Tài liệu trình bày các phương pháp thống kê để tính toán trung bình, trung vị, mode, và các số liệu liên quan đến phân phối dữ liệu trong các mẫu. Các ví dụ minh họa cụ thể như cách tính trung bình của một tập dữ liệu từ 16 người và tiêu chuẩn kỹ thuật của sản phẩm trong 60 ngày. Ngoài ra, tài liệu cũng nói đến việc tính toán phương sai và độ lệch chuẩn từ các giá trị số liệu.

1. CAÙC ÑAËC TRÖNG ÑO LÖÔØNG
ÑOÄ TAÄP TRUNG & ÑOÄ PHAÂN TAÙN
CAÙC ÑAËC TRÖNG ÑO LÖÔØNG ÑOÄ TAÄP TRUNG
TRUNG BÌNH (Mean)
MOÁT (Mode)
TRUNG VÒ (Median)

2. TRUNG BÌNH COÄNG
n
ÑÔN GIAÛN X i
X i 1
n
COÙ TRỌNG SOÁ
k
X
k
 X i fi i i f
X i 1 X i 1
k
f
k
 i 1
fi
i 1
i

3. Soá ngaøy nghæ trong naêm cuûa moät maãu 16 ngöôøi,
ñöôïc choïn töø soá nhaân vieân cuûa moät coâng ty lôùn,
ghi nhaän ñöôïc nhö sau:
10 12 15 6 14 2 4 6
11 15 18 10 8 7 10 12
n
X i
X i 1
n
10  12  15  ...  12
X  10 (ngày)
16

4. Soá saûn phaåm ñaït tieâu chuaån kyõ thuaät trong 60 ngaøy ôû moät
phaân xöôûng ghi nhaän ñöôïc nhö sau:
Saûn phaåm ñaït tieâu
Soá ngaøy
chuaån kyõ thuaät
450 20
500 28
600 12
k
X i i f
X i 1
k
f i 1
i
450(20)  500(28)  600(12)
X  503,3 (sản phẩm)
60

5. Trong moät ñôït saûn xuaát ngöôøi ta choïn ngaãu nhieân 50 saûn
phaåm vaø ghi nhaän troïng löôïng. Saûn phaåm ñöôïc phaân nhoùm
theo troïng löôïng nhö sau:
Troïng löôïng Trò soá giöõa Soá saûn phaåm
(gam) (mi) (fi)
484-490 487 5
490-496 493 10
496-502 499 15
502-508 505 13
508-514 511 7
Coäng - 50
487(5)  493(10)  ...511(7)
X  499,84 (gam)
50

6. Nhoùm Soá coâng nhaân Soá sp/ca sx xi
A 5 6, 8, 6, 4, 9 6,6
B 2 5, 9 7
C 3 6, 8, 10
8
xi fi
Soá saûn phaåm tính trung bình / ca saûn xuaát:
n n 4 1
 xi x f i i
5 1
x i 1 = 7,1 x i 1
n
n
n f i
6 3
x f
i 1
i i 8 2
x i 1
n 9 2
f
i 1
i
10 1

7. TÍNH CHAÁT: k k
X i i f X i
1. Neáu f1 = f2 = … = fk thì: X  i 1
k
 i 1
f
k
i
k i 1
X i i f k
fi
2. X i 1
k
  X i di vôùi di  k
f
i 1
i
i 1
f i 1
i
n
3.
(X
i 1
i  X) 0

8. TRUNG BÌNH NHÂN
X  X 1. X 2 . X 3 ... X n
n

9. MODE (M0)
M0 laø giaù trò xuaát hieän nhieàu nhaát trong moät
daõy soá.
 M0 laø Xi öùng vôùi fi lôùn nhaát
Choïn ngaãu nhieân 50 trang cuûa moät quyeån saùch giaùo
khoa, soá loãi ghi nhaän ñöôïc treân caùc trang nhö sau:
Soá loãi 0 1 2 3 4
Soá trang 12 18 8 7 5
 M0 = 1

10. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 0 1 2 3 4 5 6
Khoâng coù
Mode = 9
Mode

