3

Moduł 3
Statyka cz. II – Płaski dowolny układ sił
Przestrzenny układ sił
1. Wykreślne warunki równowagi płaskiego dowolnego układu sił
2. Analityczne składanie płaskiego dowolnego układu sił
3. Analityczne warunki równowagi płaskiego dowolnego układu sił
4. Wyznaczanie reakcji belek
5. Rzuty siły na trzy osie prostokątnego układu współrzędnych
6. Analityczne składanie i warunki równowagi sił zbieżnych w układzie prze-
strzennym
7. Warunki równowagi dowolnego przestrzennego układu sił
8. Bibliografia

2
1. Wykreślne warunki równowagi płaskiego dowolnego układu sił
Dotychczas przedstawiono metody składania sił zbieżnych działających w jednej
płaszczyźnie. Omówione zostały siły przyłożone do jednego punktu, a więc były to za-
gadnienia związane ze statyką punktu materialnego.
Następnym zagadnieniem, jest statyka ciała sztywnego, która zajmuje się składa-
niem sił zaczepionych w różnych punktach ciała sztywnego. W założeniu układu pła-
skiego sił, przyjmuje się, że linie działania wszystkich sił leżą w jednej płaszczyźnie.
Z założenia, że obciążona bryła jest nieodkształcalna, wynika ważny aksjomat sta-
tyki ciała sztywnego.
W ciele sztywnym punkt zaczepienia siły można przesuwać wzdłuż linii jej działania.
W tym i w następnych rozdziałach często powoływać się będzie na ten aksjomat.
W rozważaniach będzie przesuwany wektor siły wzdłuż linii działania, zachowując przy
tym jego wartość, kierunek i zwrot.
1. Składanie dowolnego układu sil. Dowolny układ sił można również (podobnie
jak układ zbieżny) składać wykreślnie lub analitycznie. Poniżej przedstawione
zostanie składanie wykreślne.
Rys. 3.1. Składanie wykreślne
Źródło: Siuta W. Mechanika techniczna, WSiP, Warszawa 2004, str. 66
W punktach A, B, C ciała sztywnego zaczepione są trzy siły , , działające
wzdłuż prostych I, II, III (rys. 3.1.). Należy przenieść równolegle siłę , do dowolnego
punktu K. Do końca tej siły zaczepia się siłę , do końca siły siłę , której koniec
znajduje się w punkcie L. Wielobok KMNL jest wielobokiem sil rozpatrywanego układu,

3
a wektor = , łączący początek pierwszej i koniec ostatniej siły w tym wieloboku,
przedstawia sumę geometryczną wszystkich sił układu.
Następnie obiera się dowolny punkt O, jako biegun, oraz łączy się go z początkiem
i końcem każdej siły wieloboku. Otrzymane w ten sposób odcinki 1, 2, 3, 4 nazywa się
promieniami wieloboku sił. Liczba tych promieni będzie zawsze o jeden większa od licz-
by sił (w tym przypadku są trzy siły i cztery promienie).
Równolegle do promienia 1 kreśli się na rysunku wyobrażającym rozmieszczenie
sił prostą 1', aż do przecięcia się z linią działania siły . Otrzymuje się punkt E. Z tego
punktu równolegle do promienia 2 kreśli się prostą 2', która przecina się z linią działania
siły w punkcie F. Z otrzymanego punktu, równolegle do promienia 3 wieloboku sił,
kreśli się prostą 3', która przecina linię działania siły w punkcie G. Z punktu G wresz-
cie równolegle do promienia 4 kreśli się prostą 4'. Boki 1 i 4 otrzymanej linii łamanej
przecinają się w punkcie H (rys. 3.1.). Przez ten punkt musi przechodzić siła wypadkowa
, określona co do wartości, kierunku i zwrotu przez sumę otrzymaną w wieloboku sił.
Linię łamaną DEFGJ nazywa się wielobokiem sznurowym. Nazwa ta pochodzi
stąd, że kształt takiej linii łamanej miałby sznur umocowany w punktach D i J, obciążony
danymi siłami w punktach E, F, G.
Wielobok sił można wykreślić stosując dowolną kolejność sił składowych,
a w zależności od tego różna będzie postać wieloboku sznurowego. W wyniku otrzymuje
się jednak tę samą linię działania siły wypadkowej. Należy tylko pamiętać, że boki wie-
loboku sznurowego powinny być rysowane w tej samej kolejności, co promienie wielo-
boku sił. Jeśli np. promień jest w wieloboku sił przed siłą , to w wieloboku sznurowym
odpowiadający mu bok 1' powinien być również przed siłą . Promień 2 jest w wielo-
boku sił pomiędzy siłami i , a w wieloboku sznurowym odpowiadający mu bok 2'
powinien być również między siłami i itd.
Słuszność powyższej konstrukcji wykreślnej można wykazać następującym ro-
zumowaniem:
Siłę przedstawioną w wieloboku sił (rys. 3.1.), można uważać za sumę dwóch
sił składowych i . Te dwie siły składowe przeniesione do dowolnego punktu (np.
punktu E) na kierunku działania siły zastępują całkowicie w działaniu siłę . Podob-
nie siłę w wieloboku sił możemy uważać za sumę dwóch sił składowych - i ,
które przeniesione do punktu F na kierunku siły zastępują w działaniu tę siłę. Rów-
nież siły - oraz przeniesione do punktu G na kierunku siły zastępują tę siłę. Siły
- , - oraz - działające wzdłuż boków 2' i 3' wieloboku sznurowego wzajem-
nie się równoważą. Układ sił , sprowadza się do dwóch sił i , które zbiega-
ją się w punkcie H i mają wypadkową równą co do wartości, kierunku i zwrotu sumie
geometrycznej , przedstawionej w wieloboku sił wektorem .
Za pomocą wieloboku sznurowego można łatwo określić wypadkową dowolnej
liczby sił o różnych punktach zaczepienia. Kolejność wykonywania poszczególnych
czynności, jakie należy wykonywać, jest następująca:

4
1) Z dowolnego punktu leżącego w płaszczyźnie układu należy wykreślić wielo-
bok sił.
2) Należy połączyć początek pierwszej z końcem ostatniej siły na tym wieloboku.
Znajduje się w ten sposób sumę , która określa nam wartość, kierunek i zwrot
szukanej wypadkowej.
3) Obiera się dowolny punkt O za biegun i łączy się z początkiem i końcem każdej
siły na wieloboku sił. Wielobok sił wraz z biegunem i promieniami wieloboku
sił nazywa się planem sił.
4) Promienie wieloboku sił numeruje się tak, żeby liczba oznaczająca promień
odpowiadała sile, której początek dany promień łączy z biegunem. Tak więc
początek siły pierwszej – promień pierwszy, początek siły drugiej – promień
drugi itp. Promień ostatni łączy biegun z końcem ostatniej siły na wieloboku.
5) Równolegle do poszczególnych promieni wieloboku sił kreśli się wielobok
sznurowy. Bok pierwszy do przecięcia się z linią działania pierwszej siły,
z otrzymanego punktu bok drugi do przecięcia się z linią działania siły drugiej
itd.
6) Następnie należy przedłużyć do przecięcia się pierwszy i ostatni bok wielobo-
ku sznurowego.
7) Przez ten punkt rysuje się wypadkową równą co do wartości, kierunku i zwro-
tu sumie .
Konstrukcja wieloboku sił umożliwia określenie wartości, kierunku i zwrotu wy-
padkowej. Konstrukcja wieloboku sznurowego służy tylko do określania położenia wy-
padkowej w układzie sił.
Przykład 3.1. Składanie sił równoległych
Na rys. 3.2. przedstawiono trzy siły: F1 = 100 N, F2 = 300 N i F3 = 200 N 
o równoległych liniach działania.
Rys. 3.2. Siły o równoległych liniach działania

5
W przyjętej podziałce rysuje się wielobok tych sił i znajduje się ich sumę . Na-
stępnie przyjmuje się dowolny punkt O i łączy się go z początkiem i końcem każdej siły
tego wieloboku. Otrzymuje się promienie wieloboku sił 1, 2, 3 i 4. Równolegle do tych
promieni kreśli się poszczególne boki wieloboku sznurowego. Punkt H przecięcia się
skrajnych boków wieloboku sznurowego (1' i 4') wyznacza położenie wpadkowej. Przez
ten punkt przechodzi linia działania wypadkowej . Siła wypadkowa jest równa co do
wartości, kierunku i zwrotu sumie , otrzymanej z wieloboku sił. W rozważanym przy-
padku wartość wypadkowej R = 600 N.
W przedstawionym przykładzie wielobok sił był otwarty (istniała suma ), nato-
miast skrajne boki wieloboku sznurowego przecinały się w jednym punkcie, który wy-
znaczał położenie wypadkowej. Taki wielobok sznurowy, w którym skrajne boki (pierw-
szy i ostatni) przecinają się w jednym punkcie, nazywa się otwartym wielobokiem
sznurowym.
Przypadki szczególne składania dowolnego układu płaskiego
Wykreślne warunki równowagi płaskiego układu sił
Omówiony zostanie przypadek wykreślnego składania trzech sił przedstawio-
nych na rys. 3.3.
Rys. 3.3. Wykreślne składanie sił układu płaskiego
W tym przypadku wielobok sił jest zamknięty, czyli suma geometryczna wszyst-
kich sił jest równa zeru. Układ ten nie ma wypadkowej, jednak nie jest w równowadze.
Wynika to z wieloboku sznurowego. Siły składowe i - oraz i - wzajemnie
się równoważą. Dany układ sił , , owadza się do dwóch sił i równole-
głych i równych co do wartości bezwzględnej, lecz zwróconych przeciwnie, a więc spro-
wadza się do pary sił. Ciało sztywne obciążone takim układem sił byłoby w ruchu obro-
towym.

