48 slides, năm nhất, học kỳ 2 Đại học Khoa học tự nhiên Hà Nội (HUS)

1. Biến ngẫu nhiên (BNN)
Trong thực tế, ta thường gặp nhiều đại lượng nhận
các giá trị một cách ngẫu nhiên.
Chẳng hạn:
1. Gọi X là số chấm xuất hiện khi gieo một con xúc
xắc thì X có thể nhận một trong các giá trị 1, 2, 3, 4,
5 và 6.
2. Một hộp có n sản phẩm (gồm cả tốt và xấu). Lấy
ngẫu nhiên từ hộp đó ra 2 sản phẩm.
Nếu ký hiệu Y là số sản phẩm tốt lấy ra được thì Y
có thể nhận các giá trị 0, 1 hoặc 2.

2. Biến ngẫu nhiên (BNN)
3. Bắn một viên đạn vào bia có bán kính là 10cm và
giả sử viên đạn trúng vào bia.
Gọi Z là khoảng cách từ tâm bia tới điểm bia trúng
đạn thì Z có thể nhận các giá trị thuộc [0; 20).
Nhận xét: Các đại lượng X, Y, Z trong những ví dụ
trên nhận các giá trị ngẫu nhiên (không biết trước
được). Chúng được gọi là các đại lượng ngẫu nhiên
(biến ngẫu nhiên).
 Thường kí hiệu các BNN bởi các chữ cái in hoa X,
Y, Z,… hoặc 𝑋1, 𝑋2, … và các giá trị của chúng bởi các
chữ cái in thường 𝑥1, 𝑥2, …

3. Phân loại biến ngẫu nhiên
X, Y là các BNN rời rạc, Z là BNN liên tục. Tại sao? Hãy
quan sát vào đặc điểm tập giá trị của BNN đó.

4. Phân loại biến ngẫu nhiên
1. BNN được gọi là rời rạc khi các giá trị có thể
có của nó xếp thành dãy hữu hạn hoặc
vô hạn đếm được 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥 𝑛. Nói cách
khác, ta có thể liệt kê tất cả các giá trị của
biến ngẫu nhiên đó.
2. BNN được gọi là liên tục khi các giá trị có thể
có của nó lấp đầy một khoảng trên trục số.

5. CHƯƠNG 2: ĐẠI LƯỢNG NGẪU
NHIÊN RỜI RẠC

6. Biến ngẫu nhiên
1. Kí hiệu biến cố 𝑋 = 𝑥 thay cho biến cố
“BNN X nhận giá trị bằng 𝑥”. Tương tự cho
các trường hợp (𝑋 < 𝑥, ) (𝑋 ≤ 𝑥),…
2. Nếu BNN X chỉ nhận một trong các giá trị
𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥 𝑛 thì hệ gồm các biến cố
𝑋 = 𝑥1 , …, 𝑋 = 𝑥 𝑛 lập thành một hệ đầy
đủ các biến cố.

7. Quy luật phân bố xác suất
VD1: Gọi X là số chấm xuất hiện khi gieo một con
xúc xắc (cân đối và đồng chất) thì X có thể nhận
một trong các giá trị 1, 2, 3, 4, 5 và 6.
Ta có:
Viết lại dưới dạng bảng (Bảng phân bố xác suất):
𝑃(𝑋 = 1) = 𝑃(𝑋 = 2) =. . . = 𝑃(𝑋 = 6) =
1
6
X 1 2 3 4 5 6
P 1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6

8. 2.1. Bảng phân phối xác suất
• BNN rời rạc X nhận các giá trị x1, x2, …, xn.
• Bảng phân phối xác suất của X:
(1)
1 2
1
1) ( )
2) ... 1
i i
n
i n
i
p P X x
p p p p

 
    

9. 2.1. Bảng phân phối xác suất
• Bảng phân phối xác suất của X cho biết mối
quan hệ giữa gíá trị có thể có của biến ngẫu
nhiên (dòng X) và các xác suất tương ứng
(dòng P) để biến ngẫu nhiên nhận các giá trị
đó.

10. Hàm phân phối xác suất
• Cho BNN X. Với mỗi số thực x, xác định duy
nhất một biến cố (X < x) và do đó có tương
ứng một và chỉ một xác suất P(X<x).
• Quan hệ tương ứng này cho ta một hàm số xác
định trên R , hàm số này được ký hiệu là F(x).
• Định nghĩa: Hàm số 𝐹 𝑥 = 𝑃(𝑋 < 𝑥) được
gọi là hàm phân phối (phân bố) xác suất của
BNN X.

