Admission in india

1. AAddmmiissssiioonn iinn IInnddiiaa 22001155
BByy::
AAddmmiissssiioonn..eeddhhoollee..ccoomm

2. YYeess,, NNoo,, MMaayybbee......
BBoooolleeaann
AAllggeebbrraa
AAddmmiissssiioonn..eeddhhoollee..ccoomm
Fall 2002 CMSC 203 - Discrete Structures 2

3. BBoooolleeaann AAllggeebbrraa
BBoooolleeaann aallggeebbrraa pprroovviiddeess tthhee ooppeerraattiioonnss aanndd tthhee
rruulleess ffoorr wwoorrkkiinngg wwiitthh tthhee sseett {{00,, 11}}..
TThheessee aarree tthhee rruulleess tthhaatt uunnddeerrlliiee eelleeccttrroonniicc
cciirrccuuiittss,, aanndd tthhee mmeetthhooddss wwee wwiillll ddiissccuussss aarree
ffuunnddaammeennttaall ttoo VVLLSSII ddeessiiggnn..
WWee aarree ggooiinngg ttoo ffooccuuss oonn tthhrreeee ooppeerraattiioonnss::
• BBoooolleeaann ccoommpplleemmeennttaattiioonn,,
• BBoooolleeaann ssuumm,, aanndd
• BBoooolleeaann pprroodduucctt
AAddmmiissssiioonn..eeddhhoollee..ccoomm
Fall 2002 CMSC 203 - Discrete Structures 3

4. BBoooolleeaann OOppeerraattiioonnss
TThhee ccoommpplleemmeenntt iiss ddeennootteedd bbyy aa bbaarr ((oonn tthhee sslliiddeess,,
wwee wwiillll uussee aa mmiinnuuss ssiiggnn)).. IItt iiss ddeeffiinneedd bbyy
--00 == 11 aanndd --11 == 00..
TThhee BBoooolleeaann ssuumm,, ddeennootteedd bbyy ++ oorr bbyy OORR,, hhaass tthhee
ffoolllloowwiinngg vvaalluueess::
11 ++ 11 == 11,, 11 ++ 00 == 11,, 00 ++ 11 == 11,, 00 ++ 00 == 00
TThhee BBoooolleeaann pprroodduucctt,, ddeennootteedd bbyy × oorr bbyy AANNDD,, hhaass
tthhee ffoolllloowwiinngg vvaalluueess::
11 × 11 == 11,, 11 × 00 == 00,, 00 × 11 == 00,, 00 × 00 == 00
AAddmmiissssiioonn..eeddhhoollee..ccoomm
Fall 2002 CMSC 203 - Discrete Structures 4

5. BBoooolleeaann FFuunnccttiioonnss aanndd EExxpprreessssiioonnss
DDeeffiinniittiioonn:: LLeett BB == {{00,, 11}}.. TThhee vvaarriiaabbllee xx iiss ccaalllleedd aa
BBoooolleeaann vvaarriiaabbllee iiff iitt aassssuummeess vvaalluueess oonnllyy ffrroomm BB..
AA ffuunnccttiioonn ffrroomm BBnn,, tthhee sseett {{((xx11,, xx22,, ……,, xxnn)) ||xxiiÎBB,,
11 £ ii £ nn}},, ttoo BB iiss ccaalllleedd aa BBoooolleeaann ffuunnccttiioonn ooff
ddeeggrreeee nn..
BBoooolleeaann ffuunnccttiioonnss ccaann bbee rreepprreesseenntteedd uussiinngg
eexxpprreessssiioonnss mmaaddee uupp ffrroomm tthhee vvaarriiaabblleess aanndd
BBoooolleeaann ooppeerraattiioonnss..
AAddmmiissssiioonn..eeddhhoollee..ccoomm
Fall 2002 CMSC 203 - Discrete Structures 5

