expeed Software, a web development company regarding the development and technical intricacies of ChatGPT!
Product Design Trends in 2024 | Teenage EngineeringsPixeldarts
The realm of product design is a constantly changing environment where technology and style intersect. Every year introduces fresh challenges and exciting trends that mold the future of this captivating art form. In this piece, we delve into the significant trends set to influence the look and functionality of product design in the year 2024.
How Race, Age and Gender Shape Attitudes Towards Mental HealthThinkNow
Mental health has been in the news quite a bit lately. Dozens of U.S. states are currently suing Meta for contributing to the youth mental health crisis by inserting addictive features into their products, while the U.S. Surgeon General is touring the nation to bring awareness to the growing epidemic of loneliness and isolation. The country has endured periods of low national morale, such as in the 1970s when high inflation and the energy crisis worsened public sentiment following the Vietnam War. The current mood, however, feels different. Gallup recently reported that national mental health is at an all-time low, with few bright spots to lift spirits.
To better understand how Americans are feeling and their attitudes towards mental health in general, ThinkNow conducted a nationally representative quantitative survey of 1,500 respondents and found some interesting differences among ethnic, age and gender groups.
Technology
For example, 52% agree that technology and social media have a negative impact on mental health, but when broken out by race, 61% of Whites felt technology had a negative effect, and only 48% of Hispanics thought it did.
While technology has helped us keep in touch with friends and family in faraway places, it appears to have degraded our ability to connect in person. Staying connected online is a double-edged sword since the same news feed that brings us pictures of the grandkids and fluffy kittens also feeds us news about the wars in Israel and Ukraine, the dysfunction in Washington, the latest mass shooting and the climate crisis.
Hispanics may have a built-in defense against the isolation technology breeds, owing to their large, multigenerational households, strong social support systems, and tendency to use social media to stay connected with relatives abroad.
Age and Gender
When asked how individuals rate their mental health, men rate it higher than women by 11 percentage points, and Baby Boomers rank it highest at 83%, saying it’s good or excellent vs. 57% of Gen Z saying the same.
Gen Z spends the most amount of time on social media, so the notion that social media negatively affects mental health appears to be correlated. Unfortunately, Gen Z is also the generation that’s least comfortable discussing mental health concerns with healthcare professionals. Only 40% of them state they’re comfortable discussing their issues with a professional compared to 60% of Millennials and 65% of Boomers.
Race Affects Attitudes
As seen in previous research conducted by ThinkNow, Asian Americans lag other groups when it comes to awareness of mental health issues. Twenty-four percent of Asian Americans believe that having a mental health issue is a sign of weakness compared to the 16% average for all groups. Asians are also considerably less likely to be aware of mental health services in their communities (42% vs. 55%) and most likely to seek out information on social media (51% vs. 35%).
AI Trends in Creative Operations 2024 by Artwork Flow.pdfmarketingartwork
This article is all about what AI trends will emerge in the field of creative operations in 2024. All the marketers and brand builders should be aware of these trends for their further use and save themselves some time!
A report by thenetworkone and Kurio.
The contributing experts and agencies are (in an alphabetical order): Sylwia Rytel, Social Media Supervisor, 180heartbeats + JUNG v MATT (PL), Sharlene Jenner, Vice President - Director of Engagement Strategy, Abelson Taylor (USA), Alex Casanovas, Digital Director, Atrevia (ES), Dora Beilin, Senior Social Strategist, Barrett Hoffher (USA), Min Seo, Campaign Director, Brand New Agency (KR), Deshé M. Gully, Associate Strategist, Day One Agency (USA), Francesca Trevisan, Strategist, Different (IT), Trevor Crossman, CX and Digital Transformation Director; Olivia Hussey, Strategic Planner; Simi Srinarula, Social Media Manager, The Hallway (AUS), James Hebbert, Managing Director, Hylink (CN / UK), Mundy Álvarez, Planning Director; Pedro Rojas, Social Media Manager; Pancho González, CCO, Inbrax (CH), Oana Oprea, Head of Digital Planning, Jam Session Agency (RO), Amy Bottrill, Social Account Director, Launch (UK), Gaby Arriaga, Founder, Leonardo1452 (MX), Shantesh S Row, Creative Director, Liwa (UAE), Rajesh Mehta, Chief Strategy Officer; Dhruv Gaur, Digital Planning Lead; Leonie Mergulhao, Account Supervisor - Social Media & PR, Medulla (IN), Aurelija Plioplytė, Head of Digital & Social, Not Perfect (LI), Daiana Khaidargaliyeva, Account Manager, Osaka Labs (UK / USA), Stefanie Söhnchen, Vice President Digital, PIABO Communications (DE), Elisabeth Winiartati, Managing Consultant, Head of Global Integrated Communications; Lydia Aprina, Account Manager, Integrated Marketing and Communications; Nita Prabowo, Account Manager, Integrated Marketing and Communications; Okhi, Web Developer, PNTR Group (ID), Kei Obusan, Insights Director; Daffi Ranandi, Insights Manager, Radarr (SG), Gautam Reghunath, Co-founder & CEO, Talented (IN), Donagh Humphreys, Head of Social and Digital Innovation, THINKHOUSE (IRE), Sarah Yim, Strategy Director, Zulu Alpha Kilo (CA).
Trends In Paid Search: Navigating The Digital Landscape In 2024Search Engine Journal
The search marketing landscape is evolving rapidly with new technologies, and professionals, like you, rely on innovative paid search strategies to meet changing demands.
It’s important that you’re ready to implement new strategies in 2024.
Check this out and learn the top trends in paid search advertising that are expected to gain traction, so you can drive higher ROI more efficiently in 2024.
You’ll learn:
- The latest trends in AI and automation, and what this means for an evolving paid search ecosystem.
- New developments in privacy and data regulation.
- Emerging ad formats that are expected to make an impact next year.
Watch Sreekant Lanka from iQuanti and Irina Klein from OneMain Financial as they dive into the future of paid search and explore the trends, strategies, and technologies that will shape the search marketing landscape.
If you’re looking to assess your paid search strategy and design an industry-aligned plan for 2024, then this webinar is for you.
5 Public speaking tips from TED - Visualized summarySpeakerHub
From their humble beginnings in 1984, TED has grown into the world’s most powerful amplifier for speakers and thought-leaders to share their ideas. They have over 2,400 filmed talks (not including the 30,000+ TEDx videos) freely available online, and have hosted over 17,500 events around the world.
With over one billion views in a year, it’s no wonder that so many speakers are looking to TED for ideas on how to share their message more effectively.
The article “5 Public-Speaking Tips TED Gives Its Speakers”, by Carmine Gallo for Forbes, gives speakers five practical ways to connect with their audience, and effectively share their ideas on stage.
