Uploaded byjamnona
12 views

Array in data structures and algorithm design

This is about array data structures

Embed presentation

Download to read offline
Data Structure and Algorithm Design ‫طراحی‬ ‫و‬ ‫داده‬ ‫ساختمان‬ ‫ها‬‫الگوریتم‬
2
3
‫ومراجع‬ ‫منابع‬ T. Cormen, C. Leiserson, R. Rivest, and C. Stein, Introduction to Algorithms, 3rd edition, MIT Press, 2009. 4
J. Kleinberg and E. Tardos, Algorithm Design, Addison Wesley, 2005. 5
Introduction to Algorithms, A Creative Approach,Addision- wesley 1988 By:U.Manber 6
‫محمدقدسی‬ ،‫ها‬ ‫الگوریتم‬ ‫تحلیل‬ ‫و‬ ‫طراحی‬ ‫مبانی‬ ، ‫شری‬ ‫صنعتی‬ ‫دانشگاه‬ ‫علمی‬ ‫انتشارات‬ ‫مؤسسه‬ ‫چاپ‬ ،‫ف‬ ،‫اول‬ 1400 . 7
،‫محمدقدسی‬ ،‫ها‬‫الگوریتم‬ ‫مبانی‬ ‫و‬ ‫ساختارها‬‫داده‬ ،‫نهم‬ ‫چاپ‬ ،‫فاطمی‬ ‫انتشارات‬ 1400 . 8
‫نظری‬ ‫و‬ ‫نویسی‬ ‫برنامه‬ ‫الگوریتمی‬ ‫های‬ ‫مسئله‬ ‫محمد‬ ، ‫قدسی‬ - ‫چاپ‬ ،‫فاطمی‬ ‫انتشارات‬ ،‫مهدیان‬ ‫محمد‬ ،‫پنجم‬ 1394 9
‫ها‬‫الگوریتم‬ ‫طراحی‬ : ‫کا‬ ‫ارزیابی‬ ‫و‬ ‫طراحی‬ ،‫تحلیل‬ ،‫رایی‬ ‫نشر‬ ‫به‬ ،‫چهارم‬ ‫ویرایش‬ ،‫زاده‬‫نقیب‬ ‫محمود‬ ( ‫انتشار‬ ‫ات‬ ‫رضوی‬ ‫قدس‬ ‫آستان‬ ) 10
‫ارزشیابی‬ • ‫ترم‬ ‫پایان‬ 10 ‫نمره‬ • ‫ترم‬ ‫میان‬ 5 ‫نمره‬ • ‫کوئیز‬ ‫و‬ ‫پروژه‬ ،‫تمرین‬ ،‫کالسی‬ ‫کار‬ 5 ‫نمره‬ 11
‫الگوریتم‬ : ( ‫از‬ ‫نظر‬ ‫علم‬ ‫کامپیوتر‬ ) ‫هر‬ ‫دستورالعملی‬ ‫که‬ ‫مراحل‬ ‫مختلف‬ ‫انجام‬ ‫کاری‬ ‫را‬ ‫به‬ ‫زبان‬ ‫دقیق‬ ‫و‬ ‫با‬ ‫جزییات‬ ‫کاف‬ ‫ی‬ ‫بیان‬ ‫کند‬ ‫به‬ ‫ای‬‫گونه‬ ‫که‬ ‫ترتیب‬ ‫مراحل‬ ‫و‬ ‫شرط‬ ‫خاتمه‬ ‫عملیات‬ ‫کامال‬ ‫مشخص‬ ‫با‬ ،‫شد‬ ‫الگوریتم‬ ‫نامیده‬ ‫شود‬‫می‬ . ‫ها‬‫الگوریتم‬ ‫پیچیدگی‬ ‫درجه‬ ‫محاسبه‬ 12 ‫الگوریتم‬ ( : ‫لغوی‬ ‫معنی‬ ) ‫است‬ ‫ازمسائل‬ ‫دسته‬ ‫یک‬ ‫حل‬ ‫مخصوص‬ ‫روش‬ ‫هر‬ .
‫ها‬‫ویژگی‬ ‫باشد‬ ‫غیرمبهم‬ ‫یا‬ ‫باشد‬ ‫واضح‬ ‫باید‬ ‫العمل‬ ‫دستور‬ . ‫باشند‬ ‫اجرا‬ ‫قابل‬ ‫باید‬ ‫ها‬ ‫العمل‬ ‫دستور‬ ( ‫ب‬ ‫تقسیم‬ ‫ر‬ ‫و‬ ‫صفر‬ ) ..... ‫باشد‬ ‫پذیر‬‫پایان‬ . ‫باشد‬ ‫داشته‬ ‫خاتمه‬ ‫شرط‬ . ‫فاقد‬ ‫تواند‬‫می‬ ‫ولی‬ ‫باشد‬ ‫داشته‬ ‫خروجی‬ ‫یک‬ ‫حداقل‬ ‫باشد‬ ‫ورودی‬ . ‫الگوریتم‬ ‫پیچیدگی‬ ‫محاسبه‬ 13 ‫الگوریتم‬ : ( ‫کتاب‬ ‫هورویتز‬ ) ‫ای‬‫مجموعه‬ ‫متناهی‬ ‫از‬ ‫مراحل‬ ‫است‬ ‫که‬ ‫هر‬ ‫مرحله‬ ‫ممکن‬ ‫است‬ ‫مستلزم‬ ‫یک‬ ‫یا‬ ‫چندین‬ ‫دستورالعمل‬ ‫باشد‬ . ‫هر‬ ‫دستورالعمل‬ ‫هایی‬‫محدودیت‬ ‫به‬ ‫شرح‬ ‫زیر‬ ‫دارد‬ :
‫اجرا‬ ‫زمان‬ ‫پردازنده‬ ‫نوع‬ ‫کامپایلر‬ ‫ورودی‬ ‫اندازه‬ ‫الگوریتم‬ ‫پیچیدگی‬ ... ‫الگوریتم‬ ‫پیچیدگی‬ ‫محاسبه‬ 14
‫الگوریتم‬ ‫طراحی‬ : 15 ‫الگوریتم‬ ‫کارایی‬ : ‫الگوریتم‬ ‫وبدی‬ ‫خوبی‬ ‫ی‬ ‫ها‬ ‫معیار‬ ( ‫ارزیابی‬ : ) 1 - ‫اجرا‬ ‫زمان‬ 2 - ‫حافظه‬ ‫میزان‬ ‫نیاز‬ ‫مورد‬ ‫زمانی‬ ‫سنجش‬ : 1 - ‫زمانی‬ ‫دقیق‬ ‫سنجش‬ 2 - ‫اجرا‬ ‫زمان‬ ‫تقریبی‬ ‫و‬ ‫تحلیلی‬ ‫سنجش‬ ( ‫الگوریتم‬ ‫زمانی‬ ‫ی‬ ‫مرتبه‬ ) ‫دقیق‬ ‫سنجش‬ ‫از‬ ‫استفاده‬ ‫معایب‬ : 1 - ‫و‬ ‫دما‬ ،‫کامپیوتر‬ ‫باشد‬ ‫یکی‬ ‫باهم‬ ‫ها‬ ‫قسمت‬ ‫تمامی‬ ‫باید‬ .....
‫ها‬‫الگوریتم‬ ‫برتری‬ ‫معیار‬ : ✓ ‫ی‬‫مرتبه‬ ‫فضایی‬ ( ‫مکانی‬ ) ‫اجرا‬ ( Space Complexity ) : ‫پیچیدگی‬ ‫فضایی‬ ‫یک‬ ‫الگوریتم‬ ‫مقدار‬ ‫ای‬‫حافظه‬ ‫است‬ ‫که‬ ‫با‬ ‫توجه‬ ‫به‬ ‫های‬‫داده‬ ،‫مسئله‬ ‫برای‬ ‫حل‬ ‫آن‬ ‫الزم‬ ‫است‬ . ✓ ‫ی‬‫مرتبه‬ ‫زمانی‬ ‫اجرا‬ ( Time Complexity ) : T(n) ‫مدت‬ ‫زمانی‬ ‫که‬ ‫نیاز‬ ‫است‬ ‫تا‬ ‫تمامی‬ ‫اعمال‬ ‫الزم‬ ‫برای‬ ‫کامل‬ ‫شدن‬ ‫یک‬ ‫الگوریتم‬ ‫انجام‬ ‫پذیرد‬ ‫را‬ ‫پیچید‬ ‫گی‬ ‫زمانی‬ ‫آن‬ ‫الگوریتم‬ ‫گویند‬ . 16
‫نماد‬ O ∃𝑛0, 𝑐 > 0 ∀𝑛 ≥ 𝑛0 : 𝑓 𝑛 ≤ 𝑐𝑔 𝑛 𝑓 𝑛 = 𝑂 𝑔 𝑛 17 ‫نشود‬ ‫بیشتر‬ ‫حد‬ ‫این‬ ‫از‬ ‫الگوریتم‬ ‫اجرای‬ ‫زمان‬ ‫یعنی‬ ‫باال‬ ‫کران‬ ‫کمترین‬ . ( ‫حالت‬ ‫بدترین‬ )
‫نمادها‬ ( Big – O ) ‫نماد‬ ‫رياض‬ ‫تعريف‬ ‫ی‬ : O(g(n)) f(n) cg(n) f(n) : 0 n n 0 c , 0 n =       T(n)=O(g(n)) 18
‫مجانبی‬ ‫نماد‬ O ‫بزرگ‬  O : ‫مرتبه‬ ‫زمانی‬ f(n) ‫برابر‬ g(n) ،‫است‬ ‫که‬ ‫به‬ ‫صورت‬ f(n)=O(g(n)) ‫یا‬ f(n)  (g(n)) ‫نوشته‬ ،‫شده‬ ‫اگر‬ ‫و‬ ‫فقط‬ ‫اگر‬ ‫بتوان‬ ‫ثابت‬ ‫صحیح‬ n0 ‫و‬ ‫ثابت‬ ‫مثبت‬ c ‫را‬ ‫چنان‬ ‫پیدا‬ ‫کرد‬ ‫که‬ ‫داشته‬ ‫باشیم‬ : |f(n)|  c |g(n)| n  n0  ً‫ال‬‫معمو‬ ‫در‬ ‫مبحث‬ ‫مرتبه‬ ‫های‬ ‫زمانی‬ n ‫های‬ ‫کوچک‬ ‫را‬ ‫در‬ ‫نظر‬ ‫نمی‬ ،‫گیرند‬ ‫چون‬ ‫هر‬ ‫الگوریتم‬ ‫بدی‬ ‫برای‬ ‫مسأله‬ ‫های‬ ‫کوچک‬ ‫قابل‬ ‫قبول‬ ‫و‬ ‫خوب‬ ‫کار‬ ‫می‬ ،‫کند‬ ‫در‬ ‫نتی‬ ‫جه‬ n ‫های‬ ‫بزرگ‬ ‫در‬ ‫نظر‬ ‫گرفته‬ ‫می‬ ‫شود‬ .  ‫مرتبه‬ ‫زمانی‬ O ( ‫بزرگ‬ ) ‫تعداد‬ ‫اعمال‬ ‫الزم‬ ‫برای‬ ‫اجرای‬ ‫الگوریتم‬ ‫را‬ ‫از‬ ‫باال‬ ‫محدود‬ ‫می‬ ‫کند‬ ‫به‬ ‫عبارت‬ ‫دیگر‬ ‫مرتبه‬ O ‫حد‬ ‫باالی‬ ‫مجانبی‬ ‫تعداد‬ ‫اعمال‬ ‫الزم‬ ‫برای‬ ‫اجرای‬ ‫الگوریتم‬ ‫را‬ ‫مشخص‬ ‫می‬ ‫کند‬ . f(n) c g(n) n0 f(n) n 19
