636.деформационно энергетический подход предельные состояния и разрушение конструкционных материалов [электронный ресурс]

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ
УНИВЕРСИТЕТ имени академика С.П. КОРОЛЕВА
(НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)»
А. А. БУХАНЬКО, Е. П. КОЧЕРОВ, А. И. ХРОМОВ
Деформационно-энергетический подход:
предельные состояния и разрушение
конструкционных материалов
Электронное учебное пособие
САМАРА
2011
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

2
УДК 539.3; 539.4
Авторы: Буханько Анастасия Андреевна,
Кочеров Евгений Павлович,
Хромов Александр Игоревич
Буханько, А. А. Деформационно-энергетический подход: предельные состояния и разруше-
ние конструкционных материалов [Электронный ресурс] : электронное учебное пособие / А.
А. Буханько, Е. П. Кочеров, А. И. Хромов; Минобрнауки России, Самар. гос. аэрокосм. ун-т им.
С. П. Королева (нац. исслед. ун-т). - Электрон. текстовые и граф. дан. (2,39 Мбайт). - Самара,
2011. - 1 эл. опт. диск (CD-ROM)
Данное учебное пособие разработано на кафедре прочности летательных
аппаратов для подготовки аспирантов по научной специальности 01.02.06
"Динамика, прочность машин, приборов и аппаратуры".
В пособии рассматривается методика расчета пластических течений в
окрестности концентраторов деформаций и связанных с ними повреждений
материала в технологических процессах изготовления элементов конструк-
ций и их эксплуатации; разработка подхода к оценке влияния на прочность
диссипативных процессов в материале при изготовлении и эксплуатации
элементов конструкций, связанными с рассеянием механической энергии при
пластических деформациях.
© Самарский государственный
аэрокосмический университет, 2011

3
Содержание
ВВЕДЕНИЕ ......................................................................................................5
1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ДЕФОРМАЦИОННО-
ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО ПОДХОДА .............................................................7
1.1 Основные положения теории жесткопластического тела ...........7
1.1.1 Ассоциированный закон пластического течения .......................7
1.1.2 Условия пластичности и разрушения пластических материалов7
1.1.3 Поверхность деформационных состояний и условие
пластичности, связанное с ее линиями уровня .........................................9
1.1.4 Неединственность решения. Критерии выбора
предпочтительного пластического течения ............................................13
1.2 Деформационно-энергетический критерий разрушения...........14
1.3 Основные соотношения теории идеального жесткопластического
тела 16
1.3.1 Определяющие уравнения теории плоской деформации.........16
1.3.2 Соотношения на характеристиках в теории плоской деформации
17
1.3.3 Определяющие уравнения теории осесимметричной
деформации................................................................................................18
1.3.4 Соотношения на характеристиках в теории осесимметричной
деформации................................................................................................21
1.4 Особые точки пластического течения и деформации на
поверхностях разрыва поля скоростей перемещений..........................23
1.4.1 Деформации на линии разрыва поля скоростей перемещений23
1.4.2 Система уравнений, описывающая процесс накопления
деформаций в теории плоской деформации............................................25
1.5 Задача, моделирующая пластические течения в окрестности
вершины трещины (полоса с V-образными вырезами).......................26
1.5.1 Решение Е. Ли (по Хиллу) ..........................................................26
1.5.2 Решение Е. Ли (по Прандтлю)....................................................29
1.5.3 Решение О. Ричмонда .................................................................31
1.5.4 Решение с несимметричным пластическим течением .............34
1.5.5 Поле деформаций в окрестности углового выреза при
разрушении.................................................................................................37
2. ОДНООСНОЕ ДЕФОРМИРОВАНИЕ И РАЗРУШЕНИЕ
ПЛОСКОГО И ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО ОБРАЗЦОВ............................42
2.1 Деформирование плоского образца ...............................................42
2.2 Полная схема разрушения плоского образца...............................44
2.3 Одноосное растяжение сплошного цилиндра при однородном
поле скоростей перемещений....................................................................48

4
2.4 Одноосное растяжение полого цилиндра при разрывном поле
скоростей перемещений.............................................................................51
2.5 Упрощенная схема деформирования цилиндрического образца
при одноосном растяжении до разрушения ...........................................54
2.6 Влияние малоцикловых нагружений на механические свойства
материалов ...................................................................................................63
2.7 Методика определения величин **W и *W при циклическом
нагружении образца....................................................................................68
3 РАСПРОСТРАНЕНИЕ ТРЕЩИН В УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИХ
ТЕЛАХ.............................................................................................................74
3.1 Установившееся движение углового выреза внутри
упругопластического тела (распространение трещины).....................74
3.2 Неустойчивое движение углового выреза внутри
упругопластического тела (процесс зарождения трещины) ...............77
3.3 Связь между удельной диссипацией энергии *W и
инвариантным J- интегралом ..................................................................78
3.4 Конечно-элементное моделирование процесса растяжения с
постоянной скоростью образца с трещиной...........................................82
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ...........................................................................86

5
ВВЕДЕНИЕ
Оценка влияния диссипативных процессов на механические характери-
стики и разрушение материалов является одним из основных вопросов уста-
лостной прочности. Подход к решению этой проблемы основан в настоящее
время на экспериментально подтвержденных формулах Коффина-Мэнсона и
Пэриса. Теоретическое обоснование этих формул опирается на расчеты рабо-
ты внутренних сил при пластическом деформировании. Центральной пробле-
мой здесь является описание пластических течений в окрестности концентра-
торов напряжений и деформаций. Этот вопрос в целом решается на основе
пакетов ANSYS и MSC, за исключением окрестностей угловых концентрато-
ров и, в частности, вершины трещины, которые во многом и определяют про-
цессы зарождения и распространения трещин.
Основной задачей предлагаемого пособия является создание методики
расчета пластических течений в окрестности концентраторов деформаций и
связанных с ними повреждений материала в технологических процессах изго-
товления элементов конструкций и их эксплуатации; разработка подхода к
оценке влияния на прочность диссипативных процессов в материале при из-
готовлении и эксплуатации элементов конструкций, связанными с рассеянием
механической энергии при пластических деформациях. Этот подход сформу-
лирован в виде деформационно-энергетического критерия разрушения мате-
риала, который состоит в обобщении подхода, использованного в задачах
малоцикловой усталости. Он обобщает формулу Коффина-Мэнсона [17, 45]
вместе с ее энергетической интерпретацией, заложенной С. Фелтнером, Дж.
Морроу [38] и поправкой Д. Мартина [13].
В первом разделе пособия рассматриваются теоретические основы де-
формационно-энергетического подхода, определяющие соотношения идеаль-
ного жесткопластического тела. В качестве основной модели анализа напря-
женно-деформированного состояния материала принята модель жесткопла-
стического тела, которая позволяет:
 определить критические значения величин W , W и установившуюся
скорость распространения трещины с из стандартных экспериментов по рас-
тяжению плоских и цилиндрических образцов при одноосном растяжении-
сжатии по величинам относительного удлинения образца  и относительного
сужения образца  при разрушении;
 оценить конечные деформации и удельную диссипацию энергии в час-
тицах, находящихся в окрестности вершины трещины;
 аналитически оценить процесс накопления диссипации энергии в час-
тицах в процессе пластической деформации (количественно оценить мало-
цикловую усталостную прочность).