Whether you are gearing up to get on a TED stage yourself, or just want to master the skills that so many of their speakers possess, these tips and quotes from Chris Anderson, the TED Talks Curator, will encourage you to make the most impactful impression on your audience.
See the full article and more summaries like this on SpeakerHub here: https://speakerhub.com/blog/5-presentation-tips-ted-gives-its-speakers
See the original article on Forbes here:
http://www.forbes.com/forbes/welcome/?toURL=http://www.forbes.com/sites/carminegallo/2016/05/06/5-public-speaking-tips-ted-gives-its-speakers/&refURL=&referrer=#5c07a8221d9b
ChatGPT and the Future of Work - Clark Boyd Clark Boyd
Everyone is in agreement that ChatGPT (and other generative AI tools) will shape the future of work. Yet there is little consensus on exactly how, when, and to what extent this technology will change our world.
Businesses that extract maximum value from ChatGPT will use it as a collaborative tool for everything from brainstorming to technical maintenance.
For individuals, now is the time to pinpoint the skills the future professional will need to thrive in the AI age.
Check out this presentation to understand what ChatGPT is, how it will shape the future of work, and how you can prepare to take advantage.
A brief introduction to DataScience with explaining of the concepts, algorithms, machine learning, supervised and unsupervised learning, clustering, statistics, data preprocessing, real-world applications etc.
It's part of a Data Science Corner Campaign where I will be discussing the fundamentals of DataScience, AIML, Statistics etc.
Time Management & Productivity - Best PracticesVit Horky
Here's my presentation on by proven best practices how to manage your work time effectively and how to improve your productivity. It includes practical tips and how to use tools such as Slack, Google Apps, Hubspot, Google Calendar, Gmail and others.
The six step guide to practical project managementMindGenius
The six step guide to practical project management
If you think managing projects is too difficult, think again.
We’ve stripped back project management processes to the
basics – to make it quicker and easier, without sacrificing
the vital ingredients for success.
“If you’re looking for some real-world guidance, then The Six Step Guide to Practical Project Management will help.”
Dr Andrew Makar, Tactical Project Management
2024 State of Marketing Report – by HubspotMarius Sescu
https://www.hubspot.com/state-of-marketing
· Scaling relationships and proving ROI
· Social media is the place for search, sales, and service
· Authentic influencer partnerships fuel brand growth
· The strongest connections happen via call, click, chat, and camera.
· Time saved with AI leads to more creative work
· Seeking: A single source of truth
· TLDR; Get on social, try AI, and align your systems.
· More human marketing, powered by robots
ChatGPT is a revolutionary addition to the world since its introduction in 2022. A big shift in the sector of information gathering and processing happened because of this chatbot. What is the story of ChatGPT? How is the bot responding to prompts and generating contents? Swipe through these slides prepared by Expeed Software, a web development company regarding the development and technical intricacies of ChatGPT!
Product Design Trends in 2024 | Teenage EngineeringsPixeldarts
The realm of product design is a constantly changing environment where technology and style intersect. Every year introduces fresh challenges and exciting trends that mold the future of this captivating art form. In this piece, we delve into the significant trends set to influence the look and functionality of product design in the year 2024.
How Race, Age and Gender Shape Attitudes Towards Mental HealthThinkNow
Mental health has been in the news quite a bit lately. Dozens of U.S. states are currently suing Meta for contributing to the youth mental health crisis by inserting addictive features into their products, while the U.S. Surgeon General is touring the nation to bring awareness to the growing epidemic of loneliness and isolation. The country has endured periods of low national morale, such as in the 1970s when high inflation and the energy crisis worsened public sentiment following the Vietnam War. The current mood, however, feels different. Gallup recently reported that national mental health is at an all-time low, with few bright spots to lift spirits.
To better understand how Americans are feeling and their attitudes towards mental health in general, ThinkNow conducted a nationally representative quantitative survey of 1,500 respondents and found some interesting differences among ethnic, age and gender groups.
Technology
For example, 52% agree that technology and social media have a negative impact on mental health, but when broken out by race, 61% of Whites felt technology had a negative effect, and only 48% of Hispanics thought it did.
While technology has helped us keep in touch with friends and family in faraway places, it appears to have degraded our ability to connect in person. Staying connected online is a double-edged sword since the same news feed that brings us pictures of the grandkids and fluffy kittens also feeds us news about the wars in Israel and Ukraine, the dysfunction in Washington, the latest mass shooting and the climate crisis.
Hispanics may have a built-in defense against the isolation technology breeds, owing to their large, multigenerational households, strong social support systems, and tendency to use social media to stay connected with relatives abroad.
Age and Gender
When asked how individuals rate their mental health, men rate it higher than women by 11 percentage points, and Baby Boomers rank it highest at 83%, saying it’s good or excellent vs. 57% of Gen Z saying the same.
Gen Z spends the most amount of time on social media, so the notion that social media negatively affects mental health appears to be correlated. Unfortunately, Gen Z is also the generation that’s least comfortable discussing mental health concerns with healthcare professionals. Only 40% of them state they’re comfortable discussing their issues with a professional compared to 60% of Millennials and 65% of Boomers.
Race Affects Attitudes
As seen in previous research conducted by ThinkNow, Asian Americans lag other groups when it comes to awareness of mental health issues. Twenty-four percent of Asian Americans believe that having a mental health issue is a sign of weakness compared to the 16% average for all groups. Asians are also considerably less likely to be aware of mental health services in their communities (42% vs. 55%) and most likely to seek out information on social media (51% vs. 35%).
AI Trends in Creative Operations 2024 by Artwork Flow.pdfmarketingartwork
This article is all about what AI trends will emerge in the field of creative operations in 2024. All the marketers and brand builders should be aware of these trends for their further use and save themselves some time!
A report by thenetworkone and Kurio.