‫مجانبی‬ ‫نماد‬ O ‫بزرگ‬  ،‫مثال‬ 1. f(n)=2n2 g(n)=n2 ،c=10 n0=1  2n2  n2 n  n0  f(n)=O(n2) 2. f(n)=1,000,000n2 g(n)=n2 ،c=10،000،000 n0=1  1،000،000n2  ،،n2 n   f(n)=O(n2) 3. f(n)=10n2+3n+200 g(n)=n2 ،c=100 n0=2  10n2+3n+200 n2 n    f(n)=O(n2) 20
‫مجانبی‬ ‫نماد‬ O ‫بزرگ‬  ‫توجه‬ : ،‫زمانی‬ ‫مرتبه‬ ‫مبحث‬ ‫در‬ g(n) ‫باشد‬ ‫ممکن‬ ‫تابع‬ ‫کوچکترین‬ ‫بایستی‬ ( . ‫که‬ ‫چند‬ ‫هر‬ ‫در‬ ‫نباشد‬ ‫تواند‬ ‫می‬ ‫ریاضیات‬ ) f(n)=2n f(n)  n2 n    f(n) =O(n2)  ‫است‬ ‫درست‬ ‫ریاضی‬ ‫لحاظ‬ ‫از‬ ‫نتیجه‬ ‫مثال‬ ‫در‬ . ‫ز‬ ‫مرتبه‬ ‫به‬ ‫مربوط‬ ‫محاسبات‬ ‫این‬ ‫اگر‬ ‫اما‬ ‫مانی‬ ‫الگوریتمی‬ ‫باید‬ ‫باشد‬ g(n) ‫گرفت‬ ‫نظر‬ ‫در‬ ‫ممکن‬ ‫کوچکترین‬ ‫را‬ .  ‫مورد‬ ‫در‬ ‫قبلی‬ ‫توضیحات‬ ‫و‬ ‫نکته‬ ‫این‬ ‫به‬ ‫توجه‬ ‫با‬ O ‫گفت‬ ‫توان‬‫می‬ :  O ، ‫حداقلی‬ ‫باالی‬ ‫حد‬ ‫برای‬ ‫مجانبی‬ ‫کن‬ ‫می‬ ‫مشخص‬ ‫را‬ ‫الگوریتم‬ ‫یک‬ ‫در‬ ‫کلیدی‬ ‫عمل‬ ‫تکرار‬ ‫تعداد‬ ‫د‬ .  ‫نماد‬ ‫کمک‬ ‫به‬ ‫اگر‬ ‫مثال‬ ‫مجانبی‬ O ‫زمانی‬ ‫مرتبه‬ ‫بگوییم‬ ، ‫الگوریتمی‬ n2 ‫تکرار‬ ‫تعداد‬ ‫حداکثر‬ ‫یعنی‬ ،‫است‬ ‫با‬ ‫حداقل‬ ‫الگوریتم‬ ‫اجرای‬ ‫برای‬ ‫کلیدی‬ ‫عمل‬ n2 ‫با‬ ‫دیگر‬ ‫عبارت‬ ‫به‬ ‫و‬ ‫است‬ ‫متناسب‬ n3 ‫نخواهد‬ ‫متناسب‬ ‫بود‬ . 21
‫رایج‬ ‫زمانی‬ ‫های‬ ‫مرتبه‬ ‫از‬ ‫برخی‬ O(1), O(logn), O(nlogn), O(n2), ...,O(n3 ), ..., O(2n), O(3n),...,O(n!)  ‫ثابت‬ ‫مخفی‬ (Hidden Constant) : ‫اگر‬ ‫مرتبه‬ ‫زمانی‬ ‫دو‬ ‫تابع‬ ‫یکسان‬ ،‫باشد‬ ‫توان‬‫می‬ ‫ضریب‬ ‫بزرگترین‬ ‫توان‬ ‫را‬ ‫در‬ ‫نظر‬ ‫گرفت‬ . f1(n)= 4n+374 → O(n) f2(n)= 3.2n+29 → O(n)  ‫اگر‬ ‫در‬ ‫برخی‬ ‫مسائل‬ ‫ثابت‬ ‫مخفی‬ ‫داده‬ ،‫نشود‬ ‫آن‬ ‫را‬ ‫یک‬ ‫در‬ ‫نظر‬ ‫گیریم‬‫می‬ . ‫نمایی‬ ‫ای‬ ‫جمله‬ ‫چند‬ ‫لگاریتمی‬ ‫ثابت‬ 22
‫نماد‬ « O » : ✓ ‫درست‬ ‫مثال‬ : 2n+1=O(n) 3n2+6=O(n2) 2n+6n-3=O(2n) ˣ ‫نادرست‬ ‫مثال‬ : 2n3+1=O(n2) 3n +3n-2=O(2n) 23
‫کلی‬ ‫روابط‬ : 24 𝑂 1 < 𝑂 log 𝑛 < O n < O n log 𝑛 < O 𝑛2 < O 𝑛3 < ⋯ < O 2𝑛 < O 3𝑛 < ⋯ < O(n!) ‫شدنی‬ ‫رام‬ ‫مسائل‬ ‫نشدنی‬ ‫رام‬ ‫مسائل‬
‫تمرین‬ 25 ‫الگوریت‬ ‫اگر‬ ‫دهد‬ ‫می‬ ‫انجام‬ ‫ثانیه‬ ‫یک‬ ‫در‬ ‫را‬ ‫عمل‬ ‫میلیون‬ ‫یک‬ ‫کامپیوتری‬ ‫کنید‬ ‫فرض‬ ‫مرتبه‬ ‫با‬ ‫می‬ n ‫مسئله‬ ‫اندازه‬ ‫با‬ 50 ‫؟‬ ‫کشید‬ ‫خواهد‬ ‫طول‬ ‫زمان‬ ‫مدت‬ ‫چه‬ ‫شود‬ ‫اجرا‬ ‫کامپیوتر‬ ‫این‬ ‫برروی‬ O(n) ( ‫الف‬ O(𝑛2) ( ‫ب‬ O(2𝑛) ( ‫ج‬ O(3𝑛 ) ( ‫د‬
‫بزرگ‬ ‫امگای‬ ‫نماد‬ ( Ω :) ‫نش‬ ‫کمتر‬ ‫حد‬ ‫این‬ ‫از‬ ‫الگوریتم‬ ‫اجرای‬ ‫زمان‬ ‫یعنی‬ ‫پایین‬ ‫کران‬ ‫بیشترین‬ ‫ود‬ . ( ‫حالت‬ ‫بهترین‬ ) ∃𝑛0, 𝑐 > 0 ∀𝑛 ≥ 𝑛0: 𝑓 𝑛 ≥ 𝑐𝑔 𝑛 𝑓 𝑛 = Ω 𝑔 𝑛 26
‫بزرگ‬ ‫تتای‬ ‫نماد‬ 𝜽 ∃𝒏𝟎, 𝒄𝟏, 𝒄𝟐 > 𝟎 ∀𝒏 ≥ 𝒏𝟎: 𝒄𝟏𝒈 𝒏 ≤ 𝒇 𝒏 ≤ 𝒄𝟐𝒈 𝒏 𝒇 𝒏 = 𝜽 𝒈 𝒏 27
‫ادامه‬ )) ( ( ) ( ) ( ) ( : 0 , 0 0 n g n f n cg n f n n c n  =       ‫ریاضی‬ ‫تعریف‬ : ‫الگوريتمها‬ ‫تمام‬ ‫براي‬ ‫ی‬ ‫براساس‬ ‫كه‬ ‫كننده‬ ‫مرتب‬ ‫ساز‬ ‫مرتب‬ ‫عمل‬ ‫مقايسه‬ ‫ی‬ ‫م‬ ‫انجام‬ ‫را‬ ‫ی‬ ‫مرتب‬ ‫دهند‬ ‫ی‬‫ه‬ ‫آ‬ ‫زمانی‬ ‫نها‬ Ω(n log n) ‫م‬ ‫ی‬ ‫باشد‬ . ‫الگوريتمها‬ ‫تمام‬ ‫براي‬ ‫ی‬ ‫براساس‬ ‫كه‬ ‫كننده‬ ‫مرتب‬ ‫ساز‬ ‫مرتب‬ ‫عمل‬ ‫مقايسه‬ ‫ی‬ ‫م‬ ‫انجام‬ ‫را‬ ‫ی‬ ‫مرتب‬ ‫دهند‬ ‫ی‬‫ه‬ ‫آ‬ ‫زمانی‬ ‫نها‬ Ω(n log n) ‫م‬ ‫ی‬ ‫باشد‬ . ‫نکت‬ ‫نکته‬ ‫ه‬ ‫ریاضی‬ ‫تعریف‬ : )) ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0 , , 2 1 0 2 1 0 n g n f n g c n f n g c n n c c n  =        28
‫مجانبی‬ ‫نماد‬  ‫بزرگ‬   : ‫مرتبه‬ ‫زمانی‬ f(n) ‫برابر‬ g(n) ،‫است‬ ‫که‬ ‫به‬ ‫صورت‬ f(n)= (g(n)) ‫یا‬ f(n)  (g(n)) ‫نوشته‬ ،‫شده‬ ‫اگر‬ ‫و‬ ‫فقط‬ ‫اگر‬ ‫بتوان‬ ‫ثابت‬ ‫صحیح‬ n0 ‫و‬ ‫ثابت‬ ‫مثبت‬ c ‫را‬ ‫چنان‬ ‫پیدا‬ ‫کرد‬ ‫که‬ ‫داشته‬ ‫باشیم‬ : |f(n)|  c |g(n)| n  n0  ‫مرتبه‬ ‫زمانی‬  ( ‫بزرگ‬ ) ‫تعداد‬ ‫اعمال‬ ‫الزم‬ ‫برای‬ ‫اجرای‬ ‫الگوریتم‬ ‫را‬ ‫از‬ ‫پایین‬ ‫محدود‬ ‫می‬ ‫کند‬ ‫به‬ ‫عبارت‬ ‫دیگر‬ ‫مرتبه‬  ‫حد‬ ‫پایین‬ ‫مجانبی‬ ‫تعداد‬ ‫اعمال‬ ‫الزم‬ ‫برای‬ ‫اجرای‬ ‫الگوریتم‬ ‫را‬ ‫مشخص‬ ‫می‬ ‫کند‬ . f(n) c g(n) n0 f(n) n 29
