2. параллелограмм
средняя линия
а + Ъ
трапеция
.VW
формула Лагранжа
1а всегда между ha и т,
М - центроид
f 2/згпа
А
7з
а + Р + у = 180°
с ^ а + Ъ
с^а-Ъ
прямоугольник
di = d2
ромб
Ъ- а
ж
/
/ СВОЙСТВА AL = la
" ' тк
f _^л
2 лл х _ ft
Ъ + а / с
2
Tig'
ь lZa А/ = ft + c
і lW^ /I
4. Г. В. АПОСТОЛОВА
Двухуровневый учебник
для общеобразовательных учебных заведений
Рекомендовано
Министерством образования и науки Украины
Перевод с украинского
КИЕВ
«ГЕНЕЗА»
2009
6. Автор Галина Вадимовна Апостолова -
профессор Киевского областного институ
та последипломной подготовки педагоги
ческих кадров, кандидат физико-матема
тических наук, учитель-методист.
Я благодарна всем своим ученикам за
совместный поиск и открытия, за то, что
вместе радовались и удивлялись красоте и
гармоничности математической модели
мира. В этом учебнике есть частичка от
встречи с каждым из вас.
Уважаемый ученик!
Этот учебник завершает курс школьной планимет
рии, но на этом ваши встречи с царицей математики -
Геометрией не заканчиваются. В старших классах вы
будете изучать стереометрию - геометрию фигур в
пространстве. Исследуя свойства пространственных
фигур, вы будете рассматривать плоскости, в которых
доказательства и вычисления опираются на законы пла
ниметрии, т. к. в плоскости выполняются все аксиомы и
теоремы планиметрии.
Идеи геометрии живут во всех сферах окружающего
мира, они с успехом работают в естественных и тех
нических науках, в том числе и в различных разделах
математики. Убедиться в этом вам поможет собствен
ный опыт и последняя глава учебника «Любопытные
приложения».
О месте геометрии в развитии человека трудно ска
зать лучше ирландского философа Дж. Беркли: «Давно
заметили, что геометрия — это прекрасная логика...
Приобретается привычка мыслить точно, последо
вательно и методично; эта привычка делает наш
разум сильнее и острее, помогает в поисках истины и
в других сферах жизни».
Заметим, что последнее станет для вас актуальным,
если работать по учебнику так, как советовал извест
ный психолог Д. Юнг: «Десять страниц математики,
которые ты понял, лучше ста страниц, выученных
наизусть и неусвоенных, а одна страница, отрабо
танная самостоятельно, - полезнее десяти страниц,
усвоенных четко, но пассивно».
Желаю вам успешного обучения по методу Юнга, само
стоятельных поисков и открытий. Получите эстети
ческое удовольствие от изучения геометрии!
Автор
3
7. Информация для учащихся
Перед началом работы с учебником внимательно прочитайте
вступление, в котором обобщается то, что вы уже изучали ранее, и
обратите внимание на форзацы и схемы в конце учебника - на них
представлены основные опорные факты геометрии за курс седьмого
и восьмого классов.
Домашнюю работу лучше начинать с выполнения практических
работ, которые предлагаются после каждого параграфа. Это помо
жет вам «почувствовать» геометрию, понять и запомнить учебный
материал.
На поля учебника вынесена главная (опорная) информация, а в
конце учебника предлагаются обобщающие опорные конспекты.
Пользуйтесь ими во время подготовки к уроку и при решении задач.
Обязательный (минимальный) объем информации отмечен цвет
ной вертикальной полосой.
Задания подразделяются на четыре уровня сложности: задания с
нуликом возле номера - наиболее простые; задания без обозначений
возле номера - несколько сложнее; задания со звездочкой - требуют
более глубоких размышлений; задания с двумя звездочками -
наиболее сложные, для их выполнения нужны творческие усилия.
Задания «Для повторения» и «Готовимся к тематической ат
тестации» помогут вам повторить изученное, подготовиться к ито
говой аттестации.
Кроме того, в конце учебника предлагаются задания в тестовой
форме «Проверь себя». Их цель - определить уровень ваших умений
и знаний, помочь вам адаптироваться к будущим тестированиям.
«Ответы и советы» помогут вам убедиться в правильности
выполнения заданий, а иногда подскажут путь решения.
Задания рубрики «Для любознательных», параграфы с такой же
пиктограммой и последний раздел «Любопытные приложения» пред
назначены для более широкого и глубокого ознакомления с геомет
рией, чем это требуется программой общеобразовательной школы.
В конце учебника вас ожидает «Словарик» новых терминов и
незнакомых слов (со ссылками на страницы, где они встречаются).
Пиктограммы в учебнике означают:
Не ждите указаний учителя, работайте самостоятельно - учебник
предоставляет вам такую возможность. Помните, что готовиться
к внешнему тестированию, к вступительным экзаменам в ВУЗ по
определенным темам надо тогда, когда эти темы изучаются.
С ~следствие;
$ - материал для ознакомления; - дополнительный материал.
Тот, кто учится самостоятельно,
преуспевает в семь раз больше, чем
тот, которому все объяснили.
Артур Гитерман (поэт)
8. Информация для учителей и родителей
Обычно в учебнике объем учебного материала четко ограничен - все,
что в нем содержится, учитель должен отработать с классом. Поэтому и
создаются разные учебники для общеобразовательных школ и для классов с
углубленным изучением математики. А как быть ученику, который может
и хочет знать больше? Понятно, что при этом больше возможностей имеют
дети в мегаполисах, где есть спецшколы. Главная цель этого учебника —
предоставить равные возможности всем учащимся, независимо от места
их проживания и обучения, а учителю помочь осуществить дифференци
рованный подход в работе, естественным образом продолжить изучение
геометрии на внеклассных занятиях (или предложить некоторым учащимся
сделать это самостоятельно).
Этот учебник двухуровневый - по нему можно работать как по обще
образовательной программе (ОП), так и в классах с углубленным изуче
нием математики (МК). Можно сказать, что он многоуровневый по
объему и спектру представленного дидактического и теоретического ма
териала. Учебник дает возможность одним учащимся плавно идти вверх,
другим спуститься и залатать индивидуальные «прорехи».
Теоретический материал подразделяется на:
• параграфы, обязательные для изучения по ОП, минимум госстандарта
отмечен цветной вертикальной полосой;
• параграфы для ознакомления (не обязательные для оценивания по ОП);
• параграфы, не обязательные для изучения (по ОП);
• рубрика «Для любознательных» дополняет параграфы исторической и
математической информацией;
• раздел «Любопытные приложения» - для МК, кружковой и индиви
дуальной внеклассной работы, подготовки реферативных работ.
Дидактический материал подразделяется на:
• практические работы и задачи четырех уровней сложности (задания
с цветными номерами рекомендованы для домашней работы);
• задания рубрики «Для любознательных»: дополнительные задачи по
вышенной сложности и не только по программному материалу;
• задания раздела «Любопытные приложения» - задачи повышенной
сложности по представленным темам;
• задания для повторения расположены после разделов и в конце учеб
ника (в тестовой форме);
• «Готовимся к тематической аттестации» - ориентировочные зада
ния аттестации по темам (для ОП).
Сэкономит учебное время, поможет усвоить, повторить и обобщить
учебный материал использование в работе на уроке пособия «Геометрия
в опорных схемах и рисунках. Рабочая тетрадь ученика 9 класса». Это
позволит учащимся не носить учебник в школу (работать по нему только
дома).
