Aplicaciones de la Derivada en la carrera de Telecomunicaciones

1. CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRALADMINISTRATIVAS
Dra. Lucía Castro Mgs.
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS - ESPE
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
PARCIAL II
TALLER Nro. 2
TEMA: APLICACIONES DE LA DERIVADA EN
LA CARRERA DE TELECOMUNICACIONES
Nombres:
1. Silva Páliz Dilan Ariel
2. Simbaña Simbaña Jonathan Gustavo
3.Yànez Parra Antoni David
NRC: 4389
Fecha: viernes 12 de febrero 2021
Período: Noviembre 2020 _Abril 2021

2. Índice
1
1.Introducción Pag.3
2.Objetivos Pag.4
3.Fundamentación Teórica Pag.5
4.Desarrollo Pag.6
5.Conclusiones Pag.11
6.Enlace Slideshare Pag.11
7.Bibliografia Pag.11

3. TEMA: APLICACIONES DE LA DERIVADA EN
LA CARRERA DE TELECOMUNICACIONES
2

4. 1. Introducción
En cálculo diferencial y análisis matemático, la derivada de una función es la
razón de cambio instantánea con la que varía el valor de dicha función
matemática, según se modifique el valor de su variable independiente. La
derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el
límite de la rapidez de cambio media de la función en cierto intervalo,
cuando el intervalo considerado para la variable independiente se torna cada
vez más pequeño. Por eso se habla del valor de la derivada de una función en
un punto dado. ( Serge Lang: pg55)
Entonces el valor de la derivada de una función en un punto puede
interpretarse geométricamente, ya que se corresponde con la pendiente de
la recta tangente a la gráfica de la función en dicho punto. La recta tangente
es, a su vez, la gráfica de la mejor aproximación lineal de la función
alrededor de dicho punto. La noción de derivada puede generalizarse para el
caso de funciones de más de una variable con la derivada parcial y
el diferencial.
3

5. 2. Objetivos
GENERAL:
• DETERMINAR LA APLICACIÓN DE LA DERIVADA EN LA
CARRERA A FIN A SEGUIR PARA PODER VER SU
UTILIDAD QUE ESTA TIENE Y PODER RESOLVER O
DESARROLLAR VARIOS PROBLEMAS PRÁCTICOS.
• ANALIZAR LA DERIVADA MEDIANTE LA
MAXIMIZACIÓN Y MINIMIZACIÓN EN UN PROBLEMA
PLANTEADO EL CUAL SIRVA EN LA INGENIERÍA.
4
ESPECIFICOS:

6. 3. Fundamentación teórica
En ingeniería las derivadas representan razones de cambio en su aspecto más simple; así pues,
cadavez que prendestu teléfonocelular,cuando vez queun edificio resiste el embate del viento,
la aguja que se mueve en el velocímetro del automóviltodoeso sonlas derivadas funcionando.
Las derivadas tienen gran importancia en el desempeño del ingeniero, ya que facilitan el
cálculo y la demostración de los cambios en las variables con respecto a otras, es decir, se
requiere conocer el valor de una variable, trascurrido cierto espacio de tiempo, en
telecomunicaciones, se puede valorar la intensidad en la señal de transferencia de datos
después de un lapso de tiempo (La jagua de Ibrico, Cesar ,2019)
Entre los valores que puede tener una función f ( x ) , puede haber uno que sea el más
grande y otro que sea el más pequeño. A estos valores se les llama respectivamente
punto máximo y punto mínimo absolutos. Si una función continua es ascendente en un
intervalo y a partir de un punto cualquiera empieza a decrecer, a ese punto se le
conoce como punto crítico máximo relativo, aunque comúnmente se le llama solo
máximo. Por el contrario, si una función continua es decreciente en cierto intervalo
hasta un punto en el cual empieza a ascender, a este punto lo llamamos punto crítico
mínimo relativo, o simplemente mínimo. Una función puede tener uno, ninguno o
varios puntos críticos. Mediante unos gráficos veamos unos ejemplos de curvas sin
máximos ni mínimos, lo que común mente se llama una función sin máximos ni
mínimo.
Es importante recordar que la pendiente de la recta tangente a una curva (derivada) en
los puntos críticos máximos y mínimos relativos es cero, ya que se trata de una recta
horizontal. En los puntos críticos máximos, las funciones tienen un valor mayor que
en su entorno, mientras que, en los mínimos, el valor de la función es menor que en su
entorno. En un punto crítico máximo relativo, al pasar la función de creciente a
decreciente, su derivada pasa de positiva a negativa. En un punto crítico mínimo
relativo, la función deja de decrecer y empieza a ser creciente, por tanto, su derivada
pasa de negativa a positiva.
5