‫مجانبی‬ ‫نماد‬  ‫بزرگ‬   : ‫مرتبه‬ ‫زمانی‬ f(n) ‫برابر‬ g(n) ،‫است‬ ‫که‬ ‫به‬ ‫صورت‬ f(n)= (g(n)) ‫یا‬ f(n)  (g(n)) ‫نوشته‬ ،‫شده‬ ‫اگر‬ ‫و‬ ‫فقط‬ ‫اگر‬ ‫بتوان‬ ‫ثابت‬ ‫صحیح‬ n0 ‫و‬ ‫ثابت‬ ‫مثبت‬ c1 ‫و‬ c2 ‫را‬ ‫چنان‬ ‫پیدا‬ ‫کرد‬ ‫که‬ ‫داشته‬ ‫باشیم‬ : c1 |g(n)|  |f(n)|  c2 |g(n)| n  n0  ‫مرتبه‬ ‫زمانی‬  ‫تعداد‬ ‫اعمال‬ ‫الزم‬ ‫برای‬ ‫اجرای‬ ‫الگوریتم‬ ‫را‬ ‫از‬ ‫دو‬ ‫طرف‬ ‫باال‬ ‫و‬ ‫پایین‬ ‫محدود‬ ‫می‬ ‫کند‬ .  ‫اگر‬ ‫حد‬ ‫باال‬ ( O ) ‫با‬ ‫حد‬ ‫پایین‬ () ‫برای‬ ‫یک‬ ‫الگوریتم‬ ‫برابر‬ ،‫باشد‬ ‫آن‬ ‫حد‬ ‫برابر‬  ‫خواهد‬ ‫بود‬ .  ‫حد‬  ‫دقیق‬ ‫تر‬ ‫از‬  ‫و‬  ‫است‬ ‫و‬ ‫مفهوم‬ ‫تناسب‬ ‫دارد‬ . f(n) c1 g(n) n0 f(n) n c2 g(n) 30
O(g(n)) f(n) cg(n) f(n) : 0 n n 0 c , 0 n =       ‫نماد‬ O ( Big – O ) ➢ ‫بزرگ‬ ‫امگای‬ ‫نماد‬ ( Ω ) ➢ ‫نماد‬ ‫تتای‬ ‫بزرگ‬ ( θ ) ‫ریاضی‬ ‫تعریف‬ : )) ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0 , , 2 1 0 2 1 0 n g n f n g c n f n g c n n c c n  =        )) ( ( ) ( ) ( ) ( : 0 , 0 0 n g n f n cg n f n n c n  =       ‫ریاضی‬ ‫تعریف‬ : ‫رياضي‬ ‫تعريف‬ : 31
‫مجانبی‬ ‫نماد‬ o ‫و‬  ‫کوچک‬  f(n)=o(g(n)) ‫مثبت‬ ‫و‬ ‫صحیح‬ ‫ثابت‬ ‫ازاء‬ ‫به‬ ‫اگر‬ n0 ‫ازاء‬ ‫به‬ ‫و‬ ‫هر‬ c ‫دلخواه‬ ‫و‬ ‫مثبت‬ ‫باشیم‬ ‫داشته‬ : f(n)|  c |g(n)| n  n0 c  f(n)= (g(n)) ‫مثبت‬ ‫و‬ ‫صحیح‬ ‫ثابت‬ ‫ازاء‬ ‫به‬ ‫اگر‬ n0 ‫ازاء‬ ‫به‬ ‫و‬ ‫هر‬ c ‫دلخواه‬ ‫و‬ ‫مثبت‬ ‫باشیم‬ ‫داشته‬ : f(n)|  c |g(n)| n  n0 c  ‫اگر‬ f(n)=o(g(n)) ،‫باشد‬ f(n) ‫بهتری‬ ‫تابع‬ ( ‫کوچکتری‬ ) ‫از‬ g(n) ‫بود‬ ‫خواهد‬ .  ‫اگر‬ ‫پس‬ f(n)=o(g(n)) ‫در‬ ‫این‬ ‫صورت‬ f(n)  (g(n)) =  → n n f n g ) ( ) ( lim 32 k>0 g(n)=(f(n)) 0 g(n)=o(f(n))  f(n)=o(g(n))
‫مثال‬ ‫چند‬ ... f(n)=3n2+6n-4 f(n)=8n6+2nn+nn/2+3n f(n)=2nn+3n-3n3 f(n)=n1.3+nlogn f(n)=2n+1 → O(n2) → O(nn/2) → O(3n) → O(n1.3) → f(n)=o(n3) ،f(n)= (logn) 33 ‫مجانبی‬ ‫نمادهای‬ ‫ویژگیهای‬ ‫از‬ ‫برخی‬ • ‫اگر‬ f(n)=O(g(n)) ‫آنگاه‬ ‫باشد‬ g(n)=(f(n)) ‫بالعکس‬ ‫و‬ . ( ‫تقارنی‬ ‫ترانهاده‬ ‫خاصیت‬ ) • ‫اگر‬ f(n)=(g(n)) ‫آنگاه‬ ‫باشد‬ g(n)=(f(n)) ‫بالعکس‬ ‫و‬ . ( ‫تقارنی‬ ‫خاصیت‬ ) • f(n)+g(n)=O(max(f(n),g(n)))
34
‫الگوریتم‬ ‫زمانی‬ ‫مرتبة‬ ‫مفهوم‬  ‫مرتبه‬ ‫زمانی‬ ‫الگوریتم‬ ‫ها‬ T(n) ‫در‬ ‫واقع‬ ‫تناسبی‬ ‫برای‬ ‫تعداد‬ ‫اعمال‬ ‫تقریبی‬ ‫الزم‬ ‫برای‬ ‫اجرای‬ ‫آن‬ ‫الگوریتم‬ ‫می‬ ‫باشد‬ . ً‫ال‬‫مث‬  ‫اگر‬ ‫الگوریتمی‬ ‫پیچیدگی‬ ‫زمانیش‬ ‫برابر‬ ‫با‬ n ،‫باشد‬ ‫آنگاه‬ ‫تعداد‬ ‫اعمال‬ ‫الزم‬ ‫برای‬ ‫اجرای‬ ‫الگوریتم‬ ‫متناسب‬ ‫است‬ ‫با‬ ‫اندازه‬ ‫مسأله‬ ‫یعنی‬ n .  ‫اگر‬ ‫الگوریتمی‬ ‫پیچیدگی‬ ‫زمانیش‬ ‫برابر‬ ‫با‬ n2 ،‫باشد‬ ‫آنگاه‬ ‫تعداد‬ ‫اعمال‬ ‫الزم‬ ‫برای‬ ‫اجرای‬ ‫الگوریتم‬ ‫متناسب‬ ‫است‬ ‫با‬ ‫توان‬ ‫دوم‬ ‫اندازه‬ ‫مسأله‬ ‫یعنی‬ n2 .  ‫اگر‬ ‫الگوریتمی‬ ‫پیچیدگی‬ ‫زمانیش‬ ‫برابر‬ ‫با‬ 2n ،‫باشد‬ ‫آنگاه‬ ‫تعداد‬ ‫اعمال‬ ‫الزم‬ ‫برای‬ ‫اجرای‬ ‫الگوریتم‬ ‫متناسب‬ ‫است‬ ‫با‬ ‫اندازه‬ ‫مسأله‬ 2 .  ،‫مثال‬ ‫اگر‬ ‫کامپیوتری‬ ‫قادر‬ ‫به‬ ‫انجام‬ 1،000،000 ‫عمل‬ ‫در‬ ‫ثانیه‬ ،‫باشد‬ ‫آنگاه‬ ‫مدت‬ ‫زمان‬ ‫انجام‬ ‫مسأله‬ ‫ای‬ ‫به‬ ‫اندازة‬ 20 ‫با‬ ‫الگوریتمی‬ ‫به‬ ‫پیچیدگی‬ n ‫برابر‬ 0.00002 ‫ثانیه‬ ‫خواهد‬ ‫بود‬ : (S) 5 - 10 * 2 = 20 * 6 - 10  ‫اگر‬ ‫پیچیدگی‬ ‫زمانی‬ ‫الگوریتم‬ ‫برابر‬ 2n ‫باشد‬ : (S) 1 = 220 * 6 - 10 35
‫درباره‬ ‫نکاتی‬ ‫ی‬ Order : ✓ ‫وقتی‬ ‫گوییم‬‫می‬ ‫ی‬‫مرتبه‬ ‫زمانی‬ ‫یک‬ ‫الگوریتم‬ O(n) ‫است‬ ‫یعنی‬ ‫تعداد‬ ‫تکرار‬ ‫دستور‬ ‫الگوریتم‬ ‫ضریبی‬ ‫از‬ n ‫است‬ . ✓ ‫اگر‬ ‫تعداد‬ ‫لیست‬ ‫ورودی‬ k ‫برابر‬ ،‫شود‬ ‫تعداد‬ ‫تکرار‬ ‫دستورات‬ ‫و‬ ‫زمان‬ ‫اجرا‬ ‫نیز‬ k ‫شود‬‫برابرمی‬ . 36
‫محاسبه‬ ‫به‬ ‫مربوط‬ ‫قضایای‬ Order : ‫قضیه‬ 1 - ‫یعنی‬ ،‫باشد‬ ‫مشخص‬ ‫اجرای‬ ‫های‬‫زمان‬ ‫با‬ ‫برنامه‬ ‫زیر‬ ‫دو‬ ‫شامل‬ ‫برنامه‬ ‫نمایید‬ ‫فرض‬ : ‫با‬ ‫است‬ ‫برابر‬ ‫برنامه‬ ‫کل‬ ‫اجرای‬ ‫زمان‬ ‫آنگاه‬ : T(n)=T1(n)+T2(n) O(n)=max{ O(f(n)) , O(g(n)) } 𝑇 𝑛 𝑇1 𝑛 = 𝑂 𝑓 𝑛 𝑇2 𝑛 = 𝑂 𝑔 𝑛 37
‫محاسبه‬ ‫به‬ ‫مربوط‬ ‫قضایای‬ :Order ( ‫ادامه‬ ) ‫قضیه‬ 2 - ‫اگر‬ ‫زیر‬ ‫ای‬‫برنامه‬ ‫با‬ ‫شرایط‬ T1(n)=O(f(n)) ‫به‬ ‫اندازه‬ ‫ی‬ g(n) ‫بار‬ ‫تکرار‬ ‫شود‬ ‫آنگاه‬ ‫در‬ ‫مورد‬ ‫زمان‬ ‫اجرای‬ ‫کل‬ ‫برنامه‬ ‫خواهیم‬ ‫داشت‬ : 𝑇 𝑛 = 𝑔 𝑛 ∗ 𝑇1(𝑛) = 𝑂 𝑔 𝑛 ∗ 𝑓 𝑛 38
‫محاسبه‬ ‫حلقه‬ ‫اجراي‬ ‫زمان‬ ‫ي‬ ‫تكرار‬ ‫هاي‬ 𝑆𝑛 = 𝑡1 × 𝑞𝑛 − 1 𝑞 − 1 𝑆𝑛 = 𝑛 × 𝑡1 + 𝑡𝑛 2 39
40 ) ( 2 ) 1 ( 2 1 n O n n i n i = + =  = ) ( 6 ) 1 2 )( 1 ( 3 1 2 n O n n n i n i = + + =  = ) ( ... 1 1 1 1 + + = = + + =  k k n i k n O k n i   = )) ( ( )) ( ( i f O i f O ) ( ) 1 1 ( ) 1 ( 1 1 n O n c n c c c R c n i n i =  = + −  =  =    = = 40
