3 stage cluster sampling

PENGAMBILAN SAMPEL

TEORI SAMPLING MT 505
BERKELOMPOK TIGA TAHAP
(THREE-STAGE CLUSTER
SAMPLING)
Kelompok 7
Nurharis Haryanto 0905883
Atiya Maulani 0905645
Vanissa Hapsari 0905655
Maria Lemorenty 0905721

1.2 PENDAHULUAN KLUSTER SAMPLING
TIGA TAHAP

PSU
Primary Sampling
Units

hasil dari tahap
kedua juga masih

berupa kluster
SSU
Secondary Sampling SSU SSU
Units
pada tahap ketiga
diturunkan sampel sub dari cluster hasil sampling tahap
dari masing-masing pertama
cluster yang
diperoleh dari tahap
kedua
TSU
TSU TSU TSU TSU TSU TSU TSU TSU
Sebagaimana proses sampling pada tahap pertama dan kedua, tahap ketiga juga
dapat menggunakan salah satu dari berbagai teknik random yang ada.

KEUNTUNGAN
Keuntungan dari sampling tiga tahap sama dengan klaster
sampling dua tahap. Kita hanya butuh persiapan kerangka
untuk psu,ssu dan tsu dalam pemilihan sampel.

KEKURANGAN
• ketika memilih psu,ssu dan tsu menggunakan sampling acak
sederhana, unit ini harus kurang lebih sama dalam ukuran.
• terdapat banyak keheterogenan antar psu, tetapi
kehomogenan antar ssu dan tsu

Contoh Kasus :
Kita akan mengestimasi jumlah total buku yang dimiliki siswa
kelas enam di kota Bandung. Misal terdapat L = 580 sekolah
dasar (psu) , asumsikan = 10 dipilih sebagai sampel acak dari
psu. Dari sampel sekolah ke-i (psu) mempunyai M i kelas (ssu)
kelas enam, dan andaikan m = 2 kelas (ssu) dipilih dari setiap
sampel sekolah. Terakhir, kita asumsikan terdapat N ij siswa
(tsu) dalam sampel kelas ke-j dari sampel sekolah ke-i dan
subsampel nij siswa dipilih dari kelas ke-j. Andaikan nij = 3
siswa, yaitu 3 siswa dipilih dari N ij = 50 siswa dari kelas ke-j
dalam sekolah ke-i.

Banyaknya buku yang dimiliki masing-masing siswa dalam j
kelas dapat ditunjukkan oleh

xij1 = 4 buku xij 2 = 3 buku xij 3 = 5 buku

Banyaknya buku yang dimiliki siswa dalam subsampel dapat
ditunjukkan oleh xijk . Huruf besar X ijk digunakan sebagai nilai
populasi.
Harus diingat bahwa beberapa subskrip digunakan untuk dua
pernyataan berbeda. Satu untuk populasi dan yang satu lagi untuk
sampel. Sebagai contoh X ij = X 35 adalah j= 5 kelas dalam i= 3 sekolah
pada populasi. sedangkan, xij = x35 yaitu j = 5 kelas sampel dalam i=
3 sampel sekolah .

L  psu sekolah
Mi m ssu kelas
N ij nij tsu siswa

1.2 PENAKSIR TOTAL POPULASI DAN
PENAKSIR RATA-RATA POPULASI

� �

Populasi Sampel

��
psu sekolah

��
ഥ ssu kelas
tsu siswa

� ��
Penaksir tak bias untuk total populasi
� �
෠
� ��
�= ෠ ෠ ෠ ��
� � ��
ഥ

�
� �

ഥ
• �� : banyaknya buku yang dimiliki oleh siswa ke-� dalam

• σ �� : penaksir total banyaknya buku dari �� siswa.
kelas ke-� dari sekolah ke-�

σ �� : penaksir rata-rata banyaknya buku dari �� siswa yang
1
� ��
•

σ �� : penaksir dari total banyaknya buku dalam kelas ke-�.
dipilih dari kelas ke-�.
��
� ��
•

