2

Moduł 2
Statyka cz. I – Płaski zbieżny układ sił
1. Płaski zbieżny układ sił
2. Rzuty sił na osie
3. Twierdzenie o sumie rzutów sił
4. Analityczne składanie sił zbieżnych
5. Warunki równowagi płaskiego zbieżnego układu sił
6. Moment siły względem punktu
7. Moment główny
8. Twierdzenie o momencie głównym
9. Para sił i jej własności
10. Składanie i równowaga par sił
11. Bibliografia

2
1. Płaski zbieżny układ sił
Siłami zbieżnymi nazywamy siły, których linie działania są zbieżne w jednym
punkcie (przecinają się w jednym punkcie).
Dowolny układ złożony z dużej liczby sił możemy zastąpić układem prostszym,
składającym się z mniejszej liczby sił, którego skutek działania będzie taki sam jak dzia-
łanie układu pierwotnego, bardziej złożonego. W szczególności, kiedy pewien złożony
układ można zastąpić jedną siłą, to siłę tę nazywamy siłą wypadkową. Całe postępowa-
nie dotyczące znajdowania siły wypadkowej nazywamy składaniem sił.
Siły zbieżne można składać dwoma metodami:
 metodą równoległoboku,
 metodą wieloboku.
 Metoda równoległoboku sił
Rys. 2.1. Metoda równoległoboku sił
Źródło: Siuta W. Mechanika techniczna, WSiP, Warszawa 2004, str. 35
Na rys. 2.1. przedstawiono ciało sztywne obciążone trzema siłami 𝐹⃗1, 𝐹⃗2, 𝐹⃗3, które
są zbieżne w jednym punkcie O. Dwie spośród sił działających, np. siły 𝐹⃗1, 𝐹⃗2, traktujemy
jako dwa boki równoległoboku. Wypadkową sił 𝐹⃗1, 𝐹⃗2 przedstawia przekątna równole-
głoboku zbudowanego na siłach składowych. Oznaczono ją na rys. 2.1. przez 𝑅⃗⃗1,2. Układ
ten, pierwotnie złożony był z trzech sił, zastąpiony został dwoma siłami 𝑅⃗⃗1,2 i 𝐹⃗3, które
znowu można za pomocą równoległoboku sił zastąpić jedną siłą 𝑅⃗⃗. Siła ta jest wypad-
kową całego układu sił zbieżnych, złożonego z trzech sił. Należy zwrócić uwagę na fakt,
że otrzymany wynik nie zależy od kolejności składania sił. Siły możemy (podobnie jak

3
ma to miejsce w zwykłym działaniu dodawania) składać w dowolnej kolejności. Wypad-
kowa siła, którą otrzymamy zawsze będzie taka sama.
 Metoda wieloboku sił
Rys. 2.2. Metoda wieloboku sił
Jeżeli mamy do czynienia z większą liczbą sił, praktyczniej jest użyć innej metody
składania sił, zwanej metodą wieloboku. Metoda ta polega na geometrycznym dodawa-
niu wektorów.
Ne rys. 2.2. przedstawiono układ złożony z czterech sił zbieżnych. W celu otrzy-
mania siły wypadkowej tych sił, dodaje się siły tak, jak dodawało się wektory. Przenosi
się do dowolnego punktu A pierwszą siłę 𝐹⃗1 (oczywiście z zachowaniem jej wartości,
kierunku i zwrotu). Z końca tej siły kreśli się drugą siłę 𝐹⃗2, a z jej końca trzecią siłę 𝐹⃗3,
itd. W ten sposób dochodzi się do punktu B, który jest końcem ostatniej siły składanego
układu sił. Otrzymaną linię łamaną A-I-II-III-B nazywa się wielobokiem sił. Wektor 𝑠⃗
łączący początek pierwszej z końcem ostatniej siły nazywa się geometryczną sumą sił
układu. Następnie należy przenieść (z zachowaniem wartości, kierunku i zwrotu) tę
sumę 𝑠⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ do wspólnego punktu zbieżności wszystkich sił układu (punkt O), otrzy-
mując wypadkową 𝑅⃗⃗.
Znaleziona suma 𝑠⃗ i wypadkowa 𝑅⃗⃗ mają taką samą wartość, kierunek i zwrot.
Wypadkowa 𝑅⃗⃗ jest siłą, wobec tego ma ściśle określony punkt zaczepienia (punkt O na
rys. 2.2.).
 Rozkładanie siły na dwie składowe
Zagadnieniem odwrotnym do składania sił jest rozkładanie danej siły na dwa żą-
dane kierunki.
Załóżmy, że dana jest siła 𝑅⃗⃗ działająca na punkt materialny A. Siłę tę chcemy roz-
łożyć na takie dwie składowe o kierunkach l1 i l2, żeby skutek działania tych składowych
był taki sam jak danej siły 𝑅⃗⃗. Innymi słowy, szukamy takich dwóch sił 𝐹⃗1 i 𝐹⃗2, działają-
cych w kierunkach l1 i l2, których wypadkową byłaby dana siła 𝑅⃗⃗.