6
В качестве основного условия пластичности принято новое условие пла-
стичности, связанное с линиями уровня поверхности деформационных со-
стояний идеального несжимаемого жесткопластического тела. Обсуждена
проблема неединственности пластического течения идеального жесткопла-
стического тела. Сформулированы деформационно-энергетические критерии
разрушения пластического тела и выбора направления распространения тре-
щины. Исследованы особые точки пластического течения. Приведен алго-
ритм определения критических значений W , W .
Рассмотрены известные решения задачи о пластическом течении жестко-
пластической полосы с угловыми вырезами, которые могут быть использова-
ны при моделировании процессов разрушения (зарождения и распростране-
ния трещин) в упругопластических телах.
Предложен подход к анализу поля деформаций и адиабатического поля
диссипации энергии в окрестности вершины углового выреза.
Второй раздел посвящен одноосному деформированию и разрушению
плоского и цилиндрического образцов. Рассмотрены основные задачи, приво-
дящие к количественной оценке деформационно-энергетических характери-
стик разрушения конструкционных материалов: растяжение-сжатие плоского
образца, растяжение-сжатие цилиндрического образца. Сформулировано
обобщение деформационно-энергетического подхода к описанию процессов
разрушения для циклических и произвольных «зигзагообразных» процессов
деформирования, которое связано с введением новой характеристики мате-
риала у
W - удельной работы внутренних сил на пластических деформациях,
связанных с упрочнением материала.
В третьем разделе приведен расчет предельных деформаций в окрестно-
сти вершины трещины при ее движении. Предложены модели процессов за-
рождения и распространения трещины при пластическом течении в окрестно-
сти углового выреза. Установлена связь между удельной диссипацией энер-
гии частницы при ее движении по предельной траектории и инвариантным J-
интегралом. Предложен алгоритм оценки накопления диссипированной рабо-
ты внутренних сил в частице с использованием J-интеграла. Проведено ко-
нечно-элементное моделирование растяжения образца с трещиной (матема-
тическим разрезом).

7
1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ДЕФОРМАЦИОННО-
ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО ПОДХОДА
1.1 Основные положения теории жесткопластического тела
1.1.1 Ассоциированный закон пластического течения
Определяющим соотношением модели идеального жесткопластического
тела является ассоциированный закон пластического течения:
, 0, , 1, 2, 3,ij p p
ij
f
i j

     

(1.1)
и условие текучести:
  0, 1, 2,p ijf p    (1.2)
где ij – компоненты тензора напряжений,  , ,
1
2
ij i j j iV V    тензор скоро-
стей деформаций, iV  компоненты вектора скоростей перемещений, p 
неопределенные множители, постоянные при определенных значениях ком-
понент скорости деформации;  p p ijf f   функции, определяющие по-
верхности текучести для идеальной пластической среды в пространстве на-
пряжений ij , которая не изменяется при деформировании материала.
Ассоциированный закон течения (1.1) является следствием принципа
максимума скорости диссипации механической энергии (мощности работы
внутренних сил) (принцип Мизеса): скорость диссипации механической энер-
гии ij ijW    в единице объема при пластическом деформировании прини-
мает максимальное значение для действительного напряженного состояния
среди всех напряженных состояний, допускаемых данным условием пластич-
ности.
Заметим, что в теории жесткопластического тела принято считать, что вся
работа внутренних сил переходит в тепловую энергию и рассеивается. Этот
процесс называется диссипацией энергии.
Ассоциированный закон пластического течения обобщается на случай
упрочняющегося жесткопластического тела. В этом случае функция f зави-
сит от параметров упрочнения, и называется функцией нагружения.
1.1.2 Условия пластичности и разрушения пластических материалов
Условие пластичности – это условие, характеризующее переход материа-
ла из упругого состояния в состояние текучести. Это условие является важ-
ным обобщением на трехмерное напряженное состояние предела текучести
для одноосного растяжения. С математической точки зрения условие пла-

8
стичности представляет собой соотношение между компонентами напряже-
ний в точке, которое должно быть выполнено, когда в этой точке начинается
пластическое течение. В общем случае условие пластичности можно записать
в виде
  ,ijf K 
где 0K   постоянная текучести.
Среди наиболее часто встречаемых условий пластичности идеального
нормально изотропного пластического тела можно отметить, [8, 22]:
 условие постоянства интенсивности касательных напряжений (условие
Мизеса)
     
2 2 2 2
1 2 2 3 3 1 2 S             ;
 условие постоянства максимального касательного напряжения (условие
Треска – Сен-Венана):
 1 2 2 3 3 1
1
max , , ,
2
S          
где S  предел текучести при растяжении, S  предел текучести при чис-
том сдвиге, ( 1,2,3)i i   главные значения тензора напряжений.
Эти условия пластичности нашли наибольшее применение в силу просто-
ты записи и хорошего соответствия с экспериментальными данными при от-
носительно малых деформациях.
Для идеального жесткопластического тела при плоской деформации оба
этих условия приводят к одинаковым соотношениям, при осесимметричной
деформации более удобно условие Треска – Сен-Венана.
Ниже рассматривается условие пластичности, связанное с линиями уров-
ня поверхности деформационных состояний. Необходимость новой формули-
ровки связана с определением предельных состояний материала, предшест-
вующих его разрушению (образованию внутри материала новых свободных
поверхностей). Эти предельные состояния можно рассматривать как состоя-
ния предельного упрочнения материала. Поэтому формулировку предельного
состояния естественно связать с поверхностью нагружения. Аналогичные
формулировки высказывались авторами при исследовании процессов мало-
цикловой усталости, связывая процесс разрушения с процессами накопления
деформаций и исчерпанием пластичности, [14]. Вместе с этими замечаниями
для описания процесса образования новых свободных поверхностей (собст-
венно разрушение) необходимо продолжить рассмотрение пластического те-
чения и это течение рассматривать как течение идеального жесткопластиче-
ского тела при условии пластичности, определяемого предельным положени-
ем поверхности нагружения. На диаграмме    это можно изобразить от-
резком прямой АВ (вместо часто изображаемой ниспадающей ветви AB ),

9
Рис 1.1 – Связь констант разрушения с
диаграммой   
рисунок 1.1. При этом удельная ра-
бота внутренних сил, совершаемая
частицей материала до разрушения,
разделяется на две части: W и W .
Первая часть W приводит к упроч-
нению материала до предельного
состояния, вторая часть W (по дос-
тижении предельного состояния)
приводит к образованию новых сво-
бодных поверхностей.
Как правило, в рассматриваемых
ниже примерах образование новых свободных поверхностей происходит на
особенностях поля скоростей перемещений и имеет скачкообразный харак-
тер, то есть приращения компонент деформаций и удельной диссипации
энергии имеют конечные значения.
Заметим, что наличие участка АВ, как правило, предполагается в извест-
ных пакетах программ (ANSYS, MSC и др.).
1.1.3 Поверхность деформационных состояний и условие
пластичности, связанное с ее линиями уровня
Будем использовать в качестве мер деформаций тензор деформаций Ко-
ши ijC и тензор конечных деформаций Альманси ijE :
k k
ij
i j
X X
C
x x
 

