Phuong trinh mu t sy

GIẢI BÀI TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH MŨ
Biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218 - Tháng 7 năm 2011
Trang 1
Bài 1. Giải các phương trình trình sau :
a.
2
3 4 1
2 4x x x  
 b.    
3 1 5 8
2 3 2 3
x x 
  
c.
22
8 36.3
x
xx 
 d.
31 2 1 3
2 4 .8 2 2.0,125x x x  

GIẢI
a.
 
 
2 2 2 13 4 1 3 4 2 2
1
2 4 2 2 3 4 2 1 2 0
2
xx x x x x
x
x x x x x
x
    

             
b.    
3 1 5 8 7
2 3 2 3 3 1 5 8
2
x x
x x x
 
         .
c.
3 3
2
2 2 3 2 5 22 2 2
1 132
8 36.3 2 2 .3 2 3 5 2 12 0
2 1 13
x x x
x x xx x x
xx
x x x
x x

     
  
             
  
.
d.
 
   
 
2 2 11 1
3 3 1
31 2 1 3 3 32 3 2
2
2 2 11 3
2 4 .8 2 2.0,125 2 2 .5 3 3 log 5
2 3 2
xx
x
x x x xx
x

   
    
        
2
2 2
18log 5 648 64
3log 5 8 64 18log 5
6 8
x
x x

      
Bài 2. Giải các phương trình sau :
a. 1
3 .2 72x x
 b. 1 1
5 6.5 3.5 52x x x 
  
c.  
3
3 2 2 3 2 2
x
   d.  
5
2 3 1
0,75 1
3
x
x

  
  
 
GIẢI
a.
1 1 2 3 2
3 .2 72 3 .2 3.2 6 6 2x x x x x
x 
       .
b. 1 1 3 5
5 6.5 3.5 52 5 5 6 52 5 .52 5 1
5 52
x x x x x
x   
            
 
.
c.      
3 3 1 1
3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2
3
x x
x

          .
d.  
5 2 3 5 2 3 5
2 3 1 3 4 3 3
0,75 1 2 3 5 2
3 4 3 4 4
x x x x x
x
x x x
    
          
                    
         
a.
2
2 3
11
7
7
x x
x
 
 
 
 
b.
5 17
7 3
32 0,25.125
x x
x x
 
 

c. 4 2 1
2 2 5 3.5x x x x  
   d.    2 3
0,5 2
xx 


Trang 2
GIẢI
a.
2
2 3
1 2 21
7 2 3 1 2 0 1 2
7
x x
x
x x x x x x x
 
 
                
 
b.
       
   5 5 3 17 5 5 3 175 17
2
27 3 7 3 7 3
2
5 5 3 17
32 0,25.125 2 2 .5 2 5 2 .log 5
7 3
x x x xx x
x x x x x x
x x
x x
    

     
 
       
 
 
     
7 11 3 51
7 3
2
2 2
2
2
2 2 2
3
7 11 3 51
2 5 log 5 7
7 3
10 33 3 30 357 log 5
7 3log 5 2 5 15log 5 33 357log 5 0
x x
x x
x
x x
x
x x
x x x x
x x
 
 
 
  
     
  
    
      
    2 2
2 2 2 1,2
2
5 5 3 17 5 15log 5 '
2 .log 5 ' 1296log 5 2448log 5 256 0
7 3 7 3log 5
x x
x
x x
    
          
  
c.    4 2 1 4 2 5 20 5
2 2 5 3.5 2 2 2 5 5 3 1
2 8 2
x
x x x x x x
x    
            
 
d.    2 3 2 3 2
4
0,5 2 2 2 2 3 4 5 0
2 5
xxx x x
x x x
   
          
* Chú ý : Khi giải các phương trình sau :
a.
1
5 .8 500
x
x x

 b. 1
3 .8 36
x
x x

c.
5 17
7 3
32 0,25.125
x x
x x
 
 
 d. 4 3
3 4
x x

GIẢI
a.
   
   
3 1 3 11
2
3 2 3 2
2 2 2
3
5 .8 500 5 .2 5 .2 2 5 3 log 5 log 5 1 3log 5 3 0
x xx
x x xx x x
x
x x x
x
 

 
            
   
2 2
5
2 2 2
2 2 2
2 2
2
3log 5 1 1 3log 5
2log 2
log 5
1 3log 5 12log 5 1 3log 5
3log 5 1 1 3log 5
6
log 5
x
x
  
  
       
  
 

b.
 
3
1
3
2
2 2 31 1
3
3 3 3
1 2 log 42
3 .8 36 3 2 .3 3 4 log 4 1
1 log 4 2 log 41 1 log 4
x
x
x x
x x x
xx
x
xx
 
 
   
            
   
d.  4 3
3 3 4 3
3
4
3 4 4 3 .log 4 log 4 log log 4
3
x x
x
x x
x
 
       
 
II. PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ - ĐẶT ẨN PHỤ
a.
1 1
3 3 10x x 
  b.
4 8 2 5
3 4.3 27 0x x 
  

Trang 3
c.
1 1
4 6.2 8 0x x 
   d. 2 1 1 1
3.5 2.5
5
x x 
 
GIẢI
a. 1 1
3 3 10x x 
  . Vì : x+1+1-x=2 suy ra :
2
1 1 2 1 1 3 9
3 .3 3 3 3x x x x
t
t t
   
     
Vậy phương trình trở thành :
1
2
1 2
1 3 1 19
10 10 9 0
9 3 3 1
x
x
t x
t t t
t t x


      
       
    
b.  2 2 44 8 2 5 2 4
3 4.3 27 0 3 4.3 .3 27 0
xx x x  
       . Đặt : 2 4
3 0x
t 
  , thì phương trình trở thành
:
2 4
2
2 4 2
3
3 3 3 2 4 1
12 27 0 2
9 3 3 2 4 2 1
x
x
t x x
t t
t x x



           

        
c.  
1
2 11 1 1
2
2 0 0
4 6.2 8 0 2 6.2 8 0
2 46 8 0
x
xx x x
t t
t tt t

  
   
         
     
1
1 2
2 2 2 1 1 0
4 2 2 1 2 1
x
x
t x x
t x x


        
 
       
d. 2 1 1 2
2
0
5 01 1
3.5 2.5 3.5 2.5 1 1 5 1 0
5 3 2 1 0 1
0
3
x
x x x x x
t
t t
t x
t t
t
 

    
                   

a.
2
51
2 9
4
x
x

 
  
 
b.
3
5 21
6 12
6
x
x

 
  
 
c.
4
3
3
4 7
2
x
x


  d.
3 3
1
2
5 15
5
x
x


 
GIẢI
a.
 