6
Otrzymany wielobok sznurowy odznacza się tym, że skrajne jego boki są do sie-
bie równoległe, ale nie leżą na wspólnej prostej. Taki wielobok sznurowy nazywamy
otwartym.
Wielobokiem sznurowym otwartym nazywa się taki wielobok, którego skrajne boki przecinają
się w jednym punkcie lub są do siebie równoległe (ale nie leżą na wspólnej prostej).
W szczególnym przypadku ciało sztywne obciążone dowolnym układem sił może
być w równowadze. Wielobok sił musi być wówczas zamknięty (wypadkowa R = O), na-
tomiast skrajne boki wieloboku sznurowego muszą leżeć na jednej prostej (w przeciw-
nym razie siły działające wzdłuż tych boków utworzą parę sił).
Wielobok sznurowy, którego pierwszy i ostatni bok leżą na jednej prostej, nazywa się wielobo-
kiem zamkniętym.
Przykład 3.2.
Przyjmuje się trzy siły równoległe: F1 = 100 N, F2 = 200 N, F3 = 100 N, których li-
nie działania są jednakowo oddalone od siebie (rys. 3.4).
Rys. 3.4. Siły równoległe
Podane siły są w równowadze. Wielobok jest zamknięty. Początek pierwszej i ko-
niec ostatniej siły znajdują się w tym samym punkcie A na wieloboku. Pierwszy i ostatni
promień wieloboku sił (1 i 4) pokrywają się. Wielobok sznurowy wykreślony na pod-

7
stawie poprzednio podanych zasad odznacza się tym, że pierwszy i ostatni jego bok (1' i
4') leżą na jednej prostej. Wielobok sznurowy jest więc również zamknięty.
Składając wykreślnie dowolny płaski układ sił, mogą wystąpić następujące przy-
padki:
1) Wielobok sił otwarty, wielobok sznurowy otwarty. Układ sił ma wy-
padkową równą co do wartości, kierunku i zwrotu sumie geometrycznej
wszystkich sił, znalezionej za pomocą wieloboku sił. Linia działania wy-
padkowej przechodzi przez punkt przecięcia się skrajnych boków wielo-
boku sznurowego.
2) Wielobok sił zamknięty, wielobok sznurowy otwarty. Układ sił można za-
stąpić parą sił, której siły leżą na skrajnych bokach wieloboku sznurowego.
3) Wielobok sił zamknięty, wielobok sznurowy zamknięty. Układ sił jest
w równowadze.
Wykreślne warunki równowagi dowolnego układu płaskiego:
 wielobok sił musi być zamknięty,
 wielobok sznurowy musi być zamknięty.
2. Analityczne składanie płaskiego dowolnego układu sił
Jeżeli układ płaski można zastąpić jedną siłą wypadkową, to siła ta jest równa co
do wartości, kierunku i zwrotu geometrycznej sumie sił składowych. Można ją określić
analitycznie za pomocą twierdzenia o sumie rzutów.
Do określenia położenia wypadkowej siły stosuje się twierdzenie o momencie
głównym układu sił, które w odniesieniu do dowolnego płaskiego układu sił można
sformułować następująco:
Jeżeli płaski dowolny układ sił ma wypadkową, to moment główny tego układu sił jest równy
momentowi siły wypadkowej względem tego samego bieguna.
Przykład 3.3.
Dane są trzy siły równoległe F1 = 100 N, F2 = 200 N, F3 = 200 N (rys. 3.5.). Dla
określenia wypadkowej siły najpierw przyjmuje się układ współrzędnych. Układ ten
można przyjąć zupełnie dowolnie. W przypadku sił równoległych optymalnie jest zacze-
pić układ współrzędnych tak, żeby jedna oś (np. oś y) pokrywała się z kierunkiem jednej
z sił układu. Wtedy druga oś będzie, oczywiście, prostopadła do wszystkich sił.

8
Rys. 3.5. Obliczanie wypadkowej i momentu głównego sił równoległych
Z twierdzenia o sumie rzutów wynika, że wypadkowa będzie miała następujące
rzuty na osie x i y:
Rx = F1x+F2x+F3x = O (wszystkie siły są prostopadłe do osi x)
Ry = F1y+ F2y+ F3y = 100+200+200 = 500 N
Wartość wypadkowej wynosi:
R = = Ry = 500 N
x y y
Wypadkowa siła tworzy z osią x kąt α, który określa się z zależności:
cosα = = = O, a więc α = 90°
Wypadkowa ma więc kierunek i zwrot osi y.
Następnie oblicza się moment główny układu sił względem dowolnego punktu.
Biegun momentu można obrać zupełnie dowolnie. Zwykle za biegun momentu przyjmu-
je się początek układu współrzędnych O.
MO = F2 · 0,2 + F3 · 0,6 = 200 · 0,2 + 200 · 0,6 = 160 N· m
(linia działania siły F1 przechodzi przez biegun O i dlatego jej moment jest równy zeru)
Siły , , mają względem punktu O moment MO = 160 N-m.