 
,  1
2
ij ij ijE C   , , 1, 2, 3i j  ,
где ,i iX x  эйлеровы и лагранжевы переменные, ij  символ Кронекера.
Деформационные состояния жесткопластического тела будем изображать
точками в пространстве главных деформаций, которые образуют для несжи-
маемых тел гиперболическую поверхность  третьего порядка (рис. 1.2), [2,
11, 12, 31, 32]. Уравнение этой поверхности может быть задано условием не-
сжимаемости в одном из следующих видов:
1 2 3
1 2 3 1 2 3
1 2 3
0;
1, 0, 0, 0;
(1 2 )(1 2 )(1 2 ) 1;
C C C C C C
E E E
     
   
   
(1.3)

10
где , ,i i iC E  главные значения тензоров , ,ij ij ijC E , соответственно. Де-
формационные процессы изображаются линиями L на этой поверхности. Точ-
ка O изображает исходное недеформированное состояние.
Рассмотрим линии M пересечения поверхности  с плоскостями, парал-
лельными девиаторной плоскости с нормалью n. На рис. 1.3 представлены
проекции этих линий, расположенных на расстоянии 3d h от начала ко-
ординат, на девиаторную плоскость. Уравнения этих линий определяются
соотношениями
1 2 3 1 2 3( ), (1 2 )(1 2 )(1 2 ) 1h E E E E E E       . (1.4)
Будем называть проекции линий M на девиаторную плоскость (линии m)
линиями уровня поверхности деформационных состояний  . Поверхность 
обладает симметрией относительно трех плоскостей, проходящих через коор-
динатные оси и нормаль n. Процессы деформирования частиц идеального
жесткопластического материала изображаются линиями L на поверхности 
(см. рис. 1.2) и линиями l на девиаторной плоскости (см. рис. 1.3).
Рассмотрим поле скоростей вида
1 1 1 ( )V x t  , 2 2 2 ( )V x t  , 3 3 3 ( )V x t  , (1.5)
определяющее процесс простого деформирования, когда главные направле-
ния тензора ij остаются неизменными. Здесь ( )i t  главные значения тен-
зора скоростей деформаций являются функциями времени t. Тензоры ijE и
ij связаны соотношением
Рис. 1.2 – Поверхность деформа-
ционных состояний
Рис. 1.3 – Линии уровня

11
,
2 .
ij ij ij k k
k ik jk ij
k j i
i i
i i
DE E E V V
V E E
Dt t x x x
DE dE
E
Dt dt
   
     
   
   
(1.6)
В склерономной теории пластичности, рассматривающей квазистатиче-
ские процессы, масштаб времени не определен и, вообще говоря, он может
изменяться в процессе деформирования, в частности, из трех функций ( )i t
одну можно задать произвольно, например, 1( ) 1t  . В этом случае из усло-
вия несжимаемости (1.3) следует
1( ) 1t  ,  2 31 ( )t t     .
Пусть деформационный процесс начинается из недеформированного со-
стояния (точка O, см. рис. 1.2, 1.3). Система уравнений (1.6) при условии (1.5)
и начальных условиях 0| 0ij tE   ( 0| 0i tE   ) имеет решения
 ( )
12 13 23
0
1
1 , 1,2,3; 0,
2
( ) 2 ( ) .
i t
i
t
i i
E e i E E E
t t dt

     
   
(1.7)
Из (1.7) следует, что главные направления тензоров ,ij ijE  совпадают в лю-
бой момент времени с направлением координатных осей.
Простые деформационные процессы изображаются кривыми l на девиа-
торной плоскости (см. рис. 1.3). В качестве параметра процесса (времени)
выберем величину
1 2 3 , ( )i ih E E E E E h    .
При замене t на h из (1.7) следует уравнение
 31 2 ( )( ) ( )
0
1
3 , 2 ( )
2
h
hh h
i ih e e e h dh 
        . (1.8)
После дифференцирования (1.8) по h получим
31 2
1 1 2 2 3 3
1 2 3
2 , 2 , 2 ,
2 е е е 
           
       
(1.81
)
Из (1.7) следует
31 2
1 2 3
2 ,
1 2 , 1 2 , 1 2 .
i i
e E e E e E 
   
     
Подставив эти выражения в (1.81
), получим
1 1 2 2 3 3(1 2 ) (1 2 ) (1 2 ) 1E E E         . (1.82
)

12
Уравнение (1.82
) связывает главные значения i и iE для простых процессов
деформирования.
Выделим из простых процессов деформирования ортогональные процес-
сы, т.е. процессы, не зависящие от времени, для которых вектор главных зна-
чений тензора скоростей деформаций i ортогонален проекциям линий (1.4)
на девиаторную плоскость (т.е. линиям m), которые являются линиями уровня
для функции 1 2 3h E E E   .
Окончательно для ортогональных процессов величины i и iE связаны
выражениями:
1 2 3
1 1 2 2 3 3
1 1 2 3 2 2 3 1 3 3 1 2
0,
(1 2 ) (1 2 ) (1 2 ) 1,
(1 2 )( ) (1 2 )( ) (1 2 )( ) 0.
E E E
E E E E E E E E E
     
        
           
(1.9)
В (1.9) первое уравнение отображает несжимаемость жесткопластического
тела, второе уравнение следует из (1.8) после дифференцирования его по
времени h, третье уравнение следует из условия ортогональности процесса
деформирования l линиям уровня m.
Введем новый параметр процесса t. Выполняя замену переменной
( )h h t в (1.8) и дифференцируя по t, получим уравнение
1 1 2 2 3 3(1 2 ) (1 2 ) (1 2 ) ,E h E h E h h           
(штрих обозначает дифференцирование по времени t). При этом второе урав-
нение в системе (1.9) можно записать в виде
     31 2
1 2 31 2 1 2 1 2 1.E h E h E h
h h h
 
       
  
Положим, что деформации и напряжения связаны с функцией ( )h t соот-
ношениями
(1 2 )i iE h   , * i
i
h

 

,
3
3 2
h
h

 

, 1 2 3
1
( ).
3
       (1.10)
Уравнения (1.9) при условии (1.10) примут вид
* * *
1 2 3
* * *
1 1 2 2 3 3
* * *
1 1 2 3 2 2 3 1 3 3 1 2
0,
1,
( ) ( ) ( ) 0.
     
        
                 
(1.11)
Уравнения (1.11) приводят к заданию цилиндрической поверхности нагруже-
ния с направляющей линией в девиаторной плоскости, совпадающей с проек-
циями линий (1.4) и образующей, параллельной n, с параметром упрочнения
1 2 3h E E E   . В этом случае первое и третье уравнения (1.11) следуют из
ассоциированного закона течения (1.1) для всех ортогональных процессов

