1. 1.2
Dãy số
Dãy số được dùng để biểu diễn số liệu và tín hiệu số, cũng như để mô tả hệ xử
lý số, do đó trước hết cần nghiên cứu về các dãy số và các phép toán trên chúng.
1.2.1 Các dạng biểu diễn của dãy số
Dãy số có thể được biểu diễn dưới các dạng hàm số, bảng số liệu, đồ thị, hoặc
dãy số liệu. Dưới dạng hàm số, dãy số x(n) chỉ xác định với đối số là các số
nguyên n, dãy số không xác định ở ngoài các giá trị nguyên n của đối số.
Ví dụ 1.1 : Dãy số x(n) được
x (n )
biểu diễn bằng hàm số :
 1 Khi n ∈ [ 0 , 3 ]
x( n) = 
 0 Khi n ∉ [ 0 , 3 ]
1
n
-1 0 1 2 3 4
Hình 1.6 : Đồ thị dãy
x(n)
- Biểu diễn dãy số x(n) dưới
dạng bảng số liệu ở bảng 1.1.
Bảng 1.1
1
n
-∞ .. -3 -2 -1 0
x(n
)
0
.
0
0
0
0
1
2
4
5
1
1
3
1
0
0
∞
..
.
0
0
- Biểu diễn đồ thị của dãy x(n) trên hình 1.6,
- Biểu diễn dãy x(n) dưới dạng dãy số liệu : x ( n) = ... , 0 , 1 , 1 , 1 , 1 , 0 , 0 , ...
↑
Trong đó ký hiệu ↑ để chỉ số liệu ứng với điểm gốc n = 0.
1.2.2 Phân loại các dãy số
1.2.2a Dãy xác định và dãy ngẫu nhiên
∗ Dãy x(n) xác định là dãy có giá trị biến thiên theo quy luật và có thể biểu
diễn được bằng một hàm số toán học.
∗ Dãy x(n) ngẫu nhiên là dãy có giá trị biến thiên ngẫu nhiên và không thể biểu
diễn được bằng hàm số toán học.
{
}
1.2.2b Dãy tuần hoàn và dãy không tuần hoàn
∗ Dãy xp(n) tuần hoàn là dãy có giá trị lặp lại và thỏa mãn biểu thức :
x p ( n) = x p ( n + kN )
[1.2-1]
Trong đó, hệ số k có thể nhận giá trị nguyên bất kỳ, hằng số nguyên N được
gọi là chu kỳ. Dãy tuần hoàn xp(n) còn các tham số sau :
f =
- Tần số lặp lại :
1
N
ω = 2π. f =
- Tần số góc :
[1.2-2]
2π
N
[1.2-3]
∗ Dãy x(n) không tuần hoàn là dãy không tồn tại một số N hữu hạn để giá trị của
nó được lặp lại và thỏa mãn biểu thức [1.2-1]. Tuy nhiên, có thể coi dãy không tuần
hoàn là dãy tuần hoàn có chu kỳ N = ∞.
1.2.2c Dãy hữu hạn và dãy vô hạn
∗ Dãy x(n) hữu hạn là dãy có số mẫu N < ∞ . Dãy x(n) hữu hạn có N mẫu được ký
hiệu là x(n)N.
∗ Dãy x(n) vô hạn là dãy có vô hạn mẫu. Khoảng xác định của dãy vô hạn có thể là
n ∈ (- ∞ , ∞)
;
n ∈ (0 , ∞) ;
hoặc n ∈ (- ∞ , 0).
1.2.2d Dãy một phía và dãy hai phía
∗ Dãy x(n) là dãy một phía nếu n ∈ (0 , ∞) hoặc n ∈ (- ∞ , 0).
∗ Dãy x(n) là dãy hai phía nếu n ∈ (- ∞ , ∞).
N −1
Ví dụ 1.2 : - Dãy x1 ( n) =
2 − k là dãy một phía hữu hạn có độ dài N .
k=0
∑
N
2
- Dãy x 2 ( n) = ∑ −k
là dãy hai phía hữu hạn, độ dài L = 2N + 1.
k =−N
11