41 )) (log( 1 ... 2 1 1 1 1 1 n n i n i  = + + + =  = 0 1 1 ) ( a a a a n n k k k − = −  = − 41 n k k k k n k n k 1 1 ) 1 1 1 ( ) 1 ( 1 1 1 1 1 − = + − = +   − = − =
‫گیری‬ ‫می‬ ‫نظر‬ ‫در‬ ‫ثابت‬ ‫مقدار‬ ‫یک‬ ‫را‬ ‫حلقه‬ ‫دستور‬ ‫تنها‬ ‫اجرای‬ ‫زمان‬ ‫م‬ ‫مثال‬ ‫است‬ ‫مطلوب‬ ‫محاسبه‬ ‫ی‬ ‫اجرا‬ ‫زمان‬ ‫ی‬ ‫تكرار‬ ‫حلقه‬ For (i = 1 ; i <= n ; i++) m = m + 6; ‫حل‬ ) ( ) 1 1 ( ) 1 ( 1 1 n O n c n c c c R c n i n i =  = + −  =  =    = = 42
‫مثال‬ ‫است‬ ‫مطلوب‬ ‫محاسبه‬ ‫ی‬ ‫اجرا‬ ‫زمان‬ ‫ی‬ ‫تكرار‬ ‫حلقه‬ For(int i=1; i<=n; i++) For(j=1; j<=n; j++) m+=6; ‫حل‬ 43 2 2 1 1 1 1 1 ( ) ( 1 1) 1 ( 1 1) ( ) n n n n n i j i i i T n c c n cn cn cn n cn O n = = = = = = = − + = = = − + = =    
‫دوم‬ ‫روش‬ 44 For(int i=1; i<=n; i++) For(j=1; j<=i; j++) m+=6; 2 1 1 1 1 1 ( 1) ( ) ( 1 1) ( ) 2 n i n n n i j i i i n n T n c c i ci c i c O n = = = = = + = = − + = = = =    
‫مثال‬ For(int i=1; i<=n; i++) for(int j=1; j<=i; j++) for(int k=1; k<=j; k++) 45
‫مثال‬ For(int i=1; i<=n; i++) for(int j=1; j<=i*i; j++) for(int k=1; k<=j*i*j; k++) for(int l=1; l<=k*i*k; l++) 46
❑ ‫يك‬ ‫يا‬ ‫چند‬ ‫راه‬ ‫حل‬ ‫ساده‬ ‫دارند‬ ‫كه‬ ‫بصورت‬ ‫غیر‬ ‫بازگشت‬ ‫ی‬ ‫قابل‬ ‫اند‬‫حل‬ . ‫اين‬ ‫حاالت‬ ‫را‬ ‫حالت‬ ‫تو‬ ،‫قف‬ ‫حالت‬ ‫پايه‬ ‫و‬ ‫يا‬ ‫شرط‬ ‫خاتمه‬ ‫م‬ ‫ی‬ ‫نامند‬ . ❑ ‫ها‬‫حالت‬ ‫ی‬ ‫ديگر‬ ‫مسئله‬ ‫م‬ ‫ی‬ ‫توانند‬ ‫با‬ ‫استفاده‬ ‫از‬ ‫خاصیت‬ ‫پذير‬‫بازگشت‬ ‫ی‬ ‫به‬ ‫مسائل‬ ‫ی‬ ‫تب‬ ‫ديل‬ ‫شوند‬ ‫كه‬ ‫به‬ ‫حالت‬ ‫توقف‬ ‫نزدي‬ ‫ک‬ ‫تر‬ ‫هستند‬ ‫و‬ ‫در‬ ‫واقع‬ ‫از‬ ‫پیچیدگ‬ ‫ی‬ ‫مسئله‬ ‫كاسته‬ ‫شده‬ ‫است‬ . ‫بازگشتي‬ ‫هاي‬‫الگوريتم‬ Recursive Algorithms) ) 47
‫کلی‬ ‫روابط‬ : 48 𝑂 1 < 𝑂 log 𝑛 < O n < O n log 𝑛 < O 𝑛2 < O 𝑛3 < ⋯ < O 2𝑛 < O 3𝑛 < ⋯ < O(n!) ‫شدنی‬ ‫رام‬ ‫مسائل‬ ‫نشدنی‬ ‫رام‬ ‫مسائل‬
‫مثال‬ : ‫مرتبه‬ ‫با‬ ‫الگوریتمی‬ ‫کامپیوتری‬ O(n3) ‫سایز‬ ‫برای‬ ‫را‬ n=104 ‫مدت‬ ‫در‬ ‫را‬ 60 ‫کند‬‫می‬ ‫اجرا‬ ‫ثانیه‬ . ‫الف‬ ) ‫دستورالعمل‬ ‫یک‬ ‫اجرای‬ ‫زمان‬ ‫تعیین‬ ‫مطلوبست‬ . ‫ب‬ ) ‫با‬ ‫هایی‬ ‫الگوریتم‬ ‫اجرای‬ ‫زمان‬ ‫تعیین‬ ‫مطلوبست‬ Order O(n) ، O(n3) ، O(n log n) O(2n) ، O(3n) ‫سایز‬ ‫برای‬ n=210 . 𝑛 = 104 3 = 1012 → 𝑡 = ൗ 60 1012 = 6 ∗ 10−11 210 ≅ 103 𝑂 𝑛 → 210 ∗ 6 ∗ 10−11 = 6 ∗ 10−8 𝑠 𝑂 𝑛3 → 210 3 ∗ 6 ∗ 10−11 ≅ 109 ∗ 6 ∗ 10−11 = 6 ∗ 10−2 𝑠 𝑂 𝑛 log 𝑛 → 210 ∗ 10 ∗ 6 ∗ 10−11 ≅ 6 ∗ 10−7 𝑠 𝑂 2𝑛 → 2210 ∗ 𝑡 ≅ 2103 ∗ 𝑡 = 210 100 ∗ 6 ∗ 10−11 = 10300 ∗ 6 ∗ 10−11 = 6 ∗ 10289 𝑠 𝑂 3𝑛 → 3210 ∗ 𝑡 ≅ 3103 ∗ 𝑡 = 6 ∗ 104 100 ∗ 6 ∗ 10−11 = 6101 ∗ 10389 𝑠 49
6 6 12 6 17 14 3 8 13 283 101 383 V*10 t /10 60 /10 *10 = 6 * 10 =t O(n) 6*10 O(n ) 6*10 ( log ) 6*10 (2 ) 6*10 (3 ) 6 *10 n n O n n O O − − − − − → → → → → → → ‫نمایی‬ ‫های‬‫الگوریتم‬ ( ‫نشدنی‬ ‫رام‬ ) ‫ک‬ ‫زیاد‬ ‫بسیار‬ ‫هم‬ ‫را‬ ‫کامپیوتر‬ ‫سرعت‬ ‫اگر‬ ‫حتی‬ ‫نیم‬ ( ‫مثال‬ 1000000 ‫برابر‬ ) ‫دهند‬‫نمی‬ ‫گیری‬‫چشم‬ ‫سرعت‬ ‫تغییر‬ . ‫ج‬ ) ‫را‬ ‫کامپیوتر‬ ‫سرعت‬ ‫کنید‬ ‫فرض‬ 106 ‫کنیم‬ ‫برابر‬ . ‫کنید‬ ‫محاسبه‬ ‫را‬ ‫جدید‬ ‫های‬‫زمان‬ ‫حال‬ . ‫مثال‬ ( ‫ادامه‬ :) 50
‫تمرین‬ : 51 ‫فرض‬ ‫کنید‬ ‫کامپیوتری‬ ‫یک‬ ‫میلیون‬ ‫عمل‬ ‫را‬ ‫در‬ ‫یک‬ ‫ثانیه‬ ‫انجام‬ ‫می‬ ‫دهد‬ ‫اگر‬ ‫الگوریت‬ ‫می‬ ‫با‬ ‫مرتبه‬ n ‫با‬ ‫اندازه‬ ‫مسئله‬ 50 ‫برروی‬ ‫این‬ ‫کامپیوتر‬ ‫اجرا‬ ‫شود‬ ‫چه‬ ‫مدت‬ ‫زمان‬ ‫طول‬ ‫خواهد‬ ‫کشید‬ ‫؟‬ O(n) ( ‫الف‬ O(𝑛2 ) ( ‫ب‬ O(2𝑛) ( ‫ج‬ O(3𝑛 ) ( ‫د‬
‫بازگشتی‬ ‫توابع‬ ‫انواع‬ ‫بازگشهت‬ ‫رابطهه‬ ‫اين‬ ‫كلي‬ ‫شكل‬ ‫ی‬ ‫بصهورت‬ T(n)+cT(n-1) = 0 ‫م‬ ‫ی‬ ‫باشهدكه‬ c ‫يه‬ ‫ک‬ ‫ضهريب‬ ‫است‬ ‫ثابت‬ . ‫بازگشت‬ ‫رابطه‬ ‫نوع‬ ‫اين‬ ‫ی‬ ‫جايگزين‬ ‫روش‬ ‫از‬ ‫ی‬ ‫است‬ ‫حل‬ ‫قابل‬ . i) - T(n (-C) T(n) 3) - T(n C - 3)) - T(n (-C C T(n) 2) - T(n C 2)) - T(n (-C C - T(n) 1) - T(n C - T(n) i 3 2 2 =  = =  = =  =  i) - T(n (-C) T(n) 3) - T(n C - 3)) - T(n (-C C T(n) 2) - T(n C 2)) - T(n (-C C - T(n) 1) - T(n C - T(n) i 3 2 2 =  = =  = =  =  T(n-1)= -c T(n-2) T(n-1)= -c T(n-2) 52
return(n∗fact(n-1)) ‫حل‬ : c₂ T(n-1) T(n)= c₁ T(n-1)+c₂ n>1 n=1 T(n)=T(n-1)+c₂ T(n-2)+c₂+c₂ = T(n) T(n)=T(n-2)+2c₂ T(n)=T(n-3)+ c₂+2c₂ T(n-3)+3c₂ = ⁞ T(n)=T(n-i)+ic₂ n-i=1 i=n-1 T(n) =T(n-(n-1)) + (n-1)c₂ T(n) = c₁+(n-1)c₂ = O(n) ‫بازگشتی‬ ‫توابع‬ ‫انواع‬ Int fact ( int n ) { if (n = = 0|| n = = 1) return 1; else return ( n ×𝑓𝑎𝑐𝑡(𝑛−1)); } ‫ی‬ ‫محاسبه‬ ‫اجرای‬ ‫زمان‬ ‫رابطه‬ ‫بازگشتی‬ ‫ی‬ :n! 53
