progetto Lauree Scientifiche

1. ITCT A. BORDONI
UNIVERSITA’ PAVIA
La matematica nella realtà
PROGETTO LAUREE SCIENTIFICHE
Classe 5B
a.s. 2011/12

2. MODELLI DINAMICI DISCRETI
processo di
modellizzazione razionalizzazione ed
astrazione
che consente
analizzare il problema
descriverlo in modo
oggettivo
formulare una legge
discutere i risultati
utilizzando un
linguaggio simbolico
universale

3. Malthus e la sua ipotesi
Nel 1798, il sociologo e
matematico inglese Thomas
Robert Malthus (1766-1834)
pubblicò il suo “Saggio sulla
Popolazione”. L’assunto di
partenza del saggio è che una
popolazione che non subisca
forme di limitazione cresce nel
tempo con legge geometrica,
mentre le risorse alimentari
aumentano in proporzione
aritmetica.

4. Malthus e il suo modello f ( y)   y
Le ipotesi fondamentali del modello malthusiano sono:
•Nascita di nuovi batteri
•Morte di alcuni batteri
•proporzionalità fra numero dei nati e numero di batteri presenti al
tempo precedente
•proporzionalità fra numero dei morti e numero di batteri presenti al
tempo precedente
yn 1  yn   yn   yn
r =  si chiama tasso di crescita
•r < 0 estinzione
•r = 0 stazionarietà
•r > 0 crescita esponenziale.
yn 1  (1     ) yn  (1  r ) yn
y1   y0
yn 1   yn
y2   y1   ( y0 )  2 y0
y3   y2   (2 y0 )  3 y0
...
yn  n y0

5. La dinamica delle cavallette
è dato il fattore di crescita  1
Della cavalletta “Chorothippus brunneus” si conoscono i dati che
portano al modello ricorsivo:
Come evolve la popolazione nel tempo?
dal modello ricorsivo
3000 Cavallette N0=k
2500
2000
Nt+1=1,155Nt
1500 al modello generale
1000
500
0
Nt+1=1,155t No
1998 2000 2002 2004 2006 2008
la popolazione tende a crescere

6. La dinamica delle cinciallegre
è dato il fattore 0   1
Della cinciallegra si conoscono i dati che portano al modello
ricorsivo: Nt+1=0,795Nt
Come evolve la popolazione nel tempo?
dal modello ricorsivo
Cinciallegre N0=k
1200
Nt+1=0,795Nt
1000
al modello generale
800
600 Nt+1=0,795t No
400
200
0
0 5 10 15 20 25 30
la popolazione tende ad estinguersi

7. La dinamica dei colibrì e il fattore immigrazione
Un’isola vicino alla costa dell’America del Sud è abitata da una particolare specie di
colibrì. Sfortunatamente l’habitat dell’isola non è favorevole, cosicché se sull’isola
non si verificano immigrazioni, la specie in considerazione diminuisce del 20% ogni
anno. L’evoluzione di tale popolazione può essere descritta dalla legge pn+1= 0.80 pn
Sulla costa vicina del continente c’è una colonia che
popolazione di colibrì
(<1 e immigrazione)
migra e da essa provengono 1000 colibrì all’anno che
6000
si stabiliscono sull’isola. Il modello è descritto
5000
dall’equazione pn+1 = 0.80 pn + 1000
4000
3000
1  n
2000
pn  n p0  b
1000
0
1 
Descrivere il comportamento degli uccelli di
0 20 40 60 80
quest’isola a lungo termine
 n 1  n  1
p*  lim   p0  b 
n   1   1 
 
La popolazione si stabilizza al crescere di n al valore 5000 unità
5000 è un punto di equilibrio

8. Un’applicazione economica: domanda e offerta
La variabile significativa che regola l'evoluzione dei prezzi è la
differenza tra domanda e offerta, in simboli la quantità d(p) –
o(p). Naturalmente, se domanda e offerta dipendono
linearmente dai prezzi, anche la loro differenza è una funzione
lineare dei prezzi; in ogni caso è abbastanza naturale pensare
che quando la differenza d(p) – o(p) è positiva i prezzi tendano
a salire, mentre quando tale differenza è negativa i prezzi
tendano a scendere. Se, come molti economisti teorizzano, il
mercato tende all'equilibrio, possiamo immaginare oscillazioni
dei prezzi che tendono via via ad assestarsi attorno al valore di
equilibrio.
Ipotesi di lavoro: considerare una successione di prezzi in cui ciascun valore dipende dal prezzo
precedente
Possiamo supporre, in prima approssimazione, che la differenza tra due prezzi successivi sia direttamente proporzionale alla
differenza tra domanda e offerta. Quanto detto è precisato dalla seguente equazione:
dove pn+1 e pn sono, rispettivamente i prezzi a un'osservazione e a
quella che la precede, mentre k è la costante (positiva) di
proporzionalità.

