730.основы природопользования цели термины структура история связи стратегиче...
566.устойчивость уравнений второго порядка с периодическими коэффициентами учебное пособие
1. Министерство образования и науки Российской Федерации
Ярославский государственный университет
им. П.Г. Демидова
С.А. Кащенко
Устойчивость уравнений второго порядка
с периодическими коэффициентами
Учебное пособие
Рекомендовано
Научно-методическим советом университета
для студентов специальности Математика и
Прикладная математика и информатика
ЯРОСЛАВЛЬ 2005
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2. УДК 517.925
ББК В161.61я73
К 31
Рекомендовано
Редакционно-издательским советом университета
в качестве учебного издания. План 2004 года
Рецензенты:
доктор физ.-мат. наук, профессор Н.Х. Розов;
кафедра математики физического факультета Московского
государственного университета им. М.В. Ломоносова
Кащенко, С.А. Устойчивость уравнений второго порядка с пери-
одическими коэффициентами: Учебное пособие / С.А. Кащенко;
К 31 Яросл. гос. ун-т. – Ярославль: ЯрГУ, 2005. – 212 с.
ISBN 5-8397-0362-1
Изложена теория устойчивости решений линейных уравнений
второго порядка с периодическими коэффициентами, базирую-
щаяся на теории зон устойчивости А.М. Ляпунова. В качестве
приложений асимптотическими методами исследованы вопросы
устойчивости для широких классов регулярно и сингулярно воз-
мущенных уравнений, в том числе уравнений с точками поворота.
Рассмотрены классические вопросы построения функции Грина и
вывода асимптотических законов распределения собственных зна-
чений периодической и антипериодической краевых задач.
Учебное пособие по дисциплине „Дифференциальные уравне-
ния“ (блок ОПД) предназначено студентам специальности 010100
Математика и 010200 Прикладная математика и информатика оч-
ной формы обучения.
Рис. 3. Библиогр.: 36 назв.
УДК 517.925
ББК В161.61.я73
ISBN 5-8397-0362-1 c Ярославский
государственный университет
им. П.Г. Демидова, 2005
c Кащенко С.А., 2005
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
6. Введение
Уравнения второго порядка занимают особое место в теории диффе-
ренциальных уравнений. Это связано с тем обстоятельством, что, во-
первых, именно с них, а не с уравнений первого порядка, начинается
изучение нетривиальных поведений решений. Во-вторых, для автоном-
ных нелинейных уравнений второго порядка построена полная динами-
ческая теория. И, наконец, в-третьих, огромное число математических
моделей в различных областях науки описано именно уравнениями вто-
рого порядка. Особое место в теории дифференциальных уравнений за-
нимают линейные уравнения, исследование которых является базовым и
для анализа поведения решений нелинейных уравнений. При этом наи-
более важным и интересным является изучение решений уравнений с
периодическими коэффициентами.
Настоящее пособие посвящено изучению линейных уравнений второ-
го порядка с периодическими коэффициентами. В первой его части при-
водится одна из самых красивых, на взгляд автора, теория зон устой-
чивости А.М. Ляпунова. Эта теория, к сожалению, содержится лишь
в небольшом количестве учебных изданий. Здесь мы придерживаем-
ся, в основном, методики, изложенной в монографии Э. Коддингтона
и И. Левинсона „Теория обыкновенных дифференциальных уравнений“.
Все остальное содержание пособия (главы 2 – 9), так или иначе „привя-
зано“ к ляпуновской теории зон устойчивости. Последовательно и с при-
мерами излагаются так называемые регулярные асимптотические методы
и методы теории сингулярных возмущений для исследования вопросов
устойчивости решений. На основе теории зон устойчивости решается во-
прос об устойчивости решений уравнений с близкими к постоянным ко-
эффициентами (глава 2) и сингулярно возмущенных уравнений (глава 3).
При этом формулируются эффективные алгоритмы исследования устой-
чивости. В главе 4 изучаются асимптотические законы распределения
собственных значений. Особо подчеркнем, что разобран случай наличия
точек поворота. Глава 5 посвящена решению важной задачи о параметри-
ческом резонансе при двухчастотном возмущении. В этой главе широко
используются результаты всех предыдущих глав. Шестая глава стоит
несколько в стороне. В ней вводится в рассмотрение функция Грина пе-
риодической краевой задачи и изучаются ее свойства. Особую сложность
представляет изложение теории сингулярных возмущений уравнений с
точками поворота (главы 7 – 9). Соответствующие разделы, принадлежа-
щие автору, ранее в учебно-методической литературе не публиковались.
Они достаточно сложны и могут быть пропущены при первом чтении.
6
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
7. Глава 1
Теория зон устойчивости
Основное содержание главы посвящено изложению принадлежащей
А.М. Ляпунову [1-3] теории зон устойчивости линейных дифференци-
альных уравнений второго порядка с периодическими коэффициентами.
Доказательство соответствующих утверждений (теоремы 1.4.1 и 1.4.2),
отличающихся сравнительной простотой и изяществом, будет заимство-
вано из [4] (глава VIII).
§ 1.1. Теоремы сравнения
Как будет выяснено в дальнейшем, свойства устойчивости решений рас-
сматриваемого класса уравнений тесно связаны с их осцилляционными
свойствами. В связи с этим первый параграф посвящен изучению рас-
пределения нулей решений. Приводимые здесь доказательства повторя-
ют соответствующие утверждения из [4] (глава VIII, §1). На некотором
отрезке [a, b] рассмотрим два линейных дифференциальных уравнения
¨x + q1(t)x = 0 (1.1.1)
и
¨x + q2(t)x = 0, (1.1.2)
коэффициенты q1(t) и q2(t) которых являются непрерывными функциями.
Фиксируем произвольно решения x1(t) и x2(t) (xj(t) ≡ 0, j = 1, 2) урав-
нений (1.1.1) и (1.1.2) соответственно. Напомним, что в силу теоремы
единственности решений нуль любого нетривиального решения рассмат-
риваемых уравнений является простым.
Теорема 1.1.1. Пусть выполнены неравенства
q1(t) ≤ q2(t), q1(t) ≡ q2(t), t ∈ [a, b].
7
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
8. 8 ГЛАВА 1. Теория зон устойчивости
Тогда между любыми двумя последовательными нулями t1 и t2 функ-
ции x1(t) лежит хотя бы один нуль функции x2(t).
Доказательство. Предположим противное, т.е. пусть x2(t) не имеет
нулей на интервале (t1, t2). Без ограничения общности можно считать,
что на этом интервале x1(t) > 0 и x2(t) > 0. Умножая уравнения (1.1.1)
(при x = x1(t)) на x2(t) и (1.1.2) (при x = x2(t)) на x1(t) и вычитая
полученные выражения одно из другого, приходим к равенству
¨x1x2 − ¨x2x1 + (q1(t) − q2(t))x1x2 = 0. (1.1.3)
Последнее слагаемое в этом равенстве неположительно, поэтому, инте-
грируя (1.1.3), получаем неравенство
t2
t1
( ¨x1x2 − ¨x2x1) dt > 0.
Выражение, стоящее здесь под знаком интеграла, есть полная произ-
водная функции ( ˙x1x2 − ˙x2x1). Отсюда, принимая во внимание, что
x1(t1) = x1(t2) = 0, приходим к соотношению
˙x1(t2)x2(t2) − ˙x1(t1)x2(t1) > 0. (1.1.4)
Учитывая, наконец, что ˙x1(t1) > 0, а ˙x1(t2) < 0, заключаем, что послед-
нее неравенство выполняться не может. Таким образом, функция x2(t)
обращается в нуль на интервале (t1, t2). Теорема доказана.
Следствие. Пусть q1(t) ≡ q2(t). Тогда либо нули решений x1(t) и
x2(t) совпадают (т.е. x1(t) = const · x2(t)), либо между любыми двумя
нулями x1(t)(x2(t)) лежит ровно один нуль функции x2(t) (x1(t)). Тем
самым нули линейно независимых решений перемежаются.
Доказательство этого утверждения аналогично доказательству тео-
ремы 1.1.1 с заменой знака неравенства в (1.1.4) на знак равенства.
Для дальнейшего удобно в уравнениях (1.1.1) и (1.1.2) произвести
полярные замены переменных
x = r sin ω, ˙x = r cos ω. (1.1.5)
Дифференцируя первое равенство (1.1.5) и заменяя ˙x при помощи вто-
рого равенства, а также учитывая уравнения (1.1.1) и (1.1.2), для пе-
ременных r и ω получаем систему двух дифференциальных уравнений
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
9. § 1.1. Теоремы сравнения 9
(i = 1, 2)
˙r = (1 − qi(t))r sin ω cos ω,
˙ω = cos2
ω + qi(t) sin2
ω.
Из (1.1.5) вытекает, что
r = ˙x2 + x2, ω = arctg
x
˙x
,
поэтому, в частности, r(t) > 0, (t ∈ [a, b]) и решение x(t) тогда и только
тогда обращается в нуль, когда величина ω есть целое кратное π.
Пусть, как и ранее, x1(t) и x2(t) – решения уравнений (1.1.1) и (1.1.2)
соответственно,
ri(t) = ˙x2
i (t) + x2
i (t), ωi(t) = arctg
xi(t)
˙xi(t)
, i = 1, 2.
Теорема 1.1.2. Пусть выполняются неравенства
q1(t) < q2(t), t ∈ [a, b] (1.1.6)
и
ω1(a) ≤ ω2(a). (1.1.7)
Тогда
ω1(t) < ω2(t), t ∈ [a, b]. (1.1.8)
Доказательство. Вычтем сначала одно из уравнений
˙ωi = cos2
ωi + qi(t) sin2
ωi, i = 1, 2 (1.1.9)
из другого. В результате получим выражение
(ω2 − ω1) = (q1(t) − 1)(sin2
ω2 − sin2
ω1) + h, (1.1.10)
или
˙u − fu = h,
где
u = ω2 − ω1, h = (q2(t) − q1(t)) sin2
ω2,
f = (q1(t) − 1)(sin ω2 + sin ω1)
sin ω2 − sin ω1
ω2 − ω1
.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
10. 10 ГЛАВА 1. Теория зон устойчивости
Так как h ≥ 0, то
˙u − fu ≥ 0.
