1. 5.3.3 Phương pháp lấy mẫu tần số
5.3.3a Cơ sở của phương pháp lấy mẫy tần số
Phương pháp lấy mẫu tần số sử dụng phép biến đổi Fourier rời rạc (DFT). Cơ
sở của phương pháp lấy mẫu tần số là xấp xỉ đặc tính biên độ tần số HN(ejω) của
bộ lọc số cần tổng hợp theo đặc tính biên độ tần số H(ejω) của bộ lọc số lý tưởng
cùng loại.
Việc xấp xỉ được thực hiện bằng cách lấy mẫu tần số qua DFT, tức là làm cho
các mẫu của HN(ejω) và H(ejω) bằng nhau tại các tần số rời rạc ωk = kω1 = (k.2π/N)
:
H N (e jω ) ω = kω 1 = H (e jω ) ω = kω 1
Hay :
H N (e
jkω 1
) = H (e jkω 1 )
[5.3-9]
Bằng cách như vậy, tại các điểm tần số rời rạc ωk = kω1 , sai số xấp xỉ giữa
HN(ejω) và H(ejω) bằng 0, còn tại các tần số ở giữa khoảng kω1 và (k + 1)ω1 thì
sai số xấp xỉ là hữu hạn. Sai số xấp xỉ sẽ giảm nhỏ nếu giảm tần số lấy mẫu cơ
bản ω1 = (2π/N), điều đó tương ứng với tăng độ dài N của đặc tính xung h(n)N của
bộ lọc số được tổng hợp.
Trong miền k của DFT, biểu thức [5.3-9] có dạng :
H (k ) N = H (k )
H (k ) N = H (k )
A( k ) N = A( k )
Hay : A(k ) N e jθ ( k ) = A(k )e jθ ( k )
⇔
⇔
Trong đó, H(k)N được lấy mẫu tần số từ đặc tính biên độ tần số H(ejω) của
bộ lọc số lý tưởng cùng loại, tức là :
 1 Khi ω thuéc d¶ i th«ng cña bé läc lý t­ëng.
H (k ) N = H (k ) = 
 0 Khi ω thuéc d¶ i chÆn cña bé läc lý t­ëng.
Hình 5.21 mô tả
cách
lấy
mẫu
đặc
H(ejω)
tính
biên
độ
tần
1
sốH(ejω)của bộ lọc
dải thông lý tưởng
có các tần số cắt :
0 0,94
2,51
3,77
5,34
6,28
ω
ωc1 = 3π/10 = 0,94
H(k)10
1
ωc2 = 8π/10 = 2,51
Việc
lấy
mẫu
tần
số
được
thực
k
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
hiện trong một chu
kỳ 0 ≤ ω < 2π , ứng
với 0 ≤ k ≤ 9 và N =
Hình 5.21 : Lấy mẫu H(ejω) ⇒
10.
Đặc tính biên H(k)10.
độ tần số được lấy
mẫu H(k)10trên hình
5.21 có
dạng đối xứng khi k ∈ [1 , 9] . Trong dải thông của bộ lọc lý tưởng, H(k)10có
sáu mẫu giá trị 1 , năm mẫu ở ngoài dải thông giá trị 0 :
H ( k )10
Sau khi xác định được
H (k ) N
=
{0 , 0 ,1,1,1, 0 ,1,1,1, 0 }
↑
= A( k ) N
H ( k ) N = A( k ) N e
jθ ( k )
, theo [4.4-2] ở chương bốn có :
[5.3-10]
Từ các mẫu DFT H(k)N có thể tìm được đặc tính tần số HN(ejω) của bộ lọc số cần
tổng hợp theo công thức nội suy [tl] :
216

2.  Nω 
sin 
kπ 

ω ( N −1)
1
 2  .e − j  2 + N 
jω


H N (e ) =
H (k ) N
[5.3-11]
N k =0
 ω kπ 
sin  −

N 
2
Từ [5.3-11] , đối với bộ lọc số số FIR pha tuyến tính loại 1 và loại 2 có :
 Nω 
sin 