The contributing experts and agencies are (in an alphabetical order): Sylwia Rytel, Social Media Supervisor, 180heartbeats + JUNG v MATT (PL), Sharlene Jenner, Vice President - Director of Engagement Strategy, Abelson Taylor (USA), Alex Casanovas, Digital Director, Atrevia (ES), Dora Beilin, Senior Social Strategist, Barrett Hoffher (USA), Min Seo, Campaign Director, Brand New Agency (KR), Deshé M. Gully, Associate Strategist, Day One Agency (USA), Francesca Trevisan, Strategist, Different (IT), Trevor Crossman, CX and Digital Transformation Director; Olivia Hussey, Strategic Planner; Simi Srinarula, Social Media Manager, The Hallway (AUS), James Hebbert, Managing Director, Hylink (CN / UK), Mundy Álvarez, Planning Director; Pedro Rojas, Social Media Manager; Pancho González, CCO, Inbrax (CH), Oana Oprea, Head of Digital Planning, Jam Session Agency (RO), Amy Bottrill, Social Account Director, Launch (UK), Gaby Arriaga, Founder, Leonardo1452 (MX), Shantesh S Row, Creative Director, Liwa (UAE), Rajesh Mehta, Chief Strategy Officer; Dhruv Gaur, Digital Planning Lead; Leonie Mergulhao, Account Supervisor - Social Media & PR, Medulla (IN), Aurelija Plioplytė, Head of Digital & Social, Not Perfect (LI), Daiana Khaidargaliyeva, Account Manager, Osaka Labs (UK / USA), Stefanie Söhnchen, Vice President Digital, PIABO Communications (DE), Elisabeth Winiartati, Managing Consultant, Head of Global Integrated Communications; Lydia Aprina, Account Manager, Integrated Marketing and Communications; Nita Prabowo, Account Manager, Integrated Marketing and Communications; Okhi, Web Developer, PNTR Group (ID), Kei Obusan, Insights Director; Daffi Ranandi, Insights Manager, Radarr (SG), Gautam Reghunath, Co-founder & CEO, Talented (IN), Donagh Humphreys, Head of Social and Digital Innovation, THINKHOUSE (IRE), Sarah Yim, Strategy Director, Zulu Alpha Kilo (CA).
Trends In Paid Search: Navigating The Digital Landscape In 2024Search Engine Journal
The search marketing landscape is evolving rapidly with new technologies, and professionals, like you, rely on innovative paid search strategies to meet changing demands.
It’s important that you’re ready to implement new strategies in 2024.
Check this out and learn the top trends in paid search advertising that are expected to gain traction, so you can drive higher ROI more efficiently in 2024.
You’ll learn:
- The latest trends in AI and automation, and what this means for an evolving paid search ecosystem.
- New developments in privacy and data regulation.
- Emerging ad formats that are expected to make an impact next year.
Watch Sreekant Lanka from iQuanti and Irina Klein from OneMain Financial as they dive into the future of paid search and explore the trends, strategies, and technologies that will shape the search marketing landscape.
If you’re looking to assess your paid search strategy and design an industry-aligned plan for 2024, then this webinar is for you.
5 Public speaking tips from TED - Visualized summarySpeakerHub
From their humble beginnings in 1984, TED has grown into the world’s most powerful amplifier for speakers and thought-leaders to share their ideas. They have over 2,400 filmed talks (not including the 30,000+ TEDx videos) freely available online, and have hosted over 17,500 events around the world.
With over one billion views in a year, it’s no wonder that so many speakers are looking to TED for ideas on how to share their message more effectively.
The article “5 Public-Speaking Tips TED Gives Its Speakers”, by Carmine Gallo for Forbes, gives speakers five practical ways to connect with their audience, and effectively share their ideas on stage.
Whether you are gearing up to get on a TED stage yourself, or just want to master the skills that so many of their speakers possess, these tips and quotes from Chris Anderson, the TED Talks Curator, will encourage you to make the most impactful impression on your audience.