4
Rys. 2.3. Rozkładanie siły na dwie składowe
Zadanie to zostanie rozwiązane w następujący sposób: przez koniec siły (punkt B
na rys. 2.3.) kreśli się proste równoległe do danych kierunków l1 i l2. Punkty przecięcia
się tych prostych z danymi kierunkami wyznaczają końce sił składowych zaczepionych
we wspólnym punkcie A.
2. Rzuty sił na osie
Dokładność wyniku wykreślnego składania sił zbieżnych zależy od dokładności
wykonania rysunku. Biorąc pod uwagę szybkość i łatwość wykonania wykreślne skła-
danie sił i w ogóle wykreślne metody rozwiązywania zadań stosuje się w mechanice
technicznej coraz rzadziej.
Metody, w których wynik otrzymuje się na drodze obliczeń nazywa się metodami
analitycznymi. W przeciwieństwie do metod wykreślnych, analityczne sposoby rozwią-
zywania zadań umożliwiają otrzymanie dokładnych wyników. Elementem wprowadza-
jącym w zagadnienia związane z metodami analitycznymi składania sił jest wprowadze-
nie pojęcia rzut siły na oś. W tym celu pod uwagę bierze się dowolną prostą l, zaopa-
trzoną w zwrot, którą będzie się nazywać osią, oraz siłę 𝐹⃗ leżącą w jednej płaszczyźnie
z tą osią. Następnie będzie szukać się rzutów prostokątnych początku i końca wektora
siły na tę oś. Są to punkty AI i BI na rys. 2.4.
Rzutem siły na dowolną oś nazywamy odcinek A1B1, łączący rzut początku i końca danej
siły na tę oś.
Rzut siły przyjmujemy za dodatni, jeżeli odcinek AIBI jest zorientowany zgodnie
z dodatnim zwrotem osi, a za ujemny, jeżeli odcinek AIBI jest zorientowany przeciwnie
do zwrotu osi.

5
Rzut siły na oś oznaczamy symbolem danej siły z dodaniem u dołu indeksu wska-
zującego, na jaką oś rzutujemy siłę, np.: Fl – rzut siły F na oś l.
Przyjmując, że kierunek osi l tworzy z linią działania siły F kąt α (kąt ten będzie
się stale odmierzać w stronę przeciwną do ruchu obrotowego wskazówek zegara).
Z trójkąta ABC (rys. 2.4.) wynika, że:
cos 𝛼 =
AC
AB
=
Fl
F
czyli, że Fl = F · cos α
Rys. 2.4. Rzut siły na oś
Rzut siły na oś jest równy iloczynowi wartości tej siły i cosinusa kąta zawartego pomię-
dzy osią i linią działania siły.
W celu lepszego zrozumienia zagadnienia zostaną rozpatrzone szczególne przy-
padki rzutów, zależnie od położenia siły względem osi.
 Siła jest równoległa do osi (rys. 2.5. a i b)
Jeżeli siła ma zwrot zgodny ze zwrotem osi, to α = O, a więc cosα = 1, czyli FI = F.
Jeżeli siła ma zwrot przeciwny zwrotowi osi, to α=180, a więc cosα = -1, czyli Fl = -F.
Tak więc rzut siły na oś równoległą do linii działania siły jest równy danej sile
i ma znak plus, gdy zwrot siły i osi są jednakowe, oraz znak minus, gdy zwrot siły jest
przeciwny zwrotowi osi.
Rys. 2.5. Siła równoległa do osi