6. BBoooolleeaann FFuunnccttiioonnss aanndd EExxpprreessssiioonnss
TThhee BBoooolleeaann eexxpprreessssiioonnss iinn tthhee vvaarriiaabblleess xx11,, xx22,, ……,, xxnn
aarree ddeeffiinneedd rreeccuurrssiivveellyy aass ffoolllloowwss::
• 00,, 11,, xx11,, xx22,, ……,, xxnn aarree BBoooolleeaann eexxpprreessssiioonnss..
• IIff EE11 aanndd EE22 aarree BBoooolleeaann eexxpprreessssiioonnss,, tthheenn ((--EE11)),,
((EE11EE22)),, aanndd ((EE11 ++ EE22)) aarree BBoooolleeaann eexxpprreessssiioonnss..
EEaacchh BBoooolleeaann eexxpprreessssiioonn rreepprreesseennttss aa BBoooolleeaann
ffuunnccttiioonn.. TThhee vvaalluueess ooff tthhiiss ffuunnccttiioonn aarree oobbttaaiinneedd
bbyy ssuubbssttiittuuttiinngg 00 aanndd 11 ffoorr tthhee vvaarriiaabblleess iinn tthhee
AAeeddxxmmppiirrsseesssisioossnniioo..eenndd.. hhoollee..ccoomm
Fall 2002 CMSC 203 - Discrete Structures 6

7. BBoooolleeaann FFuunnccttiioonnss aanndd EExxpprreessssiioonnss
FFoorr eexxaammppllee,, wwee ccaann ccrreeaattee BBoooolleeaann eexxpprreessssiioonn iinn
tthhee vvaarriiaabblleess xx,, yy,, aanndd zz uussiinngg tthhee ““bbuuiillddiinngg bblloocckkss””
00,, 11,, xx,, yy,, aanndd zz,, aanndd tthhee ccoonnssttrruuccttiioonn rruulleess::
SSiinnccee xx aanndd yy aarree BBoooolleeaann eexxpprreessssiioonnss,, ssoo iiss xxyy..
SSiinnccee zz iiss aa BBoooolleeaann eexxpprreessssiioonn,, ssoo iiss ((--zz))..
SSiinnccee xxyy aanndd ((--zz)) aarree eexxpprreessssiioonnss,, ssoo iiss xxyy ++ ((--zz))..
…… aanndd ssoo oonn……
AAddmmiissssiioonn..eeddhhoollee..ccoomm
Fall 2002 CMSC 203 - Discrete Structures 7

8. BBoooolleeaann FFuunnccttiioonnss aanndd EExxpprreessssiioonnss
EExxaammppllee:: GGiivvee aa BBoooolleeaann eexxpprreessssiioonn ffoorr tthhee
BBoooolleeaann ffuunnccttiioonn FF((xx,, yy)) aass ddeeffiinneedd bbyy tthhee ffoolllloowwiinngg
ttaabbllee::
xx yy FF((xx,, yy))
00 00 00
00 11 11
11 00 00
11 11 00
PPoossssiibbllee ssoolluuttiioonn:: FF((xx,, yy)) == ((--xx))×yy
AAddmmiissssiioonn..eeddhhoollee..ccoomm
Fall 2002 CMSC 203 - Discrete Structures 8

9. BBoooolleeaann FFuunnccttiioonnss aanndd EExxpprreessssiioonnss
AAnnootthheerr EExxaammppllee:: PPoossssiibbllee ssoolluuttiioonn II::
FF((xx,, yy,, zz)) == --((xxzz ++ yy))
FF((xx,, yy,, zz))
11
1
00 1
00
zz
0
1 0
0
1
11 xx yy
00 00
00 00
00 11
00 11
1
00 1
00
00
0
0
11 0
11 11 00
11 00
11 11
11 11
PPoossssiibbllee ssoolluuttiioonn IIII::
FF((xx,, yy,, zz)) == ((--((xxzz))))((--yy))
AAddmmiissssiioonn..eeddhhoollee..ccoomm
Fall 2002 CMSC 203 - Discrete Structures 9