See the full article and more summaries like this on SpeakerHub here: https://speakerhub.com/blog/5-presentation-tips-ted-gives-its-speakers
See the original article on Forbes here:
http://www.forbes.com/forbes/welcome/?toURL=http://www.forbes.com/sites/carminegallo/2016/05/06/5-public-speaking-tips-ted-gives-its-speakers/&refURL=&referrer=#5c07a8221d9b
ChatGPT and the Future of Work - Clark Boyd Clark Boyd
Everyone is in agreement that ChatGPT (and other generative AI tools) will shape the future of work. Yet there is little consensus on exactly how, when, and to what extent this technology will change our world.
Businesses that extract maximum value from ChatGPT will use it as a collaborative tool for everything from brainstorming to technical maintenance.
For individuals, now is the time to pinpoint the skills the future professional will need to thrive in the AI age.
Check out this presentation to understand what ChatGPT is, how it will shape the future of work, and how you can prepare to take advantage.
A brief introduction to DataScience with explaining of the concepts, algorithms, machine learning, supervised and unsupervised learning, clustering, statistics, data preprocessing, real-world applications etc.
It's part of a Data Science Corner Campaign where I will be discussing the fundamentals of DataScience, AIML, Statistics etc.
Time Management & Productivity - Best PracticesVit Horky
Here's my presentation on by proven best practices how to manage your work time effectively and how to improve your productivity. It includes practical tips and how to use tools such as Slack, Google Apps, Hubspot, Google Calendar, Gmail and others.
The six step guide to practical project managementMindGenius
The six step guide to practical project management
If you think managing projects is too difficult, think again.
We’ve stripped back project management processes to the
basics – to make it quicker and easier, without sacrificing
the vital ingredients for success.
“If you’re looking for some real-world guidance, then The Six Step Guide to Practical Project Management will help.”
Dr Andrew Makar, Tactical Project Management
4. เสนตรง 1
บทที่ 1
เสนตรง (Straight Line)
โปรเจกชัน (Projections)
นิยาม 1.1 ให P เปนจุด และ L เปนเสนตรงบนระนาบ โปรเจกชันของจุด P บนเสนตรง L
ซึ่งเขียนสัญลักษณแทนวา P’ คือจุดตัดของเสนตรง L กับเสนตรงทีลากจากจุด P ไป
่
ตั้งฉากกับเสนตรง L
P
L
P'
รูปที่ 1.1
ถาจุด P อยูบนเสนตรง L โปรเจกชันของจุด P บนเสนตรง L คือจุด P’
ตัวอยาง 1.1
(2,3)
(-3,-1)
รูปที่ 1.2
โปรเจกชันของจุด (2,3) บนแกน x คือ (2,0)
โปรเจกชันของจุด (2,3) บนแกน y คือ (0,3)
โปรเจกชันของจุด (-3,-1) บนแกน x คือ (-3,0)
แคลคูลัส 1 รศ.ธีรวัฒน นาคะบุตร
5. 2 เสนตรง
โปรเจกชันของจุด (-3,-1) บนแกน y คือ (0,-1)
โปรเจกชันของจุด (x,y) บนแกน x คือ (x,0)
โปรเจกชันของจุด (x,y) บนแกน y คือ (0,y)
นิยาม 1.2 ให P1P2 เปนสวนของเสนตรง และ L เปนเสนตรงบนระนาบ โปรเจกชันของสวน
ของเสนตรง P1P2 บนเสนตรง L คือสวนของเสนตรง P’1P’2 โดยที่ P’1 และ P’2
เปนโปรเจกชันของ P1 และ P2 บนเสนตรงตามลําดับ
P2
P1 L
P'2
P'1
รูปที่ 1.3
ระยะระหวางจุดสองจุด
ให P1 และ P2 เปนจุดบนเสนจํานวนจริง ที่มีพิกัดเปน x1 และ x2 ตามลําดับ
ระยะระหวางจุด P1 และ P2 ซึ่งเขียนแทนดวยสัญลักษณวา |P1P2| จะเทากับคาสัมบูรณของ
x1 – x2 นั่นคือ |P1P2| = |x1 –x2|
ให P1(x1,y1) และ P2(x2,y2) เปนจุดบนระนาบ เราจะพิจารณาระยะระหวาง P1
และ P2 ดังนี้
y
y P 1 (x1 ,y 1 )
P' 1
o
P 1 (x1 ,y 1 ) P 2 (x2 ,y 2 ) x
P' 2
P 2 (x2 ,y 2 )
o
P'1 P'2 x
รูปที่ 1.4 รูปที่ 1.5
แคลคูลัส 1 รศ.ธีรวัฒน นาคะบุตร
6. เสนตรง 3
1. ถา P1P2 ขนานกับแกน x แลว y1 = y2 โปรเจกชันของ P1 และ P2 บน
แกน x คือ P’1(x1,0) และ P’2(x2,0) ตามลําดับ จากรูปที่ 1.4 จะเห็นวา P1P2 และ
P’1P’2 เปนดานตรงขามของสี่เหลี่ยมมุมฉาก เพราะฉะนัน |P1P2| = |P’1P’2| = |x1 – x2|
้
2. ในทํานองเดียวกัน ถา P1P2 ขนานกับแกน y แลว x1 = x2 โปรเจกชันของ
P1 และ P2 บนแกน y คือ P’1(0,y1) และ P’2(0,y2) ตามลําดับ จากรูปที่ 1.5 จะเห็นวา
|P1P2| = |P’1P’2| = |y1 – y2|