Напоследок подчеркну, что невозможно и не нужно отрабатывать в клас
се весь учебный материал учебника, стремиться решить все предложенные
задачи. Обширность дидактического материала предоставляет возмож
ность (без привлечения дополнительных сборников) реализовать диффе
ренцированный подход в работе с классом, иметь «запас» - кому-то для
повторения, а кому-то для углубления, для факультативной или самостоя
тельной работы ученика.
Этот учебник предлагает «возможности», а вот насколько они будут
реализованы - это уже зависит лично от Вас и Ваших детей.
РАДОСТИ ПОИСКА и УСПЕХОВ!
С уважением, автор
5
9. Память - страж всему
и сокровищница всего.
Цицерон
Взгляд на старые проблемы под иным
углом зрения требует творческого
воображения и дает большие преимущества.
Альберт Эйнштейн
Вступая в Геометрию 9-го класса, сначала остановитесь и оглянитесь
на то, что изучалось ранее. Рассмотрите этот «пейзаж», ощутите его
логичность и цельность, красоту маленьких сюжетов опорных задач.
Это поможет вам овладеть новыми просторами геометрии в 9-м классе.
Структура геомет
рии:
1) основные поня
тия;
2) аксиомы;
3) определение дру
гих фигур, доказа
тельство свойств фи
гур, которые отли
чаются от аксиом.
Напомним:
утверждением на
зывается предло
жение, о котором
можно сказать или
«да», или «нет»,
т. е. оно может быть
или истинным, или
ложным.
Логический шаг до
казательства:
1. Исходное утвер
ждение (несколько
утверждений).
2. «Тогда».
3. Утверждение-вы
вод.
Геометрия - это не просто набор фактов и некото
рых размышлений, а строгая, целостная и эстетиче
ская в своей логичности наука. Геометрия как ма
тематическая наука о пространственных формах
опирается на дедуктивный метод - цепочку логи
ческих переходов (шагов) от утверждения-условия к
утверждению-выводу. Поэтому так важно обобщить
уже изученное и выделить в этом материале основное.
Используйте: «Словарик», форзацы, схемы в конце
учебника, информацию на поле.
| Вопросы для повторения
I 1. Какую структуру имеет планиметрия?
2. Из чего состоит логический шаг доказательства?
I 3. Объясните, что такое: а) утверждение; б) аксиома; в) тео-
| рема; г) следствие; д) определение; е) признак; ж) свой-
I ство; з*) теорема, обратная данной; и**) необходимое и
достаточное условия.
I 4. Что такое «способ доказательства от противного»? Приве-
| дите пример доказательства какого-то утверждения этим
* способом.
5. Какие углы называются: а)смежными; б) вертикальными?
I Какие свойства этих углов вы знаете? А их биссектрис?
| 6. Какие прямые называются параллельными? Сформули-
, руйте их: а) свойства; б) признаки.
7. Какую фигуру называют треугольником? Какие свойства
I углов треугольника (внутренних и внешних) и неравенства
I для его сторон и углов вы знаете?
. 8. Какие треугольники называются равнобедренными?
* Сформулируйте свойства и признаки равнобедренного
I треугольника.
6
10. 9. Какие свойства высот (биссектрис, медиан) треугольника
вы знаете?
10. Какую окружность для данного треугольника называют:
а) вписанной; б) описанной; в**) вневписанной? Какие
свойства этих окружностей вы знаете?
11*. Что такое «геометрическое место точек (ГМТ), удовлетво
ряющее определенному условию»? Сформулируйте свойст
ва биссектрисы угла и серединного перпендикуляра к отрез
ку как соответствующих ГМТ. Какие еще ГМТ вы знаете?
12. Какая фигура называется окружностью? Какие свойства
хорд окружности вы знаете?
13. Сформулируйте определение прямой - касательной к
окружности и вспомните ее свойства.
14. Какие виды касания двух окружностей вы знаете?
Сформулируйте свойства таких окружностей.
15. Сформулируйте определения вписанного и центрального
углов окружности. Какие свойства этих углов и углов,
образованных хордами, касательными и секущими
окружности, вызнаете?
16. Сформулируйте: а) теорему Фалеса (и обратную к ней);
б) обобщенную теорему Фалеса (и обратную к ней).
17. Какие треугольники называются: а) равными; б) подоб
ными; в) равновеликими?
18. Сформулируйте признаки и свойства: а) равных тре
угольников; б) подобных треугольников; в) равных пря
моугольных треугольников; г) подобных прямоугольных
треугольников.
19. Какие свойства прямоугольных треугольников вы знаете?
(Вспомните метрические соотношения в прямоугольном
треугольнике.)
20. Какая фигура называется: а) многоугольником; б) вы
пуклым многоугольником; в) правильным многоуголь
ником; г) вписанным многоугольником; д) описанным
многоугольником? Какие свойства этих многоугольников
вы знаете?
21*. а) В какой многоугольник можно вписать окружность?
б) Вокруг какого многоугольника можно описать окруж
ность?
22*. Вспомните свойства и признаки описанного и вписанного
четырехугольников.
23. Какие виды четырехугольников вы знаете? Сформули
руйте их определения, свойства и признаки.
24**. Какая фигура образуется при пересечении биссек
трис: а) параллелограмма; б) прямоугольника; в) ромба;
г) внешних углов прямоугольника?
25*. Определите вид четырехугольника с вершинами в се
рединах сторон: а) произвольного четырехугольника;
б) параллелограмма; в) равнобокой трапеции; г) ромба.
Примечание для учителя. Двумя звездочками обозначе
ны вопросы, не обязательные для изучения в общеобра
зовательных классах (только в МК). Большинство вопро
сов сформулированы так, чтобы вы имели возможность
уточнить их смысловое наполнение опорными фактами.
Определение - на
звание (с разъясне
нием, что именно
так называется).
Аксиома - прини
мается без доказа
тельства.
Теорема - доказы
вается определен
ным логическим
рассуждением (до
казательством).
Доказательство
опирается на аксио
мы и утверждения,
доказанные ранее
(состоит из логи
ческих шагов).
Следствие - непо
средственный вы
вод из теоремы или
аксиомы.
Прямая и обратная
теоремы - меняют
ся местами условие
и вывод.
ОБРАТНОЕ
УТВЕРЖДЕНИЕ
ТРЕБУЕТ
ДОКАЗАТЕЛЬ
СТВА!
Множество - сово
купность объектов,
которые мы пред
ставляем как еди
ное целое.
Например: множе
ство усатых, мно
жество треугольни
ков.
7
11. Признак - теорема,
выводом которой
является принад
лежность фигуры
определенному
множеству (опреде
ление которому да
но было ранее).
Свойство - теоре
ма, выводом кото
рой является вы
полнение опреде
ленных условий,
если фигура при
надлежит конкрет
ному множеству.
Доказательство от
противного:
1. Четко сформу
лировать утверж
дение, которое надо
доказать.
2. Сформулировать
утверждение обрат
ное к (1).
3. Предположить,
что (2) выполня
ется.
4. Прийти к логи
ческому противо
речию.
5. Вывод: (2) - ложно
и выполняется (1).
Чтобы установить
ложность утверж
дения, достаточно
привести один
контрпример.
Приведение приме
ров того, что
утверждение вы
полняется, не яв
ляется его дока
зательством!
26. Что такое: а) средняя линия треугольника; б) средняя ли
ния трапеции? Какие свойства этих отрезков вы знаете?
27*. Какие опорные задачи трапеции вы знаете?
28*. Какие опорные задачи равнобедренной трапеции вы знаете?
29. а) Каким свойствам фигуры соответствует понятие пло
щади фигуры? б) Какие фигуры называются равно
великими? в**) Какие многоугольники называются рав-
носоставленными ?