13
несжимаемого жесткопластического тела. Второе уравнение (1.11) будет вы-
полняться для всех ортогональных процессов, если за параметр процесса
(время) принять работу внутренних сил (для жесткопластического тела дис-
сипацию энергии).
Данная поверхность нагружения обладает следующими свойствами:
 при деформировании материала по любому простому ортогональному
процессу из точки О до уровня деформаций 1 2 3h E E E   , частицей совер-
шается одна и также удельная диссипация энергии
0
0
h
i i
l
W dl   ;
 при деформировании по пути отличному от простого ортогонального
процесса деформирования, требуется большая диссипация энергии. Это свой-
ство непосредственно следует из того, что кривая 0L , на поверхности  , со-
ответствующая ортогональному процессу 0l , является линией наискорейшего
спуска из точки О;
 эта поверхность позволяет учитывать эффект Баушингера.
Для любого конструкционного материала поверхность нагружения может
быть определена из стандартного эксперимента на одноосное растяжение по
зависимости    .
Заметим, что связь условия пластичности с линиями уровня поверхности
 следует из совмещения осей главных напряжений i и деформаций iE .
При этом связь масштабов определяется величиной h, определяемой из диа-
граммы    для каждого конструкционного материала. Если кривые   
(на растяжение и сжатие) обладают центральной симметрией относительно
начала координат (отсутствие эффекта Баушингера), то условие пластичности
должно описываться окружностью (т.е. совпадать с условием Мизеса).
Указанное замечание означает, что линии уровня поверхности  , вообще
говоря, не совпадают с линиями пересечения поверхности нагружения с де-
виаторной плоскостью, но определяют их форму. Для построения поверхно-
сти нагружения в приведенной форме предполагается переход от традицион-
ной диаграммы    к диаграмме h  , где
1
3
ii   , iih E . Соотношения
(1.10) определяют величину h.
В дальнейших расчетах, если не оговаривалось особо, в качестве условия
пластичности использовалось условие Мизеса.
1.1.4 Неединственность решения. Критерии выбора
предпочтительного пластического течения
Следствием ассоциированного закона пластического течения (1.1) явля-
ется единственность поля напряжений в пластической области, [4]. В отличие

14
от этого поле скоростей перемещений не единственно. Поэтому при решении
задач для идеального жесткопластического тела возможно построение не-
скольких решений с учетом изменения геометрии.
Очевидно, что неединственность поля скоростей ведет к различным рас-
пределениям поля деформаций для различных кинематически возможных
решений. Естественно, возникает вопрос: какое решение считать предпочти-
тельным? В работах [4, 8, 22, 24] показано, что основные различия известных
решений для плоских задач типа внедрения штампов, раздавливании клиньев,
движении угловых точек свободной поверхности связано с работой внутрен-
них сил в окрестности особенностей поля линий скольжения, и поэтому в
данной работе используется следующий критерий: предпочтительным явля-
ется пластическое течение, развивающееся таким образом, что максималь-
ное значение удельной работы внутренних сил в окрестности особенностей
поля скоростей перемещений минимально.
1.2 Деформационно-энергетический критерий разрушения
С точки зрения теории жесткопластического тела условия разрушения
должны содержать величины, входящие в определяющие уравнения модели:
тензоры деформаций и напряжений и их производные по пространственным
переменным и времени; и могут быть записаны в виде N соотношений:
 , , ,... 0, 1,...,k ij ij ijФ E k N    ,
где kФ  изотропные функции N тензорных аргументов, определяемых мо-
делью разрушения.
Стандартные экспериментальные исследования по растяжению плоских
цилиндрических и других образцов показывают, что разрушение материалов
происходит при определенных деформациях **
iE . При этом эксперименталь-
но определяемые характеристики разрушения ( ,   относительное удлине-
ние и сужение образца при разрушении) могут служить основой для вычис-
ления соответствующих значений **
iE , [26]. Эти эксперименты определяют
минимальную систему точек на поверхности  , которая может быть аппрок-
симирована некоторой кривой *M .
 
   
** ** **
1 2 3
* ** ** **
1 2 3
, , 0,
:
1 2 1 2 1 2 1.
Ф E E E
M
E E E
 

   
(1.12)
Это позволяет постулировать: при пересечении кривой L, соответствую-
щей процессу деформирования (см. рис. 1.2), критической линии *M (1.12),
материал достигает предельного состояния.

15
В качестве аппроксимирующих кривых естественный интерес представ-
ляют линии (1.4), так как они всегда пересекаются ортогональными процес-
сами деформирования и, в частности, кривыми, соответствующими стандарт-
ным испытаниям на одноосное растяжение – сжатие. Поэтому положение
кривой (1.4) может быть определено экспериментально для каждого конст-
рукционного материала.
Вместе с тем из опыта известно, что даже при небольших циклически из-
меняющихся пластических деформациях происходит разрушение практиче-
ски всех материалов. Поэтому в уравнениях (1.12) должны быть включены
параметры, учитывающие историю деформирования частиц материала. Од-
ной из величин, связанной с историей деформирования, является удельная
работа внутренних сил
0
t
ij ij
t
W dt   , определяемая вдоль пути деформирова-
ния l (см. рис. 1.3). Уравнения (1.12) при этом примут вид
 
   
1 2 3
1 2 3
, , , 0,
1 2 1 2 1 2 1.
Ф E E E W
E E E


   
(1.13)
Если предположить, что механические свойства материала определяются
поверхностью нагружения, а второй и третий инварианты тензора деформа-
ции Альманси мало влияют на разрушение материала, то уравнения критиче-
ской линии (1.13) можно записать в виде
   
1 2 3
1 2 3
( ),
1 2 1 2 1 2 1.
E E E h W
E E E
  

   
(1.14)
Критическая линия в виде (1.14) совпадает с линией максимально воз-
можного упрочнения материала, которая определяется величиной
max
max 0( )h h W , где 0W  диссипация энергии при ортогональном процессе
деформирования. Естественно предположить, что дополнительная диссипа-
ция энергии, производимая элементом объема материала при неортогональ-
ном деформировании, снижает способность материала к упрочнению. Это
влияние может зависеть от уровня деформаций (величины h ). Уравнения
(1.13), (1.14) означают, что критическая линия уровня, определяющая момент
разрушения каждой частицы, приближается к недеформированному состоя-
нию в процессе пластического деформирования соответственно диссипации
энергии. Функция ( )h W должна определяться экспериментально.
Достижение предельного состояния не означает разрушение. Для разру-
шения материала необходимо дополнительно затратить некоторую энергию
W , связанную с образованием новых свободных поверхностей (см. рис. 1.1).

16
1.3 Основные соотношения теории идеального жесткопластического
тела
1.3.1 Определяющие уравнения теории плоской деформации
Плоская деформация является одним из наиболее разработанных разде-
лов теории идеальной пластичности. При плоской деформации перемещения
частиц тела параллельны осям 1 2,x x и не зависят от 3x . Подобное состояние
возникает в длинных призматических телах при нагрузках, нормальных к
боковой поверхности и не зависящих от 3x . Тело считается изотропным и
однородным. В любом сечении 3x const наблюдается одна и та же картина
напряженного и деформированного состояния. Компоненты напряжения за-
висят только от 1 2,x x , причем 23 13 0    из-за отсутствия соответствую-
щих сдвигов.
Система уравнений теории плоской деформации идеального жесткопла-
стического тела впервые была установлена Сен-Венаном [49] и содержит пять
уравнений:
 уравнения равновесия
11 12 22 12
1 2 2 1
0, 0
x x x x
   
   
   
; (1.15)
 условие текучести
 
2 2 2
11 22 124 4k      ; (1.16)
 условие несжимаемости, которое является следствием ассоциирован-
ного закона пластического течения (1.1):
1 2
1 2
0
V V
x x
 
 
 
или 1 2 1 22 0E E E E   ; (1.17)
 условие совпадения осей тензоров напряжений и скоростей деформа-
ции, которое также является следствием ассоциированного закона пластиче-
ского течения (1.1):
1 2
12 2 1
1 211 22
1 2
2
V V
x x
V V
x x
 

  

   

 
. (1.18)
Система уравнений (1.15) – (1.18) является полной системой дифферен-
циальных уравнений теории пластичности, т.к. число уравнений и неизвест-
ных функций одинаково. Эти уравнения являются гиперболическими, причем
характеристики напряжений и скоростей совпадают.

