ゲーム理論 BASIC 演習133 -企業の協力と利益配分 : カーネル- #ゲーム理論 #gametheory #数学 #カーネル #交渉 #協力ゲーム

ゲーム理論 BASIC 演習133
企業の協力と利益配分 : カーネル

問題：企業の共同プロジェクト
企業1, 2, 3が共同プロジェクトを行うときに, それぞれの提携が生み出す利益は下記表となる：
このとき, 特製関数形ゲームとして表現し, カーネルを求めよ.
問題
提携Sが生み出す利益
提携S 利益
{1} 0
{2} 0
{3} 0
{1, 2} 6
{1, 3} 6
{2, 3} 4
{1, 2, 3} 10

特性関数形ゲームの定義
定義：提携と特性関数
プレイヤーの集合をとする.
このときの部分集合を提携といい, 提携の集合をで表す
この各提携に実数値を与える関数を
譲渡可能な効用をもつゲーム(TUゲーム)における特性関数という
特性関数形ゲームはで与えられる.
(例) のとき,
, , , , , , ,
N
N 2N
v : 2N
→ ℜ
(N, v)
N = {1, 2, 3} 2N
= {∅, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}}
v(∅) = 0 v({1}) = 10 v({2}) = 20 v({3}) = 10 v({1,2}) = 50 v({1,3}) = 50 v({2,3}) = 70 v({1,2,3}) = 100
全員の提携を全体提携と呼ぶ

配分の定義
定義：配分
特性関数形ゲームの利得ベクトルが配分であるとは
(個人合理性)
(全体合理性)
が成り立つことである
配分の集合をで表す
(N, v) x = (x1, ⋯, xn)
xi ≥ v({i}) ∀i ∈ N
∑
i∈N
xi = v(N)
𝒜
(v)

(例) のとき,
, , , , , , ,
, , , として, と戦略的同等な特性関数は
, , , , , , ,
N = {1, 2, 3} 2N
= {∅, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}}
v(∅) = 0 v({1}) = 10 v({2}) = 20 v({3}) = 10 v({1,2}) = 50 v({1,3}) = 50 v({2,3}) = 70 v({1,2,3}) = 100
v′

(S) = v(S) +
∑
i∈S
βi β1 = − 10 β2 = − 20 β3 = − 10 v v′

v′

(∅) = 0 v′

({1}) = 0 v′

({2}) = 0 v′

({3}) = 0 v′

({1,2}) = 20 v′

({1,3}) = 30 v′

({2,3}) = 40 v′

({1,2,3}) = 60
配分の基本三角形
v′

({1,2,3}) = 60
1
2 3
x3
x1
x2
全体合理性：x1 + x2 + x3 = 60
1
2
x1l +
1
2
x2l +
1
2
x3l =
1
2
60l
l

カーネルの定義の確認
定義：提携の不満
特性関数形ゲームにおいて, 配分と提携をとるとき,
を配分に対する提携の不満という.
2人のプレイヤー , をとり, とおく.
定義：最大不満
2人のプレイヤー , と配分について
を配分におけるプレイヤーのに対する最大不満という.
S
(N, v) x ∈
𝒜
(v) S ⊆ N
e(S, x) = v(S) −
∑
i∈S
xi x S
i j ∈ N Tij = {S ⊆ N|i ∈ S, j ∉ S}
i j ∈ N x ∈
𝒜
(v)
sij(x) = max
S∈Tij
e(S, x)
x i j

定義：優位
2人のプレイヤー , と配分について,
,
となるとき, 配分においてプレイヤーはよりも優位であるといい, と書く
であれば, プレイヤーはに対して利得をくれとはいえない.
なぜならは提携を組むインセンティブがなくなるため.
i j ∈ N x ∈
𝒜
(v)
sij(x) > sji(x) xj > v({j})
x i j i ≻x j
xj ≤ v({j}) i j
j
2人のプレイヤーの
最大不満を比較