2. ∞
2
- Dãy x 3 ( n) =∑ −k
là dãy một phía vô hạn.
k=
0
∞
2
- Dãy x 4 ( n) = ∑ −k
là dãy hai phía vô hạn.
k= ∞
−
1.2.2e Dãy chẵn và dãy lẻ
∗ Dãy x(n) là dãy chẵn nếu
x(n) = x(-n) . Dãy chẵn có đồ thị đối xứng qua trục
tung, nên còn được gọi là dãy đối xứng.
∗ Dãy x(n) là dãy lẻ nếu x(n) = - x(-n) . Dãy lẻ có đồ thị phản đối xứng qua
gốc toạ độ, nên còn được gọi là dãy phản đối xứng.
1.2.2f Dãy thực và dãy phức
∗ Dãy x(n) thực là dãy hàm số thực. Hầu hết các dãy biểu diễn tín hiệu số và hệ
xử lý số đều là dãy thực.
∗ Dãy x(n) phức là dãy hàm số phức x(n) = a(n) + j.b(n)
Mọi dãy x(n) bất kỳ có thể thuộc một hoặc nhiều nhóm trong các phân loại
trên.
Ví dụ 1.3 : - Dãy x(n) = e ( −α+ jω) n là dãy phức, hai phía, tuần hoàn, vô hạn.
- Dãy x(n) = cos(ω.n) là dãy thực, hai phía, tuần hoàn, chẵn, vô hạn.
- Dãy x(n) = sin(ω.n) là dãy thực, hai phía, tuần hoàn, lẻ, vô hạn.
x (n )
1
0 ,6
.....
0 ,6
.....
n
- 8 - 7 - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 Hình1 1.7 3: Đồ 5thị6 dãy x(n) của ví dụ 1.4.
0
2
4
7 8
Ví dụ 1.4 : - Dãy x(n)
trên hình 1.7 là dãy xác
định, hai phía, chẵn và đối
xứng, vô hạn, tuần hoàn với
chu kỳ N = 5.
- Dãy y(n) trên
hình 1.8 là dãy xác định,
một phía, không tuần hoàn,
có độ dài hữu hạn N = 5.
y (n )
1
-2 -1 0
0 ,8
1
0 ,6
2
0 ,4
3
0 ,2
4
n
5
6
Hình 1.8 : Đồ thị dãy y(n)
1.2.3 Các dãy cơ bản
Dưới đây là các dãy cơ bản được sử dụng trong xử lý tín hiệu số.
1.2.3a Dãy xung đơn vị δ (n)
Dãy xung đơn vị δ(n)
đối với hệ xử lý số có vai δ(n)
1
trò tương đương như hàm xung
Dirăc δ(t) trong hệ tương
tự, nhưng dãy δ(n) đơn giản
n
-2 -1 0 1 2
hơn. Dãy xung đơn vị δ(n)
có hàm số như sau :
 1 Khi n = 0
δ ( n) = 
 0 Khi n ≠ 0
Hình 1.9 : Đồ
thị dãy δ(n)
[1.2-4]
Đồ thị dãy δ(n) trên hình 1.9. Dãy δ(n) chỉ có một mẫu tại n = 0 với giá trị
bằng 1, nên δ(n) là dãy hữu hạn có độ dài N = 1.
δ(n - 5)
δ(n + 5)
1
1
n
12
-1 0
1
2
3
4
5
n
-5 -4 -3 -2 -1 0
1