10. BBoooolleeaann FFuunnccttiioonnss aanndd EExxpprreessssiioonnss
TThheerree iiss aa ssiimmppllee mmeetthhoodd ffoorr ddeerriivviinngg aa BBoooolleeaann
eexxpprreessssiioonn ffoorr aa ffuunnccttiioonn tthhaatt iiss ddeeffiinneedd bbyy aa
ttaabbllee.. TThhiiss mmeetthhoodd iiss bbaasseedd oonn mmiinntteerrmmss..
DDeeffiinniittiioonn:: AA lliitteerraall iiss aa BBoooolleeaann vvaarriiaabbllee oorr iittss
ccoommpplleemmeenntt.. AA mmiinntteerrmm ooff tthhee BBoooolleeaann vvaarriiaabblleess xx11,,
xx22,, ……,, xxnn iiss aa BBoooolleeaann pprroodduucctt yy11yy22……yynn,, wwhheerree yyii == xxii oorr
yyii == --xxii..
HHeennccee,, aa mmiinntteerrmm iiss aa pprroodduucctt ooff nn lliitteerraallss,, wwiitthh
oonnee lliitteerraall ffoorr eeaacchh vvaarriiaabbllee..
AAddmmiissssiioonn..eeddhhoollee..ccoomm
Fall 2002 CMSC 203 - Discrete Structures 10

11. BBoooolleeaann FFuunnccttiioonnss aanndd EExxpprreessssiioonnss
CCoonnssiiddeerr FF((xx,,yy,,zz)) aaggaaiinn:: FF((xx,, yy,, zz)) == 11 iiff aanndd
oonnllyy iiff::
xx == yy == zz == 00 oorr
xx == yy == 00,, zz == 11 oorr
xx == 11,, yy == zz == 00
TThheerreeffoorree,,
FF((xx,, yy,, zz)) ==
((--xx))((--yy))((--zz)) ++
((--xx))((--yy))zz ++
xx((--yy))((--zz))
FF((xx,, yy,, zz))
11
1
00 1
00
zz
0
1 0
0
1
11 xx yy
00 00
00 00
00 11
00 11
1
00 1
00
00
0
0
11 0
11 11 00
11 00
11 11
11 11
AAddmmiissssiioonn..eeddhhoollee..ccoomm
Fall 2002 CMSC 203 - Discrete Structures 11

12. BBoooolleeaann FFuunnccttiioonnss aanndd EExxpprreessssiioonnss
DDeeffiinniittiioonn:: TThhee BBoooolleeaann ffuunnccttiioonnss FF aanndd GG ooff nn
vvaarriiaabblleess aarree eeqquuaall iiff aanndd oonnllyy iiff FF((bb11,, bb22,, ……,, bbnn)) ==
GG((bb11,, bb22,, ……,, bbnn)) wwhheenneevveerr bb11,, bb22,, ……,, bbnn bbeelloonngg ttoo BB..
TTwwoo ddiiffffeerreenntt BBoooolleeaann eexxpprreessssiioonnss tthhaatt rreepprreesseenntt
tthhee ssaammee ffuunnccttiioonn aarree ccaalllleedd eeqquuiivvaalleenntt..
FFoorr eexxaammppllee,, tthhee BBoooolleeaann eexxpprreessssiioonnss xxyy,, xxyy ++ 00,,
aanndd xxyy×11 aarree eeqquuiivvaalleenntt..
AAddmmiissssiioonn..eeddhhoollee..ccoomm
Fall 2002 CMSC 203 - Discrete Structures 12