2 2
2 25 3 2 2 2
22
0
2 01
2 9 2 2 .2 9 9 2 3 2 2log 31
4 8 9 0
9
x x
xx x x
t
t
t xt
t t
t
 
  

    
                
       
b.  
3 2
2 25 2 3 5 2 2 2
2
6 0 01
6 12 6 6 12 6.6 6.6 12 6 2
26 2 0
x x
xx x x x xt t
tt t
 
    
    
                   
6 62 log 2 2 log 2x x     

Trang 4
c.    
4
2 4 2 44 3 4
3 2
0
2 03
4 7 3.2 2 7 2 6.2 7 0 3 2
2 6 7 0
3 2
x
x xx x x
x
t
t
t
t t
t

   


                
   
 
 
 
4
2
4
2
2 3 2 4 log 3 2
2 3 2 4 log 3 2
x
x
x
x


      

      
d.
2
3 3 2 3 1
1 2
5 02
5 15 5 2.5 15
5 5 10 15 0
x
x x x
x
t
t t

  

  
      
  
2
5
0
3 5 3 2 log 31
3
x
t
t xt
t



        
 
a. 1 1
5 5 26x x 
  b. 3
3 1
8 1
2 6 2 1
2 2
x x
x x
 
    
 
c.
2 1
1
1 1
3 12
3 3
x x

   
    
   
d.
2
7
6.0,7 7
100
x
x
x
 
GIẢI
a.
1
1
1 1
2 1 2
05 0 0 1 5 1 1
5 5 26 125
26 25 026 0 25 5 5 1
25
x
x
x x
x
tt t t x
t
t tt t x
tt


 

           
        
             
b.
 
3
23
3 1 1
2 1 08 1 1 2
2 6 2 1 2 1 2 1 0 2 2 2 0 1
2 2 2 2 2 2
x
x x x x x x
x x x x x
x 
      
                    
    
c.
1
2 1 2 1
1
1 51
3
1
4 0
31 1 1 1 1 1
3 12 12 0 log 5 log
3 3 3 3 3
1
5
3
x
x x x x
x
x
x


             
                 
         
 
 
d.    
 
 
2
2
0,7
0,7 1 07
6.0,7 7 0,7 6. 0,7 7 0
100 0,7 7 log 7
x
x
x xx
x x
x
   
      
   
a.
2 2
sin cos
16 16 10x x
  b. 1
2 2 1x x
  c. 2 2
3 3 30x x 
 
d.
2 2
1 1
5 5 24x x 
  e. 2 1
3 3 12x x 
  f.
2 2
1 4
5 2.5 123 0x x 
  
GIẢI

Trang 5
a.
2
2 2
os
sin cos
2
016 0 0
16 16 10 216
10 16 010 0
8
c x
x x
tt t
t
t tt
tt
    
       
        
2
2
os 2
os 3 2
2 2 2 os 1
8 2 2 os 1
c x
c x
t c x x k
t c x x
       
 
       
b.    
2
1
2 1 02
2 2 1 2 1 0 2 2 2 0
2 2 2 1 1
x
x x x x x
x x
x x

   
           
    
c.
2
2
2 2
2 2 3
03 0 3 3 2 1 1
3 3 30 381
30 81 030 0 3 3 2 3 1
27
x
x
x x
x
tt t x x
t
t tt x x
tt


 

           
        
              
d.
2
2 2
1
1 1
2
05 0 0
5 5 24 1 025
24 25 024 0
25
x
x x
tt t
t
t tt
tt

 
    
         
        
2
1 2 2 2
5 5 1 2 1 1x
x x x
         
e.
1
2 1 1 1
2
03 0 0
3 3 12 3.3 3 12 0 327
12 27 012 0
9
x
x x x x
tt t
t
t tt
tt

   
    
           
        
1
1 2
3 3 1 1 0
1 2 13 3
x
x
x x
x x


     
        
f.    2 2 2 2 2
2
2
1 4 1 1 1
1
2.125
5 2.5 123 0 5 123 0 5 123 5 2.125 0
5
x x x x x
x
    

          
1. Dạng 2.
     
     
( ) ( )( )2 2
( ) ( ) ( )3 2 3
. . 0
. . 0
f x f xf x
f x f x f x
m a n a b p b
m a n a b p b
   


  
a.
2 2 2
1 1 1
2.4 6 9x x x  
  b. 6.4 13.6 6.9 0x x x
  
c. 3.16 2.81 5.36x x x
  d.
1 1 1
2.4 6 3.9x x x
 
GIẢI
a.
2 1
2 21 1
2 2 2
2 1
1 1 1 2
3
2
3
1 0
29 6
2.4 6 9 2 0 1 log 2
4 4
3
2
2
x
x x
x
x x x
x

 

  

     
    
            
     
 
 

Trang 6
2
3 3
2 2
log 2 1 0 log 2 1x x       
b.
3 1
0
2 39 6
6.4 13.6 6.9 0 6 13 6 0
4 4 3 3
1
2 2
x
x x
x x x
x
x
 
   
                         
 
c.
9
1 0
481 36
3.16 2.81 5.36 2. 5 3 0 1
16 16 9 3
2
4 2
x
x x
x x x
x
x
x
 
  
                          
 
d.
1
1 1
1 1 1
1
1
3
1 0
29 6
2.4 6 3.9 3. 2 0
4 4
3 2 3
1
2 3 2
x
x x
x x x
x
x


         
          
       
       
   
a. 8 18 2.27x x x
  b.  3 3
5 9.5 27 5 5 64x x x x
   
c. 3 1
125 50 2x x x
  d.
2 2 2
1 1 1
8 18 2.27x x x  
 
GIẢI
a.
3 2
3
027 18
8 18 2.27 2. 1 0 2
8 8
2 1 0
x
x x
x x x t
t t
  
                  
    
  
  2
0 3
1 1 0
1 2 1 0 2
xt
t x
t t t
  
       
     
c. 3 1
3
3 2
5
0125 50
125 50 2 2 0 2
2 8
2 0
x
x x
x x x t
t t

  
                  
    
  
  2
0 5
1 1 0
1 2 2 0 2
xt
t x
t t t
  
        
     
d.
2
2 2
2 2 2
1
1 1
1 1 1
3 2
3
027 18
8 18 2.27 2 1 0 2
8 8
2 1 0
x
x x
x x x t
t t

 
  
  
                   
    
  

Trang 7
  
2
1
2
2
0 3
1 1 1 0 1
1 2 1 0 2
xt
t x x
t t t
  
            
     
a.
1 1 1
49 35 25x x x
  b.
1 1 1
9.4 5.6 4.9x x x
 
c.
1 1 1
5.25 3.10 24x x x
  d.
1 1 1
6.9 13.6 6.4x x x
 
GIẢI
a.
1
1 1
1 1 1
2
07
49 35 1 50
49 35 25 1 0 5 1 5
25 25 2
21 0
x
x x
x x x
t
t
t
t
t t
                        
     
  
1
7 1 5
5 2
7 1 5 1 1 5 7
log log
5 2 2 5
x
x
x 
     
              
b.
1
1 1 1
21 1 1
2
0
3
9 6 3 9 3 110
9.4 5.6 4.9 4. 5. 9 0 2
4 4 2 4 2 29
4 5 9 0
4
x
x x x
x x x
t
tt
x
tt t

