744.введение в цифровую обработку сигналов и изображений математические модели изображений

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ
УНИВЕРСИТЕТ имени академика С.П. КОРОЛЕВА»
ВВЕДЕНИЕ В ЦИФРОВУЮ ОБРАБОТКУ
СИГНАЛОВ И ИЗОБРАЖЕНИЙ:
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
ИЗОБРАЖЕНИЙ
Утверждено Редакционно-издательским советом университета
в качестве учебного пособия
С А М А Р А
Издательство СГАУ
2006
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

УДК 004.932, 519.7
ББК 22.343
В241
Инновационная образовательная программа
"Развитие центра компетенции и подготовка
специалистов мирового уровня в области аэро-
космических и геоинформационных технологий”
ПРИ
О
РИТЕТНЫЕ
Н
А
Ц И О Н А Л Ь Н Ы
Е
ПРОЕКТЫ
Авторы: В.А. Сойфер, В.В. Сергеев, С.Б. Попов,
В.В. Мясников, А.В. Чернов
Рецензенты: д-p физ.-мат. наук, проф. А. И. Ж д а н о в,
д-p техн. наук, проф. В. Г. К а р т а ш е в с к и й
В241 Введение в цифровую обработку сигналов и изображений:
математические модели изображений: учеб. пособие / [В.А. Сойфер и
др.]. – Самара: Изд-во Самар. гос. аэрокосм. ун-та, 2006. – 180 с. : ил.
ISBN 5-7883-04-91-1
В учебном пособии даются основы цифровой обработки сигналов и
изображений, в частности, рассматриваются основные математические мо-
дели, позволяющие описывать изображения, процессы их формирования и
преобразования, представление этих моделей в виде линейных систем.
Представлены различные подходы к описанию дискретных сигналов и сис-
тем. Рассмотрены вопросы спектрального анализа дискретных сигналов –
одной из основных задач цифровой обработки сигналов и изображений.
Приведены вероятностные модели изображений.
Предназначено для подготовки студентов по направлениям (специаль-
ностям) «Прикладная математика и информатика» 010500, 010501, «При-
кладные математика и физика» 010600, «Биотехнические и медицинские ап-
параты и системы» 200401.
УДК 004.932, 519.7
ББК 22.343
ISBN 5-7883-04-91-1 © В.А. Сойфер, В.В. Сергеев, С.Б. Попов,
В.В. Мясников, А.В. Чернов, 2006
© Самарский государственный
аэрокосмический университет, 2006
2

3
ОГЛАВЛЕНИЕ
1. Модели непрерывных изображений........................................................... 5
1.1. Функция яркости ............................................................................... 5
1.2. Оптический сигнал ............................................................................ 7
1.3. Двумерные линейные системы......................................................... 10
2. Спектры сигналов. Преобразование Фурье. Линейные системы............... 16
2.1. Спектр периодического сигнала....................................................... 16
2.2. Спектр непериодического сигнала ................................................... 19
2.3. Спектры импульсов ......................................................................... 23
2.4. Спектры обобщенных функций........................................................ 30
2.5. Двумерное преобразование Фурье ................................................... 33
2.6. Оптические линейные системы в частотной области........................ 36
3. Представление изображений в компьютере ............................................. 37
3.1. Средства ввода изображения............................................................ 37
3.2. Дискретизация изображений............................................................ 38
4. Последовательности и линейные системы с постоянными параметрами....... 41
4.1. Последовательности ........................................................................ 41
4.2. Дискретные ЛПП-системы............................................................... 44
4.3. Физическая реализуемость и устойчивость ЛПП-систем.................. 47
4.4. Разностные уравнения...................................................................... 49
4.5. Двумерные последовательности....................................................... 52
4.6. Двумерные дискретные ЛПП-системы............................................. 56
4.7. Физическая реализуемость двумерных систем................................. 59
4.8. Двумерные разностные уравнения ................................................... 63
5. Описание дискретных сигналов и систем в частотной области ............... 67
5.1. Частотная характеристика ЛПП-систем и спектры дискретных
сигналов............................................................................................ 67
5.2. Основные свойства спектров последовательности ........................... 70
5.3. Соотношение между спектрами непрерывных и дискретных
сигналов............................................................................................ 76
5.4. Описание двумерных дискретных сигналов и систем в частотной
области ............................................................................................. 80

4
6. Описание дискретных сигналов и систем с помощью
z-преобразования.................................................................................... 86
6.1. Прямое z-преобразование................................................................. 86
6.2. Основные свойства z-преобразования .............................................. 94
6.3. Обратное z-преобразование.............................................................. 98
6.4. Анализ и синтез ЛПП-систем с использованием z-преобразования105
6.5. Двумерное z-преобразование ......................................................... 113
6.6. Основные свойства двумерного z-преобразования ......................... 123
6.7. Анализ и синтез двумерных ЛПП-систем с использованием
z-преобразования ............................................................................ 126
7. Спектральный анализ дискретных сигналов........................................... 133
7.1. Дискретное преобразование Фурье ................................................ 133
7.2. Связь ДПФ с z-преобразованием и непрерывным спектром
последовательности ........................................................................ 137
7.3. Использование ДПФ для вычисления отсчетов непрерывного
спектра............................................................................................ 139
7.4. Использование ДПФ для вычисления последовательности
по ее спектру................................................................................... 140
7.5. Основные свойства ДПФ ............................................................... 143
7.6. Вычисление линейной свертки при помощи ДПФ.......................... 146
7.7. Быстрое преобразование Фурье ..................................................... 148
8. Вероятностные модели изображений..................................................... 157
8.1. Случайные процессы ..................................................................... 157
8.2. Случайные последовательности и их характеристики .................... 164
8.3. Преобразование случайных последовательностей
в ЛПП-системах .............................................................................. 168
8.4. Факторизация энергетического спектра ......................................... 170
Литература ................................................................................................ 178

1. МОДЕЛИ НЕПРЕРЫВНЫХ ИЗОБРАЖЕНИЙ
1.1. Функция яркости
Необходимость построения математической модели возникает
сразу же при необходимости использовать компьютер для обработки
изображений. Оценивая «на глаз» расстояние между двумя предмета-
ми, мы не задумываемся о том, как это делается. Поручив эти задачи
компьютеру, мы обязаны научить его выполнять подобные действия,
то есть заложить в него соответствующие данные и алгоритмы. Хо-
рошо известно, что компьютер в качестве данных имеет дело с масси-
вами чисел. Таким образом, первой задачей компьютерной обработки
изображений является перевод изображений в числовую форму. Это
требует конкретизации самого понятия «изображение».
5
1
Рассмотрим объект, освещенный источником света, как показано
на рис.1. На некотором расстоянии от объекта распределение энергии
источника светового излучения, отраженного объектом, по простран-
ственным координатам x , 2x и по длинам волн λ описывается функ-
цией . Эта величина является неотрицательной. Ее макси-
мальное значение в изображающих системах ограничено предельной
величиной светочувствительности регистрирующих сред.
(C x )1 2, ,x λ
( )1 2 max0 , ,C x x C≤ λ ≤
max
1 2 2 2,L L x L≤ − ≤ ≤
, (1)
где C - максимальная яркость изображения.
Геометрические размеры ограничены характеристиками форми-
рующей системы и размерами фоторегистрирующей среды. Будем пола-
гать, что все изображения отличны от нуля в прямоугольной области:
. (2)1 1L x− ≤
Человеческое зрение и видеодатчики обладают спектральной чув-
ствительностью, описываемой функцией ( )s λ . Как известно, челове-
ческий глаз обладает чувствительностью к свету в диапазоне волн от
мкм до мкм. При этом функция спектральнойmin 0,35λ = ma 8x 0,7λ =

чувствительности достигает своего максимума приблизительно в се-
редине этого диапазона и спадает к его краям.
Каждый видеодатчик обладает индивидуальной характеристикой
спектральной чувствительности, обусловленной физикой прибора.
Имеются видеодатчики ультрафиолетового и инфракрасного диапазо-
нов, которые широко используются, например, при проведении спек-
трозональных съемок Земли из космоса.
Рис.1. Формирование изображения объекта,
освещенного источником света
Как в случае наблюдения объекта человеком, так и в случае ис-
пользования видеодатчика, наблюдаемое изображение является ре-
зультатом усреднения функции ( )1 2, ,C x x λ по диапазону длин волн с
весовой функцией ( )s λ и описывается выражением
( )
max
min
1 2f x x
λ
λ
( ) ( )1 2, , , dC x x s= λ λ λ
(
∫ . (3)
)fФункцию 1 2,x x в дальнейшем будем называть изображением. Та-
ким образом изображение - это ограниченная функция двух простран-
ственных переменных, заданная на ограниченной прямоугольной об-
ласти.
6