11. Hàm phân phối xác suất
• Nhận xét: Để viết tường minh hàm phân bố
của BNN X là F(𝑥), ta cần chọn “điểm rơi”
của 𝑥 trên đường thẳng R.
1
1 2
2 3
1
1
2 1
2
1
1
0 ,
,
,
)
,
(
,
) (
1
 

 
 
 

    



 
 
n n n
n
p
p p
F x P
x x
x x x
x x x
x
p p p x x x
x x
X

12. Tính chất của hàm phân phối xác suất
1) 0 ≤ 𝐹 𝑥 ≤ 1 ∀𝑥.
2) 𝐹 𝑥 là một hàm không giảm, tức là
với 𝑥1 < 𝑥2 thì 𝐹(𝑥1) ≤ 𝐹(𝑥2) .
3) 𝑃 𝑎 ≤ 𝑋 < 𝑏 = 𝐹 𝑏 − 𝐹 𝑎 .

15. 2.2. Các đặc trưng của đại lượng ngẫu
nhiên rời rạc
• Khi nghiên cứu các đại lượng ngẫu nhiên, ta
thường quan tâm đến các giá trị phản ánh
đặc trưng khái quát của biến ngẫu nhiên
như: Giá trị trung bình, độ phân tán,...
• Trong phần này chúng ta sẽ nghiên cứu một
số tham số quan trọng nhất.

16. 2.2. Các đặc trưng
Cho BNN X có bảng phân bố xác suất (1).
Kì vọng (giá trị trung bình) của BNN X, kí hiệu EX, được xác định
bởi
1. Nhận xét:
Kì vọng có thể nhận mọi giá trị (<0, =0, >0).
2. Kì vọng là giá trị trung bình có trọng số ( trọng số ở đây chính
là xác suất) của các giá trị mà biến ngẫu nhiên X nhận.
3. Trong kinh tế, kỳ vọng đặc trưng cho năng suất trung bình của
một phương án sản xuất, lợi nhuận trung bình của một danh
mục đầu tư, trọng lượng trung bình của một loại sản phẩm, tuổi
thọ trung bình của một chi tiết máy,...
4. Đơn vị của E(X) trùng với đơn vị của X.
1
( )

 
n
i i
i
E X x p

17. Tính chất của kỳ vọng:
• E(a) = a, a: hằng số
• E(aX) = aE(X)
• E(X + Y)=E(X) + E(Y)
• E(XY) = E(X)E(Y) nếu X và Y độc lập

18. Một hình ảnh của Kì vọng

19. 2.2. Các đặc trưng
Giả sử ĐLNN X có E𝑋 = 𝜇.Khi đó ta gọi X − 𝜇 là
độ lệch của X so với giá trị trung bình.
• Phương sai của ĐLNN X, kí hiệu DX hoặc Var X,
là trung bình của bình phương độ lệch của X so với
giá trị trung bình của nó.
• Độ lệch tiêu chuẩn:
 
2
22 2 2
1 1
( ) [( ) ] ( )
 
 
      
 
 
n n
i i i i
i i
D X E X E X EX x p x p
2
X X DX  

20. • 𝐷𝑋 ≥ 0.
• Phương sai đặc trưng cho độ phân tán các giá trị
của biến ngẫu nhiên xung quanh EX .
Nếu DX lớn chứng tỏ sự biến động của X lớn, nếu
DX nhỏ thì X biến động ít, tương đối ổn định.
• Chẳng hạn, X là biến ngẫu nhiên chỉ lượng mưa
hàng năm ở một vùng, EX cho biết lượng mưa
trung bình hàng năm của vùng này, cho biết độ
dao động của lượng mưa hàng năm xung quanh
giá trị trung bình đó.
Nếu DX lớn thì lượng mưa ở vùng đó biến động
thất thường, nếu DX nhỏ thì lượng mưa ở vùng đó
ổn định. Trong kinh tế, phương sai đặc trưng cho
độ rủi ro các quyết định.