                                                
c.
1
1 1
1 1 1
2
5
25 10 0
5.25 3.10 2.4 5. 3 2 0 2
4 4
5 3 2 0
x
x x
x x x t
t t

                   
    
  
1
1
0
5 2 5 11 0
1 1
2 5 22
5
x
t
t
x
x
t



      
                  

d.
1
1 1
1 1 1
2
3
9 6 0
6.9 13.6 6.4 6. 13. 6 0 2
4 4
6 13 6 0
x
x x
x x x t
t t

                   
    
  
1
1
2
0
3 2 1
1 12 2 3
3
3 9 3 1 19
2
2 4 2 24
x
x
t
x
xt
xt
x
 
              
                    

Trang 8
a. 4.9 12 3.16 0x x x
   b. 3.4 2.6 9x x x
 
c. 2 1
25 10 2x x x
  d. 27 12 2.8x x x
 
GIẢI
2
0
3
09 12 3 3 31
4.9 12 3.16 0 4. 3 0 14
16 16 4 4 43
4 3 0
4
x
x x x
x x x
t
t t
t x
tt t

                                            
b.
2
03
09 6 3
3.4 2.6 9 2. 3 0 1 1 012
4 4 2
32 3 0
x
x x x
x x x
t
t
t xt
tt t
  
                            
           
c. 2 1
2
05
025 10 5
25 10 2 2 0 1 1 012
4 4 2
22 0
x
x x x
x x x
t
t
t xt
tt t

  
                            
           
d.
  2
3
3 0027 12
27 12 2.8 2 0 2
1 2 08 8
2 0
x
x x
x x x
tt
t t t
t t
                                 
3
1 1 0
2
x
t x
 
      
 
2. Dạng 3.  ( ) ( )
. . . 1f x f x
m a n b p a b  
a.    6 35 6 35 12
x x
    b.
7 3 5 7 3 5
7 8
2 2
x x
    
       
   
c.    
osx osx
7 4 3 7 4 3 4
c c
    d.     3
5 21 7 5 21 2
x x
x
   
GIẢI
a.    
 
2
0
6 35 0 0
6 35 6 35 12 6 35
1 12 1 0
12 0 6 35
x
x x
t
t t
t
t t
t tt
                           
   
   
1
2
6 35 6 35 6 35 1 2
2
6 35 6 35 6 35 2
x
x
x
x
x

          
 

      

Trang 9
b.
7 3 5
2
7 3 5
1 00
2
1
7 3 57 7 log 7
2
x
x
xt
t
t x 
 
         
  
        
 
c.    
 
osx
osx osx
2
7 4 3 0 0
7 4 3 7 4 3 4
1 4 1 0
4 0
c
c c t t
t t
t
t

   
      
     

   
   
osx 1
osx osx
0
7 4 3 2 3 2 3 osx=-1 x= +k2
2 3
7 4 3 2 3 2 3 osx=1 x=k22 3
c
c c
t
c
t
ct
 

       
   
           
Do :    
2 2
7 4 3 2 3 2 3; 7 4 3 2 3 2 3         
d.     3 5 21 5 21
5 21 7 5 21 2 7. 8
2 2
x x
x x
x
    
            
   
5 21
2 2
5 21
105 21 020
12 log 7
5 2177 8 1 0 7
2
x
x
x
t x
t
t x
tt t

 
                                   
 
a.    
sin sin
5 2 6 5 2 6 2
x x
    b.    7 48 7 48 14
x x
   
c.    3 8 3 8 14
x x
    d.       2 3 7 4 3 2 3 4 2 3
x x
     
GIẢI
a.    
   
sin sinx
2
sin sin
2
5 2 6 0
2 3 0
5 2 6 5 2 6 2
1
2 0 2 1 0
x
x x t
t
t t tt
                  
      
 
sinx
2 3 1 sinx=0 x=k    
b.    
 
2
7 48 0 0
7 48 7 48 14
1 14 1 0
14 0
x
x x t t
t t
t
t

   
      
     


Trang 10
   
 
1
7 48 7 48 7 48 1 2
7 48 2
7 48 7 48 7 48 1 2
2
x
x
x
x
t
xt x

            
  
        
c.    
 
2
3 8 0 0 7 48
3 8 3 8 14
1 14 1 0 7 4814 0
x
x x t t t
t t tt
t

     
        
       

 
 
   
   
   
   
2 2
2
2
2 2
2 1 2 33 8 7 48 7 4 3 3 2 2 2 3
3 8 7 48 3 2 2 2 3 2 1 2 3
x
x x
x x x
                
    
                 
   
   
 
 
2
2 1
2
2 1
2 1 2 3 2log 2 3
2log 2 32 1 2 3
x
x
x
x



      
        
d.       
 
 
 
2
2 3 0
2 3 7 4 3 2 3 4 2 3
2 3
4 2 3 0
x
x x
t
t
t
   


       

   
     
 
   
2 2
2 2
0 1 2 3 1 0
24 2 3 2 3 0 2 3 2 3 2 3
x
x
t t x
xt t t
                       
a.   
2 2
2 1 2 1 4
2 3 2 3
2 3
x x x x   
   

b.    3 2 2 2 2 1 2 1
x x
    
c.    2 1 2 1 2 2 0
x x
     d.     3
3 5 16 3 5 2
x x
x
   
GIẢI
a.    
 
 
 
2
2 2
2 1
2 1 2 1
2
2 3 0
4
2 3 2 3 1
4 2 3 02 3
2 3
x x
x x x x
t
t
t
 
   

  

     
    

. Do :  
2
2 1
2 3
x x 
 =
     
 
2
2
2 2
1
0
1
2 3
2 3 4 2 3 1 0
2 3
t
t
t
t t

 
     
      


Trang 11
 
   
2
2
2 1
2
222 1 2
1
2 3 1 12 1 0
1 2
2 1 02 1 2
2 3 2 3 1 2
x x
x x
x
xx x
x
x xx x
x
 
 

       
       
            
b.         
2
3 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1
xx x x
          
 
 
 2
0
2 1 0
1 2 1 1 2 1
2 2 1 0 1 2
x
x
t
t
t x
t t t
              
       
c.    
 