30. Запишите формулы для вычисления площади: а) квадра
та; б) прямоугольника; в) параллелограмма; г) треуголь
ника; д) прямоугольного треугольника; е) трапеции;
ж**) равнобедренной трапеции, диагонали которой пере
секаются под прямым углом?
31*. Как относятся площади: а) треугольников с равными
основаниями; б) треугольников с равными высотами;
в) параллелограммов с парами сторон, лежащими на
общих параллельных прямых; г) трапеций с соответ
ственно равными основаниями; д) трапеций, основания
которых лежат на общих параллельных прямых?
32. Докажите методом подобия опорные факты: а*) об отрез
ках, на которые биссектриса треугольника делит его сторо
ну; б**) формулу Лагранжа для биссектрисы треугольни
ка; в*) о произведении отрезков двух пересекающихся
хорд; г**) о расстоянии между точкой хорды окружности
и ее центром (следствие факта (в)); д*) соотношение меж
ду отрезками секущей и касательной, проведенными из
одной точки к окружности; е**) теорему Птолемея.
33. Какие опорные задачи вы умеете доказывать методом:
а*) подобия; б**) вспомогательной окружности; в**) пло
щадей?
34**. На сторонах АС и ВС треугольника ABC отметили со
ответственно точки М и К так, что AM : МС = т : п,
ВК : КС =р : t. В каком отношении АК делит отрезок ВМ1
35**. На стороне АВ треугольника ABC отметили точку М, а
на стороне ВС - точку К так, что СК : КВ = т : п, а точка
пересечения АК и СМ делит СМ в отношении р : t. В ка
ком отношении точка М делит сторону АВ?
36. Сформулируйте определение синуса, косинуса, тангенса
и котангенса острого угла прямоугольного треугольника.
Зависит ли их значение от расположения и размеров
прямоугольного треугольника?
37. Запишите соотношения между тригонометрическими
функциями: а) одного и того же угла; б) дополняющих
углов (углов, сумма мер которых равна 90°).
38*. Как изменяются значения синуса (косинуса, тангенса, ко
тангенса) при изменении градусной меры угла от 0° до 90°?
39. Запишите табличку значений тригонометрических функ
ций углов градусной меры: 0°; 30°; 45°; 60°; 90°.
40. Вспомните ^задачи решения прямоугольных треуголь
ников: а) как по градусной мере одного из острых углов
и длине одной из сторон найти второй острый угол и
остальные его стороны; б) как, зная длины двух сторон,
найти третью сторону и меры острых углов.
41. Что означает «решить задачу на построение»? Какие
опорные задачи на построение вы знаете?
8
12. КООРДИНАТНАЯ ПЛОСКОСТЬ.
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ
ФУНКЦИИ угловОТ 0°ДО 180°.
РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
В этой главе вы узнаете об открытии французского ученого Декарта,
которое поможет решать задачи геометрии языком алгебры, а алгебраи
ческим задачам давать геометрическую интерпретацию. Благодаря именно
этому открытию мы сможем определить тригонометрические функции
тупых углов, значительно упростить решение некоторых геометрических
задач, например - решение треугольников. Вообще говоря, современная
математика, наверное, не существовала бы без этого открытия Декарта.
§ 1. Система координат Декарта.
Расстояние между двумя точками
на координатной плоскости
и уравнение окружности.
Координаты середины отрезка
Так в чем же состоит открытие Декарта (1596-
1650)? Его еще называют аналитическая геометрия.
Как и все гениальное, оно гениально простое. Декарт
заставил алгебру работать на геометрию.
Базовым понятием аналитической геометрии явля-
УЬ ется понятие системы координат. Наи
более простая система координат - это
так называемая декартова прямоуголь
ная система координат. Ее задают так:
на плоскости выбирают две взаимно
перпендикулярные числовые оси - оси
координат, пересекающиеся в точке О -
начале координат (рис. 1.1).
х М
-Jт
•У
г!
о
і
Рис. 1.1
О С Ь
ординат
ось
абсцисс
і
х
'начало
координат
9
14. паре чисел можем поставить в соответствие только одну
точку плоскости. Именно это взаимно однозначное
соответствие и является прямоугольной системой ко
ординат Декарта. (Далее - декартова система коор
динат.)
І7
II I
0 х>0
у> 0 У > о
... ... J
*«0 0 х>0 3
у< 0 у< 0
III IV
У
tВ(0; у в)
0(0; 0)
А(0;ха)х
Рис. 1.2 Рис. 1.3
А что можно поставить в соответствие линии на
плоскости? Декарт предлагает в соответствие линиям
плоскости записывать уравнения с неизвестными х и
у, чтобы:
• координаты любой точки такой линии удовлетво
ряли соответствующему уравнению;
• координаты точек, не лежащих на заданной линии,
не удовлетворяли такому уравнению.
Например, для точек прямой линии и только для
точек этой линии справедливо равенство у = kx + I (если
k и I - постоянные). Это равенство называют уравне
нием прямой.
А как задать уравнением окружность? Мы знаем і
из курса 7-го класса, что окружность - это геометри- g
ческое место точек плоскости, равноудаленных от ^
определенной точки этой плоскости - центра окруж
ности. (Для любой точки плоскости, не принадлежащей *
окружности, это расстояние будет меньше или больше I
і
УА
О
Обозначают:
Ох -ось абсцисс;
Оу - ось ординат.
УА (л)<v
х о
Прямая (п) -
все ее точки имеют
координаты
(х; х+2).
Для любознательных
Мать Декарта умерла от туберкулеза через несколько дней после его рожде
ния, а с 8-ми лет он стал воспитанником иезуитской школы, основанной в
те времена под личным покровительством Генриха IV.
Счастливый случай привел Декарта в математику. Однажды во
время прохождения гарнизонной службы в одном из голландских го
родков Декарт обратил внимание на объявление. Написано оно было
на фламандском языке, которого Декарт не знал. С просьбой перевести
текст он обратился к прохожему, который также заинтересовался этим
объявлением. Незнакомец оказался профессором математики Бекманом,
который не без иронии ответил на любопытство молодого солдата, что это
публичный вызов - предложение решить геометрическую задачу и что
он переведет условие, если юноша возьмется ее решить. На следующий
день Декарт принес профессору решение, и это стало началом его занятий
математикой под руководством Бекмана, которые продолжались дЁа года.
11
15. -^2^2» У2)
мгм2 =
=^(х1-хг)2 + (у1-у2)2
(х-а) +(y-b) =г
I радиуса окружности.) Тогда, чтобы найти уравнение
окружности, надо сначала выразить расстояние между
двумя точками плоскости через их координаты.
РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ ДВУМЯ ТОЧКАМИ
Нам нужно для двух произвольных точек плоскости
Мх(хх; г/j) и М2(х2; у2) записать длину отрезка МХМ2 через
числа xv yv х2, у2 (рис. 1.4).
У і
У 2
АЛ т - -
м21 - -
1
1
L_________П
Ух
і
'с1
1
хх 0 *2 Х
б)
Рис. 1.4
Расстояния между проекциями этих точек на оси абс
цисс и ординат равны |xt - х2 и |г/, - у2 соответственно.
Длины катетов прямоугольного треугольника МХСМ2
равны длинам указанных проекций (как стороны обра
зованных прямоугольников).
Используя теорему Пифагора, найдем длину гипо
тенузы треугольника МХСМ2 - расстояние между точ
ками Мх(хх, ух) и М2(х2; у2):
МгМ2 = ^(хх- х2)2 + (ух-у2)2.