• σ σ �� : penaksir dari total buku untuk � kelas yang
��
� ��
ഥ

෠ഥ෠σ σ �� : penaksir dari rata-rata banyaknya buku per
dipilih dari sekolah ke-�.
1 � ��
� � ��
•

෠ ഥ෠σ σ �� : penaksir dari total buku dalam sekolah ke-�.
kelas dalam sekolah ke-�
��
� � ��
•

• σ σ �� σ �� : total buku dari � sampel sekolah
��
�
ഥ � ��

• ෠ ෠σ σ �� σ �� : penaksir rata-rata dari banyaknya buku per
1 ��
� �
ഥ � ��

σ σ σ �� : penaksir dari total buku untuk � sekolah.
� ��
sekolah.

� �
ഥ � ��
•

Misal � = 3 sekolah (psu), dan kita akan menaksir total buku
Contoh Kasus:

asumsikan masing-masing sekolah memiliki �� = 3 kelas (ssu),
yang dimiliki oleh siswa kelas 6. Untuk menyederhanakannya,

dan masing-masing kelas memiliki �� = 3 siswa (tsu).

Tabel 1 Populasi

� �� 1 ��1� ��2 ��2� ��3 ��3�
Sekolah Kelas Siswa Buku Siswa Buku Siswa Buku

�111 = 2 �121 = 4 �131 = 6

�1 = 3 �11 = 3 �112 = 4 �12 = 3 �122 = 6 �13 = 3 �132 = 8

�113 = 6 �123 = 8 �133 = 10
1

�211 = 4 �221 = 6 �231 = 8

�2 = 3 �21 = 3 �212 = 6 �22 = 3 �222 = 8 �23 = 3 �232 = 10

�213 = 8 �223 = 10 �233 = 12
2

�311 = 6 �321 = 2 �331 = 4

�3 = 3 �31 = 3 �312 = 8 �32 = 3 �322 = 4 �33 = 3 �332 = 6

�313 = 10 �323 = 6 �333 = 8
3

Berdasarkan Tabel 1 diperoleh total siswa � = 27 siswa, � = 180 buku
Penyelesaian

Pilih sampel sebanyak � = 2 sekolah (psu), dari masing-masing sekolah pilih
� 2 kelas (ssu), dari masing-masing kelas pilih �� = � 2 siswa (tsu). Kita
akan memiliki sebuah sampel berukuran �� = 8 siswa yang akan digunakan
ഥ= ത=
ഥത=

untuk menaksir total buku dari populasi.
Tabel 1 Sampel

�=2 � 2 �� = 2 �� = ��
�12 = 3 �11 = 2 �122 = �111 = 6 �121 = �112 = 4
ഥ=

�1 = 3
�13 = 3 �12 = 2 �131 = �121 = 6 �133 = �122 = 10
�31 = 3 �21 = 2 �313 = �211 = 10 �312 = �212 = 8
�3 = 3
�33 = 3 �22 = 2 �331 = �221 = 6 �333 = �222 = 8

Sekolah (�) Kelas (�� ) Siswa (�� )

1 4 buku
1
2 6 buku
1 2 (A) 3

3 (B) 1 6 buku
2

3 10 buku
1

2 2

3 1

2 8 buku
1 (C) 3 10 buku

3 2

3 (D) 1 4 buku
2
3 8 buku

Sekolah (�) Kelas (�) Siswa (�� )

�111 = 4 𝑏𝑢�𝑢
ഥ

�112 = 6 𝑏𝑢�𝑢
1
1 (A)
2

�121 = 6 𝑏𝑢�𝑢
1

1

�122 = 10 𝑏𝑢�𝑢
2 (B)
2

�211 = 8 𝑏𝑢�𝑢

�212 = 10 𝑏𝑢�𝑢
1
1 (C)
2

�221 = 4 𝑏𝑢�𝑢
2

�222 = 8 𝑏𝑢�𝑢
1
2 (D)
2

Langkah-langkah menentukan total jumlah buku yang dimiliki siswa kelas 6

� ��
� �
dari populasi

෠
� ��
�= ෠ ෠ ෠ ��
� � ��
ഥ

�
� �
ഥ

 Total banyaknya dari �� siswa yang dipilih dari kelas ke-�.