‫مثال‬ 1 int fact(int n) { if (n<=1) return n; return n*fact(n-1); } 54
‫مثال‬ 1 int fact(int n) { if (n<=1) return n; return n*fact(n-1); } ‫مانند‬ ،‫شود‬ ‫می‬ ‫انجام‬ ‫عمل‬ ‫ثابتی‬ ‫تعداد‬ C ‫تعداد‬ ‫به‬ T(n-1)+1 ‫شود‬ ‫می‬ ‫انجام‬ ‫عمل‬ ‫بار‬ . T(n)= C n<=1 T(n-1)+1 n >1 55 ‫اگر‬ ‫تعداد‬ ‫اعمال‬ ‫الزم‬ ‫برای‬ ‫اجرای‬ ‫الگوریتم‬ ‫با‬ ‫اندازه‬ ‫مساله‬ n ‫را‬ T(n) ‫در‬ ‫نظر‬ ‫بگیریم‬ : ( ‫یعن‬ ‫ی‬ ‫فرض‬ ‫کنیم‬ ‫اجرای‬ Test(n) ، T(n) ‫عمل‬ ‫نیاز‬ ‫دارد‬ )
‫مثال‬ 1 T(n)= C n<=1 T(n-1)+1 n >1 T(n)=T(n-1)+1 =T(n-2)+1+1 =T(n-3)+1+1+1 = ... =T(n-i)+i =T(n-(n-1))+n-1 =T(1)+n-1 = C+n-1 → O(n) n-i=1 → i=n-1 ‫جایگذاری‬ ‫روش‬ : 56
int Test(int n) { if (n==1) return 1; return Test(n/2)+Test(n/2); } ‫مثال‬ 2 ، 57
int Test(int n) { if (n==1) return 1; return Test(n/2)+Test(n/2); } T(n)= C n=1 2T(n/2)+1 n >1 58 ‫مثال‬ 2 ، ‫اگر‬ ‫تعداد‬ ‫اعمال‬ ‫الزم‬ ‫برای‬ ‫اجرای‬ ‫الگوریتم‬ ‫با‬ ‫اندازه‬ ‫مساله‬ n ‫را‬ T(n) ‫در‬ ‫نظر‬ ‫بگیریم‬ : ( ‫یعن‬ ‫ی‬ ‫فرض‬ ‫کنیم‬ ‫اجرای‬ Test(n) ، T(n) ‫عمل‬ ‫نیاز‬ ‫دارد‬ )
T(n)= C n=1 2T(n/2)+1 n >1 T(n)=2T(n/2)+1 = 2(2T(n/4)+1)+1=4T(n/4)+3 = 4(2T(n/8)+1)+3=8T(n/8)+7 = 8(2T(n/16)+1)+7=16T(n/16)+15 =... = 2iT(n/2i)+2i-1 = 2lognT(n/2logn)+2logn-1 = 2lognT(1)+ 2logn -1 = n*C+n-1 = (C+1)n-1 → O(n) n/2i =1 → i=logn 59 ‫مثال‬ 2 ،
int Test(int n) { if (n==0) return 1; return Test(n-1)+Test(n-1); } 60 ‫مثال‬ 3 ،
int Test(int n) { if (n==0) return 1; return Test(n-1)+Test(n-1); } T(n)= 1 n=0 2T(n-1)+1 n >0 61 ‫اگر‬ ‫تعداد‬ ‫اعمال‬ ‫الزم‬ ‫برای‬ ‫اجرای‬ ‫الگوریتم‬ ‫با‬ ‫اندازه‬ ‫مساله‬ n ‫را‬ T(n) ‫در‬ ‫نظر‬ ‫بگیریم‬ : ( ‫یعن‬ ‫ی‬ ‫فرض‬ ‫کنیم‬ ‫اجرای‬ Test(n) ، T(n) ‫عمل‬ ‫نیاز‬ ‫دارد‬ ) ‫مثال‬ 3 ،
T(n)= 1 n=0 2T(n-1)+1 n >0 T(n)= 2T(n-1)+1 = 2(2T(n-2)+1)+1=4T(n-2)+3 = 4(2T(n-3)+1)+3=8T(n-3)+7 = ... = 2iT(n-i)+2i-1 = 2nT(n-n)+2n-1 = 2nT(0)+2n-1 = 2n * 1+2n-1=2n+1-1 → O(2n) n-i=0 → i=n 62 ‫مثال‬ 3 ،
n‫حلقه‬ ‫مبدا‬ ‫کمکی‬ ‫مقصد‬ 63
‫مثال‬ T(n)= c₁ n=1 2T(n-1)+c₂ n >1 void hanoi (int n, int from, int to, int help) { if (n == 1) { cout << n <<":"<< from << “-->"<<to<<endl; return; } else { hanoi ( n-1,from,help,to ); cout << n <<":"<< from << “-->"<<to<<endl; hanoi( n-1, help, to, from ); } } 64
65 ‫مثال‬ ( ‫ادامه‬ ) ‫تابع‬ ‫اجرا‬ ‫براي‬ ‫الزم‬ ‫زمان‬ n , hanoi ‫ورودی‬ ‫تابع‬ ‫اجرا‬ ‫براي‬ ‫الزم‬ ‫زمان‬ n , hanoi ‫ورودی‬ ‫تابع‬ ‫اجرا‬ ‫براي‬ ‫الزم‬ ‫زمان‬ n-1, hanoi ‫ورودی‬ ‫تابع‬ ‫اجرا‬ ‫براي‬ ‫الزم‬ ‫زمان‬ n-1, hanoi ‫ورودی‬ │ T(n) = 2 × T (n - 1) + C2 │ T(1) = C1 65 c₁ n=1 2T(n-1)+c₂ n >1 T(n)=
T(n)= ‫مثال‬ ( ‫ادامه‬ ) T(n)=2T(n-1)+c₂ 2(2T(n-2)+c₂)+c₂=2²(T(n-2))+2c₂+c₂=T(n) T(n)=2²(2T(n-3)+c₂)+2c₂+c₂=2³T(n-3)+2²c₂+2c₂+c₂ 2c₂+c₂ +...+ ₂ c ² T(n)=2ⁱ T(n-i)+2ⁱ⁻¹ c₂+2ⁱ⁻ 66
‫مسئله‬ ‫اولیه‬ ‫شرايط‬ ‫به‬ ‫توجه‬ ‫با‬ ( ‫خاتمه‬ ‫شرط‬ ‫يا‬ ‫توقف‬ ‫شرط‬ ) ‫كه‬ T(1)=𝑪𝟏 ‫باشد‬ ‫مي‬ ، ‫بايد‬ T(n - i) ‫بهه‬ ‫را‬ T(1) ‫كنیم‬ ‫تبديهل‬ . ‫كنیم‬ ‫فرض‬ ‫كافیست‬ ‫منظهور‬ ‫اين‬ ‫بهراي‬ n - i = 1 ‫كه‬ i = n-1 ‫داشت‬ ‫خواهیم‬ : ‫مثال‬ 𝑇 𝑛 = 2𝑛−1𝑇 1 + 2𝑛−2𝐶2 + 2𝑛−3𝐶2 + ⋯ + 2𝐶2 + 𝐶2 𝑇 𝑛 = 2𝑛−1𝐶1 + 2𝑛−1 − 1 𝐶2 67 T(n)=((𝐶1+𝐶2)/2) 2n -𝐶2 = 𝑂(2n)
‫تمرین‬ : 68 ‫فرض‬ ‫کنید‬ ‫در‬ ‫مسئله‬ ‫برج‬ ‫هانوی‬ ‫می‬ ‫خواهیم‬ ‫مهره‬ ‫ها‬ ‫را‬ ‫از‬ ‫میله‬ ‫مبدا‬ ‫به‬ ‫مقصد‬ ‫منت‬ ‫قل‬ ‫کنیم‬ ‫با‬ ‫این‬ ‫شرط‬ ‫که‬ ‫همه‬ ‫ی‬ ‫مهره‬ ‫ها‬ ‫حتما‬ ‫باید‬ ‫از‬ ‫طريق‬ ‫میله‬ ‫ی‬ ‫کمکی‬ ‫انتقال‬ ‫ي‬ ،‫ابند‬ ‫يعني‬ ‫انتقال‬ ‫مستقیم‬ ‫بین‬ ‫دو‬ ‫میله‬ ‫مبدا‬ ‫و‬ ‫مقصد‬ ‫امكان‬ ‫پذير‬ ‫نیست‬ . ‫تابع‬ ‫م‬ ‫ذکور‬ ‫را‬ ‫بازنویسی‬ ‫کنید‬ ‫و‬ ‫مرتبه‬ ‫زمانی‬ ‫آن‬ ‫را‬ ‫بدست‬ ‫آورید؟‬
‫زمانی‬ ‫مرتبه‬ ‫اصلی‬ ‫قضیه‬ ( ) ( / ) ( ), , 1 T n aT n b f n a b = +  log log log log 1 log 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( log ( )) ( ) ( log ( )) ( ( )) ( ) ( ) a a b b a a b b a b k k for some for some n if f n n T n n n if f n n n f n if f n n         − + +    =    = =   =    ‫باشد‬ ‫زیر‬ ‫صورت‬ ‫به‬ ‫بازگشتی‬ ‫رابطه‬ ‫یک‬ ‫اگر‬ : ‫ب‬ ‫خواهد‬ ‫برابر‬ ‫مستقیم‬ ‫طور‬ ‫به‬ ‫فوق‬ ‫بازگشتی‬ ‫رابطه‬ ‫زمانی‬ ‫مرتبه‬ ‫صورت‬ ‫این‬ ‫در‬ ‫با‬ ‫ود‬ 69
