Примерные конспекты уроков математики

1. ИЗДА
Т
Е Л
Ь
СТВО
ОГПУ
Н. М. НОВАК
ПРИМЕРНЫЕ КОНСПЕКТЫ
УРОКОВ МАТЕМАТИКИ
Методические рекомендации
для студентов

2. 3
ОГЛАВЛЕНИЕ
От автора .............................................................................. 4
1. Урок как основная форма организации обучения
математике. Основные требования к уроку ..................... 5
2. Эвристическая беседа — эффективный метод
обучения математике ......................................................... 6
3. Примерный план‐конспект урока ознакомления
с новым материалом .......................................................... 9
4. Другие примеры планов‐конспектов уроков
математики ........................................................................ 25
5. Стандарты второго поколения. Примерный
план‐конспект урока алгебры в 7 классе ........................ 38
Список использованной литературы ............................... 56

3. 5
1. УРОК КАК ОСНОВНАЯ ФОРМА ОРГАНИЗАЦИИ
ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ
Основные требования к уроку
«Урок — это логически законченный, целостный,
ограниченный определенными рамками времени отрезок
учебно-воспитательного процесса. В нем представлены в
сложном взаимодействии все основные элементы учебно-
воспитательного процесса: цели, содержание, средства,
методы, организация». Так определяют урок И. Я. Лернер
и М. Н. Скаткин [6, с. 4].
Всякий урок должен отвечать определенным требо-
ваниям. Назовем основные.
1. Готовясь к уроку, учитель должен определить его
главную дидактическую цель.
2. Необходимо четко очертить круг вопросов (со-
держание), которые будут рассмотрены.
3. Следует продумать методы обучения, которые
будут использованы в ходе урока.
4. Учитель должен подумать, как построить урок,
чтобы он в наибольшей мере способствовал развитию
личности обучаемого.
Повысить эффективность урока можно, если при-
держиваться следующих правил:
a) на каждом уроке вводить что-то новое и выделять
это новое в проводимом уроке;
б) каждый урок должен иметь некоторую логиче-
скую завершенность, законченность с тем, чтобы ученик
четко выделил в своем сознании то новое, что он узнал
на уроке; этим будет заложен фундамент прочности
знаний как в теоретическом плане, так и в отношении
навыков и умений;
в) каждый урок должен иметь определенную плано-
вость (план);
г) количество информации, сообщаемой ученику,
должно быть достаточно велико;

4. 6
д) при объяснении нового материала следует ориен-
тироваться на хорошего ученика;
е) на уроке необходимо использовать проблемный
подход.
5. Готовясь к уроку, следует продумать средства
обучения (в том числе и технические).
6. Постановка домашнего задания — важный мо-
мент урока.
7. Подготовка к очередному уроку должна завер-
шаться записью его плана-конспекта.
2. Эвристическая беседа — эффективный метод
обучения математике
Эвристическая беседа широко вошла в практику в
результате реализации идеи проблемного обучения.
«Чтобы школьники научились доказывать, надо
дать им возможность не только слушать и усваивать го-
товые доказательства, но и создавать их. Надо организо-
вать педагогический процесс так, чтобы учащиеся чув-
ствовали себя творцами, создателями доказательства и
решения, чтобы у каждого было такое состояние, словно
он делает открытие.
Одним из методов, позволяющих осуществить та-
кой подход, является эвристическая беседа.
По внешней форме этот метод состоит в том, что
учитель ставит перед классом проблему (теорему, за-
дачу), а затем путем целесообразных вопросов приво-
дит учащихся к решению проблемы. Учащиеся посте-
пенно преодолевают в доказательстве или решении
один шаг за другим, открывая таким путем все доказа-
тельство или решение» [4, с. 149]. Так описывал В. В.
Репьев метод эвристической беседы, являющийся и в
настоящее время одним из важнейших методов обуче-
ния математике.

5. 7
Покажем на примере, как можно ввести понятие па-
раллельных прямых конкретно-индуктивным методом в
ходе эвристической беседы.
Демонстрируем плакаты или слайды, на которых
изображены: а) натянутые в несколько рядов электриче-
ские провода между опорами, б) линейки нотной бума-
ги, в) рельсы на прямолинейном участке пути и др.
В руках держим классную линейку.
Вопрос (задание) учителя:
— Обратите внимание на два ребра классной ли-
нейки. Представьте, что мы неограниченно продолжаем
их в каждом из двух противоположных направлений.
Пересекутся ли полученные прямые?
Предполагаемый ответ (действие) учеников:
— Нет.
Учитель:
— Найдите на плакатах (слайдах) прямые, располо-
женные таким же образом, как ребра линейки.
Учащиеся указывают: а) провода, б) линейки нот-
ного стана, в) рельсы и др.
Учитель:
— Такие прямые называются параллельными. Най-
дите в классной комнате параллельные прямые.
Учащиеся указывают контуры дверного проема,
правое и левое ребра доски, верхнее и нижнее ребра
доски и др.
Учитель:
— В какой плоскости лежат левое и правое ребра
доски?
Ученик:
— В плоскости доски.
Учитель:
— В какой плоскости лежат контуры дверного про-
ема?
Ученик:
— В плоскости стены.

6. 8
Учитель:
— Изобразите в тетрадях пару параллельных и пару
непараллельных прямых. Иванов сделает это на доске.
Ученики изображают.
Учитель:
— Чем же отличаются параллельные прямые от непа-
раллельных?
Ученик:
— а) параллельные все время идут на одинаковом
расстоянии друг от друга; б) параллельные не пересе-
каются. (Могут быть и другие ответы.)
Учитель:
— Существенно ли для параллельных прямых, что
они расположены а) горизонтально, б) вертикально?
(Задавая этот вопрос, учитель демонстрирует ребра
классной линейки, вращая ее в различных направлениях
и плоскостях.)
Ученик:
— Нет.
Учитель:
— Какие же прямые называются параллельными?
Ученик:
— Прямые, которые не пересекаются.
Учитель:
— А вот эти две прямые пересекаются? (Демон-
стрирует на каркасной модели куба скрещивающиеся
ребра или показывает с помощью двух спиц скрещива-
ющиеся прямые.)
Ученик:
— Нет.
Учитель:
— Значит, они параллельны?
Ученик:
— Нет.
Учитель:
— Можно ли только что продемонстрированные
прямые поместить в одну плоскость?

7. 9
Ученик:
— Нельзя!
Учитель:
— А параллельные прямые можно поместить на од-
ну плоскость?
Ученик:
— Всегда можно.
Учитель:
— Какие прямые называются параллельными?
Ученик:
— Параллельными прямыми называются прямые,
которые не пересекаются и могут быть расположены в
одной плоскости.
Учитель:
— Мы будем пользоваться определением: «Две пря-
мые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются,
называются параллельными». То, что прямая а параллель-
на прямой b, будем обозначать следующим образом: a || b.
Запишите на языке символов, что прямая АВ параллельна
прямой СD. Петров сделает это на доске.
Ученик:
— АВ || СD.
Учитель:
— Петров, дайте определение параллельных прямых.
Ученик дает определение.
3. Примерный план-конспект урока ознакомления
с новым материалом
В соответствии с основной дидактической целью
принято разделять уроки математики на следующие
виды:
1) урок ознакомления учащихся с новым материалом;
2) урок закрепления изученного;
3) урок проверки знаний, умений и навыков уча-
щихся.