1.2. Оптический сигнал
В целом ряде ситуаций необходимо рассматривать не только ин-
тенсивность, но и фазу световой волны. Положим для простоты, что
свет линейно поляризован. Электрическое поле в момент времени t в
точке с координатами ( )1 2 3, ,x x x=x , возбуждаемое монохроматиче-
ским источником света, может быть записано в комплексном виде
( ) ( ), i t
7
E t U e− ω
=x x , (4)
где
2 cπ
ω =
λ
- частота источника света, c – скорость света,
( ) ( ) ( )i
U A e ϕ
= x
x x (5)
( )ϕ x .( )A x и фазуоптический сигнал, имеющий амплитуду
Выражение (4), в котором пространственная и временная перемен-
ные разделены, может быть использовано и для квазимонохроматиче-
ского источника света, ширина полосы частот Δω которого сущест-
венно меньше средней частоты излучаемого света:
1Δω . (6)<<
ω
Фотодетектор регистрирует среднюю интенсивность света на доста-
точно большом интервале времени ( ),T T− , существенно превышаю-
щем период 2π ωT >> :
( ) ( )
21
, d
2
T
T
f E t t
T −
= ∫x x
( )1 2,
. (7)
В двумерном случае фотодетектор регистрирует изображение
f x x .
Отметим, что голографическая запись позволяет регистрировать
как амплитуду, так и фазу оптического сигнала через его квадратур-
ные компоненты – синусную и косинусную составляющие, каждая из
которых может быть представлена как изображение.
Рассмотрим примеры оптических сигналов.

Пример 1. Сферическая волна описывается выражением
( )
2
2
1 i
U e
π
λ
=
x
x
x
,
2 2 2 2
1 2 3x
8
x x= + +x . (8)
Поверхность постоянной фазы – сфера.
Пример 2. Плоская монохроматическая волна, распространяющаяся
вдоль оси 3x , имеет вид
( )
3
1 2 3, , ,
x
i t
c
x x t e
⎛ ⎞− ω −⎜ ⎟
⎝ ⎠
E x . (9)
Поверхность постоянной фазы – плоскость.
Отметим, что сферическая линза преобразует сферическую волну
в плоскую и наоборот, как изображено на рис.2.
Рис.2. Преобразование сферической волны в плоскую
Интерферограмма
Явление интерференции заключается в усилении или ослаблении
поля двух световых волн в зависимости от разности их фаз. Зарегист-
рированное изображение интерференционной картинки называется
интерферограммой. Интерференционные методы исследования часто
применяются в физике и технике.
Рассмотрим интерферометр Ллойда, изображенный на рис.3.

Рис.3. Интерферометр Ллойда
На некотором расстоянии от зеркала находится источник моно-
хроматического света S, в зеркале появляется мнимый источник света
. Рассмотрим интерференцию волн от этих двух источников в точ-
ке x, учитывая что оптический сигнал, идущий от мнимого источника
, отличается только запаздыванием на время τ, запишем
S′
S′
( ) ( ) ( )U t U tE t + − τ . (10)=
Приемник света в точке x регистрирует интенсивность
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 21 1
d
d d .
T T
T T
T
T T
t U t t
T T
U t U t t
− −
− −
+
+ − τ
∫ ∫
∫ ∫
2
2 2
1 1
2
T
I E
U t t
T T
τ = =
+ − τ
(11)
Вводя в рассмотрение автокорреляционную функцию оптического
сигнала
9
( ) ( ) ( )d
T
T
1
lim
2T
R U t U t t
−
− τ∫
T → ∞
T→∞
τ = , (12)
из (11) при получим
( ) ( ) ( )2 0 2I R Rτ = + τ . (13)
Отметим, что использовать понятие “автокорреляция” для детер-
минированного оптического сигнала не вполне корректно, так как оно
изначально введено для случайных сигналов, однако этот термин уко-
ренился и широко используется в оптике и смежных науках.
Пример 3. Рассмотрим точечный монохроматический источник.
( ) cosU t A tω . (14)=

Автокорреляционная функция вычисляется в виде
( ) ( )
2
d cos
2 2
A
t t− τ ⎤ = ωτ⎣ ⎦ ω
( )
21
lim cos cos
T
T
T
R A t
T→∞
−
τ = ω ⎡ω∫ , (15)
и интерференционная картина описывается выражением
10
( )
2
1 cos
2
A
I τ = + ωτ
ω
. (16)
График функции (16) приведен на рис.4.
Рис.4. Интерференционная картина
для монохроматического источника
В двумерном случае интерференционная картина будет представ-
лять собой чередование темных и светлых полос с плавным перехо-
дом от темного к светлому. Замерив расстояние между максимумами,
можно определить частоту излучения ω .
1.3. Двумерные линейные системы
Из курса физики хорошо известно понятие оптической системы,
осуществляющей преобразование изображений по правилам, опреде-
ляемым совокупностью используемых в ней оптических элементов и
их взаимосвязью.
С математической точки зрения под системой будем понимать
правило L, ставящее в соответствие входной функции f выходную
функцию g. Различают одномерные (1-D) и двумерные (2-D) системы.
Одномерные системы преобразуют функции одной переменной

( ) ( )g x f x
11
= ⎡ ⎤⎣ ⎦L . (17)
Соответственно двумерные системы преобразуют функции двух пе-
ременных
( ) ( )1 2 1 2, ,g x x f x x= ⎡ ⎤⎣ ⎦L . (18)
Оптические системы по сути своей являются двумерными, но в
некоторых случаях могут рассматриваться как одномерные.
Особое место среди всевозможных систем занимают линейные
системы. Система называется линейной, если для нее справедлив
принцип суперпозиции (наложения), который заключается в том, что
отклик системы на взвешенную сумму двух входных воздействий ра-
вен взвешенной сумме откликов на каждое из воздействий, то есть
( ) ( )
( )
2 2 1 2
2 2 1 2
, ,
, , .
a f x x
a f x x( )
1 1 1 2
1 1 1 2
a f x x
a f x x
⎡ + ⎤ =⎣ ⎦
⎤ + ⎡ ⎤= ⎡⎣ ⎦ ⎣ ⎦L L
( )1 2
1 1
, ,
K K
k k
k k
a f x x
= =
L
(19)
Принцип суперпозиции можно выразить в более общем виде, рас-
сматривая произвольное число K входных воздействий.
( )1 2k ka f x x
⎡ ⎤
= ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎣ ⎦L
1 2, 0 и 0,
в других случаях.
x x
⎣ ⎦
∑ ∑L . (20)
В изучении оптических систем фундаментальную роль играет по-
нятие точечного источника света. Точечный источник обладает бес-
конечно большой плотностью вероятностей яркости в бесконечно ма-
лой пространственной области – в точке:
( )1 2,
0,
x x
∞ = =⎧
δ = ⎨
⎩
(21)
Такое представление исключительно полезно и допускает ясную
физическую трактовку: дельта-функция может быть определена как
предел обычной функции, например
( ) ( ){ }2 2 2 2
1 2exp x x1 2, limx x ⎡ ⎤−α π +δ = α ⎣ ⎦α→∞
. (22)
Согласно выражению (22) дельта-функция может рассматриваться
как бесконечно узкая колоколообразная функция, одномерный вари-
ант которой приведен на рис.5.