2
2 1 0 0
2 1 2 1 2 2 0
1 2 2 1 02 2 0
x
x x
t t
t tt
t
     
       
     

   2
2 1
0
2 2 1 2 log 2
2 0
x
t
t x
t 

       
 
3. Dạng 4.  
( ) ( )2 ( ) 2 ( )
. . . . 0
f x g xf x g x
m a n a b p b

  
a. 2 4 4
3 8.3 9.9 0x x x x  
   b.
2 2
2 1 2 2
2 9.2 2 0x x x x  
  
c.
4 4
1
8.3 9 9x x x x 
  d.
1
4 3.2 4x x x x 
 
a.
2 3 3 1 4
2 5.2 2 0x x x x    
   b. 2 3 3
3 2.2 4 0x x x x  
  
GIẢI
a.
2 4 4
3 8.3 9.9 0x x x x  
   . Chia hai vế phương trình cho : 4 2 4
9 3 0x x 
  .
Khi đó phương trình trở thành :
   
 
 
4
2 4 4 4 2
2
0
3 0
3 8.3 9 0 3 31
8 9 0 9
x x
x x x x x x
t
t
t
t t t
 
     

  
        
    
2 2
2 2
4 2 2 4 5
4 4 4 5 0
x x
x x x x x
x x x x x
  
            
      
b.
2 2 2 2
2 1 2 2 2 2
2 9.2 2 0 2.2 9.2 4.2x x x x x x x x   
      .
Ta chia hai vế phương trình cho : 2
2 0x
 . PT trở thành :

Trang 12
 
2
2 22
2
0
2 0 1
2.2 9.2 4 0
22 9 4 0
4
x x
x x x x
t
t
t
t t
t

 

              
 
2
2
1 2 2
2 2
2
1
2 2 1 1 0 1
2
22 2 0
2 4 2
x x
x x
x x x x x
xx x x x
 


                       
c.
4 4 4 4
1 2 2
8.3 9 9 8.3 9.3 3x x x x x x x x  
     .
Ta chia hai vế phương trình cho : 2
3 0x
 .
Phương trình khi đó trở thành :
 
4
44 42 2 4
2
1
0
3 0 1 0
8.3 9.3 1 0 3 3 2
19 8 1 0
9
9
x x
x xx x x x
t
t t
x x
t t
t

  


     
                 

4
4
2
0
0
2 21
2 0
2
u
u x
x xu
u u
u

   
       
    
d. 1 2 2
4 3.2 4 2 3.2 4.2x x x x x x x x  
     .
Chia hai vế phương trình cho : 2
2 0x
 . PT trở thành :
 2
2
0
2 0
2 3.2 4 0 1 0
3 4 0
4
x x
x x x x
t
t
t
t t
t

 

   
         
    
2
2
0
0
2 4 2 2 2 2 41
2 0
2
x x
u
u x
x x u x xu
u u
u


   
               
    
5. Dạng hỗn hợp Mũ-Logrit :
 Chú ý sử dụng công thức : log log loga c cb b a
a b a b  
a. 53 log
5 25x
x
 b. 9log 2
9. x
x x
c. 2 2 2log 9 log log 32
.3 x
x x x  d.
 3 2
3 log log
33
100. 10
x x
x


GIẢI

Trang 13
a.  5
5
3 log 23
3 2 2
log
0
0
5 25 5 5 : 05
5 525
5
x
x
x
x
x x x do x
xx



        
 

b. 9log 2
9. x
x x  Lấy log rit cơ số 9 hai vế , ta có phương trình :
   
2 2
99 9 9
0 0 0
9 0
log 11 log 2log 0 log 1 0
x x x
x
xx x x
    
       
       
c. 2 2 2log 9 log log 32
.3 x
x x x  . Sử dụng công thức : log logc cb a
a b . Phương trình biến đổi thành :
 
2
2 2 2 2 2 2
2
log
log log log log log log2 2 2
log 2
3 0
9 .3 3 0 3 3 1 0 3 1
3 1 0
x
x x x x x x
x
x x x
x
 
           
  
Đặt : 2
2log 2 4t t
t x x x     . Phương trình :
2log 2 3 1
3 1 3 4 1 1 0
4 4
t t
x t t
x
   
            
   
. Xét :
3 1 3 3 1 1
( ) 1 '( ) ln ln 0
4 4 4 4 4 4
t t t t
f t f t t R
           
                   
           
.
Chứng tỏ hàm số f(t) là một hàm số nghịch biến : Do f(1)=0 cho nên :
- Khi x>1 : f(x) <f(1)=0 : Phương trình vô nghiệm
- Khi x<1 : f(x)>f(1)=0 : Phương trình vô nghiệm .
Vậy với t=1 thì phương trình có nghiệm duy nhất : 2log 1 2x x    .
d.
 3 2
3 log log
33
100. 10
x x
x

  . Lấy log hai vế , phương trình trở thành :
 
 
3 2
3 log log 333
4 2
log
2 1
100. 10 3 log log log 2 0 1
3 3
2 7
3 0
3 3
x x
t x
x x x x x
t t


 
 
         
  
   

7
3
7
2 3
2
0 1
log
107
0 1 log
3
101
7
log7
3
9
x
t x
x
x x
xt
x
t


 
   
 
 
        
      
  
 
a. log9 log
9 6x
x   b. 2 2 2log log 3 3log
3 6x x
x 
c.
2
2 2 2log 2 log 6 log 4
4 2.3x x
x  d.    2
lg 100lg 10 lg
4 6 2.3
xx x
 
GIẢI

Trang 14
a.
1
log9 log 2
log log log 2log
0 1
0 1 0 1 0 1
9 6 10 101
log9 9 6 9 3 3 3
2
x
x x x x
x
x x x
x x
x
         
           
      
b.
2
2 2 2 2 2 2 2 2
log
log log 3 3log log log 3log log 3log
3
3 1
3 6 3 3 6 2.3 6
6 2
x
x x x x x x x
x
 
         
 
1
72
1
log
2
2 1
72
1
log log 2
2
x x   
c.    2
2 22 2 2 2 2 2 22 1 log 2 2loglog 2 log 6 log 4 log 2log log 2log
4 2.3 2 6 2.3 4.2 6 18.3
x xx x x x x x
x
 
       
2
2 2 2 2 2
log
2log log 2log log 2log
2
0 3
0
4.2 6 18.3 26 3
4 18.
4 2 18 4 0
x
x x x x x
x
t
t t
   
             
     
      
2log 2
2
0
1
3 4 3 10
log 22
2 9 2 4
4
9
x
t
t
x x
t



                  
    
 

d.    2
lg 100lg 10 lg 1 lg lg 2 2lg 2lg lg 2lg
4 6 2.3 4 6 2.3 4.2 6 18.3
xx x x x x x x x 
        .
Chia hai vế cho : 2lg
2 0x

2
lg
lg 2lg log 2
2
2
0
3 106 3 3 4 3 10
4 18. log 22 2
4 2 2 9 2 4
418 4 0
9
x
x x x
t
t t
x x
t t t


                                    
        
     

a.
   2 2
3 32log 16 log 16 1
2 2 24
x x  
  b.  
2
2 21 log 2log
2 224
x x
x

 
c.
2
lg 3lg 4,5 2lg
10x x x
x   
 d.  
  11
loglog 1
1 2xx
xx
x x  
  
GIẢI
a.
   