17
Характеристики для уравнений в напряжениях совпадают с площадками
максимальных касательных напряжений. Характеристики для уравнения ско-
ростей совпадают с площадками максимального сдвига. Кроме того, характе-
ристики для напряжений и скоростей совпадают между собой и называются
линиями скольжения, которые являются одновременно и линиями макси-
мального касательного напряжения и линиями максимального сдвига.
1.3.2 Соотношения на характеристиках в теории плоской деформации
Решение задач теории плоской деформации идеального жесткопластиче-
ского тела основано на построении двух взаимно ортогональных семейств
линий скольжения  и  , касательные к которым совпадают в любой точке с
направлением максимальных касательных напряжений и скорости деформа-
ции сдвига.
Дифференциальные уравнений линий скольжения:
tg ,
ctg ,
dy
линии
dx
dy
линии
dx
  
   
где   направленный против движения часовой стрелки угол наклона ха-
рактеристик семейства  к оси абсцисс.
Компоненты тензора напряжений можно представить в виде
11 22 12sin 2 , sin 2 , cos2 ,p k p k k            
где  1 2
1
2
p       гидростатическое давление, k  предел текучести.
Среднее сжимающее напряжение p и угол  связаны соотношениями
Генки, [40]:
2 ,
2 ,
p k const вдоль линии
p k const вдоль линии
   
   
эквивалентные уравнениям равновесия. Значения констант изменяются при
переходе от одной линии ,  -характеристик к другой соответственно.
Проекции вектора скорости перемещения u и v на криволинейные оси
 и  удовлетворяют соотношениям Гейрингер, [39]:
0 ,
0
du vd , вдоль линии
dv ud вдоль линии ;
   
   
(1.19)
и связаны с проекциями скорости перемещения на декартовые оси x и y соот-
ношениями:
cos sin , sin cos .x y x yu V V v V V         (1.20)

18
Рис. 1.4 – Компоненты напря-
жений
Радиусы кривизны R и S характеристик  и  соответственно, опреде-
ляются из уравнений
1 1
,
R S S S 
 
  
 
,
где
S


и
S


 производные, взятые соответственно вдоль линий  и  .
1.3.3 Определяющие уравнения теории осесимметричной деформации
Осесимметричные задачи теории пластичности представляют значитель-
ный интерес для приложений. Пусть ось рассматриваемого тела вращения
совпадает с осью цилиндрической системы координат r ,  , z , а заданные
нагрузки (или смещения) также обладают осевой симметрией. Тогда дефор-
мация такого тела будет осесимметричной. При этом компоненты напряже-
ния и смещения не зависят от полярного угла  .
Отличные от нуля компоненты
напряжения r ,  , z , rz (рис. 1.4) и
составляющие скорости rV , zV являются
функциями от r и z .
При квазистационарном осесиммет-
ричном пластическом течении изотропного
несжимаемого жесткопластического тела
напряжения r ,  , z , rz удовлетворяют:
 дифференциальным уравнениям
равновесия
0, 0
rr rz rz z rz
r z r r z r
      
     
   
; (1.21)
 условию несжимаемости
0rr zz       ; (1.22)
 условию изотропии (соосности девиаторов напряжений и скоростей де-
формаций):
2 0, tg2 ,
2
r z r z r z
rz
V V V V
tg
r z z r
       
            
(1.23)

19
где   угол между положительным направлением оси r и направлением
максимального касательного напряжения в плоскости  ,r z .
Представив компоненты тензора скоростей деформаций ii в виде
r
rr
V
r

 

, z
zz
V
z

 

, rV
r
  ,
получим условие несжимаемости (1.22), выраженное через скорости rV , zV :
0.r z rV V V
r z r
 
  
 
(1.24)
Так же как и при плоском пластическом течении, направления макси-
мальных касательных напряжений в каждой точке плоскости  ,r z опреде-
ляют два ортогональных семейства линий ,  , образующих правую систему
координат, в которой направление первого главного напряжения проходит
через первый и третий квадранты.
Четыре уравнения (1.21)(1.24) содержат шесть неизвестных. Для замы-
кания системы добавляется ассоциированный закон пластического течения
(1.1) и условие текучести (1.2). Согласно закону (1.1) скорости деформаций
пропорциональны производным по напряжениям от функции текучести,
стоящей в левой части условия текучести.
При условии текучести Мизеса
     
2 2 2
6 6r z z r rz s               
уравнения осесимметричной задачи являются эллиптическими, [51]. В данной
работе это условие не используется.
При кусочно-линейном условии текучести, которым является, в частно-
сти, условие Треска-Сен-Венана
max
1
2
sconst    , (1.25)
где  max 1 2 2 12 max , ,            , уравнения осесимметричной за-
дачи оказываются гиперболическими. Гиперболическая система уравнений
допускает, как правило, разрывное решение в отличие от эллиптической сис-
темы, поэтому в качестве поверхности текучести выберем поверхность Трес-
ка.
В пространстве главных напряжений это условие определяет поверхность
правильной шестигранной призмы. По ассоциированному закону вектор ско-
рости деформации направлен по нормали к поверхности текучести. Окружное

20
Рис. 1.5 – Сечение призмы Трес-
ка-Сен-Венана
Рис. 1.6 – Линии скольжения в
плоскости { , }r z
напряжение  является главным ( 3    ), 1 , 2 ( 1 2   )  главные на-
пряжения в плоскости  ,r z , тогда
, cos2 , sin 2 ,r z rzq q         (1.26)
где    1 2 1 2
1 1
,
2 2
q         .
Сечением призмы Треска-Сен-Венана
плоскостью const  является
шестиугольник, показанный на рис. 1.5,
координаты его центра 1O равны
(  ,  ). Условие текучести и главные
скорости деформации в различных ре-
жимах приведены в табл. 1.1, где 1 2,  
произвольные неотрицательные скалярные
функции (свои для каждого режима).
Таблица 1.1 – Условие текучести и главные скорости деформации
Главные скорости деформации
Режим Условие текучести
1 2 3
А 1 2 2k      1 2 1 2  
D 1 2 2k      1 2 1 2  
AB  1 1 22k          1 0 1
CD  2 2 12k           0 1 1
BC  1 2 1 22k          2 2 0
B 2 1 2k      1 2   2 1
C 1 2 2k      2 1 2   1
Режим ВС соответствует состоянию «полной пластичности», когда 
равно одному из главных напряжений; для
режима В: 2   , для режима С: 1   .
Системы уравнений для сингулярных
режимов В и С аналогичны. В работе
используются только эти режимы
деформирования.
Система уравнений для напряжений
состоит из дифференциальных уравнений

21
равновесия (1.21), условия пластичности 1 2 2k    и равенства 2  
для режима В; 1   для режима С. Линии скольжения ,  (траектории
max ) в плоскости  ,r z наклонены под углом 4  к главным направлениям
(рис. 1.6). На площадках скольжения действует нормальное напряжение
1 2
1
( ),
2
     нормальное напряжение  отлично от среднего давления p :
p   . Очевидно, что k    для режима В, k    для режима С, а
угол наклона площадки скольжения
4

    .
Соотношения (1.26) преобразуются к следующему виду:
, sin 2 , cos2 .r z rzk k       
Тогда из уравнения равновесия (1.21) получаем систему квазилинейных
уравнений относительно функций ,  :
 2 cos2 sin 2 sin 2 1 ,
2 sin 2 cos2 cos2 .
k
k
r r z r
k
k
z r z r
   