3. ถา P1P2 ไมขนานกับแกน x และไมขนานกับแกน y
y
P 1 (x1 ,y 1 ) Q(x2 ,y 1 )
o
x
P 2 (x2 ,y 2 )
รูปที่ 1.6
ลากเสน P1Q และ P2Q ใหขนานกับแกน x และแกน y ตามลําดับ ตัดกันที่จุด Q
ดังนั้น Q จะมีพิกดเปน (x2,y1) และ P1QP2 เปนสามเหลี่ยมที่มีมม P1QP2 เปนมุมฉาก
ั ุ
จากทฤษฎีบทพิธากอรัส (Pythagorean Theorem) จะไดวา | P1 P2 | = | P1 Q |2 + | P2 Q |2
= | x1 − x 2 |2 + | y1 − y 2 |2
= (x1 − x 2 ) 2 + ( y1 − y 2 ) 2
ขอสังเกต ในกรณีที่ P1P2 ขนานกับแกน x หรือแกน y สูตรขางบนนี้ก็เปนจริง
ทั้งนี้เพราะวา a 2 = |a|
ทฤษฎีบท 1.1 ถา P1(x1,y1) และ P2(x2,y2) เปนจุดบนระนาบ ระยะระหวางจุด P1 และ
P2 คือ
|P1P2| = (x1 − x 2 ) 2 + ( y1 − y 2 ) 2
แคลคูลัส 1 รศ.ธีรวัฒน นาคะบุตร
9. 6 เสนตรง
การแบงสวนของเสนตรง
นิยาม 1.3 ให P เปนจุดแบงสวนของเสนตรง AB ถา P อยูภายในสวนของเสนตรง AB
เราจะเรียก P วาจุดแบงภายใน AB ถา P อยูภายนอกสวนของเสนตรง AB เราจะเรียก
P วา จุดแบงภายนอก AB
นิยาม 1.4 ให A และ B เปนจุดบนเสนจํานวนจริงที่มีพิกัดเปน x1 และ x2 ตามลําดับ
ระยะทางที่มีทิศทาง (directed distance) จาก A ไปยัง B ซึ่งเขียนแทนดวย AB
มีคาเทากับ x2 – x1
นั่นคือ AB = x2 – x1 และ BA = x1 – x2 = -( x2 – x1) = - AB
ในทํานองเดียวกัน ถา A และ B เปนจุดบนระนาบ และถา AB เปนระยะทางที่มี
ทิศทางเปนบวกจาก A ไปยัง B แลว BA จะเปนระยะทางที่มีทศทางเปนลบ
ิ
นั่นคือ AB = - BA
ถา P เปนจุดแบงภายใน AB จะไดวา AP/PB > 0
ถา P เปนจุดแบงภายนอก AB จะไดวา AP/PB < 0
ให A(x1,y1) และ B(x2,y2) เปนจุดบนระนาบ และให P(x,y) เปนจุดแบงสวนของเสนตรง
AB ออกเปนสัดสวนดังนี้
AP/PB = r ( r เรียกวาอัตราสวนของการแบง)
r > 0 เมื่อ P เปนจุดแบงภายใน (รูปที่ 1.7)
r < 0 เมื่อ P เปนจุดแบงภายนอก (รูปที่ 1.8)
B T P
y y
P B
T
A S C A C
0 x 0 x
รูปที่ 1.7 รูปที่ 1.8
แคลคูลัส 1 รศ.ธีรวัฒน นาคะบุตร
10. เสนตรง 7
ลากเสน AC และ BC ขนานกับแกน x และแกน y ตามลําดับตัดกันที่จด C
ุ
ลาก PS และ PT ไปตั้งฉากกับ AC และ BC (หรือสวนตอ)ที่ S และ T ตามลําดับ
ในสามเหลี่ยมคลาย ASP และ PTB จะไดวา
r = AP
= AS
PB PT
เพราะวา AS = x – x1 และ PT = x2 – x เพราะฉะนั้น
r = x −−xx หรือ x = x11+ rx 2
x 1
+r
2
ในทํานองเดียวกันจากสามเหลียมคลาย ASP และ PTB จะไดวา
่
r= AP
= SP
PB TB
เพราะวา SP = y – y1 และ TB = y2 – y เพราะฉะนัน
้
r = y −−yy หรือ y = y11+ ry 2
y 1
+r
2
x 1 + rx 2
นั่นคือ ( 1+ r
, y11+ ry 2 ) เปนจุดที่แบง AB ออกเปนอัตราสวน r
+r
ถา P เปนจุดกึ่งกลางของ AB แลว r = 1
เพราะฉะนั้น ( x1 + x 2 , y1 + y 2 ) จะเปนจุดกึ่งกลางของ AB
2 2
ตัวอยาง 1.5 จงหาพิกัดของจุด P ที่แบง สวนของเสนตรงจากจุด A(-1,-3)
ไปยังจุด B(2,6) ออกเปน ก. อัตราสวน AP
= -5
2
ข. สองสวนเทา ๆ กัน
PB
5
(−1) + (− )2
x 1 + rx 2
ก. x= 1+ r
= 5
2 =4
1 + (− )
2
5
(−3) + (− )6
y1 + ry 2
y= 1+ r
= 5
2 = 12
1 + (− )
2
พิกัดของจุด P คือ (4,12)
ข. ถา P เปนจุดกึ่งกลางของ AB
x = x1 + x 2 = −12+ 2 = 1
2 2
y1 + y 2 −3 + 6
y= 2
= 2
= 3
2
เพราะฉะนั้น จุดกึ่งกลางของ AB คือ ( 1 , 3 )
2 2
แคลคูลัส 1 รศ.ธีรวัฒน นาคะบุตร
11. 8 เสนตรง
แบบฝกหัด 1.2
ขอ 1. ถึง ขอ 5. จงหาจุด P ที่แบงสวนของเสนตรงจากจุด A ไปยังจุด B
ออกเปนสัดสวน AP
= r ตามที่กําหนดให และจงหาจุด Q ที่เปนจุดกึ่งกลางของสวน
PB
ของเสนตรง AB ตอไปนี้
1. A(1,-4), B(6,2), r = - 1
2
2. A(-4,3), B(1,-2), r = - 8
3
3. A(-5,2), B(1,4), r = - 5
3
4. A(7,1), B(-3,6), r = 2
3
5. A(4,-3), B(1,4), r = 2
6. ถา (9,2) เปนจุดแบงสวนของเสนตรงจากจุด A(6,8) ถึงจุด B(x,y)
ออกเปนสัดสวน AP
= 3
7
จงหาพิกัดของจุด B
PB
7. จงหาพิกัดของจุดกึ่งกลางของดานทั้งสามของสามเหลี่ยมที่มีจุดมุมเปน
(-2,1), (5,2) และ (2,-3)
แคลคูลัส 1 รศ.ธีรวัฒน นาคะบุตร
12. เสนตรง 9
ความชันของเสนตรง (Slope of a Line)
นิยาม 1.5 มุมเอียง (inclination) ของเสนตรง L ที่ไมขนานกับแกน x คือมุมบวก (วัดทวน
เข็มนาฬิกา) ที่เล็กที่สุดที่วดจากแกน x ทางดานบวกไปยังเสนตรง L ถา L ขนานกับ
ั
แกน x ใหมมเอียงของเสนตรง L เทากับ 0 มุมเอียง α จะมีคาสอดคลองกับ
ุ
0 ≤ α < 180
y L y
L
α
α
0 x 0 x
รูปที่ 1.9 รูปที่ 1.10
นิยาม 1.6 ความชัน (slope) ของเสนตรง L ซึ่งเขียนสัญลักษณแทนวา m
นิยามดังนี้ m = tan α เมื่อ α เปนมุมเอียงของเสนตรง L และ α ≠ 90
ขอสังเกต 1. ความชันไมนิยามเมื่อ α = 90 นั่นคือ เสนตรงที่ขนานกับแกน y
จะไมกลาวถึงความชัน (ไมนิยาม)
2. ความชันของเสนตรงที่ขนานกับแกน x มีคาเทากับ 0
ทฤษฎีบท 1.2 ถา L เปนเสนตรงที่ผานจุด A(x1,y1) และ B(x2,y2) โดยที่
x1 ≠ x2 แลว ความชันของ L = m = x1 − x 2y y