7. 4. Desarrollo
1. Se desea diseñar un plano para la instalación de un sistema de internet para una
casa cuya área de impresión es de 100 cm2 con sus lados respectivos de 8 cm de
lado superior e inferior y sus laterales de 4 cm de sus lados derecho e izquierdo.
Calcular las dimensiones que debe tener el plano para minimizar la cantidad de
papel que se tendrá que usar.
8 cm
4 cm
Las dimensiones que debe tener el plano para minimizar la cantidad de papel que se
usará son: ℎ = √60 cm tanto de base horizontal como de longitudvertical.
Explicación paso a paso:
Tenemos un plano de papel con lados superior e inferior de 8 cm y lados izquierdo y
derecho de 4 cm cada uno.
La función objetivo es el perímetro del plano. Si llamamos h la longitud del lado
vertical del área de impresión y x la longitud del lado horizontal del área de
impresión; la función objetivo viene dada por:
𝐏𝐞𝐫í𝐦𝐞𝐭𝐫𝐨 = 𝐏 = 𝟐(𝐱 + 𝟖) + 𝟐(𝐡 + 𝟏𝟔) 𝐜𝐦
Lo conveniente es que P esté expresada solo en función de una variable, por lo que
usaremos el área de impresión para despejar h en función de x:
Área = 60 cm2
6

8. 𝐴 = 𝑥ℎ = 60 → ℎ =
60
𝑥
por tanto, la función objetivo es
60
𝑥
𝑃 = 2(𝑥 + 8) + 2 ( + 16) = 2𝑥 +
120
𝑥
+48
Los valores máximos y mínimos de una función se obtienen usando los criterios de
primera y segunda derivada para extremos relativos.
Primero, hallamos los puntos críticos de la función. Esto es derivar la función e
igualar a cero. Los puntos que satisfacen esta ecuación son los puntos críticos de P.
𝑃` = 2 −
120
𝑥2
120
2 − = 0
𝑥2
𝑥 =√60
Este es el punto crítico o posible extremo de la función.
Segundo, hallamos la derivada de segundo orden que nos permitirá decidir si el
punto crítico es un máximo con segunda derivada negativa, o un mínimo con
segunda derivada positiva.
𝑃" =
240
𝑥3
Tercero, evaluamos la segunda derivada en el punto crítico y aplicamos el criterio de
decisión correspondiente.
√60
𝑃"
= −240
𝑥3
> 0 → 𝑥 = √60 es un mínimo de la función P.
Sustituimos el valor de x en la ecuación de cálculo de h:
60
ℎ = → ℎ = √60
√60
Las dimensiones que debe tener el cartel para minimizar la cantidad de papel que
se usará son: h = √60 tanto de base horizontal como de longitud vertical.
7

9. 2. Un cable de fibra óptica de 200cm se corta en tres partes y cada una se dobla
para formar un cuadrado. ¿Cómo se deben realizar los cortes para que el arrea
sea mínima?
200 cm
Para minimizar la suma de las áreas el segundo corte debe medir 100 cm de tal forma
que estas sean lo más pequeñas posibles.
Pasó a paso:
Se tiene un cable de 200 cm de largo con el cual se deben formar tres cuadrados así
que encontraremos el tamaño de cada una de las partes del cable:
𝑃𝑡 = 𝑃1 + 𝑃2 + 𝑃3
𝑃1 = 200 − (𝑥2 + 𝑥3)
𝑃2 = 200 − (𝑥1 +𝑥3)
𝑃3 = 200 − (𝑥1 +𝑥2)
De esta manera se obtiene la siguiente ecuación:
[200 − (𝑥2 + 𝑥3) + 200 − (𝑥1 + 𝑥3) + 200 − (𝑥1 + 𝑥2)] = 200
Donde se puede resolver de la siguiente manera:
[200 − (𝑥2 + 𝑥3) + 200 − (𝑥1 + 𝑥3) + 200 − (𝑥1 + 𝑥2)] = 200
600 − (𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥1 + 𝑥3 + 𝑥1 + 𝑥2) =200
600 − (2𝑥1 + 2𝑥2 + 2𝑥3) = 200
600 − 200 = 2𝑥1 + 2𝑥2 + 2𝑥3
De esta ecuación se despeja la variable de x3:
8
X1 X3
X2