9
Taki sam moment względem bieguna O musi mieć wypadkowa . Odległość jej li-
nii działania od przyjętego bieguna musi więc wynosić:
h = = = O,32 m
A więc linia działania wypadkowej znajduje się w odległości h = 0,32 m (na pra-
wo) od początku układu przyjętego za biegun momentu (dlatego na prawo, że moment
wypadkowej względem O musi być dodatni).
3. Analityczne warunki równowagi płaskiego dowolnego układu sił
Zostaną rozpatrzone wszystkie możliwe przypadki, z którymi można się spotkać
w analitycznym składaniu sił.
• Rx = O; Ry ≠ 0
Wszystkie siły układu można zastąpić jedną siłą wypadkową równą Ry, mającą kierunek
osi y przyjętego układu współrzędnych. Linia działania wypadkowej jest oddalona od
początku układu O o wielkość h = Jeżeli moment główny względem początku układu
O ma wartość równą zeru, czyli Mo = O, to h = = O, a więc linia działania siły wypad-
kowej pokrywa się z osią y.
• Rx ≠ O; Ry = 0
Układ sił również ma wypadkową. Jej wartość jest równa Rx, a kierunek zgodny
jest z kierunkiem osi x przyjętego układu współrzędnych. Linia działania siły wypadko-
wej jest oddalona od początku układu O o h = . Jeżeli moment główny jest równy zeru,
czyli MO = O, to również h = O. Linia działania wypadkowej pokrywa się wtedy z kie-
runkiem osi x układu współrzędnych.
• Rx ≠ O; Ry ≠ 0
Układ sił ma wypadkową o wartości równej R = .
Linia działania wypadkowej jest odległa od początku układu o h = . Kąt nachy-
lenia wypadkowej do osi x jest dany równaniem cosα = . Jeżeli moment główny jest
równy zeru, czyli MO = O, to wypadkowa przechodzi przez początek układu współrzęd-
nych O.
• Rx = O; Ry = O

10
Taki układ sił nie ma wypadkowej. Wszystkie siły układu można zastąpić parą
o momencie równym momentowi głównemu MO. W szczególnym przypadku, kiedy rów-
nież MO = O, rozważany układ płaski jest w równowadze.
Istnieją trzy analityczne warunki równowagi dowolnego płaskiego układu sił:
1. suma algebraiczna rzutów wszystkich sił na oś x musi być równa zeru,
2. suma algebraiczna rzutów wszystkich sił na oś y musi być równa zeru,
3. suma algebraiczna momentów wszystkich sił (moment główny) względem do-
wolnego bieguna musi być równa zeru.
Powyższe warunki równowagi możemy zapisać w postaci trzech równań anali-
tycznych.
Rx = F1x + F2x + F3x + … + Fnx = ΣFix
Ry = F1y + F2y + F3y + … + Fny = ΣFiy
Mo = M1 + M2 + M3 + … + Mn = ΣMi
Ogólnie dla równowagi dowolnego płaskiego układu sił muszą być spełnione trzy
równania.
ΣFix = O
ΣFiy = O
ΣMi = O
Omówione równania równowagi służą do wyznaczania niewiadomych reakcji
występujących w punktach podparcia ciała, które jest obciążone siłami czynnymi. Jeżeli
obciążone ciało ma być w spoczynku, to wszystkie siły zewnętrzne działające na ciało
(tak siły czynne, jak i reakcje) muszą się wzajemnie równoważyć. Dla tych wszystkich sił
zewnętrznych układa się równania równowagi. Będą tam występowały niewiadome re-
akcje, które będzie można z tych równań obliczyć. Można ułożyć tylko trzy równania
równowagi, dlatego liczba niewiadomych występujących w tych równaniach nie może
być większa od trzech.
Zadanie statyczne, w którym występują trzy niewiadome reakcje i dla którego mo-
żemy ułożyć trzy warunki równowagi, nazywa się zadaniem statycznie wyznaczalnym.
Rys. 3.6. przedstawia trzy schematy zadań statycznie wyznaczalnych. W każdym
z nich można ułożyć trzy równania równowagi i każde z nich ma trzy niewiadome pod-
porowe (reakcje). Przy obliczaniu liczby niewiadomych bierze się pod uwagę wiadomo-
ści poznane przy omawianiu więzów. Tak np. łożysko stałe dostarcza dwóch niewiado-
mych, łożysko ruchome – jednej, przegub dostarcza też dwóch niewiadomych, a zawie-
szenie na wiotkim cięgnie – jednej niewiadomej itp.

11
Rys. 3.6. Schematy zadań statycznie wyznaczalnych
Może się zdarzyć, że w zadaniu statycznym liczba niewiadomych reakcji jest większa
od liczby równań równowagi. Takie zadanie nazywa się statycznie niewyznaczalnym.
Na rys. 3.7. przedstawiono trzy schematy zadań statycznie niewyznaczalnych.
Dwa z nich zawierają 4 niewiadome reakcje, a jedno 5 niewiadomych. Dla każdego z tych
zadań można ułożyć po trzy równania równowagi. W każdym przypadku równań rów-
nowagi byłoby mniej niż niewiadomych w tych równaniach. Za pomocą ze statyki, zadań
statycznie niewyznaczalnych rozwiązać nie można.
Rys. 3.7. Schematy zadań statycznie niewyznaczalnych