‫زمانی‬ ‫مرتبه‬ ‫اصلی‬ ‫قضیه‬ ‫از‬ ‫هایی‬‫مثال‬ T(n)= C n=1 2T(n/2)+1 n >1 a=2, b=2 ) ( ) ( ) ( 2 2 log n n n T   = = 70 log log log log 1 log 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( log ( )) ( ) ( log ( )) ( ( )) ( ) ( ) a a b b a a b b a b k k for some for some n if f n n T n n n if f n n n f n if f n n         − + +    =    = =   =   
‫زمانی‬ ‫مرتبه‬ ‫اصلی‬ ‫قضیه‬ ‫از‬ ‫هایی‬‫مثال‬ 3 8 ( / 2) log 1 ( ) 1 1 T n n n n n T n n  + +  =    a=8 ،b=2 3 ( ) ( log ) T n n n  = 71 log log log log 1 log 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( log ( )) ( ) ( log ( )) ( ( )) ( ) ( ) a a b b a a b b a b k k for some for some n if f n n T n n n if f n n n f n if f n n         − + +    =    = =   =   
‫زمانی‬ ‫مرتبه‬ ‫اصلی‬ ‫قضیه‬ ‫از‬ ‫هایی‬‫مثال‬ 7 10 ( / 3) 5 3 1 ( ) 1 1 T n n n n T n n  + +  =    a=10 ،b=3 ) ( ) ( 7 n n T  = 72 log log log log 1 log 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( log ( )) ( ) ( log ( )) ( ( )) ( ) ( ) a a b b a a b b a b k k for some for some n if f n n T n n n if f n n n f n if f n n         − + +    =    = =   =   
‫زمانی‬ ‫مرتبه‬ ‫اصلی‬ ‫قضیه‬ ‫از‬ ‫هایی‬‫مثال‬ 73 1 ) 3 2 ( ) ( + = n T n T 2 ) 3 ( 3 ) ( n n T n T + = m n n n T n T 2 ), log( ) ( 2 ) ( = + = log log log log 1 log 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( log ( )) ( ) ( log ( )) ( ( )) ( ) ( ) a a b b a a b b a b k k for some for some n if f n n T n n n if f n n n f n if f n n         − + +    =    = =   =   
‫زمانی‬ ‫مرتبه‬ ‫اصلی‬ ‫قضیه‬ ‫از‬ ‫هایی‬‫مثال‬ 74 )) (log( ) ( 1 ) 3 2 ( ) ( n n T n T n T  =  + = ) ( ) ( ) 3 ( 3 ) ( 2 2 n n T n n T n T =  + = )) log( log (log ) ( 2 ), log( ) ( 2 ) ( n n n T n n n T n T m  =  = + = 2 2 2 ), log( ), ( ) 2 ( ) ( m m m n n m n T T m S = = = = = )) log( log ) (log( ) ( )) log( ( ) ( ) 2 ( 2 ) ( n n n T m m m S m m S m S   =  =  + =  log log log log 1 log 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( log ( )) ( ) ( log ( )) ( ( )) ( ) ( ) a a b b a a b b a b k k for some for some n if f n n T n n n if f n n n f n if f n n         − + +    =    = =   =   
‫بازگشتی‬ ‫روابط‬ ‫حل‬ ‫در‬ ‫متغیر‬ ‫تغییر‬ ‫از‬ ‫استفاده‬  ‫شکلی‬ ‫به‬ ‫را‬ ‫بازگشتی‬ ‫رابطه‬ ‫مناسب‬ ‫متغیر‬ ‫تغییر‬ ‫یک‬ ‫با‬ ‫توان‬ ‫می‬ ‫اوقات‬ ‫گاهی‬ ‫که‬ ‫مطلوب‬ ‫نمود‬ ‫تبدیل‬ ،‫است‬ ‫حل‬ ‫قابل‬ ‫دیگر‬ ‫های‬‫روش‬ ‫با‬ .  ،‫مثال‬  ‫کرد‬ ‫فرض‬ ‫توان‬‫می‬ n=2k ( ) ( ) 1 T n T n = + ( ) (log ) ( ) (log log ) S k k T n n   = → = 75 ( ) ( / 2) 1 S k S k = + /2 (2 ) (2 ) 1 ( ) (2 ) k k k T T S k T = + → = ‫ت‬ ‫نام‬ ‫تغییر‬ ‫ابع‬
‫تمرین‬  ‫بیاورید‬ ‫بدست‬ ‫را‬ ‫زیر‬ ‫بازگشتی‬ ‫رابطه‬ ‫زمانی‬ ‫مرتبه‬ . ( ) ( ) 2 3 ( ) 4 ( ) log loglog T n T n n n = + 76
77 100 99 100 99 log log 1.0022 1.0022 1.0022 log ( ) 100 ( ) log( !) 99 log( !) ( log( )) ( ) 100 ( ) log( ) 99 , ( ) ( ) log( ) ( ) ( ) ( ) a b n T n T n n n n n T n T cn n n n n f n o n n o n T n n   = + =  = + = = =  =  =
78 8 9 log 0.95 ( ) 8 ( ) log( ) 9 ( ) log( ) ( ) ( ) ( ( )) ( log( )) n T n T n n f n n n n n T n f n n n    = + = =   = =
79 2 2 2 ( ) 4 ( ) 5 log( ) 6 2 ( ) ( ) ( ) ( log( )) n T n T n n n n f n n T n n n   = + + +  =  =
‫درجه‬ ‫ناهمگن‬ ‫و‬ ‫همگن‬ ‫بازگشتی‬ ‫روابط‬ 1 ، 2 ، ...  ‫درجه‬ ‫همگن‬ ‫بازگشتی‬ ‫رابطه‬ k ‫آن‬ ‫در‬ ‫که‬ ‫باشد‬‫می‬ ‫زیر‬ ‫صورت‬ ‫به‬ k ‫و‬ ‫ضرایب‬ a ‫ثابت‬ ‫مقادیر‬ ‫هستند‬ :  ‫درجه‬ ‫همگن‬ ‫بازگشتی‬ ‫رابطه‬ ‫مثال‬ 2 :  ‫پذیرد‬ ‫می‬ ‫صورت‬ ‫مشخصه‬ ‫معادله‬ ‫کمک‬ ‫به‬ ‫روابط‬ ‫گونه‬ ‫این‬ ‫کلی‬ ‫حل‬ ‫راه‬ . 1 2 ( ) ( 1) ( 2) ... ( ) k T n aT n a T n a T n k = − + − + + − 80 1 2 ( ) ( 1) ( 2) (0) , (1) T n aT n bT n T t T t = − + − = =
‫درجه‬ ‫همگن‬ ‫بازگشتی‬ ‫روابط‬ ‫حل‬ 2  ‫فرض‬ ‫با‬ T(n)=xn ، ‫داشت‬ ‫خواهیم‬ ‫را‬ ‫زیر‬ ‫مشخصه‬ ‫معادله‬ :  ‫های‬‫ریشه‬ ‫آوردن‬ ‫بدست‬ ‫و‬ ‫معادله‬ ‫این‬ ‫حل‬ ‫با‬ x1,x2 ‫داشت‬ ‫خواهیم‬ :  ‫که‬ c1 ‫و‬ c2 ‫ن‬ ‫پیدا‬ ‫را‬ ‫آنها‬ ‫اولیه‬ ‫مقادیر‬ ‫و‬ ‫اصلی‬ ‫رابطه‬ ‫از‬ ‫توان‬‫می‬ ‫که‬ ‫هستند‬ ‫هایی‬‫ثابت‬ ‫مود‬ . 81 1 2 2 0 n n n x ax bx x ax b − − = + − − = 1 1 2 2 ( ) n n T n c x c x = + 1 2 ( ) ( 1) ( 2) (0) , (1) T n aT n bT n T t T t = − + − = =
