Środki ciężkości. Tarcie

1. Moduł 4
Środki ciężkości
Tarcie
1. Określenie środka ciężkości
2. Środek ciężkości linii
3. Środek ciężkości powierzchni
4. Środek ciężkości bryły
5. Tarcie toczne i ślizgowe
6. Bibliografia

2. 2
1. Określenie środka ciężkości
Środek sił równoległych
Przyjmijmy, że w punktach A, B, C są zaczepione trzy siły F⃗ 1, F⃗ 2, F⃗ 3. Założymy, że siły
są równoległe i leżą w jednej płaszczyźnie – rys. 4.1.
Rys. 4.1. Środek sił równoległych
Źródło: Siuta W. Mechanika techniczna, WSiP, Warszawa 2004, str. 117
Za pomocą wieloboku sznurowego można określić linię działania wypadkowej tych
sił. Jej kierunek jest równoległy do danych sił i przechodzi przez punkt l, w którym prze-
cinają się skrajne boki wieloboku sznurowego.
Po obróceniu wszystkich sił o kąt, np. 90° (na rys. 4.1. siły obrócone przedstawiono
liniami kreskowymi), określono linię działania wypadkowej tych obróconych sił. Prze-
chodzi ona przez punkt II. Linie proste działania obu wypadkowych przecinają się w
punkcie Cs, który nazywa się środkiem sił równoległych. Przy obrocie sił o inny kąt
linia działania wypadkowej będzie przechodzić przez ten sam punkt. Środek sił równo-
ległych nie zależy od kierunku działania sił, lecz od wartości i punktów zaczepienia tych
sił. Zostaną określone analitycznie współrzędne tego punktu.
Zostają przyjęte założenie: w punktach A, B, C, ...N, leżących w jednej płaszczyźnie,
są zaczepione siły równoległe F⃗ 1, F⃗ 2, F⃗ 3, ...F⃗ n (rys. 4.2.), zwrócone w tę samą stronę.
Współrzędne środka Cs oznacza się przez xO i yO. W środku tym jest zaczepiona wypad-
kowa całego układu sił, równa sumie algebraicznej wszystkich sił składowych.

3. 3
Rys. 4.2. Równoległe siły, zwrócone w tę samą stronę
Źródło: Siuta W. Mechanika techniczna, WSiP, Warszawa 2004, str. 117
R = F1 + F2 + F3 + ... + Fn
czyli
R = ΣFi
Wiadomo z zasad statyki, że moment wypadkowej względem dowolnego punktu musi
się równać sumie momentów wszystkich sił składowych względem tego samego punktu.
Obierając za biegun momentu początek układu współrzędnych, możemy zapisać:
R · x0 = F1 · x1 + F2 · x2 + F3 · x3 + ... + Fn · xn
lub
(F1 + F2 + F3 + ... Fn) · x0 = F1 · x1 + F2 · x2 + F3 · x3 + ... + Fn · xn
stąd
x0 =
𝐅 𝟏 · 𝐱 𝟏+ 𝐅 𝟐 · 𝐱 𝟐+ 𝐅 𝟑 · 𝐱 𝟑+ …+ 𝐅 𝐧 · 𝐱 𝐧
𝐅 𝟏+ 𝐅 𝟐+ 𝐅 𝟑+ …+ 𝐅 𝐧