Положим F(t) =
b
t
f(s)ds, умножим последнее неравенство на eF(t)
, и
проинтегрируем его затем в пределах от a до t. В итоге, учитывая (1.1.7),
приходим к выводу, что
u(t)eF(t)
≥ u(a)eF(a)
≥ 0. (1.1.11)
Из неравенств (1.1.11) вытекает обоснование пока лишь нестрого-
го неравенства в (1.1.8). Завершение доказательства проведем, рассуж-
дая от противного. Пусть (1.1.8) не имеет места. Тогда найдется такое
c0 ∈ (a, b], что
ω1(t) ≡ ω2(t), t ∈ [a, c0]. (1.1.12)
Действительно, если для какого-то t0 из (a, b] имеем u(t0) > 0, то из
(1.1.11) получаем, что u(t) > 0 для t ∈ [t0, b].
Из тождества (1.1.12) и выражения (1.1.10) следует, что h(t) ≡ 0
при t ∈ [a, c0]. Отсюда, в свою очередь, приходим к тождествам
ω1(t) ≡ ω2(t) ≡ 0 (mod π) при t ∈ [a, c0]. В силу равенств (1.1.9) по-
следние тождества невозможны. Теорема доказана.
§ 1.2. Краевые задачи Штурма - Лиувилля
Результаты этого параграфа, при доказательстве которых существенно
используются утверждения §1.1, будут, в свою очередь, играть важную
роль в обосновании положений §1.4.
На отрезке [a, b] рассмотрим дифференциальное выражение
¨x + (λr(t) + q(t))x = 0, (1.2.1)
где λ - параметр, r(t) и q(t) – непрерывные функции, причем r(t) > 0
(t ∈ [a, b]). Фиксируем два значения α и β. Значения λ, для которых
(1.2.1) имеет нетривиальное решение x(t, λ), удовлетворяющее краевым
условиям
x(a) cos α − ˙x(a) sin α = 0,
x(b) cos β − ˙x(b) sin β = 0,
(1.2.2)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
11. § 1.2. Краевые задачи Штурма - Лиувилля 11
называются собственными значениями краевой задачи (1.2.1)–(1.2.2).
Функция x(t, λ) называется собственной функцией. Отметим, что соб-
ственная функция определяется единственным, с точностью до постоян-
ного множителя, образом. Краевые задачи вида (1.2.1)–(1.2.2) составля-
ют класс краевых задач Штурма-Лиувилля. Основной результат парагра-
фа состоит в следующем.
Теорема 1.2.1. Существует бесконечно много собственных зна-
чений λ0, λ1, . . ., которые все вещественны и которые образуют мо-
нотонно возрастающую последовательность, причем λn → ∞ при
n → ∞. Собственная функция, отвечающая λn, имеет ровно n нулей
на интервале (a, b).
Доказательство. Основу доказательства теоремы составляют рас-
суждения из [4] (глава VIII, §2).
Первый этап. Сначала установим вещественность любого собствен-
ного значения.
Предположим, что λ0
= γ + iδ является собственным значением, а
x(t, λ0
) - отвечающая ему собственная функция. В силу вещественности
функций q(t) и r(t) заключаем, что число λ0 = γ − iδ также является
собственным значением с собственной функцией x(t, λ0
).
Положим в уравнении (1.2.1) λ = λ0
, x = x(t, λ0
), а затем умножим
его на x(t, λ0
) и проинтегрируем от a до b. Аналогично положим в (1.2.1)
λ = λ0 и x = x(t, λ0
), умножим его на x(t, λ0
) и тоже проинтегрируем от
a до b. Полученные два выражения вычтем одно из другого. В результате
придем к равенству
(λ0
− λ0)
b
a
r(t)x(t, λ0
)x(t, λ0
)dt = 0. (1.2.3)
Поскольку выражение x(t, λ0
) · x(t, λ0
) ≥ 0 (≡ 0), то из (1.2.3) получаем,
что 2δ = λ0
− λ0 = 0, т.е. λ0
вещественно.
Второй этап. Покажем, что нули любого решения (1.2.1) с фиксиро-
ванными при t = a начальными условиями являются непрерывными и мо-
нотонно убывающими функциями параметра λ. Обозначим через x(t, λ)
решение (1.2.1) с начальными условиями, удовлетворяющими первому
соотношению из (1.2.2), т.е.
x(a, λ) = sin α, ˙x(a, λ) = cos α.
Будем в дальнейшем предполагать, что 0 ≤ α < π, 0 < β ≤ π. Очевидно,
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
12. 12 ГЛАВА 1. Теория зон устойчивости
это не ограничивает общности. Положим далее,
ω(t, λ) = arctg
x(t, λ)
˙x(t, λ)
, ω(a, λ) = α.
В силу теоремы 1.1.2 функция ω(t, λ) для каждого фиксиро-
ванного t ∈ [a, b] есть монотонно возрастающая функция λ. Если
ω(t, λ) = 0 (modπ), то x(t, λ) = 0. Напомним, что ω(t, λ) является ре-
шением уравнения
˙ω = cos2
ω + (λr(t) + q(t)) sin2
ω. (1.2.4)
Отсюда видно, что условие ω(t, λ) = 0 (modπ) влечет за со-
бой неравенство ˙ω(t, λ) > 0. Таким образом, если для некоторого
tk ∈ (a, b) ω(tk, λ) = kπ, то ω(t, λ) > kπ для t > tk и ω(t, λ) < kπ
для t < tk. Кроме того, из монотонности ω(t, λ) по λ заключаем, что при
возрастании λ нули x(t, λ), если вообще существуют, движутся влево к
точке t = a. Пусть tk(λ) есть координата k-го нуля функции x(t, λ), т.е.
ω(tk(λ), λ) = kπ. Дифференцируя последнее равенство по λ, получаем
выражение
˙ω (tk(λ), λ)
dtk(λ)
dλ
+
∂ω(tk(λ), λ)
∂λ
= 0.
Отсюда и из отмеченных выше свойств ω(t, λ) непосредственно следу-
ет, что dtk(λ)
dλ < 0. Таким образом, tk(λ) является монотонно убывающей
функцией параметра λ.
Третий этап. Установим справедливость (для каждого фиксированно-
го c ∈ (a, b]) предельного равенства
lim
λ→∞
ω(c, λ) = ∞. (1.2.5)
Фиксируем постоянные R и Q так, чтобы
r(t) ≥ R > 0, q(t) ≥ Q, t ∈ [a, c].
Введем в рассмотрение уравнение с постоянными коэффициентами
¨x + (λR + Q)x = 0
и обозначим через ˜x(t, λ) решение этого уравнения с начальными усло-
виями
˜x(a, λ) = x(a, λ), ˙˜x(a, λ) = ˙x(a, λ).
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
13. § 1.2. Краевые задачи Штурма - Лиувилля 13
Отсюда и из теоремы 1.1.2 получаем
ω(c, λ) ≥ ˜ω(c, λ), (1.2.6)
где положено
˜ω(t, λ) = arctg
˜x(t, λ)
˙˜x(t, λ)
, ω(a, λ) = ˜ω(a, λ).
Последовательные нули функции ˜x(t, λ) отличаются на величину
π(λR + Q)−1
2 . Отсюда следует, что количество нулей ˜x(t, λ) на отрез-
ке [a, c] неограниченно растет при λ → ∞. Для функции ˜ω(t, λ) это
означает, что
lim
λ→+∞
˜ω(c, λ) = ∞. (1.2.7)
Обоснование (1.2.5) следует теперь из соотношений (1.2.6) и (1.2.7).
Четвертый этап. Здесь будет показано, что для каждого c ∈ (a, b]
lim
λ→−∞
ω(c, λ) = 0. (1.2.8)
Сначала заметим, что ω(t, λ) ≥ 0. Это вытекает из условий α ≥ 0 и ˙ω > 0,
если ω = 0(modπ). Фиксируем затем три положительные постоянные δ,
R и Q так, чтобы
α < π − δ, R ≤ r(t), Q ≥| q(t) |, t ∈ [a, b].
В предположении, что δ ≤ ω ≤ π − δ, оценим производную функции
ω(t, λ). Из (1.2.4) получаем тогда, что
˙ω < 1− | λ | R sin2
δ + Q.
Таким образом, при условии δ ≤ ω ≤ π − δ функция ˙ω(t, λ) для каждого
t ∈ (a, b] неограниченно убывает при λ → −∞. Отсюда приходим к
выводу, что ω(c, λ) < δ для достаточно больших значений −λ. Поскольку
δ > 0 произвольно, то имеет место равенство (1.2.8).
Пятый этап. На основе предельных равенств (1.2.5) и (1.2.8) доказа-
тельство теоремы завершается без труда. Действительно, при λ → −∞
имеем ω(b, λ) → 0. Из монотонности ω(b, λ) по λ и из условия β > 0
заключаем, что найдется первое значение λ0, для которого ω(b, λ0) = β.
Тем самым решение x(t, λ0) удовлетворяет условиям (1.2.2). Далее из
неравенств 0 < ω(t, λ0) < π следует, что x(t, λ0) нулей на интервале (a, b)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
14. 14 ГЛАВА 1. Теория зон устойчивости
не имеет. Аналогично, найдется и притом единственное значение λ1, для
которого ω(b, λ1) = β+π. Функция x(t, λ1) при этом удовлетворяет (1.2.2)
и имеет один нуль на (a, b). Собственное значение λn определяется из
равенства ω(b, λn) = πn + β. Собственная функция x(t, λn) имеет тогда,
очевидно, n нулей на интервале (a, b). Теорема доказана.
