1. …… aanndd nnooww ffoorr ssoommeetthhiinngg
ccoommpplleetteellyy ddiiffffeerreenntt……
SSeett TThheeoorryy
AAccttuuaallllyy,, yyoouu wwiillll sseeee tthhaatt llooggiicc aanndd
sseett tthheeoorryy aarree vveerryy cclloosseellyy rreellaatteedd..
Fall 2002 CMSC 203 - Discrete Structures 1

2. SSeett TThheeoorryy
• SSeett:: CCoolllleeccttiioonn ooff oobbjjeeccttss ((““eelleemmeennttss””))
• aaÎAA ““aa iiss aann eelleemmeenntt ooff AA””
““aa iiss aa mmeemmbbeerr ooff AA””
• aaÏAA ““aa iiss nnoott aann eelleemmeenntt ooff AA””
• AA == {{aa11,, aa22,, ……,, aann}} ““AA ccoonnttaaiinnss……””
• OOrrddeerr ooff eelleemmeennttss iiss mmeeaanniinngglleessss
• IItt ddooeess nnoott mmaatttteerr hhooww oofftteenn tthhee ssaammee
eelleemmeenntt iiss lliisstteedd..
Fall 2002 CMSC 203 - Discrete Structures 2

3. SSeett EEqquuaalliittyy
SSeettss AA aanndd BB aarree eeqquuaall iiff aanndd oonnllyy iiff tthheeyy
ccoonnttaaiinn eexxaaccttllyy tthhee ssaammee eelleemmeennttss..
EExxaammpplleess::
• AA == {{99,, 22,, 77,, --3}},, BB == {{77,, 99,, --3,, 22}} :: AA == BB
• AA == {{ddoogg,, ccaatt,, hhoorrssee}},,
BB == {{ccaatt,, hhoorrssee,, ssqquuiirrrreell,, ddoogg}} :: AA  BB
• AA == {{ddoogg,, ccaatt,, hhoorrssee}},,
BB == {{ccaatt,, hhoorrssee,, ddoogg,, ddoogg}} :: AA == BB
Fall 2002 CMSC 203 - Discrete Structures 3

4. EExxaammpplleess ffoorr SSeettss
““SSttaannddaarrdd”” SSeettss::
• NNaattuurraall nnuummbbeerrss NN == {{00,, 11,, 22,, 3,, ……}}
• IInntteeggeerrss ZZ == {{……,, --22,, --11,, 00,, 11,, 22,, ……}}
• PPoossiittiivvee IInntteeggeerrss ZZ++ == {{11,, 22,, 3,, 44,, ……}}
• RReeaall NNuummbbeerrss RR == {{4477..3,, --1122,, p,, ……}}
• RRaattiioonnaall NNuummbbeerrss QQ == {{11..55,, 22..66,, --3..88,, 1155,, ……}}
((ccoorrrreecctt ddeeffiinniittiioonn wwiillll ffoollllooww))
Fall 2002 CMSC 203 - Discrete Structures 4

5. EExxaammpplleess ffoorr SSeettss
• AA == Æ ““eemmppttyy sseett//nnuullll sseett””
• AA == {{zz}} NNoottee:: zzÎAA,, bbuutt zz ¹ {{zz}}
• AA == {{{{bb,, cc}},, {{cc,, xx,, dd}}}}
• AA == {{{{xx,, yy}}}}
NNoottee:: {{xx,, yy}} ÎAA,, bbuutt {{xx,, yy}} ¹ {{{{xx,, yy}}}}
• AA == {{xx || PP((xx))}}
““sseett ooff aallll xx ssuucchh tthhaatt PP((xx))””
• AA == {{xx || xxÎNN Ù xx >> 77}} == {{88,, 99,, 1100,, ……}}
““sseett bbuuiillddeerr nnoottaattiioonn””
Fall 2002 CMSC 203 - Discrete Structures 5