4. 4
Po wprowadzeniu symbolu sumowania Σ, wzór, przedstawiający odciętą (współ-
rzędną na osi x) środka sił równoległych, przyjmie postać:
x0 =
𝚺𝐅𝐢 · 𝐱 𝐢
𝚺𝐅𝐢
W celu znalezienia rzędnej y0 tego środka należy obrócić wszystkie siły układu o kąt
90° (na rys. 4.2. siły te przedstawiono liniami kreskowymi). Należy opierać się przy tym
na twierdzeniu, że środek sił równoległych nie zależy od kierunku działania sił. Równa-
nie momentów względem początku układu przybierze postać następującą:
R · y0 = F1 · y1 + F2 · y2 + F3 · y3 + ... + Fn · yn
lub
(F1 + F2 + F3 + ... Fn) · y0 = F1 · y1 + F2 · y2 + F3 · y3 + ... + Fn · yn
stąd
y0 =
𝐅 𝟏 · 𝐲 𝟏+ 𝐅 𝟐 · 𝐲 𝟐+ 𝐅 𝟑 · 𝐲 𝟑+ …+ 𝐅 𝐧 · 𝐲 𝐧
𝐅 𝟏+ 𝐅 𝟐+ 𝐅 𝟑+ …+ 𝐅 𝐧
Po wprowadzeniu symbolu sumowania Σ, wzór, przedstawiający rzędną (współ-
rzędną na osi y) środka sił równoległych, ma postać:
y0 =
𝚺𝐅𝐢 · 𝐲𝐢
𝚺𝐅𝐢
Gdyby przyjęty układ sił równoległych był układem przestrzennym, to do określenia
środka Cs potrzebna byłaby jeszcze jedna współrzędna z0. Współrzędną tę wyznaczało-
by się podobnie jak dwie poprzednie:
z0 =
𝐅 𝟏 · 𝐳 𝟏+ 𝐅 𝟐 · 𝐳 𝟐+ 𝐅 𝟑 · 𝐳 𝟑+ …+ 𝐅 𝐧 · 𝐳 𝐧
𝐅 𝟏+ 𝐅 𝟐+ 𝐅 𝟑+ …+ 𝐅 𝐧
z0 =
𝚺𝐅𝐢 · 𝐳𝐢
𝚺𝐅𝐢
2. Środek ciężkości linii
Na rys. 4.3. przedstawiono linię łamaną złożoną z trzech odcinków o długościach l1,
l2, l3. Środki ciężkości poszczególnych odcinków znajdują się w ich środkach symetrii
(w punktach Cs1, Cs2, Cs3). W tych też punktach można zaczepić siły równe ciężarom
poszczególnych odcinków i znaleźć za pomocą wzorów środek tych sił, który byłby
środkiem ciężkości danej linii.

5. 5
Rys. 4.3. Określenie środka ciężkości
Źródło: Siuta W. Mechanika techniczna, WSiP, Warszawa 2004, str. 121
Ciężary poszczególnych odcinków są jednak proporcjonalne do ich długości. Zamiast
ciężarów G⃗⃗ 1, G⃗⃗ 2, G⃗⃗ 3 można więc podstawić do wzorów na położenie środka ciężkości
długości poszczególnych odcinków. Wtedy otrzyma się wzory na współrzędne środka
ciężkości Cs:
x0 =
Σli·xi
Σli
y0 =
Σli·yi
Σli
skąd
x0 =
l1·x1 + l2·x2 + l3·x3
l1+ l2+ l3
y0 =
l1·y1 + l2·y2 + l3·y3
l1+ l2+ l3
w których x1, x2, x3 oraz y1, y2, y3 stanowią współrzędne środków kolejnych odcinków.
W podobny sposób można określić położenie środka ciężkości dowolnej linii krzy-
wej na płaszczyźnie.
Należy podzielić linię na części, każdą z nich traktować jako odcinek prostej. Ozna-
czając przez l1, l2, l3, …, ln długości poszczególnych części, zaś przez x1, x2, x3, …, xn oraz y1,
y2, y3, …, yn współrzędne ich środków otrzymuje się wzory:
x0 =
l1·x1 + l2·x2 + l3·x3 + …+ ln·xn
l1+ l2+ l3+ …+ ln
y0 =
l1·y1 + l2·y2 + l3·y3 +⋯+ ln · yn
l1+ l2+ l3+ …+ ln
Należy podkreślić, że otrzymany wynik będzie tym dokładniejszy, im większa będzie
liczba części, na jakie dzielimy daną linię.
Przykład 4.1.
Obliczenie środka ciężkości linii przedstawionej na rysunku 4.4. Jeżeli a = 2 m; b = 4
m, c = 8 m, d = 7 m, e = 1 m.