定義：均衡状態
でもなくでもないとき,
配分においてプレイヤーとは均衡状態であるといい, と書く
定義：カーネル
任意の2人のプレイヤーが均衡状態にあるような配分の全体
をカーネルという
i j ∈ N x ∈
𝒜
(v)
i ≻x j j ≻x i
x i j i ∼x j
𝒦
= {x ∈
𝒜
(v)|i ∼x j ∀i, j ∈ N, i ≠ j}

定義：均衡状態
でもなくでもないとき,
配分においてプレイヤーとは均衡状態であるといい, と書く
となるためには, は配分の個人合理性より, , に注意して
かつ , すなわち
または
ならば
または
ならば
i j ∈ N x ∈
𝒜
(v)
i ≻x j j ≻x i
x i j i ∼x j
i ∼x j x ∈
𝒜
(v) xi ≥ v({i}) xj ≥ v({j})
sij(x) ≥ sji(x) sij(x) ≤ sji(x) sij(x) = sji(x)
sij(x) > sji(x) xj = v({j})
sij(x) < sji(x) xi = v({i})
定義：優位
,
となるとき, 配分においてプレイヤーはよりも優位であるといい, と書く
i j ∈ N x ∈
𝒜
(v)
sij(x) > sji(x) xj > v({j})
x i j i ≻x j
かつ
xj ≥ v({j}) xj ≤ v({j})
かつ
xi ≥ v({i}) xi ≤ v({i})

交渉集合とカーネルの関係
定理：交渉集合とカーネル
ゲームが優加法性を満たすとする. このときカーネルを , 交渉集合をとすると
(N, v)
𝒦
(v) ℬ(v)
𝒦
(v) ⊆ ℬ(v)
1
2 3
x1 = 10
x2 = 3
x3 = 0
交渉集合
カーネル

特性関数は以下のようになる:
, , ,
v({1,2,3}) = 10 v({1,2}) = 6 v({1,3}) = 6 v({2,3}) = 4
v({1}) = v({2}) = v({3}) = 0
解答
提携Sが生み出す利益
提携S 利益
{1} 0
{2} 0
{3} 0
{1, 2} 6
{1, 3} 6
{2, 3} 4
{1, 2, 3} 10

特性関数は以下のようになる:
, , ,
コア：
交渉集合：は, コアと一致する.
この特性関数を用いて, カーネルを求めてみよう.
v({1,2,3}) = 10 v({1,2}) = 6 v({1,3}) = 6 v({2,3}) = 4
v({1}) = v({2}) = v({3}) = 0
C(v) = {x ∈
𝒜
(v)|4 ≥ x3, 4 ≥ x2, 6 ≥ x1}
ℬ(v) C(v)
解答
1
2 3
x1 ≤ 6
x2 ≤ 4
x3 ≤ 4
コア
v({1,2,3}) = 10
(6, 4, 0)
(6, 0, 4)
(2, 4, 4)

特性関数: , , ,
をとると, プレイヤー1の最大不満は
v({1,2,3}) = 10 v({1,2}) = 6 v({1,3}) = 6 v({2,3}) = 4
v({1}) = v({2}) = v({3}) = 0
x = (x1, x2, x3) ∈
𝒜
(v)
s12(x) = max(v({1,3}) − x1 − x3, v({1}) − x1)
= max(6 − x1 − x3, 0 − x1)
=
{
6 − x1 − x3 (0 ≤ x3 ≤ 6)
−x1 (6 < x3 ≤ 10)
s13(x) = max(v({1,2}) − x1 − x2, v({1}) − x1)
= max(6 − x1 − x2, 0 − x1)
=
{
6 − x1 − x2 (0 ≤ x2 ≤ 6)
−x1 (6 < x2 ≤ 10)
解答
1
2 3
x1 ≤ 6
x2 ≤ 4
x3 ≤ 4
コア
(6, 4, 0)
(6, 0, 4)
(2, 4, 4)
■定義：提携の不満
■2人のプレイヤー , をとり, とおく.
■定義：最大不満
S
(N, v) x ∈
𝒜
(v) S ⊆ N
e(S, x) = v(S) −
∑
i∈S
xi x S
i j ∈ N Tij = {S ⊆ N|i ∈ S, j ∉ S}
i j ∈ N x ∈
𝒜
(v)
sij(x) = max
S∈Tij
e(S, x)
x i j