9. La costruzione del modello - Interpolazione e regressione
 Nel campo della ricerca tecnico-
scientifica la relazione fra due o più
grandezze è di tipo sperimentale: sorge
la necessità di trovare una funzione
matematica che si adatti al fenomeno
oggetto di studio per descriverlo o fare
previsioni sulla sua evoluzione
e prendere decisioni.
 La tecnica per approssimare un insieme di dati con funzioni
matematiche è detta interpolazione.
 Se tra due grandezze y e x vi è un nesso di dipendenza, si parla
di studio della regressione di y da x

10. Il metodo dei minimi quadrati
Consideriamo la retta y=ax+b
La funzione generalmente non passa per i punti
noti, per cui per ogni xi si determina
l’errore ei ossia lo scostamento fra dati reali (y) e
dati teorici sulla retta (come in figura).
Poiché gli scarti ei sono sia positivi sia negativi, si
elevano al quadrato (da qui il nome “minimi
f(a,b)=(y1-ax1-b)2+ (y2-ax2-b)2+........+(y1-ax1-b)2
quadrati”) per eliminare l’influenza dei segni,
costruendo la funzione f(a,b).
L’obiettivo è rendere minima f(a,b). Imponendo la condizione necessaria per
l’esistenza di punto di minimo [f’x=0 e f’y=0] si ottengono i valori di a e di b:

11. Dai dati alla RETTA DI REGRESSIONE
Possiamo ipotizzare che tra reddito e spese ci sia una N REDDITO SPESE
relazione di dipendenza, nel senso che al variaare del 1 20 1
2 30 3,3
reddito(x) variano le spese(y) 3 35 8
I dati riportati nella tabella accanto, permettono di 4 45 10,8
5 50 19
determinare la regressione delle spese di un
6 60 22
campione di sei famiglie dal loro reddito.
SPESE
25
Dai dati alla
20
nuvola di punti
15
10
SPESE 5
y = 0,5629x - 11,831
25 0
0 10 20 30 40 50 60 70
20
15 Dall'analisi della nuvola, possiamo
SPESE
10 notare che una funzione che ben si
Linear (SPESE)
5
adatta a descrivere le spese al variare
Alla retta di
dei redditi è una lineare del tipo:
0 regressione
-5
0 10 20 30 40 50 60 70 y= ax+b

12. e
La stima del parametro  nel caso di batteri
Densità
Tempo
(ore)
osservata Densità osservata (cellule/ml)
(cellule/ml)
1,6E+10
0 1.0 x 108 1,4E+10
1 1.9 x 108 1,2E+10
1E+10
2 3.6 x 108
8E+09
3 6.9 x 108 6E+09
4E+09
4 1.3 x 109
2E+09
5 2.5 x 109 0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
6 4.7 x 109
7 8.5 x 109 Dall’analisi della nuvola di punti si evince che la
8 1.4 x 1010 funzione che si adatta al fenomeno è di tipo
esponenziale del tipo t = t 0
Allo scopo di costruire un modello per la descrizione dell’aumento della popolazione,
indichiamo con t la densità di cellule osservate al tempo t.
Si ipotizza un aumento di tipo malthusiano: t+1 =  t. In pratica occorre fornire una stima
del parametro , che identifica la popolazione.
Sapendo che t = t 0 grazie ad
ln(  t )  t ln( )  ln(  0 )
  
una trasformazione logaritmica ln (  t )  ln(t  0 )  ln(t )  ln(  0 )  
 
y a b
di entrambi i membri si ottiene
y  a t b   ea
Quindi il problema viene ricondotto alla stima della pendenza della retta.

13. Il lago contaminato
Un lago è stato contaminato da un’azienda con delle
sostanze inquinanti, per alcuni anni, fino a che essa non
è stata citata in giudizio. Successivamente non è stato
più aggiunto altro inquinante. Supponiamo che l’attuale
livello di inquinamento sia:
p0 = 20 ppm (parti per milione)
Il lago in questione fa parte di una catena di laghi
connessi tra loro; ogni anno il 10% dell’acqua del lago
fluisce nei laghi sottostanti ed è sostituita da acqua
pulita, proveniente dai laghi a monte e dalle piogge. Ciò
produce il seguente modello:
pn = 0.90 pn-1
Le persone responsabili dell’inquinamento sono
state dichiarate colpevoli. La corte ha imposto
una multa di 50000 € per ogni anno in cui il lago
rimane inutilizzabile per la balneazione a causa
del livello di inquinamento. Un esperto
universitario ha dichiarato che il lago non può
essere balneabile finchè il livello d’inquinamento
supera i 5 ppm.
Per quanti anni dovrebbero pagare la multa i
responsabili se la corte accettasse il parere
dell’esperto universitario?