Рис.5. Физическая трактовка дельта-функции Дирака
Можно также ввести дельта-функцию, расположенную не в начале
координат, а в произвольной точке с координатами ( )1 2,ξ ξ
1 1 2 2и ,
ругих случаях.
x x
по формуле
( )1 1 2 2
,
,
0, в д
x x
∞ = ξ = ξ⎧
δ − ξ − ξ = ⎨
⎩
(23)
Дельта-функция обладает следующими важными свойствами:
Свойство нормировки
( )1 2 1 2, d d 1x x x x
∞ ∞
−∞ −∞
δ =∫ ∫ . (24)
Физически это означает, что, хотя плотность вероятностей яркости
точечного источника бесконечна, энергия его ограничена и равна еди-
нице.
Фильтрующее свойство
( ) (1 2 1 1 2 2, ,f x x x x
∞ ∞
−∞ −∞
) 1 2 1 2d d ( , )x x fδ − ξ − ξ∫ ∫ = ξ ξ , (25)
( )1 2,fгде ξ ξ - произвольная функция двух переменных. Доказатель-
ство приведенных свойств выполняются с помощью подстановки в
(24) и (25) выражения (22) и раскрытия предела.
Рассмотрим 2-D линейную систему, на вход которой подан сигнал
в виде дельта-функции. Реакция системы на дельта-функцию будет
12

разной для различных систем. Она называется импульсным откликом
и служит характеристикой 2-D системы. Систему называют про-
странственно-инвариантной, если ее импульсный отклик зависит от
разности координат входной ( )1 2,x x и выходной ( )1 2,ξ ξ плоскостей.
Для оптической системы, показанной на рис.6, это означает, что при
перемещении точечного источника во входной (предметной) области
изображение этого предмета в плоскости наблюдения будет также из-
менять положение, но сохранять форму.
Рис.6. Оптическая пространственно-инвариантная система
Для пространственно-инвариантных систем импульсный отклик
описывается функцией
( ) ( )1 1h x 2 2 1 2, ,x h− ξ − ξ ≡ ζ ζ , (26)
13
где 1 1 1 2 2 2,x x− ζξ = ζ − ξ =
( ) ( )1 2 1 2, ,x x xh x ≡ ⎡δ ⎤⎣ ⎦L
(
. (27)
Используя функцию импульсного отклика, можно записать урав-
нение, связывающее изображения на входе и выходе 2-D линейной
оптической системы. Для этого представим входной сигнал )f 1 2,x x
(
в виде (25) и подадим его на вход 2-D системы с характеристикой
)1 2,h ζ ζ . Выходной сигнал запишем в виде

( ) ( )
)
1 2
1 2 2 1 2
, ,
, , d d .
x x
x
⎤ =⎣ ⎦
⎧ ⎫⎪ ⎪
( ) (
1 2
1 2 1
g x x f
f x
∞ ∞
−∞ −∞
= ⎡
= ζ ζ δ − ζ − ζ ζ ζ⎨ ⎬
⎪ ⎪⎩ ⎭
){ }1 2 2 1 2, d dg x x f x x
∞ ∞
−∞ −∞
=
∫ ∫
L
L
(28)
Поскольку операция L линейна и операция интегрирования в фи-
гурных скобках (28) также линейна, их можно поменять местами и
записать
.( ) ( ) (1 2 1 2 1, ,ζ ζ δ − ζ − ζ ζ ζ∫ ∫ L
Учитывая, что по определению
( ){ } ( )1 1 2 2x xδ − 1 1 2 2, , ,h x xζ − ζ ≡ − ζ − ζL
окончательно получим выражение, устанавливающее связь между
изображениями во входной и выходной плоскостях линейной системы
( ) ( ) (1 2 1 2 1, , )1 2 2 1 2,g x x f h x
∞ ∞
−∞ −∞
= x d dζ ζ − ζ − ζ ζ ζ∫ ∫ . (29)
Уравнение (29) называется интегралом свертки. Из этого уравне-
ния следует, что, зная импульсный отклик оптической системы
, можно рассчитать выходное изображение по входному.( )1 2,h x x
(
Процесс свертки иллюстрирует рис.7. На рис.7а и 7б изображены
функция )f 1 2,x x
1 2,
на входе и импульсный отклик. На рис. 7в показан
импульсный отклик при обращении координат, а на рис.7г - со сдви-
гом на величину x x
( )
. На рис.7д заштрихована область, в которой
произведение ( )1 1 2 2, ,f h x x1 2ζ ζ − ζ − ζ , входящее в подынтегральное
выражение (29), не равно нулю. Интегрирование по этой области дает
величину ( )1 2,g x x 1 2,для заданных значений координат x x . Таким
образом, функция ( )1 2,g x x на выходе может быть найдена сканиро-
ванием входной функции скользящим “окном” - обращенным им-
пульсным откликом, и интегрированием по области, в которой эти
функции перекрываются.
14

Рис.7. Пример двумерной свертки
15

2. СПЕКТРЫ СИГНАЛОВ. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ.
ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
2.1. Спектр периодического сигнала
Периодический сигнал – это полезная математическая модель, по-
зволяющая описывать некоторые существующие в природе процессы
и их преобразования.
Периодический сигнал – это сигнал, определяемый выражением
( ) ( )f x f x lL= + , (30)
где L – период;
l – любое целое число, принимающее положительные и отрица-
тельные значения.
Как и всякая периодическая функция, он может быть разложен в
ряд Фурье по тригонометрическим функциям
( ) 0
1k
f x c
∞
=
cos 2k k
x
c k
L
⎛ ⎞
= + π − ϕ⎜ ⎟
⎝ ⎠
∑ . (31)
При этом периодический сигнал представляется суммой синусои-
дальных колебаний, частоты которых кратны основной частоте 1
L
.
Колебание с частотой 1
L
называется первой гармоникой (k=1), с час-
тотой 2
L
- второй гармоникой (k=2) и т.д.
Выражение (31) часто записывают в форме
( ) 0
1
cosk
k
2 2
sink
k k
f x c a
∞
=
= + ∑ x b x
L L
π π⎛ ⎞
+⎜ ⎟
⎝ ⎠
a c= ϕ sink k kb c
, (32)
где
ϕ 1k ≥, ,;cosk k k =
так что
2 2
kb+k kc a= ;
16
arctg k
k
k
b
a
ϕ = 1k ≥
ka kb
, .
Коэффициенты и вычисляют по формулам

( )
2
2
L
k
L
a f
−
= ∫
2 2
cos d
k
x x x
L L
π⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
,
( )
17
2
2
2 2
sin d
L
k
L
k
b f x x x
L L−
π⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
∫ 1k ≥
0c
, . (33)
При этом постоянную составляющую определяют по формуле
( )
2
0
2
1
d
L
L
c f x x
L −
= ∫
( )
. (34)
Ряд Фурье может быть также записан в комплексной форме:
2 k
i x
L
k
k
f x d e
π∞
=−∞
= ∑ , (35)
где
0 0
2 ,
2 ; .
ki
k k k k
k k
d c e a ib
c d c d
− ϕ
= = −
= =
kd
(36)
Величина называется комплексной амплитудой и может быть
вычислена по формуле
( )
22
2
1
d
L
k
i x
L
k
L
d f x e x
L
π
−
−
= ∫ . (37)
( )fКак видим из формул (35), (36), функция x
kc k
полностью опре-
деляется совокупностью величин и ϕ . Совокупность величин
называется спектром амплитуд. Совокупность величин
kc
kϕ называет-
ся спектром фаз. Вообще говоря, спектром называют совокупность
всех значений какой-либо величины, характеризующей систему или
процесс. В физике изучают оптические спектры-разложения света по
длинам волн, акустические спектры – характеристики звука, выра-
жающие его частотный состав, и т.д. В теории сигналов изучаются
спектры сигналов и систем вне зависимости от их физической приро-
ды. Заметим, что из общего определения спектра не следует, что в ка-

честве спектральных компонент обязательно должны быть коэффици-
енты функции по тригонометрическому базису.
Введение ряда Фурье позволяет описывать периодические сигналы
по всей оси x− ∞ ≤ ≤ ∞ . Они же широко применяются для описания
сигналов, заданных на ограниченных временных или пространствен-
ных интервалах (финитных во времени или пространстве).
( )f x отличен от нуля на отрезкеНапример, пусть сигнал
2 2
L
x− ≤ ≤
L
, а вне этого отрезка равен нулю. Используем прием пе-
риодического продолжения и рассмотрим сигнал ( )fL x , заданный на
всей оси (рис. 8). Сигнал ( )Lf x является периодическим и может
быть разложен на ряд Фурье в любой из введенных выше форм запи-
си. В то же время на отрезке ,
2 2
L L ( )L
⎡ ⎤− f
⎦
сигнал
⎣
x совпадает с
сигналом ( )f x , поэтому из формулы (35) получим
( )
2
k
k
f x d e
∞
=−∞
= ∑
k
i x
L
π
,
18
2 2
L L
x , (38)− ≤ ≤
где
( )
22
2
1
d
L
k
i
L
L
d f x e x
L
π
−
−
∫k = . (39)
Рис. 8. Периодическое продолжение сигнала