− 1 2
พิสจน ให α เปนมุมเอียงของเสนตรง L
ู
กรณีที่ 1 ถา α = 0 แลว เสนตรง L ขนานกับแกน x ทําให y1 = y2
m = tan 0 = 0 = x − x = x1 − x 2
0 y y
−
1 2 1 2
กรณีที่ 2 ถา 0 < α < 90
ถา y2 > y1 แลว x2 > x1 ดังรูปที่ 1.11
แคลคูลัส 1 รศ.ธีรวัฒน นาคะบุตร
13. 10 เสนตรง
y y A(x1 ,y 1 )
B(x2 ,y 2 )
L
0 α 0 α
x x
A(x1 ,y 1 ) C(x2 ,y 1 ) B(x2 ,y 2 ) C(x1 ,y 2 )
รูปที่ 1.11 รูปที่ 1.12
− ( y1 − y 2 ) y1 − y 2
m = tan α = | BC |
| AC |
= − (x1 − x 2 )
= x1 − x 2
ถา y1 > y2 แลว x1 > x2 ดังรูปที่ 1.12
m = tan α = || AC || = x1 − x 2
BC
y y
− 1 2
กรณีที่ 3 ถา 90 < α < 180
ถา y1 > y2 แลว x2 > x1 ดังรูปที่ 1.13
A(x1 ,y 1 ) B (x2 ,y 2 )
y y
α α
0 β 0 β
x x
C(x1 ,y 2 ) B(x2 ,y 2 ) C(x2 ,y 1 ) A(x1 ,y 1 )
รูปที่ 1.13 รูปที่ 1.14
m = tan α = tan (π - β) = - tan β = - || AC ||
BC
= - x1 − y 2 =
y
−x
y1 − y 2
x1 − x 2
2 1
ถา y2 > y1 แลว x1 > x2 ดังรูปที่ 1.14
m = tan α = tan (π - β) = - tan β = - || AC ||
BC
= - x1 − y 2 =
y
−x
y1 − y 2
x1 − x 2
2 1
แคลคูลัส 1 รศ.ธีรวัฒน นาคะบุตร
14. เสนตรง 11
ตัวอยาง 1.6 จงหาความชันและมุมเอียงของสวนของเสนตรงที่ผานจุด (4,3) และ (2,1)
วิธทํา จาก ทฤษฎีบท 1.2 ให (x1,y1) = (4,3) ; (x2,y2) = (2,1)
ี
3−
ความชัน = m = 4 − 1 = 1
2
เพราะวา tan α = m = 1 เพราะฉะนั้น α = 45
ถาตองการลากเสนตรงผานจุด (x0,y0) และมีความชัน m = a/b
นอกจากวิธีการคํานวณหาจุดอีกจุดหนึ่งบนเสนตรงเสนนี้แลว
เราอาจจะลากเสนตรงนี้ไดเลยโดยพิจารณาจากความชัน ดังนี้
1. ถา m = 0 เสนตรงนั้นขนานกับแกน x
2. ถา m > 0 แลว (a > 0 และ b > 0) หรือ (a < 0 และ b < 0)
3. ถา m < 0 แลว (a > 0 และ b < 0) หรือ (a < 0 และ b > 0)
สําหรับกรณีที่ 2 และ 3 เราสามารถลากเสนตรงที่ตองการไดดังนี้
จากจุด (x0,y0) ลากเสนขนานกับแกน x ไปทางขวา (ถา b > 0 ) หรือทางซาย
(ถา b < 0) |b| หนวยถึงจุด M จากจุด M ลากเสนขนานกับแกน y ขึ้นดานบน (ถา a > 0)
หรือลงดานลาง (ถา a < 0) |a| หนวยถึงจุด N เสนตรงที่ผานจุด (x0,y0) และ N จะ
เปนเสนตรงทีตองการ
่
ตัวอยาง 1.6 จงลากเสนตรงที่ผานจุด (3,4) และมีความชัน 1/2
วิธีทาที่ 1 ให (x,y) เปนจุดอีกจุดหนึงบนเสนตรงเสนนี้
ํ ่
จาก ทฤษฎีบท 1.2 m = x1 − x 2
y y
−
1 2
y−4
1
2
= x −3
จากสมการจะเห็นวาคา (x,y) ที่สอดคลองกับสมการมีมากมาย ถาให y = 2
แทนคาในสมการ จะไดคา x = -1 เพราะฉะนัน (-1,2) จะเปนอีกจุดหนึ่งบนเสนตรงนี้
้
ลากเสนตรงผาน (-1,2) และ (3,4) จะไดเสนตรงตามตองการ
วิธทําที่ 2 จากจุด (3,4) ลากเสนตรงขนานกับแกน x ไปทางขวา 2 หนวย ถึงจุด M
ี
จากจุด M ลากเสนตรงขนานกับแกน y ขึ้นไปทางดานบน 1 หนวยถึงจุด N ลากเสน
ตรงผานจุด (3,4) และ N จะไดเสนตรงตามตองการ
แคลคูลัส 1 รศ.ธีรวัฒน นาคะบุตร
20. เสนตรง 17
สมการของเสนตรง (Equation of a Straight Line)
1. สมการของเสนตรงที่ขนานกับแกน x หรือ แกน y
ให L เปนเสนตรงที่ขนานกับแกน x จะเห็นไดวาจุดตาง ๆ ที่อยูบนเสนตรง L
จะมีพกัดที่ 2 เทากันหมด ถาพิกัดที่ 2 เปน b จะไดวา “จุด (x,y) ที่เปนจุดบนเสนตรง
ิ
L ก็ตอเมื่อ y = b”
เสนตรง L จะเปนกราฟของความสัมพันธ r ที่นิยามวา r = {(x,y) | y = b}
หรือเสนตรงที่มีสมการเปน y = b
ในทํานองเดียวกัน ถา L เปนเสนตรงที่ขนานกับแกน y จะเห็นวาจุดตาง ๆ
ที่อยูบนเสนตรง L จะมีพกัดที่ 1 เทากันหมด ถาพิกัดที่ 1 เปน a จะไดวา “จุด (x,y)
ิ
ที่เปนจุบนเสนตรง L ก็ตอเมื่อ x = a ”
เพราะฉะนันเสนตรง L จะเปนกราฟของความสัมพันธ r ที่นิยามวา r = {(x,y) |
้
x = a} หรือเสนตรงที่มีสมการเปน x = a
สมการของเสนตรงแบบจุดและความชัน (The Point-Slope Equation)
ถาให L เปนเสนตรงที่ผานจุด (x1,y1) และมีความชัน = m
ให (x,y) เปนจุดใด ๆ บนเสนตรง L จากนิยามความชันไดวา
ความชันของ L = x − x1 แตกําหนดใหความชันของ L เทากับ m
y y
− 1
y − y1
ดังนั้น m= x − x1
นั่นคือ y – y1 = m(x – x1) เปนสมการเสนตรงที่ผานจุด (x1,y1)
และมีความชันเทากับ m
ทฤษฎีบท 1.4 จะมีเพียงเสนตรงเดียวเทานั้นที่มีความชัน m และผานจุด (x1,y1)
และจะมีสมการเปน y – y1 = m(x – x1)
ตัวอยาง 1.10 จงหาสมการเสนตรงที่ผานจุด (-2,3) และมีความชันเทากับ -4/5
วิธทํา
ี y – y1 = m(x – x1)
สมการเสนตรงเสนนี้ คือ
y – 3 = (x + 2)
5y – 15 = -4x – 8
4x + 5y – 7 = 0
แคลคูลัส 1 รศ.ธีรวัฒน นาคะบุตร
21. 18 เสนตรง
สมการของเสนตรงแบบจุดสองจุด (The Two-Point Equation)
ถาให L เปนเสนตรงที่ผานจุด P1(x1,y1) และ P2(x2,y2) ถา x1 ≠ x2
เพราะฉะนั้นความชันของ P1P2 เทากับ x1 − x 2 ซึ่งจะเทากับความชันของเสนตรง L
y y
− 1 2
แทนคาในสมการเสนตรงแบบจุดและความชัน จะได