10. 400 − 2𝑥1 − 2𝑥2 = 2𝑥3
𝑥3 = 200 − 𝑥1 − 𝑥2
Con esta ecuación podremos encontrar el área de nuestro primer cuadrado que se
representa de la siguiente manera:
𝑥3
2
𝐴∎3 = (
4
)
𝐴∎3
4
= ( 1 2
)
200 − (𝑥 + 𝑥 ) 2
𝐴∎3 =
(𝑥1 + 𝑥2)2 − 400(𝑥1 + 𝑥2) + 40000
16
Ahora podemos hallar la primera derivada del Área de este cuadrado:
16
3 1 2 1 2
1
𝐴∎ = [(𝑥 + 𝑥 )2 − 400(𝑥 + 𝑥 ) + 40000]
1
2
1
1
𝐴∎3` =
16
[2(𝑥1 + 𝑥2) −400]
𝐴∎3` =
16
[(𝑥1 + 𝑥2) −200]
𝐴∎3` =
8
[(𝑥1 + 𝑥2) − 200]
𝐴∎3`` =
8
[1]
1
𝐴∎3`` =
8
Este valor de 1
ya nos indica que se trata de un minino, pero ahora queremos
9
8
encontrar el valor del segundo corte, de manera que ocuparemos la siguiente ecuación:
𝐴𝑇 = 𝐴∎1 + 𝐴∎2 + 𝐴∎3
Y gracias a la primera derivada encontramos el valor para x1:
𝑥1 = 200 − 𝑥2
Ahora podemos generar la operación de las áreas:

11. 𝐴𝑇 = (
4
200 − 𝑥2
2 𝑥2
2 (200 − 𝑥2 + 𝑥2)2 − 400(200 − 𝑥_2 + 𝑥2) + 40000
) + ( ) +
4 16
𝑇
𝐴 =
2 2
40000 − 400𝑥2 + 𝑥2 + 𝑥2 + 40000 − 80000 +40000
𝑇
𝐴 =
2
16
2𝑥2 − 400𝑥2 + 40000
16
Derivamos la ecuación:
2
16
𝑇 2
2
2
𝐴 = [𝑥 − 200𝑥 − 20000]
1
𝐴𝑇` =
8
[2𝑥2 − 200]
De aquí tomamos el valor del segundo corte que tenemos que realizar
2𝑥2 = 200
𝑥2 =
200
2
𝑥2 = 100
Ya témenos el valor del segundo corte que es de 100 cm ahora encontraremos si es un
mínimo a tevés de su segunda derivada:
1
1
𝐴𝑇` =
8
[2𝑥2 − 200]
𝐴𝑇`` =
8
[2]
1
𝐴𝑇`` =
4
Al ser un valor positivo ¼ se determina que el área para este cuadrado será la mínima
posible.
10

12. 5. Conclusiones
 Podemos hallar de una manera rápida las áreas de la mayoría de figuras, aplicando las
derivaciones y también podemos optimizar para menor o aumentar los datos para tener
una mayor o menor cantidad de datos en el problema.
 La derivada tiene una gran variedad de aplicaciones además de darnos la pendiente
de la tangente a una curva en un punto. Se puede usar la derivada para estudiar tasas
de variación, valores máximos y mínimos de una función, concavidad y convexidad,
etc.
 Concluimos que a la función a maximizar o minimizar se le llama función objetivo. El
valor máximo o mínimo de la función objetivo se halla en los bordes de la zona factible
delimitada por las restricciones un problema y a este valor se le llama el valor óptimo.
11
6. Enlace a slideshare
7. Bibliografía (Normas APA)
Prof. Nieves Enrique M., (fecha no definida), Aplicaciones de la derivada,
https://edumatth.weebly.com/uploads/1/3/1/9/13198236/mximos_y_mnimos_de_una_fun
cion_de_una_variable_independiente.pdf.
richardblanco0715, (fecha no establecida), Aplicaciopnes de la derivada en ingeniería,
National Open and Distance University
https://www.coursehero.com/file/pkjp6h/APLICACIONES-DE-LAS-DERIVADAS-EN-LA-
INGENIER%C3%8DA-INDUSTRIAL-En-ingenier%C3%ADa-
las/#:~:text=APLICACIONES%20DE%20LAS%20DERIVADAS%20EN%20LA%20INGE
NIER%C3%8DA%20INDUSTRIAL%20En%20ingenier%C3%ADa,del%20autom%C3%B
3vil%20todo%20eso%20son.
Wikipedia, 17 dic 2020, Derivada, https://es.wikipedia.org/wiki/Derivada.