3. Hình 1.10 : Đồ thị các dãy δ(n - 5)
δ(n + 5)
và
Mở rộng có dãy xung đơn vị δ(n - k) , với k là hằng số dương hoặc âm :
 1 Khi n = k
δ (n − k ) = 
 0 Khi n ≠ k
[1.2-5]
Trên hình 1.10 là đồ thị của các dãy xung đơn vị δ(n - 5) và δ(n + 5)
1.2.3b Dãy bậc thang đơn vị u(n)
Dãy bậc thang đơn vị u(n) đối với hệ xử lý số có vai trò giống như
hàm bậc thang đơn vị 1(t)
u (n )
trong hệ tương tự. Dãy bậc
thang đơn vị u(n) có hàm số
1
như sau :
 0 Khi n < 0
u ( n) = 
 1 Khi n ≥ 0
....
[1.2-6]
-1 0
1
2
3
....
n
∞
Hình 1.11: Đồ thị dãy u(n)
Dãy u(n) là dãy một
phía, vô hạn, và tuần hoàn
với chu kỳ N = 1. Đồ thị của
dãy bậc thang đơn vị u(n)
trên hình 1.11.
Mở rộng có dãy bậc thang đơn vị u(n - k), với k là hằng số dương hoặc âm:
 0 Khi n < k
u (n − k ) = 
 1 Khi n ≥ k
[1.2-7]
Trên hình 1.12 là đồ thị của các dãy bậc thang đơn vị u(n - 2) và u(n + 2).
u(n - 2)
u(n + 2)
1
1
....
-1 0
1
2
3
4
....
5
....
n
∞
-3 -2 -1 0
1
....
n
∞
Hình 1.12 : Đồ thị các dãy bậc thang đơn vị u(n - 2) và u(n + 2)
Vì dãy δ(n - k) chỉ có một mẫu với giá trị bằng 1 tại n = k , nên nếu lấy
tổng của δ(n - k) với k chạy từ 0 đến ∞ , sẽ nhận được dãy u(n).
Hơn nữa, trong khoảng (0 ≤ n < ∞) tại mọi k luôn có :
u ( k ) = u ( k ).δ ( n − k ) = 1
Nên có thể biểu diễn dãy u(n)qua dãy δ(n) theo biểu thức :
∞
∞
k=
0
k=
0
δ
u
∑ (n −k ) =∑ (k ).δ(n −k )
u ( n) =
[1.2-8]
Dãy δ(n) được biểu diễn qua dãy u(n) theo biểu thức :
δ ( n) = u (n) − u (n −1)
[1.2-9]
1.2.3c Dãy chữ nhật rectN(n)
13

4. Dãy chữ nhật rectN(n) có hàm số như sau :
 1 Khi n ∈ [ 0 , (N − 1) ]
rect N (n) = 
 0 Khi n ∉ [ 0 , (N − 1) ]
[1.2-10]
Dãy chữ nhật rectN(n)
là dãy một phía, có độ dài
rectN(n)
hữu hạn N và xác định trong
1
miền n ∈ [0 , (N-1)], tuần
hoàn với chu kỳ bằng 1. Đồ
....
thị
của
dãy
chữ
nhật
n
rectN(n) trên hình 1.13.
-1 0 1 2 . . . .
(N -1 )
Mở rộng có dãy chữ
Hình 1.13 : Đồ thị dãy
nhật rectN(n - k) , với k là
rectN(n)
hằng số dương hoặc âm :
 1 Khi n ∈ [ k , (N + k − 1) ]
rectN (n − k) = 
 0 Khi n ∉ [ k , (N + k − 1) ]
[1.2-11]
Đồ thị của các dãy chữ nhật rect4(n - 2) và rect4(n + 2) trên hình 1.14
rect4(n - 2)
rect4(n + 2)
1
-1 0
Có
1
1
2
3
n
n
4 5 6
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3
Hình 1.14 : Đồ thị các dãy rect4(n - 2) và rect4(n + 2)
thể biểu diễn dãy rectN(n) qua dãy δ(n) theo biểu thức :
N−
1
N−
1
k =0
rect N ( n) =
k =0
∑δ (n − k ) =∑rect N (k ).δ (n − k )
[1.2-12]
Dãy rect(n)N được biểu diễn qua dãy u(n) theo biểu thức :
rect N (n) = u (n) − u (n − N )
[1.2-13]
1.2.3d Dãy hàm sin và hàm cosin
Dãy hàm sin có dạng như sau :
 2π 
x ( n) = sin 
n  = sin (ω0 n )
N

 N
với

ω0 =
2π
N
[1.2-14]
Dãy sin(ω0.n) là dãy vô hạn, hai phía, lẻ và phản đối xứng, liên tục, và tuần
hoàn với chu kỳ N. Đồ thị của dãy sin(ω0.n) ở hình 1.15.
Dãy hàm cosin có dạng như sau :
2π
 2π 
x ( n) = cos 
n  = cos (ω0 n )
với ω0 =
[1.2-15]
N
Dãy cos(ω0.n) là dãy vô hạn, hai phía, chẵn và đối xứng, liên tục, và tuần
hoàn với chu kỳ N.
sin(ω0.n)
0 ,9 5
0 ,5 9
n
-1 0
-5
1
- 0 ,5 9
- 0 ,9 5
14
2
3
4
5
10