12
Poznane trzy warunki równowagi płaskiego układu sił możemy zastąpić trzema
innymi warunkami.
Jeżeli moment główny układu względem dowolnego punktu A jest równy zeru,
czyli MA = O, to układ albo ma wypadkową przechodzącą przez punkt A, albo jest w rów-
nowadze. Jeżeli oprócz tego moment główny względem dowolnego innego bieguna B
również jest równy zeru, czyli MB = O, to układ albo ma wypadkową przechodzącą przez
oba punkty A i B, albo jest w równowadze. Zakładając jeszcze trzeci biegun momentu C,
nie leżący na prostej przechodzącej przez punkty A i B. Jeżeli moment główny względem
tego trzeciego bieguna też równa się zeru, a więc MC = O, to dany układ sił musi być
w równowadze, gdyż nie może istnieć wypadkowa przechodząca przez trzy punkty nie
leżące na jednej prostej.
Zamiennie ze stosowaniem trzech warunków równowagi (dwa warunki rzutów
i jeden warunek momentów) można stosować trzy warunki momentów:
MA = O
MB = O
MC = O
Dla równowagi układu płaskiego sumy momentów wszystkich sił względem trzech punktów
nie leżących na jednej prostej muszą być równe zeru.
Można również warunki równowagi układu płaskiego przedstawić w jeszcze jed-
nej postaci.
Jeżeli sumy momentów wszystkich sił względem dwóch biegunów A i B są równe
zeru, czyli MA = O i MB =0, to układ albo ma wypadkową przechodzącą przez punkty
A i B, albo jest w równowadze. Biorąc dowolną oś l nieprostopadłą do kierunku AB. Jeże-
li suma rzutów wszystkich sił na tę oś jest równa zeru, to wypadkowa nie istnieje, czyli
układ znajduje się w równowadze.
MA = O
MB = O
ΣFiI = O
Dla równowagi układu płaskiego sumy momentów wszystkich sił względem dwóch dowolnych
punktów muszą być równe zeru oraz suma rzutów wszystkich sił na dowolną oś nieprostopadłą
do kierunku przechodzącego przez te dwa punkty musi być równa zeru.
4. Wyznaczanie reakcji belek
Belką nazywamy element konstrukcyjny, który przenosi obciążenie zginające.
Elementy takie występują w technice bardzo często. Obciążenie zginające przenoszą
belki mostowe, stropowe, osie wagonów, osie samochodów, wały maszyn itp.

13
Obliczenia belek jest zagadnieniem bardzo ważnym w technice. Bardzo dużo ele-
mentów konstrukcyjnych można uważać za belki. Tak np. belkami są: wał ułożyskowany
w skrzyni biegów, dwuteownik przenoszący obciążenie stropu, elementy nośne mostów,
dźwigów itp. Na kursie będziemy się zajmować jedynie belkami statycznie wyznaczal-
nymi, a do takich należą belki mające jedną podporę stałą i jedną ruchomą. Pod wpły-
wem sił zewnętrznych w podporach występują reakcje, które można wyznaczyć meto-
dami: analityczną lub wykreślną.
I. Analityczne wyznaczanie reakcji belek
Przykład 3.4.
Na rys. 3.8. przedstawiono belkę obciążoną trzema siłami zewnętrznymi, których
wartości wynoszą: F1 = 5000 N; F2 = 2000 N; F3 = 1000 N. Reakcja A występująca na
ruchomej podporze jest pionowa (prostopadła do płaszczyzny podparcia). Z warunku
rzutów wszystkich sił na przyjętą oś x wynika, że reakcja B na podporze stałej musi być
również pionowa. Przed rozpoczęciem rozwiązywania należy nadać poszczególnym re-
akcjom dowolne zwroty (np. do góry). Jeżeli z obliczenia trzymamy reakcję ujemną (ze
znakiem minus), będzie to oznaczało, że zwrot reakcji należy zmienić na przeciwny.
Zostaną zastosowane równania równowagi (suma rzutów wszystkich sił na oś
y i suma momentów względem A).
Rys. 3.8. Belka obciążona siłami zewnętrznymi
RA – F1 - F2 + RB - F3 = O
-F1 · a -F2 · (a + b) + RB · (a + b + c) - F3 · (a + b + c + d) = O
Z drugiego równania można obliczyć reakcję RB
RB = = 3600 N = 3,6 kN
Wstawiając tę wartość do pierwszego równania równowagi otrzyma się
RA = F1 + F2 + F3 - RB = = 5000 + 2000 + 1000 - 3600 = 4400 N = 4,4 kN

14
Znaki „plus” przy obliczonych reakcjach świadczą o tym, że przyjęte zwroty reak-
cji (do góry) są prawidłowe.
Przykład 3.5.
Rys. 3.9. Belka obciążona siłami zewnętrznymi o różnym nachyleniu
Kierunki działania sił nie muszą być prostopadłe do belki, np. na belkę z rys. 3.9.
działają trzy siły różnie nachylone względem belki. Wartości sił wynoszą F1 = 4 kN,
F2 = 1 kN, F3 = 2 kN.
W celu obliczenia reakcji należy ułożyć trzy równania równowagi:
RAx – F1 · cos45° - F3 · cos60° = O
-F1 · sin45° + RAy + F2 + RB - F3 · sin60° = O
F1 · 0,2 · sin45° + F2 · 0,2 + RB · 0,4 - F3 · 0,6 · sin60° = O
(ostatnie równanie jest równaniem momentu głównego względem punktu A)
Po uwzględnieniu danych i rozwiązaniu trzech równań z trzema niewiadomymi
otrzyma się szukane reakcje:
RAx = 3,8 kN; RAy = 2,8 kN; RB = 0,7 kN
II. Wykreślne wyznaczanie reakcji belek
Wykreślne wyznaczanie reakcji belek polega na zastosowaniu wykreślnych wa-
runków równowagi układu płaskiego (wielobok sił i wielobok sznurowy muszą być za-
mknięte).
Na rys. 3.10. przedstawiono w przyjętej podziałce długości belkę obciążoną jedną
siłą F = 2000 N.