6. EExxaammpplleess ffoorr SSeettss
WWee aarree nnooww aabbllee ttoo ddeeffiinnee tthhee sseett ooff rraattiioonnaall
nnuummbbeerrss QQ::
QQ == {{aa//bb || aaÎZZ Ù bbÎZZ++}}
oorr
QQ == {{aa//bb || aaÎZZ Ù bbÎZZ Ù bb¹00}}
AAnndd hhooww aabboouutt tthhee sseett ooff rreeaall nnuummbbeerrss RR??
RR == {{rr || rr iiss aa rreeaall nnuummbbeerr}}
TThhaatt iiss tthhee bbeesstt wwee ccaann ddoo..
Fall 2002 CMSC 203 - Discrete Structures 6

7. SSuubbsseettss
AA Í BB ““AA iiss aa ssuubbsseett ooff BB””
AA Í BB iiff aanndd oonnllyy iiff eevveerryy eelleemmeenntt ooff AA iiss aallssoo
aann eelleemmeenntt ooff BB..
WWee ccaann ccoommpplleetteellyy ffoorrmmaalliizzee tthhiiss::
AA Í BB Û "xx ((xxÎAA ® xxÎBB))
EExxaammpplleess::
AA == {{33,, 99}},, BB == {{55,, 99,, 11,, 33}},, AA  BB ?? ttrruuee
AA == {{33,, 33,, 33,, 99}},, BB == {{55,, 99,, 11,, 33}},, AA  BB ??
ttrruuee
ffaallssee
AA == {{11,, 22,, 33}},, BB == {{22,, 33,, 44}},, AA  BB ??
Fall 2002 CMSC 203 - Discrete Structures 7

8. SSuubbsseettss
UUsseeffuull rruulleess::
• AA == BB Û ((AA Í BB)) Ù ((BB Í AA))
• ((AA Í BB)) Ù ((BB Í CC)) Þ AA Í CC ((sseeee VVeennnn
DDiiaaggrraamm))
UU
BB CC
AA
Fall 2002 CMSC 203 - Discrete Structures 8

9. SSuubbsseettss
UUsseeffuull rruulleess::
" Æ Í AA ffoorr aannyy sseett AA
• AA Í AA ffoorr aannyy sseett AA
PPrrooppeerr ssuubbsseettss::
AA Ì BB ““AA iiss aa pprrooppeerr ssuubbsseett ooff BB””
AA Ì BB Û "xx ((xxÎAA ® xxÎBB)) Ù $xx ((xxÎBB Ù xxÏAA))
oorr
AA Ì BB Û "xx ((xxÎAA ® xxÎBB)) Ù Ø"xx ((xxÎBB ® xxÎAA))
Fall 2002 CMSC 203 - Discrete Structures 9

10. CCaarrddiinnaalliittyy ooff SSeettss
IIff aa sseett SS ccoonnttaaiinnss nn ddiissttiinncctt eelleemmeennttss,, nnÎNN,,
wwee ccaallll SS aa ffiinniittee sseett wwiitthh ccaarrddiinnaalliittyy nn..
EExxaammpplleess::
AA == {{MMeerrcceeddeess,, BBMMWW,, PPoorrsscchhee}},, ||AA|| == 33
BB == {{11,, {{22,, 33}},, {{44,, 55}},, 66}} ||BB|| == 44
CC ==  ||CC|| == 00
DD == {{ xxNN || xx  77000000 }} ||DD|| == 77000011
EE == {{ xxNN || xx  77000000 }} EE iiss iinnffiinniittee!!
Fall 2002 CMSC 203 - Discrete Structures 10

11. TThhee PPoowweerr SSeett
PP((AA)) ““ppoowweerr sseett ooff AA””
PP((AA)) == {{BB || BB Í AA}} ((ccoonnttaaiinnss aallll ssuubbsseettss ooff AA))
EExxaammpplleess::
AA == {{xx,, yy,, zz}}
PP((AA)) == {{Æ,, {{xx}},, {{yy}},, {{zz}},, {{xx,, yy}},, {{xx,, zz}},, {{yy,, zz}},, {{xx,, yy,, zz}}}}
AA == Æ
PP((AA)) == {{Æ}}
NNoottee:: ||AA|| == 00,, ||PP((AA))|| == 11
Fall 2002 CMSC 203 - Discrete Structures 11

