ゲーム理論 BASIC 演習130 -企業の協力と利益配分 : コア- #ゲーム理論 #gametheory #数学 #コア #ナッシュ均衡 #協力ゲーム

1. ゲーム理論 BASIC 演習130
企業の協力と利益配分 : コア

2. 1. 問題
2. 解答

3. 問題：企業の共同プロジェクト
企業1, 2, 3が共同プロジェクトを行うときに, それぞれの提携が生み出す利益は下記表となる：
このとき, 特製関数形ゲームとして表現し, コアを求めよ.
問題
提携Sが生み出す利益
提携S 利益
{1} 0
{2} 0
{3} 0
{1, 2} 6
{1, 3} 6
{2, 3} 4
{1, 2, 3} 10

4. 特性関数形ゲームの定義
定義：提携と特性関数
プレイヤーの集合を とする.
このとき の部分集合を提携といい, 提携の集合を で表す
この各提携に実数値を与える関数を
譲渡可能な効用をもつゲーム(TUゲーム)における特性関数という
特性関数形ゲームは で与えられる.
(例) のとき,
, , , , , , ,
N
N 2N
v : 2N
→ ℜ
(N, v)
N = {1, 2, 3} 2N
= {∅, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}}
v(∅) = 0 v({1}) = 10 v({2}) = 20 v({3}) = 10 v({1,2}) = 50 v({1,3}) = 50 v({2,3}) = 70 v({1,2,3}) = 100
全員の提携を全体提携と呼ぶ

5. 配分の定義
定義：配分
特性関数形ゲーム の利得ベクトル が配分であるとは
(個人合理性)
(全体合理性)
が成り立つことである
配分の集合を で表す
(N, v) x = (x1, ⋯, xn)
xi ≥ v({i}) ∀i ∈ N
∑
i∈N
xi = v(N)
𝒜
(v)

6. (例) のとき,
, , , , , , ,
, , , として, と戦略的同等な特性関数 は
, , , , , , ,
N = {1, 2, 3} 2N
= {∅, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}}
v(∅) = 0 v({1}) = 10 v({2}) = 20 v({3}) = 10 v({1,2}) = 50 v({1,3}) = 50 v({2,3}) = 70 v({1,2,3}) = 100
v′

(S) = v(S) +
∑
i∈S
βi β1 = − 10 β2 = − 20 β3 = − 10 v v′

v′

(∅) = 0 v′

({1}) = 0 v′

({2}) = 0 v′

({3}) = 0 v′

({1,2}) = 20 v′

({1,3}) = 30 v′

({2,3}) = 40 v′

({1,2,3}) = 60
配分の基本三角形
v′

({1,2,3}) = 60
1
2 3
x3
x1
x2
全体合理性：x1 + x2 + x3 = 60
1
2
x1l +
1
2
x2l +
1
2
x3l =
1
2
60l
l

7. 優加法性を満たすゲームにおけるコア
定理
特性関数形ゲーム において, が優加法性を満たすとき
コアは,
定義：提携 の不満
特性関数形ゲーム において, 配分 と提携 をとるとき,
を配分 に対する提携 の不満という.
コアに含まれる配分は となるため,
すべての提携 について不満がない状態とも言える
(N, v) v
C(v) = {x ∈
𝒜
(v)|
∑
i∈S
xi ≥ v(S), ∀S ⊂ N, S ≠ ∅, N}
S
(N, v) x ∈
𝒜
(v) S ⊆ N
e(S, x) = v(S) −
∑
i∈S
xi x S
e(S, x) ≤ 0
S ⊆ N
提携合理性

8. 特性関数は以下のようになる:
, , ,
v({1,2,3}) = 10 v({1,2}) = 6 v({1,3}) = 6 v({2,3}) = 4
v({1}) = v({2}) = v({3}) = 0
解答
提携Sが生み出す利益
提携S 利益
{1} 0
{2} 0
{3} 0
{1, 2} 6
{1, 3} 6
{2, 3} 4
{1, 2, 3} 10

9. 特性関数は以下のようになる:
, , ,
配分を とすると
全体合理性, 個人合理性, 提携合理性を満たすので
(全体合理性)
(個人合理性)
(提携合理性)
v({1,2,3}) = 10 v({1,2}) = 6 v({1,3}) = 6 v({2,3}) = 4
v({1}) = v({2}) = v({3}) = 0
x = (x1, x2, x3)
x1 + x2 + x3 = 10
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0
x1 + x2 ≥ 6, x1 + x3 ≥ 6, x2 + x3 ≥ 4
⇒ 4 ≥ x3, 4 ≥ x2, 6 ≥ x1
C(v) = {x ∈
𝒜
(v)|4 ≥ x3, 4 ≥ x2, 6 ≥ x1}
解答
提携Sが生み出す利益
提携S 利益
{1} 0
{2} 0
{3} 0
{1, 2} 6
{1, 3} 6
{2, 3} 4
{1, 2, 3} 10
1
2 3
x1 ≤ 6
x2 ≤ 4
x3 ≤ 4
コア
v({1,2,3}) = 10
(6, 4, 0)
(6, 0, 4)
(2, 4, 4)

10. ゲーム理論 BASIC 演習130
企業の協力と利益配分 : コア