11. • Trường hợp coù khoaûng caùch nhoùm đều nhau:
f M 0  f M 01
M 0  X M 0 (min)  hM 0
( f M 0  f M 01 )  ( f M 0  f M 01 )
X M 0(min): giôùi haïn döôùi cuûa nhoùm chöùa M
0
f M 0 : taàn soá cuûa nhoùm chöùa M
0
f M 0 1 : taàn soá cuûa nhoùm ñöùng tröôùc nhoùm chöùa M
0
f M 0 1 : taàn soá cuûa nhoùm ñöùng sau nhoùm chöùa M0

12. Phaân nhoùm traùi caây theo troïng löôïng:
TROÏNG LÖÔÏNG (gram) SOÁ TRAÙI
80 - 84 10
84 - 88 20
88 - 92 120
92 - 96 150
96 - 100 400
100 - 104 200
104 - 108 60
108 - 112 40
1000

13. 450
400
400
350
300
Soá traùi
250 200
200 150
150 120
100 60 40
50 10 20
0
Troïng löôïng

14. 400  150
M 0  96  4
(400  150)  (400  200)
= 98.2 (gram)
 Khoâng ñeàu nhau:
MAÄT ÑOÄ TAÀN SOÁ (fi)
=
PHAÂN PHOÁI KHOAÛNG CAÙCH NHOÙM (hi)
(mi)

15. • Nhieàu M0
SOÁ CON SOÁ CAËP VÔÏ CHOÀNG
0 19
M02 = 1 680
M01 = 2 750
3 61
4 10
5 6

16. TRUNG VÒ (Me)
Trung vò laø giaù trò ñöùng ôû vò trí giöõa trong moät daõy
soá ñaõ ñöôïc saép xeáp coù thöù töï.
M e  X ( n1) / 2
Tuoåi ngheà (naêm)
2 2 3 5 7 7 9 9
M e  x n1  x 71  x4  5
2 2
1
M e  x n 1  x81  x4,5  ( x4  x5 )  6
2 2 2

17. • Tröôøng hôïp nhoùm coù khoaûng caùch:
Böôùc 1: Tính taàn soá tích luõy.
Böôùc 2: Xaùc ñònh nhoùm chöùa Me, ñoù laø nhoùm coù
taàn soá tích luõy  n/2.
Böôùc 3: AÙp duïng coâng thöùc:
n
 S M e1
M e  X M e (min)  hM e 2
fMe

18. 4 5 6 6 7 8
x  6 = M0 = Me
4 5 6 6 7 80
x  18
M0 = 6 = Me

19. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Median = 3 Median = 3

20. Hình dạng phân phối của dãy số
Lệch trái Đối xứng Lệch phải
Mean < Median Mean = Median Median < Mean

21. Left-Skewed Symmetric Right-Skewed
Q1 Q2 Q3 Q1Q2Q3 Q1 Q2 Q3

22. CAÙC ÑAËC TRÖNG ÑO LÖÔØNG
ÑOÄ PHAÂN TAÙN
KHOAÛNG BIEÁN THIEÂN (Range)
R = Xmax-Xmin

23. Nhược điểm của Khoảng biến thiên
 Không xét đến sự phân bố của dữ liệu
7 8 9 10 11 12 7 8 9 10 11 12
Range = 12 - 7 = 5 Range = 12 - 7 = 5
 Nhạy cảm với các giá trị bất thường (outliers)
1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,4,5
Range = 5 - 1 = 4
1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,4,120
Range = 120 - 1 = 119

24. PHÖÔNG SAI
N
 ( X i   )2
 
2 i 1
N
n
(Xi  X )
k
2
 ( X i  X )2 fi
S 
2 i 1 S 
2 i 1
n 1
k
f
i 1
i 1

25. ÑOÄ LEÄCH TIEÂU CHUAÅN
  2
S S 2

26. Data A
Mean = 15.5
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 S = 3.338
Data B
Mean = 15.5
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 S = 0.926
Data C
Mean = 15.5
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 S = 4.567