8. 10
Рассмотрим подробно урок ознакомления учащихся
с новым материалом. Такой урок состоит из следующих
этапов:
I. Вводная часть урока.
1. Организационный момент.
2. Проверка домашнего задания.
3. Подготовка учащихся к восприятию нового мате-
риала.
II. Основная часть урока.
4. Объяснение нового материала.
5. Закрепление нового материала.
III. Итоговая часть урока.
6. Задание на дом.
7. Подведение итогов.
Как правило, учитель во время подготовки к уроку
прикидывает, сколько времени займет каждый этап.
Приведем примерный план-конспект урока на тему
«Признаки параллелограмма». Урок проведен в вообра-
жаемом классе, фамилии учеников вымышлены.
Тема: Признаки параллелограмма
Цели:
1. Общеобразовательные. Доказать два признака
параллелограмма. Выяснить их роль в математике. Обу-
чать методам доказательства.
2. Воспитательные. Прививать культуру устной и
письменной математической речи.
3. Практические. (Отсутствуют.)
Оборудование: чертежные инструменты, проектор,
экран.
Ход урока
Учитель:
— Задание на дом было да-
но в двух вариантах:
1. Построить четырехуголь-
ник АВСD, если ВС || АD и
ВС = АD = 6 см.
Примечание
Этапы урока — 2, 3.
Проверка домашнего
задания и подготовка
учащихся к восприя-
тию нового материала.

9. 11
2. Собрать модель четырехугольника, у которого
любые две смежные стороны равны соответственно 2 см
и 4 см. В качестве строительного материала можно ис-
пользовать спички или деревянные палочки.
Вопрос первому варианту: какую фигуру вам напо-
минает построенный четырехугольник?
Ученики:
— Параллелограмм.
Учитель:
— Тот же вопрос второму варианту.
Ученики:
— Параллелограмм.
Учитель:
— Давайте разберемся с первой задачей. Если бы
длины сторон ВС и АD не были равны 6 см, а равнялись,
например, 10 см, изменился бы вид четырехугольника?
Ученики:
— Наверное, нет. Все равно получился бы паралле-
лограмм.
Учитель:
— Какие же условия должны выполняться, чтобы
четырехугольник был параллелограммом?
Ученики:
— Две стороны должны быть одновременно равны и
параллельны.
Учитель:
— Это — только гипотеза. Теперь ее надо обосно-
вать, то есть доказать теорему.
Теорема. Если у четырех-
угольника две стороны парал-
лельны и равны, то он является
параллелограммом.
Сделаем чертеж и запишем
условия.
Примечание
Начинается четвер-
тый этап урока —
объяснение нового
материала.

10. 12
А
В С
D
Примечание
Учитель работает у
доски, дети — в тет-
радях.
Дано: АВСD — четырехугольник. АD || ВС и АD =
ВС.
Доказать: АВСD — паралле-
лограмм.
Чтобы доказать, что четы-
рехугольник является паралле-
лограммом, нужно вспомнить
определение параллелограмма.
Дайте это определение.
Примечание
После записи ус-
ловий ученики кла-
дут ручки и внима-
тельно слушают
учителя, отвечая на
его вопросы.
Ученики:
— Параллелограммом называется четырехугольник,
у которого противоположные стороны попарно парал-
лельны.
Учитель:
— Мы уже знаем, что АD || СВ. Задача сводится к до-
казательству того, что АВ || CD. Как можно доказать па-
раллельность прямых?
Ученики:
— Можно воспользоваться признаками параллель-
ности прямых.
Учитель:
— Значит, нужна секущая. Как лучше провести се-
кущую?
Ученики:
— Можно провести диагональ четырехугольника,
например АС.
Учитель: (Проводит диагональ.)
А
В С
D

11. 13
— Назовите углы, равенство которых достаточно
доказать, чтобы утверждать, что АВ || СD.
Ученики:
— Например, достаточно доказать, что BAC =
DCА .
Учитель:
— Выделю эти углы на чертеже. (Выделяет и обо-
значает: 1 и 2 .)
1
2
А
В С
D
Как доказать, что 21  ?
Ученики:
— Можно попробовать доказать, что ∆АВС = ∆СDА,
а углы 1 и 2 — это углы, лежащие в равных треугольни-
ках против равных сторон.
Учитель:
— Укажите соответственно равные элементы в
∆АВС и ∆СDА.
Ученики:
— ВС = АD по условию; АС — общая; BCA
DAC как внутренние накрест лежащие при парал-
лельных ВС и АD и секущей АС. Значит, ∆АВС = ∆СDА.
Учитель: (Делает соответствующие отметки на чер-
теже.)
А
В С
D
1
2
— По какому признаку треугольники равны?
Ученики:
— По первому признаку.

12. 14
Учитель:
— Итак, из равенства тре-
угольников следует равенство
углов 1 и 2. Значит, АВ || СD и
АВСD — параллелограмм.
Примечание
Учитель работает у
доски, дети в тет-
радях.
Запишем на доске и в тетрадях доказательство тео-
ремы.
Образец оформления записи на доске
и в тетрадях
А
В С
D
1
2
Дано: АВСD — четы-
рехугольник.
ВС = АD и ВС || АD .
Доказать: АВСD —
параллелограмм.
Доказательство.
ВС = АD по условию.










общая.
.секущейии
ыхпараллельнпри
лежащиенакрест
внутренниекак
АС
АСВСАD
DACBCA




21
)признакупервомупо(
CADАВС
AB || CD
Так как AB || CD и BС || АD, то четырехугольник
АВСD — параллелограмм.

13. 15
Учитель:
— Сформулируйте только что доказанную теорему,
Яковлев!
Ученик формулирует теорему.
Учитель:
— Доказанная теорема называется признаком па-
раллелограмма. В ней указываются условия, которые
должны выполняться (достаточные условия) для того,
чтобы четырехугольник был параллелограммом.
Обратимся ко второй задаче, заданной на дом. Ка-
ковы противоположные стороны в четырехугольнике,
модель которого вы строили?
Ученики:
— Они равны.
Учитель: Какую можно выдвинуть гипотезу на ос-
новании решения второй задачи?
Ученики:
1. Если две любые смежные стороны четырехуголь-
ника равны соответственно числам a и b, то этот четы-
рехугольник — параллелограмм.
2. Если противоположные
стороны четырехугольника по-
парно равны, то он является па-
раллелограммом.
Примечание
Возможны и другие
гипотезы.
Учитель:
— Справедлива теорема. Если противоположные
стороны четырехугольника попарно равны, то этот че-
тырехугольник — параллелограмм.
Сделаем чертеж и запишем условия.
А
В С
D
Дано: АВСD — че-
тырехугольник,
АВ = СD и ВС =
АD.
Доказать: АВСD —
параллелограмм.
Чтобы доказать, что АВСD — параллелограмм,
можно воспользоваться определением параллелограмма,

14. 16
а можно воспользоваться и признаком параллелограмма.
В зависимости от этого доказательство пойдет двумя
разными путями. Какими?
Ученики:
— Первый путь: надо бу-
дет доказать, что АВ || СD и
ВС || АD.
Второй путь: надо будет
доказать, что, например, ВС
не только равно АD, но и
ВС || АD.
Примечание
Учитель работает у
доски, дети — в тетра-
дях.
После записи условий
ученики кладут ручки
и внимательно слуша-
ют учителя, отвечая на
его вопросы.
Учитель:
— Пойдем по первому пути. Как доказать, что пря-
мые параллельны?
Ученики:
— Можно воспользоваться признаками параллель-
ности.
Учитель:
— Значит, нужно выбрать секущую. Что рассмот-
рим в качестве секущей?
Ученики:
— Можно провести диагональ четырехугольника
АВСD, например АС.
Учитель: (Проводит диагональ.)
1
2
А
В С
D
— Мы уже знаем, что для доказательства параллель-
ности АВ и СD достаточно доказать, что BAC
DCA . Выделю эти углы на чертеже. (Выделяет и обо-
значает как 1 и 2 .) А как доказать, что АD || ВС?
Ученики:
— Достаточно доказать, что DACBCA  .