 N −1 
 N −1 
kπ
N−
1
− jkπ 

1
 2  .e − j N .e − j  2 .ω
jω
 N 


H N (e ) =
A( k ) N e
N k =0
 ω kπ 
sin  −

N 
2
N −1
∑
∑
Trong đó :
e
 N −1 
− jkπ 

 N 
.e
−j
kπ
N
=e
N
− jkπ  
N
e
j
kπ
N
.e
−j
kπ
= e − jkπ = (− 1) k
N
Do đó có đặc tính tần số của bộ lọc FIR pha tuyến tính loại 1 và loại 2 :
sin(0,5 Nω)
H N ( e jω ) =
N−
1
∑
A(k ) N
( −1) k
.e
 N −1 
− j
.ω
 2 
[5.3-12]
 ω kπ 
sin  −

N 
2
Tương tự, đặc tính tần số của bộ lọc FIR pha tuyến tính loại 3 và loại 4 :
H N (e
jω
) =
N
k =0
sin( 0,5 Nω)
N
N−
1
∑ (−1)
k
k =0
A( k ) N
 ω kπ 
sin  −

N 
2
.e
π  N −1  
j  −
.ω
2  2  
[5.3-13]
Từ [5.3-12] và [5.3-13] có biểu thức xác định đặc tính biên độ tần số của cả
bốn loại bộ lọc số FIR pha tuyến tính cần tổng hợp :
H N (e jω) =
sin( 0,5 Nω
)
N
N−
1
( 1
∑− )
k
k=
0
A( k ) N
ω kπ
sin 
−

N 
2
[5.3-14]
Đặc tính pha θ(ω) của bộ lọc FIR pha tuyến tính loại 1 và loại 2 :
 N − 1
ϕ N (ω ) −=   .ω −= α ω
 2
;
 N − 1
α =   .ω
 2
với
[5.3-15]
Đặc tính pha θ(ω) của bộ lọc FIR pha tuyến tính loại 3 và loại 4 :
π  N − 1
ϕ N (ω ) = −   .ω = β − αω
2 2
;
với β =
π
2
và
 N − 1
α =   .ω
 2
[5.3-16]
Khi đặc tính tần số HN(ejω) của bộ lọc cần tổng hợp thỏa mãn các chỉ tiêu kỹ
thuật đã cho, thì bước tiếp theo có thể xác định đặc tính xung h(n)N của các bộ
lọc số cần tổng hợp theo IDFT :
[5.3-19]
h( n) N = IDFT [ H (k ) N ]
Các bộ lọc số FIR pha tuyến tính loại 1 và loại 2 có đặc tính xung h(n)N đối
xứng khi 0 ≤ n ≤ (N - 1) , và θ(k) có dạng [4.4-12] và [4.4-16] :
θ (k ) = −
( N − 1)π
N
.k
[5.3-20]
Hơn nữa, bộ lọc số FIR pha tuyến tính loại 1 có N lẻ, theo mục 4.4.2 chương
bốn thì A(k)N đối xứng trong khoảng 1 ≤ k ≤ (N - 1) và đặc tính xung h(n)N của bộ
lọc số cần tổng hợp được xác định theo [4.4-13] :
217

3. N −1
 kπ

[5.3-21]
Còn bộ lọc
A(k ) N . cos 
(2 n + 1) 
N
N


k =1
số FIR pha tuyến tính loại 2 có N chẵn, theo mục 4.4.3 chương bốn thì A(k)N phản
đối xứng trong khoảng 1 ≤ k ≤ (N - 1) và đặc tính xung h(n)N của bộ lọc số cần
tổng hợp được xác định theo [4.4-17] :
h1 (n) N =
A(0) N
+
2
2
∑(−1)
N
N
k
−1
 kπ

A(k ) N . cos 
(2n + 1) [5.3-22]
N
N

k =1
Các bộ lọc số FIR pha tuyến tính loại 3 và loại 4 có đặc tính xung h(n)N phản
đối xứng khi 0 ≤ n ≤ (N - 1), θ(k) có dạng [4.4-20] và [4.4-24] :
h2 ( n ) N =
A(0) N
+
2
2
∑(−1)
N
θ (k ) =
π
2
k
( N − 1)π
−
N
.k
[5.3-23]
Hơn nữa, bộ lọc số FIR pha tuyến tính loại 3 có N lẻ, theo mục 4.4.4 chương
bốn thì A(k)N phản đối xứng trong khoảng 1 ≤ k ≤ (N - 1) và đặc tính xung h(n)N của
bộ lọc cần tổng hợp được xác định theo [4.4-21] :
N −1
 kπ