12. TThhee PPoowweerr SSeett
CCaarrddiinnaalliittyy ooff ppoowweerr sseettss::
|| PP((AA)) || == 22||AA||
• IImmaaggiinnee eeaacchh eelleemmeenntt iinn AA hhaass aann ““oonn//ooffff”” sswwiittcchh
• EEaacchh ppoossssiibbllee sswwiittcchh ccoonnffiigguurraattiioonn iinn AA
ccoorrrreessppoonnddss ttoo oonnee eelleemmeenntt iinn 22AA
AA 11 22 33 44 55 66 77 88
xx xx xx xx xx xx xx xx xx
yy yy yy yy yy yy yy yy yy
zz zz zz zz zz zz zz zz zz
• FFoorr 33 eelleemmeennttss iinn AA,, tthheerree aarree
222222 == 88 eelleemmeennttss iinn PP((AA))
Fall 2002 CMSC 203 - Discrete Structures 12

13. CCaarrtteessiiaann PPrroodduucctt
TThhee oorrddeerreedd nn--ttuuppllee ((aa11,, aa22,, aa33,, ……,, aann)) iiss aann oorrddeerreedd
ccoolllleeccttiioonn ooff oobbjjeeccttss..
TTwwoo oorrddeerreedd nn--ttuupplleess ((aa11,, aa22,, aa33,, ……,, aann)) aanndd
((bb11,, bb22,, bb33,, ……,, bbnn)) aarree eeqquuaall iiff aanndd oonnllyy iiff tthheeyy
ccoonnttaaiinn eexxaaccttllyy tthhee ssaammee eelleemmeennttss iinn tthhee ssaammee
oorrddeerr,, ii..ee.. aaii == bbii ffoorr 11 £ ii £ nn..
TThhee CCaarrtteessiiaann pprroodduucctt ooff ttwwoo sseettss iiss ddeeffiinneedd aass::
AA´BB == {{((aa,, bb)) || aaÎAA Ù bbÎBB}}
EExxaammppllee:: AA == {{xx,, yy}},, BB == {{aa,, bb,, cc}}
AA´BB == {{((xx,, aa)),, ((xx,, bb)),, ((xx,, cc)),, ((yy,, aa)),, ((yy,, bb)),, ((yy,, cc))}}
Fall 2002 CMSC 203 - Discrete Structures 13

14. CCaarrtteessiiaann PPrroodduucctt
TThhee CCaarrtteessiiaann pprroodduucctt ooff ttwwoo sseettss iiss ddeeffiinneedd aass::
AA´BB == {{((aa,, bb)) || aaÎAA Ù bbÎBB}}
EExxaammppllee::
AA == {{ggoooodd,, bbaadd}},, BB == {{ssttuuddeenntt,, pprrooff}}
AA´BB == {{((ggoooodd,, ssttuuddeenntt)),, ((ggoooodd,, pprrooff)),, ((bbaadd,, ssttuuddeenntt)),, ((bbaadd,, pprrooff))}}
BBAA == {{((ssttuuddeenntt,, ggoooodd)),, ((pprrooff,, ggoooodd)),, ((ssttuuddeenntt,, bbaadd)),, ((pprrooff,, bbaadd))}}
Fall 2002 CMSC 203 - Discrete Structures 14

15. CCaarrtteessiiaann PPrroodduucctt
NNoottee tthhaatt::
• AA´Æ == Æ
• Æ´AA == Æ
• FFoorr nnoonn--eemmppttyy sseettss AA aanndd BB:: AA¹BB Û AA´BB ¹ BB´AA
• ||AA´BB|| == ||AA||×||BB||
TThhee CCaarrtteessiiaann pprroodduucctt ooff ttwwoo oorr mmoorree sseettss iiss
ddeeffiinneedd aass::
AA11´AA22´……´AAnn == {{((aa11,, aa22,, ……,, aann)) || aaiiÎAA ffoorr 11 £ ii £ nn}}
Fall 2002 CMSC 203 - Discrete Structures 15

16. SSeett OOppeerraattiioonnss
UUnniioonn:: AAÈBB == {{xx || xxÎAA Ú xxÎBB}}
EExxaammppllee:: AA == {{aa,, bb}},, BB == {{bb,, cc,, dd}}
AAÈBB == {{aa,, bb,, cc,, dd}}
IInntteerrsseeccttiioonn:: AAÇBB == {{xx || xxÎAA Ù xxÎBB}}
EExxaammppllee:: AA == {{aa,, bb}},, BB == {{bb,, cc,, dd}}
AAÇBB == {{bb}}
Fall 2002 CMSC 203 - Discrete Structures 16