Замечание. Если отрезок МХМ2 параллелен одной
из координатных осей, то либо |хх - х2 = 0, либо ух - г/2| =
= 0 и записанная выше формула для вычисления длины
отрезка МХМ2 также является правильной.
УРАВНЕНИЕ ОКРУЖНОСТИ
Теперь мы можем записать уравнение окружности
как геометрическое место точек М(х; у), расстояние
от которых до центра окружности - точки 0(а; Ь) - яв
ляется величиной постоянной, равной радиусу окруж
ности г:
М О = г = y j ( х - а )2 + ( у - Ь )2
Для любознательных
Декарт - математик, влюбленный в поэзию, писал: «Зимними свободными
вечерами, сравнивая тайны природы с законами математики, я осмели
ваюсь надеяться, что нашел основы этой дивной науки». Литературная
деятельность Декарта развивалась на протяжении всего 12 лет. Она про
мелькнула, как метеор, но оставила блестящий незабываемый след в
конструкции современной математики. Основы открытой им аналитической
геометрии Декарт опубликовал в 1637 г. в книге «Геометрия».
12
16. Тогда уравнение окружности радиу
са г и с центром 0(а; Ь) имеет вид
(х-а)2 + (у-Ь)2 = г2 .
Например, окружности, изображен
ной на рисунке 1.5, соответствует урав
нение
(х - I)2 + (у - З)2 = 22.
КООРДИНАТЫ СЕРЕДИНЫ
ОТРЕЗКА
Выведем формулу, выражающую координаты точ
ки - середины отрезка через координаты его концов.
1) Пусть отрезок с концами А(хх, ух) и В(х2; у2)
не параллелен осям координат, т. е. хг £ х2 и ух Ш у2
(рис. 1.6). Найдем координаты его середины - точки
С(хс; ус).
Проведем:
АК _L Ох, СМ 1 Ox, BN 1 Ох.
Тогда АК || BN || СМ. И, учи
тывая, что АС = СВ, получим
КМ = MN, т. е. IjCj - хс| = х2 - хс|.
Тогда или (Xj - хс) = (х2 - хс),
или (хх - хс) = -(х2- хс).
По условию Х х Ф х2 и может
выполняться только второе ра
венство, из которого получаем:
Уі+У2. Аналогично ус = -
2) Если АВ || Ох, то ух = у2 = ус, а хс =
Если АВ || Оу, то х, = х2 = хс, а ус
2
^1+^2
2
У1+У2
И полученные выше соотношения также выполня
ются.
Таким образом, координаты середины отрезка с
концами в точках (xt; ух) и (х2; у2), вычисляются по
формулам:
*1+*2 У1+У2
Хс = я Ус = 0 •
В(х2; у2)
A(xt; i/j)
X . + х 0
хс =—------
с 2
Напомним
обозначение:
£ - «не совпадает»,
«не является
тождеством»;
є - «принадлежит»;
[АВ] - отрезок АВ.
Для любознательных
1. По полю проложили прямолинейную дорогу. Человек, который стоит на
этой дороге в точке А, может двигаться: по полю - со скоростью не более
3 км/ч; по дороге - не более 6 км/ч. Найдите множество точек, до которых
этот человек может дойти за 1 час.
2. В селе Семихатки 7 домов, для любых трех домов расстояние хотя бы
между двумя из них равно 50 м. Изобразите план расположения домов в
этом селе.
13
17. X2 + у2 + пх +
+ ту + р = О
определяет:
или
окружность -
г2 > О,
или
точку г2 = О,
или
пустое
множество г2 < О,
о Л
г2 = — + — -р
УА
О
М(х; у)
Л
X2 + у2 = с2
0(0; 0); г= |с|
|АВ| = АС + СВ
Z
А, В, С на одной
прямой и Се [АВ]
Замечание. При решении геометрической задачи
методом координат нужно не только перевести на язык
алгебры ее условие и решить алгебраическую задачу,
но еще и дать геометрическое толкование полученного
алгебраического результата. Рассмотрим примеры.
1. Уравнение х2 + у2 = с2 описывает окружность
радиуса г = сс центром в начале координат 0(0; 0).
2. Уравнение х2 + у2 + пх + ту + р = 0 описывает:
или окружность, или точку, или пустое множес
тво (не имеет смысла). Чтобы выяснить, какой
именно случай реализуется, в уравнении надо выде
лить квадраты двучленов относительно хну:
пп п
+ 2—X +
п
X + ■
2 г. т
+ У +2-—У +
/л2
пх Ґ 2
т
+ р = О,
У +'
т т
= — + — -р.
Если правая часть полученного соотношения:
• положительна - это уравнение окружности;
• равна нулю - это точка;
• отрицательна - это пустое множество.
Например, уравнение х2 + у2 - 2х + 4у + 1 = 0 преобра
зуем так:
(х2- 2х + 1) + (у2+ 4у + 4) - 1 - 4 + 1 = О,
(х- 1)2 + (у + 2)2=22.
Рассматриваемое уравнение определяет окружность
с центром 0(1; -2) и радиусом 2.
3. Согласно аксиоме об измерении отрезков и
неравенству для сторон треугольника получим
такое утверждение. Если на плоскости задано три
точки А, В, С и для расстояний между ними выпол
няется соотношение АВ = АС + |СВ|, то эти точки ле
жат на одной прямой (при этом точка С расположена
между точками А и В). Правильным будет и обратное
утверждение.
КООРДИНАТЫ ТОЧКИ, ДЕЛЯЩЕЙ ОТРЕЗОК
В ЗАДАННОМ СООТНОШЕНИИ
Пусть точка С(х; у) принадлежит отрезку с концами
в точках А(х,; уЛ, В(х„; у2) и делит этот отрезок в
соотношении АС : |СВ =
координаты точки С.
п : т (рис. 1.7). Найдем
Для любознательных
Термин координата (упорядоченность) латинского происхождения.
Творцом аналитической геометрии, одновременно с Декартом, считают
любителя математики, автора многочисленных блестящих открытий фран
цузского юриста Пьера Ферма (1601-1665).
14
18. У к
A(xt; у,)
A^xj 0) С,(х; 0) Вх(х2; 0) *
Рис. 1.7
Прямые AAV CCj и ВВ, перпендикулярны оси Ох,
т. е. параллельны между собой. Тогда, согласно теоре
ме Фалеса, имеем:
АС,
сл
АС
СВ
п
т'
х-Х, п
т
Возможны два случая: х2 > х > х. X, > X > х2.
Для обоих случаев полученное под знаком модуля
выражение положительно. Тогда:
х-х.
X,
п
т
х =
п + т
Аналогично получим, что
пу2 + ту,
У -
п + т
Таким образом, координаты точки С, делящей
отрезок с концами в точках А(хх; ух) и В(х2; у2) в
отношении АС: |СВ| = п:т, равны
_ пх2 + тхх _ пу2 + ту1
х — ; у — .
п+т п+т
4і(*р Уі)
nt
С mt
А2(х2, у2)
Ус
п + т
_ Щг + тУ
п + т
Если
(Х = п:т)
хг =
Ус =
кх2 + X, _
Х + 1 ’
Ъу2 + Ух
1+1
У“
х-у< 0
_______
х-у> 0
х-у> 0
х-у< 0
Для любознательных
ПРАВИЛО УМНОЖЕНИЯ
Проанализируем такую ситуацию. Пусть из пункта А в пункт В проложили
2 туристических маршрута, а из пункта В в пункт С - 3 маршрута. Спра
шивается: сколькими способами можно совершить путешествие из А в С?
В
Так как после преодоления каждого из маршрутов, соединяющих пункты
А и В, остается по 3 возможности добраться из В в С, то из А в С можно
попасть 2 x 3 = 6 способами.