15. 17
Учитель:
— Выделим эти углы на чертеже. (Выделяет и обо-
значает как 3 и 4 ). Как же доказать равенство со-
ответствующих углов?
А
В С
D
1
2
3
4
Ученики:
— Можно попытаться доказать, что ∆АВС = ∆СDА, а
рассматриваемые углы лежат в этих треугольниках про-
тив соответственно равных сторон.
Учитель:
— Укажите соответственно равные элементы в
∆АВС и ∆СDА.
Ученики:
— АВ = СD по условию; ВС = АD по условию;
АС — общая. Значит, ∆АВС = ∆СDА.
Учитель: (Делает соответствующие отметки на чер-
теже.)
— По какому признаку равны треугольники?
Ученики:
— По третьему признаку равенства треугольников.
Учитель:
— Равны ли 1 и 2 ?
Ученики:
— Да. Они лежат против равных сторон в равных
треугольниках.
Учитель:
— Что из этого следует?
Ученики:
— АВ || СD.
Учитель:
— А откуда следует, что ВС || АD?

16. 18
Ученики:
— Это следует из равенства 3 и 4 . Они также
лежат против равных сторон в равных треугольниках.
Учитель:
— Итак, воспользовавшись определением, можно
утверждать, что АВСD — параллелограмм.
Пройдем теперь по второму пути. Построим доказа-
тельство на основе использования признака параллело-
грамма.
Нам уже известно, что ВС = АD. Что еще надо дока-
зать об этих сторонах?
Ученики:
— Еще надо доказать, что они параллельны.
Учитель:
— Пройдя по первому пути, мы знаем, как это сде-
лать. Надо ли доказывать также, что АВ || СD?
Ученики:
— Если мы собираемся воспользоваться признаком
параллелограмма, то не надо.
Учитель:
— Почему же можно утверждать, что АВСD — па-
раллелограмм?
Ученики:
— АВСD — параллелограмм, так как ВС = АВ и
ВС || АВ.
Учитель:
— Итак, рассмотренную теорему можно доказать по
крайней мере двумя способами. Какой способ лучше
(короче)?
Ученики:
— Второй способ, основанный на применении при-
знака параллелограмма, короче.
Учитель:
— Запишем на доске и в тет-
радях доказательство теоремы
вторым способом.
Примечание
Учитель работает у
доски, дети в тетра-
дях
Сформулируйте только что доказанную теорему,
Южаков!

17. 19
Ученик формулирует теорему.
Учитель:
— Можно ли назвать эту теорему признаком парал-
лелограмма? Если да, то почему?
Ученики:
— Это — признак параллелограмма, так как в теоре-
ме указываются условия, при выполнении которых че-
тырехугольник является параллелограммом.
Образец оформления записи на доске
и в тетрадях
А
В С
D
1
2
Дано: АВСD — че-
тырехугольник.
АВ = СD и ВС = АD.
Доказать: АВСD —
параллелограмм.
Доказательство.








общая,
условию,по
условию,по
АС
ВСАD
СDАВ
 ΔABC = ΔCDA (по
третьему признаку)
АDСВ



21
Так как ВС = АD и ВС || АD, то четырехугольник
АВСD — параллелограмм.
Учитель:
— С какими двумя признаками параллелограмма
мы сегодня познакомились? Сформулируйте их.
Ученики формулируют.
Учитель:
— Таким образом, не обязательно каждый раз поль-
зоваться определением параллелограмма. Если четы-

18. 20
рехугольник удовлетворяет условиям, указанным в од-
ном из признаков, то можно утверждать, что он является
параллелограммом.
Рассмотрим задачу.
Диагонали параллелограм-
ма АВСD пересекаются в точке
О. Точки А1, В1, С1, D1 являют-
ся соответственно серединами
отрезков ОА, ОВ, ОС и ОD.
Доказать, что четырехугольник
А1В1С1D1 — параллелограмм.
Примечание
Начало 5 этапа: за-
крепление нового ма-
териала.
Учитель достаточно
медленно и четко чита-
ет условия задачи, дети
внимательно слушают.
Иванов! Повторите условия задачи своими словами.
Ученик повторяет.
Учитель:
— Петров! Что известно в задаче?
Ученик:
— Известно, что АВСD — параллелограмм, что его
диагонали пересекаются в точке О, что А1, В1, С1, D1 —
середины отрезков ОА, ОВ, ОС и ОD соответственно.
Учитель:
— Сидоров! Что надо доказать в задаче?
Ученик:
— Надо доказать, что четырехугольник А1В1С1D1 —
параллелограмм.
Учитель:
— Кузнецов! Cделайте чертеж к задаче на доске и
запишите условия. Все то же самое делают в тетрадях.
Ученик выполняет задание.
В С
D
В1 С1
D1
A1
O
А
Дано: АВСD —
параллелограмм;
ОВDАС  ;
AA1 = A1O; BB1 = B1O;
CC1 = C1O;
DD1 = D1O.
Доказать:
А1В1С1D1 — паралле-
лограмм.

19. 21
Учитель:
— Какие будут предложения по доказательству?
Ученики:
1. Доказать, что АА1 = А1О =
ОС1 = С1С.
2. Доказать, что В1С1 || А1D1 и
А1В1 || С1D1.
Примечание
Могут быть и дру-
гие предложения.
3. Доказать, что две противоположные стороны че-
тырехугольника А1В1С1D1 равны и параллельны.
Учитель:
— Попробуем реализовать
третье предложение. Лядова!
Какую пару противоположных
сторон Вы предлагаете рассмот-
реть?
Примечание
Учитель выбирает
одно из разумных
предложений и раз-
вивает его.
Ученица:
— Я предлагаю рассмотреть В1С1 и А1D1.
Учитель:
— Хорошо! Назовите фигуры, в которые входит от-
резок А1D1.
Ученики:
1) А1D1 — сторона ∆А1ОD1; 2) А1D1 — средняя ли-
ния ∆АОD.
Учитель:
— Миронова! Какими
свойствами обладает средняя
линия треугольника?
Ученица:
— Она параллельна осно-
ванию и равна его половине.
Примечание
Могут быть и другие
мнения.
Учитель выбирает один
из разумных вариантов и
развивает его.
Учитель:
— Значит, АDDA
2
1
11  и А1D1 || АD. Какое анало-
гичное заключение можно сделать для отрезка В1С1?
Ученики:

20. 22
— BCCB
2
1
11  и В1С1 || ВС, так как В1С1 — сред-
няя линия ∆ВОС.
Учитель:
— Итак, что следует из того, что АDDA
2
1
11  ,
ВСCB
2
1
11  и АD = ВС?
Ученики:
— В1С1 = А1D1.
Учитель:
— Что следует из того, что В1С1 || ВС, А1D1 || АD и
АD || ВС?
Ученики:
— А1D1 || В1С1.
Учитель:
— Мы установили, что две противоположные сто-
роны четырехугольника А1В1С1D1 равны и параллельны.
Какой фигурой является этот четырехугольник?
Ученики:
— А1В1С1D1 — параллелограмм.
Учитель:
— На каком основании вы сделали этот вывод?
Ученики:
— На основании первого признака параллелограм-
ма.
Учитель:
— Ожегова! Идите к доске и
запишите решение задачи. Все то
же самое пишут в тетрадях.
Примечание
Ожеговой можно
поставить оценку.

21. 23
Образец оформления записи на доске
и в тетрадях:
В С
D
В1 С1
D1
A1
O
А
Дано: АВСD —
параллелограмм;
ОВDАС  ;
AA1 = A1O;
BB1 = B1O;
CC1 = C1O;
DD1 = D1O.
Доказать:
А1В1С1D1 — парал-
лелограмм.
Доказательство.
111111
11
.раммапараллелог
стороныожныепротивополкак
,линиясредняякак
2
1
,линиясредняякак
2
1
СВDА
ВСАD
ОВСВССВ
АОDАDDА













1111
11
11
.раммапараллелог
стороныожныепротивополкак
,линиясредняякак
,линиясредняякак
СВDА
ВСАD
ВОСВССВ
АОDАDDА










Так как A1D1 = B1C1 и A1D1 || B1C1, то четырехугольник
А1В1С1D1 — параллелограмм (по первому признаку па-
раллелограмма).
Таким образом, мы доказали, что четырехугольник
А1В1С1D1 — параллелограмм.
Итак, ребята, что нового вы узнали сегодня на уро-
ке?
Ученики:
— Два признака параллело-
грамма.
Примечание
Итог урока.