6
 Siła jest prostopadła do osi (rys. 2.6.)
W tym przypadku kąt zawarty pomiędzy osią i linią działania siły wynosi 90° lub
270°. W obu przypadkach cosα = O, czyli Fl = O.
Rzut siły na oś prostopadłą do linii działania tej siły jest zawsze równy zeru.
Rys. 2.6. Siła prostopadła do osi
 Pomiędzy osią a siłą jest zawarty kąt ostry (rys. 2.7.)
Rzut wyraża się wzorem Fl = F· cosα, ale cosinus kąta ostrego jest dodatni, czyli
rzut siły na oś, z którą ta siła tworzy kąt ostry, jest zawsze dodatni.
Rys. 2.7. Kąt ostry zawarty pomiędzy osią a siłą

7
 Pomiędzy osią a siłą jest zawarty kąt rozwarty (rys. 2.8.)
Rzut siły wyraża się wzorem Fl = F· cosα, ale cosinus kąta rozwartego jest ujemny.
Wynika stąd, że rzut siły na oś, z którą ta siła tworzy kąt rozwarty, jest zawsze ujemny.
Rys. 2.8. Kąt rozwarty zawarty pomiędzy osią a siłą
3. Twierdzenie o sumie rzutów sił
Zajmiemy się obecnie rzutami siły na osie x i y prostokątnego układu współrzęd-
nych (rys. 2.9.).
Rys. 2.9. Rzuty sił

8
Rzut siły na oś x (lub y) równa się iloczynowi wartości tej siły i cosinusa kąta za-
wartego pomiędzy linią działania siły a osią x (lub y). Tak więc można stwierdzić, że:
Fx = F · cosα
Fy = F · cosβ; ale β = 90° - α, zaś cos(90 - α) = sinα
Fx = F · cosα
Fy = F · sinα
Przekonamy się obecnie, że rzuty dowolnej siły 𝐹⃗ ≠ 0⃗⃗ na osie x i y określają jed-
noznacznie jej wartość, kierunek i zwrot.
Dla trójkąta ABC na rys. 2.9. słuszny jest następujący związek, wypływający
z twierdzenia Pitagorasa:
F2 = Fx2 + Fy2
z czego:
𝑭 = √ 𝑭 𝒙
𝟐 + 𝑭 𝒚
𝟐
Wartość siły jest równa pierwiastkowi kwadratowemu z sumy kwadratów rzutów tej siły
na obie osie układu współrzędnych.
Za pomocą rzutów można również określić kierunek i zwrot siły. Ze wzorów na
rzuty sił można obliczyć:
cosα =
𝐹𝑥
𝐹
cosβ =
𝐹𝑦
𝐹
𝒄𝒐𝒔𝜶 =
𝑭 𝒙
√ 𝑭 𝒙
𝟐 + 𝑭 𝒚
𝟐
𝒄𝒐𝒔𝜷 =
𝑭 𝒚
√ 𝑭 𝒙
𝟐 + 𝑭 𝒚
𝟐
Powyższe równania określają kierunek siły (nachylenie linii działania siły do osi
x i y). Ze znaków cosinusów kierunkowych określić można również zwrot siły. Należy
pamiętać, że jeżeli cosinus kąta α (β) jest dodatni, to siła tworzy z osią x (y) kąt ostry.
W przeciwnym przypadku (cosinus kierunkowy jest ujemny) siła tworzy z osią kąt roz-
warty.
Rozważania powyższe stanowią wstęp do poznania ważnego twierdzenia o su-
mie rzutów sił na dowolną oś. Zakłada się, że punkt A jest punktem zbieżności czte-
rech sił 𝐹1
⃗⃗⃗⃗, 𝐹2
⃗⃗⃗⃗, 𝐹2
⃗⃗⃗⃗ i 𝐹4
⃗⃗⃗⃗. Siły te mają sumę 𝑠⃗, którą można określić np. za pomocą wieloboku

9
sił. Biorąc następnie dowolną oś l, rzutuje się na tę oś wszystkie siły wchodzące w skład
rozpatrywanego wieloboku (rys. 2.10.).
Rzuty poszczególnych sił wynoszą:
F1l = AB
F2l = BC
F3l = CD
F4l = -DE
Rys. 2.10. Rzuty sił na dowolną oś
Z rysunku widać, że:
AE = AB + BC + CD – DE
a rzut sumy sl = AE
lub
sl = F1l + F2l + F3l + F4l
Powyższe wyrażenie jest treścią twierdzenia o sumie rzutów sił.
Suma rzutów dowolnej liczby sił na oś jest równa rzutowi sumy tych sił na tę samą oś.
W podobny sposób określa się rzut sumy dowolnej liczby sił na osie układu
współrzędnych. Układ składa się z n sił: 𝐹1
⃗⃗⃗⃗, 𝐹2
⃗⃗⃗⃗, 𝐹2
⃗⃗⃗⃗, … 𝐹𝑛
⃗⃗⃗⃗ (gdzie n przedstawia liczbę sił),
które rzutujemy na osie x i y. W tym przypadku twierdzenie o sumie rzutów można mo-
gli zapisać:

10
sx = F1x + F2x + F3x + … + Fnx
sy = F1y + F2y + F3y + … + Fny
Równania te można zapisać krócej, używając matematycznego symbolu Σ (suma).
sx = ΣFix
sy = ΣFiy
4. Analityczne składanie sił zbieżnych
W punkcie wcześniejszym przedstawiono wykreślne sposoby składania sił zbież-
nych. Obecnie zostanie omówiony analityczny (czyli rachunkowy) sposób składania sił
zbieżnych. Na rys. 2.11. przyjęto dwie siły 𝐹1
⃗⃗⃗⃗ i 𝐹2
⃗⃗⃗⃗ zbieżne w punkcie 0. W celu określenia
wypadkowej tych sił postępuje się następująco:
Rys. 2.11. Analityczny (rachunkowy) sposób składania sił zbieżnych
W punkcie zbieżności sił przyjmujemy początek układu współrzędnych x i y. Po-
dane siły mają wypadkową 𝑅⃗⃗, której rzuty na osie x, y (zgodnie z twierdzeniem o sumie
rzutów) są równe sumie rzutów tych sił na te osie. Będzie więc:
Rx = F1x + F2x
Ry = F1y + F2y
lub
Rx = F1 · cosα1 + F2 · cosα2
Ry = F1 · sinα1 - F2 · sinα2
(rzut siły F2 na oś y jest ujemny, gdyż siła ta tworzy z dodatnim kierunkiem osi y kąt
rozwarty).

11
Określono więc rzuty siły wypadkowej. Z rzutów tych można określić wartość
i kierunek wypadkowej siły. Wartość siły wypadkowej wynosi:
R = √ 𝑅 𝑥
2 + 𝑅 𝑦
2
a jej linia działania jest nachylona do osi x pod kątem α którego cosinus oblicza
się z zależności:
𝑐𝑜𝑠𝛼 =
𝑅 𝑥
√𝑅 𝑥
2+ 𝑅 𝑦
2
Przy analitycznym składaniu sił należy przyjąć następujący tok postępowania:
 w punkcie zbieżności sił przyjąć początek O układu współrzędnych x, y,
 określić rzut wypadkowej na oś x i y,
 ze wzoru obliczyć wartość wypadkowej siły,
 z zależności na cosinus kąta α, jaki wypadkowa tworzy z osią x (lub osią y)
określić wartość cosinusa tego kąta,
 z tablic trygonometrycznych wyszukać odpowiedni kąt nachylenia wypad-
kowej,
 w zależności od znaku cosinusa α oraz od znaków rzutów wypadkowej siły
określić jej zwrot.
5. Warunki równowagi płaskiego zbieżnego układu sił
Wypadkową układu sił zbieżnych można wyznaczyć wykreślnie lub analitycznie.
W celu omówienia warunków równowagi płaskiego zbieżnego układu sił należy wrócić
jeszcze raz do sposobu wykreślnego, a mianowicie do określania wypadkowej metodą
wieloboku sił.