6. 6
Rys. 4.4. Środek ciężkości linii złożonej
Źródło: Siuta W., Rososiński S., Kozak B. Zbiór zadań z mechaniki technicznej, WSiP, Warszawa 2008, str. 34
Linia złożona (rys. 4.4.) może być podzielona na 5 odcinków elementarnych.
x0 =
l1·x1 + l2·x2 + l3·x3 + l4·x4 + l5·x5
l1+ l2+ l3+ l4 + l5
=
a · b + b · 0,5b + c · 0 + d · 0,5d + e · d
a + b + c + d + e
=
=
2 · 4 + 4 · 2 + 8 · 0 + 7 · 3,5 + 1 · 7
2 + 4 + 8 + 7 + 1
=
8 + 8 + 0 + 24,5 + 7
22
=
47,5
22
= 2,159 m
y0 =
l1·y1 + l2·y2 + l3·y3 + l4·y4 + l5·y5
l1+ l2+ l3+ l4 + l5
=
=
a · 0,5a + b · 0 + c · 0,5c + d ·c + e · (c−0,5e)
a + b + c + d + e
=
2 · 1 + 4 · 0 + 8 · 4 + 7 · 8 + 1 · 7,5
2 + 4 + 8 + 7 + 1
=
=
2 + 0 + 32 + 56 + 7,5
22
=
97,5
22
= 4,432 m
3. Środek ciężkości powierzchni
Rys. 4.5. Środek ciężkości figury płaskiej złożonej
Źródło: Siuta W. Mechanika techniczna, WSiP, Warszawa 2004, str. 123

7. 7
Podobnie jak środek ciężkości linii, można wyznaczyć środek ciężkości figury pła-
skiej. Na rys. 4.5. przedstawiono figurę złożoną z dwóch prostokątów. Ich środki ciężko-
ści znajdują się w środkach symetrii (punkty Cs1 i Cs2) tych prostokątów o powierzch-
niach S1 i S2. Przyjmując, że ciężary poszczególnych części są proporcjonalne do wielko-
ści pól powierzchni tych części i stosując wzory na współrzędne środka ciężkości tych
figur otrzyma się zależności:
x0 =
ΣSi·xi
ΣSi
y0 =
ΣSi·yi
ΣSi
skąd
x0 =
S1·x1 + S2·x2
S1+ S2
y0 =
S1·y1 + S2·y2
S1+ S2
Przykład 4.2.
Obliczenie środka ciężkości powierzchni z rysunku 4.6.
Rys. 4.6. Obliczanie środka ciężkości powierzchni
Źródło: Siuta W. Mechanika techniczna, WSiP, Warszawa 2004, str. 129
Powierzchnia ta została podzielona na 3 powierzchnie elementarne.
x0 =
S1·x1 + S2·x2 + S3·x3
S1+ S2+ S3
=
6 · 2 · 1 + 4 · 2 · 4 + 4 · 2 · 7
6 · 2 + 4 · 2 + 4 · 2
=
12 + 32 + 56
12 + 8 + 8
=
100
28
= 3,57 cm
y0 =
S1·y1 + S2·y2+ S3·y3
S1+ S2+ S3
=
6 · 2 · 3 + 4 · 2 · 1 + 4 · 2 · 2
6 · 2 + 4 · 2 + 4 · 2
=
36 + 8 + 16
12 + 8 + 8
=
60
28
= 2,143 cm

8. 8
4. Środek ciężkości bryły
Analogicznie do postępowania przy obliczaniu środków ciężkości linii i powierzchni
postępuje się przy obliczaniu środka ciężkości bryły. Istnieją tylko dwie zasadnicze różnice:
 poza współrzędnymi x0 i y0, należy obliczyć z0, jako że bryła jest elementem prze-
strzennym,
 w obliczeniach dla jednorodnej bryły jej wielkością charakterystyczną jest objętość V.
Dla bryły składającej się po podzieleniu na elementy proste z dwóch objętości ele-
mentarnych V1 i V2 wzory dla obliczenia położenia środka ciężkości przyjmą postać:
x0 =
ΣVi·xi
ΣVi
y0 =
ΣVi·yi
ΣVi
z0 =
ΣVi·zi
ΣVi
skąd
x0 =
V1·x1 + V2·x2
V1+ V2
y0 =
V1·y1 + V2·y2
V1+ V2
z0 =
V1·z1 + V2·z2
V1+ V2
5. Tarcie toczne i ślizgowe
Tarcie ślizgowe na płaszczyźnie poziomej
Na rys. 4.7.a przedstawiono ciało K leżące na płaszczyźnie poziomej. Na ciało to
działa siła ciężkości G⃗⃗ – skierowana pionowo w dół oraz reakcja N⃗⃗ poziomej płaszczyzny
– skierowana pionowo w górę. Obie te siły wzajemnie się równoważą, na skutek czego
rozważane ciało znajduje się w spoczynku.
Rys. 4.7. Siła działająca na ciało K
Źródło: Siuta W. Mechanika techniczna, WSiP, Warszawa 2004, str. 137