§ 1.3. Уравнения с периодическими
коэффициентами
Основным объектом исследования в дальнейшем является уравнение
¨x + p(t) ˙x + q(t)x = 0 (1.3.1)
с T-периодическими коэффициентами, т.е. p(t + T) ≡ p(t), q(t + T) ≡ q(t)
(T > 0). Нас будет интересовать вопрос об устойчивости решений урав-
нения (1.3.1).
Введем в рассмотрение два линейно независимых решения x1(t) и
x2(t) этого уравнения с начальными условиями
x1(0) = 1, ˙x1(0) = 0, x2(0) = 0, ˙x2(0) = 1.
Матрицу
U(t) =
x1(t) x2(t)
˙x1(t) ˙x2(t)
, U(0) =
1 0
0 1
= E (1.3.2)
называют фундаментальной матрицей решений уравнения (1.3.1). Непо-
средственно проверяется, что определитель этой матрицы удовлетворяет
уравнению
(det U(t)) = −p(t) det U(t).
Отсюда получаем формулу (Остроградского-Лиувилля)
det U(t) = e
−
t
0
p(s)ds
. (1.3.3)
Положим далее
U = U(T).
Матрица U называется матрицей монодромии уравнения (1.3.1), а ее соб-
ственные значения µ1 и µ2 называются мультипликаторами. Из формулы
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
15. § 1.3. Уравнения с периодическими коэффициентами 15
(1.3.3) имеем
µ1 · µ2 = det U = e
−
T
0
p(s)ds
. (1.3.4)
Сформулируем теперь несколько промежуточных утверждений. Пусть
µ = ρeiδ
является мультипликатором, а вектор (x0, ˙x0) есть собствен-
ный вектор матрицы монодромии, отвечающий собственному значению
µ.
Лемма 1.3.1. Для решения x0(t) уравнения (1.3.1) с начальными
условиями x0(0) = x0, ˙x0(0) = ˙x0 имеет место соотношение
x0(t + T) ≡ µx0(t). (1.3.5)
Доказательство. Из определения U(t) следует равенство
x0(t)
˙x0(t)
= U(t)
x0
˙x0
.
Из определения (x0, ˙x0) и µ находим, что
x0(T)
˙x0(T)
= µ
x0
˙x0
. (1.3.6)
Обозначим затем через y(t) функцию x0(t + T). Очевидно, y(t) есть ре-
шение (1.3.1), причем, согласно (1.3.6),
y(0)
˙y(0)
= µ
x0(0)
˙x0(0)
.
Из теоремы единственности решений последнее равенство влечет за со-
бой тождество y(t) ≡ µx0(t), т.е. имеет место (1.3.5). Лемма доказана.
Лемма 1.3.2. Существует такая T-периодическая функция ϕ0(t),
что
x0(t) ≡ ϕ0(t)eγt
, (1.3.7)
где
γ = (iδ + ln ρ)T−1
. (1.3.8)
Доказательство. Положим
ϕ0(t) = x0(t)e−γt
.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
16. 16 ГЛАВА 1. Теория зон устойчивости
Тогда периодичность ϕ0(t) следует из леммы 1.3.1. Действительно,
ϕ0(t + T) = x0(t + T)e−γt−γT
= x0(t)eγT−γt−γT
= x0(t)e−γt
= ϕ0(t). (1.3.9)
Из (1.3.9) непосредственно вытекает равенство (1.3.7). Лемма доказана.
В том случае, когда матрица монодромии имеет два линейно незави-
симых собственных вектора, существуют два линейно независимых ре-
шения (1.3.1), представимых в виде (1.3.7). Рассмотрим теперь случай,
когда существует лишь один (с точностью до множителя) собственный
вектор (x0, ˙x0). В этом случае необходимо µ1 = µ2 = µ = ρeiδ
. Присоеди-
ненный вектор обозначим через (x0
, ˙x0
), т.е.
U
x0
˙x0
= µ
x0
˙x0
, U
x0
˙x0 = µ
x0
˙x0 +
x0
˙x0
. (1.3.10)
Пусть x0(t) и x0
(t) – решения уравнения (1.3.1) с начальными условиями
x0(0) = x0, ˙x0(0) = ˙x0; x0
(0) = x0
, ˙x0
(0) = ˙x0
. Из леммы 1.3.2 получаем,
что
x0(t) = ϕ0(t)eγt
, ϕ0(t + T) ≡ ϕ(t), γ = (iδ + ln ρ)T−1
.
Лемма 1.3.3. Существует такая T-периодическая функция ϕ0
(t),
что
x0
(t) = ϕ0
(t)eγt
+ atϕ0(t)eγt
, a = (Teγt
)−1
. (1.3.11)
Доказательство. Как и в лемме 1.3.1, из условий (1.3.10) приходим
к выводу, что
x0
(t + T) ≡ µx0
(t) + x0(t).
Функцию ϕ0
(t) определим равенством
ϕ0
(t) = x0
(t)e−γt
− atϕ0(t). (1.3.12)
Как и при обосновании леммы 1.3.2, непосредственно устанавливаем пе-
риодичность этой функции. Формула (1.3.11) есть следствие (1.3.12).
Лемма доказана.
Основной результат настоящего параграфа состоит в получении кри-
терия устойчивости решений в терминах мультипликаторов уравнения
(1.3.1).
Теорема 1.3.1.
1. Для асимптотической устойчивости решений (1.3.1) необходи-
мо и достаточно, чтобы выполнялись неравенства
| µi |< 1, i = 1, 2. (1.3.13)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
17. § 1.3. Уравнения с периодическими коэффициентами 17
2. Для устойчивости решений (1.3.1) необходимо и достаточно,
чтобы выполнялись неравенства
| µi |≤ 1, i = 1, 2, (1.3.14)
и при | µ1 |=| µ2 |= 1 матрица монодромии имела два линейно незави-
симых собственных вектора.
Доказательство. Общее решение (1.3.1) в том случае, когда матри-
ца монодромии имеет два линейно независимых собственных вектора,
дается формулой
x(t) = c1ϕ1(t)eγ1t
+ c2ϕ2(t)eγ2t
(1.3.15)
в случае, когда существует присоединенный вектор, формулой
x(t) = [c1ϕ1(t) + c2ϕ2(t) + c2tϕ1(t)] eγ1t
. (1.3.16)
В (1.3.15) и (1.3.16) функции ϕ1(t) и ϕ2(t) периодичны, c1 и c2 - произ-
вольные постоянные, γk = (iδk + ln ρk)T−1
(k = 1, 2; µk = ρkeiδk
). Условия
(1.3.13) означают, что Re γk < 0 (k = 1, 2). Последнее, в свою очередь,
есть необходимое и достаточное условие стремления к нулю всех ре-
шений (1.3.1) при t → ∞. Условие (1.3.14) эквивалентно неравенствам
Re γi ≤ 0, а условие отсутствия присоединенного вектора у матрицы
монодромии означает, что x(t) определяется формулой (1.3.15), а не
(1.3.16). В заключение остается заметить, что при Re γ1 = Re γ2 = 0
решение (1.3.16) при c2 = 0 неограниченно. Теорема доказана.
Сделаем несколько замечаний. Сначала отметим, что для асимптоти-
ческой устойчивости решений (1.3.1) необходимо выполнение неравен-
ства
M(p) =
1
T
T
0
p(s)ds > 0.
Это следует из (1.3.4) и (1.3.13). Если же M(p) < 0, то решения (1.3.1)
неустойчивы. Пусть теперь M(p) = 0. Тогда для устойчивости решений
(1.3.1) необходимо и достаточно, чтобы либо мультипликаторы µ1 и µ2
были комплексными, либо µ1 = µ2 = ±1, и матрица U не имела присо-
единенного вектора. Действительно, требование комплексности мульти-
пликаторов вместе с равенством µ1µ2 = 1 означает, что | µ1 |=| µ2 |= 1
и µ1 и µ2 различны (µ1 = µ2). Различным же собственным значениям
отвечают линейно независимые собственные векторы матрицы U, т.е.
присоединенного вектора быть не может.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
18. 18 ГЛАВА 1. Теория зон устойчивости
§ 1.4. Теория зон устойчивости А.М. Ляпунова
Настоящий параграф является центральным. В нем будут изложены ос-
новные положения теории зон устойчивости А.М. Ляпунова. Приводи-
мые здесь доказательства теорем принадлежат Э. Коддингтону и И. Ле-
винсону [4] (глава 8, §3).
Рассмотрим дифференциальное выражение
¨x + p(t) ˙x + [λr(t) + q(t)]x = 0, (1.4.1)
где λ — параметр. Здесь и далее T-периодические функции r(t) > 0
(t ∈ [0, T]) и q(t) непрерывны, p(t) непрерывно дифференцируема. Глав-
ное ограничение на функцию p(t) состоит в том, что
M(p) =
1
T
T
0
p(s)ds = 0. (1.4.2)
Значения λ, при которых уравнение (1.4.1) имеет (нетривиальное) реше-
ние, удовлетворяющее периодическим краевым условиям
x(0) = x(T), ˙x(0) = ˙x(T), (1.4.3)
называются собственными значениями периодической краевой задачи.
Аналогично, значения λ, при которых уравнение (1.4.1) имеет (нетриви-
альное) решение, удовлетворяющее антипериодическим краевым услови-
ям
x(0) = −x(T), ˙x(0) = − ˙x(T), (1.4.4)
называются собственными значениями антипериодической краевой зада-
чи. Собственные значения задачи (1.4.1),(1.4.3) будем обозначать через
λ+
, а собственные значения задачи (1.4.1),(1.4.4) — через λ−
.