Подчеркнем, что формулы (38) и (39) дают спектральное пред-
ставление финитного сигнала на ограниченном отрезке времени. Для
решения целого ряда задач такое представление является достаточ-
ным, однако не следует забывать, что оно является в значительной
мере формальным и не позволяет описывать сигнал ( )f x
kd
полностью
(на всей оси времени). Для полного описания непериодической функ-
ции следует использовать интеграл Фурье.
2.2. Спектр непериодического сигнала
Будем рассматривать непериодическую функцию как предельный
случай периодической при неограниченно возрастающем периоде.
Возьмем формулу (35) и, подставив в нее значение из выраже-
ния (37), получим
19
( ) ( )
2 22
2
d
L
k k
i x i x
L L
L
1
k
f x e
L
∞
=−∞
= ∑ f x e x
π π
−
−
∫
→ ∞
.
Перейдем к пределу при . ВместоL 1
L
ϖ
введем основную
круговую частоту . Эта величина есть частотный интервал между
соседними гармониками, частота которых равна 2
k
L
π . При предель-
ном переходе сделаем замену по следующей схеме:
, , 2
k
L d
L
→ ω π → ω
ω d
→ ∞ ϖ ,
где - текущая частота, изменяющаяся непрерывно, ω - ее прира-
щение. Сумма перейдет в интеграл и мы получим
( ) ( ) d di t
f t e t
∞ ∞
ω − ω
−∞
1
2
i x
f x e
−∞
⎡ ⎤
= ω⎢ ⎥
π ⎣ ⎦
∫ ∫ (40)
или

20
( ) ( )
1
d
2
i x
F e
∞
ω
−∞
f x = ω ω
π ∫
( ) ( ) di t
, (41)
где
f t e t
∞
− ω
−∞
ω = ∫
( )xf
. (42)F
Формулы (41) и (42) являются основными в теории спектров сиг-
налов. Они представляют собой пару преобразований Фурье, связы-
вающих между собой вещественную функцию времени и ком-
плексную функцию частоты ( )F ω . Для обозначения этой связи бу-
дем использовать в дальнейшем символическую запись:
( ) ( ), ( ) ( )
-1
f x F⎯⎯→ ωF F f xω ⎯⎯⎯→F .
( )fПри этом функция x описывается суммой бесконечно большо-
го числа бесконечно малых колебаний бесконечно близких частот.
Комплексная амплитуда каждого такого колебания составляет вели-
чину
( )
1
dc F d= ω ω . (43)
π
Частотный интервал между двумя соседними колебаниями беско-
нечно мал и равен . Величинаdω
( )
dc
F
d
ω = π (44)
ω
выражает не непосредственно спектр, а так называемую спектраль-
ную плотность, то есть распределение сигнала по спектру. Однако
эту деталь обычно опускают и называют ( )F ω комплексным спек-
тром непериодического сигнала, а абсолютное значение (модуль) этой
величины называют просто спектром.
Рассмотрим некоторые свойства спектров, основанные на свойст-
вах преобразования Фурье.

( ) ( )2F ( )Линейность. Если 1F
21
ω и ω - спектры функций 1f x
(
и
)2f x 1α 2α, а , - произвольные комплексные числа, то спектр
функции ( ) ( ) ( )2 21 1x f= α x f x+ α равен ( ) ( ) ( )1 1 2 2F F Fωf = α ω + α ω
( ) ( )
( )
2
2 2 .
x F
F F
или в символической записи
( ) ( )
( )
1 1 2
1 1
f x f x f= α + α
= α ω +
⎯⎯→ ω =
α ω
F
(45)
Смысл соотношения (45) кратко выражается так: спектр суммы
равен сумме спектров.
Изменение масштаба. Если α - действительное число, то
( )
1
f x F
ω⎛ ⎞
α ⎯⎯→ ⎜ ⎟
α α⎝ ⎠
F . (46)
Особый интерес представляет случай при 1α = −
( ) ( )f x F
, тогда
⎯⎯→ −ωF . (47)−
( )Свойство запаздывания. Если функцию f x сдвинуть на вели-
чину ( )f xζ , то спектр функции − ζ окажется
( ) ( )i
f x e f x− ωζ
⎡ − ζ ⎤= ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦FF . (48)
Таким образом, при сдвиге функции ( )f x на величину ζ , ее Фу-
рье-образ умножается на i
e− ωζ
, при этом изменяется только фаза, а
модуль остается без изменения.
Перенос спектра. Если ϖ - действительное число, то
( ) ( ) j x
F f x e ϖ
ω − ϖ = ⎡ ⎤⎣ ⎦F , (49)
то есть перенос спектра по частоте на ϖ приводит к появлению до-
полнительного множителя i x
e ϖ
перед функцией исходного сигнала.
Спектр производной. Выполняя дифференцирование обеих сторон
соотношения (41) s раз по x, получим

( )
( ) ( )1 s
i F−
s
s
d f x
dx
⎡ ⎤
22
= ω ω
⎣ ⎦
F , (50)
то есть дифференцирование функции соответствует умножению ее
спектра на (iω). При этом, конечно, полагается, что производная в ле-
вой части (41) существует.
Все перечисленные свойства элементарно доказываются из соот-
ношений (41) и (42).
( )x (и )Теорема о свертке. Сверткой двух функций 1f f2 x будем
называть функцию ( )f x
( ) ( )1 2 df f x
, определяемую соотношением
( )f x
∞
−∞
= ζ − ζ ζ∫ . (51)
Вычислим спектр этой функции:
( )
( )
( )
i x
F e
f e
f e
∞ ∞
− ω
−∞ −∞
∞ ∞
− ω
−∞ −∞
∞ ∞
− ωζ
−∞
ω = ( ) ( )
( )
( )
1 2
1 2
1 2
d d
d d
d d .
i x
i j
x f f x
f x
e f− ωξ
−∞
ζ − ζ ζ =
− ζ ζ =
ζ ξ ξ
x
= ζ ζ
= ζ
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
Здесь после перемены порядка интегрирования сделана замена пе-
ременной по формуле ξ = − ζ .
( )f x естьИтак, спектр функции
( ) ( ) ( )1 2F F F= ω ω . (52)ω
Теорема Парсеваля. Рассматривая интеграл от произведения двух
функций ( ) ( )21f x и f x , нетрудно получить соотношение
( ) ( ) ( ) ( )1 2d dF F
−∞
1 2
1
2
f x f x x
∞ ∞
−∞
= ω −ω ω∫π∫ (53)
( ) ( )или, с учетом F Fω = −ω ,

( ) ( )
23
( ) ( )1 2d dF F
∞ ∞
−∞
1 2
1
2
f x f x x
−∞
= ω ω ω∫
1 2
π∫ . (54)
f fДля частного случая = получаем соотношение
( ) ( )
21
d d
2
x F
∞ ∞
−∞
2
f x
−∞
= ω ω
π ∫
( )
∫ , (55)
известное как формула Парсеваля.
2.3. Спектры импульсов
Рассмотрим спектры импульсных сигналов, наиболее часто встре-
чающихся в практике.
Прямоугольный импульс (рис. 9) выражается формулой
1
, ,
2
0, .
x L
x LL
x L
⎧
≤⎪
∏ = ⎨
⎪ >⎩
(56)
Рис. 9. Прямоугольный импульс и его спектр
Фурье-образ этой функции равен:

24
( ) ( )
1 sin
d sinc
L L
x
L L2
L
i x
L
L
F x e− ω
−
ω ω
= =ω = ⎡∏ ⎤ =⎣ ⎦ ω π∫F , (57)
где
xsin
sinc x
x
π
=
π
называется функцией отсчетов.
Если прямоугольный импульс сдвинуть на величину ζ , то, со-
гласно свойству запаздывания, получим
( )
sin
A x e− ωζ
sinci iL L
e
L
− ωζω ω
=⎡∏ − ζ ⎤ =⎣ ⎦ ω π
F . (58)
Графики функции и компоненты ее спектра приведены на рис. 10.
Рис. 10. Сдвинутый прямоугольный импульс и его спектр
Функция отсчетов произвольной частоты ϖ имеет вид
( )
sin
sinc
x xϖ
f x
x
ϖ
= =
ϖ
(
. (59)
π
)Спектр ее вычислим из соотношения взаимности. Если F ω -
Фурье-образ функции ( )f x , то в результате прямого преобразования
Фурье получим