9. 9
Zostaną rozważone następujące kolejne sytuacje:
 Zostaje przyczepiona do ciała lina i następuje ciągnienie jej pewną siłą F⃗ 1 (rys. 4.7.b).
Jeżeli siła F⃗ 1 jest nieduża, ciało K pozostanie nadal w spoczynku. Oznacza to, że dzia-
łająca na ciało siła czynna F⃗ 1 jest zrównoważona jakąś siłą równą i skierowaną prze-
ciwnie. Siłą tą jest reakcja styczna T⃗⃗ 1, którą wywiera chropowata płaszczyzna na
chropowate ciało K. Siłę tą nazywa się siłą tarcia ślizgowego. Obie reakcje: normalną
N⃗⃗ i styczną T⃗⃗ 1 - można zastąpić ich sumą geometryczną R⃗⃗ 1, którą nazywa się reakcją
całkowitą. Tworzy ona z kierunkiem reakcji normalnej kąt α1.
 Następuje wzrost siły czynnej do wartości F⃗ 2. Rozważane ciało nadal pozostaje
w spoczynku (rys. 4.7.c). Siła czynna F⃗ 2 jest w dalszym ciągu zrównoważona siłą tar-
cia, która wzrosła z wartości T⃗⃗ 1 do wartości T1 = F2. Większa jest też reakcja całkowita
R⃗⃗ 2 oraz większy kąt α2, zawarty między reakcją a oddziaływaniem normalnym N⃗⃗ .
 Ciągnąc linę coraz większą siłą dochodzi się do pewnej granicznej wartości tej siły
Fgr, przy której rozważane ciało K jest jeszcze w równowadze. Dowolna siła o warto-
ści większej od Fgr będzie już powodować ruch tego ciała. W chwili równowagi gra-
nicznej siła czynna Fgr jest zrównoważona siłą tarcia T, czyli T = Fgr.
Reakcja całkowita R⃗⃗ , jako suma geometryczna sił T⃗⃗ i N⃗⃗ , tworzy z kierunkiem nor-
malnej kąt αgr = ρ; który nazywamy kątem tarcia. Z rysunku widać, że (rys. 4.7.d):
tgρ =
T
N
czyli T = N · tgρ
Siła tarcia T = N · tgρ ma wartość największą w chwili równowagi granicznej (wy-
stępuje wówczas bowiem największa wartość ρ). Zjawisko występowania tej siły nazy-
wa się czasem tarciem całkowitym (rozwiniętym), w przeciwieństwie do tarcia nieroz-
winiętego, występującego przy F <Fgr.
Po przyłożeniu siły o wartości F większej od Fgr ciało będzie się poruszać. Tarcie nie
przestaje wtedy działać, jest tylko, jak wiadomo z doświadczenia, mniejsze od wartości
siły T odpowiadającej równowadze granicznej.
Tarcie występujące w stanie spoczynku, tj. przy sile czynnej F < Fgr nazywa się tar-
ciem statycznym.
Tarcie przejawiające się w czasie ruchu, przy działaniu siły F > Fgr nazywa się tar-
ciem kinetycznym.
Kąt tarcia ρ, jest to kąt zawarty między kierunkiem reakcji całkowitej R⃗⃗ a kierun-
kiem reakcji normalnej N⃗⃗ w chwili równowagi granicznej. Tangens kąta tarcia oznacza-
my literą μ nazywamy współczynnikiem statycznego tarcia ślizgowego.
μ = tgρ
W chwili równowagi granicznej tarcie całkowite wyraża się wzorem T = N· tgρ,
a więc:
T = N · μ
Całkowita siła tarcia ślizgowego jest równa iloczynowi wartości reakcji normalnej
N oraz współczynnika statycznego tarcia ślizgowego μ. Opór tarcia występujący w ruchu