 
 
2
32 2 2
3 3 3
log 16
2log 16 log 16 1 log 16 2
2
0
2 0
2 2 24 2 26
2 24 0 4
x
x x x
t
t
t
t t t

   

  
       
    
   2 2 2 2
3log 16 2 16 3 9 25 5 : 0x x x x do x           
b.    
 
 2
22 2
2
2 22 2
log
2log1 log log2log log
2
2 0
2 224 2.2 224 2
2 224 0
x
xx xx x t
x
t t

  
      
  

Trang 15
 
 
2
2
2
2log 24
2
224
0 1
log 2 2
14 2 2 log 4 4
log 2
2 416 2
x
t
x x
t x
x
xt

 
                  
c.
2
lg 3lg 4,5 2lg
10x x x
x   
  Lấy lg hai vế
   
2
3 10
lg 3lg 4,5 2 2
3 10
2
1lg 0
3 10
lg 2lg lg lg 3lg 4,5 2 0 lg 10
2
3 10 10lg
2
x x
x
xx
x x x x x x
xx

 


  
 
            
 
 
  
d.  
       1 1 1 11
log log log loglog 1
1 2 1 1 2 1 1x x x xx
x x x xx
x x x x x    
          
1
1
0 1 1 1 2 1 2
log 1 1 0 1
2
1 1 2 2
log 1 1 0 1
x
x
x x x
x x x
x
x x x
x x x


           
    
           
       
   
        
a. 2 2log log 3
27 30x
x  b.  
 1
1
log 2 1
log 5 3
0,12
3
x
x
x
x



 
   
 
GIẢI
a.
  
2
2 2 2 2
log
log log 3 3log log
23
03 0
27 30 3 3 30 0
3 3 10 030 0
x
x x x
tt
x
t t tt t
   
        
       
2log
23 3 3 log 1 2x
t x x       
b.  
 1
1
log 2 1 2 2
log 5 3 12 3 3 5 5 3 5
0,12 0,12 ;
3 100 25 5 33 3
x
x
x
x



     
                   
Nên phương trình trở thành :
 
   
 
1 1 1
1
log 1 2log log 2 1
log
1 1
5 3 5 5
0,12 2log log 2 1
3 3 3
x x x
x
x x x
x
x xx x
  

  
 
     
                 
 
3 22
1 12
3 2
2
0 1 1
1 21
2 1
0 2 11
log log 2 1
1 1 2
1 0 2 12 1
x x
x
x
x
x xx
x
x x x
x xx
x
 
   
         
               

Trang 16
 
 
13 2
1
23 2
1 2
1;2
( ) 2 1 (1) 0
1;2
2
( ) 2 1 (2) 11 0
x
T
f x x x f
T T
x
T
f x x x f
  
 
    
       
      
III. PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH
a. 1 1
2.3 6.3 3 9x x x 
   b. 0,5 0,5 2 1
4 3 3 2x x x x  
  
c. 4 8 2 5
23 4.3 28 2log 2x x 
   d. 2 2
5 7 35.5 36.7 0x x x x
   
GIẢI
a. 1 1 1 9
2.3 6.3 3 9 2.3.3 6. .3 3 9 3 3 1
3 3
x x x x x x x
x 
           
b.
2
0,5 0,5 2 1 2 21 1 3 4
4 3 3 2 2 .2 3.3 .3 .3
2 23 3
x
x x x x x x x x x     
           
   
3
4
9 4 3 4 4
log
4.3 43 3 3
x x
x
        
             
        
c.  
2 4
2 44 8 2 5 2 4
2 2
3 0
3 4.3 28 2log 2 3 4.3.3 28 1
12 27 0
x
xx x x
t
t t

  
  
        
  
2 4
2 4
0 3
3 3 2 4 1
3 2
2 4 23 9 19
x
x
t
x x
t
x
xt


                   
d. 2 2 2
25
7
25 35 35
5 7 35.5 36.7 0 35.7 34.5 log
7 34 34
x
x x x x x x
x
   
            
   
a. 3 2 3 42 1 2 1
.2 2 .2 2
x xx x
x x
    
   b.
2 2 2
3 2 6 5 2 3 7
4 4 4 1x x x x x x     
  
c. 8.3 3.2 24 6x x x
   d. 1
12.3 3.15 5 20x x x
  
GIẢI
a.
       3 2 3 4 3 4 3 2 3 22 1 2 1 2 1 1 2 1 2 2
.2 2 .2 2 .2 2 .2 2 2 4 1 2 4 1
x x x x xx x x x x
x x x x x x
             
           
  
2
3 22 1
3 2 1
1 1 1
4 1 0
2 24 1 2 2 0 2
2 2 0 3 2 1 3 3 3
x x
x x
x xx x
x
x x x x x
  
  
                                 
b.
2 2 2
3 2 6 5 2 3 7
4 4 4 1x x x x x x     
   . Vì :
   2 2 2 2
3 2 6 5 2 3 7 2 3 7x x x x x x a b x x             . Cho nên phương trình trở thành :

Trang 17
      
2 2 2
3 2 6 5 2 3 7
4 4 4 1 4 4 4 1 4 4 4 1 0 4 1 1 4 0x x x x x x a b a b a a b b b a       
                
2
2
4 1 3 2 0 1 2
1 54 1 6 5 0
b
a
x x x x
x xx x
       
              
c.
          8.3 3.2 24 6 8.3 24 3.2 6 0 8 3 3 2 3 3 0 3 3 8 2 0x x x x x x x x x x x
                
3
3 3 1
32 8 2
x
x
x
x
  
     
d.        1 1
12.3 3.15 5 20 12.3 20 3.15 5 0 4 3.3 5 5 3.3 5 0x x x x x x x x x 
            
   3
5 5
3.3 5 4 5 0 3.3 5 0 3 log
3 3
x x x x
x
 
            
 
a. 3
8 .2 2 0x x
x x
    b.    .2 2 2 1 3x x
x x x   
c.  22 2
11
4 2 2 1
xx x x  
   d.
2 2
2
2 4.2 2 4 0x x x x x  
   
GIẢI
a.      3 3 1
8 .2 2 0 8 2 .2 0 8 1 2 1 0
2
x x x x x
x
x x x x x   
              
 
  8 8 8
2 1 0 0 ( ) 2 0
2 2
x x
x x
x x f x
x
 
           
 
.
Ta thấy : 2
8
'( ) 2 .ln 2 0 ( )x
f x x R f x
x
      là một hàm số đồng biến .
Mặt khác : f(2)=0 . Suy ra :
- Khi x>2 thì f(x)>f(2)=0 . Phương trình vô nghiệm
- Khi x<2 , thì f(x)<f(2)=0 . Phương trình vô nghiệm
Vậy x=2 là nghiệm duy nhất của phương trình .
b.             2
.2 2 2 1 3 .2 2.2 2 3 0 2 2 1 2 0x x x x x
x x x x x x x x x               
  
