Indices Miller

2. Z
Y
X
[0 1 0]
[1 0 1]

3. a
x
y
z
b
c
For cubic: a = b = c = ao
[001]
[210]
[100]
[111]
[120]
]001[
]332[
]021[
1½0
-2
/311

5. Miller Indices
l
c
h
a
k
b

6. Miller Indices

7. Z
X
Y
(100)
Z
X
Y
(110)
Z
X
Y
(111)

8. FAMÍLIA DE PLANOS {110}
É paralelo à um eixo

9. FAMÍLIA DE PLANOS {111}
Intercepta os 3 eixos

10. Directions & Miller Indices in
Hexagonal Structures
a 2
a 1
a 3
c
a 2
a 1
a 3
c
[011]
[UVW] or [uvtw] (hkil) or (hk·l)
[210]
(0001)
( )0011
( )0121
( )1110
wW
tvV
tuU
=
−=
−=
ikh −=+

11. Diamond Lattice
(100) (110)

12. Diamond Lattice
(111)

13. Spacing of Planes
dhkl =
a
h2
+ k2
+ l2
1
d2
=
h2
+ k2
+ l2
a2
Cubic:
dhkl =
a
h2
+ k2
+ l2 a2
c2




Tetragonal:
1
d2
=
h2
+ k2
a2
+
l2
c2
1
d2
=
4
3
h2
+ hk + k2
a2



 +
l2
c2
Cubic:
Tetragonal:
Hexagonal:
1
d2
=
h2
+ k2
+ l2
( )sin2
α + 2 hk + kl + hl( ) cos2
α − cosα( )
a2
1− 3cos2
α + 2cos3
α( )Rhombohedral:

14. Spacing of Planes
1
d2
=
h2
a2
+
k2
b2
+
l2
c2
1
d2
=
1
sin2
β
h2
a2
+
k2
sin2
β
b2
+
l2
c2
−
2hl cosβ
ac




1
d2
=
1
V2
S11h2
+ S22k2
+ S33l2
+ 2S12hk + 2S23kl + 2S13hl( )
Orthorhombic:
Monoclinic:
Triclinic:
V = volume of the unit cell = abc 1− cos2
α − cos2
β − cos2
γ + 2cosα cosβ cosγ
S11 = b2
c2
sin2
α
β= 222
22 sincaS
S33 = a2
b2
sin2
γ
S12 = abc2
cosα cosβ − cosγ( )
S23 = a2
bc cosβ cosγ − cosα( )
S13 = ab2
c cosγ cosα − cosβ( )

15. Reciprocal Lattice
Unit cell: b1, b2, b3
Reciprocal lattice unit cell: b1
*
, b2
*
, b3
*
defined by:
b1
*
=
2π
V
b2 × b3( )=
2π b2 × b3( )
b1 ⋅ b2 × b3
b2
*
=
2π
V
b3 × b1( )=
2π b3 × b1( )
b1 ⋅b2 × b3
b3
*
=
2π
V
b1 × b2( )=
2π b1 × b2( )
b1 ⋅b2 × b3
b1
b2
b3
*
A
B CP
O
b3
*
= 2π ⋅
b1 × b2
V
=
2π ⋅ area of parallelogram OACB( )
area of parallelogram OACB( ) height of cell( )
=
2π
OP
=
2π
d001
b3

16. Reciprocal LatticeLike the real-space lattice, the reciprocal space lattice also has a translation vector, Kl:
K = hb1
*
+ kb2
*
+ lb3
*
Where the length of R·K is equal to:
R ⋅K = 2π n1h + n2k + n3l( )= 2πN
The magnitude of the translation vector has the following relationship:
d
K
L a ttic e
P la n eR
R '
R ''
d =
2π
K

17. Angles and Inner Planar Spacing
is ⊥ to (hkl) plane. Therefore, the angle between (h1k1l1)
and (h2k2l2) planes is the angle between the Kh1k1l1
and
Kh2k2l2
vectors.
α=⋅ cosabbaRecall the dot product: cosφ =
Kh1k1l1
⋅ Kh2 k2l2
Kh1k1l1
Kh2 k2l2
Khkl ⋅ Khkl = hb1
*
+ kb2
*
+ lb3
*
( )⋅ hb1
*
+ kb2
*
+ lb3
*
( )
= hhb1
*
⋅b1
*
+ hkb1
*
⋅b2
*
+ hlb1
*
⋅b3
*
+ khb2
*
⋅ b1
*
+ kkb2 ⋅ b2
*
+ klb2
*
⋅ b3
*
+ lhb3
*
⋅ b1
*
+ lkb3
*
⋅b2
*
+ llb3
*
⋅ b3
*
Khkl
2
=
2π( )2
dhkl
2
= h2
b1
*
( )
2
+ k2
b2
*
( )
2
+ l2
b3
*
( )
2
+ 2hkb1
*
b2
*
cosγ *
+ 2klb2
*
b3
*
cosα*
+ 2lhb3
*
b1
*
cosβ*
Angles between reciprocal
lattice vectors.
K = hb1
*
+ kb2
*
+ lb3
*

18. Two Dimensional Lattice
Possible choices of primitive cell for a single 2D Bravais lattice.
Wigner-Seitz

19. First Brillouin Zone
If these lattice points now represent reciprocal lattice points, then the
first Brillouin zone is just the Wigner-Seitz cell of the reciprocal
lattice.
b1
*
b2
*

20. DETERMINAÇÃO DA ESTRUTURA
CRISTALINA POR DIFRAÇÃO DE
RAIO X

21. DIFRAÇÃO DE RAIOS X
LEI DE BRAGG
nλ= 2 dhkl.senθ
λ É comprimento de onda
N é um número inteiro de
ondas
d é a distância interplanar
θ O ângulo de incidência
dhkl= a
(h2
+k2
+l2
)1/2
Válido
para
sistema
cúbico

22. DISTÂNCIA INTERPLANAR
(dhkl)
• É uma função dos índices de Miller e do parâmetro de rede
dhkl= a
(h2
+k2
+l2
)1/2

23. TÉCNICAS DE DIFRAÇÃO
• Técnica do pó:
É bastante comum, o material a ser analisado
encontra-se na forma de pó (partículas finas
orientadas ao acaso) que são expostas à radiação
x monocromática. O grande número de partículas
com orientação diferente assegura que a lei de
Bragg seja satisfeita para alguns planos
cristalográficos

24. O DIFRATOMÊTRO DE
RAIOS X
• T= fonte de raio X
• S= amostra
• C= detector
• O= eixo no qual a amostra e o
detector giram
Detector
Fonte
Amostra

25. DIFRATOGRAMA