10. 10
można wyrazić podobnym wzorem, wprowadzając μk, jako współczynnik kinetycznego
tarcia ślizgowego.
T = N · μk
Tarcie statyczne T jest większe od tarcia kinetycznego Tk, czyli μ >μk. Na podstawie
doświadczeń wielu uczonych została opracowana przybliżona teoria tarcia, która opiera
się na następujących spostrzeżeniach:
 Współczynnik tarcia ślizgowego zależy od:
 właściwości stykających się powierzchni (głównie od ich chropowatości),
 rodzaju materiałów stykających się powierzchni,
 rodzaju tarcia (statyczne czy kinetyczne),
 zastosowania (lub nie) smarowania.
 Tarcie ślizgowe może być:
 suche, gdy nie ma czynnika oddzielającego powierzchnie ślizgające się po sobie,
 półsuche, półpłynne lub płynne, gdy taki czynnik oddzielający występuje; na to,
który z tych rodzajów tarcia wystąpi, mają wpływ różne czynniki, jak wielkość
powierzchni stykających się, prędkość poślizgu, rodzaj smaru, rodzaj materiałów
stykających się itp.
Dla orientacji podano tablicę współczynników tarcia (statycznego i kinetycznego)
różnych materiałów (Tabela 4.1.).
Tabela. 4.1. Współczynniki tarcia dla niektórych materiałów
Materiały
μ μk
na sucho
smarowane
olejem
zwilżone
wodą
na sucho
smarowane
olejem
zwilżone
wodą
Stal po stali 0,22 – 0,15 0,1 - 0,07 - 0,1 0,009 -
Stal po żeliwie lub brązie 0,18 0,1 - 0,18 0,01 -
Żeliwo po żeliwie 0,45 0,25 - 0,2 0,05 -
Brąz po żeliwie lub brązie 0,21 - - 0,18 - -
Metal po drewnie 0,5 - 0,6 0,1 - 0,2 - 0,5 0,2 - 0,08 0,22 - 0,26
Drewno po drewnie 0,65 0,2 0,7 0,2 - 0,4 0,04 - 0,16 0,25
Skóra po metalu 0,6 0,25 0,62 0,25 0,12 0,36
Stal po lodzie 0,027 - - 0,014 - -
Lina konopna po stali 0,25 - - - - -
Lina konopna po drewnie 0,4 - - - - -
Pas skórzany po żeliwie 0,5 0,12 0,37 0,28 0,12 0,38
Źródło: Siuta W. Mechanika techniczna, WSiP, Warszawa 2004, str. 140

11. 11
Tarcie ślizgowe na równi pochyłej
Na równi pochyłej, której kąt nachylenia α można zmieniać, leży ciało o ciężarze G⃗⃗
(rys. 4.8.). Ciężar G⃗⃗ można zastąpić dwiema siłami składowymi: G⃗⃗ n, działającą w kierun-
ku prostopadłym do powierzchni równi i G⃗⃗ t, która ma kierunek równoległy do tej po-
wierzchni.
Rys. 4.8. Ciało leżące na równi pochyłej
Źródło: Siuta W. Mechanika techniczna, WSiP, Warszawa 2004, str. 141
Z otrzymanego trójkąta prostokątnego wyznacza się wartości tych sił składowych
Gn = G · cosα
Gt= G · sinα
Siła G⃗⃗ n wywołuje równe co do wartości, lecz przeciwnie zwrócone oddziaływanie N⃗⃗ .
Obie te siły (G⃗⃗ n i N⃗⃗ ) wzajemnie się równoważą. Składowa G⃗⃗ t powinna powodować ruch.
Jeżeli ruchu tego przy małych kątach nachylenia równi nie zauważa się, oznacza to, że
siła G⃗⃗ t jest zrównoważona równą co do wartości, lecz zwróconą przeciwnie siłą tarcia
(w zadaniu przyjmuje się, że odległość środka ciężkości ciała od powierzchni równi jest
dostatecznie mała, tak że można pominąć działanie na ciało pary utworzonej przez siły
G⃗⃗ t i T⃗⃗ ). Zwiększając powoli kąt α nachylenia równi dochodzimy do pewnej wartości tego
kąta αgr, przy której nastąpi równowaga graniczna. Dalsze zwiększenie kąta α spowodu-
je już zsuwanie się ciała z równi. Należy oznaczyć ten graniczny kąt nachylenia równi
przez ρ. Siła tarcia w chwili równowagi granicznej będzie równa:
T = G · sinαgr sinαgr = ρ
więc
T = G · sinρ
cosα =
Gn
G
Gn = N
cosα =
N
G
G =
N
cosα
α = αgr = ρ G =
N
cosρ