22. 24
Учитель:
— Петин! Сформулируйте первый признак.
Ученик формулирует признак.
Учитель:
— Репин! Сформулируйте второй признак параллело-
грамма.
Ученик формулирует самостоятельно или с помо-
щью учителя.
Учитель:
— Какова роль этих признаков в математике?
Ученики:
— Они позволяют установить, не прибегая к опре-
делению, является ли данный четырехугольник парал-
лелограммом.
Учитель:
— Хорошо! На самом деле признаков параллело-
грамма гораздо больше, и вы с ними познакомитесь на
следующих уроках. Но постарайтесь запомнить те два,
которые сегодня были доказаны. Они чаще других ис-
пользуются при решении задач.
Урок окончен.
В приведенном конспекте отсутствуют первый и
последний этапы урока (организационный момент и за-
дание на дом). Это сделано, чтобы не перегружать ме-
тодичку.
Рассмотрим в качестве других примеров планы-
конспекты уроков математики, предлагавшиеся в разное
время известными методистами нашей страны.
Но прежде сделаем одно важное замечание. Как нет
двух одинаковых классов, так нет и единой, пригодной
на все случаи формы плана-конспекта урока. Структура
урока зависит от темы, возраста, подготовленности
учащихся, от избранных методов обучения, от характера
изложения материала, от наличия наглядных и техниче-
ских средств обучения и так далее. Публикуемые здесь,
равно как и в других источниках, планы уроков должны
служить только основой для творческой переработки
при создании собственных планов-конспектов уроков.

23. 25
4. Другие примеры планов-конспектов уроков
математики
1. План урока геометрии в V классе (В. В. Репьев)
[4, с. 169—170].
Тема: Проверка усвоения материала о сумме внут-
ренних углов треугольника и изложение свойств равно-
бедренного треугольника.
I. Организационный момент — 1 минута.
II. Проверка усвоения материала о сумме внут-
ренних углов треугольника и выпуклого многоугольни-
ка — 16 минут.
1) Вызвать к доске и дать задания по билетам И. За-
тонову (или К. Петрову), Л. Карпову (или С. Стульчико-
ву).
а) Сумма внутренних углов треугольника (Дока-
зать.)
Задача. Сумма внутренних углов многоугольника
равна 1800°. Сколько углов имеет многоугольник?
б) Сумма внутренних углов выпуклого многоуголь-
ника (Доказать.)
Задача. Один из внутренних углов треугольника в
5 раз больше другого и на 5° меньше третьего. Вычис-
лить углы треугольника.
2) Беседа с классом. Обратить внимание на ответы
И. Палицина и К. Пестова.
— Чему равна сумма внутренних углов треугольни-
ка?
— Сформулировать свойства внешнего угла тре-
угольника.
— Чему равна сумма внутренних углов шести-
угольника?
— Один острый угол прямоугольного треугольника
больше другого в 5 раз. Чему равен каждый острый угол
прямоугольного треугольника?
— Сколько перпендикуляров можно опустить из
точки, взятой вне прямой, на эту прямую?

24. 26
— Почему один?
3) Заслушать ответы учеников, вызванных к доске.
Поставить отметки.
III. Изложение свойств равнобедренного тре-
угольника — 16 минут.
— Какой треугольник называется равнобедренным?
— Что называется биссектрисой, высотой, медианой
треугольника?
— Что называется основанием равнобедренного
треугольника?
Теорему изложить в форме эвристической беседы.
В случае надобности продемонстрировать модель
равнобедренного треугольника и ее перегибание по бис-
сектрисе угла при вершине.
IV. Повторение доказательства свойств равно-
бедренного треугольника с использованием нового
чертежа и с новыми обозначениями. Для повторения
вызвать М. Викторову (или К. Снайперова). При удач-
ном повторении поставить отметку — 8 минут.
V. Задание на дом: учебник «Геометрия», § 20, по-
вторить § 16 — 1 минута.
VI. Итоги урока: повторение формулировок
свойств равнобедренного треугольника — 3 минуты.
Итого 45 минут.
2. План урока алгебры в 9 классе (Л. Ф. Пичурин,
В. В. Репьев, Н. Г. Федин, Н. Н. Шоластер) [5, с. 65—66].
Тема: Определение геометрической прогрессии.
Основная цель: ввести понятие геометрической
прогрессии и изучить ее характеристическое свойство.
Побочные цели: повторить определения функции и
последовательности, «открыть» аналогию между двумя
прогрессиями, закрепить определение и характеристи-
ческое свойство арифметической прогрессии, продол-
жить формирование понятия «необходимый и достаточ-
ный признак», с помощью упражнений закрепить вве-
денные вновь понятия.

25. 27
Структура урока.
Повторение (8—10 минут). У доски: доказательство
характеристического свойства арифметической прогрес-
сии, вывод формулы n-го члена арифметической про-
грессии; устно с места: определение понятия функции,
определение конечной и бесконечной последовательно-
стей, возрастающей и убывающей последовательностей,
арифметической прогрессии.
Ознакомление учащихся с новым материалом (22—25
минут). Постановка проблемы: построить последователь-
ность, аналогичную арифметической, путем замены опе-
рации сложения операцией умножения. Примеры такой
последовательности. Определение. Возрастающая и убы-
вающая прогрессии. Ожидаемое по аналогии с арифмети-
ческой прогрессией характеристическое свойство. Его
формулировка и доказательство.
Закрепление пройденного (10—15 минут). Решение с
комментированием упражнений на нахождение первых
членов прогрессии, на вычисление знаменателя про-
грессии. Краткие рекомендации к выполнению домаш-
него задания, чтение текста учебника, его комментиро-
вание учителем.
Метод обучения на второй части урока — проблем-
ное изложение, иногда — эвристика; в последней части
урока в какой-то степени уместен репродуктивный ме-
тод.
Приведем еще одну разработку тех же авторов.
3. План урока геометрии в 10 классе (Л. Ф. Пичу-
рин, В. В. Репьев, Н. Г. Федин, Н. Н. Шоластер)
[5, с. 66—67].
Тема: Признак перпендикулярности прямой и плос-
кости.
Основная цель: ввести понятие взаимной перпен-
дикулярности прямой и плоскости, доказать теорему о
признаке перпендикулярности прямой и плоскости и
следствие из нее.

26. 28
Побочные цели: повторить вопросы, имеющие
непосредственное отношение к вновь изучаемому мате-
риалу.
При такой формулировке цели, очевидно, целесооб-
разнее проводить урок-объяснение; едва ли можно на
столь емком по содержанию уроке комбинировать ос-
новную цель со слишком большим числом побочных
целей.
Структура урока.
Вводная беседа (8—10 минут). Понятие перпендику-
ляра к плоскости. Перпендикулярность прямых в про-
странстве. Демонстрация моделей. Необходимость нового
определения для пары плоскость — прямая. Постановка
целей изучения новой темы. «Инструмент» для ее изуче-
ния (критерий перпендикулярности двух ненулевых век-
торов, понятие скалярного произведения векторов).
Основная часть урока (25—30 минут). Определе-
ние. Необходимость введения признака перпендикуляр-
ности прямой к плоскости. Гипотеза: достаточно пер-
пендикулярности рассматриваемой прямой к двум пере-
секающимся прямым, лежащим в плоскости. Формули-
ровка теоремы. Подготовка к ее доказательству (разло-
жение вектора по неколлинеарным векторам, скалярное
произведение, распределительный закон скалярного
умножения). Доказательство теоремы (синтетическое).
Определение перемещения пространства как преобразо-
вания, сохраняющего расстояния (повторение), гипотеза
о сохранении перпендикулярности (демонстрация моде-
ли, примеры). Формулировка следствия, доказательство.
Подведение итогов урока (10—12 минут). Повторе-
ние узловых моментов теории, выделение важнейших
пунктов доказательств, решение задач, анализ текста
учебника, задание на дом.
Метод обучения — школьная лекция (начало уро-
ка), переходящая в беседу проблемного характера (ос-
новная часть урока). В последней части урока — репро-
дуктивный метод.