14. Il lago contaminato: il modello
Anni Sostanze Sostanze
1 20
25
2 18,0025
3 16,20475 20
4 14,58678
5 13,1306 15
6 11,82004 sostanze
7 10,64053 10
8 9,578981
9 8,623583 5
10 7,763724
0
11 6,989852 0 5 10 15 20 25
12 6,293367
13 5,66653
14 5,102377 Il modello ricorsivo  p0  20

15 4,594639 p n  0.90 p n -1
16 4,137675
17 3,726408 pn  20 0,90n
Il modello generale
18 3,356267
19 3,02314
20 2,723326 Se la Corte accettasse il parere dell’esperto. si
21 2,453494 dovrebbe pagare una multa per 15 anni.
22 2,210644

15. La stabilità del modello
Per studiare il comportamento a lungo termine è
fondamentale capire se ci sono punti stazionari,
ossia punti in cui il sistema è in equilibrio.
Possiamo dire che in un punto stazionario la
popolazione non cambia più da una stagione
all’altra. Se y* è un punto stazionario, ogni termine
successivo rimane in y*:
f ( y* )  y*
Dalla legge malthusiana
y n1  y n  b
y n  y n  b yn 1     b  yn 
b
1 

16. Il diagramma di fase
Abbiamo un altro modo ancora per esplorare un SDD (sistema dinamico
discreto) e per capirne la struttura: tracciare il diagramma di fase.
Per individuare i punti stazionari sappiamo che: y n  y n  b y  y  b
che equivale al sistema
y  x

10
 y  x  b 8
Graficamente il punto stazionario 6
si trova nell’intersezione tra la 4
yx
bisettrice del primo quadrante e la 2
y *
funzione della popolazione 0
y
trasformata in retta come segue: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
y  x  b

17. Tipologie di punti di equilibrio
Una volta individuato un punto stazionario, è interessante stabilire
se questo è attrattivo o repulsivo, ossia se una popolazione, evolvendo,
è portata ad avvicinarsi o ad allontanarsi da esso. Esistono anche
punti di equilibrio che non sono né attrattivi né repulsivi, in questi
casi la popolazione continua a oscillare attorno ad essi senza mai
avvicinarsi o allontanarsi in maniera definitiva.
•Punto attrattivo: la popolazione tende al valore di equilibrio (y*)
yn  y *
•Punto repulsivo: la popolazione tende all’infinito positivo o negativo
yn  

18. Come costruire un diagramma di fase
Introdotto dallo statistico neozelandese Moran, nel 1950, il
diagramma di fase (o a ragnatela) si costruisce in 5 passi:
1. Si considera il piano cartesiano in cui l’asse x è yn (cioè la popolazione all’epoca n) e
l’asse y è yn+1
2. Dato un modello discreto yn+1 = f (yn), si disegna la retta f(yn)
3. Si disegna la bisettrice g(y). cioè la retta della stabilità
4. da un punto iniziale y0, si traccia la verticale fino ad incontrare la retta f. L’ordinata di
tale punto è y1.
5. Si traccia un segmento orizzontale fino ad incontrare la bisettrice nel punto di
coordinate (y1, y1).
6. Da questo punto si disegna un segmento verticale che incontra la retta f nel punto (y1,
y2).
7. Si ripete il procedimento dal punto 4.

19. Tipologia di un punto stazionario
ATTRATTIVO
REPULSIVO
DIAGRAMMA A RAGNATELA
2.9
3
2.8
2.5
ATTRATTIVO
2.7
2
g(y)
f(y)
2.6
1.5
f(y)
2.5
1
2.4 g(y) 0.5
yo
2.3 0
Y0
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3
y
y REPULSIVO

20. CLASSE VB a.s. 11/12
Gli alunni che hanno frequentato il modulo di approfondimento
Agnello Chiara
Barletta Valentina
Bellazzi Edoardo
Benedetto Rossella
Bovina Mariacarla
Fasani Marco
Franchi Andrea
Lonati Elisa
Palma Claudia
Perna Ruggero Simona
Rovegno Federico
Sciorati Gloria
Docente M.Aurora Mangiarotti
Formatori Università di Pavia: Proff. Della Croce Lucia e Pulvirenti Ada