Введем в рассмотрение матрицу монодромии U(λ), мультипликаторы
которой обозначим через µi(λ) (i = 1, 2). Напомним, что
det U(λ) = µ1(λ) · µ2(λ) = 1. (1.4.5)
Важным для дальнейшего будут следующие простые замечания: λ = λ+
тогда и только тогда является собственным значением периодической
краевой задачи, когда
µ1(λ+
) = µ2(λ+
) = 1, (1.4.6)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
19. § 1.4. Теория зон устойчивости А.М. Ляпунова 19
и λ = λ−
тогда и только тогда есть собственное значение антипериоди-
ческой краевой задачи, когда
µ1(λ−
) = µ2(λ−
) = −1. (1.4.7)
Нам понадобится еще след f(λ) матрицы монодромии, т.е.
f(λ) = µ1(λ) + µ2(λ). (1.4.8)
Отсюда и из (1.4.6) и (1.4.7) заключаем, что собственные значения пе-
риодической (антипериодической) краевой задачи и только они являются
корнями уравнения
f(λ) = 2 (f(λ) = −2). (1.4.9)
Основные утверждения, которые будут сформулированы в конце па-
раграфа в виде теорем, явятся следствием приводимых ниже лемм.
Прежде всего в уравнении (1.4.1) произведем замену
x = ye
−1
2
t
0
p(s)ds
, (1.4.10)
в результате которой, переобозначая y = x, получим уравнение
¨x + [λr(t) + g(t)]x = 0, (1.4.11)
где
g(t) = q(t) −
1
2
˙p(t) −
1
4
p2
(t).
Из (1.4.2) следует, что при замене (4.12) собственные значения пери-
одической и антипериодической краевых задач для уравнения (1.4.11) те
же, что и для уравнения (1.4.1). Поэтому в дальнейшем будем рассмат-
ривать уравнение (1.4.11).
Лемма 1.4.1. Все собственные значения рассматриваемых крае-
вых задач вещественны.
Доказательство. Достаточно установить справедливость леммы для
λ+
, поскольку λ−
является в то же время собственными значениями пе-
риодической с периодом 2Т краевой задачи для того же уравнения. Итак,
пусть λ+
— собственное значение, а x+
(t) — отвечающая ему собствен-
ная функция. Поступим так же, как и при обосновании соответствующе-
го утверждения в §1.2. Положим в (1.4.11) λ = λ+
, x = x+
(t) и умножим
каждое слагаемое этого уравнения на x+
(t). После этого проинтегриру-
ем полученное выражение от 0 до Т и вычтем аналогичное выражение,
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
20. 20 ГЛАВА 1. Теория зон устойчивости
которое получается при замене λ+
на λ
+
и x+
(t) на x+
(t). В результате
получим
(λ+
− λ
+
)
T
0
r(t)x+
(t)x+
(t)dt = 0.
Отсюда следует, что λ+
= λ
+
, т.е. λ+
вещественно. Лемма доказана.
Введем далее в рассмотрение для уравнения (1.4.11) еще одну крае-
вую задачу
x(0) = x(T) = 0. (1.4.12)
Эта краевая задача, принадлежащая классу краевых задач Штурма-
Лиувилля, называется первой. Из результатов §1.2 вытекает, что су-
ществует бесконечно много собственных значений µj (j = 0, 1, . . .) этой
краевой задачи, причем
µ0 < µ1 < µ2 < . . . (1.4.13)
каждому λ = µ отвечает собственная функция, имеющая ровно j нулей
на интервале (0, Т). Количество же нулей этой функции на отрезке [0, Т]
равно, очевидно, j + 2.
Обозначим, наконец, через ν0 наименьшее собственное значение кра-
евой задачи для уравнения (1.4.11) и краевых условий
˙x(0) = ˙x(T) = 0.
Согласно результатам §1.2, собственная функция x(t, ν0) для этого соб-
ственного значения положительна на [0, Т]. Отсюда и из теоремы срав-
нения §1.1 получаем неравенство
ν0 < µ0.
Следующие утверждения посвящены детальному анализу поведения сле-
да матрицы монодромии.
Лемма 1.4.2. Имеют место неравенства
f(ν0) ≥ 2, f(µ2i) ≤ −2, f(µ2i+1) ≥ 2, i = 0, 1, . . . (1.4.14)
Доказательство. Обозначим через x1(t, λ) и x2(t, λ) решения (1.4.11)
с начальными условиями
x1(0, λ) = 1, ˙x1(0, λ) = 0; x2(0, λ) = 0, ˙x2(0, λ) = 1.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
21. § 1.4. Теория зон устойчивости А.М. Ляпунова 21
Из определения матрицы монодромии для ее следа f(λ) кроме формулы
(1.4.8) верно представление
f(x) = x1(T, λ) + ˙x2(T, λ). (1.4.15)
Пусть теперь λ = µi. Тогда функция x2(t, µi) является собственной
функцией первой краевой задачи. Это означает, что x2(T, µi) = 0 и
x2(t, µi) имеет ровно i нулей на (0, Т). Таким образом,
(−1)i+1
˙x2(T, µi) > 0. (1.4.16)
Учтем еще равенство (1.4.5), которое имеет вид
x1(T, λ) ˙x2(T, λ) − ˙x1(T, λ)x2(T, λ) = 1. (1.4.17)
Тогда при λ = µi отсюда находим, что
˙x2(T, µi) =
1
x1(T, µi)
.
Подставляя последнее равенство в (1.4.15), получим
f(µi) = x1(T, µi) +
1
x1(T, µi)
.
Отсюда и из (1.4.16) вытекает обоснование неравенств
f(µ2i) ≤ −2, f(µ2i+1) ≥ 2, i = 0, 1, . . .
Пусть теперь λ = ν0. Тогда x1(t, ν0) является собственной функ-
цией, отвечающей этому собственному значению, причем x1(t, ν0) > 0
(t ∈ [0, T]), ˙x1(T, ν0) = 0. Формула (1.4.17) при λ = ν0 принимает более
простой вид:
x1(T, ν0) ˙x2(T, ν0) = 1.
Отсюда находим, что
f(ν0) = x1(T, ν0) +
1
x1(T, ν0)
≥ 2.
Лемма доказана.
Лемма 1.4.3. Пусть λ0 - корень одного из уравнений (1.4.9), при-
чем λ0 = µi (i = 0, 1, . . .). Тогда,
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
22. 22 ГЛАВА 1. Теория зон устойчивости
во-первых, λ0 есть простое собственное значение для краевых
условий (1.4.3) или (1.4.4) и,
во-вторых, f (λ0) < 0, если λ0 < µ0 и (−1)i
f (λ0) > 0, если
µi < λ < µi+1 f = df
dλ .
Доказательство. Выразим f (λ) через функции x1(t, λ) и x2(t, λ).
Для этого рассмотрим сначала функцию u(t, λ) = ∂x1(t,λ)
∂λ . Очевидно,
u(0, λ) = ˙u(0, λ) = 0 и
¨u + (λr(t) + g(t))u = −r(t)x1(t, λ).
Из формулы вариации произвольной постоянной получаем
u(t, λ) =
t
0
[x1(t, λ)x2(τ, λ) − x1(τ, λ)x2(t, λ)] r(τ)x1(τ, λ)dτ.
Отсюда
∂x1(T, λ)
∂λ
= u(T, λ) =
=
T
0
[x1(T, λ)x2(τ, λ) − x1(τ, λ)x2(T, λ)] r(τ)x1(τ, λ)dτ.
(1.4.18)
Аналогично находим
∂ ˙x2(T, λ)
∂λ
=
T
0
[ ˙x1(T, λ)x2(τ, λ) − x1(τ, λ) ˙x2(T, λ)] r(τ)x2(τ, λ)dτ.
Складывая последние два выражения, получаем равенство
f (λ) =
T
0
x2
2(τ, λ) ˙x1(T, λ) + x2(τ, λ)x1(τ, λ) [x1(T, λ)−
− ˙x2(T, λ)] − x2
1(τ, λ)x2(T, λ) r(τ)dτ.
(1.4.19)
Выражение, стоящее в фигурной скобке (1.4.19), является квадратичной
формой относительно x1(τ, λ) и x2(τ, λ). Эта форма не меняет знака,
если [x1(T, λ) − ˙x2(T, λ)]2
+ 4 ˙x1(T, λ)x2(T, λ) ≤ 0. Учитывая (1.4.17), это
неравенство можно переписать в виде
[x1(T, λ) + ˙x2(T, λ)]2
≤ 4. (1.4.20)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
23. § 1.4. Теория зон устойчивости А.М. Ляпунова 23
Итак, при условии −2 < f(λ) < 2 фигурная скобка имеет определенный
знак. Если f(λ) = 2 или −2, то, с точностью до множителя −1, эта
скобка есть точный квадрат и f (λ) может обратиться к нулю лишь
тогда, когда фигурная скобка тождественно по τ равна нулю.
Пусть λ = λ0, где λ0 удовлетворяет условиям леммы. Тогда, очевидно,
x2(T, λ0) = 0, а значит, фигурная скобка в (1.4.19) не равна тождествен-
но нулю, причем знак f (λ0) совпадает со знаком величины −x2(T, λ0).
Пользуясь опять теоремой сравнения §1.1, находим, что имеет место
неравенство
(−1)i
x2(T, λ0) < 0, если µi < λ0 < µi+1.
Тем самым доказательство леммы завершено.
В том случае, когда f(µi) = ±2 и f (µi) = 0, число λ = µi есть простое
собственное значение краевой задачи (1.4.1), (1.4.3) или (1.4.1), (1.4.4).
Лемма 1.4.4. Пусть для некоторого номера i
(−1)i+1
f(µi) = 2, f (µi) = 0. (1.4.21)
Тогда, во-первых, µi является кратным собственным значением для
(1.4.1), (1.4.3), если i нечетно, и для (1.4.1), (1.4.4), если i четно, при-
чем значению λ = µi отвечают две линейно независимые собственные
функции. Во-вторых, имеет место неравенство
(−1)i+1
f (µi) < 0. (1.4.22)
Доказательство. Предположим для определенности, что i нечетно.