27. 29
4. Конспект урока геометрии в 9 классе [3, с. 138—
142] (Виноградова Л. В., 2005).
Тема урока: Понятие вписанного угла, теорема о
вписанном угле.
Тип урока: введение нового материала.
Цели урока:
• обучения: ввести и закрепить определение впи-
санного угла, формулировку теоремы о вписанном угле,
получить вместе с учащимися доказательство теоремы и
закрепить его;
• развития: учить осознавать на отдельных приме-
рах правила образования определений, обучать на при-
мерах подведению под определение, обратить внимание
на метод поиска доказательства — рассмотрение всех
частных случаев;
• воспитания: воспитание аккуратности (аккуратное
выполнение чертежей на доске и в тетрадях, рациональ-
ное распределение записей), рационального распреде-
ления времени, критичности.
Структура урока.
1. Организационный момент — 2 минуты.
2. Подготовка к изучению нового материала —
6 минут.
3. Введение определения вписанного угла — 5 ми-
нут.
4. Доказательство теоремы о вписанном угле —
15 минут.
5. Закрепление формулировки теоремы — 10 минут.
6. Подведение итогов урока. Оценивание учащих-
ся — 2 минуты.
Оборудование урока:
1. Плакаты с рисунками 1, 2, 3.
2. Плакаты с готовыми чертежами для этапа закреп-
ления.
Оформление доски (см. рисунок на стр. 30).
Ход урока
I. Организационный момент

28. 30
Приветствие, сообщение темы и задач урока: «Сего-
дня изучим новые понятия вписанного и центрального
угла, свойство вписанного угла, а также повторим старый
материал, который потребуется для изучения нового».
O
C
A
B
?
50°50°
60°
U
T
V
Q
E
F
A
B
C
K
N
M
Рис.1
Рис.2Рис.3
A
B
O
С
A
B
С
D
O
A
B
O
СD
Рис.8а)
Рис.8б)
Рис.8в)
AOCABOьноследовател
AOCABOBAOABO


2
1
,
,2


AOC
CODAODCOD
AODCBDABDABC
AOC
DOCAODDOC
AODDBCABDABС






2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1

29. 31
II. Подготовка к изучению нового материала. Уст-
ная фронтальная работа
Вопросы учителя:
— Какой треугольник называется вписанным в
окружность?
— Назовите, какой из треугольников, изображен-
ных на рисунке 1, является вписанным? Почему?
— Сформулируйте теорему о сумме углов тре-
угольника.
— Сформулируйте теорему о внешнем угле тре-
угольника.
— Решите устно задачу, представленную на рисун-
ке 2, чему равен неизвестный угол, как нашли его вели-
чину?
Решите задачу, представленную на рисунке 3, каки-
ми теоремами пользовались при нахождении угла?
III. Введение определения понятия «вписанный угол»
Учитель: Сегодня познакомимся с новым поняти-
ем — вписанный угол. На рисунке 4 вы видите два впи-
санных угла, на рисунках 5 и 6 углы не являются впи-
санными. Какой угол назовем вписанным?
— Если вершина угла лежит на окружности.
— Но ведь и на рисунке 6 вершина угла лежит на
окружности, однако он не является вписанным.
— Если стороны углов касаются окружности.
— На рисунке 4 стороны углов касаются окружно-
сти?
— Стороны являются хордами.
— Хорды — отрезки, а стороны углов — лучи.
Далее учащиеся исправляют определение и произно-
сят его полностью.
IV. Доказательство теоремы
Учитель:
— Начертите в тетради окружность и постройте три
вписанных угла, стороны которых проходят через две
точки, лежащие на окружности, а вершины находятся в
одной полуплоскости относительно прямой АВ (рис. 7).
Измерьте транспортиром эти углы. Запишите на доске и

30. 32
в тетради полученное соотношение. На доске появляет-
ся запись: BACBACBAC 321  .
— Что можно сказать про величины всех вписан-
ных углов, стороны которых проходят через точки А и
В, а вершины лежат по одну сторону от прямой АВ?
— Они равны.
— Прочитайте формулировку теоремы в учебнике.
Посмотрите на рисунок 3. Угол В — вписанный. Какой
центральный угол соответствует этому углу?
Далее учащимся предлагается задание. Начертите
три окружности и в каждую впишите угол. Но все нари-
суйте по-разному. Посмотрите рисунки в учебнике. Чем
они различаются? Как расположена точка О на черте-
жах? (рисунки 8а — 8в).
— Назовите соответствующие центральные углы
для вписанных углов. Как их получить?
— Достаточно соединить точку О с точками А и С.
— Мы с вами первый случай уже рассмотрели, ре-
шая задачу, представленную на рисунке 3. Продиктуйте,
как можно записать доказательство в общем виде?
— AOCABOBAOABO  2 , следова-
тельно, AOCABO 
2
1
.
— Как второй случай можно свести к первому?
— Проведением диаметра ВD.
— Продиктуйте запись (учитель по ходу записи
спрашивает ее обоснование).
—  DOCAODDBCABDABC
2
1
2
1
  АОСDOСАОD 
2
1
2
1
.
— Как третий случай свести к уже известным?
— Провести диаметр через вершину вписанного угла.
— Достаточно ли этого для проведения доказатель-
ства?

31. 33
— Нет. Нужно провести два радиуса ОА и ОС.
— Продиктуйте запись доказательства (учитель
пишет и спрашивает обоснование записи).
—  CODAODCBDABDABC
2
1
2
1
  АОСCODАОD 
2
1
2
1
.
— Все ли возможные случаи рассмотрены? Во всех ли
случаях теорема доказана? Почему достаточно рассмот-
реть только три чертежа? Возможно ли еще какое-либо
расположение сторон угла АВС относительно точки О?
Такой метод доказательства мы назовем методом рассмот-
рения всех частных случаев. Чем отличается этот метод от
рассмотрения частного случая на рисунке 3?
— Какую аксиому мы использовали в доказатель-
стве всех трех случаев?
— Расскажите подробно, как мы использовали ак-
сиому измерения углов во всех трех доказательствах?
— Как читается теорема, если вписанный угол опи-
рается на диаметр? Сделайте самостоятельно чертеж.
V. Закрепление формулировки теоремы
1. Решить задачу по чертежу (см. рисунок 50). (Уст-
но.)
57°
?
Рис. 50
2. Какую закономерность можно установить для уг-
лов, представленных на доске на рисунке 7? Сформули-
руйте вывод.

32. 34
3. Решить задачу и записать решение в тетради (ри-
сунок 51). (После выполнения проверить.)
?40°
45°
Рис. 51
4.  52ACB . Точки А и В лежат на окружности.
Дуга АВ — 80°. Можно ли утверждать, что точка С ле-
жит на окружности?
VI. Подведение итогов. Задание на дом
Вопросы учителя:
— С какими понятиями сегодня познакомились?
— С какой теоремой сегодня познакомились?
— С каким методом доказательства сегодня позна-
комились?
— Оценки за работу на уроке получили следующие
учащиеся …
— Запишите домашнее задание: Погорелов А. В.
П. 107, № 50.
Приведем еще одну работу того же автора — план
урока закрепления изученного материала.
5. Конспект урока математики в 6 классе (Л. В.
Виноградова) [3, с. 143—146].
Тема урока: Решение задач на проценты.
Тип урока: урок решения задач различных видов на
проценты.
Цели урока:
• обучения: учить распознавать задачи различных
видов на проценты, повторить совместные действия над
обыкновенными и десятичными дробями;

33. 35
• развития: формирование общеучебного умения
анализировать условие задачи, а также умения обобщать
через формирование приема распознавания различных
видов задач на проценты;
• воспитания: способствовать формированию само-
стоятельности и активности в личности учащихся.
Структура урока.
I. Организационный момент — 2 минуты.
II. Актуализация ранее изученного материала —
6 минут.
III. Фронтальная работа по анализу условия и со-
ставлению плана задач различных видов на проценты —
10 минут.
IV. Самостоятельная работа — решение задач по
группам — 12 минут.
V. Проверка решения задач самостоятельной рабо-
ты — 8 минут.
VI. Выводы по уроку. Задание на дом — 5 минут.
Оборудование урока:
1. Учебник Э. Р. Нурка и А. Э. Тельгмаа. Математи-
ка 6.
2. Кодопозитивы или оформление доски.
I. Организационный момент
Учитель приветствует учащихся, сажает, сообщает
тему и цели (обучающие) урока.
II. Актуализация ранее изученного материала. Уст-
ная фронтальная работа по заданиям, записанным на
доске или спроецированным на нее. Каждое из заданий
1—4 выполняется одним учеником с места. Остальные
слушают и отмечают, верно или нет даны ответы. На
вопросы 5(а—г) снова отвечают те же учащиеся, кото-
рые были заранее намечены к опросу.
1. Выразить числа в процентах и в обыкновенных
дробях: 0,5; 0,75; 0,4; 0,25.