y – y1 = x1 − x 2 (x – x1)
y y
− 1 2
ถา x1 = x2 แลว เสนตรง L จะขนานกับแกน y เสนตรง L จะมีสมการเปน x = x1
ทฤษฎีบท 1.5 ถา L เปนเสนตรงที่ผานจุด (x1,y1) และ (x2,y2) ที่ x1 ≠ x2 แลว
L จะมีสมการเปน y – y1 = x1 − x 2 (x – x1)
y y
− 1 2
ตัวอยาง 1.11 จงหาสมการเสนตรงที่ผานจุด (4,1) และ (-2,2)
วิธีทํา y – y1 = x1 − x 2 (x - x1)
y y
−
1 2
เพราะฉะนั้น สมการเสนตรงที่ตองการ คือ
y – 1 = 1 − 2 (x -4) , x + 6y – 10 = 0
4+2
สมการของเสนตรงแบบความชันและจุดตัดแกน (The Slope-Intercept Equation)
นิยาม 1.9 จุดตัดแกน x (x-intercept) ของกราฟ คือ พิกัดที่ 1 ของจุดที่กราฟนันตัดกับแกน x
้
จุดตัดแกน y (y-intercept) ของ กราฟ คือ พิกัดที่ 2 ของจุดที่กราฟนั้นตัดกับแกน y
วิธการหาจุดตัดแกน x ทําไดโดยการให y = 0 ในสมการแลวแกสมการหาคา x
ี
ทํานองเดียวกัน การหาจุดตัดแกน y ทําไดโดยการให x = 0 ในสมการแลว
แกสมการหาคา y
เชน สมการ 2x + 7y – 6 = 0 ให y = 0 เพราะฉะนัน x = 3
้
นั่นคือ จุดตัดแกน x ของกราฟ คือ 3
สมมุติให L เปนเสนตรงที่มีความชันเทากับ m และมีจุดตัดแกน y เทากับ b
จากรูป 1.20 แสดงวา L จะตองผานจุด (0,b) แทนคาความชันเทากับ m และ (x1,y1) =
(0,b) ในสมการจะได y – b = m(x – 0) นั่นคือ y = mx + b
แคลคูลัส 1 รศ.ธีรวัฒน นาคะบุตร
22. เสนตรง 19
y
(0,b)
b
slope = m
x
รูปที่ 1.20
ทฤษฎีบท 1.6 สมการของเสนตรงที่มีความชัน m และจุดตัดแกน y เปน b คือ y = mx + b
ถาเสนตรง L ผานจุดกําเนิด นั่นคือมีจุดตัดแกน y ที่ 0 (เพราะวา b = 0)
เพราะฉะนั้นสมการเสนตรงที่ผานจุดกําเนิดที่ไมใชแกน y คือ y = mx
ตัวอยาง 1.12 จงหาสมการเสนตรงที่มีความชันเทากับ -3/4 และมีจดตัดแกน y เทากับ 2
ุ
วิธีทํา y = mx + b
แทนคา ความชัน และจุดตัดแกน y จะได
y = -3/4 x + 2
4y = -3x + 8
3x + 4y -8 = 0 จะเปนสมการเสนตรงที่ตองการ
สมการของเสนตรงแบบจุดตัดแกน (The Intercept Equation)
ให L เปนเสนตรงที่มีจุดตัดแกน x เทากับ a และจุดตัดแกน y เทากับ b ;
a ≠ 0 และ b ≠ 0 แสดงวา L
เปนเสนตรงทีผานจุด (a,0) และ (0,b)
่
ความชันของเสนตรง L คือ m = 0 − b = - b
a−0 a
สมการของเสนตรง L คือ
y = - b x+b
a
ay = - bx + ab
x y
+
a b
= 1
แคลคูลัส 1 รศ.ธีรวัฒน นาคะบุตร
23. 20 เสนตรง
ทฤษฎีบท 1.7 สมการของเสนตรงที่มี จุดตัดแกน x และจุดตัดแกน y เทากับ a และ b
ตามลําดับ คือ x y
+
a b
= 1 เมื่อ a ≠ 0, b ≠ 0
ตัวอยาง 1.13 จงหาสมการเสนตรงที่มีจุดตัดแกน x เทากับ 2 และจุดตัดแกน y เทากับ 3
วิธีทา
ํ
x y
+
a b
=1
x y
+
2 3
=1
3x + 2y – 6 = 0 เปนสมการที่ตองการ
นิยาม 1.10 สมการเชิงเสน (Linear Equation) คือสมการที่อยูในรูป
Ax + By + C = 0
เมื่อ A, B และ C เปนจํานวนจริง ที่ A และ B จะเทากับ 0 พรอมกันทั้งสองตัวไมได
ทฤษฎีบท 1.8 โลกัสของสมการเชิงเสนคือเสนตรง
พิสูจน จากสมการเชิงเสน Ax + By + C = 0
ถา B = 0 แลว A ≠ 0 หารทั้งสองขางของสมการดวย A สมการจะเปน x = - C
A
ซึ่งเปนสมการเสนตรงที่ขนานกับแกน y
ถา B ≠ 0 แลว หารทั้งสองขางของสมการดวย B สมการจะเปน
y = - Ax - C
B B
ซึ่งเปนสมการเสนตรงแบบความชันและจุดตัดแกน เมื่อ
A C
m=- และ b = -
B B
ตัวอยาง 1.14 จงหาความชัน จุดตัดแกน x จุดตัดแกน y ของสมการเสนตรง x + 2y = 1
วิธีทํา จัดสมการเสนตรงที่กําหนดให ใหอยูในรูปมาตรฐานของสมการเชิงเสน จะได
x + 2y – 1 = 0
A = 1, B = 2 แ ละ C = -1
นั่นคือ m = - 1 2
และ b = 1 2
หาจุดตัดแกน x โดยการแทนคา y = 0 จะได x = 1
เพราะฉะนั้น ความชันเทากับ - 1 , จุดตัดแกน x เทากับ 1, จุดตัดแกน y เทากับ
2
1
2
แคลคูลัส 1 รศ.ธีรวัฒน นาคะบุตร
25. 22 เสนตรง
และผานจุด (7,-3)
29. จงหาสมการเสนตรงที่ผานจุด (7,0) และตั้งฉากกับเสนตรงที่ผานจุด (-5,3) และ (8,-1)
30. จงหาคา k ของสมการเสนตรงตอไปนี้ เมื่อสอดคลองกับเงื่อนไขที่กาหนดให
ํ
30.1 3kx + 5y + k – 2 = 0 เมื่อผานจุด (2,-3)
30.2 4x – ky – 7 = 0 เมื่อมีความชันเทากับ 2
30.3 kx – y = 3k - 6 เมื่อมีจุดตัดแกน x เทากับ 5
31. จงแสดงใหเห็นวา ถาเสนตรง Ax + By + C = 0 และ A’x + B’y + C’ = 0
ขนานกันจะไดวา A' = B' และ ถาตั้งฉากกันจะไดวา AA’ + BB’ = 0
A B
แคลคูลัส 1 รศ.ธีรวัฒน นาคะบุตร
26. เสนตรง 23
สมการของเสนตรงแบบนอรมัล (Normal Equation of a Straight Line)
นิยาม 1.11 เสนนอรมัล (normal line) ของเสนตรง L คือเสนตรงที่ผานจุดกําเนิดและตั้งฉาก
กับ L
นิยาม 1.12 สวนตัดของนอรมัล (normal intercept) ของเสนตรง L หมายถึง สวนของเสนนอรมัล
จากจุดกําเนิดถึงเสนตรง L
ให p เปนความยาวของสวนตัดของนอรมัล และเรากําหนดเครื่องหมายของ p
ดังนี้ p ≥ 0 เมื่อ จุดตัดของเสนนอรมัลกับเสนตรง L อยูบนแกน x หรือ เหนือแกน x