Из соотношений (1.4.21) вытекает, что каждое слагаемое, стоящее в
фигурных скобках (1.4.19), есть тождественный нуль, т.е.
x2(T, µi) = ˙x1(T, µi) = 0, x1(T, µi) = ˙x2(T, µi) = 1. (1.4.23)
Обозначим для краткости
ϕλ =
∂x(T, λ)
∂λ
, ˙ϕλ =
∂ ˙x(T, λ)
∂λ
, ψλ =
∂x2(T, λ)
∂λ
, ˙ψλ =
∂ ˙x2(T, λ)
∂λ
.
Тогда
f (λ) = ϕλλ + ˙ψλλ. (1.4.24)
Продифференцировав (1.4.17) по λ, получим
˙x1(T, λ)ψλ + x2(T, λ) ˙ϕλ − x(T, λ) ˙ψλ − ˙x2(T, λ)ϕλ = 0. (1.4.25)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
24. 24 ГЛАВА 1. Теория зон устойчивости
Учитывая здесь (1.4.23), приходим к выводу, что
ϕλ = − ˙ψλ, λ = µi. (1.4.26)
Дифференцируя снова (1.4.25) и используя (1.4.23) и (1.4.26), находим
2ψλ ˙ϕλ + 2ϕ2
λ − ψλλ − ϕλλ = 0, λ = µi.
Выражая отсюда ϕλλ + ˙ψλλ и подставляя найденное выражение в (1.4.24),
получим новое представление для f (λ):
f (µi) = 2 ϕ2
λ(µi) + ψλ(µi) ˙ϕλ(µi) . (1.4.27)
Для величин, фигурирующих в правой части (1.4.27), можно полу-
чить формулы, аналогичные (1.4.18), выражающие их через x1(t, λ) и
x2(t, λ).
Так, например, используя (1.4.23) и (1.4.18), придем к следующему
соотношению:
ϕλ =
T
0
x1(τ, µi)x2(τ, µi)r(τ)dτ.
Аналогично найдем
ψλ =
T
0
x2
2(τ, µi)r(τ)dτ, ˙ϕλ = −
T
0
x2
1(τ, µi)r(τ)dτ.
В итоге выражение для f (µi) принимает вид
f (µi) = 2
T
0
x1(τ, µi)x2(τ, µi)r(τ)dτ
2
−
T
0
x2
1(τ, µi)r(τ)dτ ×
×
T
0
x2
2(τ, µi)r(τ)dτ .
(1.4.28)
Из неравенства Коши-Буняковского вытекает, что правая часть
(1.4.28) неположительна, причем равенство нулю возможно лишь при
x1(τ, µi) ≡ x2(τ, µi). Последнее же места не имеет в силу линейной неза-
висимости решений. Тем самым, установлено неравенство f (µi) < 0.
Лемма доказана.
На основании результатов лемм 1.4.2 — 1.4.4 можно заключить, что
график функции f(λ) имеет вид, представленный на рисунке 1.1.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
25. § 1.4. Теория зон устойчивости А.М. Ляпунова 25
Рис. 1.1
Таким образом, непосредственным следствием этих лемм является
существование бесконечных последовательностей собственных значений
λ+
n (n = 0, 1, . . .) и λ−
n (n = 1, 2, . . .) периодической и антипериодической
краевых задач, причем
λ+
0 < λ−
1 ≤ µ0 ≤ λ−
2 < λ+
1 ≤ µ1 ≤ λ+
2 < λ−
3 ≤ µ2 ≤ λ−
4 < λ+
3 ≤ . . . (1.4.29)
Собственные функции, отвечающие λ+
n и λ−
n , обозначим через x+
n (t)
и x−
n (t) соответственно. Изучим теперь осцилляционные свойства этих
функций.
Лемма 1.4.5. Функция x+
0 (t) не имеет нулей на [0, Т]; функции
x+
2n+1(t) и x+
2n+2(t) (n = 0, 1, . . .) имеют каждая точно 2n + 2 нулей
на полуинтервале [0, Т), а функции x−
2n+1(t) и x−
2n+2(t) имеют каждая
точно 2n + 1 нулей на [0, Т).
Доказательство. В силу краевых условий функция x+
n (t) имеет чет-
ное число нулей, а x−
n (t) - нечетное. Собственными функциями для кра-
евых условий (1.4.11) являются x2(t, µn) с n нулями на интервале (0, Т).
Поскольку λ+
0 < µ0, то функция x+
0 (t) не может иметь (по теореме 1.1.1)
двух нулей на [0, Т), а так как число нулей x+
0 (t) на этом полуинтервале
четно, то это число должно быть нулем.
Далее, из неравенств
µ2n < λ+
2n+1 ≤ λ+
2n+2 < µ2n+2, (n ≥ 0)
следует, что функции x+
2n+1(t) и x+
2n+2(t) имеют более 2n+1 нулей и менее
2n + 4 нулей на [0, Т), т.е. точно 2n + 2. Для функций x−
n (t) рассуждения
аналогичны. Лемма доказана.
Подведем итог сказанному в этом параграфе.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
26. 26 ГЛАВА 1. Теория зон устойчивости
Теорема 1.4.1. Существует бесконечно много собственных зна-
чений λ+
n (n = 0, 1, . . .) периодической краевой задачи и λ−
n (n = 1, 2, . . .)
антипериодической краевой задачи, все из которых вещественные,
причем имеют место неравенства
−∞ < λ+
0 < λ−
1 ≤ λ−
2 < λ+
1 ≤ λ+
2 < λ−
3 ≤ λ−
4 < λ+
3 ≤ λ+
4 < . . . .
Для λ = λ+
0 существует единственная (с точностью до множите-
ля) собственная функция x+
0 (t). Если для некоторого номера n име-
ет место неравенство λ+
2n+1 < λ+
2n+2, то существуют единственные
собственные функции x+
2n+1(t) и x+
2n+2(t). Если же λ+
2n+1 = λ+
2n+2, то
существуют две линейно независимые собственные функции x+
2n+1(t)
и x+
2n+2(t). Далее, функция x+
0 (t) не имеет нулей на [0, Т]; x+
2n+1(t) и
x+
2n+2(t) имеют точно по 2n + 2 нулей на [0, Т). Аналогичные резуль-
таты имеют место для функций x−
n (t) с той лишь разницей, что
x+
2n+1(t) и x−
2n−2(t) имеют по 2n + 1 нулей на [0, Т).
Изучим в заключение вопрос об устойчивости решений при различ-
ных значениях λ.
Теорема 1.4.2. Пусть значение параметра λ таково, что для
некоторого n
1. λ ≤ λ+
0 или λ±
2n+1 ≤ λ ≤ λ±
2n+2 (λ±
2n+1 = λ±
2n+2). (1.4.30)
Тогда решения уравнения (1.4.1) неустойчивы.
2. λ = λ±
2n+1 = λ+
2n+2 или λ−
2n+2 < λ < λ+
2n+1 или λ+
2n < λ < λ−
2n+1.(1.4.31)
Тогда решения (1.4.1) устойчивы.
Отметим, что промежутки (−∞, λ+
0 ], [λ±
2n+1, λ±
2n+2] (n = 0, 1, . . .)
называются зонами неустойчивости решений (1.4.1), а промежутки
(λ+
2n, λ−
2n+1) и (λ−
2n+2, λ+
2n+1) (n = 0, 1, . . .) называются зонами устойчи-
вости.
Доказательство теоремы. Сначала обоснуем первое утверждение
теоремы. Пусть в (1.4.30) неравенства строгие. Тогда, как следует из
свойств следа f(λ) матрицы монодромии, имеет место неравенство
| f(λ) |> 2.
Отсюда и из (1.4.5) и (1.4.8) вытекает, что мультипликаторы веществен-
ны и один из них по модулю превосходит 1. Для доказательства неустой-
чивости решений (1.4.1) в этом случае остается сослаться на теорему
1.3.1.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
27. § 1.4. Теория зон устойчивости А.М. Ляпунова 27
Пусть теперь λ = λ±
2n+1 или λ = λ±
2n+2, причем λ±
2n+1 = λ±
2n+2. В этом
случае оба мультипликатора равны +1 или −1, а уравнение (1.4.1) имеет
лишь одно (с точностью до множителя) периодическое решение. Поэтому
найдется решение x(t), которое согласно лемме 1.3.3 имеет вид
x(t) = tϕ1(t) + ϕ2(t),
где периодические функции ϕ1(t) и ϕ2(t) не равны тождественно нулю.
Наличие неограниченного решения, очевидно, влечет за собой неустой-
чивость решений.
Докажем затем второе утверждение теоремы. При вычислении пер-
вого из условий (1.4.31) существуют два линейно независимых периоди-
ческих решения уравнения (1.4.1). Отсюда следует устойчивость. Если
же выполнены второе или третье условия (1.4.31), то, как было пока-
зано ранее, | f(λ) |< 2. Учитывая, наконец, (1.4.5) и (1.4.8) получаем,
что оба мультипликатора равны по модулю 1 и различны (комплексно
сопряжены).
Устойчивость решений теперь следует из теоремы 1.3.1. Теорема до-
казана.
Уравнение вида (1.4.1) при условии (1.4.2) будем в дальнейшем назы-
вать самосопряженным, а при условии M(p) > 0 — несамосопряженным.
В заключение отметим один интересный факт. Между собственными
значениями λ+
n , λ−
n и собственными значениями первой краевой задачи
существует более тесная связь. Обозначим через µn(α) (n = 0, 1, . . .) соб-
ственные значения первой краевой задачи на отрезке [α, α + T].
Лемма 1.4.6. Имеют место равенства
λ+
2n+1 = min
α∈[0,T]
µ2n+1(α), λ+
2n+2 = max
α∈[0,T]
µ2n+1(α),
λ−
2n+1 = min
α∈[0,T]
µ2n(α), λ−
2n+2 = max
α∈[0,T]
µ2n(α),
где n = 0, 1, . . ..