15
Rys. 3.10. Belka obciążona jedną siłą F = 2000 N
Na początku należy (w przyjętej podziałce) wykreślić siłę , przyjąć dowolny
punkt O i wykreślić promienie 1, 2, łączące ten punkt z początkiem i końcem danej siły.
Przedłuża się linie działania reakcji A i B oraz rysuje wielobok sznurowy (bok 1' do
przecięcia z linią działania siły ; z otrzymanego punktu bok 2'). Odcinek łączący punk-
ty, w których skrajne boki wieloboku sznurowego przecinają się z kierunkami reakcji
(punkty I i II), nazywa się zamykającą i oznacza literą z'. Z przyjętego punktu O rysuje się
promień z równoległy do zamykającej, który dzieli siłę na dwie szukane reakcje. Zwro-
ty ich muszą być takie, żeby wielobok sił był zamknięty. Reakcja A jest pomiędzy pro-
mieniami z i 1 na wieloboku sił, gdyż na wieloboku sznurowym boki z' i 1' przecinają się
na linii działania A. Podobnie reakcja B będzie pomiędzy promieniami 2 i z na wielo-
boku sił, gdyż odpowiednie boki wieloboku sznurowego (2' i z') przecinają się na linii
działania reakcji B.
W podobny sposób rozwiązuje się zadanie przy większej liczbie sił zewnętrznych.
Na rys. 3.11. przedstawiono wykreślne rozwiązanie belki obciążonej trzema rów-
nymi siłami. Najpierw wykreśla się wielobok sił, przyjmuje biegun O i określa promienie
wieloboku sił (1, 2, 3 i 4). Równolegle do nich rysuje się wielobok sznurowy. Jego skraj-
ne promienie przecinają się z reakcjami w punktach I i II, które łączą ze sobą zamykającą
z'. Promień z równoległy do tej zamykającej, wykreślony został z punktu O i dzieli sumę
sił czynnych na dwie reakcje.

16
Rys. 3.11. Belka obciążone trzema równymi siłami
5. Rzuty siły na trzy osie prostokątnego układu współrzędnych
Układem sił przestrzennym nazywa się zbiór sił, których linie działania nie leżą
w jednej płaszczyźnie, lecz są dowolnie rozmieszczone w przestrzeni. Stosowane do
rozwiązywania układów płaskich metody wykreślne nie będą miały zastosowania do
układów przestrzennych. Dla poznania analitycznego sposobu rozwiązywania układów
przestrzennych potrzebne jest pojęcie przestrzennego prostokątnego układu współ-
rzędnych. Składa się on z trzech wzajemnie prostopadłych osi x, y, z, przecinających się
w jednym punkcie, zwanym początkiem układu. Oznaczenia poszczególnych osi dobiera
się zawsze tak, żeby patrząc z końca osi z widzieć oś x po prawej stronie osi y. Jest to
tzw. prawy układ współrzędnych (rys. 3.12.).
Rys. 3.12. Prawy układ współrzędnych
Dana jest siła zaczepiona w punkcie O, który obierzemy jednocześnie za począ-
tek przestrzennego układu współrzędnych. Kąty, jakie tworzy dana siła z poszczególny-
mi osiami x, y, z, oznaczono kolejno α , β, γ (rys. 3.13.).

17
Rys. 3.13. Przestrzenny układ współrzędnych
Oznaczając rzuty siły na osie x, y, z przez Fx, Fy, Fz widzimy, że:
Fx = F · cosα
Fy = F · cosβ
Fz = F · cosγ
Trzy równania przedstawiające rzuty siły na osie x, y, z zostaną podniesione
stronami do kwadratu i dodane stronami do siebie:
Fx2 + Fy2 + Fz2 = F2 · cos2α + F2 · cos2β + F2 · cos2γ
lub
Fx2 + Fy2 + Fz2 = F2 (cos2α + cos2β + cos2γ)
W trygonometrii udowadnia się, że suma kwadratów cosinusów kierunkowych
kątów, jakie dowolna prosta tworzy z osiami x, y, z, jest równa jedności, czyli:
cos2α + cos2β + cos2γ = 1
więc:
F2 = Fx2 + Fy2 + Fz2
czyli:
F =
Równanie to umożliwia określenie wartości siły , gdy dane są jej rzuty w kie-
runkach trzech osi współrzędnych. Rzuty te określają również kierunek siły . Z równań
określających rzuty siły otrzymuje się po przekształceniu:

18
cosα =
cosβ =
cosγ =
Z powyższych wzorów można znaleźć kąty α, β, γ, które tworzy siła z osiami x,
y, z układu współrzędnych.
6. Analityczne składanie i warunki równowagi sił zbieżnych w układzie prze-
strzennym
Dany jest przestrzenny układ sił zbieżnych złożony z trzech sił , , . Zostaje
obrany punkt O zbieżności tych sił za początek układu współrzędnych oraz oznaczone
przez α1, β1, γ1, α2, β2, γ2, α3, β3, γ3, kąty, jakie te siły tworzą z przyjętymi osiami x, y, z
(rys. 3.14.).
Rys. 3.14. Przestrzenny układ sił zbieżnych
Rzuty siły 1 na osie układu współrzędnych mają wartości:
F1x = F1 · cosα1
F1y = F1 · cosβ1
F1z = F1 · cosγ1
Podobnie możemy napisać wartości rzutów sił 2 i 3.
F2x = F2 · cosα2
F2y = F2 · cosβ2
F2z = F2 · cosγ2
F3x = F3 · cosα3
F3y = F3 · cosβ3
F3z = F3 · cosγ3

19
Opierając się na twierdzeniu, że rzut geometrycznej sumy i pewnej liczby sił na
dowolną oś równa się sumie rzutów wszystkich sił składowych na tę oś, otrzyma się:
Sx = F1x + F2x + F3x
Sy = F1y + F2y + F3y
Sz = F1z + F2y + F3z
Równania te umożliwiają znalezienie rzutów sumy na osie x, y, z przyjętego ukła-
du współrzędnych. Znając rzuty Sx, Sy, Sz, można za pomocą poprzednio wzorów określić
wartość geometrycznej sumy tych sił:
S =
Kierunek sumy określają kąty α, β, γ, jakie ta suma tworzy z osiami x, y, z. Można
je znaleźć ze związków:
cosα =
cosβ =
cosγ =
Wypadkowa podanych trzech sił zbieżnych będzie miała tę samą wartość, ten
sam kierunek oraz zwrot, co suma . Jej linia działania będzie przechodzić przez punkt
zbieżności wszystkich sił układu. Zupełnie podobnie można określić wypadkową do-
wolnej liczby sił zbieżnych nie leżących w jednej płaszczyźnie. W szczególnym przypad-
ku wypadkowa przestrzennego układu sił zbieżnych może się równać zeru; wtedy
rozważany układ będzie w równowadze. Wypadkowa zniknie wtedy, gdy suma bę-
dzie się równać zeru, czyli:
S = = O
Równanie to będzie spełnione tylko wtedy, gdy wszystkie trzy wielkości znajdu-
jące się pod pierwiastkiem będą równe zeru, a więc kiedy:
Sx = ΣFix = 0
Sy = ΣFiy = 0
Sz = ΣFiz = 0
Dla równowagi przestrzennego układu zbieżnego muszą być spełnione następu-
jące trzy warunki:
•algebraiczna suma rzutów wszystkich sił na oś x musi się równać zeru,
•algebraiczna suma rzutów wszystkich sił na oś y musi się równać zeru,
•algebraiczna suma rzutów wszystkich sił na oś z musi się równać zeru.

20
Moment siły względem osi
Moment siły względem jakiegoś punktu jest to wielkość mechaniczna starająca
się wprawić ciało w ruch obrotowy wokół przyjętego bieguna. Podobna wielkość me-
chaniczna funkcjonuje w układach przestrzennych sił, stara się obrócić ciało dookoła osi.
Jest to tzw. moment siły względem osi.
Dana jest siła oraz oś l (rys. 3.15.). Przez dowolny punkt O leżący na
osi l przeprowadzono płaszczyznę Π prostopadłą do tej osi. Rzutuje się siłę na tę
płaszczyznę, a otrzymany w ten sposób wektor oznaczony został 1. Z punktu O,
w którym oś l przebija płaszczyznę Π, rysuje się ramię r prostopadłe do linii działania
wektora 1.
Rys. 3.15. Moment siły względem osi
Momentem siły względem osi nazywa się moment rzutu tej siły na płaszczyznę prostopadłą do
osi względem punktu przecięcia się osi z płaszczyzną.
Odległość rzutu od osi jest równa odległości punktu przecięcia się osi z płaszczy-
zną od linii działania rzutu, czyli:
Ml = Fl · r
Moment ten jest wektorem. Jego kierunek pokrywa się z kierunkiem osi, a jego
zwrot przyjmuje się zgodnie z regułą śruby o gwincie prawozwojnym.
Moment siły względem osi jest równy zeru w dwóch przypadkach:
 gdy Fl = O, czyli gdy siła jest równoległa do osi,