P < 0 เมื่อ จุดตัอของเสนนอรมัลกับเสนตรง L อยูใตแกน x
y
L
θ
C ( x1 ,y 1 ) x
p
p
L
θ
x y
รูปที่ 1.21 p ≥ 0 รูปที่ 1.22 p < 0
ให L เปนเสนตรงบนระนาบ N เปนเสนนอรมัลตัดกับ L ที่ C(x1,y1)
ความยาวของสวนตัด OC = p
ให เปนมุมเอียงของเสนนอรมัล θ จะมีคาสอดคลองกับอสมการ
θ
0 ≤ θ < 180
ถากําหนดความยาวของสวนตัดของนอรมัล p และมุมเอียง θ ของเสนตรง L
มาให เราสามารถลากเสนตรง L ได และสามารถเขียนสมการของเสนตรง L ในแบบนอรมัล
ไดดังนี้
x1 = p cos θ , y1 = p sin θ
ความชัน L= - 1 = - 1
=- cos θ
tan θ sin θ
ความชันของ N
แคลคูลัส 1 รศ.ธีรวัฒน นาคะบุตร
27. 24 เสนตรง
จากสมการเสนตรงแบบจุดและความชัน เราสามารถเขียนสมการเสนตรง L ดังนี้
y – y1 = m(x – x1)
θ
y – p sin θ = - cos θ (x – p cos θ)
sin
หรือ x cos θ + y sin θ - p = 0
นิยาม 1.13 เราจะเรียกสมการของเสนตรงที่เขียนอยูในรูปตอไปนี้วา “สมการของเสนตรงแบบ
นอรมัล”
x cos θ + y sin θ - p = 0
เมื่อ p เปนความยาวของสวนตัดของนอรมัลของเสนตรง และ θ เปนมุมเอียงของ
เสนนอรมัลของเสนตรง
ทฤษฎีบท 1.9 ให Ax + By + C = 0 เปนสมการรูปทั่วไปของเสนตรง L
ถาเราหารตลอดสมการรูปทั่วไปดวย h = ± A 2 + B2 โดยเลือกเครื่องหมายของ h
เหมือนกับเครื่องหมายของ B ในกรณีที่ B ≠ 0 หรือเลือกเครื่องหมายของ h เหมือนกับ
เครื่องหมายของ A ในกรณีที่ B = 0 แลวผลลัพธที่ไดจะเปนสมการของ L แบบนอรมล ั
พิสูจน กรณีท่ี 1 ถา A ≠ 0 และ B ≠ 0 แลว ความชันของเสนตรง L คือ - A B
เพราะฉะนันความชันของเสนนอรมลของ L คือ
้ ั B
A
นั่นคือ tan θ = B
A
sin θ = B
h
cos θ = A
h
เพราะวา 0o < θ < 180o เพราะฉะนั้น sin θ > 0
ดังนั้น เครื่องหมายของ h จะตองเหมือนกับเครื่องหมายของ B
เพราะวา h ≠ 0 เอา h หารตลอดสมการรูปทั่วไปจะได
x cos θ + y sin θ – p = 0 เมื่อ p = - C
h
กรณีที่ 2 ถา A = 0 แลว B ≠ 0 และสมการรูปทั่วไปของ L จะเปน
By + C = 0
C
หรือ y=-
B
นั่นคือเสนตรง L ขนานกับแกน x เพราะฉะนั้นเสนนอรมัลของเสนตรง L จะตั้งฉากกับ
แกน x จะไดวา θ = 90o และ cos θ = 0, sin θ = 1
h = ± A 2 + B2 = ± B2 = ± B
แคลคูลัส 1 รศ.ธีรวัฒน นาคะบุตร
28. เสนตรง 25
ถาเลือกเครื่องหมายของ h เหมือนกับเครื่องหมายของ B เพราะฉะนั้น h = B
เอา h หารทั้งสองขางของสมการรูปทั่วไปจะได
B
h
y+ C = 0
h
y+ C
B
=0
x cos θ + y sin θ – p = 0 เมื่อ p =- C
h
=- C
B
กรณีที่ 3 ถา B = 0 แลว A ≠ 0 และสมการรูปทั่วไปของ L จะเปน
Ax + C = 0
หรือ x= - A C
นั่นคือ เสนตรง L ตั้งฉากกับแกน x เพราะฉะนั้นเสนนอรมัลของเสนตรง L จะขนาน
กับแกน x จะไดวา θ = 0 และ cos θ = 1, sin θ = 0
h = ± A 2 + B2 = ± A 2 = ± A
ถาเลือกเครื่องหมายของ h เหมือนกับเครื่องหมายของ A เพราะฉะนั้น h = A
เอา h หารทั้งสองขางของสมการรูปทั่วไปจะได
A
h
x+ C = 0
h
x+ C
h
=0
x cos θ + y sin θ – p = 0 เมื่อ p=- C
h
= - C
A
ตัวอยาง 1.15 จงหาสมการเสนตรง L เมื่อ p = 1 และ θ = 45
วิธีทา
ํ x cos θ + y sin θ – p = 0
แทนคา p และ θ จะได x cos 45 + y sin 45 – 1 = 0
x
+ y -1 = 0
2 2
หรือ x+y- 2 =0
ตัวอยาง 1.16 จงแปลงสมการ 3 x + y + 10 = 0 ใหอยูในรูปแบบนอรมัล และหาคา p
และ θ
วิธีทํา จากสมการ A = 3 , B = 1
h = 3 +1 = 2 (เพราะวา เครืองหมาย B เปนบวก)
่
จาก ทฤษฎีบท 1.9 สมการแบบนอรมัลของเสนตรงเสนนี้ คือ
2
3
x+ 1
2
y+5 =0
แคลคูลัส 1 รศ.ธีรวัฒน นาคะบุตร
30. เสนตรง 27
ระยะระหวางจุดและเสนตรง (Distance Between a Point and a Line)
ให L เปนเสนตรงบนระนาบ และ P(x1,y1) เปนจุดที่อยูหางจาก L เทากับ d
ให L1 เปนเสนตรงที่ขนานกับ L และผานจุด P(x1,y1)
y ถาสมการของ L แบบนอรมัลเปน
x cos θ + y sin θ – p = 0
d
P(x1 ,y 1 ) และถา P(x1,y1) และจุดกําเนิดอยูคนละขาง
ของเสนตรง L แลว สมการของ L1 แบบ
p
นอรมัลจะเปน
x cos θ + y sin θ – (p + d) = 0
L L1 x
รูปที่ 1.23
เนื่องจาก P(x1,y1) อยูบนเสนตรง L1 พิกัดของจุด P ยอมสอดคลองกับสมการของ L1
นั่นคือ x1 cos θ + y1 sin θ – (p + d) = 0
หรือ d = x1 cos θ + y1 sin θ – p
ถา P(x1,y1) และจุดกําเนินอยูขางเดียวกันของเสนตรง L แลว สมการของ L1
แบบนอรมลจะเปน
ั
x cos θ + y sin θ – (p + d) = 0
และเพราะวาจุด P สอดคลองกับสมการของ L1 ดังนั้น
x1cos θ + y1sin θ - (p – d) = 0
d = -(x1cos θ + y1sin θ - p)
d = |x1cos θ + y1sin θ - p|
นั่นคือ ถา Ax + By + C = 0 เปนสมการรูปทั่วไปของเสนตรง L
ระยะจากจุด P(x1,y1) ถึงเสนตรง L คือ
d = | Ax1 +2By1 + C |
A +B 2
ทฤษฎีบท 1.10 ระยะระหวางจุด P(x1,y1) และเสนตรง L ที่มีสมการเปน Ax + By + C = 0
มีคาเทากับ d = | Ax1 +2By1 + C |
A +B
2
แคลคูลัส 1 รศ.ธีรวัฒน นาคะบุตร