Обобщением этой простой задачи является основное правило комби
наторики, которое еще называют правилом умножения. Если объект X
можно выбрать т способами, а объект У — п способами (независимо от
выбора X), то пару X и У можно выбрать m X п способами.
15
19. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
У*
0(а; Ъ)
0|-------- *
г = J а2 + Ь2
(
Уі
Ль
к
-О)
N. 1 /
ч.
/ТЪ
—j ■
г = 2>
Пример 1. Найдите все точки (л:; у) координатной
плоскости, которые удовлетворяют соотношению ху > 0.
Решение
Условие ху > 0 равносильно
тому, что числа х и у одного
знака: х > 0 и у > 0 или х < 0
и у < 0. Тогда решением будет
множество точек I или III коор
динатных четвертей, но не на
осях координат (рис. 1.8).
Пример 2. Докажите, что
середина отрезка с концами в
точках А(5; 7) и Б(8; -7) лежит на рис х g
оси Ох.
Доказательство
Пусть С(х0; у0) - середина отрезка АВ. Тогда
ч. т. д.
Пример 3. Запишите уравнение окружности с
центром в точке (-1; 3), которая проходит через начало
координат.
Решение
1) Точка (-1; 3) - центр окружности, тогда уравне
ние этой окружности имеет вид:
(х - (-1))2 + (у- З)2 = г2, (х + I)2 + (у - З)2 = г2.
2) Окружность проходит через точку 0(0; 0), тогда
значения х = 0 и у = 0 удовлетворяют уравнению этой
окружности:
(0 + I)2 + (0 - З)2 = г2, г2 = 10.
3) Вывод: уравнение искомой окружности имеет вид:
(х + I)2 + (у - З)2 = 10.
Ответ: (х + I)2 + (у - З)2 = 10.
Замечание. Ответ к последней задаче можно запи
сать и в другом виде, например (если раскрыть скобки
I и привести подобные слагаемые) х2 + у2 + 2х - 6у = 0.
Для любознательных
Решение геометрических задач иногда связано с комбинаторным перебо
ром конфигураций (см. стр. 15). Целенаправленный перебор возможных
вариантов нужен и при составлении расписания движения транспорта,
занятий в школе, шифровании и дешифровке письменной информации, в
том числе и кодировании. Например, кодами являются числа номерных
знаков машин, товарные знаки (штрих-коды) и т. д.
16
21. 1) Пусть хс = ус. Тогда
СА2 = (хс + З)2 + (хс + 6)2 = х2; х2 + 18хс + 45 = 0.
Последнее уравнение имеет два решения {-3; -15}. Тогда точки (-3; -3) и
(-15; -15) равноудалены от осей координат и точки А.
2) Пусть хс = -ус. Тогда
САг = (хс + З)2 + (- хс + 6)2 = х2; х2 - 6хс + 45 = 0.
Полученное уравнение не имеет корней.
Ответ: (-3; -3), (-15; -15).
Пример 7. Докажите, что сумма квадратов расстояний от произ
вольной точки окружности до вершин вписанного в нее правильного
треугольника не зависит от положения точки на окружности.
Доказательство
Через центр О окружности, описанной вокруг правильного треугольни
ка ABC, и его вершину В проведем ось Оу, а ось Ох - параллельно АС
(рис. 1.9).
Координаты произвольной точки окружности М(х; у) удовлетворяют
уравнению окружности х2 + у2 = R2.
Длина стороны треугольника ABC а = Rl3, поэтому координаты вершин
треугольника А
а%/3
,В 0;
ал/3
(
,С
У /
/
а aV3
2 _ 6
можно записать в виде:
, B(0;R), С
дУз
2’ 2
Тогда
МА2 =
дТз
х +
МС2 =
+
2
х -
Rs!3 Y
; MB2 = х2 + (у - R)2;
2
+ У +
R
Искомая сумма имеет вид:
МА2 + MB2 + МС2 х + ■
RyJ3
х -
Дл/З
2
У +
R
: 3(х2 + у2) + ЗД2 = 6Д2,
т. е. не зависит от положения точки М на окружности.
Ч. т. д.
Для любознательных
Опорная задача. Докажите, что координаты центроида треугольника
равны среднему арифметическому соответствующих координат вершин
этого треугольника.
18
22. 1. Начертите декартову систему координат и в ней отметьте по две точки:
а) с абсциссами, равными 3; б) с ординатами, равными -2. Запишите координаты
этих точек.
2. Начертите декартову систему координат и в ней отметьте две точки, определите их
координаты. Вычислите расстояние между этими точками по соответствующей
формуле. Измерьте расстояние между заданными точками и сравните полученные
результаты.
3. Начертите декартову систему координат и обозначьте в ней точку. Найдите ее
координаты и начертите окружность с центром в этой точке. Измерьте радиус
окружности и запишите ее уравнение. Отметьте произвольную точку окружности
и определите ее координаты. Должны ли координаты этой точки удовлетворять
уравнению окружности? Проверьте свой ответ соответствующим вычислением.
4. Начертите декартову систему координат и треугольник в ней. Запишите коор
динаты вершин треугольника. С помощью линейки отметьте середины его сторон
и определите координаты этих точек. Вычислите координаты середин сторон
треугольника по соответствующим формулам. Сравните полученные результаты.
Задание 1
1°. Запишите координаты точек, отмеченных на координатной плоскости (ху)
(рис. 1.10).
Практическая работа 1
Рис. 1.10 Рис. 1.11
2°. Отметьте на координатной плоскости точки М(5; 4), N(-5; 4), К(-5; -4), Т(5; -4),
А(4; 0), В(-4; 0), С(0; 5), D(0; -5).
Для любознательных
Аналитическая геометрия играла важную роль в развитии понятия
о числе. Отрицательные числа, известные в Индии уже в VI-XI в.,
европейские математики считали абсурдом. Даже Виет не признавал их.
Только благодаря аналитической геометрии Декарта (правило выбора
знаков координат точек на координатной плоскости) отрицательные числа
полностью утвердились в математике.
Интересно, что открытие декартовых координат не принадлежит Декар
ту. Древнегреческий математик Аполлоний (III—II в. до н. э., Александрия)
фактически уже использовал прямоугольную систему координат, но вместо
алгебраической символики (которая тогда не существовала) осуществлял
описание уравнений через геометрические понятия.
19
23. 3°. Постройте четырехугольник, если известны координаты его вершин А(2; 3),
В(3;-5), С(-4;-1),D(-5; 3).
4°. Не выполняя построений, укажите, в каких координатных четвертях лежат
точки М(-0,3; 80), ДГ(100; 200), .£(-500; -1000), 7(200; -0,1), L(-100; 0,3),
S(120; -5).
5. На какой оси декартовой системы координат находятся точки: а) А(0; 4);
б) В(-2; 0); в) С(5; 0); г) D(0; -10)?
6. Через точку К(-4; 1) проведите прямые т и п , параллельные осям
координат, а) Лежат ли на прямых т и п точки А(-4; 3), В(4; -3), С(2; 1),
£)(-2; -1)? б) Укажите на прямых т и п точки, расстояние между которыми
2 единицы.
7. По рисунку 1.11 (стр. 19) найдите координаты вершин прямоугольника ABCD,
стороны которого параллельны координатным осям.
8. Три вершины прямоугольника расположены в точках (-1; 4), (3; 4), (-1; -2).
Найдите координаты четвертой вершины.
9. Проверьте, лежат ли на линии у2 - х2 = 7 точки А(1; 8), В(3; 16), С(-5; 4).