12. 12
Wstawiając tę wartość do wzoru T = G· sinρ, wyrażającego siłę tarcia w chwili rów-
nowagi granicznej, otrzymuje się:
T =
N
cosρ
· sinρ = N · tgρ
tgρ = μ
stąd dochodzi się do wzoru na tarcie:
T=N · μ
Rys. 4.9. Płytka stalowa umieszczona na równi pochyłej
Źródło: Siuta W. Mechanika techniczna, WSiP, Warszawa 2004, str. 142
Współczynnik tarcia μ jest równy tangensowi kąta nachylenia równi pochyłej
w chwili, gdy ciężar rozpoczyna zsuwać się po równi. W celu znalezienia współczynnika
tarcia μ, np. dla drewna i stali, należy sporządzić z drewna nastawną równię pochyłą
i umieścić na niej dowolnej wielkości płytkę stalową (rys. 4.9.). Następnie podnosić po-
woli równię, aż płytka zacznie się zsuwać. Następnie należy odczytać kąt αgr = ρ, przy
którym płytka rozpoczęła ruch. Tangens tego kąta jest szukanym współczynnikiem tar-
cia między drewnem a stalą. Przy kącie α < ρ nachylenia równi, ciało umieszczone na
równi będzie w spoczynku bez żadnej dodatkowej siły utrzymującej. Taką równię po-
chyłą nazywa się samohamowną. Przeprowadzone rozumowanie odnosi się również do
ciał sypkich, takich jak ziemia, piasek, żwir itp. Poszczególne ziarenka (np. piasku) pod-
legają również zjawisku tarcia i mają właściwy sobie kąt tarcia, zwany w przypadku ciał
sypkich kątem zsypu. Kąt ten dla różnych materiałów znajduje się praktycznie sypiąc je
w stożek, w który układają się one samoczynnie. Wszystkie cząstki nasypane pod więk-
szym kątem do poziomu od kąta tarcia (zsypu) potoczą się ku dołowi.
W tabeli 4.2. podano orientacyjne wartości kątów zsypu różnych materiałów.

13. 13
Tabela. 4.2. Kąty zsypu niektórych materiałów
Materiał Kąt zsypu
Ziemia sucha 35°
Piasek suchy 35°
Żwir rzeczny suchy 30°
Cement 40°
Groch 25°
Kukurydza 28°
Ziemniaki 45°
Zboże (średnio) 28 - 34°
Źródło: Siuta W. Mechanika techniczna, WSiP, Warszawa 2004, str. 143
Tarcie toczne
Sztywny walec o ciężarze G⃗⃗ , położony na poziomej płaszczyźnie, ciągnięty jest siłą F⃗
zaczepioną na czopach tego walca (rys. 4.10.). Siła ciągnąca F⃗ stara się obrócić walec do-
okoła punktu O. Iloczyn siły F⃗ przez jej odległość od punktu O będzie momentem obro-
towym, starającym się obrócić walec M = F · b
Jeżeli przy małych wartościach siły F⃗ moment ten nie wywołuje obrotu, to można
wnioskować, że jest on zrównoważony momentem tarcia. Zwiększając siłę ciągnącą do-
chodzi się do przypadku równowagi granicznej. Na walec działają wtedy trzy siły: siła F⃗ ,
ciężar walca G⃗⃗ i reakcja R⃗⃗ powierzchni. Ta ostatnia musi przechodzić przez punkt obrotu
O i jest skierowana ku środkowi walca (wynika to z warunków równowagi trzech sił).
Reakcję R⃗⃗ powierzchni można zastąpić dwiema siłami składowymi: normalną N⃗⃗ oraz
styczną T⃗⃗ do powierzchni. Z warunków rzutów na kierunki pionowy i poziomy otrzymu-
je się wartości tych składowych:
N = G oraz T = F
Dla równowagi również suma momentów wszystkich sił działających na walec
względem punktu obrotu O musi się równać zeru. Równanie momentów przybierze po-
stać:
F · b = G · f stąd F =
G · f
b