特性関数: , , ,
v({1,2,3}) = 10 v({1,2}) = 6 v({1,3}) = 6 v({2,3}) = 4
v({1}) = v({2}) = v({3}) = 0
x = (x1, x2, x3) ∈
𝒜
(v)
s21(x) = max(v({2,3}) − x2 − x3, v({2}) − x2)
= max(4 − x2 − x3, 0 − x2)
=
{
4 − x2 − x3 (0 ≤ x3 ≤ 4)
−x2 (4 < x3 ≤ 10)
s23(x) = max(v({1,2}) − x1 − x2, v({2}) − x2)
= max(6 − x1 − x2, 0 − x2)
=
{
6 − x1 − x2 (0 ≤ x1 ≤ 6)
−x2 (6 < x1 ≤ 10)
解答
1
2 3
x1 ≤ 6
x2 ≤ 4
x3 ≤ 4
コア
(6, 4, 0)
(6, 0, 4)
(2, 4, 4)
S
(N, v) x ∈
𝒜
(v) S ⊆ N
e(S, x) = v(S) −
∑
i∈S
xi x S
i j ∈ N Tij = {S ⊆ N|i ∈ S, j ∉ S}
i j ∈ N x ∈
𝒜
(v)
sij(x) = max
S∈Tij
e(S, x)
x i j

特性関数: , , ,
v({1,2,3}) = 10 v({1,2}) = 6 v({1,3}) = 6 v({2,3}) = 4
v({1}) = v({2}) = v({3}) = 0
x = (x1, x2, x3) ∈
𝒜
(v)
s31(x) = max(v({2,3}) − x2 − x3, v({3}) − x3)
= max(4 − x2 − x3, 0 − x3)
=
{
4 − x2 − x3 (0 ≤ x2 ≤ 4)
−x3 (4 < x2 ≤ 10)
s32(x) = max(v({1,3}) − x1 − x3, v({3}) − x3)
= max(6 − x1 − x3, 0 − x3)
=
{
6 − x1 − x3 (0 ≤ x1 ≤ 6)
−x3 (6 < x1 ≤ 10)
解答
1
2 3
x1 ≤ 6
x2 ≤ 4
x3 ≤ 4
コア
(6, 4, 0)
(6, 0, 4)
(2, 4, 4)
S
(N, v) x ∈
𝒜
(v) S ⊆ N
e(S, x) = v(S) −
∑
i∈S
xi x S
i j ∈ N Tij = {S ⊆ N|i ∈ S, j ∉ S}
i j ∈ N x ∈
𝒜
(v)
sij(x) = max
S∈Tij
e(S, x)
x i j

特性関数: , , , ,
をとると,
v({1,2,3}) = 10 v({1,2}) = 6 v({1,3}) = 6 v({2,3}) = 4 v({1}) = v({2}) = v({3}) = 0
x = (x1, x2, x3) ∈
𝒜
(v)
s12(x) =
{
6 − x1 − x3 (0 ≤ x3 ≤ 6)
−x1 (6 < x3 ≤ 10)
s13(x) =
{
6 − x1 − x2 (0 ≤ x2 ≤ 6)
−x1 (6 < x2 ≤ 10)
s21(x) =
{
4 − x2 − x3 (0 ≤ x3 ≤ 4)
−x2 (4 < x3 ≤ 10)
s23(x) =
{
6 − x1 − x2 (0 ≤ x1 ≤ 6)
−x2 (6 < x1 ≤ 10)
s31(x) =
{
4 − x2 − x3 (0 ≤ x2 ≤ 4)
−x3 (4 < x2 ≤ 10)
s32(x) =
{
6 − x1 − x3 (0 ≤ x1 ≤ 6)
−x3 (6 < x1 ≤ 10)
解答となるためには,
(1)
または
(2) ならば
または
(3) ならば
i ∼x j
sij(x) = sji(x)
1
2 3
x1 ≤ 6
x2 ≤ 4
x3 ≤ 4
コア
(6, 4, 0)
(6, 0, 4)
(2, 4, 4)