( ) ( )2 fF x ⎯⎯→ π −ωF
( )2 di x
F e
∞
− ω
−∞
. (60)
Это соотношение вытекает из равенства
( )f xπ − = ω ω∫ . (61)
В соответствии с формулами (57) и (60) получим
, ,
0, .
π⎧
ω
( ) sinc 2
x
F ϖ ( )
≤ ϖ⎪
ω = ϖ⎨
⎪
ϖ⎡ ⎤
ω = = π∏⎢ ⎥π⎣ ⎦ ω > ϖ⎩
F
График функции отсчетов и ее спектр изображены на рис. 11. От-
метим, что спектр функции отсчетов вещественен и лежит в ограни-
ченной полосе частот.
Рис. 11. Функция отсчетов и ее спектр
Два прямоугольных импульса разной полярности («меандр») име-
ют аналитическое выражение
( ) ( ) ( )L Lx x L x L+ − ∏ −Ξ = ∏ . (62)
Фурье-образ такой функции вычислим, используя свойства линей-
ности и запаздывания,
25

( )( )
26
2
sin
2i LL L
e i
L L
ω − ωsin i L
F e
ω ω
=
ω ω
ω = − . (63)
Графики меандра и его спектра приведены на рис. 12.
Рис. 12. Два прямоугольных импульса разной полярности и спектр их суммы
Треугольный импульс (рис. 13) можно записать в виде формулы
( )
1
0,
L
1 , 2 ,
2 2
2 .
x
x L
L Lx
x L
⎛ ⎞
− ≤⎜ ⎟
⎝ ⎠
>
⎧
⎪
Λ = ⎨
⎪
⎩
(64)
Легко убедиться, что функция (64) представляет собой интеграл от
функции (62), деленный на 2L, то есть спектр функции (64) связан со
спектром функции (62) соотношением
( ) ( )L L
1
2
x i x
L
⎡Λ ⎤ = ω ⎡Ξ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦F F
)
,
откуда искомый спектр
( )
( ) (
1
2
L
L
x
F x
⎡Ξ ⎤⎣
L i
⎦⎤ =⎣ ⎦ ω
F
ω = ⎡ΛF . (65)
Используя выражение (63), получим

( )
2
sin
2F i 21 1
sinc
2
L L
L i L
ω ω
=ω =
ω ω π
. (66)
Замечаем, что спектр в данном случае – вещественная неотрица-
тельная функция (см. рис. 14).
Рис. 13. Треугольный импульс и его спектр
Рис. 14. Спектр экспоненциального импульса
27

28
0x ≥
( )
, 0,
0, 0.
ax
e x
f x
x
−
⎧ ≥
= ⎨
Экспоненциальный спад описывается функцией, отличной от нуля,
только при :
<⎩
(67)
Спектр функции вычисляется по формуле
( )
0
F e
∞
ω =
1
dax i x
e x
a i
− − ω
=
+ ω∫ (68)
или через амплитуду и фазу
( ) 2 2
1 i arctg
a
F e
a
ω
− ⋅
+ ω
ω = . (69)
График амплитуды и фазы экспоненциального импульса приведен
на рис. 14.
Двусторонний экспоненциальный спад выражается как
( ) a x
f x e
−
= . (70)
Спектр такого сигнала имеет вид
( )
0
ax i
0
2 2
d d
1 1 2
x ax i x
F e e
a i a
− ω
−∞
t e e x
a
i a
∞
− − ω
ω = + =
=
+ ω + ω
∫ ∫
( )
= +
− ω
(71)
и является вещественной функцией.
Функция Гаусса имеет вид
2
2
x
f a
x e
−
=
( )
. (72)
Спектр ее вычисляется с помощью таблиц интегралов и имеет вид
2 2
4
a
F a e
ω
−
ω = π , (73)
то есть также описывается гауссовской функцией, в чем и состоит
двойственность рассматриваемого сигнала. График функции (72) при-
веден на рис. 15а, а график функции (73) на рис. 15б.

Рис. 15. Гауссовский импульс и его спектр
Связь между длительностью импульса и шириной его спектра
Рассмотрим результаты этого параграфа в аспекте длительности
импульса и ширины его спектра. У прямоугольного импульса дли-
тельности L ширина основного лепестка спектра пропорциональна
величине 1
L
. Чем больше крутизна спада экспоненциального им-
пульса (чем больше a), тем шире его спектр; аналогичным свойством
обладает гауссов импульс. Представление о связи длительности им-
пульса с шириной его спектра вытекает из свойства изменения мас-
штаба в преобразовании Фурье (46): если длительность функции
уменьшена в a раз, то во сколько же раз возрастает ширина спектра
функции. При этом полагается, что определения длительности им-
пульса Δ и ширины спектра Δω остаются неизменными. К практиче-
скому их определению можно подходить из энергетических сообра-
жений. В частности, под длительностью импульса следует понимать
29

промежуток времени, в котором сосредоточена подавляющая часть
энергии импульса,
( ) ( )2 2
d df f
∞
−∞
2
2
x
x
Δ
+
Δ
−
ξ ξ = η ξ ξ∫∫ , (74)
где x - характерная точка, определяющая местоположение импульса
на оси времени; η - доля полной энергии импульса, приходящаяся на
промежуток .Δ
Аналогичным образом можно определить и ширину спектра:
( )
30
( )
2 2
0 0
d dF F
∞Δω
ω ω = η ω ω∫
Δ Δω
1
a
∫ . (75)
Из уравнений (74) и (75) при заданном η определяют и .
Например, при η=0,9 говорят, что длительность импульса и ширина
спектра определены на уровне 0,9 по энергии. Так, для экспоненци-
ального импульса (67) при η=0,9 имеем 1,155 −
Δ = Δω
Δω
, =6,16 a,
измеряется в радианах в секунду.
2.4. Спектры обобщенных функций
Теория обобщенных функций разрешает много неясных вопросов
о преобразовании Фурье физических сигналов и создает удобный ап-
парат целого ряда прикладных задач. Рассмотрим наиболее важные
обобщенные функции.
( )Дельта-функция xδ
) ( ) ( )d
введена Дираком. Значение ее равно нулю
всюду, кроме одной точки, где оно равно бесконечности, но интеграл
от дельта-функции равен единице.
Вместо того, чтобы точно определить дельта-функцию, достаточно
указать ее основное, фильтрующее свойство:
( x f f xζ ζ =
∞
−∞
δ ζ −∫ , (76)

( )fгде x
x
- любая достаточно “хорошая” функция, которая имеет не-
прерывные производные всех порядков. При 0= имеем соотноше-
ние
. (77)( ) ( ) ( )d 0f fδ ζ ζ ζ =
( )
1, 0,
0, 0.
x
u x
x
>⎧
= ⎨
∞
−∞
∫
Функция единичного скачка (Хэвисайда) (рис. 16) задается выражением
31
<⎩
( )
(78)
Легко заметить, что введенные функции связаны соотношением
( )du x
x
d x
δ = . (79)
( )u xМожно также ввести функцию − ζ , описывающую единич-
ный скачок в момент времени ζ .
Рис. 16. Единичный скачок
Из дальнейших рассуждений увидим, что введенные здесь обоб-
щенные функции являются очень полезными при решении задач пре-
образования сигналов в линейных системах, однако встречаются лишь
на промежуточных этапах преобразований, а в окончательных резуль-
татах отсутствуют.
Рассмотрим спектры обобщенных функций.
Спектр дельта-функции определяется на основании ее фильт-
рующего свойства (77):

32
( ) ( )d 1i x
x x e x− ω
( )
∞
−∞
⎡δ ⎤ =⎣ ⎦ ∫F δ = ω , (80)
( )1где ω - функция, принимающая значение 1 при
(рис. 17).
− ∞ ≤ ω ≤ ∞
Рис. 17. Дельта-функция и ее спектр
Отсюда видим, что дельта функция обладает бесконечно широким
равномерным спектром. С точки зрения связи длительности импульса
и ширины его спектра здесь имеет место предельный случай: беско-
нечно узкий импульс имеет бесконечно широкий спектр.
( )xСпектр функции δ − ζ имеет вид
( )x x
∞
( ) di x i
e x e− ω − ωζ
− ζ =
−∞
⎡δ − ζ ⎤ = δ⎣ ⎦ ∫F .
( )1 ω , а фаза линейна (рис. 18).Модуль его равен
Рис. 18. Сдвинутая дельта-функция и ее спектр
(Спектр функции )u x может быть вычислен с учетом соотноше-
ния (79) на основании свойств преобразования Фурье
( ) ( )x i u x⎡δ ⎤ = ω ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦F F ,
откуда
( ) ( )
1 1
x
i i
= ⎡δ ⎤=⎣ ⎦u x⎡ ⎤⎣ ⎦ ω ω
F F . (81)