5. Hình 1.15 : Đồ thị dãy sin(ω0.n) với N = 10
1.2.4 Các phép toán đối với các dãy số
1.2.4a Phép dịch tuyến tính
Định nghĩa : Dãy y(n) là dịch tuyến tính k mẫu của dãy x(n) nếu :
y ( n) = x ( n −k )
[1.2-16]
- Khi k > 0 là y(n) dich trễ (chậm) k mẫu so với x(n).
- Khi k < 0 là y(n) dịch sớm (nhanh) k mẫu so với x(n).
Phép dịch tuyến tính dãy x(n) đi k mẫu không làm thay đổi dạng của x(n), mà
chỉ đơn giản là giữ chậm hoặc đẩy nhanh nó k mẫu. Phép dịch tuyến tính còn thường
được gọi vắn tắt là phép dịch.
Trong xử lý tín hiệu số thường chỉ sử dụng phép dịch trễ, và gọi là phép trễ.
Phép dịch sớm rất ít khi được sử dụng.
Ví dụ 1.5 : Cho dãy x ( n) = u ( n) , hãy xác định các dãy :
a. y1 ( n) = x ( n − 2)
b. y 2 ( n) = x(n + 2)
Giải :
a. Vì k = 2 > 0 nên dãy y1 ( n) = x( n − 2) = u ( n − 2) là dãy u (n) bị giữ chậm
2 mẫu, đồ thị dãy
y1 ( n) = u (n − 2) nhận được bằng cách dịch phải đồ thị dãy
x ( n) = u ( n) đi 2 mẫu theo trục tung.
b. Vì k = - 2 < 0 nên dãy y 2 (n) = x (n + 2) = u (n + 2) là dãy u (n) được đẩy sớm 2 mẫu, đồ
thị dãy y 2 ( n) = u ( n + 2) nhận được bằng cách dịch trái đồ
thị dãy x ( n) = u ( n) đi 2 mẫu theo trục tung.
Đồ thị các dãy u(n), u(n - 2) và u(n + 2) trên các hình 1.11 và 1.12.
1.2.4b Tổng đại số của các dãy
Định nghĩa : Tổng đại số của M dãy xi(n) là dãy y(n) có giá trị mỗi mẫu bằng
tổng đại số tất cả các mẫu tương ứng của các dãy thành phần.
M
Kí hiệu :
y ( n ) = ∑ x i ( n)
[1.2-17]
i=
1
Ví dụ 1.6 : Cho dãy
x1 ( n) = rect 4 (n)
x 2 ( n) = rect 3 ( n − 1) , hãy xác định dãy
và dãy
y ( n) = x1 ( n) − x 2 ( n)
Giải
:
Có
y ( n) = rect 4 ( n) − rect3 ( n −1) = δ ( n)
Để thấy rõ hơn kết quả
trên, xác định y(n) bằng đồ thị
như trên hình 1.16.
1.2.4c Phép nhân các dãy
Định nghĩa : Tích của M dãy
xi(n) là dãy y(n) có giá trị
mỗi mẫu bằng tích tất cả các
mẫu tương ứng của các dãy
thành phần.
Kí hiệu :
y ( n) =
M
∏x
i
( n)
i=
1
[1.2-18]
Ví dụ 1.7 : Cho dãy x1 (n) = u (n)
rect
(n)
4
1
-1 0
3(n - 1)
1
2
3
4
1
2
3
4
n
rect
1
n
-1 0
n) = δ(n)
y(
1
n
và dãy x 2 (n) = rect 5 (n + 2) ,
-1 0 1 2 3 4
hãy
xác
định
dãy
y ( n) = x1 ( n).x 2 ( n) .
Hình 1.16 : Đồ thị xác
định
Giải : Theo định nghĩa có :
rect4(n) rect3(n-1) = δ(n)
y ( n) = u (n).rect 5 (n + 2) = rect 3 ( n)
trên,
Để thấy
có thể
rõ hơn kết quả
giải ví dụ bằng
15