10. Какие из точек А(2; -1), В(-1; 3), С(0; -2) принадлежат линии, соответствующей
уравнению |дс| + 2у2 = 4?
11*. Сторона квадрата равна 6. Одна его вершина расположена в начале координат,
а две - на осях и имеют неотрицательные координаты. Найдите координаты
всех вершин квадрата.
12*. Точка пересечения диагоналей ромба совпадает с началом координат. Диаго
нали ромба лежат на осях координат. Длина одной диагонали - 8 единиц, а
второй - 4 единицы. Какие координаты могут иметь вершины ромба?
13. Задана точка А(2; 4). Постройте точку и запишите ее координаты: a) Av
симметричную точке А относительно оси Ох; б) А2, симметричную точке А
относительно оси Оу; в*) А3, симметричную точке А относительно начала
координат; г**) А4, симметричную точке At относительно точки А2.
14. Задана точка А(-3; 2). Постройте точку: а) Ах, симметричную точке А относи
тельно оси Ох; б) А2, симметричную точке А относительно оси Оу; в*) А3,
симметричную точке А относительно начала координат; г**) А4, симметричную
точке А3 относительно точки А,. Запишите координаты построенных точек.
15*. Принадлежат ли точки координатной плоскости, удовлетворяющие уравне
нию у = х, множеству точек, заданных уравнением |(/| + у2 = |я| + х21
Задание 2
ц
1°. Найдите расстояние между точками: а) А(3; 2) и В( 1; -7); б) М(-4; -8) и N(2; 0);
в) F{2; -1) и D(2; 4); г) G(3; -5) и Я(6; -5).
2°. Найдите расстояние от начала координат до точки: а) А(2; 3); б) В(-7; 5);
в) М(-3; 4); г) N(-4;-3).
3. Найдите периметр треугольника АВС, если А(2; -1), В(-1; 3), С(2; 7).
4. Докажите, что треугольник FGH равнобедренный, если F(4; -2), G(-4; 4),
Я(-12; 10).
5*. Докажите, что точки A, R и Т лежат на одной прямой, если А(-3; -7), R(2; 3),
7X0; 1). Какая из точек лежит между двумя другими?
6*. Не выполняя построения точек, определите, лежат ли точки К(0; -4), М(3; -2),
N(7; 1) на одной прямой.
Для любознательных
Французский математик Орезм в XIV в. использовал прямоугольные
координаты для графической иллюстрации зависимости двух переменных.
Вместо современных терминов «абсцисса» и «ордината» он использовал
термины «долгота» и «широта». Идеи Орезма не имели распространения,
т. к. понятие функциональной зависимости было еще очень туманным.
20
24. 7. Расстояние между точками А(т; -3) иВ(1; 5) равно 10. Найдите значение т.
8*. На оси абсцисс найдите точку, равноудаленную от точек М(-1; 4) и N(5; -7).
9*. На осях координат найдите точку, удаленную от точки Р(6; -8) на: а) 16 еди
ниц; б) 10 единиц; в) 4 единицы.
10*. Найдите точку, равноудаленную от точек К(4; -5) и Т(-7; 8), если: а) искомая
точка лежит на оси абсцисс; б) искомая точка лежит на оси ординат; в) абс
цисса и ордината искомой точки равны между собой.
11*. Докажите, что четырехугольник с вершинами А(4; 8), 5(7; 3), С(4; -2) и
D(l; 3) - ромб.
12**. Координаты всех вершин треугольника - четные числа. Докажите, что
площадь этого треугольника выражается натуральным числом.
13**. Координаты вершин А и В квадрата ABCD - целые числа. Докажите, что ко
ординаты вершин С и D - тоже целые числа.
14°. Запишите уравнение окружности с центром в точке О, радиус которой равен
R, если: а) 0(1; 2), R = 3; б) 0(-3; 4), R = 8; в) 0(-5; -4), R = 1; г> 0(3; 0), R = 4;
д) 0(0; -2), R = 6; е) 0(0; 0), Я = 3.
15°. Запишите координаты центра и радиус окружности, заданной уравнением:
а) (х - 4)2 + (у + 5)2 = 4; б) (х + З)2 + (у - 7)2 = 16; в) (х - I)2 + у2 = 36; г) х2 + у2 = 100.
16°. На координатной плоскости постройте окружность, заданную уравнением:
а) х2 + у2 = 25; б) (х - I)2 + (у - 2)2 = 9; в) х2 + (у + 4)2 = 16.
17°. Какие из точек А(0; 5), 5(1; 2), С(5; -1), Щ-5; 0), £(-4; 3), F(-3; -4) лежат на
окружности х2 + у2 = 25?
18 . Какие из точек 0(0; 0), А(0; 3), 5(1; -4), С(-4; -3) принадлежат окружности
(х - I)2 + (у + 2)2 = 26?
19°. На координатной плоскости постройте окружность с центром в точке 5(0; 4),
диаметр которой равен 4. Запишите уравнение этой окружности.
20. Запишите уравнение окружности с центром в точке М(-3; 5), которая прохо
дит через точку А( 1; 7).
21. На окружности х2 + у2 = 25 найдите точки: а) с ординатой -2; б) с абсциссой 4;
в) такие, которые лежат на оси абсцисс; г) такие, которые лежат на оси ординат.
22*. Найдите центр и радиус окружности:
а) х2 + 2х + у2 - 4у = 6; б) х2 + у2 - 6* + 8 = 3.
23. Какой из окружностей рисунка 1.12 соответ
ствует уравнение: а) (х - 2)2 + (у - 2)2 = 4; 2
б) х2 + у2 = 4; в) (х + 2)2 + (у + 2)2 = 4?
24*. Найдите расстояние между центрами окруж
ностей:
а) х2 + уг + 6х + 8у = 0 и х2 + у2- 10х - 6у = 2;
б) х2 + у2 - 2х - 2у = 2 и х2 + у2 + 6х + 4у = 3.
25*. Окружность касается координатных осей. Най
дите координаты точки касания оси Оу, если
оси Ох эта окружность касается в точке М(3; 0).
26*. Запишите уравнение окружности, которая
касается координатных осей и проходит через
точку с координатами (0; -1). Рис. 1.12
Для любознательных
1. Могут ли три рыцаря, каждый со своим оруженосцем, переправиться
через речку на лодке, вмещающей не более двух человек, если оруженосцы
отказываются оставаться с незнакомыми рыцарями без своих хозяев?
2. Учитель на уроке геометрии задал «хитрую» задачу. Число мальчиков,
которые ее решили, равно числу девочек, которые ее не решили. Кого в
классе больше - тех, кто решил задачу, или девочек?
21
25. 27*. Определите координаты центра окружности радиуса 2, которая касается осей
координат.
28*. Запишите уравнение окружности, которая касается координатных осей и
проходит через точку (1;2).
29°. Найдите координаты середины отрезка с концами в точках А(-4; 7), В( 12; -5).
30. Точка К - середина отрезка NP, К(5; -7), Р(-3; 8). Найдите координаты точки N.
31. Найдите длину медианы AM треугольника ABC, если А(5; 1), В(-3; -2), С(-5; -6).
32. Запишите уравнение окружности диаметра АВ, если А(4; -9), В(-6; 5).
33*. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке О. Найдите коорди
наты точек Cw.D, если известны координаты точек А(-1; 6), В(8; -3), 0(3; -2).
34*. Четырехугольник MNPK - параллелограмм, при этом М( 1; -2), N(2; 3),
Р(5; 6). Найдите координаты точки К.
35**. На оси ординат найдите точки, из которых отрезок АВ видно под прямым
углом, если: а)А(-4; -1), £(12; 1); б)А(0; 6), В(6; 14).