特性関数: , , , ,
をとると,
,
◆ の場合, , であり, となるためには
(1)
であれば,
であれば,
(2) ならば,
. しかし, この場合となり,
となるため不適
(3) ならば,
. しかし, この場合となり, 不適
v({1,2,3}) = 10 v({1,2}) = 6 v({1,3}) = 6 v({2,3}) = 4 v({1}) = v({2}) = v({3}) = 0
x = (x1, x2, x3) ∈
𝒜
(v)
s12(x) =
{
6 − x1 − x3 (0 ≤ x3 ≤ 6)
−x1 (6 < x3 ≤ 10)
s21(x) =
{
4 − x2 − x3 (0 ≤ x3 ≤ 4)
−x2 (4 < x3 ≤ 10)
0 ≤ x3 ≤ 4 s12(x) = 6 − x1 − x3 s21(x) = 4 − x2 − x3 1 ∼x 2
s12(x) = s21(x) ⇔ 6 − x1 − x3 = 4 − x2 − x3 ⇔ x1 = x2 + 2
x3 = 0 x1 + x2 + x3 = 10 ⇔ x2 + 2 + x2 + 0 = 10 ⇔ x2 = 4
x3 = 4 x1 + x2 + x3 = 10 ⇔ x2 + 2 + x2 + 4 = 10 ⇔ x2 = 2
s12(x) > s21(x) ⇔ 6 − x1 − x3 > 4 − x2 − x3 ⇔ x1 < x2 + 2
x2 = v({2}) = 0 x1 < x2 + 2 = 0 + 2
x1 + x2 + x3 < 2 + 0 + 4 = 6 < 10
s12(x) < s21(x) ⇔ 6 − x1 − x3 < 4 − x2 − x3 ⇔ x1 > x2 + 2
x1 = v({1}) = 0 0 = x1 > x2 + 2 ≥ 2
(1)
または
(2) ならば
または
(3) ならば
i ∼x j
sij(x) = sji(x)
1
2 3
x1 ≤ 6
x2 ≤ 4
x3 ≤ 4
(6, 4, 0)
(6, 0, 4)
(2, 4, 4)
(4, 2, 4)

特性関数: , , , ,
をとると,
,
(1) (配分の全体合理性を利用)
(2)
ならば, .
しかし, この場合となり, 不適
(3)
ならば, .
しかし, この場合となるため不適
v({1,2,3}) = 10 v({1,2}) = 6 v({1,3}) = 6 v({2,3}) = 4 v({1}) = v({2}) = v({3}) = 0
x = (x1, x2, x3) ∈
𝒜
(v)
s12(x) =
{
6 − x1 − x3 (0 ≤ x3 ≤ 6)
−x1 (6 < x3 ≤ 10)
s21(x) =
{
4 − x2 − x3 (0 ≤ x3 ≤ 4)
−x2 (4 < x3 ≤ 10)
4 < x3 ≤ 6 s12(x) = 6 − x1 − x3 s21(x) = − x2 1 ∼x 2
s12(x) = s21(x) ⇔ 6 − x1 − x3 = − x2 ⇔ x1 + x3 = x2 + 6 ⇒ 10 − x2 = x2 + 6 ⇔ x2 = 2
s12(x) > s21(x) ⇔ 6 − x1 − x3 > − x2 ⇔ x1 + x3 < x2 + 6
⇒ 10 − x2 < x2 + 6 ⇔ x2 > 2 x2 = v({2}) = 0
0 = x2 > 2
s12(x) < s21(x) ⇔ 6 − x1 − x3 < − x2 ⇔ x1 + x3 > x2 + 6
⇒ 10 − x2 > x2 + 6 ⇔ x2 < 2 x1 = v({1}) = 0
x1 + x2 + x3 < 0 + 2 + 6 < 10
(1)
または
(2) ならば
または
(3) ならば
i ∼x j
sij(x) = sji(x)
1
2 3
x1 ≤ 6
x2 ≤ 4
x3 ≤ 4
(6, 4, 0)
(6, 0, 4)
(2, 4, 4)
(4, 2, 4)
(2, 2, 6)
x3 ≤ 6