� ��

�� = ෠ ��
�=1

Kelas � σ � 11 �11� = �111 + �112 = 4 + 6 = 10
�=1

� σ � 12 �12� = �121 + �122 = 6 + 10 = 16
�=1

� σ � 21 �21� = �211 + �212 = 8 + 10 = 18
�=1

� σ � 22 �22� = �221 + �222 = 4 + 8 = 12
�=1

 Penaksir rata-rata banyaknya buku dari �� siswa yang dipilih dari

� ��
1
kelas ke-�

�ҧ = ෠ ��
��
��
�=1
 Penaksir dari total banyaknya buku dalam kelas ke-�,
� ��
��

෠
�� = �� =
෠ො෠ ෠ ��
��
ො
ො
ො
ො
�=1

� ��
1 ��
Tabel 3

�ҧ = ෠ �� ෠
�� = �� =
෠ො෠ ෠ ��
��
��
ො
ො
ො
�=1 �=1
ො

1 1 3
� ൬෠෠ ෠ = ൬෠෠ ෠ = 5
10 10 ൬෠෠ ෠ = 15
10
� 2 2
1 1 3
� ൬෠෠ ෠ = ൬෠෠ ෠ = 8
16 16 ൬෠෠ ෠ = 24
16
ത

� 2 2
1 1 3
� ൬෠෠ ෠ = ൬෠෠ ෠ = 9
18 18 ൬෠෠ ෠ = 27
18
ത

� 2 2
1 1 3
� ൬෠෠ ෠ = ൬෠෠ ෠ = 6
12 12 ൬෠෠ ෠ = 18
12
ത

�ത 2 2

 Penaksir dari total buku untuk � kelas yang dipilih dari sekolah ke-�.
ഥ
 Penaksir dari rata-rata banyaknya buku per kelas dalam sekolah ke-�

Tabel 4

� ��
��

෠ 1
� �

෠ ෠ ��
ധ = ෠ �� ෠ ��
��
ഥ ��
ഥ ഥ

� �=1 � �=1

3 3 1 39
�+� ൬෠෠ ෠+ ൬෠෠ ෠ = 39
10 16 ൬෠෠ ෠ =
39
2 2 2 2
3 3 1 45
�+� ൬෠෠ ෠+ ൬෠෠ ෠ = 45
18 12 ෠ ෠=
൬෠ 45
2 2 2 2

 Penaksir dari total buku dalam sekolah ke-�.
Tabel 1
� ��
��
�
෠
�� = ෠ ෠ ��
�
ഥ ��
ഥ

� �=1

�=1 3
෠ = ൬෠෠ ෠
�� 39
2
3
�=2 ෠ = ൬෠෠ ෠
�� 45
2

 Penaksir total buku dari � sampel sekolah
3 3
෠ �� = �1 + �2 = ෠39෠+ ෠45෠= 126
�
෠ ෠ ෠
2 2
�

�෠ ෠
ത= 1 σ �=2 �� = 1 ෠ ෠= 63 buku
126
 Penaksir rata-rata dari banyaknya buku per sekolah.

� �=1 2

 Penaksir tak bias dari total banyaknya buku untuk � = 3 sekolah.
෠ � � �� ഥ� �
� = σ � ഥ σ � �� σ � �� = ෠ ෠ 63෠= 189 buku
3 ෠

� � � ��

ˆ
1.3 VARIANS DARI
X
ˆ
Varians dari estimator tak bias X , untuk sampling cluster 3-tahap
didapatkan dengan menggabungkan dua varians sampling cluster 2-
tahap.

