2020年と違い2021年では、2桁に区切った西暦20ﾄ21が重複してないので、20 21年M月D日の数字の並びを含めた５ｘ５サイズの魔方陣がいくつ作れそうか調べてみました。

1. ２０２１冬の自由研究発表
年月日の数の並びを含む
５ｘ５サイズの魔方陣は
２０２１年では何日分作れるか
入山徳夫

2. 魔方陣とは
• NxNの升目の中に１からN2
までの数字を
縦横斜め一列のN個の数字の和が一定になるように配
置したもの
定和：１５
定和：３４ 定和：６５
１ 15 14 ４
12 ６ ７ ９
８ 10 11 ５
13 ３ ２ 16
８ １ ６
３ ５ ７
４ ９ ２
１ １０ １４ １８ ２２
１９ ２３ ２ ６ １５
7 11 ２０ ２４ ３
１５ ４ ８ 12 １６
１３ １７ 21 ５ ９

3. 製法の一例：N進数2桁分+1を合成する
数独のようなものを2種類作って足す。
１ ３ ２ ４
４ ２ ３ １
４ ２ ３ １
１ ３ ２ ４
２ １ ３
３ ２ １
1 ３ ２
６ ０ ３
０ ３ ６
３ ６ ０
８ １ ６
３ ５ ７
４ ９ ２
１ 15 14 ４
12 ６ ７ ９
８ 10 11 ５
13 ３ ２ 16
０ 1２ 1２ ０
８ ４ ４ ８
４ ８ ８ ４
1２ ０ ０ 1２

4. 製法の一例：N進数2桁分を合成する
数独のようなものを2種類作って足す。

5. 製法の一例：N進数2桁分を合成する
数独のようなものを2種類作って足す。
5x5サイズでは：巡回シフトのパターン２通りどうしの和で作れる
（いわば角と桂馬の組み合わせ: 角+角, 角+桂, 桂+角,桂+桂） ＜WikiPediaに寄稿 ＞
A,B,C,D,E ∈{1,2,3,4,5} F,G,H,Ｊ,K ∈{0,5,10,15,20}
or or
A B C D E
C D E A B
E A B C D
B C D E A
D E A B C
3 B C D E
E 3 B C D
D E 3 B C
C D E 3 B
B C D E 3
F G H Ｊ 10
G H Ｊ 10 F
H Ｊ 10 F G
Ｊ 10 F G H
10 F G H Ｊ
F G H Ｊ Ｋ
Ｊ Ｋ F G H
G H Ｊ Ｋ F
Ｋ F G H Ｊ
H Ｊ Ｋ F G

6. 20 21年M月D日 20,21,M,Dを含む5方陣
M+D+X＝65-20-21=24; 1≦M,D,X≦25 ; M,D,X,は全て相異,20,21とも不一致のこと
20 21 M D X

7. 20 21年M月D日 20,21,M,Dを含む5方陣
M+D+X＝65-20-21=24; 1≦M,D,X≦25 ; M,D,X,は全て相異,20,21とも不一致のこと
M とDの候補：
Ｍ月Ｄ日 Ｍ＋Ｄ＜24 ,M≠D ✖ Ｘでの重複分, X=20,X=21,X=D, X =Mを除く
１月 ２日～19日, 22日 ✖ 2, 3, 22 を除く
２月 1、３～21日, ✖ 1, 11, 20を除く
３月 1～2, ４～20, ✖ 1,18を除く
４月 1～3, 5～19 ✖ 10,16を除く
５月 1～4, 6～18 ✖ 14を除く
６月 1～5, 7～17 ✖ 9,12を除く
７月 1～6, 8～16 ✖ 10,を除く
８月 1～7, 8～15 ✖ 8を除く
９月 1～8, 10～14 ✖ 6,を除く
１０月 １～9,１1～13 ✖ 4, 7を除く
１１月 : 1～10 , 12 ✖ 2を除く
20 21 M D X

8. 20 21年M月D日 20,21,M,Dを含む5方陣
M+D+X＝65-20-21=24; 1≦M,D,X≦25 ; M,D,X,は全て相異,20,21とも不一致のこと
M とDの候補：
Ｍ月Ｄ日 Ｍ＋Ｄ＜24 ,M≠D ✖ Ｘでの重複分, X=20,X=21,X=D, X =Mを除く
１月 ２日～19日, 22日 ✖ 2, 3, 22 を除く
２月 1、３～21日, ✖ 1, 11, 20を除く
３月 1～2, ４～20, ✖ 1,18を除く
４月 1～3, 5～19 ✖ 10,16を除く
５月 1～4, 6～18 ✖ 14を除く
６月 1～5, 7～17 ✖ 9,12を除く
７月 1～6, 8～16 ✖ 10,を除く
８月 1～7, 8～15 ✖ 8を除く
９月 1～8, 10～14 ✖ 6,を除く
１０月 １～9,１1～13 ✖ 4, 7を除く
１１月 : 1～10 , 12 ✖ 2を除く
20 21 M D X
総数１６６通り

9. 魔方陣の総数： ６ｘ６以上は不明
回転、裏返しで同じ配置になるものを一種類として数えると：
・３方陣 １種類
・４方陣 ８８０種類
フランス：Bernhard Frenicle de Bessy (1602?～1675)
が８８０通り作成して死後(1693)パリの学士院から出版されていたものを
パズル王のHenry Ernest Dudeneyがその構造を調べて、その分類法を発表(1910)
日本では寺村周太郎が1926年８８０通り作成 １９３１年発表 １９５７年出版）
https://mixi.jp/view_bbs.pl?comm_id=297396&id=35175862
・５方陣 ２７５３０５２２４種類 [F. Schroeppel (1973)]
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Richard_Schroeppel
・６方陣 ＜ １７８０京 ? （未解決問題）
(36P23 = 36! / 13! = 5.9738571e+31通りを調べつくせれば良い…)

10. 5x5サイズの魔方陣は
２億７５３０万５２２８通りある。
例えば、中央位置に、１から２５までのどの数字を入れても
それぞれ一千万とおり以上の組み合わせが存在する。
数字に偏りがあっても、作れる。
５進数2桁分+1で上位桁と下位桁+1に分けた場合、各々が
魔方陣でなくても、合計が魔方陣になりうる。
＜これらのパターンを手作業で全て作れる簡単な方法は
知られていない：いわば未解決問題＞
（未検証ではあるが） 概ね１６６日分、全て作れそう。

11. まとめ
５方陣で年月日の並びを納めた魔方陣が
作れる可能性は、２０２１年の場合
各月の 1日から25日までの内,魔方陣が
作れる作れそうな割合は、１66/300 = 55.3%