17. SSeett OOppeerraattiioonnss
TTwwoo sseettss aarree ccaalllleedd ddiissjjooiinntt iiff tthheeiirr iinntteerrsseeccttiioonn
iiss eemmppttyy,, tthhaatt iiss,, tthheeyy sshhaarree nnoo eelleemmeennttss::
AAÇBB == Æ
TThhee ddiiffffeerreennccee bbeettwweeeenn ttwwoo sseettss AA aanndd BB
ccoonnttaaiinnss eexxaaccttllyy tthhoossee eelleemmeennttss ooff AA tthhaatt aarree
nnoott iinn BB::
AA--BB == {{xx || xxÎAA Ù xxÏBB}}
EExxaammppllee:: AA == {{aa,, bb}},, BB == {{bb,, cc,, dd}},, AA--BB == {{aa}}
Fall 2002 CMSC 203 - Discrete Structures 17

18. SSeett OOppeerraattiioonnss
TThhee ccoommpplleemmeenntt ooff aa sseett AA ccoonnttaaiinnss eexxaaccttllyy
tthhoossee eelleemmeennttss uunnddeerr ccoonnssiiddeerraattiioonn tthhaatt aarree nnoott
iinn AA::
AAcc == UU--AA
EExxaammppllee:: UU == NN,, BB == {{22500,, 22511,, 22522,, ……}}
BBcc == {{00,, 11,, 22,, ……,, 22448,, 22449}}
Fall 2002 CMSC 203 - Discrete Structures 18

19. SSeett OOppeerraattiioonnss
TTaabbllee 11 iinn SSeeccttiioonn 11..55 sshhoowwss mmaannyy uusseeffuull eeqquuaattiioonnss..
HHooww ccaann wwee pprroovvee AAÈ((BBÇCC)) == ((AAÈBB))Ç((AAÈCC))??
MMeetthhoodd II::
xxÎAAÈ((BBÇCC))
Û xxÎAA Ú xxÎ((BBÇCC))
Û xxÎAA Ú ((xxÎBB Ù xxÎCC))
Û ((xxÎAA Ú xxÎBB)) Ù ((xxÎAA Ú xxÎCC))
((ddiissttrriibbuuttiivvee llaaww ffoorr llooggiiccaall eexxpprreessssiioonnss))
Û xxÎ((AAÈBB)) Ù xxÎ((AAÈCC))
Û xxÎ((AAÈBB))Ç((AAÈCC))
Fall 2002 CMSC 203 - Discrete Structures 19

20. SSeett OOppeerraattiioonnss
MMeetthhoodd IIII:: MMeemmbbeerrsshhiipp ttaabbllee
11 mmeeaannss ““xx iiss aann eelleemmeenntt ooff tthhiiss sseett””
00 mmeeaannss ““xx iiss nnoott aann eelleemmeenntt ooff tthhiiss sseett””
AA BB CC BBCC AA((BBCC)) AABB AACC ((AABB)) ((AACC))
00 00 00 00 00 00 00 00
00 00 11 00 00 00 11 00
00 11 00 00 00 11 00 00
00 11 11 11 11 11 11 11
11 00 00 00 11 11 11 11
11 00 11 00 11 11 11 11
11 11 00 00 11 11 11 11
11 11 11 11 11 11 11 11
Fall 2002 CMSC 203 - Discrete Structures 20

21. SSeett OOppeerraattiioonnss
EEvveerryy llooggiiccaall eexxpprreessssiioonn ccaann bbee ttrraannssffoorrmmeedd iinnttoo aann
eeqquuiivvaalleenntt eexxpprreessssiioonn iinn sseett tthheeoorryy aanndd vviiccee vveerrssaa..
YYoouu ccoouulldd wwoorrkk oonn EExxeerrcciisseess 99 aanndd 1199 iinn SSeeccttiioonn 11..55
ttoo ggeett ssoommee pprraaccttiiccee..
Fall 2002 CMSC 203 - Discrete Structures 21