34. 36
Оформление записи на доске:
1. 0,5; 0,75; 0,4;
0,25.
2. 60%; 25%;
50%; 75%.
3.
5
2
;
5
3
;
2
1
;
4
1
;
4
3
.
4. 1 и 4; 4 и 1; 20
и 50.
5. Вопросы:
1) Как найти
дроби от числа?
2) …
3) …
1. Из 750 учащихся
школы 80% занима-
ются в различных
кружках. Сколько
учащихся занимает-
ся в кружках?
2. В классе 32 чело-
века. Четверо из
них — отличники.
Какой процент от-
личников в классе?
3. Женщин на заводе
216 человек, что со-
ставляет 25% всех
рабочих. Сколько на
заводе рабочих?
Дома:
1 гр.: № 374,
460.
2 гр.: 437,
463.
Всем: 443
(2).
2. Выразить проценты в виде десятичных и обыкно-
венных дробей: 60%, 25%, 50%, 75%.
3. Выразить обыкновенные дроби в виде десятич-
ных и в виде процентов:
4
1
;
4
3
;
2
1
;
5
2
;
5
3
.
4. Найти отношение чисел и выразить его в процен-
тах: 1 и 4; 4 и 1; 20 и 50.
5. Ответить на вопросы:
а) как найти дробь от числа, процент от числа?
б) как найти число по дроби, число по его проценту?
в) как найти отношение двух чисел, что оно показы-
вает?
г) как найти процентное отношение двух чисел?
III. Предварительный разбор задач
На доске написаны или спроецированы тексты за-
дач на проценты трех различных видов.
1. Из 750 учащихся школы 80% учащихся занима-
ются в различных кружках. Сколько учащихся занима-
ется в кружках?

35. 37
2. В классе учатся 32 ученика. Четверо из них — от-
личники. Какую часть учащихся составляют отличники?
Какой процент отличников в классе?
3. Женщин на заводе 216 человек, что составляет
25% всех рабочих. Сколько на заводе рабочих?
Учащиеся вместе с учителем устно анализируют
условия задач и определяют вид задач, отвечая на сле-
дующие вопросы:
— Какая величина в задаче является всем числом?
— Известно ли в задаче все число?
— Известно ли значение дроби?
— Известна ли сама дробь?
— Каким действием будете решать задачу? Поче-
му?
Обосновывать выбор действия при решении задач
вызываются заранее намеченные ученики. Сразу после
окончания последующей работы в тетрадях учитель
оценит работу этих учащихся.
IV. Самостоятельная работа по группам
1. Первая группа учащихся оформляет в тетрадях
решение трех задач, только что разобранных в классе.
2. Второй группе учащихся предлагается решить
самостоятельно задачи, которые фабулой связаны с уже
решенными, но являются более сложными по отноше-
нию к ним — № 374 и 460.
Задача № 374. Из 750 учащихся 80% занимаются в
различных кружках, из них 5% — в радиокружке.
Сколько учащихся занимается в радиокружке?
Задача № 460. Мужчины составляют 75% всего ко-
личества рабочих. Женщин на заводе 216. На сколько
меньше на заводе женщин, чем мужчин?
V. Проверка задач, решенных учащимися второй
группы
В проверке участвует весь класс. После объяснения
учениками решения двух задач учитель предлагает уче-
никам ответить на вопросы: как из условия задачи мож-
но увидеть, что число 600 надо умножить на 0,05? Зада-

36. 38
чи остальными учащимися не записываются (эффект
незавершенного действия).
Вопросы учителя к классу после ответа ученика по
второй задаче: 1) зачем производили вычитание 100% –
75%; 2) что есть в задаче все число; 3) нельзя ли по-
другому решить задачу?
VI. Сообщение и комментирование оценок учащим-
ся, которые принимали участие в устной работе, в ана-
лизе трех задач, предложенных в дальнейшем для само-
стоятельной работы, а также двум учащимся второй
группы, которые объяснили задачи № 374 и 460 у доски.
Сообщается задание на дом, которое является диф-
ференцированным (см. оформление доски).
Учитель делает выводы по уроку с помощью вопросов
к классу: какие вопросы при решении задач на части, на
проценты нужно себе задавать, чтобы определить, каким
действием решается задача? Ответы учащихся:
- что есть все число, известно ли оно;
- что есть значение дроби (процента), известно ли оно;
- известна ли сама дробь (процент).
5. Стандарты второго поколения. Примерный
план-конспект урока алгебры в 7 классе
С 2011 года работа учителя должна быть организо-
вана с учетом стандартов второго поколения [1].
В связи с новыми требованиями, предъявляемыми к
результатам освоения основной образовательной про-
граммы основного общего образования, формулировка
целей изучения математики уточняется.
Изучение математики в основной школе направлено
на достижение следующих целей:
1) в направлении личностного развития:
• развитие логического и критического мышления,
культуры речи, способности к умственному экспери-
менту;

37. 39
• формирование у учащихся интеллектуальной
честности и объективности, способности к преодолению
мыслительных стереотипов, вытекающих из обыденно-
го опыта;
• воспитание качеств личности, обеспечивающих
социальную мобильность, способность принимать само-
стоятельные решения;
• формирование качеств мышления, необходимых
для адаптации в современном информационном обще-
стве;
• развитие интереса к математическому творчеству
и математических способностей;
2) в метапредметном направлении:
• формирование представлений о математике как
части общечеловеческой культуры, о значимости мате-
матики в развитии цивилизации и современного обще-
ства;
• развитие представлений о математике как форме
описания и методе познания действительности, созда-
ние условий для приобретения первоначального опыта
математического моделирования;
• формирование общих способов интеллектуальной
деятельности, характерных для математики и являю-
щихся основой познавательной культуры, значимой для
различных сфер человеческой деятельности;
3) в предметном направлении:
• овладение математическими знаниями и умения-
ми, необходимыми для продолжения обучения в стар-
шей школе или иных общеобразовательных учреждени-
ях, изучения смежных дисциплин, применения в повсе-
дневной жизни;
• создание фундамента для математического разви-
тия, формирование механизмов мышления, характерных
для математической деятельности [2].
Уточнение целей изучения математики необходимо
учитывать при формулировании целей уроков.