21. 2.2. Các đặc trưng
Tính chất của phương sai :
1) 𝐷𝑋 ≥ 0
2) 𝐷(𝐶) = 0
3) 𝐷(𝑋 + 𝑌) = 𝐷𝑋 + 𝐷𝑌 𝑛𝑒𝑢 𝑋, 𝑌 𝑑𝑜𝑐 𝑙𝑎𝑝.
4) 𝐷(aX) = 𝑎2
𝐷𝑋

22. 2.2. Các đặc trưng
• Mode: (kí hiệu mod X) là giá trị sao cho
xác suất tại đó là lớn nhất.
0ix
0
( ) ( ),i iP X x P X x i   

23. Biến ngẫu nhiên nhiều chiều
• Trong nhiều bài toán thực tế ta thường phải xét
đồng thời nhiều biến ngẫu nhiên 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋 𝑛,có
quan hệ với nhau gọi là biến ngẫu nhiên n chiều
hay vectơ ngẫu nhiên n−chiều.
• Trong chương này, chúng ta chỉ nghiên cứu BNN
hai chiều (n=2) rời rạc.
• Ví dụ: Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ chiều dài của
một sản phẩm, Y là biến ngẫu nhiên chỉ chiều
rộng của sản phẩm đó. Khi đó ta có biến ngẫu
nhiên hai chiều (X, Y ) mô tả kích thước của sản
phẩm.

24. 2.3. Phân bố đồng thời và hệ số tương quan
a)Phân bố đồng thời
• Giả sử X, Y là hai ĐLNN rời rạc và
•
• Một bộ gồm hai thành phần (X,Y) được gọi là
vecto ngẫu nhiên rời rạc hai chiều.
Kí hiệu:
 
 
1
1
( ) ,...,
( ) ,...,
m
n
X x x
Y y y
 
 
   ( ) ( , ), : 1, ; 1,i jx y i m j nX Y    
ij ( , )i jp P X x Y y  

25. BẢNG PHÂN PHỐI XÁC SUẤT ĐỒNG THỜI CỦA
DLNN HAI CHIỀU RỜI RẠC (bảng 2)
Y
X
y1 y2 … yn
x1 p11 p12 … p1n
x2 p21 p22 … p2n
…
…
…
…
…
xm pm1 pm2 … pmn

26. Bảng phân phối xác suất đồng thời
• Khi có bảng phân bố đồng thời ta có thể tính
được bảng phân bố từng thành phần.
• Nếu X, Y độc lập thì từ bảng phân bố xác suất
của từng thành phần ta tìm được bảng phân
bố đồng thời bằng cách sử dụng công thức :
Nếu X, Y độc lập thì
ij
,
1
i j
p 
𝑃 𝑋 = 𝑥, 𝑌 = 𝑦 = 𝑃 𝑋 = 𝑥 . 𝑃 𝑌 = 𝑦

27. Đại lượng ngẫu nhiên độc lập
• Hai ĐLNN X và Y được gọi là độc lập nếu việc
biết một thông tin về giá trị của X (hoặc Y)
không ảnh hưởng gì đến phân bố xác suất của
Y (hoặc X). Nói cách khác
• Kí hiệu:
X và Y độc lập nếu
( , ) ( ). ( )i j i jP X x Y y P X x P Y y    
0 ij
0 ij
( )
( )
i i
j
j j
i
P P X x p
P P Y y p
  
  


ij 0 0.i jp p p

28. Hàm của hai đại lượng ngẫu nhiên
• Xét ĐLNN
Khi đó,
chạy trên tất cả các cặp (X,Y) sao cho
( , )Z X Y
( ) ( , )i jP Z a P X x Y y   
( , )i jx y a 
𝑬𝒁 =
𝒊,𝒋
𝝋(𝒙𝒊, 𝒚𝒋 𝑷(𝑿 = 𝒙𝒊, 𝒀 = 𝒚𝒋

29. c)Covarian và Hệ số tương quan
• Cho hai ĐLNN X, Y.
Khi đó, covarian của X, Y được kí hiệu là cov(X,Y)
Cách tính:
   , ( EX).( )E Xcov X Y Y EY  
   
ij
.
( EX).( )
(
,
) EX.
i j
i j
E X Y EY
E XY EY
c X Y
x y
ov
p 
  
 
 

30. Hệ số tương quan của X và Y
• Chú ý:
• Ý nghĩa: Đánh giá mức độ phụ thuộc tuyến tính
của các ĐLNN: càng lớn thì càng phụ thuộc tuyến
tính.
• Nếu X, Y độc lập thì
Nếu Y phụ thuộc tuyến tính vào X (Y = aX + b)
thì
cov( , )
( , )
X Y
X Y
X Y
 