6. bảng 1.2 dưới đây :
Bảng 1.2
n
x1(n) = u(n)
x2(n) = rect5(n + 2)
y(n) = x1(n).x2(n) =
rect3(n)
-3
0
0
0
-2
0
1
0
-1
0
1
0
0
1
1
1
1
1
1
1
2
1
1
1
3
1
0
0
4
1
0
0
Từ ví dụ trên có thể thấy rằng, tích của một dãy bất kỳ với dãy u(n) là một
dãy bằng chính nó trong miền n ≥ 0.
1.2.4d Phép nhân một dãy với hằng số
Định nghĩa : Tích của dãy x(n) với hằng số a là dãy y(n) có giá trị mỗi mẫu
bằng tích của a với các mẫu tương ứng của x(n).
y ( n) =a. x ( n)
Kí hiệu :
[1.2-19]
Phép nhân dãy x(n) với hằng số a còn thường được gọi là phép lấy tỷ lệ.
Ví dụ 1.8 : Cho dãy x(n) = rect4(n) , hãy biểu diễn dãy y(n) = 2.rect4(n)
dạng dãy số liệu.
Giải : Dãy rect4(n) có dạng dãy số liệu là x ( n) = 1 , 1 , 1 , 1
↑
dưới
{
}
y ( n) ={ 2, 2 , 2 , 2 }
Dãy y(n) = 2.rect4(n) có dạng dãy số liệu là
↑
1.2.5 Khái niệm về tích chập tuyến tính
1.2.5a Định nghĩa tích chập tuyến tính : Tích chập tuyến tính giữa hai dãy x1(n) và
x2(n) là dãy y(n) được xác định và ký hiệu theo biểu thức :
y ( n) =
∞
∑x
1 ( k ). x 2
( n −k ) = x1 ( n) * x 2 ( n)
[1.2-20]
k= ∞
−
Tích chập tuyến tính thường được gọi vắn tắt là tích chập.
1.2.5b Các tính chất của tích chập
1. Tính giao hoán :
x1 ( n) * x 2 ( n) = x 2 ( n) * x1 ( n)
Chứng minh :
[1.2-21]
Theo công thức định nghĩa tích chập [1.2-20] có :
x1 ( n) * x 2 ( n) =
∞
x
∑
1 ( k ).x 2
( n −k )
k= ∞
−
Khi
Đổi biến cho biểu thức ở vế phải, đặt m = (n - k) ⇒ k = (n - m).
k → - ∞ thì m → ∞ và khi k → ∞ thì m → - ∞ , nhận được :
∞
x
∑
1 ( k ). x 2
( n −k ) =
k= ∞
−
−
∞
x
∑
1 (n
−m).x 2 ( m)
m=
∞
Đảo cận và đổi biến m trở về k đối với biểu thức ở vế phải, nhận được :
∞
x
∑
1 ( k ).x 2
k= ∞
−
( n −k ) =
∞
x
∑
2
( k ).x1 ( n −k )
k= ∞
−
Đây chính là biểu thức [1.2-21] : x1 ( n) * x 2 ( n) = x 2 ( n) * x1 ( n)
2. Tính kết hợp :
x1 (n) * [ x 2 ( n) * x3 (n)] = [ x1 ( n) * x 2 ( n)] * x3 ( n)
[1.2-22]
Chứng minh : áp dụng tính giao hoán cho vế trái của [1.2-22] :
x1 ( n) * [ x 2 ( n) * x3 ( n)] = [ x 2 ( n) * x 3 ( n)] * x1 ( n) =
=
∞

∞
x
∑ ∑

k= ∞ k= ∞
−
−
2

( k ) . x 3 ( n −k )  .x1 ( n −k ) =

=
∞

∞
x
∑ ∑

k= ∞ k= ∞
−
−
2

( k ) . x1 ( n −k )  .x 3 ( n −k ) =

[ x1 ( n) * x 2 ( n)] * x 3 ( n)
Đây chính là biểu thức ở vế phải của [1.2-22]
3. Tính phân phối :
x1 ( n) * [ x 2 ( n) + x3 ( n)] = x1 (n) * x 2 (n) + x1 (n) * x3 (n)
[1.2-23]
Chứng minh : Viết vế trái của [1.2-23] theo công thức tích chập [1.2-20] :
16

7. ∞
x1 ( n) * [ x 2 ( n) + x 3 ( n)] =
x
∑
1 ( k ).[ x 2
k= ∞
−
∞
x1 ( n) * [ x 2 ( n) + x 3 ( n) ] =
x
∑
1 ( k ). x 2
k= ∞
−
( n −k ) + x 3 ( n −k )]
( n −k ) +
∞
x
∑
1 ( k ). x 2
( n −k )
k= ∞
−
Vậy : x1 (n) * [ x 2 ( n) + x 3 ( n)] = x1 ( n) * x 2 (n) + x1 (n) * x 3 (n)
Đây chính là biểu thức ở vế phải của [1.2-23].
1.2.5c Hệ quả : Mọi dãy x(n) đều bằng tích chập của chính nó với hàm xung đơn
vị δ(n) :
x ( n) =
∞
∑ x(k ).δ (n − k ) = x(n) *δ (n)
[1.2-24]
k =−∞
17