特性関数: , , , ,
をとると,
,
(1)
(2) ならば, .
(3) ならば, .
v({1,2,3}) = 10 v({1,2}) = 6 v({1,3}) = 6 v({2,3}) = 4 v({1}) = v({2}) = v({3}) = 0
x = (x1, x2, x3) ∈
𝒜
(v)
s12(x) =
{
6 − x1 − x3 (0 ≤ x3 ≤ 6)
−x1 (6 < x3 ≤ 10)
s21(x) =
{
4 − x2 − x3 (0 ≤ x3 ≤ 4)
−x2 (4 < x3 ≤ 10)
6 < x3 ≤ 10 s12(x) = − x1 s21(x) = − x2 1 ∼x 2
s12(x) = s21(x) ⇔ − x1 = − x2 ⇔ x1 = x2
s12(x) > s21(x) ⇔ − x1 > − x2 ⇔ x1 < x2 x2 = v({2}) = 0
0 = x2 > x1 ≥ 0
s12(x) < s21(x) ⇔ − x1 < − x2 ⇔ x1 > x2 x1 = v({1}) = 0
0 = x1 > x2 ≥ 0
(1)
または
(2) ならば
または
(3) ならば
i ∼x j
sij(x) = sji(x)
1
2 3
x1 ≤ 6
x2 ≤ 4
x3 ≤ 4
(6, 4, 0)
(6, 0, 4)
(2, 4, 4)
(4, 2, 4)
(2, 2, 6)
x3 ≤ 6

特性関数: , , , ,
をとると,
v({1,2,3}) = 10 v({1,2}) = 6 v({1,3}) = 6 v({2,3}) = 4 v({1}) = v({2}) = v({3}) = 0
x = (x1, x2, x3) ∈
𝒜
(v)
s12(x) =
{
6 − x1 − x3 (0 ≤ x3 ≤ 6)
−x1 (6 < x3 ≤ 10)
s13(x) =
{
6 − x1 − x2 (0 ≤ x2 ≤ 6)
−x1 (6 < x2 ≤ 10)
s21(x) =
{
4 − x2 − x3 (0 ≤ x3 ≤ 4)
−x2 (4 < x3 ≤ 10)
s23(x) =
{
6 − x1 − x2 (0 ≤ x1 ≤ 6)
−x2 (6 < x1 ≤ 10)
s31(x) =
{
4 − x2 − x3 (0 ≤ x2 ≤ 4)
−x3 (4 < x2 ≤ 10)
s32(x) =
{
6 − x1 − x3 (0 ≤ x1 ≤ 6)
−x3 (6 < x1 ≤ 10)
(1)
または
(2) ならば
または
(3) ならば
i ∼x j
sij(x) = sji(x)
1
2 3
x1 ≤ 6
x2 ≤ 4
x3 ≤ 4
(6, 4, 0)
(6, 0, 4)
(2, 4, 4)