14. 14
Rys. 4.10. Tarcie toczne na przykładzie walca
Źródło: Siuta W. Mechanika techniczna, WSiP, Warszawa 2004, str. 147
Ponieważ wobec małej wartości f różnica między stosunkiem f/b (gdzie b jest ra-
mieniem siły) a f/r (gdzie r jest promieniem walca) jest znikomo mała, można we wzo-
rze wstawić b = r, czyli ostatecznie:
F =
𝐆 · 𝐟
𝐫
Powyższy wzór przedstawia całkowity opór toczenia. Każda siła F >
𝐆·𝐟
𝐫
powoduje to-
czenie walca. Jak wynika z wyprowadzonego wzoru, wartości f i r powinny być wyrażo-
ne w jednakowych jednostkach długości. Ramię f przedstawiające odległość przyłożenia
oddziaływania normalnego N⃗⃗ od teoretycznego miejsca styku walca z powierzchnią, jest
zwykle wyrażane w cm i nazywane współczynnikiem tarcia toczenia.
Gdyby powierzchnia, po której toczy się walec, była całkowicie nieodkształcalna,
współczynnik tarcia toczenia f równałby się zeru. Również i całkowity opór toczenia F⃗
miałby wartość równą zeru. Do toczenia walca w takim przypadku wystarczałaby do-
wolnie mała siła F⃗ , różna od zera. Ze wzrostem promienia toczącego się elementu opór
toczenia maleje.
W tabeli 4.3. podano orientacyjne wartości współczynników tarcia toczenia.
Tabela. 4.3. Współczynnik tarcia toczenia niektórych materiałów
Materiał f (cm)
Koło żeliwne po żeliwie lub stali 0,005
Koło stalowe po stali 0,005
Koło drewniane po drewnie 0,06 - 0,16
Koło żeliwne po drewnie 0,15
Koło stalowe po bruku 0,1 - 0,2
Koło stalowe w łożyskach tocznych 0,0005 - 0,001
Koło gumowe po gruncie 1,0 - 1,5
Źródło: Siuta W. Mechanika techniczna, WSiP, Warszawa 2004, str. 148

15. 15
Przykład 4.3.
Na równi pochyłej o kącie α = 30° leży ciało o ciężarze G = 100 N (rys. 4.11.). Należy
wyznaczyć największą siłę F działającą wzdłuż równi, przy której ciało pozostanie w spo-
czynku, jeżeli współczynnik tarcia ślizgowego między powierzchniami wynosi μ = 0,1.
Rys. 4.11. Tarcie ślizgowe
Źródło: Siuta W. Mechanika techniczna, WSiP, Warszawa 2004, str. 149
W chwili granicznej równowagi suma rzutów wszystkich sił na dowolną oś musi być
równa zero. Rzutując siły na osie oraz wykorzystując wzór na tarcie ślizgowe, otrzyma się:
F – G · sinα – T = 0 skąd F = G · sinα + T
N – G · cosα = 0 skąd N = G · cosα
T = N · μ skąd T = G · cosα · μ
skąd ze wzoru pierwszego:
F = G · sinα + T = G · sinα + G · cosα · μ = G · (sinα + cosα · μ) =
= 100 N · (sin30° + cos30° · 0,1) = 100 N · (0,5 + 0,87 · 0,1) = 100 N ·0,587 =
= 58,7 N
Bibliografia:
1. Siuta W. (2004). Mechanika techniczna. Warszawa: WSiP
2. Siuta W., Rososiński S., Kozak B. (2008) Zbiór zadań z mechaniki technicznej.
Warszawa: WSiP
3. Awrejcewicz J. (2009) Mechanika techniczna. WN-T
4. Głowacki H. (2003) Mechanika techniczna. Statyka i kinematyka. Politechnika
Warszawska
5. Janicki L. Sawaniewicz Z. Poradnik – Rozwiązywanie zadań z mechaniki. Część I
Statyka. REA
6. Kozak B. (2008) Mechanika techniczna. Warszawa: WSiP
7. Kozak B. (2000) Części maszyn z elementami mechaniki technicznej. WSiP
8. Misiak J. (2003) Mechanika techniczna Tom 1 Statyka i wytrzymałość materia-
łów. Tom 2. Kinematyka i dynamika. WN-T
9. Rutkowski A. (2009) Części maszyn. Warszawa: WSiP
10. Opracowanie zbiorowe (2008) Poradnik mechanika. REA