36** На оси абсцисс найдите точки, из которых отрезок АВ видно под прямым
углом, если: а)А(-4; -1), В(12; 1); б)А(4; 0), В(6; 14).
37*. Отрезок АВ разделили на три равные части: АС = CD = DB. Найдите координа
ты точек С и D, если А(1; -2), В(4; 4).
38*. Отрезок MN разделили на четыре равные части: МР = РТ = ТК = KN. Найдите
координаты точек Р, К, N, если М(7; -13) и Т(-5; 1).
39**. Пусть А(хл; уА), В(хв ув), М(хм; ум). Известно, что точка М принадлежит
^ х. + Хх„ Ул+Ху„
отрезку АВ и что AM : MB = к. Докажите, что хм = —----------- - ; ум = —-------
1 + А, 1 + X
40**. Отрезок АВ делится точкой М в отношении 1:2. Найдите координаты точки
М, если А(5; 3), В(-1; -3).
41**. По двум заданным точкам - вершине треугольника А(3; -2) и середине
противоположной стороны М(-6; 2) найдите координаты центроида тре
угольника.
42**. Найдите координаты центра масс треугольника ABC, если известны коорди
наты: а) его вершин: А(4; 1), В(2; 1), С(4; 3); б) середины сторон треугольника:
М,(-3; 2),Мг(1;0),М3(3;4).
43**. Докажите, что AL - биссектриса внутреннего угла треугольника ABC, если:
а) А(4; 1), В(6; 5), С(2; 7), ДЗ; 4); б)А(0; 7), В(-4; -1), С(12; 1), L(2,4; -0,2).
44**. Точки А(9; 4), В(-3; -1), С(3; 4) - вершины треугольника ABC, АК - его
биссектриса. Найдите: а) координаты точки К; б) длину биссектрисы АК.
45**. Сколько существует на плоскости точек таких, что сумма расстояний от
каждой из них до двух заданных точек А(2; 3) и В(-2; -1) равна 5,5?
46**. Отрезок с концами в точках А(6; -4) и В(15; -2) разделен точками С и D
соответственно как 3 : 2 : 4 (от А к В). Найдите абсциссу точки, симметрич
ной С относительно оси ординат.
Для любознательных
1. Несколько шахматистов целый день играли в шахматы в парке. Так
как они имели только один комплект шахмат, то установили следующий
порядок игры. Тот, кто выиграл партию, - пропускает две следующие.
Тот, кто проиграл партию, - пропускает четыре следующие. В случае
ничьей - проигрыш засчитывается тому, кто играл белыми. Сколько было,
шахматистов, если эти правила выполнялись?
2. Существуют шахматные доски с бортиками, чтобы фигуры не падали
во время игры, например в поезде. Попробуйте разместить на такой доске
28 пластинок домино, каждая из которых занимает две клеточки доски,
так, чтобы ни одну из пластинок нельзя было сдвинуть с места в плоскости
этой доски.
22
26. § 2 о Уравнение прямой
A(xt; г/j)
Чх2; У2)
Рис. 1.13
ОБОБЩЕННОЕ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ
Из курса алгебры вы уже знаете, что график функции
у = kx + l- прямая. Это равенство еще называют уравне
нием прямой.
Выясним, любой ли прямой плоскости соответствует
уравнение вида у = kx + I.
Для этого найдем уравнение произвольной прямой п
декартовой плоскости, используя свойство серединного
перпендикуляра к отрезку.
Обозначим на координатной плоскости две точ
ки A(Xj5 г/,) и В(х2; у2) так, чтобы прямая п была сере
динным перпендикуляром
отрезка АВ (рис. 1.13). Тогда,
по свойству серединного
перпендикуляра к отрезку,
произвольная точка М(х; у)
прямой п будет равноудалена
от точек А и В, т. е. AM = ВМ
и АМ2 = ВМ2:
(х - Xj)2 + (у - у,)2 =
= (х - х2)2 + (у- у2)2.
Если раскрыть скобки и привести подобные сла
гаемые, получим:
2(Xj - х2)х + 2 (г/, - у2)у + х2
2 + у2 - х2 - у2 = 0.
В этом соотношении значения чисел х и у могут
меняться (как координаты произвольной точки М пря
мой п), а числа х,, yv х2, і/2при этом неизменны.
Тогда координаты х и у любой точки прямой п
удовлетворяют уравнению
ах + by + с = 0,
где а = 2(Xj - х2), b = 2(j/j - у2) и с = х2
2 - Xj2 + у2 - у 2 -
постоянные величины для данной прямой.
Важное замечание. Если некоторая точка К не
принадлежит прямой п (рис. 1.13), то АК2 ф ВК2 (по
свойству серединного перпендикуляра к отрезку) и
координаты этой точки не удовлетворяют уравнению
прямой п.
Уравнение ах + by + с = 0 называют обобщенным
уравнением прямой, иначе - уравнением прямой
в обобщенном виде (общего вида) или в обобщен
ной (канонической) форме.
Из всех языков ми
ра наилучший -
это искусственный
язык, язык лако
ничный, язык ма
тематики.
Н.И. Лобачевский
*М(х; у)
ах + by + с = 0
обобщенное урав
нение прямой,
или
уравнение прямой
в обобщенной
(канонической)
форме
Точка (х0; у0)
ПРИНАДЛЕЖИТ
прямой
ах + by + с = 0
тогда и только
тогда, ЕСЛИ
ах0 + Ьу0 + с = 0.
Для любознательных
1. А можете ли вы ответить на вопрос, почему в алгебре линейную функцию
не задают в виде ах + by + с - 0? Совет. Вспомните определение функции.
2. Какому множеству точек плоскости соответствует случай а = 0, Ъ = 0 и
с* 0? А случай а = 0, £> = 0ис = 0?
23
27. Напомним:
(1)о(2)~
утверждения
равносильны,
(1)^(2) и
(2)=>(1).
Уравнение
прямой п:
ах + Ьу+с = О
Ьф О
п % Оу
можно записать
у = kx + I;
ax + by+ с = 0
6= 0
а *0
п!! Оу
имеет вид
х = const;
ax + by+ с = 0
а = О
Ьф О
п || Ох
имеет вид
у = const;
ax + by+ с = О
с = 0
6*0
а*0
имеет вид
у = кх - прямая
пропорциональ
ность.
Возникает вопрос: являются ли равносильными
обобщенное уравнение прямой и уравнение прямой
y = kx + l, которое нам известно из курса алгебры?
Очевидно, если уравнение ах + by + с = 0 разделить
на Ь, то его действительно можно записать в виде
y = kx + l. Но это можно сделать только в случае 6^0!
Например, прямой, изображенной на рисунке 1.14,
соответствуют равносильные уравнения 4х-2г/ + 13 = 0
и у = 2х + 6,5. (Второе можно получить из первого,
разделив его на Ь = -2 Ф 0.)
Если Ь = 0 и а Ф 0. уравнение прямой можно записать
с „
в виде х - —. Его удовлетворяют точки с произвольной
а
ординатой и постоянной абсциссой. Это прямая,
параллельная оси Оу (рис. 1.15).
УА
6,5
-3,25 0
4х-2у+ 13 = 0
у = 2х + 6,5 УА
х
х = -5
0
Рис. 1.14 Рис. 1.15
с
Случай а = 0 и Ь ф 0 соответствует прямой у=— ,
b
точки которой имеют постоянную ординату и произ
вольную абсциссу. Это прямая, параллельная оси Ох
(рис. 1.16).