Теперь рассмотрим сигналы, спектры которых выражаются через
обобщенные сигналы.
33
cosСпектры гармонических функций x xϖ и ϖ :sin
( ) ( )ω− ϖ + δ ω+ ϖ ⎤
1
cos
2
i x i x
x e eϖ − ϖ
⎡ ⎤ϖ = + ⎯⎯→π⎡δ⎣ ⎦⎣ ⎦
F (82)
и
( ) ( )ω+ ϖ − δ ω− ϖ ⎤
1
sin
2
i x i x
x e e i
i
ϖ − ϖ
⎡ ⎤ϖ = − ⎯⎯→ π⎡δ⎣ ⎦
( )1 2,
⎣ ⎦
F . (83)
2.5. Двумерное преобразование Фурье
fПусть x x - функция двух переменных. По аналогии с одно-
мерным преобразованием Фурье, определенным формулами (41) и
(42), можно ввести двумерное преобразование Фурье
( ) ( )
( ) ( )
1 2 1 22
1 2 1 2
1
, ,
4
, ,
f x x F
F f x
∞
− ∞
∞
− ω
− ∞
⎧ 1 1 2 2
1 1 2 2
1 2
1 2
d d ,
d d .
i x i x
i x i x
e
x e
− ω + ω
− ω
= ω ω⎪
π⎪
⎨
⎪
ω ω =⎪
⎩
∫ ∫
∫ ∫
ω ω
ω ω
( )1 1 2 2i x x
e ω +ω
1
(84)
Функция при фиксированных значениях ω , опи-
сывает плоскую волну в плоскости
2ω
( )1 2,x x (рис. 19).
Величины , имеют смысл пространственных частот и раз-
мерность , а функция
1ω 2ω
1
мм−
( )1 2,F ω ω определяет спектр пространст-
венных частот.
Сферическая линза способна вычислять спектр оптического сиг-
нала (рис. 20).
На рис. 20. введем обозначения:
φ - фокусное расстояние, 1 2
1 1
2 2
,
x xπ π
ω =ω =
φ λφ
. (85)
λ
Двумерное преобразование Фурье обладает всеми свойствами од-
номерного преобразования, кроме того отметим два дополнительных

свойства, доказательство которых легко следует из определения дву-
мерного преобразования Фурье.
Рис. 19. Иллюстрация к определению пространственных частот
Рис. 20. Вычисление спектра оптического сигнала
с использованием сферической линзы
Факторизация
Если двумерный сигнал факторизуется
( ) ( ) ( )1 1 2 21 2,f x x f x f x= ⋅ , (86)
то факторизуется и его спектр
34

( ) ( ) ( )1 2, 1 1 2 2F F Fω ω = ω ⋅ ω . (87)
Пример.4. Прямоугольная апертура (рис. 21) описывается факто-
ризуемой функцией
( ) ( ) ( )1 2 1 1 2 2,f x x f x f x= ,
35
где ( ) (11 1 1L )f x x= ∏ , ( ) ( )22 2 2Lf x x= ∏ .
Используя результат (57), получаем выражение для двумерного
спектра
( ) 1 1 2 2
1 1 2 2
sin sinL L
L L
ω
1 2,F
ω
⋅
ω ω
ω ω = . (88)
Рис. 21. Прямоугольная апертура
Радиальная симметрия
Если двумерный сигнал радиально-симметричен, то есть
( ) ( )1 2,f x x f≡ 2 2
1 2r x x= +r , , (89)

то из (1.84) следует
36
( ) ( )
( ) ( )
0
0
d ,
d ,
F r( )
( )
0
0
f r
F r f r r r
∞
∞
⎧
= ρ ρ ℑ ρ ρ
ℑ ρ
⎪
⎪
⎨
⎪ ρ =⎪
⎩
∫
∫
(90)
( )0 rℑ ρ
) 1 1 2 2
2 1 2d di x i x
x x e x x− ω − ω
- функция Бесселя нулевого порядка.где
Формулу (90), определяющую связь между радиально-
симметричным двумерным сигналом и его пространственным спек-
тром называют преобразованием Ганкеля.
2.6. Оптические линейные системы в частотной области
Введем понятие частотной характеристики линейной системы, оп-
ределив ее как преобразование Фурье импульсного отклика (27):
. (91)( ) (1 2 1, ,H h
∞ ∞
−∞ −∞
ω ω ≡ ∫ ∫
Тогда спектры сигналов ( ) ( )1 2,1 2,f x x и g x x во входной и вы-
ходной плоскостях, соответственно, связаны соотношением:
( ) ( ) ( )1 2 1 2, , ,F1 2G Hω ω = ω ω ⋅ ω ω . (92)
При этом импульсный отклик может быть вычислен через частотную
характеристику с использованием обратного преобразования Фурье
( ) ( ) 1 1 2 2
2 1 2d di x i x
e ω + ω
ω ω ω1 2 12
1
, ,
4
h x x H
∞ ∞
−∞ −∞
= ω
π ∫ ∫ . (93)

37
3. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ИЗОБРАЖЕНИЙ В КОМПЬЮТЕРЕ
3.1. Средства ввода изображения
Техническая задача, которую необходимо решить в компьютерной
обработке изображений, это ввод оптических изображений в память
компьютера и вывод (визуализация) изображений. К счастью, в со-
временных компьютерах задача визуализации решена. Для этих целей
используется высокоразрешающие цветные дисплеи и другая техника
отображения информации.
Ввод изображений в память компьютера осуществляется с помо-
щью видеодатчиков. Видеодатчик переводит оптическое распределе-
ние яркости изображения в электрические сигналы и далее в цифро-
вые коды. Поскольку изображение является функцией двух простран-
ственных переменных, а электрический сигнал является функцией од-
ной переменной - времени, то для преобразования используется раз-
вертка. Например, при использовании телевизионной камеры, изо-
бражение считывается по строкам: строка за строкой. При этом в пре-
делах каждой строки зависимость яркости от пространственной коор-
динаты x преобразуется в пропорциональную зависимость амплиту-
ды электрического сигнала от времени t. Переход от конца предыду-
щей строки к началу следующей осуществляется практически мгно-
венно. Широкое применение в качестве видеодатчиков находят также
матрицы фотодиодов и матрицы приборов с зарядовой связью. При
использовании матричных видеодатчиков изображение как бы наблю-
дается сквозь экран с множеством прозрачных ячеек. Число таких
ячеек для современных видеодатчиков весьма велико и составляет ве-
личину 1024х1024 и более (см. рис. 22).
Исходное изображение, как уже отмечалось, представляет собой
функцию двух непрерывных аргументов. В то же время цифровая па-
мять компьютера способна хранить только массивы данных. Поэтому
ввод изображения в компьютер неизбежно связан с дискретизацией
изображений по пространственным координатам и по яркости.

Рис. 22. Фрагмент матричного видеодатчика
3.2. Дискретизация изображений
( )fРассмотрим непрерывное изображение 1 2,x x - функцию двух
пространственных переменных 1x и 2x на ограниченной прямоуголь-
ной области (рис. 23).
Рис. 23. Переход от непрерывного изображения к дискретному
Введем понятие шага дискретизации 1Δ по пространственной пе-
ременной 1x и по переменной2Δ 2x . Например, можно представить,
что в точках, удаленных друг от друга на расстояние 1Δ по оси 1x
расположены точечные видеодатчики. Если такие видеодатчики уста-
новить по всей прямоугольной области, то изображение окажется за-
данным на двумерной решетке:
( ) ( ) 1 1 1 2 2 2
1 2 ,
, , x n x n
f x x1 1 2 2f n n = Δ = Δ
Δ Δ = . (94)
38

Для сокращения записи обозначим
( ) ( )2 2 1 2, ,1 1f n n f n nΔ Δ ≡
(
. (95)
)f 1 2,Функция n n является функцией двух дискретных перемен-
ных и называется двумерной последовательностью. То есть дискрети-
зация изображения по пространственным переменным переводит его в
таблицу выборочных значений. Размерность таблицы (число строк и
столбцов) определяется геометрическими размерами исходной прямо-
угольной области и выбором шага дискретизации по формуле
39
1 2
2
1 2
2 2
,
L L
N N1
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= =
Δ Δ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
1
, (96)
где [...] обозначает целую часть числа.
Если область определения непрерывного изображения - квадрат
L1=L2=L, и шаг дискретизации выбран одинаковым по осям x и 2x
(Δ1=Δ2=Δ), то
1 2N N N= =
(
(97)
и размерность таблицы составляет N2
.
Элемент таблицы, полученной путем дискретизации изображения,
называют «пиксел» или «отсчет». Рассмотрим пиксел )f 1 2,n n . Это
число принимает непрерывные значения.
Память компьютера способна хранить только дискретные числа.
Поэтому для записи в памяти непрерывная величина f должна быть
подвергнута аналогово-цифровому преобразованию с шагом fΔ (см.
рис. 24).
Операцию аналого-цифрового преобразования (дискретизации не-
прерывной величины по уровню) часто называют квантованием. Чис-
ло уровней квантования, при условии что значения функции яркости
лежат в интервале [ ]min min,f f A+ , равно
AQ ⎡
f
⎤= . (98)
Δ⎢ ⎥⎣ ⎦
В практических задачах обработки изображений величина Q варь-
ируется в широких пределах от Q=2 («бинарные» или «черно-белые»