1 ( , ) 1X Y  
XYρ = 0
XYρ = 1

31. Nhận xét:
• Nếu X, Y độc lập thì cov(X,Y)=0, kéo theo
CHIỀU NGƯỢC LẠI KHÔNG ĐÚNG.
Ví dụ: T 56
CM:
• D(X+Y)=DX+DY+2 cov(X,Y)
Thật vậy,
cov( , ) ( ) EX. EX. EX. 0
( , ) 0
X Y E XY EY EY EY
X Y
    
 
 
 
2
2
2 2
( )
( ) ( )
( ) 2 ( )( ) ( )
2cov( , )
D X Y E X Y
E X Y
E X E X Y E Y
DX DY X Y
 
 
   
    
   
      
  
( , ) 0X Y 

32. 2.4 Một số phân phối rời rạc thường
gặp
a)Phân bố nhị thức
Cho ĐLNN X có bảng phân bố như sau:
Khi đó X được gọi là có phân bố nhị thức với tham
số n và p. Kí hiệu:
• Tính chất: 1.EX=np, DX=np(1-p).
2. mod(X)= [(n+1)p] nếu (n+1)p không
là số nguyên. Ngược lại, mod(X) nhận hai giá trị là
(n+1)p -1 và (n+1)p.
([x]:phần nguyên của x là số nguyên lớn nhất
không vượt quá x).
 ( ) 0,1,2,...,
( ) (1 )k k n k
n
X n
P X k C p p 
 
  
( ; )X B n p

33. • a)Phân bố nhị thức
3) Nếu X, Y độc lập và
tức khi hai hệ số p là khác nhau, thì tổng của hai
BNN có phân bố nhị thức sẽ không có phân bố
nhị thức.
1 1 2 2( , ); ( , )X B n p Y B n p
1 2 1 2
1 2
( ; )
(.;.)
p p p X Y B n n p
p p X Y B
    
   

34. b)Phân bố Poat-xông
• X có phân bố Poát-xông với tham số (là một
số dương cho trước), kí hiệu nếu
• Ý nghĩa: Thể hiện số khách hàng đến một cửa
hàng, siêu thị, trạm xăng ,...hoặc số cuộc gọi
đến một tổng đài trong một khoảng thời gian
• Tính chất:

( )X P 
1 2( , )t t
 EX , ,modDX X    
𝑿(𝜴) = 𝟎, 𝟏, 𝟐, . . .
𝑷(𝑿 = 𝒌) = 𝒆−𝝀
𝝀 𝒌
𝒌!

35. Xét một biến cố E xuất hiện ở những thời điểm ngẫu
nhiên.
• Giả thiết rằng số lần xuất hiện E trong khoảng
thời gian không ảnh hưởng đến xác suất
xuất hiện của E trong các khoảng thời gian kế
tiếp.
• Thêm vào đó cường độ xuất hiện (số lần E xuất
hiện trung bình trong khoảng thời gian ) là không
đổi.
• Gọi X là số lần E xuất hiện trong khoảng thời
gian. Khi đó X có phân bố Poát-xông với tham số
trong đó c là cường độ/đơn vị thời gian.
1 2( , )t t
2 1( )c t t  

36. Ví dụ:
Ở một tổng đài bưu điện, các cuộc điện thoại gọi
đến xuất hiện ngẫu nhiên, độc lập với nhau và
tốc độ trung bình 2 cuộc gọi trong 1 phút. Tìm
XS để:
a)Có đúng 5 cuộc điện thoại trong 2 phút.
b)không có cuộc điện thoại nào trong 30 giây.
c)Có ít nhất một cuộc điện thoại trong khoảng
thời gian 10 giây.