13. BBoooolleeaann FFuunnccttiioonnss aanndd EExxpprreessssiioonnss
TThhee ccoommpplleemmeenntt ooff tthhee BBoooolleeaann ffuunnccttiioonn FF iiss tthhee
ffuunnccttiioonn ––FF,, wwhheerree ––FF((bb11,, bb22,, ……,, bbnn)) ==
--((FF((bb11,, bb22,, ……,, bbnn))))..
LLeett FF aanndd GG bbee BBoooolleeaann ffuunnccttiioonnss ooff ddeeggrreeee nn.. TThhee
BBoooolleeaann ssuumm FF++GG aanndd BBoooolleeaann pprroodduucctt FFGG aarree tthheenn
ddeeffiinneedd bbyy
((FF ++ GG))((bb11,, bb22,, ……,, bbnn)) == FF((bb11,, bb22,, ……,, bbnn)) ++ GG((bb11,, bb22,, ……,, bbnn))
((FFGG))((bb11,, bb22,, ……,, bbnn)) == FF((bb11,, bb22,, ……,, bbnn)) GG((bb11,, bb22,, ……,, bbnn))
AAddmmiissssiioonn..eeddhhoollee..ccoomm
Fall 2002 CMSC 203 - Discrete Structures 13

14. BBoooolleeaann FFuunnccttiioonnss aanndd EExxpprreessssiioonnss
QQuueessttiioonn:: HHooww mmaannyy ddiiffffeerreenntt BBoooolleeaann ffuunnccttiioonnss
ooff ddeeggrreeee 11 aarree tthheerree??
SSoolluuttiioonn:: TThheerree aarree ffoouurr ooff tthheemm,, FF11,, FF22,, FF33,, aanndd FF44::
xx FF11 FF22 FF33 FF44
00 00 00 11 11
11 00 11 00 11
AAddmmiissssiioonn..eeddhhoollee..ccoomm
Fall 2002 CMSC 203 - Discrete Structures 14

15. BBoooolleeaann FFuunnccttiioonnss aanndd EExxpprreessssiioonnss
QQuueessttiioonn:: HHooww mmaannyy ddiiffffeerreenntt BBoooolleeaann ffuunnccttiioonnss
ooff ddeeggrreeee 22 aarree tthheerree??
SSoolluuttiioonn:: TThheerree aarree 1166 ooff tthheemm,, FF11,, FF22,, ……,, FF1166::
xx yy FF22
FF33
00 00 00
00
1 00 11 00
00
11 00 0
0
11
11 11 100
FF11
00
00
00
00
FF88
0
11 0
11
11
FF77
0
11 0
1
00 1
FF99
11
00
00
00
FF55
1 00
00 1
00
FF44
00
11 00
11
FF66
00
11
00
11
FF1111
1
0
1
1 00 1
FF1100
1
00 1
0
11 0
FF1122
11
00
11
11
FF1144
11
1
0
1
11 FF1133
11
1
00 1
00
FF1155
11
11
11
00
Fall 2002 CMSC 203 - Discrete Structures 15
FF1166
11
11
11
11
AAddmmiissssiioonn..eeddhhoollee..ccoomm

16. BBoooolleeaann FFuunnccttiioonnss aanndd EExxpprreessssiioonnss
QQuueessttiioonn:: HHooww mmaannyy ddiiffffeerreenntt BBoooolleeaann ffuunnccttiioonnss
ooff ddeeggrreeee nn aarree tthheerree??
SSoolluuttiioonn::
TThheerree aarree 22nn ddiiffffeerreenntt nn--ttuupplleess ooff 00ss aanndd 11ss..
AA BBoooolleeaann ffuunnccttiioonn iiss aann aassssiiggnnmmeenntt ooff 00 oorr 11 ttoo
eeaacchh ooff tthheessee 22nn ddiiffffeerreenntt nn--ttuupplleess..
TThheerreeffoorree,, tthheerree aarree 2222nn ddiiffffeerreenntt BBoooolleeaann
ffuunnccttiioonnss..
AAddmmiissssiioonn..eeddhhoollee..ccoomm
Fall 2002 CMSC 203 - Discrete Structures 16