特性関数: , , , ,
をとると,
,
(1)
であれば,
であれば,
(2) ならば,
. しかし, この場合となり,
となるため不適
(3) ならば,
v({1,2,3}) = 10 v({1,2}) = 6 v({1,3}) = 6 v({2,3}) = 4 v({1}) = v({2}) = v({3}) = 0
x = (x1, x2, x3) ∈
𝒜
(v)
s13(x) =
{
6 − x1 − x2 (0 ≤ x2 ≤ 6)
−x1 (6 < x2 ≤ 10)
s31(x) =
{
4 − x2 − x3 (0 ≤ x2 ≤ 4)
−x3 (4 < x2 ≤ 10)
0 ≤ x2 ≤ 4 s13(x) = 6 − x1 − x2 s31(x) = 4 − x2 − x3 1 ∼x 3
s13(x) = s31(x) ⇔ 6 − x1 − x2 = 4 − x2 − x3 ⇔ x1 = x3 + 2
x2 = 0 x1 + x2 + x3 = 10 ⇔ x3 + 2 + 0 + x3 = 10 ⇔ x3 = 4
x2 = 4 x1 + x2 + x3 = 10 ⇔ x3 + 2 + 4 + x3 = 10 ⇔ x3 = 2
s13(x) > s31(x) ⇔ 6 − x1 − x2 > 4 − x2 − x3 ⇔ x1 < x3 + 2
x3 = v({3}) = 0 x1 < x3 + 2 = 0 + 2
x1 + x2 + x3 < 2 + 4 + 0 = 6 < 10
s13(x) < s31(x) ⇔ 6 − x1 − x2 < 4 − x2 − x3 ⇔ x1 > x3 + 2
x1 = v({1}) = 0 0 = x1 > x3 + 2 ≥ 2
(1)
または
(2) ならば
または
(3) ならば
i ∼x j
sij(x) = sji(x)
1
2 3
x1 ≤ 6
x2 ≤ 4
x3 ≤ 4
(6, 4, 0)
(6, 0, 4)
(2, 4, 4)
(4, 2, 4)
(4, 4, 2)

特性関数: , , , ,
をとると,
,
(1) (配分の全体合理性を利用)
(2)
ならば, .
(3)
ならば, .
しかし, この場合となるため不適
v({1,2,3}) = 10 v({1,2}) = 6 v({1,3}) = 6 v({2,3}) = 4 v({1}) = v({2}) = v({3}) = 0
x = (x1, x2, x3) ∈
𝒜
(v)
s13(x) =
{
6 − x1 − x2 (0 ≤ x2 ≤ 6)
−x1 (6 < x2 ≤ 10)
s31(x) =
{
4 − x2 − x3 (0 ≤ x2 ≤ 4)
−x3 (4 < x2 ≤ 10)
4 < x2 ≤ 6 s13(x) = 6 − x1 − x2 s31(x) = − x3 1 ∼x 3
s13(x) = s31(x) ⇔ 6 − x1 − x2 = − x3 ⇔ x1 + x2 = x3 + 6 ⇒ 10 − x3 = x3 + 6 ⇔ x3 = 2
s13(x) > s31(x) ⇔ 6 − x1 − x2 > − x3 ⇔ x1 + x2 < x3 + 6
⇒ 10 − x3 < x3 + 6 ⇔ x3 > 2 x3 = v({3}) = 0
0 = x3 > 2
s13(x) < s31(x) ⇔ 6 − x1 − x2 < − x3 ⇔ x1 + x2 > x3 + 6
⇒ 10 − x3 > x3 + 6 ⇔ x3 < 2 x1 = v({1}) = 0
x1 + x2 + x3 < 0 + 6 + 2 < 10
(1)
または
(2) ならば
または
(3) ならば
i ∼x j
sij(x) = sji(x)
1
2 3
x1 ≤ 6
x2 ≤ 4
x3 ≤ 4
(6, 4, 0)
(6, 0, 4)
(2, 4, 4)
(4, 2, 4)
(4, 4, 2)
(4, 4, 2)