Доказательство. Достаточно установить, что каждое значение λ из
промежутков λ+
2n+1, λ+
2n+2 или λ−
2n+1, λ−
2n+2 (n = 0, 1, . . .) является
собственным значением одной из рассматриваемых первых краевых за-
дач.
При указанных λ мультипликаторы (1.4.1) вещественны. Поэтому су-
ществует такое решение x(t, λ) = 0 и такое ненулевое число µ(λ), что
x(t + T, λ) = µ(λ)x(t, λ). (1.4.32)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
28. 28 ГЛАВА 1. Теория зон устойчивости
Далее, из осцилляции решений (1.4.1) следует, что найдется такое
τ(λ) ∈ [0, T], что
x(τ(λ), λ) = 0.
Отсюда и из (1.4.32) получаем, что x(t, λ) является собственной функ-
цией первой краевой задачи на отрезке [τ(λ), τ(λ) + T], а λ является
собственным значением этой же краевой задачи. Лемма доказана.
§ 1.5. Об одном критерии неустойчивости
решений
В этом параграфе на основе предыдущих результатов будет получен
необходимый и достаточный критерий неустойчивости решений в тер-
минах „пробных“ функций. Этот критерий будет использован в дальней-
шем.
1. Постановка задачи и формулировка результатов.
Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение
¨x + p(t) ˙x + q(t)x = 0 (1.5.1)
с Т-периодическими коэффициентами. Будем предполагать, что выпол-
нено неравенство
M(p) ≥ 0. (1.5.2)
Для сокращения записи удобно считать, что Т = 1. Это не ограничивает
общности. В самом деле, в уравнении (1.5.1) можно выполнить замену
времени t = T · τ , которая приводит к уравнению вида
d2
x
dτ2
+ ˜p(τ)
dx
dτ
+ ˜q(τ)x = 0.
Здесь функции ˜p(τ) = Tp(Tτ) и ˜q(τ) = T2
p(Tτ) уже периодичны по τ с
периодом 1.
Отметим еще, что всюду ниже рассматриваются периодические функ-
ции лишь с периодом 1.
Прежде чем сформулировать основной результат настоящего пара-
графа, введем ряд обозначений. Ниже будут фигурировать функции
v0(t), v1(t) и v2(t), которые обладают следующими свойствами. Во-
первых, функция v0(t) периодична, а функции v1(t) и v2(t) либо обе
периодичны, либо обе антипериодичны. Во-вторых, v0(t) положительна,
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
29. § 1.5. Об одном критерии неустойчивости решений 29
а v1(t) и v2(t) имеют одинаковое число m > 0 нулей на полуинтервале
[0, 1). Наконец, в-третьих, справедливо дифференциальное равенство
¨vi(t) + p(t)˙vi(t) + q(t) + (−1)i
ϕi(t) vi(t) = 0, i = 0, 1, 2, (1.5.3)
где непрерывные периодические функции ϕi(t) неотрицательны и
ϕi(t) ≡ 0 (i = 0, 1, 2).
Будем говорить, что решения (1.5.1) не осциллируют на отрезке [0, 1],
если среди решений этого уравнения найдется решение, не имеющее ну-
лей на [0, 1]. В противном случае будем говорить, что решения осцилли-
руют.
Теорема 1.5.1. Пусть решения уравнения (1.5.1) не осциллируют
на отрезке [0, 1]. Тогда его решения неустойчивы в том и только том
случае, если существует функция v0(t) с описанными выше свойства-
ми.
Теорема 1.5.2. Пусть решения уравнения (1.5.1) осциллируют на
отрезке [0, 1]. Тогда его решения неустойчивы в том и только том
случае, когда существует пара функций v1(t) и v2(t) с описанными
выше свойствами.
Отметим, что при условии M(p) = 0 обоснование сформулированных
теорем можно непосредственно получить из теории зон устойчивости
А.М. Ляпунова (см., например, [5], с. 584). В этом случае существует и
аналогичный критерий устойчивости. В случае M(p) > 0 теорема 1.5.1
впервые приведена в [6], а теорема 1.5.2 - в [7]. Обращаем внимание,
что в последнем случае подобного критерия устойчивости не существует.
Следующие 8 пунктов посвящены обоснованию теоремы 1.5.2, а в
последнем пункте доказывается теорема 1.5.1. При этом в первых семи
пунктах обосновывается достаточность условий неустойчивости.
2. Предварительные построения.
Сделаем сначала одно дополнительное предположение, которое будет
снято в пункте 9. Будем считать, что
ϕ1(t) · ϕ2(t) ≡ 0. (1.5.4)
Введем в рассмотрение линейное дифференциальное уравнение
¨x + p(t) + q(t, λ)x = 0. (1.5.5)
Свойства функции q(t, λ), которые мы сейчас опишем, будут играть важ-
ную роль при доказательстве теоремы 1.5.2. Во-первых, эта функция
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
30. 30 ГЛАВА 1. Теория зон устойчивости
непрерывно дифференцируема по λ и, кроме того, для каждого λ ∈ [−2, 2]
выполнены соотношения
qλ(t, λ) =
∂q(t, λ)
∂λ
≥ 0, qλ(t, λ) ≡ 0. (1.5.6)
Во-вторых, выполнены равенства
q(t, −1) ≡ q(t) − ϕ1(t), q(t, 0) ≡ q(t), q(t, 1) ≡ q(t) + ϕ2(t).
Третье свойство заключается в том, что имеют место неравенства
q(t, −2) < 0, (1.5.7)
q(t, 2) ≥ c0, (1.5.8)
где c0 > 0 - некоторое число, выбором которого распорядимся позже.
Легко видеть, что функция q(t, λ), обладающая нужными свойствами,
существует. Например, можно положить
q(t, λ) =
[ϕ1(t) − δ0ϕ1(t)ϕ2(t)] λ3
+
+d0(λ + 1)3
+ λδ0ϕ1(t)ϕ2(t) + q(t), λ ∈ [−2, −1],
[ϕ1(t) − δ0ϕ1(t)ϕ2(t)] λ3
+
+λδ0ϕ1(t)ϕ2(t) + q(t), λ ∈ (−1, 0],
[ϕ2(t) − δ0ϕ1(t)ϕ2(t)] λ3
+
+λδ0ϕ1(t)ϕ2(t) + q(t), λ ∈ (0, 1],
[ϕ2(t) − δ0ϕ1(t)ϕ2(t)] λ3
+
+d0(λ − 1)3
+ λδ0ϕ1(t)ϕ2(t) + q(t), λ ∈ (1, 2],
(1.5.9)
а положительные постоянные δ0 и d0 можно определить здесь так, чтобы
выполнялись соотношения
δ0 < max max
t∈[0,1]
ϕ1(t), max
t∈[0,1]
ϕ2(t)
−1
, d0 ≥ c0 + max
t∈[0,1]
| q(t) | .
Доказательство теоремы основано на анализе поведения мультипли-
каторов ν1(λ) и ν2(λ) уравнения (1.5.5). Условимся для определенности
считать, что
| ν1(λ) |≥| ν2(λ) |, λ ∈ [−2, 2].
Тогда из (1.5.2) и (1.5.3) вытекают равенства
ν1(−1) = ν2(1) = (−1)m
. (1.5.10)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
31. § 1.5. Об одном критерии неустойчивости решений 31
Отметим, что здесь в правой части стоит знак ’+’, если функции
v1(t) и v2(t) периодические, и знак ’–’, если функции антипериодические.
Обоснование достаточности будет получено, если покажем, что
| ν1(λ) |> 1, когда λ ∈ (−1, 1). (1.5.11)
Введем в рассмотрение самосопряженное дифференциальное уравне-
ние
¨y + q(t, λ) −
1
2
˙p(t) −
1
4
p2
(t) y = 0, (1.5.12)
которое получается из (1.5.5), а это будет особенно важно, при помощи
замены
x = ye
−1
2
t
0
p(τ)dτ
. (1.5.13)
Обозначим через y1(t, τ, λ) и y2(t, τ, λ) решения уравнения (1.5.12) с на-
чальными условиями
y1(τ, τ, λ) = ˙y2(τ, τ, λ) = 1, ˙y1(τ, τ, λ) = y2(τ, τ, λ) = 0.
Функция
f(λ) = y1(τ + 1, τ, λ) + ˙y2(τ + 1, τ, λ) (1.5.14)
является следом матрицы монодромии (1.5.12) и поэтому не зависит от τ.
Исследование свойств f(λ) занимает центральное место при доказатель-
стве теоремы 1.5.2. Порядок дальнейших рассуждений таков. Сначала
покажем, что функция | f(λ) | ведет себя на некотором отрезке [λ0, λ0
]
так, как это показано на рис. 1.2.
Рис. 1.2
Сформулируем точно нужный факт: найдутся два таких числа
λ0 ∈ (−2, −1] и λ0
∈ [1, 2), что
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
32. 32 ГЛАВА 1. Теория зон устойчивости
1. f(λ0) = f(λ0
) = 2 · (−1)m
. (1.5.15)
2. (−1)m
f(λ0) > 2, λ ∈ (λ0, λ0
). (1.5.16)
3. Функция f (λ) = ∂f(λ)
∂λ имеет не более одного нуля на интервале
(λ0, λ0
).
Отметим, что особую трудность составляет обоснование последнего
свойства. Отсюда уже легко будет следовать справедливость неравенства
(1.5.11). Действительно, пусть µ1(λ) и µ2(λ) — мультипликаторы уравне-
ния (1.5.12). Пусть для определенности | µ1(λ) |≥| µ2, (λ) | (λ ∈ [−2, 2]).