Skema 2-tahap
psu———ssu

ˆ
Dengan varians X
ˆ
V(X) = (psu varians S2 ) + (ssu varians Si2 )
b

Skema 3-tahap
psu—————ssu
(1st case)
ssu ————— tsu
(2nd case)
ˆ
Varians dari X pada kasus 2-tahap
(M - m) S2 M M 2 N i − ni Si2
ˆ ) = M2
V(X
M
b

m m
+ ∑ Ni N n
i i

1 M
2
dimana Sb = ∑(Xi − X )
M -1 i
2

1 Ni
Si2 = ∑
N -1 j
( X ij − X i ) 2

Substitusikan varians ke psu dan ssu pada kasus 3-tahap, akan
didapatkan

2 (M i − m ) S
2 L 2
L-l S L
(2) L 2
+ ∑ Mi b i
L l l j Mi m
L
1
dimana S =
L -1
2
b∑ (X i − X i ) 2

Mi
1
S =
i
2
∑ (Xij − X i )
Mi -1 j
2

Selanjutnya, kita substitusikan varians 2-tahap ke ssu dan tsu dari kasus
3-tahap. Maka:

Mi − m S Mi 2 Mi
N ij − n ij S 2

(3) M 2
i
Mi m m
+ i
∑N
j
2
ij
N ij n ij
ij

(3) M i2

dimana
N0
1
S =2
ij ∑ ( X ijk − X ij )
N ij − 1 k
2

ˆ
Lalu, gabungkan persamaan (2) dan (3) untuk mendapatkan X
3-tahap
(4)

Persamaan diatas dapat dibagi menjadi 3 komponen, yaitu:

Example 1.
. ,

Menggunakan contoh 11.2, akan dihitung varians dari X
, ˆ
,
1. Cari X ij (jumlah total buku pada kelas ke - j dan sekolah ke - i)
,

,
,

Untuk X11 kita dapatkan
N11 = 3
X11 = ∑Xk
11k = X111 + X112 + X113 = 2 + 4 + 6 = 12

Kemudian untuk X ij lainnya kita hitung dengan cara yang sama,
didapatkan :
X11 = 12, X 12 = 18, X13 = 24
X 21 = 18, X 22 = 24, X 23 = 30
X 31 = 24, X 32 = 12, X 33 = 18

2. Cari X i (jumlah total buku pada sekolah ke - i)

Untuk X1 kita dapatkan
M1
X1 = ∑ X1j = X11 + X12 + X13 = 12 + 18 + 24 = 54
j

Dengan cara yang sama, kita dapatkan
X1 = 54, X 2 = 72, X 3 = 54

ˆ
3. Cari X (rata - rata jumlah buku di setiap sekolah)
M1
ˆ = 1 ∑ X = 1 (54 + 72 + 54) = 60
X 1
L 3

2
4.Cari S b

1 L
S2 =
b
L -1
∑ (X i − X ) 2

1
= [(54 - 60) 2 + (72 - 60) 2 + (54 - 60) 2 ] = 108
3 -1

5. Cari X1 (rata - rata jumlah buku di setiap kelas
pada sekolah ke - i)

Untuk i = 1 , kita dapatkan
M1
1 1
X1 =
M1
∑ X1j = 3 (12 + 18 + 24) = 18

Dengan cara yang sama, akan didapatkan
X1 = 18, X 2 = 24, X3 = 18

2
6.Cari Si

1 M1
2
S1 =
M1 − 1
∑ (X1j −X1 ) 2

1 2 2 2
= [(12 - 18) + (18 - 18) + (24 - 18) ] = 36
3 -1
2 2
S = 36 dan S = 36
2 3

7.Cari Xij (rata - rata jumlah buku setiap siswa di kelas ke - j
dan sekolah ke - i).
1 1
X11 =
N11
∑ X11k = 3 (12) = 4
X11 = 4, X12 = 6, X13 = 8
X 21 = 6, X 22 = 8, X 23 = 10
X31 = 8, X32 = 4, X33 = 6

2
8. Cari Sij
N11
1
2
S =
11
N11 −1
∑ (X 1ik − X 111 ) 2

1 2 2 2
= [(2 - 4) + (4 - 4) + (6 - 4) ] = 4
3 -1
2 2 2 2
S = 4, S = 4, S = 4, S = 4
12 13 21 22
2 2 2 2
S = 4, S = 4, S = 4, S = 4
23 31 32 33