      
   
   
       
   

(1.27)
В уравнениях (1.27) принимают верхний знак в формуле при режиме В и
нижний знак при режиме С. Система уравнений (1.27) совместно с уравне-
ниями (1.23), (1.24) образует замкнутую систему относительно неизвестных
,  , rV , zV .
Решение этой системы выполняется в два этапа. Сначала при заданных
граничных условиях для напряжений определяют функции  и  из реше-
ния системы (1.27), а затем при заданных граничных условиях для скоростей
рассчитывают поле скоростей  ,r zV V из решения системы (1.23), (1.24).
1.3.4 Соотношения на характеристиках в теории осесимметричной
деформации
Системы уравнений (1.26), (1.23) и (1.24) относятся к гиперболическому
типу и имеют два семейства ортогональных характеристик ,  в плоскости
 ,r z , дифференциальные уравнения которых имеют вид
tg - ,
ctg .
dz
вдоль линии
dr
dz
вдоль линии
dr
  
    
(1.28)

22
Для системы (1.27) характеристические соотношения имеют вид:
 
 
2 ,
2 ,
k
d kd dr dz вдоль линии
r
k
d kd dr dz вдоль линии
r
      
      


где верхние знаки при dr относятся к режиму В, а нижние  к режиму С.
Используя компоненты скоростей V , V вдоль характеристик:
cos sin ,
cos sin ,
r z
z r
V V V вдоль линии
V V V вдоль линии


     
     
(1.29)
из (1.23) и (1.24) получают систему гиперболических уравнений с характери-
стическими соотношениями
1
( ),
2
1
( ).
2
dV V d V dr V dz
r
dV V d V dz V dr
r
   
   
    
    
(1.30)
Вследствие неоднородности уравнений осесимметричного пластического
течения свойства разрывов скоростей, которые могут распространяться вдоль
характеристик, существенно отличаются от разрывов при плоском пластиче-
ском течении. Обозначив через V 
и V 
скорости по обе стороны от соответ-
ствующей характеристики , β, разрывы скорости вдоль характеристик опре-
деляются как
  , .V V V V V V   
     
     
Из условия несжимаемости нормальные к этим характеристикам компо-
ненты вектора скорости непрерывны:
,
.
V V вдоль линии
V V вдоль линии
 
 
 
 
  
  
Подставляя в уравнения (1.30) скорости V 
 , V 
 , V 
 , V 
 для каждого се-
мейства характеристик и вычитая соответствующие уравнения для скоростей
со знаком «» из уравнений для скоростей со знаком «+», получают диффе-
ренциальные соотношения для разрывов скоростей вдоль характеристик:
 
  0 ,
2
0
2
V
d V dr вдоль линии
r
V
d V dr вдоль линии
r




   
        
Интегрируя эти уравнения, получаем:

23
Рис. 1.7 – Поле скоростей на линии
разрыва

V

V
ντ
L
  1
2
1
,
1
.
V C вдоль линии
r
V C вдоль линии
r


  
     
где 1C , 2C  константы интегрирования.
1.4 Особые точки пластического течения и деформации на
поверхностях разрыва поля скоростей перемещений
В качестве меры деформации выбран тензор конечных деформаций Аль-
манси  0
, ,
1
2
ij ij k i k jE X X   , связанный с тензором скоростей деформаций
 , ,
1
2
ij i j j iV V   соотношением (1.6):
ij ij ij k k
k ik jk ij
k j i
DE E E V V
V E E
Dt t x x x
   
     
   
. (1.31)
Выбор тензора Альманси в качестве меры деформации не является единст-
венным, так как уравнения типа (1.6) могут быть получены и для других тен-
зоров деформаций (см. [6]).
Поле скоростей перемещений может иметь особенности (поверхность
разрыва iV , центр веера характеристик). Поэтому накопление деформации
осуществляется при двух условиях: в непрерывном поле скоростей iV со-
гласно уравнениям (1.6) и при пересечении частицей материала особенностей
поля iV , на которых компоненты ij могут обращаться в бесконечность.
Изменение деформаций при пересечении частицей материла особенно-
стей поля скоростей iV рассматривается в работах [25, 29].
1.4.1 Деформации на линии разрыва поля скоростей перемещений
На основе теории разрывов Адамара-Томаса [20] изменения компонент
дисторсии на поверхности разрывов поля скоростей перемещений определя-
ются выражениями, [25]:
   
, ,, ,i j i j i j ij i j
V V
X X
G V G V
 
 
            
(1.32)
в предположении, что материал до пере-
сечения поверхности разрыва не дефор-
мировался ( ,i j ijX   ). Здесь [ ]V  раз-

24
рыв касательной компоненты, V  нормальная компонента скорости пере-
мещений на поверхности разрыва, G  нормальная скорость распростране-
ния поверхности разрыва; i  единичный вектор касательной к поверхности
разрыва, совпадающий с вектором разрыва скоростей перемещений; i 
единичный вектор нормали к поверхности разрыва (рис. 1.7). В формуле
(1.32) предполагается, что вектор G противоположно направлен вектору
V , т.е. G  G ν .
Абсолютное значение величины
 
n
V
W
G V



имеет физический смысл объемной плотности энергии диссипации, получае-
мой материальной частицей при пересечении поверхности разрыва поля ско-
ростей, отнесенной к пределу текучести.
Из (1.32) следует, что в условиях плоской деформации основные инвари-
анты тензора ijE вычисляются через величину W по формулам, [25]:
   
2 4
2 2
11 22 11 22 12 2
2 2
1 22 2
1
4
2 4 4
4 4
1 1 1 1 .
4 4
E E
W W
I E E , II E E E ,
W
W W
E , E
W W
       

   
            
   
Эти соотношения существенно зависят от движения особенностей поля ско-
ростей относительно материальных частиц. Все указанные параметры могут
быть определены только при решении задачи с учетом изменения геометрии
тела.
В условиях плоской деформации вследствие несжимаемости идеального
жесткопластического тела только один инвариант тензора ijE является неза-
висимым (например, 1E  алгебраически наибольшее главное значение) и
может быть принят в качестве характеристики величины деформации части-
цы. Параметр 1E представляет собой монотонную функцию W , и величина
W также может характеризовать величину деформации частицы при пересе-
чении линии разрыва скоростей перемещений.
Если материал до момента пересечения линии разрыва деформировался, и
компоненты тензора дисторсии имели значения ,i jX 
, то компоненты тензора
дисторсии за линией разрыва будут иметь значения
 i k
ik k j
j j
X X
W
x x
 
 
    
 
.

25
1.4.2 Система уравнений, описывающая процесс накопления
деформаций в теории плоской деформации
Запишем (1.31) в компонентной форме для случая плоской деформации,
[25]:
11 11 11 1 2 1
1 2 11 12
1 2 1 1 1
22 22 22 1 2 2
1 2 12 22
1 2 2 2 2
12 12 12 1
1 2 11
1 2 2
1 2 2 1 2
12 22
1 2 1 2 1
2 2 ,
t
2 2 ,
t
2
t
1
2
2
E E E V V V
V V E E
x x x x x
E E E V V V
V V E E
x x x x x
E E E V
V V E
x x x
V V V V V
E E
x x x x x
     
    
     
     
    
     
   
   
   
     
     
     
.
 