Тогда, с одной стороны, из равенства (1.5.13) получаем, что
ν1(λ) = µ1(λ)e
−1
2
1
0
p(t)dt
, (1.5.17)
а с другой, в силу определения f(λ), что
f(λ) = µ1(λ) +
1
µ1(λ)
. (1.5.18)
Далее, так как | µ1(λ) | есть монотонно возрастающая функция | f(λ) |
при | µ1(λ) |≥ 1, т.е. при λ ∈ [λ0, λ0
], то в силу (1.5.10)
(−1)m
µ1(λ) > (−1)m
µ1(−1) = (−1)m
µ1(1), λ ∈ (−1, 1). (1.5.19)
Неравенство (1.5.11) является теперь непосредственным следствием
неравенства (1.5.19) и равенств (1.5.10) и (1.5.17).
3. Вспомогательное утверждение.
Утверждение этого пункта будет использовано ниже для установле-
ния нужных свойств функции f(λ).
Пусть xτ (t, λ) - решение уравнения (1.5.12), обращающееся в нуль в
точке τ. Введем в рассмотрение функцию ψk(τ, λ), равную расстоянию
от τ до k-го следующего нуля функции xτ (t, λ). Из теоремы сравнения
(§1.1) вытекает, что при любых k и τ функция ψk(τ, λ) монотонно убы-
вает по λ. Далее, если при некотором λ = λ мультипликаторы (1.5.12)
комплексны, то найдется такой номер k0, что
max
τ∈[0,1]
ψk0
(τ, λ) < 1, min
τ∈[0,1]
ψk0+1(τ, λ) > 1.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
33. § 1.5. Об одном критерии неустойчивости решений 33
Действительно, в предположении противного существует такой номер k0
и такая точка τ0 ∈ [0, 1], что ψk0
(τ0, λ) = 1. Отсюда вытекает существова-
ние такого вещественного числа µ0 = 0, что
xτ0
(t + 1, λ) ≡ µ0xτ0
(t, λ),
т.е. µ0 является вопреки предположению, вещественным мультипликато-
ром (1.5.12).
Отметим еще, что необходимым и достаточным условием принадлеж-
ности значения λ = λ зоне устойчивости является в случае осцилляции
решений выполнение неравенств
max
τ∈[0,1]
ψk0
(τ, λ) ≥ 1, min
τ∈[0,1]
ψk0
(τ, λ) ≤ 1
для некоторого k0 > 0. Наконец, значения λ = λ1 и λ = λ2 являются
соответственно левой и правой границами зоны неустойчивости, если
min
τ∈[0,1]
ψk0
(τ, λ1) = 1, max
τ∈[0,1]
ψk0
(τ, λ2) = 1.
Значения λ1 и λ2 являются собственными значениями периодической или
антипериодической краевой задачи.
4. Существование чисел λ0 и λ0
, фигурирующих в (1.5.15).
При λ = −2 функция q(t, −2) неположительна. Поэтому при этом
значении λ решения (1.5.12) не осциллируют. С другой стороны, при
λ = −1 это уравнение имеет решение y = v1(t)e
1
2
t
0
p(s)ds
, обращающееся
в нуль на [0, 1) ровно m > 0 раз. С помощью утверждений предыдущего
пункта отсюда выводим существование такого λ0 ∈ (−2, −1], что
max
τ∈[0,1]
ψm(τ, λ0) = 1, min
τ∈[0,1]
ψm(τ, λ0) < 1.
При этом имеет место неравенство
(−1)m
f(λ) > 2, λ ∈ (λ0, −1]. (1.5.20)
Прежде чем доказывать существование λ0
из (1.5.15), определим ве-
личину c0 в (1.5.8). Положим
c0 = π2
(m + 2)2
+ max
t∈[0,1]
1
2
| ˙p(t) | +
1
4
p2
(t) .
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
34. 34 ГЛАВА 1. Теория зон устойчивости
При таком выборе c0 имеет место неравенство
q(t, 2) −
1
2
˙p(t) −
1
4
p2
(t) ≥ π2
(m + 2)2
.
Поэтому количество нулей на [0, 1] решений уравнения (1.5.12) при λ = 2
не менее m + 2.
Таким образом, ψm+2(τ, 2) < 1, а max ψm(τ, 1) ≥ 1. Отсюда найдется
такое λ0
∈ [1, 2), что
max
τ∈[0,1]
ψm(τ, λ0
) = 1.
При этом имеет место неравенство
(−1)m
f(λ) > 2, λ ∈ [1, λ0
), (1.5.21)
аналогичное (1.5.20).
5. Обоснование неравенства (1.5.16).
Предположим противное, т.е. пусть найдется такое λ ∈ (−1, 1), что
| f(λ) |= 2. Обозначим через τ1 и τ2 точки из отрезка [0, 1], в которых
функции v1(t) и v2(t) обращаются в нуль соответственно. Очевидно,
ψm(τ1, −1) = −1.
Из определения λ тогда вытекает равенство
max
τ∈[0,1]
ψm(τ, λ) = 1.
Наконец, из монотонности ψm(τ, λ) по λ заключаем, что для λ > λ
max
τ∈[0,1]
ψm(τ, λ) < 1.
Однако, в точке τ = τ2 верно равенство ψm(τ2, 1) = 1. Получено противо-
речие. Таким образом, неравенство (1.5.16) доказано.
6. Одно вспомогательное неравенство.
Пусть для некоторого ˜λ ∈ (λ0, λ0
) выполнено условие
f (˜λ) = 0. (1.5.22)
Тогда из самого определения мультипликаторов следует существование
единственного (с точностью до множителя) решения y2(t, λ) уравнения
(1.5.12), для которого
y2(t + 1, λ) ≡ µ2(˜λ)y2(t, λ), λ ∈ (λ0, λ0
). (1.5.23)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
35. § 1.5. Об одном критерии неустойчивости решений 35
Обозначим через τ0 ∈ [0, 1) точку, в которой y2(t, ˜λ) обращается в нуль,
и будем считать, что ˙y2(τ0, ˜λ) = 1. Через y1(t, λ) обозначим решение
(1.5.12), для которого y1(τ0, ˜λ) = 1, y1(τ0, λ) = 0. Из (1.5.23) вытекает,
что
y2(τ0 + 1, ˜λ) = 0, ˙y2(τ0 + 1, ˜λ) = µ2(˜λ), (1.5.24)
а из формул (1.5.14) и (1.5.18) получаем равенство
y1(τ0 + 1, ˜λ) = µ1(˜λ). (1.5.25)
Основным содержанием этого пункта является следующий результат.
Лемма 1.5.1. Из условия (1.5.22) следует оценка
τ0+n
τ0
y1(τ, ˜λ)y2(τ, ˜λ)qλ(τ, ˜λ)dτ ≤ c, n = 1, 2, . . . , (1.5.26)
где постоянная c > 0 не зависит от n.
Доказательство. Без потери общности можно считать, что τ0 = 0.
Действительно, при τ0 = 0 в уравнении (1.5.12) следует произвести за-
мену времени ξ = t − τ0 и обозначить ξ снова буквой t, а функции
q(ξ + τ0, λ), p(ξ + τ0), ˙p(ξ + τ0), обозначить опять через q(t, λ), p(t) и ˙p(t)
соответственно.
Введем в рассмотрение фундаментальную матрицу U(t, λ) решений
уравнения (1.5.12). Тогда след fn(λ) матрицы U(n, λ) выражается следу-
ющими двумя формулами:
fn(λ) = µn
1(λ) + µn
2 (λ) (1.5.27)
и
fn(λ) = y1(n, λ) + ˙y2(n, λ).
Из (1.5.27) вытекает, что все нули функции fn(λ) при λ ∈ (λ0, λ0
) и
только они являются в то же время нулями функции f (λ). Отсюда, в
частности, следует, что
fn(˜λ) = 0. (1.5.28)
Подобно выражению (1.4.18), для функции fn(λ) справедливо интеграль-
ное представление
fn(λ) =
n
0
y2
2(τ, λ) ˙y1(n, λ) + y2(τ, λ)y1(τ, λ) [y1(n, λ)−
− ˙y2(n, λ)] − y2
1(τ, λ)y2(n, λ) qλ(τ, λ)dτ.
(1.5.29)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
36. 36 ГЛАВА 1. Теория зон устойчивости
Учитывая здесь равенства (1.5.24), (1.5.25) и (1.5.28), приходим к равен-
ству
0 =
n
0
y2
2(τ, ˜λ) ˙y1(n, ˜λ) + y2(τ, ˜λ)y1(τ, ˜λ) µn
1 (˜λ) − µn
2 (λ) ×
× qλ(τ, ˜λ)dτ.
(1.5.30)
Из (1.5.23) и из условия | µ2(˜λ) |< 1 вытекает следующая оценка для
интеграла от первого слагаемого в правой части (1.5.30):
n
0
y2
2(τ, ˜λ) ˙y1(n, ˜λ)qλ(τ, ˜λ)dτ ≤ c1 | ˙y1(n, ˜λ) |,
где c1 > 0 не зависит от n. В свою очередь, правая часть здесь, очевидно,
допускает оценку
| ˙y1(n, ˜λ) |≤ c2 | µn
1 (˜λ) | . (1.5.31)
Но тогда из неравенства (1.5.30) получаем, что при больших значениях
n выполнено неравенство
µn
1 (˜λ) − µn
2 (˜λ)
n
0
y2(τ, ˜λ)y1(τ, ˜λ)qλ(τ, ˜λ)dτ ≤ c1 · c2 | µn
1(˜λ) | .
Отсюда и из условия | µ1(˜λ) |> 1 непосредственно следует оценка
(1.5.26). Лемма доказана.
7. Единственность нуля функции f (λ) при λ ∈ (λ0, λ0
).
Нужное утверждение будет следовать из приводимой ниже леммы.
Лемма 1.5.2. Из условия f (˜λ) = 0 при ˜λ ∈ (λ0, λ0
) вытекает
неравенство
(−1)m
f (˜λ) < 0, f (λ) =
d2
f(λ)
dλ2
. (1.5.32)
Доказательство. Прежде всего отметим формулу
fn (˜λ) = nµ1(˜λ) µn−1
1 (˜λ) − µn+1
2 (˜λ) ,
которая следует из (1.5.27) и (1.5.18). Отсюда вытекает, что знак функ-
ций в точке fn (λ) в точке λ = ˜λ один и тот же при всех n = 1, 2, . . ..