17. DDuuaalliittyy
TThheerree aarree uusseeffuull iiddeennttiittiieess ooff BBoooolleeaann eexxpprreessssiioonnss
tthhaatt ccaann hheellpp uuss ttoo ttrraannssffoorrmm aann eexxpprreessssiioonn AA iinnttoo
aann eeqquuiivvaalleenntt eexxpprreessssiioonn BB ((sseeee TTaabbllee 55 oonn ppaaggee
559977 iinn tthhee tteexxttbbooookk))..
WWee ccaann ddeerriivvee aaddddiittiioonnaall iiddeennttiittiieess wwiitthh tthhee hheellpp
ooff tthhee dduuaall ooff aa BBoooolleeaann eexxpprreessssiioonn..
TThhee dduuaall ooff aa BBoooolleeaann eexxpprreessssiioonn iiss oobbttaaiinneedd bbyy
iinntteerrcchhaannggiinngg BBoooolleeaann ssuummss aanndd BBoooolleeaann pprroodduuccttss
aanndd iinntteerrcchhaannggiinngg 00ss aanndd 11ss..
AAddmmiissssiioonn..eeddhhoollee..ccoomm
Fall 2002 CMSC 203 - Discrete Structures 17

18. DDuuaalliittyy
EExxaammpplleess::
TThhee dduuaall ooff xx((yy ++ zz)) iiss xx ++ yyzz..
TThhee dduuaall ooff --xx×11 ++ ((--yy ++ zz)) iiss ((--xx ++ 00))((((--yy))zz))..
TThhee dduuaall ooff aa BBoooolleeaann ffuunnccttiioonn FF rreepprreesseenntteedd bbyy
aa BBoooolleeaann eexxpprreessssiioonn iiss tthhee ffuunnccttiioonn rreepprreesseenntteedd
bbyy tthhee dduuaall ooff tthhiiss eexxpprreessssiioonn..
TThhiiss dduuaall ffuunnccttiioonn,, ddeennootteedd bbyy FFdd,, ddooeess nnoott ddeeppeenndd
oonn tthhee ppaarrttiiccuullaarr BBoooolleeaann eexxpprreessssiioonn uusseedd ttoo
rreepprreesseenntt FF..
AAddmmiissssiioonn..eeddhhoollee..ccoomm
Fall 2002 CMSC 203 - Discrete Structures 18

19. DDuuaalliittyy
TThheerreeffoorree,, aann iiddeennttiittyy bbeettwweeeenn ffuunnccttiioonnss
rreepprreesseenntteedd bbyy BBoooolleeaann eexxpprreessssiioonnss rreemmaaiinnss vvaalliidd
wwhheenn tthhee dduuaallss ooff bbootthh ssiiddeess ooff tthhee iiddeennttiittyy aarree
ttaakkeenn..
WWee ccaann uussee tthhiiss ffaacctt,, ccaalllleedd tthhee dduuaalliittyy pprriinncciippllee,,
ttoo ddeerriivvee nneeww iiddeennttiittiieess..
FFoorr eexxaammppllee,, ccoonnssiiddeerr tthhee aabbssoorrppttiioonn llaaww
xx((xx ++ yy)) == xx..
BByy ttaakkiinngg tthhee dduuaallss ooff bbootthh ssiiddeess ooff tthhiiss iiddeennttiittyy,,
wwee oobbttaaiinn tthhee eeqquuaattiioonn xx ++ xxyy == xx,, wwhhiicchh iiss aallssoo aann
iiddeennttiittyy ((aanndd aallssoo ccaalllleedd aann aabbssoorrppttiioonn llaaww))..
AAddmmiissssiioonn..eeddhhoollee..ccoomm
Fall 2002 CMSC 203 - Discrete Structures 19