37. a)Gọi X:”Số cuộc điện thoại trong trong 2 phút”.
Khi đó , với
b)
c)
( )X P 
2 1( ) 2.2 4c t t    
5
4 4
( 5) 0,156
5!
P X e
  
2 1
1
1
( ) 2. 1
2
( 0) 0,368
c t t
P X e


   
  
2 1
1/3
10 1
( ) 2.
60 3
( 1) 1 ( 0) 1 0,283
c t t
P X P X e


   
      

38. Định lý:
• Nếu và X, Y độc lập thì
• CM:
( ), ( )X P Y P 
( )Z X Y P    

39. Chứng minh
0 0
0
( )
0
( )
( ) ( )
( , ) ( ) ( )
.
! ( )!
.
!
.( ) .
!
n n
i i
i k in
i
n
i i k i
k
i
k
P Z k P X Y k
P X i Y k i P X i P Y k i
e e
i k i
e
C
k
e
k
 
 
 
 
 
 
 

 

 


 
   
       



 
 



40. • Số khách hàng nam và nữ đến cửa hang trong
vòng 1h là các ĐLNN có phân bố Poisson với
trung bình là 3 người/1h và 2 người/1h. Giả
thiết rằng số khách nam và nữ là độc lập với
nhau. Tính xác suất để:
a)Trong 1h có ít nhất 2 nam và 2 nữ đến cửa
hang.
b)Trong 2h có ít nhất 3 người đến cửa hang.

41. • Trong hộp có 6 bút, trong đó có 3 bút đã
qua sử dụng và 3 bút chưa qua sử dụng.
Lấy ngẫu nhiên ra 2 bút và gọi X là số bút
chưa sử dụng trong số đó.
a)Tính kỳ vọng của X.
b)Khi lấy ra, cả 2 bút đều đã qua sử dụng và
trả lại hộp.Lần tiếp theo lại lấy 2 bút ra từ
hộp. Gọi Y là số bút chưa qua sử dụng của lần
lấy này. Hãy tìm bảng phân bố của Y.

42. Ví dụ: Một cửa hàng bán hai mặt hàng ti vi và
radio. Số tivi và radio bán trong một ngày đều
có phân bố Poát-xong, chúng độc lập với
nhau. Trung bình một ngày bán được 1 tivi và
2 radio.
Tính XS để một ngày cửa hàng bán được ít nhất
4 chiếc.

43. • Gọi X, Y tương ứng là số tivi và radio được bán
trong ngày. Khi đó
Do X, Y độc lập nên
Vì vậy
(1), (2)X P Y P
(1 2) (3)X Y P P  
0 1 2 3
3 3 3 3
( 4) 1 ( 4)
1 ( 0) ( 1) ( 2) ( 3)
3 3 3 3
1
0! 1! 2! 3!
1 0,535
0,465
P X Y P X Y
P X Y P X Y P X Y P X Y
e e e e   
     
            
    
 


44. c)Phân phối hình học
Ví dụ: Gọi A:”Thi đỗ” và P(A)=p.
X:”số lần thực hiện cần thiết để biến cố A
xuất hiện lần đầu tiên”.
Khi đó,
Xác suất để đến lần thứ k người đó thi đỗ là
Khi đó ta nói rằng X có phân bố hình học.
*
( ) {1,2,3,....}=X   
  1
(1 )k
P X k p p
 

45. Định nghĩa: (phân phối hình học)
• Cho ĐLNN X có phân bố như sau:
• Xác suất để suất biến cố xuất hiện trong phép
thử lần thứ k cho thời điểm đầu tiên là
• Khi đó ta nói X có phân phối hình học với tham số
p.
• Ý nghĩa: Số lần thực hiện cần thiết để một biến cố
xuất hiện lần đầu tiên.
• Tính chất:
*
( ) {1,2,3,....}=X   
  1
(1 )k
P X k p p
 
 
1
2
1
EX p
DX p p



 

46. Ví dụ: Bắn liên tiếp độc lập vào một mục tiêu cho
tới khi nào trúng mục tiêu thì ngừng bắn. Xác
suất để mỗi viên đạn trúng mục tiêu là 0,2.
Gọi X là số viên đạn cần bắn để lần đầu tiên
trúng bia. Tìm phân phối xác suất của X.
Giải:
X có phân phối hình học với p=0,2.
• Phân phối của X được cho bởi
  1
(1 0,2) .0,2k
P X k 
 

47. Mở rộng: Bảng phân phối xác suất có
điều kiện của hai biến ngẫu nhiên
• Từ bảng phân phối xác suất đồng thời của
vecto ngẫu nhiên (X,Y), ta có bảng phân phối
có điều kiện của các thành phần X và Y.
•

48. • Cho bảng 2. Bảng phân phối xác suất của X với
điều kiện (𝑌 = 𝑦𝑗) là
trong đó
Từ đó, ta có thể tính được các tham số đặc
trưng có điều kiện của X và Y như E(X|Y=y),…