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
37. § 1.5. Об одном критерии неустойчивости решений 37
Поэтому можно ограничиться рассмотрением случая, когда n достаточно
велико. Поступая так же, как и при выводе формулы (1.4.27), получим
при λ = ˜λ следующее выражение для fn (˜λ):
fn (˜λ) = I1
n + I2
n,
где положено
I1
n =
2 ˙y1(n, ˜λ)
n
0
y1(τ, ˜λ)y2(τ, ˜λ)
τ
0
y2
2(ξ, ˜λ)qλ(ξ, ˜λ)dξqλ(τ, ˜λ)dτ−
−
n
0
y2
2(τ, ˜λ)
τ
0
y1(ξ, ˜λ)y2(ξ, ˜λ)qλ(ξ, λ)dξqλ(τ, ˜λ)dτ
×
×
˙y1(n, ˜λ)
n
0
y1(τ, ˜λ)y2(τ, ˜λ)qλ(τ, ˜λ)dτ − µn
2 (˜λ)
n
0
y2
1(τ, ˜λ)qλ(τ, ˜λ)dτ
×
×
n
0
y2
2(τ, ˜λ)qλ(τ, ˜λ)dτ − µn
2 (˜λ)
n
0
y2
1(τ, ˜λ)
τ
0
y2
2(ξ, ˜λ)qλ(ξ, ˜λ)dξqλ(τ, ˜λ)dτ +
+
n
0
y2
2(τ, ˜λ) ˙y1(n, ˜λ)+ y2(τ, ˜λ)y1(τ, ˜λ) µn
1 (˜λ) − µn
2(˜λ) qλλ(τ, ˜λ)dτ +
+ µn
2(˜λ)
n
0
y2
2(τ, ˜λ)
τ
0
y2
1(ξ, ˜λ)qλ(ξ, ˜λ)dξqλ(τ, ˜λ)dτ, (1.5.33)
I2
n = µn
1 (˜λ)
n
0
y2
1(τ, ˜λ)
τ
0
y2
2(ξ, ˜λ)qλ(ξ, ˜λ)dξqλ(τ, ˜λ)dτ
. (1.5.34)
Величина I1
n удовлетворяет оценке сверху
I1
n ≤ c µn
1(˜λ) , (1.5.35)
где c ≥ 0 не зависит от n. Это следует из того, что аналогичная оценка
верна для каждого слагаемого в (1.5.33). Поясним сказанное. Выражение
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
38. 38 ГЛАВА 1. Теория зон устойчивости
τ
0
y2
2(τ, ˜λ)qλ(τ, ˜λ)dτ удобно представить в виде
τ
0
y2
2(τ, ˜λ)qλ(τ, ˜λ)dτ =
∞
0
y2
2(τ, ˜λ)qλ(τ, ˜λ)dτ −
∞
τ
y2
2(τ, ˜λ)qλ(τ, ˜λ)dτ.
Из (1.5.23) заключаем, что первый интеграл в правой части это-
го равенства сходится, а второй не превосходит по модулю величины
c3 | µ2(˜λ) |2τ
(c3 > 0 – некоторая постоянная, точное значение кото-
рой нас не интересует). Отсюда и из леммы 1.5.1 вытекает, что первое
слагаемое, стоящее в первых квадратных скобках (1.5.33), ограничено
некоторой постоянной, не зависящей от n. Ограниченность второго сла-
гаемого в тех же скобках следует опять из (1.5.23) и леммы 1.5.1. Для
доказательства оценки вида (1.5.35) для остальных слагаемых (1.5.33)
достаточно заметить, что | y1(t, ˜λ) |≤ c4 | µ1(˜λ) |t
(t > 0).
Отрицательность величин (−1)m
fn (˜λ) будет следовать теперь из нера-
венства (1.5.35) и из оценок
I2
n < −c0
n | µn
1(˜λ) |, если m четно,
I2
n > −c0
n | µn
1(˜λ) |, если m нечетно.
(1.5.36)
Здесь c0
> 0 не зависит от n. В справедливости (1.5.36) нетрудно убе-
диться, используя выражение (1.5.34). Действительно, функция y1(t, ˜λ)
имеет вид
y1(t, ˜λ) = ϕ1(t)eγ1t
+ ϕ2(t)e−γ1t
,
в котором ϕ1(t) и ϕ2(t) периодичны (с периодом, вообще говоря, равным
2), а γ1 = ln | µ1(˜λ) |. Отсюда
τ
0
y2
1(ξ, ˜λ)qλ(ξ, ˜λ)dξ ≥ c4 | µ1(˜λ) |2τ
, τ ≥ 1
и далее
n
0
y2
2(τ, ˜λ)
τ
0
y2
1(ξ, ˜λ)qλ(ξ, ˜λ)dξqλ(τ, ˜λ)dτ ≥ c5n | µn
1 (˜λ) | .
Если еще учесть, что первый множитель в (1.5.34) имеет знак, противо-
положный знаку µ1(˜λ), то обоснование (1.5.36) вытекает из последнего
неравенства. Лемма доказана.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
39. § 1.5. Об одном критерии неустойчивости решений 39
8. Завершение доказательства теоремы 1.5.2.
Нам осталось доказать необходимость условий этой теоремы. Введем
в рассмотрение семейство уравнений
¨y + q(t) + λ −
1
2
˙p(t) −
1
4
p2
(t) y = 0, (1.5.37)
зависящих от параметра λ. Из неустойчивости решений уравнения
(1.5.1) следует, что решения (1.5.37) при λ = 0 и подавно неустойчивы,
ибо последнее уравнение при λ = 0 получается из (1.5.1) в результа-
те замены (1.5.13). При этом решения (1.5.37), как и решения (1.5.1),
осциллируют на отрезке [0, 1]. Из результатов §1.4 вытекает тогда, что
существуют такое отрицательное и такое положительное значения λ, при
которых (1.5.37) имеет периодические или антипериодические решения.
Обозначим через λ1 наибольшее из таких отрицательных λ, а через λ1
– наименьшее из таких положительных λ. Далее заметим, что решения
уравнения
¨x + p(t) ˙x + [q(t) + λ]x = 0
устойчивы, когда λ = λ1 и λ = λ1
. Отсюда и из непрерывной зависи-
мости мультипликаторов от параметра λ заключаем, что найдутся такие
λ2 ∈ [λ1, 0) и λ2
∈ (0, λ1
], при которых последнее уравнение имеет перио-
дическое или антипериодическое решение с нужными осцилляционными
свойствами. Таким образом, можно положить
ϕ1(t) ≡ −λ2, ϕ2(t) ≡ λ2
.
Теорема 1.5.2 доказана.
9. Случай ϕ1(t) · ϕ2(t) ≡ 0 (ϕ1(t), ϕ2(t) ≡ 0).
При этом условии qλ(t, 0) ≡ 0. Поэтому предыдущие построения непо-
средственно неприменимы.
Введем в рассмотрение уравнение
¨y + q(t, λ, δ) −
1
2
˙p(t) −
1
4
p2
(t) y = 0,
где
q(t, λ, δ) ≡ q(t, λ) + δλ, δ > 0,
а функция q(t, λ) определяется равенствами (1.5.9). След матрицы моно-
дромии этого уравнения обозначим через f(λ, δ). Для функции f(λ, δ)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
40. 40 ГЛАВА 1. Теория зон устойчивости
при любом δ > 0 уже справедливы все выводы пунктов 2 - 8, ибо
qλ(t, λ, δ) ≥ 0 (≡ 0). Таким образом, имеет место неравенство (0 < δ 1)
| f(λ, δ) |>| f(−1, δ) |, λ ∈ (−1, 1),
причем найдется такое не зависящее от δ число α0, что
| f(0, δ) |> α0+ | f(−1, δ) |. Отсюда и из предельного равенства
lim
δ→0
[f(λ, 0) − f(λ, δ)] = 0,
которое выполняется равномерно относительно λ ∈ [−1, 1], следует спра-
ведливость неравенства | f(0, 0) |≥ α0+ | f(−1, 0) |. Последнее неравен-
ство эквивалентно неустойчивости решений уравнения (1.5.1).
10. Доказательство теоремы 1.5.1.
Необходимость обосновывается так же, как и в предыдущем случае.
Докажем достаточность условий теоремы. Положим q(t, λ) ≡ q(t)+λϕ0(t)
и рассмотрим уравнение
¨y + q(t, λ) −
1
2
˙p(t) −
1
4
p2
(t) = 0. (1.5.38)
Обоснование нужного факта будет получено, если покажем, что выпол-
няется неравенство
f (λ) < 0 при λ ≤ 1, (1.5.39)
где f(λ) — след матрицы монодромии уравнения (1.5.38).
Проведем несколько вспомогательных построений. По условию при
λ = 1 решения (1.5.1), а значит, и (1.5.38) не осциллируют. Поэтому и
для всех λ < 1 решения (1.5.38) тоже не осциллируют. Отсюда, в свою
очередь, следует вещественность мультипликаторов µ1(λ) и µ2(λ). Нам
удобно здесь считать, что µ1(λ) и µ2(λ) занумерованы так, что
0 < µ1(λ) ≤ 1 ≤ µ2(λ), λ ∈ [0, 1]. (1.5.40)
Обозначим через y1(t, λ) решение, которое представимо (согласно §1.3)
в виде
y0(t, λ) = ϕ(t, λ)e−γ(λ)t
,
где ϕ(t, λ) периодичны, а γ(λ) = ln µ2(λ) ≥ 0. Разберем отдельно два
случая.
Первый случай. Пусть для некоторого λ0 < 1 найдется такая точка
t0 ∈ [0, 1], что
˙ϕ(t0, λ0) − γ(λ)ϕ(t0, λ0) = 0. (1.5.41)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