 
 
(1.33)
Согласно [19] компоненты тензоров ijE , ij можно записать в виде
11 cos2E e g   , 22 cos2E e g   , 12 sin 2E g  ,
11 cos2    , 22 cos2    , 12 sin 2    ,
где  11 22
1
2
e E E  ,  
2 2
11 22 12
1
4
2
g E E E   ,  ,   соответственно углы
наклона первого главного направления тензоров ijE и ij к оси 1x ,
 
2 2
11 22 12
1
4
2
       . Тогда система (1.33) принимает вид:
 
   
   1 2
2 1
2 cos2 0,
2 cos2 cos2 ,
2 2 sin 2 sin 2 ,
de
g
dt
dg
e
dt
V Vd
g e g
dt x x

      


         

   
             
   
(1.34)
где 1 2
1 2
d
V V
dt t x x
  
  
  
 материальная производная по времени. Уравне-
ния (1.34) устанавливают связь между инвариантами тензоров Альманси e,g
и скоростей деформаций  и их главными направлениями ,  вдоль траек-
тории движения частицы материала, [25, 29].

26
1.5 Задача, моделирующая пластические течения в окрестности
вершины трещины (полоса с V-образными вырезами)
Математическое моделирование процессов распространения трещины в
упругопластическом теле можно рассматривать как процесс распространения
углового выреза вместе с небольшой пластической областью, примыкающей
к его вершине, [27, 33]. При этом распространение углового выреза может
происходить как с разрушением, так и без него. Разделение этих процессов
существенно связано с появлением на свободной поверхности трещины (ее
берегах) частиц изнутри материала. В основе предлагаемого ниже подхода
лежат четыре известных решения задачи о растяжении полосы с V-
образными вырезами: два решения Е. Ли [44], решение О. Ричмонда [48], ре-
шение А. Буханько, А. Хромова [24]. Первые три решения возможны только
при разрушении материала, последнее решение описывает движение углового
выреза без разрушения.
1.5.1 Решение Е. Ли (по Хиллу)
На рис. 1.8 показана схема пластического течения при одноосном растя-
жении полосы с V-образными вырезами, угол раствора которых равен ,
предложенная Е. Ли, [44]. Верхний и нижний концы полосы движутся со ско-
ростями V . Предполагается, что:

27
 пластическая область состоит из треугольников с равномерным на-
пряженным состоянием, движущихся соответственно вдоль линии ОА (облас-
ти ОВА и ОЕА) и линий DC и FG (области ADC и AFG), соединенных цен-
трированными веерами линий скольжения BAD и EAF;
 с течением времени угол  остается постоянным;
 для сохранения данной структуры поля линий скольжения необходимо,
чтобы центр веера линий скольжения всегда находился на свободной поверх-
ности.
Граничные условия для скоростей на соответствующих линиях разрыва
поля скоростей перемещений имеют вид
3
: sin , , ;
4 4
: cos , , .
4 4
OBDC u V
OEFG v V
  
      
 
  
      
 
(1.35)
Поле скоростей в пластической области определяется граничными усло-
виями (1.35) и уравнениями Гейрингер (1.19) в виде
Рис. 1.8 – Схема пластического течения в
решении Е.Ли

28
 
   
 
 
: , ;
2 2
3
: sin , cos 2 , , ;
4 4
: cos sin , 2 sin cos ;
2 2
: , ;
2 2
: cos , u sin 2 , , ;
4 4
: cos sin ,
2
V V
OBA u v
BAD u V v V
V V
ADC u v
V V
OEA v u
EAF v V V
V
AFG v u
  
  
          
 
       
  
  
         
 
  





  2 sin cos .
2
V
    
(1.36)
Проекции скоростей на оси координат x,y согласно (1.20),
(1.36) равны
   
   
: 1, 0;
x y
x y
x y
OBAЕ V V
ADC V V
AFG V V
  
        
       


(1.37)
где , .
yx
x y
VV
V V
V V
 
В предположении, что угловая точка А, являющаяся центром вееров ли-
ний скольжения BAD и EAF, образуется пересечением свободных поверхно-
стей AC и AG, скорость ее движения оп-
ределяется соотношениями
ctg , 0.
2
A A
x yV V

   (1.38)
На рис. 1.9 представлен сравнитель-
ный график скоростей частиц материала
области OBAЕ (согласно (1.37)) – сплош-
ная линия, и центра веера BAD (1.38) –
пунктирная линия, построенный для зна-
чений 0,
2
 
  
 
. Из графика следует,
что угловая точка выреза при любом зна-
чении  внедряется в материал, что не
возможно без разрушения материала.
Рис. 1.9 – График сравнения
скоростей
OBAEV

A
V

29
Таким образом, решение Е. Ли [44] при 0t  описывает пластическое тече-
ние рассматриваемой задачи с разрушением. Поле деформаций в окрестности
точки А определяется углом раскрытия выреза  (см. п. 1.5.5).
1.5.2 Решение Е. Ли (по Прандтлю)
Схема пластического течения [44] является обобщением решения Пран-
дтля задачи о внедрении гладкого плоского штампа в полупространство, рис.
1.10. Предполагается, что:
 величина угла раствора V-образного выреза 2 остается постоянной в
процессе растяжения полосы вверх-вниз со скоростью 1V  ;
 область ABA’E находится в жестком состоянии; области ADC и AFG с
равномерным напряженным состоянием перемещаются вдоль линий DC и
FG, соответственно; жесткие области соединены центрированными веерами
BAD и FAG;
 для сохранения структуры поля линий скольжения центр веера должен
оставаться на свободной поверхности.
Граничные условия для скоростей на соответствующих линиях разрыва
поля скоростей перемещений имеют вид
Рис. 1.10 – Решение Е. Ли
(по Прандтлю)

30
: 0;
3
: sin , , ;
4 4
: 0;
: cos , , .
4 4
BA v
BDC u
EA u
EFG v

  
      
 

  
      
 
(1.39)
Поле скоростей в пластической области при граничных условиях (1.39)
определяется согласно уравнениям Гейрингер (1.19) в виде
   
 
: 0, 0;
1 3
: sin , cos , , ;
4 42
2 2
1
: cos , sin , , ;
4 42
: cos sin , 1 sin cos
2 2
ABA E v u
BAD u V v V
V V
АDС u v
EAF v V u V
V V
AFG v u
  
    
            
  
       
    
           
  
      



  .
(1.40)
В декартовой системе координат x,y согласно (1.40) и (1.20) имеем
   
   
: 0, 0;
1 1
2 2
1 1
: cos sin , 1 sin cos .
2 2
x y
x y
x y
ABA E V V
АDС V V
AFG V V
  
        
       


При построении решения предполагается, что угловая точка V-образного
выреза (точка А) образуется в результате пересечения свободных поверхно-
стей AC и AG. Компоненты скорости движения угловой точки А постоянны в
процессе деформирования и соответственно равны
1
ctg , 0.
2 2sin
A A
x yV V

   

(1.41)
Из условия симметричности пластического течения относительно осей x,y
следует, что в области ABA E 0, 0x yV V  , т.е. материал остается в покое.
Согласно (1.41) угловая точка выреза при любом значении  внедряется в
материал (рис. 1.11), что не возможно без разрушения материала. Таким об-
разом, данное решение существует как решение рассматриваемой задачи
только в начальный момент времени 0t  . Решение задачи о растяжении по-