Если с- 0. то координаты точки (0; 0) удовлетворяют
уравнению прямой и она проходит через начало коор
динат. В этом случае уравнение прямой можно записать
в виде прямой пропорциональности y = kx (рис. 1.17).
Для любознательных
В процессе научных исследований человек стремится из уже известного
получить новые знания, именуемые выводом. В древней Индии логики
приводили такой пример. Пусть известно: «там, где дым, там и огонь» и «на
холме - дым». На основании этой информации мы получаем новые знания -
вывод: «на холме есть огонь». Если исходные данные были истинными, то
не надо подниматься на холм, чтобы убедиться, что там есть огонь.
24
28. ВЫВОД. Общий вид уравнения прямой ах + by + с = 0.
При этом:
• только при условии b * 0 уравнение прямой можно
записать в виде у — kx + I; график прямой не парал
лелен оси Оу;
• при b = О, а Ф О — прямая параллельна оси Оу;
ее уравнение х = т нельзя представить в виде
у — kx + l;
• при а = О, b * 0 — прямая параллельна оси Ох; ее
уравнение у = I;
• при с = О, а ф О, Ъ ф О — уравнение прямой
пропорциональности у = kx.
УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ, ПРОХОДЯЩЕЙ
ЧЕРЕЗ ДВЕ ЗАДАННЫЕ ТОЧКИ
Через две точки можно провести прямую и при
том только одну - это аксиома геометрии. Запишем
уравнение прямой, проходящей через две точки коор
динатной плоскости А(хх; ух) и В(х2; у2).
Возможны два случая: прямая АВ параллельна оси
Оу и прямая АВ не параллельна оси Оу.
СЛУЧАЙ 1.
Если прямая параллельна оси Оу, то абсциссы всех
ее точек одинаковы. Т. е. это случай, когда хх = х2 = X.
Уравнение искомой прямой: х = X.
Уравнение прямой, проходящей через две заданные
точки, абсциссы которых одинаковы, А(Х; ух) и В(Х; у2),
имеет вид х = X.
СЛУЧАЙ 2.
Пусть абсциссы заданных точек не равны между
собой: х х ф х 2 .
Искомая прямая не параллельна оси Оу, тогда ее
уравнение можно записать в виде у = kx + l.
Точки А и В принадлежат этой прямой. Тогда их ко
ординаты удовлетворяют уравнению прямой:
ух = kxx + 1, у2 = kx2 + I.
Для любознательных
Наука о законах и формах мышления называется логикой. Выполнение
законов логики - необходимое условие доказательности и истинности на
ших размышлений.
Закон тождества (один из основных четырех законов логики) тре
бует, чтобы одно и то же размышление, которое приводится в данном
рассуждении, при повторении имело один и тот же смысл.
Закон противоречия состоит в том, что не могут быть одновременно
истинными два противоположных утверждения.
Закон исключенного третьего (дословно с латыни - «третьего не дано»)
утверждает, что из двух противоположных высказываний об одном и том
же объекте одно обязательно является истинным (вспомните метод дока
зательства от противного).
Закон достаточного основания требует, чтобы каждое истинное
утверждение было обосновано.
Напомним:
= - «обозначили
как».
Уравнение
прямой АВ:
- если хх = х2 = п
х — п;
- если ух = у2 = т
У — т;
- если хх * х2
у — kx + I,
где k и / находим из:
yx=kxx + l
1 Уг = kx2 +1.
25
29. nftOy , •*
У2 -Уі = Ь(х 2-х і)
Это система двух линейных уравнений для двух
неизвестных коэффициентов к и ї . Если от второго
уравнения отнять первое, получим
Уг~У~ k(x2 — *i), k= Уг Уі .
х2-х,
Если подставить полученное значение k в одно из
двух исходных уравнений системы, получим значение
коэффициента I.
В рассматриваемом случае на координатной плос
кости прямую можно изобразить так, как представле
но на рисунке 1.18.
Тогда: tga
Рис. 1.18
У2 - У и 4-__ У 2
----- L = к, или tga = — ^ = -к.
х,
Таким образом, коэффициент k в уравнении прямой
у = kx + I с точностью до знака равен тангенсу угла,
под которым заданная прямая пересекает прямую,
совпадающую с осью абсцисс. Поэтому этот коэффи
циент называют угловым коэффициентом прямой.
НЕОБХОДИМОЕ И ДОСТАТОЧНОЕ
УСЛОВИЕ РАСПОЛОЖЕНИЯ ТРЕХ ТОЧЕК
НА ОДНОЙ ПРЯМОЙ
Теорема. Три точки С(х; у), A(xj уу), В(х2; у2)
лежат на одной прямой тогда и только тогда, еслиш
X =
х1+Ъс2
У =
Уі+^у2
1 + X 1 + А,
(Т. е. существует такое число А., что указанные соотно
шения выполняются.)
Для любознательных
Английский математик Чарльз Лютвидж Доджсон (1832-1898) печатал
свои сказки и сборники задач поисковой математики и логики под
псевдонимом Льюиса Кэрролла. Какой из законов логики (стр. 25) нарушил
в его сказке Чеширский Кот, беседуя с Алисой?
- А откуда Вы знаете, что Вы не в своем уме? - спросила Алиса.
- Начнем с того, что Пес в своем уме. Согласна? - ответил Кот.
- Допустим, - согласилась Алиса.
- Далее, - сказал Кот, - Пес рычит, когда сердится, а когда доволен -
виляет хвостом. Ну а я мурлычу, когда доволен, и виляю хвостом, когда
сержусь. Поэтому я не в своем уме.
26
30. I. Докажем необходимое условие.
Если точка С(ж; у) принадлежит прямой, проходя
щей через точки А(хг; yt) и В(х2; у2), то
уі+ку2
і+х’
у~ і+х •
Доказательство
Возможны два случая: С є [АВ] и С g [АВ].
(1) Точка С принадлежит отрезку АВ (рис. 1.19-а).
Этот случай был нами рассмотрен ранее (стр. 15). Если
точка С делит отрезок АВ в отношении (АС|: СВ = п : т, то
Напомним:
І є - «принадле-
| жит»;
I
х =
тх1 + пх2
п + т
п
Х “і х2
т
1 +
Аналогично у
полняется.
Ух + hh
1 + Х
п
т
Xj + Хх2
1 + А.
, и утверждение условия вы-
> Точка С не принадлежит отрезку АВ Грис. 1.19-6).
НЕОБХОДИМО
И
ДОСТАТОЧНО
_ х, + Хх2
Рис. 1.19
Обозначим АС: СВ -п : т = Х. По теореме Фалеса:
АА
СЛ СВ т
Выражение под знаком модуля положительное (см.
стр. 15), тогда
х. + Хх9
х = —---------.
+ 'К
у. + Ху2
Аналогично у = —7—7—, и утверждение условия вы-
1 + X
полняется.
і - «не принадле
жит»;
I [АВ]-отрезок АВ.
I
I
f
»
і
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
f
I Точки (x;y),
I (x2; y2) лежат
на одной прямой.
I
!
I
I
»
I
y =
1 + X
Уі+^2
1 + X
a
Геометрия - позна
ние всего сущего.
Платон
(IV в. до н. э.)
Для любознательных
В сказках Льюиса Кэрролла приведены чудесные примеры «доказательств»,
в которых герои нарушают закон достаточного основания:
- Сними свою шляпу, - сказал Король Шляпочнику.
- Она не моя, - ответил Шляпочник.
- Краденная! - закричал Король и с триумфом повернулся к присяжным.
- Я их держу для продажи, - объяснил Шляпочник, - у меня своих нет,
я ведь шляпочных дел мастер.
27