12
Rys. 2.12. Zamknięty wielobok sił
W punkcie O przyłożone są trzy siły 𝐹⃗1, 𝐹⃗2, 𝐹⃗3 (rys. 2.12.). Siły te mają wypadko-
wą 𝑅⃗⃗, którą określono za pomocą wieloboku sił (rys.2.12.a). Przyjmując, że O jest punk-
tem materialnym, pod wpływem sił 𝐹⃗1, 𝐹⃗2, 𝐹⃗3 punkt ten poruszałby się tak samo jak pod
wpływem jednej siły 𝑅⃗⃗, która jest wypadkową tych trzech sił.
Zastanówmy się teraz, jak zachowa się rozważany punkt materialny, jeżeli przy-
łożymy do niego (oprócz sił 𝐹⃗1, 𝐹⃗2, 𝐹⃗3) jeszcze czwartą siłę 𝐹⃗4, równą co do wartości
i kierunku sile wypadkowej 𝑅⃗⃗, lecz zwróconą przeciwnie. W tym celu złożymy ten nowy
układ czterech sil. Wielobok utworzony z tych sił (rys. 2.12.b) odznacza się tym, że po-
czątek pierwszej i koniec ostatniej siły znajdują się w tym samym punkcie. Suma 𝑠⃗ i wy-
padkowa 𝑅⃗⃗, tego układu sił są równe zeru.
Otrzymany wielobok będzie nazywany zamkniętym wielobokiem sił. O siłach
natomiast można stwierdzić, że są w równowadze.
Taki układ sił przyłożony do dowolnego punktu materialnego nie spowoduje ru-
chu tego punktu. Inaczej mówiąc, jeżeli do punktu materialnego (ciała sztywnego) znaj-
dującego się w spoczynku przyłoży się układ sił zbieżnych znajdujących się w równowa-
dze, to punkt materialny (ciało sztywne) pozostanie nadal w spoczynku.
Płaski układ sił zbieżnych jest w równowadze, jeżeli wielobok sił tego układu jest
zamknięty. Jest to tzw. wykreślny warunek równowagi sił zbieżnych.
Można zadać pytanie: jakie analityczne związki muszą być spełnione, żeby była
równowaga sił zbieżnych?
W przypadku równowagi wypadkowa układu musi być równa zeru. Warunek ten

13
będzie spełniony tylko wtedy, gdy rzuty wypadkowej na osie x i y układu współrzędnych
będą równe zeru. Dochodzi się więc do wniosku, że płaski układ sił zbieżnych może być
w równowadze tylko wtedy, gdy spełnione będą dwa następujące warunki analityczne:
 suma algebraiczna rzutów wszystkich sił na oś x jest równa zeru,
 suma algebraiczna rzutów wszystkich sił na oś y jest równa zeru.
Powyższe dwa analityczne warunki równowagi możemy zapisać w postaci dwóch
równań:
F1x + F2x + F3x + … + Fnx = 0
F1y + F2y + F3y + … + Fny = 0
lub w wersji skróconej:
ΣFix = 0
ΣFiy = 0
Warunki równowagi (te wykreślne i te analityczne) umożliwiają rozwiązanie
wielu praktycznych zadań z zakresu statyki.
6. Moment siły względem punktu
Dana jest siła 𝐹⃗ działająca wzdłuż prostej l oraz dowolny punkt O (rys. 2.13.).
Rys. 2.13. Wyznaczanie momentu siły względem punktu I
Momentem siły względem punktu nazywa się wektor mający następujące ce-
chy:
 wartość liczbową równą iloczynowi (F · r) wartości siły przez jej ramię,
M = F · r

14
 kierunek prostopadły do płaszczyzny wyznaczonej przez linię działania siły
i biegun,
 zwrot momentu przyjmuje się zgodnie z regułą śruby o gwincie prawozwoj-
nym (zakładając, że kierunek momentu jest osią śruby o gwincie prawozwoj-
nym; obracająca się pod wpływem momentu śruba będzie przesuwać się w tę
stronę, w którą zwrócony jest wektor momentu).
Moment siły oznacza się literą M z odpowiednim indeksem charakteryzującym
punkt, względem którego moment został obliczony. Moment uważa się za dodatni, jeżeli siła
dąży do obrócenia swego ramienia r dookoła bieguna O w stronę niezgodną z ruchem
wskazówek zegara (w lewo). Jeżeli siła dąży do obrócenia swego ramienia r w stronę zgo-
dną z ruchem wskazówek zegara (w prawo), moment uważa się za ujemny (rys. 2.14).
Rys. 2.14. Wyznaczanie momentu siły względem punktu II
Moment siły przedstawionej na rys. 2.13. względem punktu O jest wektorem pro-
stopadłym do tego rysunku i zwróconym za rysunek (śruba o gwincie prawozwojnym
obracająca się wraz z ramieniem r przesuwałaby się za rysunek).
Z określenia momentu siły wynikają dwa ważne wnioski:
 Moment siły nie zmienia się, gdy siłę przesuwamy wzdłuż linii jej działania
(nie zmieniamy przecież przez to ramienia siły).
 Moment siły względem wszystkich punktów leżących na linii działania danej
siły jest równy zeru (gdyż ramię siły jest wtedy równe zeru).
Jednostkę momentu otrzymuje się mnożąc przez siebie jednostki siły i długości.
W układzie SI jednostką momentu jest niuton (N) · metr (m). Jednostkę tę nazywamy
niutonometrem (symbol N·m).
7. Moment główny
Przyjmujemy w płaszczyźnie rysunku trzy siły, których wartości wynoszą: F1 =
100 N; F2 = 200 N; F3 = 150 N – rys. 2.15. Następnie obieramy w płaszczyźnie tego ukła-
du punkt O, który uważamy za biegun momentu sił.