‫مثال‬ : ‫فیبوناچی‬ ‫سری‬ int Fib(int n) { if (n<=1) return n; return Fib(n-1)+Fib(n-2); } 82 ( ) ( 1) ( 2) (0) 0, (1) 1 0,1, 2, 3, 5, 8,13,... f n f n f n f f = − + − = = ( ) ( 1) ( 2) 1 (0) 0, (1) 1 1 T n T n T n n T T n = − + −  = = 
‫مثال‬ : ‫فیبوناچی‬ ‫سری‬ 83 ( ) ( 1) ( 2) 1 (0) 0, (1) 1 1 T n T n T n n T T n = − + −  = =  2 1 0 x x − − = → 1 2 1 5 1 5 ( ) 2 2 n n T n c c     + − = +             1 5 ( ) 2 n T n      +   =           1 2 1 5 1 5 , 2 2 x x     + − = =            
‫درجه‬ ‫همگن‬ ‫بازگشتی‬ ‫روابط‬ ‫حل‬ 2  ‫فرض‬ ‫با‬ T(n)=xn ، ‫داشت‬ ‫خواهیم‬ ‫را‬ ‫زیر‬ ‫مشخصه‬ ‫معادله‬ :  ‫فوق‬ ‫معادله‬ ‫اگر‬ ‫مضاعف‬ ‫ریشه‬ ‫داشت‬ ‫خواهیم‬ ،‫باشد‬ ‫داشته‬ : 84 1 2 2 0 n n n x ax bx x ax b − − = + − − = 1 1 2 1 ( ) n n T n c x c nx = + 1 2 ( ) ( 1) ( 2) (0) , (1) T n aT n bT n T t T t = − + − = =
‫بازگشتی‬ ‫روابط‬ ‫حل‬ ‫ناهمگن‬  ‫که‬ f(n) ‫باشد‬‫می‬ ‫دلخواه‬ ‫تابعی‬ .  ‫گردد‬ ‫حل‬ ‫سپس‬ ‫و‬ ‫شده‬ ‫تبدیل‬ ‫همگن‬ ‫رابطه‬ ‫به‬ ‫رابطه‬ ‫این‬ ‫باید‬ ‫معموال‬ .  ‫کتاب‬ ‫ضمیمه‬ ‫بخش‬ ‫به‬ ‫بیشتر‬ ‫تمرین‬ ‫و‬ ‫مطالعه‬ ‫برای‬ ‫نیپولیتان‬ ‫کنید‬ ‫مراجعه‬ . 85 1 2 ( ) ( 1) ( 2 ) ) ... ( ( ) k T n aT n a T n a T n k f n = − + − + + − +
‫اصلی‬ ‫قضیه‬ ‫اثبات‬ 86 ( ) ( / ) ( ), , 1 T n aT n b f n a b = +  2 2 2 3 2 3 2 3 2 log 1 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n b k i k i i n T n aT f n b n n b a aT f f n b b n n a T af f n b b n n n a aT f af f n b b b n n n a T a f af f n b b b n n a T a f b b − = = +     = + +     = + +   = + + +     = + + + = + 
87 2 2 2 3 2 3 2 3 2 log 1 log 1 log 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (1) ( ) 1 l n n b b n b k i i k i i i i k n T n aT f n b n n b a aT f f n b b n n a T af f n b b n n n a aT f af f n b b b n n n a T a f af f n b b b n n n a T a f a T a f b b b n k b − − = = = +     = + +     = + +   = + + +     = + + + = + = + = → =   ogn b
88 log 1 log 1 log log 0 0 log log log log log log 1 log 1 0 0 log log ( ) ( ) ( ) ( ) (1) ( ) (1) ( ) (1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( n n b b n a b b a a b b a a b b a n n b b b a b i i i i i i i i i i i i n T n aT f n b n n T n a T a f n T a f b b n T n if f n n f n cn n n a f a c b b a c n b    − − = = − − − − = = − = +  = + = + =  =        =      log 1 log log log 0 1 2 1 ) , 1 1 1 1 n n b b a b a a b b i i n n n A a c n A A b a a a a a    − − − − = − − − =   = − − = + + + + −  ‫اول‬ ‫حالت‬ ‫اثبات‬
89 log 1 log 1 log log 0 0 log log log log log log 1 log 1 0 0 log log ( ) ( ) ( ) ( ) (1) ( ) (1) ( ) (1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( n n b b n a b b a a b b a a b b a n n b b b a b i i i i i i i i i i i i n T n aT f n b n n T n a T a f n T a f b b n T n if f n n f n cn n n a f a c b b a c n b    − − = = − − − − = = − = +  = + = + =  =        =      log 1 log log log log 0 log log log log log log log log log 1 ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) n n b b a a n b b b a b a a b b n n a b b b a n a a b b b b i i A c n n A A a n n A T n n b b n       − − − − = − − − − =   =   − = = =  =  
90 log log log 1 log 1 log log 0 0 log log 1 log 1 log 0 0 ( ) ( log ( )) ( ) log ( ) ( ) (1) ( ) (1) ( ) ( ) ( log ( )) ( ) ( ) log ( ) log ( ) a a b b n n b b n a b b a n n b b b a b k k i i i i i i k i i k i i i i i k f n n n f n cn n n n T n a T a f n T a f b b n n n if f n n n a f a c b b b c n n  − − = = − − = = =      = + = + =     =       log 1 log log 0 log log 1 log log log 1 ( ) log ( ) log log ( ) , 1 ( ) ( log ( )) n b a b a b a a b b a b b b a b i i k n k b k a b a a c n n c n n b a T n n n − = + + =    =   = =  =    ‫دوم‬ ‫حالت‬ ‫اثبات‬
✓ ‫استقرا‬ ‫بر‬ ‫مبتنی‬ ( Induction ) ✓ ‫حل‬ ‫و‬ ‫تقسیم‬ ( Divide and conquer ) ✓ ‫پویا‬ ‫نویسی‬ ‫برنامه‬ ( Dynamic programming ) ✓ ‫حریصانه‬ ( Greedy ) ‫جستجو‬ ‫های‬‫روش‬ : ✓ ‫عقب‬ ‫به‬ ‫بازگشت‬ ( Back tracking ) ✓ ‫تحدید‬ ‫و‬ ‫انشعاب‬ ( Branch and bound ) ‫الگوریتم‬ ‫طراحی‬ ‫های‬‫روش‬ : 91