38. 40
Кроме того, стандарты второго поколения обязыва-
ют учителя не только передавать обучаемым опреде-
ленное содержание учебного материала, но и формиро-
вать в ходе урока определенные виды деятельности уче-
ника (на уровне учебных действий).
Поэтому современный конспект урока математики
должен состоять из двух частей.
Часть 1. Содержание урока.
Часть 2. Характеристика основных видов деятель-
ности ученика (на уровне учебных действий).
Указанные требования стандартов второго поколе-
ния отражены в предлагаемом конспекте урока алгебры
в 7 классе.
Тема урока: Графическое решение систем линей-
ных уравнений с двумя переменными.
Цели урока:
1) в направлении лич-
ностного развития:
• формирование интереса
к изучению математики в
ходе решения творческих
задач по теме урока;
2) в метапредметном
Примечание
Урок сопровождается
слайдами, демонстриру-
емыми на экране с по-
мощью мультимедийно-
го проектора. Слайды
№ 1, 2, 3 содержат тему
и цели урока.
направлении:
• знакомство с графическим способом решения си-
стем уравнений как одним из универсальных методов
решения математических задач; показ сильных и слабых
сторон этого метода;
• освоение алгоритмического подхода к решению
стандартных задач на основе усвоения алгоритма гра-
фического решения систем линейных уравнений с дву-
мя переменными;
3) в предметном направлении:
• овладение графическим способом решения систем
уравнений с двумя переменными;
• формирование умения проводить классификацию,
разделяя системы по числу имеющихся у них решений

39. 41
(одно решение, бесконечное множество решений, нет
решений).
Оборудование: доска, линейка, цветной мел, ком-
пьютер, проектор, экран, слайды.
Часть 1. Содержание урока
I. Организационный момент (1 мин.).
II. Подготовка к восприя-
тию нового материала (12 мин.).
1. Ответьте на следующие
вопросы:
Примечание
Устный фронталь-
ный опрос.
Учитель:
— Какое уравнение называется линейным уравне-
нием с двумя переменными?
Ученик:
— Уравнение вида
cbyax  , где х и у — пере-
менные, а, b и с — некоторые
числа. Причем а и b не могут
быть одновременно равными
нулю.
Примечание
После каждого ответа
учащихся на экране
появляется правиль-
ный ответ. Слайды
№ 4, 5, 6, 7.
Учитель:
— Что называется решением уравнения с двумя пе-
ременными?
Ученик:
— Решением уравнения с двумя переменными
называется пара значений переменных, обращающая это
уравнение в верное равенство.
Учитель:
— Какие уравнения с двумя переменными называ-
ются равносильными?
Ученик:
— Уравнения с двумя переменными, имеющие одни
и те же решения, называются равносильными.
Учитель:
— Какими свойствами, связанными с понятием
равносильности, обладают уравнения с двумя перемен-
ными?

40. 42
Ученик:
— Линейные уравнения с двумя переменными об-
ладают такими же свойствами, как и уравнения с одной
переменной:
1) если в уравнении перенести слагаемое из одной
части в другую, изменив его знак, то получится уравне-
ние, равносильное данному;
2) если обе части уравнения умножить или разде-
лить на одно и то же отличное от нуля число, то полу-
чится уравнение, равносильное данному.
2. Постройте график урав-
нения 623  ух .
Решение.
Ученик:
Примечание
Один ученик работает
у доски, остальные —
в тетрадях.
— Выразим переменную у через х: ху 362  ,
ху 5,13 .
Учитель:
— Как называются функции, задаваемые уравнени-
ями такого вида?
Ученик:
— Функции, задаваемые уравнениями такого вида,
называются линейными.
Учитель:
— Что является графиком линейной функции?
Ученик:
— Графиком линейной функции является прямая.
Учитель:
— Сколькими точками определяется прямая?
Ученик:
— Чтобы провести прямую, достаточно знать коор-
динаты двух точек, через которые она проходит.
Учитель:
— Для более точного
построения графика
найдем четыре точки,
через которые проходит
Примечание
Учащиеся заполняют таб-
лицу, в которой уже заданы
значения х. Найденные зна-

41. 43
прямая 35,1  ху .
Для удобства составим
таблицу:
чения у сверяют со значени-
ями, появляющимися на
экране. Слайд № 8.
х – 2 0 2 4
35,1  ху 6 3 0 – 3
Ученик:
— Найденные точки нанесем на координатную
плоскость и проведем через них прямую, являющуюся
графиком данного уравнения.
О-1
-1
-2
-3
-4
-5
-2-3 1 2 3 4 5
1
2
3
4
5
6
3х + 2y = 6
х
y Примечание
Учащиеся вы-
полняют постро-
ения, сверяя свои
действия с изоб-
ражениями, появ-
ляющимися на
экране. Слайд
№ 8.
Учитель:
— Пользуясь
графиком данного
уравнения, назо-
вите какие-нибудь
его решения.
Ученик:
— Решениями являются пары чисел: (–2; 6), (0; 3),
(2; 0), (4; –3), (6; –6), (–4; 9), …
Учитель:
— Значит, график уравнения
является графическим изобра-
жением всех его решений.
Примечание
Ученику, работав-
шему у доски, ста-
вится оценка.
III. Объяснение нового материала (19 мин.)
Учитель:
— Тема нашего урока: «Графическое решение си-
стем линейных уравнений с двумя переменными».

42. 44
Изобразим на координат-
ной плоскости графики сразу
двух линейных уравнений с
двумя переменными: 2х + 3y =
5 и 93  ух . Будем дей-
ствовать по известному алго-
ритму:
а) преобразовав данное
уравнение, выразим у через х;
б) найдем две точки, при-
надлежащие графику уравне-
ния, составив небольшую
таблицу;
Примечание
Учитель работает у
доски, так как необхо-
дима высокая точность
выполнения чертежа.
По ходу работы учи-
тель задает вопросы на
закрепление знаний о
решении линейного
уравнения с двумя пе-
ременными.
Дети работают в тетра-
дях.
в) построим прямую, проходящую через две
найденные точки;
г) построенная прямая — график данного уравне-
ния.
Рассмотрим уравнение 532  ух , откуда
ху 253  , и
3
5
3
2
 ху :
х – 8 1
3
5
3
2
 ху 7 1
Аналогично поступим со вторым уравнением:
93  ух : ху 39  ; 93  ху .
х – 1 – 3
93  ху 6 0
Прямая 532  ух изображает все решения этого
уравнения. Координаты точек прямой 93  ух яв-
ляются решениями второго уравнения.

43. 45
О
-1
-1
-2
-3
-4
7
-2-3 1 2 3 4 5
1
2
3
4
5
6
2х + 3y = 5
-4-5-6-7-8 6
y
х
3х – y = – 9
F
Примечание
Слайд № 9
На слайде
представлено
изображение,
полученное
на доске.
Есть ли у данных двух уравнений общие решения?
Ученик:
— Есть. Это координаты точки F, в которой пересе-
каются графики уравнений.
Учитель:
— Каковы координаты точки F?
Ученик:
— Координаты точки F: 2х и 3у .
Учитель:
— Подставив пару )3;2( в каждое из данных
уравнений, убедимся, что уравнения обращаются в вер-
ные равенства.
Говорят, что пара чисел )3;2( является решением
системы уравнений 532  ух и 93  ух . Сами
уравнения при этом объединяют знаком системы (фи-
гурной скобкой):





.93
,532
ух
ух
Определение. Решением системы
уравнений с двумя переменными назы-
вается пара значений переменных, об-
Примечание
Слайд № 10
ращающая каждое уравнение системы в верное равен-
ство.