31
лосы с V-образными вырезами как обоб-
щение решения Прандтля для задачи о
штампе при 0t  без нарушения сплош-
ности среды невозможно.
1.5.3 Решение О. Ричмонда
Еще одно решение задачи о растяже-
нии полосы с V-образными вырезами бы-
ло предложено О. Ричмондом (рис. 1.12),
[48]. Это решение является частным слу-
чаем решения Г.И. Быковцева [5] задачи о
внедрении гладкого плоского штампа с
жесткопластическое полупространство. В
процессе растяжения полосы предполага-
ется вращение свободной поверхности, которое происходит в результате од-
нородности поля скоростей в области ABA E . Вращение свободных поверх-
ностей AC и AG происходит при линейном распределении полей скоростей в
пластической области.
Распределения нормальных составляющих скоростей в криволинейной
системе координат на линии AB и на линии АЕ имеют вид:
0
,
V
Рис. 1.11 – График сравнения
скоростей
Рис. 1.12 – Решение
О. Ричмонда

32
 
 
 
 
 
 
1
,
2
1
.
2
l
l
l t
v t V
x t
l t
u t V
x t




 
   
  
 
  
  
AB
A
AE
A
(1.42)
Здесь ,l l   локальные координаты ,  -линий (линии AB и АЕ): в точке А
0  A A
l l , в точках В и Е      2 At t x t  B E
l l . Граничные условия для
скоростей на линиях разрыва поля скоростей перемещений:
       
       
3
: sin , , ;
4 4
: sin , , .
4 4
BDC u t V t t t
EFG v t V t t t
  
       
 
  
       
 
(1.43)
Поле скоростей в пластической области определяется в результате реше-
ния уравнений Гейрингер (1.19) при граничных условиях (1.42) и (1.43):
 на линиях
 
 
 
 
 
 
 
 
 
   
     
 
 
 
   
   
1
: , ;
2 2
1
: , ;
2 2
2 sin cos 2 ,
2
:
cos sin ;
2
2 sin cos 2 ,
2
:
cos si
2
l
l
l t V
AB v t V u
x t
l t V
AE u t V v
x t
l tV
v t t t
x t
AD
V
u t t t
l tV
u t t t
x t
AF
V
v t t
 
 








 
     
  
 
   
  
  
        
   

      

 
      
  
  
l
A
l
A
l
A
l
l
A
l  n ;t






   


(1.44)

33
 в областях
 
 
 
   
     
 
 
 
   
     
sin cos 2 ,
2
:
cos sin ;
2
sin cos 2 ,
2
:
cos sin ;
2
: , 0; , 0;
AC
AG
AC
AG
A A A A
x y x y
l tV
v t t t
x t
ADC
V
u t t t
l tV
u t t t
x t
AFG
V
v t t t
ABA E V V V V V V
V
 
  
        
   



       


  
       
   



      


     


AC
AG
l
A
l
l
A
l
0, ; 0, .B B E E
x y x yV V V V V    
(1.45)
где 2ACl l и 2l lAG  локальные координаты на линиях АС и AG,
соответственно.
Скорость движения угловой точки V-образного выреза согласно (1.44) и
(1.45) определяется аналогично (1.38). При этом горизонтальная составляю-
щая скорости движения угловой точки равна
   
ctg
2
Adx t t
dt

  . (1.46)
Изменение угла V-образного выреза при растяжении определяется соот-
ношением
 
 
 A2
d t V
t
dt x t

    . (1.47)
Уравнения (1.46) и (1.47) дают систему дифференциальных уравнений
функций  Ax t и  t , позволяющих описать схему пластического течения,
предложенную Ричмондом.
Из (1.38) и (1.46) видно, что скорости движения вершины V-образного
выреза (точка А) в решении Е. Ли и О. Ричмонда совпадают (см. рис. 1.9). Т.е.
угловая точка выреза при любом значении  t внедряется в материал и ре-
шение О. Ричмонда [48] также описывает пластическое течение при растяже-
нии полосы с разрушением в любой момент времени.

34
1.5.4 Решение с несимметричным пластическим течением
Предполагается, что в пластическом состоянии находится только область
A1G1F1EFGA , [24]. Области C1A1EAC (I) и H1G1F1EFGH (II) – жесткие облас-
ти, движущиеся вдоль оси y со скоростью V вниз и вверх соответственно.
Предполагается, что пластическая область состоит из двух прямоугольных
треугольников AFG и A1F1G1, перемещающихся поступательно как жесткое
целое вдоль FG и F1G1 соответственно, соединенных с жесткой областью
А1ЕА центрированными веерами поля линий скольжения EAF и EA1F1 (рис.
1.13). Линии АЕ и EFG являются линиями разрыва скоростей перемещений.
Граничные условия для скоростей на них:
: ;
2
: cos , , .
4 4
V
AE u
EFG v V
 
  
      
 
(1.48)
Поле скоростей в пластической области при граничных условиях (1.48)
определяется в виде:
Рис. 1.13 – Несимметричное пластическое течение
u
v
x
y
1A A
G1G
C1C
H1H



жесткая
область
жесткая
область
V
V
E
1F F
O

35
   
 
1
: cos sin , sin cos 2 ;
2 2
: cos , sin 2 , , ;
4 4
: , .
2 2
V V
AFG v u
EAF v V u V
V V
A EA v u
     
  
         
 
  


В декартовых координатах распределение скоростей на линии AG имеет
вид:
   cos sin , 1 sin cos .x yV V V V        (1.49)
В предыдущих решениях ввиду их симметричности предполагалось, что
положение угловой точки V-образного выреза определяется пересечением
линий AG и AC. При рассматриваемом на рис. 1.13 поле линий скольжения
положение точки А не определяется однозначно, т.к. в ней происходит обра-
зование новой поверхности, зависящее от движения точки А. В работе [24]
направление движения точки А выбирается из условия: предпочтительным
является решение, для которого наибольшее значение первого главного зна-
чения тензора Альманси 1E в пластической области минимально:
 1inf sup ,E
 
  , (1.50)
где  1 ,Е   – функция, характе-
ризующая распределение дефор-
маций в окрестности особенностей
поля линий скольжения (по аргу-
менту  ) при различных измене-
ниях пластической области в про-
цессе деформирования;  – угол,
характеризующий положение час-
тицы среды внутри центрирован-
ного веера в пластической области,
 – угол, характеризующий на-
правление движения центра веера
линий скольжения (точка А), рис.
1.14. Распределение деформаций
определяется из решения системы
дифференциальных уравнений
(1.34). Задача определения поло-
жения вновь образующейся сво-
бодной поверхности в процессе
Рис. 1.14 – Возможные направления
движения вершины выреза в пластиче-
ской области

636.деформационно энергетический подход предельные состояния и разрушение конструкционных материалов [электронный ресурс]

636.деформационно энергетический подход предельные состояния и разрушение конструкционных материалов [электронный ресурс]

Recommended

Recommended

More Related Content

Similar to 636.деформационно энергетический подход предельные состояния и разрушение конструкционных материалов [электронный ресурс]

Similar to 636.деформационно энергетический подход предельные состояния и разрушение конструкционных материалов [электронный ресурс] (14)

More from efwd2ws2qws2qsdw

More from efwd2ws2qws2qsdw (20)

636.деформационно энергетический подход предельные состояния и разрушение конструкционных материалов [электронный ресурс]