特性関数: , , , ,
をとると,
,
(1)
(2) ならば, .
(3) ならば, .
v({1,2,3}) = 10 v({1,2}) = 6 v({1,3}) = 6 v({2,3}) = 4 v({1}) = v({2}) = v({3}) = 0
x = (x1, x2, x3) ∈
𝒜
(v)
s13(x) =
{
6 − x1 − x2 (0 ≤ x2 ≤ 6)
−x1 (6 < x2 ≤ 10)
s31(x) =
{
4 − x2 − x3 (0 ≤ x2 ≤ 4)
−x3 (4 < x2 ≤ 10)
6 < x2 ≤ 10 s13(x) = − x1 s31(x) = − x3 1 ∼x 3
s13(x) = s31(x) ⇔ − x1 = − x3 ⇔ x1 = x3
s13(x) > s31(x) ⇔ − x1 > − x3 ⇔ x1 < x3 x3 = v({3}) = 0
0 = x3 > x1 ≥ 0
s13(x) < s31(x) ⇔ − x1 < − x3 ⇔ x1 > x3 x1 = v({1}) = 0
0 = x1 > x3 ≥ 0
(1)
または
(2) ならば
または
(3) ならば
i ∼x j
sij(x) = sji(x)
1
2 3
x1 ≤ 6
x2 ≤ 4
x3 ≤ 4
(6, 4, 0)
(6, 0, 4)
(2, 4, 4)
(4, 2, 4)
(4, 4, 2)
(4, 4, 2)

特性関数: , , , ,
をとると,
v({1,2,3}) = 10 v({1,2}) = 6 v({1,3}) = 6 v({2,3}) = 4 v({1}) = v({2}) = v({3}) = 0
x = (x1, x2, x3) ∈
𝒜
(v)
s12(x) =
{
6 − x1 − x3 (0 ≤ x3 ≤ 6)
−x1 (6 < x3 ≤ 10)
s13(x) =
{
6 − x1 − x2 (0 ≤ x2 ≤ 6)
−x1 (6 < x2 ≤ 10)
s21(x) =
{
4 − x2 − x3 (0 ≤ x3 ≤ 4)
−x2 (4 < x3 ≤ 10)
s23(x) =
{
6 − x1 − x2 (0 ≤ x1 ≤ 6)
−x2 (6 < x1 ≤ 10)
s31(x) =
{
4 − x2 − x3 (0 ≤ x2 ≤ 4)
−x3 (4 < x2 ≤ 10)
s32(x) =
{
6 − x1 − x3 (0 ≤ x1 ≤ 6)
−x3 (6 < x1 ≤ 10)
(1)
または
(2) ならば
または
(3) ならば
i ∼x j
sij(x) = sji(x)
1
2 3
x1 ≤ 6
x2 ≤ 4
x3 ≤ 4
(6, 4, 0)
(6, 0, 4)
(2, 4, 4)
(4, 2, 4)
(4, 4, 2)
(4, 4, 2)

特性関数: , , , ,
をとると,
,
(1)
であれば,
であれば,
(2) ならば,
(3) ならば,
v({1,2,3}) = 10 v({1,2}) = 6 v({1,3}) = 6 v({2,3}) = 4 v({1}) = v({2}) = v({3}) = 0
x = (x1, x2, x3) ∈
𝒜
(v)
s23(x) =
{
6 − x1 − x2 (0 ≤ x1 ≤ 6)
−x2 (6 < x1 ≤ 10)
s32(x) =
{
6 − x1 − x3 (0 ≤ x1 ≤ 6)
−x3 (6 < x1 ≤ 10)
0 ≤ x1 ≤ 6 s23(x) = 6 − x1 − x2 s32(x) = 6 − x1 − x3 2 ∼x 3
s23(x) = s32(x) ⇔ 6 − x1 − x2 = 6 − x1 − x3 ⇔ x2 = x3
x1 = 0 x2 = x3 = 5
x1 = 6 x2 = x3 = 2
s23(x) > s32(x) ⇔ 6 − x1 − x2 > 6 − x1 − x3 ⇔ x2 < x3
x3 = v({3}) = 0 0 = x3 > x2 ≥ 0
s23(x) < s32(x) ⇔ 6 − x1 − x2 < 6 − x1 − x3 ⇔ x2 > x3
x2 = v({2}) = 0 0 = x2 > x3 ≥ 0
(1)
または
(2) ならば
または
(3) ならば
i ∼x j
sij(x) = sji(x)
1
2 3
x1 ≤ 6
x2 ≤ 4
x3 ≤ 4
(6, 4, 0)
(6, 0, 4)
(2, 4, 4)
(4, 2, 4)
(4, 4, 2)
(4, 4, 2)
(0, 5, 5)
(6, 2, 2)