изображения) до Q=210
и более (практически непрерывные значения
яркости). Наиболее часто выбираются Q=28
, при этом пиксел изобра-
жения кодируется одним байтом информации. Из всего вышеуказан-
ного делаем вывод, что пикселы, хранящиеся в памяти компьютера,
представляют собой результат дискретизации исходного непрерывно-
го изображения по аргументам и по уровням. Ясно, что шаги дискре-
тизации Δ1, Δ2 должны выбираться достаточно малыми, для того что-
бы погрешность дискретизации была незначительна, и цифровое
представление сохраняло основную информацию об изображении.
Рис. 24. Квантование непрерывной величины
При этом следует помнить, что чем меньше шаг дискретизации и
квантования, тем больший объем данных об изображении должен
быть записан в память компьютера. Рассмотрим в качестве иллюстра-
ции этого утверждения изображение на слайде размером 50х50 мм,
которое вводится в память с помощью цифрового измерителя оптиче-
ской плотности (микроденситометра). Если при вводе линейное раз-
решение микроденситометра (шаг дискретизации по пространствен-
ным переменным) составляет 100 микрон, то в память записывается
двумерный массив пикселов размерности N2
=500х500=25х104
. Если
же шаг уменьшить до 25 микрон, то размеры массива возрастут в 16
раз и составят N2
=2000х2000=4х106
. Используя квантование по 256
уровням, то есть кодируя найденный пиксел байтом, получаем, что в
первом случае для записи необходим объем 0,25 мегабайт памяти, а во
втором случае 4 мегабайта.
40

4. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
С ПОСТОЯННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
4.1. Последовательности
( )fПри цифровой обработке непрерывный сигнал t
Δ
представля-
ется набором своих значений (отсчетов) в дискретные моменты вре-
мени – последовательностью. Мы ограничимся рассмотрением наибо-
лее распространенного на практике случая, когда интервал между от-
счетами (шаг дискретизации во времени) постоянен и равен .
Для записи последовательности будем пользоваться одним из двух
обозначений: ( ){f f n= }Δ или {
41
( )}f f n= n. В обоих случаях - це-
лое. Первая запись определяет значения элементов последовательно-
сти как значения непрерывного сигнала в дискретные моменты физи-
ческой шкалы времени, то есть непосредственно отражает процесс
дискретизации сигнала:
( ) ( ) t nf n f t = ΔΔ =
n
. (99)
Во второй записи в качестве аргумента дискретного сигнала ис-
пользуется просто порядковый номер отсчета , которому в этом слу-
чае придается смысл дискретного безразмерного времени. Второе обо-
значение короче и поэтому предпочтительнее, однако в случаях, когда
требуется учитывать реальный масштаб времени, применяется первое.
Интервал определения последовательности может быть конечным,
полубесконечным или бесконечным. При [ ]1 2, N 1 2,n N∈ , где N N
( ]2,n N∈ −∞
- це-
лые, имеем последовательность конечной длины, при ле-
востороннюю, а при ( )1,n N∈ ∞ правостороннюю последователь-
ность. При последовательность является двусторонней
(бесконечной, неограниченной по аргументу). Для унификации рас-
смотрения всякую последовательность обычно приводят к бесконеч-
ной, полагая отсчеты, лежащие вне интервала определения, тождест-
венно равными нулю. При этом данная классификация по существу
( ),∈ −∞ ∞n

относится не к области определения, а к области, в которой значения
последовательности могут отличаться от нуля.
42
n
( )
1, 0,
0, 0.
n
n
n
Последовательность называется детерминированной, если можно
точно указать ее значения для любого момента дискретного времени
. Последовательность - случайная, если ее элементы - случайные ве-
личины.
Приведем примеры важнейших детерминированных последова-
тельностей.
Единичный импульс:
=⎧
δ = ⎨
≠⎩
0n
( ) 0
0
0
1, ,
0, .
n n
n n
n n
=⎧
= ⎨
≠⎩
( )
1, 0,
0, 0.
n
u n
n
≥⎧
= ⎨
(100)
Графическое изображение единичного импульса приведено на
рис. 25. Аналогично определяется и единичный импульс, сдвинутый
на отсчетов:
(101)δ −
Единичный скачок:
<⎩
( ) ( )
0k k
k n k
∞
=
(102)
Графическое изображение единичного скачка показано на рис. 26.
Единичный скачок можно выразить через единичный импульс:
( )
n
u n
=−∞
= δ = δ −∑ ∑ .
Рис. 25. Иллюстрации единичного импульса

Рис. 26. Иллюстрация единичного скачка
Приведенные обозначения единичного импульса и единичного
скачка являются стандартными и используются далее везде.
Дискретный прямоугольный импульс длины N:
(103)( )
1,
0,
f n
⎧
= ⎨
⎩
0 1,
0 .
n N
n или n N
≤ ≥ −
< ≥
) ( ) ( )
Эта последовательность (рис. 27) очевидным образом выражается
через функции единичного импульса или единичного скачка:
( ) (
1
0
N
k
f n n
−
=
= δ −∑ k u n u n N= − − .
Рис. 27. Иллюстрация дискретного прямоугольного импульса
Дискретная правосторонняя экспонента:
( ) ( )
, 0
0, 0
n
na n
f n a u n
n
⎧ ⎫≥
= =⎨ ⎬
<⎩ ⎭
a
. (104)
График последовательности при 0 1< < показан на рис. 28.
43

Рис. 28. Иллюстрация дискретной правосторонней экспоненты
Дискретная комплексная экспонента задается выражением
( ) i n
cos sinf n e ω
n i n= = ω + ω
i
, (105)
где - мнимая единица, ω - константа, имеющая смысл безразмерной
частоты. Последовательность (105) играет исключительно важную
роль при анализе сигналов и систем в частной области (см. п. 5).
4.2. Дискретные ЛПП-системы
Будем называть дискретной системой правило L – преобразова-
ния одной последовательности f , называемой входной, в другую
последовательность g , называемую выходной.
В общем виде это преобразование обозначается
44
( ){ } { ( )}g n f n⎡ ⎤= ⎣ ⎦L . (106)
Дискретная система L называется линейной, если для нее соблюдает-
ся принцип суперпозиции, то есть для любых 1 2,f f и постоянных ,a b
( ) ( ){ } ( ){ } { ( )}1 2af n bf n a f⎡ ⎤+ =⎣ ⎦L L 1 2n b f n⎡ ⎤ ⎡ ⎤+⎣ ⎦ ⎣ ⎦L . (107)
Дискретная система с постоянными параметрами характеризует-
ся тем, что если справедливо соотношение (106), то справедливо
и соотношение
( ){ } { ( )}0 0f n ng n n ⎡ ⎤− = −⎣ ⎦L
0.n
(108)
при любом целом Иными словами, такая система обладает свойст-
вом инвариантности к сдвигу во времени: задержка входного сигнала