15
Rys. 2.15. Moment główny
Obliczamy momenty tych sił zakładając, że długości ramion poszczególnych sił
wynoszą r1 = 0,015 m; r2 = 0,015 m i r3 = 0,02 m.
Szukane momenty mają wartości:
M01 = F1 · r1 = 100 N · 0,015 m = 1,5 N·m
M02 = F2 · r2 = 200 N · 0,015 m = 3 N·m
M03 = F3 · r3 = -150 N · 0,02 m = -3 N·m
Utwórzmy sumę momentów wszystkich trzech sił:
Mo = M01 + M02 + M03 = 1,5 + 3 - 3 = 1,5 N·m
Obliczony moment nazywa się momentem głównym rozważanego układu sił
względem przyjętego bieguna O.
Momentem głównym dowolnego układu sił na płaszczyźnie względem przyjętego
bieguna O nazywa się sumę algebraiczną momentów poszczególnych sił tego
układu względem tego samego bieguna O.
Moment główny nazywa się czasem momentem wypadkowym. Podobnie jak
moment jednej siły względem bieguna, również i moment główny układu sił leżących w
jednej płaszczyźnie jest wektorem prostopadłym do tej płaszczyzny i ma zwrot od
płaszczyzny (do patrzącego), gdy jego wartość jest dodatnia, oraz zwrot do płaszczyzny
(od patrzącego, za rysunek), gdy jego wartość jest ujemna.
Tak np. w omawianym przypadku (rys. 2.15.) wektor momentu głównego Mo ma
wartość 1,5 N·m, jest prostopadły do płaszczyzny rysunku i ma zwrot ku patrzącemu
(od płaszczyzny).

16
8. Twierdzenie o momencie głównym
Bardzo ważne w rozpatrywanej tematyce jest twierdzenie o momencie wypad-
kowej sił zbieżnych. Biorąc pod uwagę układ złożony z trzech sił zbieżnych w punkcie O,
ma on siłę wypadkową 𝑅⃗⃗ (rys. 2.16.).
Rys. 2.16. Moment wypadkowej sił zbieżnych
Moment główny M0 układu sił 𝐹⃗1, 𝐹⃗2, 𝐹⃗3 względem bieguna O jest równy zeru,
gdyż przez biegun ten przechodzą linie działania wszystkich sił układu. A więc Mo = O.
Należy odpowiedzieć na pytanie: jak wyznaczyć moment główny tego układu sił
względem innego bieguna np. punktu B? (rys. 2.16.) Wiadomo z poprzedniego rozdziału,
że układ sił zbieżnych można zastąpić jedną siłą wypadkową 𝑅⃗⃗, która w działaniu cał-
kowicie zastępuje wszystkie siły układu. Wnioskując stąd, że do obliczenia momentu
głównego układu sił wystarczy uwzględnić jedną siłę 𝑅⃗⃗, która ten układ całkowicie za-
stępuje, czyli:
MB = R · r
Moment główny sił zbieżnych względem dowolnego bieguna jest równy momen-
towi wypadkowej tych sił względem tego bieguna.

17
Rys. 2.17. Moment główny względem dowolnego bieguna
W szczególności, kiedy układ zbieżny jest w równowadze (R = O), moment głów-
ny tego układu względem dowolnego bieguna jest równy zeru.
Moment siły względem dowolnego bieguna możemy przedstawić za pomocą ilo-
czynu dwóch wektorów:
𝑅⃗⃗ · 𝐹⃗ = 𝑀0
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
gdzie 𝑅⃗⃗, jest tak zwanym promieniem-wektorem, łączącym przyjęty biegun z po-
czątkiem siły 𝐹⃗ (rys. 2.17.).
Uwzględniając definicję iloczynu wektorowego, łatwo można określić trzy cechy
wektora iloczynu. Jego wartość jest równa:
Mo = R· F· sinα
ale
R · sinα = r (ramię siły)
czyli:
Mo = F· r
Kierunek iloczynu wektorowego jest prostopadły do obu wektorów mnożonych
(na rys. 2.17. – prostopadły do płaszczyzny β, w której leży siła 𝐹⃗ i biegun momentu O).
Zwrot wektora iloczynu (czyli zwrot 𝑀0
⃗⃗⃗⃗⃗⃗) jest taki, że trzy wektory 𝑅⃗⃗, 𝐹⃗, 𝑀0
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ tworzą
prawy układ współrzędnych.