[5.3-24]
Còn
A(k ) N . sin 
(2 n + 1) 
N

k =1
bộ lọc số FIR pha tuyến tính loại 4 có N chẵn, theo mục 4.4.5 chương bốn thì A(k)N
đối xứng trong khoảng 1 ≤ k ≤ (N - 1) và đặc tính xung h(n)N của bộ lọc số cần
tổng hợp được xác định theo [4.4-25] :
h3 ( n) N =
2
2
∑(−1)
N
N
h4 ( n ) N =
(−1)
N
n
2
N 
A  −
2 N
N

2
( k +1)
−1
∑(−1)
k =1
k
 kπ

A(k ) N . sin 
( 2n + 1)
N


[5.3-25]
5.3.3b Các bước tổng hợp bộ lọc số theo phương pháp lấy mẫu tần số
Các bước tổng hợp đặc tính xung h(n)N của bộ lọc số FIR pha tuyến tính theo
phương pháp lấy mẫu tần số như sau :
Bước 1 : Chọn số điểm lấy mẫu N [chính là độ dài của đặc tính xung h(n)N ]. Thực
hiện lấy mẫu đặc tính biên độ tần số H(ejω) của bộ lọc lý tưởng cùng loại trong
một chu kỳ 0 ≤ ω < 2π để nhận được đặc tính biên độ tần số rời rạc H(k)N của bộ
lọc số FIR pha tuyến tính cần tổng hợp.
Bước 2 : Xác định đặc tính biên độ tần số HN(ejω) của bộ lọc số FIR pha tuyến
tính cần tổng hợp bằng biểu thức nội suy [5.3-14] .
Để tìm HN(ejω) theo [5.3-14] , trước hết cần xác định A(k)N :
- Bộ lọc loại 1 có A(k)N đối xứng trong khoảng 1 ≤ k ≤ (N - 1).
- Bộ lọc loại 2 có A(k)N phản đối xứng trong khoảng 1 ≤ k ≤ (N - 1).
- Bộ lọc loại 3 : A(k)N phản đối xứng trong khoảng 1 ≤ k ≤ (N - 1), A(0)N = 0.
- Bộ lọc loại 4 có A(k)N đối xứng trong khoảng 1 ≤ k ≤ (N - 1), và A(0)N = 0 .
Bước 3 : Kiểm tra đặc tính biên độ tần số HN(ejω) có đạt các chỉ tiêu kỹ thuật
đã cho δ1 , δ2 , ωc , ∆ω hay không ?
Nếu đạt tất cả các chỉ tiêu kỹ thuật đã cho thì giảm số điểm lấy mẫu N và
thực hiện lại các bước trên cho đến khi chọn được Nmin đảm bảo đạt tất cả các chỉ
tiêu kỹ thuật đã cho.
Nếu không đạt thì tăng số điểm lấy mẫu N và thực hiện lại các bước trên cho
đến khi chọn được Nmin để HN(ejω) của bộ lọc cần tổng hợp đạt được tất cả các chỉ
tiêu kỹ thuật đã cho.
Bước 4 : Xác định đặc tính xung h(n)N của bộ lọc số FIR pha tuyến tính cần tổng
h( n) N = IDFT [ H ( k ) N ]
hợp :
[5.3-26]
- Đối với bộ lọc loại 1 , để tìm h(n)N có thể tính IDFT theo [5.3-21].
- Đối với bộ lọc loại 2 , để tìm h(n)N có thể tính IDFT theo [5.3-22].
- Đối với bộ lọc loại 3 , để tìm h(n)N có thể tính IDFT theo [5.3-24].
- Đối với bộ lọc loại 4 , để tìm h(n)N có thể tính IDFT theo [5.3-25].
Nếu N lớn, thì có thể sử dụng các thuật toán FFT để tính IDFT [5.3-26].
218