приводит к равной задержке выходного сигнала без изменения самого
закона преобразования входа в выход.
Дискретные системы, обладающие одновременно свойствами ли-
нейности и инвариантности к сдвигу, называются дискретными ли-
нейными системами с постоянными параметрами (ЛПП-системами).
Классу ЛПП-систем принадлежат многие алгоритмы цифровой обра-
ботки сигналов и дискретные модели реальных динамических объек-
тов. Для таких систем наиболее глубоко разработаны математические
методы анализа и синтеза. Мы ограничимся рассмотрением именно
этого класса дискретных систем.
45
h
Чтобы описать систему, нужно указать конкретное правило преоб-
разования входного сигнала в выходной. ЛПП-систему можно описать
с помощью ее импульсной характеристики.
Импульсная характеристика дискретной ЛПП-системы опреде-
ляется как реакция системы на выходное воздействие в форме еди-
ничного импульса:
( ){ } { ( )}h n n⎡ ⎤= δ⎣ ⎦L
( ) ( )
k
. (109)
Импульсная характеристика исчерпывающим образом описывает
ЛПП-систему с точки зрения преобразования сигналов. Действитель-
но, любую последовательность на входе ЛПП-системы можно пред-
ставить в виде бесконечной суммы
( )f n f k n k
∞
=−∞
= δ −∑
( ) ( )
k
f k h n k
∞
=−∞
. (110)
В силу соотношения (107) преобразование суммы равно сумме
преобразований слагаемых. Каждое слагаемое в сумме (110) есть
сдвинутый единичный импульс с коэффициентом - значением соот-
ветствующего отсчета входной последовательности. Согласно (108) и
(109) каждый такой импульс дает на выходе отклик в виде сдвинутой
импульсной характеристики с тем же коэффициентом. Полная выход-
ная последовательность записывается в виде
−∑ . (111)( )g n =

46
.n
(Здесь и далее полагаем, что последовательности, входящие в выра-
жения вида (111) таковы, что эта сумма ряда сходится при любом ко-
нечном )
Таким образом, знания импульсной характеристики достаточно,
чтобы по выходной последовательности вычислить выходную.
Выражение (111) задает свертку последовательностей f и .
Часто используется его краткая символическая запись:
h
( ) ( ) ( )y n f n h n= ∗
,a b с
. (112)
Отметим некоторые легко доказываемые свойства свертки (пусть
и - произвольные последовательности):
- коммутативность
( ) ( ) ( ) ( )b n b n a n∗ = ∗a n ; (113)
- ассоциативность
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )a n b n c n∗ ⎤ ∗⎣ ⎦a n b n c n∗ ⎡ ∗ ⎤ = ⎡⎣ ⎦ ; (114)
- дистрибутивность
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )a n b n c n a n∗ ⎡ + ⎤ = ∗⎣ ⎦ b n a n c n+ ∗ . (115)
( )a n можно записатьДля любой последовательности
( ) ( ) ( )0 0n n a n n− = −
0n
1 2, ,..., ,Nh h h h
a n ∗δ (116)
при любом целом (формула (116) выражает так называемое
фильтрующее свойство единичного импульса).
Легко показать, что если ЛПП-система состоит из N последова-
тельно соединенных звеньев с импульсными характеристиками
то ее импульсная характеристика равна свертке им-
пульсных характеристик звеньев:
( ) ( ) ( ) ( )1 2 ... Nh n h n= ∗ ∗ ∗h n h n . (117)
При параллельном соединении звеньев их импульсные характери-
стики суммируются, то есть для системы в целом
( ) ( ) ( ) ( )1 2 ... Nh n h n+ +h n h n= + (118)

4.3. Физическая реализуемость и устойчивость ЛПП-систем
47
0n
0.n n≤
Дискретная система называется физически реализуемой, если зна-
чение выходной последовательности в произвольный момент за-
висит только от значений входной последовательности при
Иначе говоря, для физически реализуемой системы отклик не опере-
жает входное воздействие.
Для независимости выхода физически реализуемой дискретной
ЛПП-системы от "будущих" значений входной последовательности
требуется, чтобы в свертку (111) все значения ( )f k k n>при входи-
ли с нулевыми коэффициентами. Очевидно, это выполняется, если
( ) 0h n = при 0.n < (119)
Это условие является необходимым и достаточным для физиче-
ской реализуемости ЛПП-системы.
Дискретная система называется устойчивой, если любому ограни-
ченному входному воздействию соответствует ограниченный отклик,
то есть при
( )f fn M n (120)≤ ∀
из (110) следует
( )g gn M n≤ ∀
,
, (121)
где M f gM
( )
- некоторые положительные константы.
Необходимым и достаточным условием устойчивости дискрет-
ной ЛПП-системы является абсолютная суммируемость импульсной
характеристики:
.
n
h n
∞
=−∞
< ∞∑ (122)
Докажем это. Сначала докажем необходимость, используя контр-
пример. Рассмотрим ограниченную входную последовательность
(
( )
)
( )
при 0,
при 0.
h n
h n
1
1
f n
⎧ − ≥⎪
= ⎨
− − <⎪⎩
(123)

48
0.n =
( )
Определим значение последовательности на выходе системы при
В соответствии с формулами (111) и (123)
( ) ( ) ( ) ( )0
k k k
g f k h k
∞ ∞
=−∞ =−∞
= −∑ ∑ h k h k
∞
=−∞
= − = ∑ .
Если условие (122) не выполняется, то не выполняется и условие
устойчивости (121). Следовательно, выполнение условия (122) являет-
ся необходимым условием устойчивости системы. Для доказательства
достаточности предположим, что условие (122) выполняется, и на
вход системы поступает ограниченная последовательность, то есть
справедливо неравенство (120). Тогда, используя свойство коммута-
тивности свертки (111), получаем:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ,f g
n k
h k M
∞
∞
= − ≤
= < ∞
k
k k
g n h k f
h k f n k M
∞
=−∞
∞
=−∞ =−
≤ ⋅ − ≤
∑
∑ ∑
то есть всегда выполняется соотношение (121), выходная последова-
тельность ограничена, и система устойчива.
Теперь, после введения понятий физической реализуемости и ус-
тойчивости можно дать простую, но важную классификацию ЛПП-
систем по форме импульсной характеристики. У ЛПП-систем с конеч-
ной импульсной характеристикой (КИХ-систем), как следует из само-
го названия, импульсная характеристика представляет собой последо-
вательность конечной длины, то есть ( ) 0h n = при [ ]1 2, .n N N∈
1 0N ≥
0= 1N
КИХ-
системы всегда устойчивы, так как для них сумма (122) конечна. При
такие системы являются физически реализуемыми.
ЛПП-системы с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ-
системы) имеют в качестве импульсной характеристики правосторон-
нюю, левостороннюю или двустороннюю последовательность, то есть
при или( )h n n < ( )h n 0= при , или при
. Такие системы могут быть неустойчивыми. Требование
физической реализуемости здесь выполняется только в первом случае
при .
2N ( ) 0h n ≠
( ),n∉ −∞ ∞
1 0N ≥
n >

49
1 0,n N< <
Если у КИХ- или БИХ-системы импульсная характеристика равна
нулю при то такая система тоже может быть реализована,
если допустить задержку в получении сигнала на выходе. Величина
этой задержки должна быть достаточной, чтобы "сдвинуть" импульс-
ную характеристику вправо в область неотрицательных значений ар-
гумента на число отсчетов не меньше ( )1N−
( ) ( )
1 0
M N
j j
j j
n j b f n j
= =
. Строго говоря, при этом
реализуется не исходная система, а другая, эквивалентная последова-
тельному соединению системы и звена задержки. Однако в большин-
стве практических приложений такая замена вполне допустима.
4.4. Разностные уравнения
Как следует из выражений (111) и (119), для физически реализуе-
мой БИХ-системы значение последовательности на выходе зависит от
текущего и всех предыдущих значений входной последовательности.
Описание (111) не является конструктивным в том смысле, что не по-
зволяет практически построить БИХ-систему: для получения каждого
значения выходной последовательности требуется выполнить беско-
нечное число операций сложения и умножения. Число операций мож-
но сделать конечным, если выразить текущее значение выходной по-
следовательности не только через входные, но и через предыдущие
выходные значения, иначе говоря, записать уравнение ЛПП-системы в
рекурсивной форме. При этом получаем описание ЛПП-системы в виде
линейного разностного уравнения с постоянными коэффициентами:
( )g n a g= − + −∑∑ , (124)
где{ } { },j ja b ,- коэффициенты уравнения, M N - целые константы,
характеризующие сложность системы.
0MaM приВеличина ≠ определяет порядок разностного уравне-
ния (ЛПП-системы). БИХ-системы всегда имеют ненулевой порядок и
являются рекурсивными: для них каждое следующее значение выходной

744.введение в цифровую обработку сигналов и изображений математические модели изображений

744.введение в цифровую обработку сигналов и изображений математические модели изображений

Recommended

Recommended

More Related Content

Viewers also liked

Viewers also liked (18)

Similar to 744.введение в цифровую обработку сигналов и изображений математические модели изображений

Similar to 744.введение в цифровую обработку сигналов и изображений математические модели изображений (15)

More from ivanov15548

More from ivanov15548 (20)

744.введение в цифровую обработку сигналов и изображений математические модели изображений