20. DDeeffiinniittiioonn ooff aa BBoooolleeaann AAllggeebbrraa
AAllll tthhee pprrooppeerrttiieess ooff BBoooolleeaann ffuunnccttiioonnss aanndd
eexxpprreessssiioonnss tthhaatt wwee hhaavvee ddiissccoovveerreedd aallssoo aappppllyy ttoo
ootthheerr mmaatthheemmaattiiccaall ssttrruuccttuurreess ssuucchh aass
pprrooppoossiittiioonnss aanndd sseettss aanndd tthhee ooppeerraattiioonnss ddeeffiinneedd
oonn tthheemm..
IIff wwee ccaann sshhooww tthhaatt aa ppaarrttiiccuullaarr ssttrruuccttuurree iiss aa
BBoooolleeaann aallggeebbrraa,, tthheenn wwee kknnooww tthhaatt aallll rreessuullttss
eessttaabblliisshheedd aabboouutt BBoooolleeaann aallggeebbrraass aappppllyy ttoo tthhiiss
ssttrruuccttuurree..
FFoorr tthhiiss ppuurrppoossee,, wwee nneeeedd aann aabbssttrraacctt ddeeffiinniittiioonn
AAooddffmm aaiis s BBssioiooooonnll.e.eeeaaddnnhh aaoollllggeeee..ccbboorrmmaa..
Fall 2002 CMSC 203 - Discrete Structures 20

21. DDeeffiinniittiioonn ooff aa BBoooolleeaann AAllggeebbrraa
DDeeffiinniittiioonn:: AA BBoooolleeaann aallggeebbrraa iiss aa sseett BB wwiitthh ttwwoo
bbiinnaarryy ooppeerraattiioonnss Ú aanndd Ù,, eelleemmeennttss 00 aanndd 11,, aanndd aa
uunnaarryy ooppeerraattiioonn –– ssuucchh tthhaatt tthhee ffoolllloowwiinngg
pprrooppeerrttiieess hhoolldd ffoorr aallll xx,, yy,, aanndd zz iinn BB::
xx Ú 00 == xx aanndd xx Ù 11 == xx ((iiddeennttiittyy llaawwss))
xx Ú ((--xx)) == 11 aanndd xx Ù ((--xx)) == 00 ((ddoommiinnaattiioonn llaawwss))
((xx Ú yy)) Ú zz == xx Ú ((yy Ú zz)) aanndd
((xx Ù yy)) Ù zz == xx Ù ((yy Ù zz)) aanndd ((aassssoocciiaattiivvee llaawwss))
xx Ú yy == yy Ú xx aanndd xx Ù yy == yy Ù xx ((ccoommmmuuttaattiivvee llaawwss))
xx Ú ((yy Ù zz)) == ((xx Ú yy)) Ù ((xx Ú zz)) aanndd
AAxxdd mmÙ i is(s(yyss iiÚoon n zz..ee)) dd==hh ((ooxxlle e Ù..cc yyoo))mm Ú ((xx Ù zz)) ((ddiissttrriibbuuttiivvee llaawwss))
Fall 2002 CMSC 203 - Discrete Structures 21

22. LLooggiicc GGaatteess
EElleeccttrroonniicc cciirrccuuiittss ccoonnssiisstt ooff ssoo--ccaalllleedd ggaatteess..
TThheerree aarree tthhrreeee bbaassiicc ttyyppeess ooff ggaatteess::
xx --xx
xx
yy
iinnvveerrtteerr
xx++yy OORR ggaattee
AANNDD ggaattee
xx
yy
xxyy
AAddmmiissssiioonn..eeddhhoollee..ccoomm
Fall 2002 CMSC 203 - Discrete Structures 22

23. LLooggiicc GGaatteess
EExxaammppllee:: HHooww ccaann wwee bbuuiilldd aa cciirrccuuiitt tthhaatt ccoommppuutteess
tthhee ffuunnccttiioonn xxyy ++ ((--xx))yy ??
xxyy ++ ((--xx))yy
xx
yy
xxyy
xx --xx
yy
((--xx))yy
AAddmmiissssiioonn..eeddhhoollee..ccoomm
Fall 2002 CMSC 203 - Discrete Structures 23

24. TThhee
EEnndd
AAddmmiissssiioonn..eeddhhoollee..ccoomm
Fall 2002 CMSC 203 - Discrete Structures 24