2 0 2 2
2 2 1 0
(0) 0( ) 2 1 0 '( ) 2 ln 2 1 0
x
x x
x x x
x x
ff x x f x
     
                  
- Do hàm số đồng biến , do vậy :
+. Khi x>0 thì f(x)>f(0)=0 . Phương trình vô nghiệm
+ Khi x<0 thì f(x)<f(0)=0 . Phương trình vô nghiệm . Vậy x=0 là nghiệm duy nhất của
f(x)=0 . Tóm lại phương trình đã cho có hai nghiệm là x=2 và x=0 .
c.  
22 2 2 2 2
11 2 2 1 2 1
4 2 2 1 2 2 2 1
xx x x x x x x x     
       .
Đặt : 2 2 2
2 2 ; 1 2 1a x x b x a b x x         . Khi đó phương trình có dạng :
      
2 1 0
2 2 2 1 2 1 2 1 2 0 2 1 1 2 0
02 1
a
a b a b a b a a b
b
a
b

  
                 

Trang 18
 2
2
2 0 0 1
0; 1
1 11 0
x x x x
x x
x xx
     
            
a.
2 2
5 6 1 6 5
2 2 2,2 1x x x x   
   b.  22 2
12 1 6 1
4 1 2 2
xx x x x   
  
c.
2 2
3 2 6 2 5
2 3 3 2x x x x x x    
   d. 2 1 1 2
2 2 2 7 7 7x x x x x x   
    
GIẢI
a.
2 2
5 6 1 6 5 2 2
2 2 2.2 1 6 5 ; 1 5 5x x x x
a x b x a b x x   
             .
Nên phương trình có dạng :
   1 2.2
2.2 2 2.2 1 2 1 2.2 1 0 2 1 1 0
2 2
a
a b b a b a b
b b
   
              
   
2
1 2
2 1 0 1 0 1
1 0 2 32 1 5 6 0
b
a b
b x x
a b x xx x 
       
               
b.  22 2 2 2 212 1 6 1 2 4 2 2 1 6 1 2 2
4 1 2 2 2 1 2 2 . 2 1; 6 1xx x x x x x x x x x
a x x b x x         
            
2
2 4 2a b x x     . Vậy phương trình có dạng :
      2 1 2 2 2 2 2 1 0 2 1 2 1 0a b a b a b a b b a 
            
2
11 02 1 0
0 6 1 0 3 2 22 1
a
b
xxa
b x x x
     
             
c.
2 2 2 2 2 2
3 2 6 2 5 2 5 2 5 2 5 2 2 81 4
2 3 3 2 8.2 2 .3 3 0 9.2 .3 2 3
3 3
x x x x x x x x x x x x x x x x x x             
           
Lấy log rít cơ số 3 hai vế , ta chuyển phương trình về dạng :
  32
3 3
log 2 4
2 log 2 2log 2 8 0
2
x
x x
x
 
        
d. 2 1 1 2 4.2 2 2.2 49.7 7.7 7
2 2 2 7 7 7
4 49
x x x x x x
x x x x x x       
      
7
2
9 57 7 9.49 343 343
.2 .7 log
4 49 2 4.57 228 228
x
x x
x
   
         
   
IV. PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
1. Dạng 1 : ( ) ( ) ( )
. . .f x f x f x
m a n b p c 
a. 6 8 10x x x
  b.    5 2 6 5 2 6 10
x x
x
   

Trang 19
c.    2 3 2 3 2
x x
x
    d.
1 1 1
3 2 2 6
3 2 6
x x x
x x
x
     
           
     
GIẢI
a.
6 8 6 8 6 6 8 8
6 8 10 1 ( ) 1 '( ) ln .ln 0
10 10 10 10 10 10 10 10
x x x x x x
x x x
f x f x
               
                           
               
Chứng tỏ hàm số f(x) là nghịch biến . Mặt khác , ta có f(2)=0 .
- Khi x>2 , thì f(x)<f(2)=0 . Phương trình vô nghiệm
- Khi x<2 , thì f(x)>f(2)=0 . Phương trình vô nghiệm
- Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là : x=2 .
b.     5 2 6 5 2 6
5 2 6 5 2 6 10 1
10 10
x x
x x
x
    
         
   
   
5 2 6 5 2 6
( ) 1 0
10 10
x x
f x
    
       
   
   
5 2 6 5 2 6 5 2 6 5 2 6
'( ) .ln .ln 0
10 10 10 10
x x
f x
          
          
       
       
Chứng tỏ hàm f(x) luôn đồng biến :Mặt khác : f(1)=0
- Khi x>1 , thì f(x)>f(1)=0 . Phương trình vô nghiệm
- Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là : x=1
c.     2 3 2 3 2 3 2 3
2 3 2 3 2 1 ( ) 1 0
2 2 2 2
x x x x
x x
x
f x
          
                         
       
2 3 2 3 2 3 2 3
'( ) ln ln 0
2 2 2 2
x x
f x
          
                 
       
Chứng tỏ hàm f(x) luôn đồng biến :Mặt khác : f(1)=0
d.
1 1 1 1 1 1
3 2 2 6 3 2 2 6
3 2 6 3 2 6
x x x x x x
x x x x
x
           
                        
           
( ) 3 2 2 '( ) 3 ln3 2 ln 2 0 ; (1) 7x x x x
VT f x f x f        
1 1 1
( ) 6
3 2 6
x x x
VP g x
     
         
     
. Là một hàm số nghịch biến . Mặt khác :g(1)=7
Cho nên : Khi x>1 f(x)>f(1)=7: VT>7 , còn VP<g(1)=7 . Phương trình vô nghiệm
Khi x<1 : f(x)<f(1)=7 . Nhưng VP> g(1)=7 . Phương trình vô nghiệm
Chứng tỏ : x=1 là nghiệm duy nhất của phương trình .

Trang 20
a. 4 3 1x x
  b. 2 3 5 10x x x x
  
c. 3 4 12 13x x x x
   d. 3 5 6 2x x
x  
GIẢI
a.
1 3 1 3
4 3 1 1 3 4 1 ( ) 1 0
4 4 4 4
x x x x
x x x x
f x
       
                   
       
1 1 3 3
'( ) ln ln 0
4 4 4 4
x x
f x
       
          
       
.
Chứng tỏ f(x) luôn nghịch biến .
Mặt khác : f(1)=0 . Cho nên
b.
2 3 5 2 3 5
2 3 5 10 1 ( ) 1 0
10 10 10 10 10 10
x x x x x x
x x x x
f x
           
                       
           
2 2 3 3 5 5
'( ) ln ln ln 0
10 10 10 10 10 10
x x x
f x
           
               
           
c.
3 4 12 3 4 12
3 4 12 13 1 ( ) 1 0
13 13 13 13 13 13
x x x x x x
x x x x
f x
           
                       
           
3 3 4 4 12 12
'( ) ln ln ln 0
13 13 13 13 13 13
x x x
f x
           
               
           
d. 3 5 6 2 ( ) 3 5 6 2x x x x
x f x x        .
Rõ ràng phương trình có hai nghiệm là x-0 và x=1 . Ta có :
: 2 2
'( ) 3 .ln3 2 ln 2 6
''( ) 3 (ln3) 2 (ln 2) 0
lim ( ) ; lim ( ) 6
x x
x x
x x
f x
f x
f x f x
 
  
  
   
Suy ra f'(x) là một hàm số liên tục , đồng biến và nhận cả giá trị dương lẫn giá trị âm trên R ,
Nên phương trình f'(x)=0 có nghiệm duy nhất 0x .