More Related Content

PDF
آموزش مرتبه اجرایی در ساختمان داده و طراحی الگوریتم (مرور – تست کنکور ارشد)
byfaradars
 
PDF
آموزش طراحی الگوریتم به همراه حل مثال های عملی - بخش یکم
byfaradars
 
PPT
Flowchart
bympetroleum
 
PDF
Exam data structure ashkezar f1notes.ir
byehsangh100
 
PPTX
Final presentation for Master Degree Thesis
byShahram Foroozan
 
PPTX
Approximate String Matching
bynazi asadpour
 
PDF
آموزش طراحی الگوریتم به همراه حل مثال های عملی - بخش چهارم
byfaradars
 
PDF
مقاله هندسه محاسباتی
byfaezeh akbari
 
آموزش مرتبه اجرایی در ساختمان داده و طراحی الگوریتم (مرور – تست کنکور ارشد)
byfaradars
 
آموزش طراحی الگوریتم به همراه حل مثال های عملی - بخش یکم
byfaradars
 
Flowchart
bympetroleum
 
Exam data structure ashkezar f1notes.ir
byehsangh100
 
Final presentation for Master Degree Thesis
byShahram Foroozan
 
Approximate String Matching
bynazi asadpour
 
آموزش طراحی الگوریتم به همراه حل مثال های عملی - بخش چهارم
byfaradars
 
مقاله هندسه محاسباتی
byfaezeh akbari
 

Similar to Array in data structures and algorithm design

PPT
Algorithm and Flowchart
byBehrooz Rasuli
 
PDF
Big data HPC Convergence-Dr. Amin-Nezarat-(aminnezarat@gmail.com)-2019
byaminnezarat
 
PDF
متعادل‌ کننده بار در پایگاه داده‌ توزیع‌ شده
byHadi Rasouli
 
PDF
آموزش طراحی الگوریتم به همراه حل مثال های عملی - بخش سوم
byfaradars
 
PDF
Machine learning and big-data-in-physics 13970711-Dr. Amin Nezarat
byaminnezarat
 
PPTX
پروژه کاروفناوری(پرهام)).pptx
byHosseinSalmani6
 
PPTX
Iwd
byhossin2012
 
PDF
Parallel computing ch3
bykeivan mahdavi
 
PPT
Image segmentation with coa
byShadi Mahmoudi
 
PDF
آموزش رابطه های بازگشتی در طراحی الگوریتم و ساختمان گسسته (مرور – تست کنکور ا...
byfaradars
 
PDF
آموزش برنامه نویسی R و نرم افزار R Studio بخش پنجم | فرادرس
byfaradars
 
PDF
آموزش ساختمان داده ها - بخش اول
byfaradars
 
PDF
آشنایی با المپیاد کامپیوتر
byArash Pourdamghani
 
PDF
داده‌کاوی و زبان برنامه‌نویسی R
byجشنوارهٔ روز آزادی نرم‌افزار تهران
 
PDF
آموزش طراحی الگوریتم به همراه حل مثال های عملی - بخش دوم
byfaradars
 
PPTX
Sugeno Yasukawa, Takagi-Sugeno, and ANFIS-Method
byzahramojtahediin
 
PDF
آموزش روش تقسیم و حل در طراحی الگوریتم (مرور – تست کنکور ارشد)
byfaradars
 
PPTX
06 hpc library_fundamentals_of_parallelism_and_code_optimization-www.astek.ir
byaminnezarat
 
PPTX
پایانامه تحصیلی برای دریافت درجه کارشناسی ارشد مهندسی
byS.sajad mousavi.nejad.S
 
PPTX
MD5
bynazi asadpour
 
Algorithm and Flowchart
byBehrooz Rasuli
 
Big data HPC Convergence-Dr. Amin-Nezarat-(aminnezarat@gmail.com)-2019
byaminnezarat
 
متعادل‌ کننده بار در پایگاه داده‌ توزیع‌ شده
byHadi Rasouli
 
آموزش طراحی الگوریتم به همراه حل مثال های عملی - بخش سوم
byfaradars
 
Machine learning and big-data-in-physics 13970711-Dr. Amin Nezarat
byaminnezarat
 
پروژه کاروفناوری(پرهام)).pptx
byHosseinSalmani6
 
Iwd
byhossin2012
 
Parallel computing ch3
bykeivan mahdavi
 
Image segmentation with coa
byShadi Mahmoudi
 
آموزش رابطه های بازگشتی در طراحی الگوریتم و ساختمان گسسته (مرور – تست کنکور ا...
byfaradars
 
آموزش برنامه نویسی R و نرم افزار R Studio بخش پنجم | فرادرس
byfaradars
 
آموزش ساختمان داده ها - بخش اول
byfaradars
 
آشنایی با المپیاد کامپیوتر
byArash Pourdamghani
 
داده‌کاوی و زبان برنامه‌نویسی R
byجشنوارهٔ روز آزادی نرم‌افزار تهران
 
آموزش طراحی الگوریتم به همراه حل مثال های عملی - بخش دوم
byfaradars
 
Sugeno Yasukawa, Takagi-Sugeno, and ANFIS-Method
byzahramojtahediin
 
آموزش روش تقسیم و حل در طراحی الگوریتم (مرور – تست کنکور ارشد)
byfaradars
 
06 hpc library_fundamentals_of_parallelism_and_code_optimization-www.astek.ir
byaminnezarat
 
پایانامه تحصیلی برای دریافت درجه کارشناسی ارشد مهندسی
byS.sajad mousavi.nejad.S
 
MD5
bynazi asadpour
 

More from jamnona

PPTX
Chapter 3. Lesson 2_ in, out and ref.pptx
byjamnona
 
PPTX
Chapter 3. Lesson 1_ Properties and lists.pptx
byjamnona
 
PPT
graph4Its about graph topic in data structure.ppt
byjamnona
 
PPTX
QuestionsesteghraRiazifor data strtucture.pptx
byjamnona
 
PPT
graphGraphGraph data structure data structure2.ppt
byjamnona
 
PPT
GraphGraph data structureGraph data structure.ppt
byjamnona
 
PPTX
Hashing in data structure is presented in these slides
byjamnona
 
Chapter 3. Lesson 2_ in, out and ref.pptx
byjamnona
 
Chapter 3. Lesson 1_ Properties and lists.pptx
byjamnona
 
graph4Its about graph topic in data structure.ppt
byjamnona
 
QuestionsesteghraRiazifor data strtucture.pptx
byjamnona
 
graphGraphGraph data structure data structure2.ppt
byjamnona
 
GraphGraph data structureGraph data structure.ppt
byjamnona
 
Hashing in data structure is presented in these slides
byjamnona
 

Array in data structures and algorithm design