21
 gdy r = O, czyli gdy linia działania siły przecina się z osią.
W obu przypadkach przez linię działania siły i przez oś można przeprowadzić
jedną płaszczyznę.
Moment siły względem osi jest równy zeru wtedy, gdy siła i oś leżą w jednej płaszczyźnie.
Moment siły względem osi jest równy rzutowi na tę oś momentu danej siły względem dowolne-
go bieguna leżącego na tej osi.
7. Warunki równowagi dowolnego przestrzennego układu sił
Siły działające w jednej płaszczyźnie są w równowadze wtedy, gdy spełnione są
trzy analityczne warunki równowagi: sumy rzutów wszystkich sił na dwie wzajemnie
prostopadłe osie leżące w płaszczyźnie układu sił są równe zeru oraz suma momentów
wszystkich sił względem dowolnego punktu również jest zerem.
Pierwsze dwa warunki równowagi (warunki rzutów) mówią o tym, że ciało nie
może się przemieszczać wzdłuż osi leżącej w płaszczyźnie układu sił. Trzeci warunek
równowagi (warunek momentów) mówi o tym, że ciało nie może wykonywać ruchu ob-
rotowego dookoła osi prostopadłej do płaszczyzny układu sił.
Ciało obciążone siłami, których linie działania są dowolnie rozmieszczone
w przestrzeni, to jest ciało obciążone dowolnym przestrzennym układem sił.
Jeżeli ciało takie ma pozostać w równowadze, to nie może ono się przemieszczać wzdłuż
żadnej z trzech osi przestrzennego układu współrzędnych ani nie może się obracać do-
okoła żadnej z tych osi. Przemieszczenia wzdłuż osi x, y, z nie wystąpią, gdy sumy rzu-
tów wszystkich sił na te osie będą równe zeru. Ruch obrotowy natomiast nie wystąpi,
gdy sumy momentów wszystkich sił względem osi x, y, z będą równe zeru.
Ciało obciążone dowolnym przestrzennym układem sił będzie w równowadze,
gdy będzie spełnionych sześć warunków równowagi:
 ΣFix = 0 – suma algebraiczna rzutów wszystkich sił na oś x musi być równa zeru;
 ΣFiy = 0 – suma algebraiczna rzutów wszystkich sił na oś y musi być równa zeru;
 ΣFiz = 0 – suma algebraiczna rzutów wszystkich sił na oś z musi być równa zeru;
 ΣMix = 0 – suma algebraiczna momentów wszystkich sił względem osi x musi być równa zeru;
 ΣMiy = 0 – suma algebraiczna momentów wszystkich sił względem osi y musi być równa zeru;
 ΣMiz = 0 – suma algebraiczna momentów wszystkich sił względem osi z musi być równa zeru.
Jako szczególny przypadek zostanie rozpatrzona równowaga przestrzennego
układu sił równoległych. Zostaje obrany układ współrzędnych tak, żeby płaszczyzna 0, x,
y była prostopadła do linii działania danych sił (wtedy oś z będzie równoległa do tych
sił).
Przy takim założeniu trzy z sześciu równań równowagi staną się tożsamościami:
ΣFix = 0, ΣFiy = 0 (gdyż rzuty sił na te osie będą stale równe zeru) oraz ΣFiz = 0 (gdyż

22
wszystkie siły są równoległe do osi z). W ten sposób dla równowagi układu sił równole-
głych w przestrzeni muszą być spełnione trzy warunki równowagi: suma algebraiczna
rzutów wszystkich sił na oś równoległą do tych sił musi być równa zeru, czyli ΣFiz = 0;
suma algebraiczna momentów wszystkich sił względem dwóch osi leżących w płasz-
czyźnie prostopadłej do tych sił musi być równa zeru, czyli ΣMix = 0 oraz ΣMiy = 0.
Równowaga przestrzennego układu par sił
Suma sił każdej pary jest równa zeru, czyli dla każdego przestrzennego układu
par sił są spełnione trzy pierwsze warunki równowagi (warunki rzutów).
Każdą parę charakteryzuje wektor momentu. Rzutując te wektory na osie x, y, z
otrzyma się:
Mx = ΣMix
My = ΣMiy
Mz = ΣMiz
Stąd można określić moment pary wypadkowej.
Mw =
Dowolną liczbę par sił w przestrzeni można zastąpić jedną parą wypadkową
o momencie Mw, leżącą w płaszczyźnie prostopadłej do tego momentu. W szczególności
przestrzenny układ par sił jest w równowadze, gdy są spełnione trzy warunki analitycz-
ne (sumy rzutów momentów par składowych na osie x, y, z są równe zeru).
Bibliografia:
1. Siuta W. (2004). Mechanika techniczna. Warszawa: WSiP
2. Siuta W., Rososiński S., Kozak B. (2008) Zbiór zadań z mechaniki technicznej.
Warszawa: WSiP
3. Awrejcewicz J. (2009) Mechanika techniczna. WN-T
4. Głowacki H. (2003) Mechanika techniczna. Statyka i kinematyka. Politechnika
Warszawska
5. Janicki L. Sawaniewicz Z. Poradnik – Rozwiązywanie zadań z mechaniki. Część I
Statyka. REA
6. Kozak B. (2008) Mechanika techniczna. Warszawa: WSiP
7. Kozak B. (2000) Części maszyn z elementami mechaniki technicznej. WSiP
8. Misiak J. (2003) Mechanika techniczna Tom 1 Statyka i wytrzymałość mate-
riałów. Tom 2. Kinematyka i dynamika. WN-T
9. Rutkowski A. (2009) Części maszyn. Warszawa: WSiP
10. Opracowanie zbiorowe (2008) Poradnik mechanika. REA

3

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (7)

Similar to 3

Similar to 3 (6)

More from Emotka

More from Emotka (20)

3