18
Moment siły względem dowolnego bieguna jest równy iloczynowi wektorowemu
promienia-wektora 𝑹⃗⃗⃗ łączącego biegun z początkiem siły i rozważanej siły 𝑭⃗⃗⃗.
9. Para sił i jej własności
Parą sił nazywa się układ dwóch sił o równej wartości i jednakowych kierunkach,
lecz o przeciwnych zwrotach (zakładając, że linie działania sił nie pokrywają się).
Odległość linii działania obu sił oznacza się przez r i nazywa się ramieniem pary
sił (rys. 2.18.).
Rys. 2.18. Ramię pary sił
Obieramy dowolny punkt O, a następnie obliczamy moment główny pary sił
względem tego punktu.
Mo = M1 + M2, ale M1 = -F · a, zaś M2 = F · (a + r)
Moment główny sił tworzących parę względem punktu O wynosi:
Mo = -F · a + F · (a + r) = -F · a + F · a + F · r = F · r
Po przeprowadzeniu obliczeń należy wyciągnąć następujący wniosek:
Niezależnie od obranego bieguna suma momentów sił tworzących parę jest stała
i równa wartości jednej z sił pomnożonej przez ramię pary. Iloczyn ten nazywa
się momentem pary sił.
Moment pary oznacza się literą M (bez żadnego indeksu, gdyż wielkość ta nie za-
leży od obranego bieguna).

19
M = F · r
 Zasada znaku momentu pary sił
Rys. 2.19. Moment pary sił
Moment pary uważa się za dodatni, jeżeli para dąży do obrócenia swego ramienia
w stronę przeciwną do ruchu wskazówek zegara. Jeżeli para dąży do obrócenia swego
ramienia w stronę zgodną z ruchem wskazówek zegara, to jej moment uważa się za
ujemny (rys. 2.19.).
Już wiadomo (z Twierdzenia o sumie rzutów sił) o tym, że wypadkowa układu sił
jest równa sumie geometrycznej sił składowych. W przypadku pary sił obie siły są rów-
ne co do wartości i kierunku, a przeciwne co do zwrotu. Ich suma geometryczna jest
zawsze równa zeru. Nie oznacza to, że para sił jest układem znajdującym się w równo-
wadze.
Pary sił nie można ani zastąpić, ani zrównoważyć jedną siłą wypadkową.
Para sił daje moment, a ten dąży do spowodowania obrócenia ciała, do którego
dana para została przyłożona. Podobnie jak moment siły względem punktu, moment
pary jest wektorem. Wartość wektora momentu jest równa iloczynowi F · r. Jego kie-
runek jest prostopadły do płaszczyzny wyznaczonej przez tę parę. Zwrot wektora mo-
mentu pary sił przyjmuje się zgodny z regułą śruby o gwincie prawozwojnym.

20
Rys. 2.20. Wektor momentu pary sił
Na rys. 2.20. przedstawiono wektor momentu pary sił leżącej w płaszczyźnie β.
Para sił i jej moment są to wielkości mechaniczne wzajemnie równoważne.
Każdą parę sił można zastąpić momentem, i odwrotnie – każdy moment sił
można zastąpić parą sił.
Zastępując moment parą sił, wartość siły pary, jak również jej ramię r można
przyjąć dowolnie, z tym tylko zastrzeżeniem, żeby moment tej pary równał się danemu
momentowi M, czyli żeby zachodziła zależność M = F · r.
Cztery ważne własności pary sił:
 Skutek działania pary sił nie zmieni się, jeżeli daną parę przeniesiemy w do-
wolne inne położenie w jej płaszczyźnie. Siła, jak wiadomo, ma ściśle określoną
linię działania i nie można jej (skoro skutek działania ma pozostać ten sam) np.
obrócić lub przenieść na inną linię. Parę sił można natomiast przenieść z poło-
żenia w położenie (w jej płaszczyźnie). Przenosząc bowiem parę z danego po-
łożenia w drugie nie zmienia się wektora momentu, a przez to samo nie zmie-
niamy skutku działania tej pary.
 Skutek działania pary sił na ciało sztywne nie zmieni się, jeśli daną parę prze-
niesie się w dowolne położenie na płaszczyźnie równoległej do płaszczyzny
pary. Przenosząc bowiem w ten sposób parę sił nie zmienia się wektora mo-
mentu (jego wartości, kierunku i zwrotu), a więc nie zmienia się jego skutku
działania.
 Działanie pary sił nie zmieni się, jeśli proporcjonalnie powiększy się siły pary,
a pomniejszy jej ramię, lub odwrotnie. Zwiększając siły pary, np. dwukrotnie,
a zmniejszając tyle samo razy jej ramię, otrzymuje się parę o takim samym
momencie.
 Parę sił można zrównoważyć tylko drugą parą sił o równym co do wartości
momencie, lecz przeciwnego znaku.