Trang 21
Ta lập bảng biến thiên sẽ suy ra hai nghiệm của phương trình , sẽ không còn nghiệm nào khác .
2. Dạng 2. 2 ( ) ( )
( ). ( ). ( ) 0f x f x
A x a B x a C x   .
a.  2 1 1
3 3 3 7 2 0x x
x x 
     b.  5 5
25 2.5 2 3 2 0x x
x x 
    
c.  9 2 2 .3 2 5 0x x
x x     d.  25 2 3 .5 2 7 0x x
x x    
GIẢI
a.  2 1 1
3 3 3 7 2 0x x
x x 
     . Ta nhân hai vế phương trình với 3 . Ta có :
   
   
2
2
0
3 0 3 1
3 3 3 7 3 2 0 6 3
3 7 3 2 0 ( ) 3 3 6 0
1
x x
x x
x
t
t
x x t x
t x t x f x x
t

     
           
           
0
'( ) 3 ln3 3 0x
x
f x

 
  
.
Chứng tỏ f(x) luôn đồng biến .
- Kết hợp với x=0 . Chứng tỏ phương trình đã cho có đúng hai nghiệm là : x=0 và x=1 .
b.  
 
5
5 5
2
0
5 0
25 2.5 2 3 2 0 1
2 2 3 2 0
2 3
x
x x
t
t
x x t
t x t x
t x

 

   
         
       
5 5 5
5 2 3 ( ) 5 2 3 0 '( ) 5 ln5 2 0x x x
x f x x f x  
            
c.  
 2
0
3 0
9 2 2 .3 2 5 0 3 5 21
2 2 2 5 0
5 2
x
x x x
t
t
x x xt
t x t x
t x

   
           
       
( ) 3 2 5 0 '( ) 3 ln3 2 0x x
f x x f x        

Trang 22
d.  
 2
0
5 0
25 2 3 .5 2 7 0 5 7 21
2 3 2 7 0
7 2
x
x x x
t
t
x x xt
t x t x
t x

   
            
       
( ) 5 2 7 0 '( ) 5 ln3 2 0x x
f x x f x        
a.  2 3 2
3 3 10 .3 3 0x x
x x 
     b.    2
2 3 2 1 2 0x x
x x    
c.  3.4 3 10 .2 3 0x x
x x     d.    2 2log log
2
2 2 . 2 2 1
x x
x x    
GIẢI
a.    
 
 
2
2 22 3 2 2
2
3 0
3 3 10 .3 3 0 3.3 3 10 .3 3 0
3 3 10 3 0
x
xx x x
t
x x x x
t x t x

  
  
            
    
2 1
2
22
0
13 31
'( ) 3 ln3 1 0
( ) 3 3 03 3 3
3
x
x
xx
t
x
f xt
f x xx
t x
 



                   
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x=1 và x=2.
b.    2
2 3 2 1 2 0x x
x x     . Ta coi đây là một phương trình bậc hai ẩn là x .
Khi đó :  
2 1 2 ( ) 2 1 0
2 1 '( ) 2 ln 2 1 0
2 2
x x
x xx f x x
f x
x x
      
         
  
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x=1 và x=2.

Trang 23
 
 
1
2
0
2 0 2 31
3.4 3 10 .2 3 0
33 3 10 . 3 0 2 3
3
x x
x x
x
t
t
x x t
t x t x x
t x


                        
2log 3
'( ) 2 ln 2 1 0
( ) 2 3 0
x
x
x
f x
f x x
 
    
   
Vậy chứng tỏ phương trình đã cho có hai nghiệm : x=1 và 2log 3x   .
d.    2 2log log
2
2 2 . 2 2 1
x x
x x     .
Vì :      
 
2 2 2
2
2
log log log
log
log
2 2 . 2 2 2 2 2
2 2
x x x
x
x
x
x      

Vậy : phương trình đã cho trở thành :
 
   
 
   
2
2
2
log log
2
2 2 2 2 2 log
22 2 2
2 2 0 2 2 1 log 00 1
1 0 log 2 2 2log
2 21 0
x x
x
t xt t
x t x t x x xt x xt x
t
         
                    
2
1
1
2 log 0
x
x
x

  

3. Dạng 3.
( ) ( )
( ) ( )f x g x
a a f x g x  
a.  
2 21
2 2 1x x x
x 
   b.
2
1 2 1 2
3 3 4 .3x x x
x  
 
c.
2 2
4 2 8 4 2
5 5 4 2x x x
x x   
    d.  2 2 2 2
sin sin os os
2 3 2 3 2cos2x x c x c x
x   
GIẢI
a.    
2 2 21 2
2 2 1 . 1; 1x x x
x a x b x x b a x 
           .
Phương trình đã cho có dạng :
2 2 2 2a b a b
b a a b        .
Ta xét một hàm số : ( ) 2 , '( ) 2 ln 2 1 0t t
f t t t R f t       . Chứng tỏ hàm f(t) luôn đồng biến .
Vậy đẻ f(a)=f(b) chỉ xảy ra khi và chỉ khi : a=b , hay b-a=0  
2
1 0 1x x     .
b.
2 2 2
1 2 1 2 2 1 2 1
3 3 4 .3 3 3 4x x x x x x x
x x      
     
Vì :    2 2
2 1 2 1 4 4x x x x x b a x         . Phương trình đã cho có dạng :
3 3 3 3b a a b
a b a b       

Trang 24
Ta xét một hàm số : ( ) 3 , '( ) 3 ln3 1 0t t
Vậy đẻ f(a)=f(b) chỉ xảy ra khi và chỉ khi : a=b , hay b-a=0 4 0 0 0x x     .
c.    
2 2
4 2 2 8 4 2 2 2
5 5 4 2 2 8 4 4 2x x x x
x x x x x x   
         