特性関数: , , , ,
をとると,
,
(1)
(2) ならば,
(3) ならば,
v({1,2,3}) = 10 v({1,2}) = 6 v({1,3}) = 6 v({2,3}) = 4 v({1}) = v({2}) = v({3}) = 0
x = (x1, x2, x3) ∈
𝒜
(v)
s23(x) =
{
6 − x1 − x2 (0 ≤ x1 ≤ 6)
−x2 (6 < x1 ≤ 10)
s32(x) =
{
6 − x1 − x3 (0 ≤ x1 ≤ 6)
−x3 (6 < x1 ≤ 10)
6 < x1 ≤ 10 s23(x) = − x2 s32(x) = − x3 2 ∼x 3
s23(x) = s32(x) ⇔ − x2 = − x3 ⇔ x2 = x3
s23(x) > s32(x) ⇔ − x2 > − x3 ⇔ x2 < x3
x3 = v({3}) = 0 0 = x3 > x2 ≥ 0
s23(x) < s32(x) ⇔ − x2 < − x3 ⇔ x2 > x3
x2 = v({2}) = 0 0 = x2 > x3 ≥ 0
(1)
または
(2) ならば
または
(3) ならば
i ∼x j
sij(x) = sji(x)
1
2 3
x1 ≤ 6
x2 ≤ 4
x3 ≤ 4
(6, 4, 0)
(6, 0, 4)
(2, 4, 4)
(4, 2, 4)
(4, 4, 2)
(4, 4, 2)
(0, 5, 5)
(6, 2, 2)

特性関数: , , , ,
をとる.
以上より, , , となる配分は, 右図から
かつ全体合理性
を同時に満たす配分になる.
ゆえに .
この配分のみがカーネルに含まれる配分である.
v({1,2,3}) = 10 v({1,2}) = 6 v({1,3}) = 6 v({2,3}) = 4 v({1}) = v({2}) = v({3}) = 0
x = (x1, x2, x3) ∈
𝒜
(v)
1 ∼x 2 1 ∼x 3 2 ∼x 3
x1 = x2 + 2
x1 = x3 + 2
x2 = x3
x1 + x2 + x3 = 10
x1 + x2 + x3 = 10 ⇒ x2 + 2 + x2 + x2 = 10 ⇔ 3x2 = 8 ⇔ x2 =
8
3
(
14
3
,
8
3
,
8
3)
解答
定義：カーネル
任意の2人のプレイヤーが均衡状態にあるような配分の全体
をカーネルという
𝒦
= {x ∈
𝒜
(v)|i ∼x j ∀i, j ∈ N, i ≠ j}
1
2 3
x1 ≤ 6
x2 ≤ 4
x3 ≤ 4
(6, 4, 0)
(6, 0, 4)
(2, 4, 4)
(4, 2, 4)
(4, 4, 2)
(4, 4, 2)
(0, 5, 5)
(6, 2, 2)

ゲーム理論 BASIC 演習133 -企業の協力と利益配分 : カーネル- #ゲーム理論 #gametheory #数学 #カーネル #交渉 #協力ゲーム

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