21
10. Składanie i równowaga par sił
Podobnie jak siły, również pary sił można składać, czyli zastępować pewną liczbę
par jedną parą sił, tzw. parą wypadkową. Zakładamy, że wszystkie pary składowe dzia-
łają w jednej płaszczyźnie.
Rys. 2.21. Para wypadkowa
Na rys. 2.21. przedstawiono trzy pary sił działające w płaszczyźnie rysunku.
Wartości momentów poszczególnych par wynoszą:
M1 = F1 · r1
M2 = F2 · r2
M3 = -F3 · r3
Suma momentów wszystkich par składowych wynosi:
M = M1 + M2 + M3 = F1 · r1 + F2 · r2 – F3 · r3
Tak więc wszystkie pary sił na rys. 2.21. można zastąpić momentem M⃗⃗⃗⃗. Moment
ten jest wektorem prostopadłym do rysunku i zwróconym od rysunku do patrzących,
gdy wartość momentu jest dodatnia (jeżeli wartość momentu jest ujemna, wektor mo-
mentu jest skierowany od patrzących za rysunek). Tak wyznaczoną wielkość nazywa się
momentem pary wypadkowej. Moment ten zastępuje parę wypadkową.
Przyjmując siłę pary wypadkowej 𝐹⃗ i jej ramię r tak, żeby spełniony był związek
M = F · r, należy parę wypadkową umieścić w płaszczyźnie prostopadłej do momentu 𝑀⃗⃗⃗,
czyli w płaszczyźnie rysunku.
Zupełnie podobnie można złożyć ze sobą i więcej par. Dowolną liczbę par działa-
jących w jednej płaszczyźnie można zawsze zastąpić jedną parą wypadkową. Jej moment
jest równy sumie momentów wszystkich par składowych. W szczególnym przypadku,
sumując momenty par składowych, można w wyniku otrzymać zero. Mówi się wtedy, że
rozważane pary są w równowadze.
Dowolna liczba par sił działających w jednej płaszczyźnie lub w płaszczyznach równo-
ległych jest w równowadze wtedy, gdy algebraiczna suma ich momentów jest równa

22
zeru. Jest to warunek równowagi par sił.
Oznaczając momenty par składowych przez 𝑀1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗, 𝑀2,⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑀3
⃗⃗⃗⃗⃗⃗, … 𝑀 𝑛
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ warunek równo-
wagi par sił można zapisać następująco:
M1 + M2 + M3 + … + Mn = 0
Jeżeli na ciało sztywne znajdujące się w spoczynku oddziałuje się dowolną liczbą
par sił znajdujących się w równowadze, to ciało to pozostaje nadal w spoczynku.
Bibliografia:
1. Siuta W. (2004). Mechanika techniczna. Warszawa: WSiP
2. Siuta W., Rososiński S., Kozak B. (2008) Zbiór zadań z mechaniki technicznej.
Warszawa: WSiP
3. Awrejcewicz J. (2009) Mechanika techniczna. WN-T
4. Głowacki H. (2003) Mechanika techniczna. Statyka i kinematyka. Politechnika
Warszawska
5. Janicki L. Sawaniewicz Z. Poradnik – Rozwiązywanie zadań z mechaniki. Część I
Statyka. REA
6. Kozak B. (2008) Mechanika techniczna. Warszawa: WSiP
7. Kozak B. (2000) Części maszyn z elementami mechaniki technicznej. WSiP
8. Misiak J. (2003) Mechanika techniczna Tom 1 Statyka i wytrzymałość materia-
łów. Tom 2. Kinematyka i dynamika. WN-T
9. Rutkowski A. (2009) Części maszyn. Warszawa: WSiP
10. Opracowanie zbiorowe (2008) Poradnik mechanika. REA

2

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

More from Emotka

More from Emotka (20)

2