2 Mi − m S
2 L 2
L-l S L
ˆ 2
V(X) = L + ∑ Mi
b i
L l l Mi m
L L L N ij − nij S
2

+ ∑ M i ∑ N ij
2 2 ij

l N ij nij
= 162 + 243 + 81 = 486
ˆ
V(X) = 22

1.4 ESTIMATOR DARI

Bentuk dari estimator untuk klaster sampling 2-tahap :

( ) M − m Sb2 M N i − ni S i2
m
ˆ ˆ
V X =M2 + ∑ N i2

M m m N i ni

s =
2
b
1 m ˆ ˆ
m −1
∑ X −X ( ) 2
ˆ 1 m ˆ
X = ∑ Xi
m
1 ni
si2 = ∑ ( xij − xi ) 2 xi =
xi
ni − 1 j ni
ni
ˆ = Ni
ni
Xi
ni
∑x ij xi = ∑ xij

Untuk kasus 3-tahap, penaksir varians menjadi :

( ) L − 1 S b2 L 2 M i − m Si2 L l M i m 2 N ij − nij Sij
2
ˆ ˆ
V X = L2 − Mi + ∑ ∑ N ij N n
L l l Mi m l i m j ij ij

sb =
2 1 l ˆ ˆ
∑ X −X
l −1 i
( ) 2

si2 =
1 mi
∑
mi − 1 j
(
ˆ
X ij − X i ) 2

= (
1 l ˆ ˆ
∑ X−X
l −1 j
) 2

( )
n
1 ij
2
sij =
2
∑ xijk − xij
nij − 1 k

Ketika l < L kita dapat menyederhanakan estimator untuk variansi di
atas menjadi:

 L   L −1 2 l l l l M i mi 2 N ij − nij sij 
( )
2 2
2 M i − m si
ˆ ˆ
V X =   lSb − ∑ M i + ∑ ∑ N ij N n 
l  L L M i mi L i mi j ij ij 

 sb 
2
=L 
2
 l 
 

Contoh :
Diketahui ada suatu populasi L =580 sekolah, kemudian diambil
sebuah sample l=5 sekolah, m = 2 kelas dari setiap sekolah ,dan n = 4
siswa dari setiap kelas . Estimasi berapa banyak jumlah buku yang
dimiliki siswa dalam populasi jika diketahui L=580 , l=5, 1/L=5/580.
Ausmsikan M i = M = 6 kelas per sekolah dan N ij = N = 40 siswa per
kelas.

Sekolah Siswa Kelas j=1 Kelas j=2
1 k=1 x111=5 x121=4
nik
2 x112=4 x122=6
∑x
nik
= 16
x113=7 ∑
x 11k = 23 12 k
3 x123=1
4 x114=7 x124=5

2 k=1 x211=5 x221=4
nik nik
2 x212=4 x222=6
∑ x 21k = 16 ∑x 22 k = 17
3 x213=7 x223=1
4 x214=7 x224=5

3 k=1 x311=5 x321=4
2 x312=4 nik x322=6 nik
∑ x 31k = 12 ∑x 32 k = 15
3 x313=7 x323=1
4 x314=7 x324=5

4 k=1 x411=5 x421=4
nik nik
2 x412=4 x422=6
∑x 41k = 10 ∑x 42 k = 21
3 x413=7 x423=1
4 x414=7 x424=5

5 k=1 x511=5 x521=4
nik nik
2 x512=4 x522=6
∑x 51k = 21 ∑x 42 k = 17
3 x513=7 x523=1
4 x514=7 x524=5

1.5 ALOKASI SAMPEL
Misal biaya pemilihan psu,ssu dan tsu yaitu c1 , c2 , dan c3 kemudian total biaya
dimisalkan c , maka :
c = c1l +c2lm +c3lm n
Dari persamaan fungsi biaya tersebut kita menentukan
dengan cara meminimumkan . Untuk menyederhanakan, kita
asumsikan bahwa nij = n . Karena itu menjadi :
.

dimana

Dengan menggunakan pengali Lagrange diperoleh :

3 stage cluster sampling

More Related Content

What's hot

3 stage cluster sampling

Editor's Notes