44. 46
Повторите определение.
Итак, данная система уравне-
ний имеет единственное решение.
Ребята! А может ли случить-
ся так, что графики уравнений,
объединенных в систему, не пе-
ресекутся?
Примечание
Убираем слайд № 10
и спрашиваем 2—3
учеников, после чего
еще на несколько
секунд высвечиваем
слайд № 10.
Ученик:
— Вообще-то может. Ведь две прямые на плоскости
не обязательно пересекаются. Они могут быть и парал-
лельны.
Учитель:
— Решим следующую си-
стему уравнений:





.1222
,4
ух
ух
Решение в тетрадях оформ-
ляйте таким же образом, каким
Примечание
Учитель работает у
доски, дети — в тет-
радях. По ходу реше-
ния учитель задает
вопросы, с целью
закрепить алгоритм.
я буду делать это на доске:





;1222
,4
ух
ух





;1222
,4
ху
ху





.6
,4
ху
ху
х – 2 2 х – 1 3
4 ху 6 2 6 ху 7 3
О
-1
-1
-2
7
-2-3 1 2 3 4 5
1
2
3
4
5
6
2х + 2y = 12
-4-5 6
y
х
х + y = 4

45. 47
Учитель:
— Графики уравнений 4 ух и 1222  ух
параллельны. Это не случайно. Ведь угловые коэффи-
циенты прямых 4 ху и 6 ху равны между
собой и равны 1 .
Имеет ли решение данная система уравнений?
— Ученик:
— Нет. Все решения первого уравнения лежат на
прямой 4 ух , а все решения второго уравнения —
на прямой 1222  ух . Но эти прямые не пересекают-
ся. Значит, общих решений нет.
Учитель:
— Верно! В таких слу-
чаях говорят, что система не
совместна.
Примечание
Важное замечание. Со-
провождается слайдом
№ 11.
Обратите внимание на то, что угловые коэффициен-
ты в уравнениях 4 ху и 6 ху , которыми мы
заменили соответственно равносильные уравнения
4 ух и 1222  ух , равны, а свободные члены
различны.
Пользуясь этим замечанием, можно по виду систе-
мы определять, имеет ли она решения.
Учитель:
— Попробуем решить следующую систему:





.142
,284
ух
ух
Решение.
Примечание
Учитель работает у
доски, дети — в тет-
радях.





;142
,284
ух
ух





;214
,428
ху
ху








.
4
1
2
1
,
4
1
2
1
ху
ху
Учитель:

46. 48
— Итак, каждое из заданных уравнений равносиль-
но одному и тому же уравнению
4
1
2
1
 ху . Значит,
они равносильны между собой, то есть уравнения
284  ух и 142  ух имеют одни и те же решения.
Посмотрим, как это выглядит графически.
0
-1
-1
-2
-2-3 1 2 3
1
2
3
-4
y
х
2х – 4y = 1
4х – 8y = 2
2
3

2
3
1
2
1
x
4
1
2
1
 ху
Учитель:
— Каждая точка (координаты
каждой точки) изображенной пря-
Примечание
Слайд № 12
мой является решением обоих уравнений системы.
Сколько решений имеет эта система?
Ученик:
— Бесконечное множество.
Учитель:
— Итак, если в результате преобразований уравне-
ний данной системы оказывается, что они равносильны
одному и тому же уравнению bxky  , то система
уравнений имеет бесконечное множество решений.
Каждое решение представляет собой пару (х, у), где х —
произвольное число, а bxky  .
Учитель:
— Сколько решений может иметь система двух ли-
нейных уравнений с двумя переменными?

47. 49
Ученик:
— Единственное решение,
бесконечное множество решений
и ни одного решения.
Примечание
Важный вывод.
Слайд № 13.
IV. Закрепление изученного материала (10 мин.)
Учитель:
— Решим следующие задачи.
Примечание
Задание представлено на слайде № 14.
Дети решают и устно обосновывают решение.
Проверка осуществляется с помощью того же слайда №
14.
Задача 1. По виду системы определите, сколько
решений она имеет и почему.
1)





33
,124
ху
ху
(одно решение);
2)





10624
,5312
ух
ух
(бесконечное множество
решений);
3)





63
,03
ух
ух
(одно решение);
4)





1652
,3208
ух
ух
(нет решений).
Задача 2. Дописать в системы уравнения так, что-
бы:
1) система имела одно решение:


 
...
,042ух
(например, 12  ух );
2) система не имела решений:


 
...
,0384 ух
(например, 012  ух );
3) система имела бесконечно много решений:

48. 50


 
...
,21159 ух
(например, 753  ух ).
Примечание
Один ученик работает у доски, остальные — в тет-
радях.
Проверка осуществляется с помощью слайда № 15.
V. Задание на дом (2 мин.).
§ 15, п. 41 (знать определение и
алгоритм графического решения
системы двух линейных уравнений
с двумя переменными), № 1057,
1058 (а), 1060.
Примечание
Домашнее за-
дание представ-
лено на слайде
№ 16.
Примечание
Учебник: Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк и др. Ал-
гебра. Учебник для 7 класса средней школы. М. : Про-
свещение, 2013. Слайд № 16
VI. Итог урока (1 мин.)
Учитель:
— Сколько решений может иметь система двух ли-
нейных уравнений с двумя переменными?
Ученик:
— Одно, ни одного, бесконечное множество решений.
Учитель:
— Каково взаимное расположение графиков урав-
нений, если система: а) имеет одно решение, б) не имеет
решений, в) имеет бесконечное множество решений?
Ученик:
— В первом случае прямые, являющиеся графиками
уравнений, пересекаются в единственной точке, во вто-
ром случае — прямые параллельны, в третьем случае —
прямые совпадают.
Дополнительный материал к уроку
Краткие исторические сведения
о Пьере Ферма (1601—1665) и Рене
Декарте (1596—1650), внесших
большой вклад в развитие алгебры.
Примечание
Материал пред-
ставлен на слай-
дах № 17, 18.

49. 51
Часть 2. Характеристика основных видов деятель-
ности ученика (на уровне учебных действий).
Давать определение линейного уравнения с двумя
переменными, представлять его график.
Формулировать определения: решения уравнения с
двумя переменными, равносильности уравнений с двумя
переменными.
Выполнять преобразования уравнений, приводя их
к виду, удобному для графического решения системы.
Осознавать алгоритм действий, выполняемых при
графическом решении систем уравнений с двумя пере-
менными.
Анализировать причины наличия единственного
решения системы, бесконечного множества решений, а
также отсутствия решений системы двух линейных
уравнений с двумя переменными.
Критически оценивать сильные и слабые стороны
графического решения систем уравнений.
Классифицировать системы уравнений по следую-
щему основанию деления: число решений системы.
Содержание слайдов
Слайд № 1
Тема. Графическое решение систем линейных урав-
нений с двумя переменными.
Слайды № 2, 3
Цели урока:
1) в направлении личностного развития:
• формирование интереса к изучению математики в
ходе решения творческих задач по теме урока;
2) в метапредметном направлении:
• знакомство с графическим способом решения си-
стем уравнений как одним из универсальных методов
решения математических задач, показ сильных и слабых
сторон этого метода;
• освоение алгоритмического подхода к решению
стандартных задач на основе усвоения алгоритма гра-

50. 52
фического решения систем линейных уравнений с дву-
мя переменными;
3) в предметном направлении:
• овладение графическим способом решения систем
линейных уравнений с двумя переменными;
• формирование умения проводить классификацию,
разделяя системы по числу имеющихся у них решений
(одно решение, бесконечное множество решений, нет
решений).
Слайд № 4
Уравнение вида cbyax  , где х, у — переменные,
а, b и с — некоторые числа, называется линейным урав-
нением с двумя переменными, причем а и b не могут
одновременно быть равными 0.
Слайд № 5
Решением уравнения с двумя переменными называ-
ется пара значений переменных, обращающая это урав-
нение в верное равенство.
Слайд № 6
Уравнения с двумя переменными, имеющие одни и
те же решения, называются равносильными. Уравнения
с двумя переменными, не имеющие решений, также
считаются равносильными.
Слайд № 7
Линейные уравнения с двумя переменными обла-
дают такими же свойствами, как и уравнения с одной
переменной:
1) если в уравнении перенести слагаемое из одной
части в другую, изменив его знак, то получится уравне-
ние, равносильное данному;
2) если обе части уравнения умножить или разде-
лить на одно и то же отличное от нуля число, то полу-
чится уравнение, равносильное данному.
Слайд № 8
х –2 0 2 4
35,1  xy 6 3 0 –3

51. 53
О-1
-1
-2
-3
-4
-5
-2-3 1 2 3 4 5
1
2
3
4
5
6
3х + 2y = 6
х
y
Слайд № 9
х –8 1
3
5
3
2
 xy 7 1
х –1 –3
93  xy 6 0
О
-1
-1
-2
-3
-4
7
-2-3 1 2 3 4 5
1
2
3
4
5
6
2х + 3y = 5
-4-5-6-7-8 6
y
х
3х – y = – 9
F