   
2 2
4 2 2 2 8 4 2
5 4 2 5 2 8 4x x x x
x x x x   
       
Ta xét một hàm số : ( ) 5 , '( ) 5 ln5 1 0t t
Vậy đẻ f(a)=f(b) chỉ xảy ra khi và chỉ khi : a=b , hay b-a=0
2
4 2 0 2 2 2 2x x x x          .
d.    2 2 2 2 2 2 2 2
sin sin os os sin sin 2 os os 2
2 3 2 3 2cos2 2 3 2sin 2 3 2cosx x c x c x x x c x c x
x x x          .
Ta xét một hàm số : ( ) 2 3 2 , '( ) 2 ln2 3 ln3 2 0t t t t
f t t t R f t         . Chứng tỏ hàm f(t) luôn
đồng biến . Vậy đẻ f(a)=f(b) chỉ xảy ra khi và chỉ khi : a=b , hay b-a=0
 os2x=0 2x= ;
2 4 2
c k x k k Z
  
     
a. 2 5 1 1 1
2 5 1
x x
e e
x x
 
  
 
b.
2
2 2
1 1 2
1 1
2 2
2
x x
x x
x
 
  
c.
2
3 1 2 2
2 2 3 3 0x x x
x x x  
      d.
2
3 1 2 2
2 2 4 3 0x x x
x x  
    
GIẢI
a. 2 5 1
2
1 1 1 1
( ) ; 0 '( ) 0
2 5 1
x x t t
e e f t e t f t e
x x t t
 
          
 
.
Chứng tỏ hàm số f(t) đồng biến . Để f(
3
2 5 ) ( 1) 2 5 1
4
x
x f x x x
x

         
b.
2
2 2
1 1 2 2 2
2 2 2
1 1 1 2 1 2 2 1 1
2 2 ; 1 2
2 2
x x
x x
x x x x
x x x x x x
 
       
             
    
.
Cho nên phương trình đã cho có dạng :
 
1 1 1
2 2 2 . 2 .
2 2 2
a b a b
b a a b       .
Xét một hàm số đặc trưng :
1 1
( ) 2 ; '( ) 2.ln2 0
2 2
t t
f t t f t      . Chứng tỏ hàm f(t) luôn đồng
biến . Vậy để f(a)=f(b) , chỉ xảy ra khi và chỉ khi : a=b , hay b-a=0
1 1
0 2
2
x
x
 
    
 
.
c.
2 2
3 1 2 2 3 1 2 2
2 2 3 3 0 2 3 1 2 2x x x x x x
x x x x x x     
            
- Bằng cách xét như các bài trên ta có kết quả :

Trang 25
2 2 3 3
3 1 2 3 3 3
3 6 9 3
x x
x x x x x x x
x x x
  
             
     
d.
2 2
3 1 2 2 3 1 2 2
2 2 4 3 0 2 3 1 2 2x x x x x x
x x x x x     
            .
Tương tự . Kết quả của bài là xảy ra dấu bằng : 2 1
4 3 0
3
x
x x
x

     
a.
2 2
os sin
2 2 os2xc x x
c  b.
2 2
os sin
os2xc x x
e e c 
c.      2 3 3 2 5
x x x
    d.    0 0
os36 os72 3.2
x x x
c c 
 
GIẢI :
a.
2 2 2 2
os sin os 2 sin 2
2 2 os2x 2 os 2 sinc x x c x x
c c x x      . Do :  2 2
0 sin , os 1 0;1x c x t    .
Ta xét :    ( ) 2 0;1 '( ) 2 ln2 1 0 0;1t t
f t t t f t t         .
Chứng tỏ f(t) luôn đồng biến . Vậy để  2 2
(sin ) osf x f c x , thì chỉ xảy ra khi :
2 2
sin os os2x=0 x=
4 2
x c x c k
 
     .
b. a.
2 2 2 2
os sin os 2 sin 2
os2x os sinc x x c x x
e e c e c x e x      . Do :  2 2
0 sin , os 1 0;1x c x t    .
Ta xét :    ( ) 0;1 '( ) 1 0 0;1t t
f t e t t f t e t         .
Chứng tỏ f(t) luôn đồng biến . Vậy để  2 2
(sin ) osf x f c x , thì chỉ xảy ra khi :
2 2
sin os os2x=0 x=
4 2
x c x c k
 
     .
c.      3 2 3 2 5
x x x
    .
- Ta chứng minh bất đẳng thức sau :
2 0.
2 0
a b a b a b ab a b ab
a b a b a b ab a b ab
         
         
* Khi x>0 thì :      3 2 3 2 5
x x x
    . Vậy phương trình vô nghiệm .
* Khi x<0 thì      3 2 3 2 5
x x x
    . Phương trình vô nghiệm
* Khi x= 0. Phương trình vô nghiệm . Vậy phương trình vô nghiệm .
d.    0 0
os36 os72 3.2
x x x
c c 
 
-Do : 0 0 0 0 0
os72 sin18 ; os36 sin54 sin3.18c c   . Cho nên đặt t= 0
sin18 0 , và dùng công thức
nhân ba ta có : 0 0 2 0 0 3 0 3 2
cos36 sin 54 1 2sin 18 3sin18 4sin 18 4 2 3 1 0t t t         

Trang 26
  2 2 0
0
1 5
0
5 141 4 2 1 0 4 2 1 0 os36
45 1
sin18
4
t
t t t t t c
t
  
             
 
 

Khi đó phương trình có dạng :
5 1 5 1 5 1 5 1
3.2 3
4 4 2 2
x x x x
x
          
                   
       
.
Xét hàm số :
5 1 5 1 5 1 5 1 5 1 5 1
( ) 3 0 '( ) ln ln 0
2 2 2 2 2 2
x x x x
f x f x
                
                             
           
Chứng tỏ hàm số f(x) luôn nghich biến . Mặt khác : f(2)=0
- Khi x<2 , thì f(x) >f(2)=0 . Phương trình vô nghiệm
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x = 2 .
4. Dạng 4. Đánh giá hai vế
a.  
2
4 2 2
3 4 .3 1x x
x 
   b.
2 2
sin os
3 3 2 2 2x c x x x
   
GIẢI
a.  
2
4 2 2
3 4 .3 1x x
x 
  
- Khi x>2 , thì x  
2 2
2 2 4 0 4 2 2
4 4 0 3 3 1 3 4 .3 1x x x
x x x  
           . Bất phương trình
đúng . Vậy : x>2 là nghiệm.
- Khi x<2 thì :  
2 2
2 2 4 0 4 2 2
4 4 0 3 3 1 3 4 .3 0x x x
x x x  
           .
Như vậy : x<2 không là nghiệm của bất phưng trình .
- Khi x=2 , thay trực tiếp vào phương trình , ta thấy xảy ra trường hợp đẳng thức .
Tóm lại : 2x  , là nghiệm của bất phương trình .
* Trên đây là một số bài giải trong phần " Bài tập về phương trình mũ " .
Tuy đã cố gắng , nhưng cũng không sao tránh khỏi những thiếu sót trong phương pháp trình bày
cũng như lời giải . Rất mong được sự đóng góp của tất cả các em học sinh , cũng như các đồng
nghiệp có kinh nghiệm khác , để cho tôi có thể nâng cao được chuyên môn cũng như kinh
nghiệm biên soạn .

Phuong trinh mu t sy

Recommended

Recommended

More Related Content

Viewers also liked

Viewers also liked (18)

Similar to Phuong trinh mu t sy

Similar to Phuong trinh mu t sy (20)

Phuong trinh mu t sy