08 -greda_411___gsu

SVEUČILIŠTE U ZAGREBU
GRAĐEVINSKI FAKULTET Ime i prezime
ZAVOD ZA KONSTRUKCIJE JMBAG
PROGRAM IZ KOLEGIJA BETONSKE I ZIDANE KONSTRUKCIJE 2 87
7. PRORAČUN GREDE POZ 411
PREMA GSN I GSU

25
40
30
15
7. Proračun grede POZ 411 prema GSN i GSU
7.1. Analiza opterećenja
Slika 7.1. Poprečni presjek grede POZ 411
Slika 7.2. Položaj grede POZ 411 u tlocrtu

r2 = 1,29
r2=0,87
r2 = 1,73
r2=3,78r2=-0,85
r2 = -0,08
r2=-0,42r2=1,08r2=-1,43r2=-0,21
r2 = 2,74
r2 = 7,67
r2 = 0,49
r2 = 2,88
r2=0,06
r2 = 1,57
r2=1,28
r2 = 2,00
r2=2,99
r2 = 8,51
r2=36,34r2=11,41
r2 = 5,01
r2=3,70r2=2,03r2=3,21r2=5,08
r2 = 16,32
r2 = 25,52
r2 = 3,86
r2 = 14,59
r2=5,80
r2 = 4,05
r2=3,49
r2 = 7,17
Slika 7.3. Reakcije ploče od stalnog opterećenja [kN/m]
Slika 7.4. Reakcije ploče od mjerodavnog uporabnog opterećenja [kN/m]

385
q
g
Stalno opterećenje na gredu
Vlastita težina donjeg dijela grede 0,3 0,25 25⋅ ⋅ ....................................................1,88 kN/m
Reakcija ploče....................................................................................................... 25,52 kN/m
Ukupno stalno opterećenje............................................................................ kg =27,40 kN/m
Uporabno opterećenje na gredu
Ukupno uporabno opterećenje........................................................................ kq = 7,67 kN/m
7.2. Karakteristične vrijednosti momenata savijanja i poprečnih sila
Slika 7.5. Statički sustav grede POZ 411
– moment savijanja od stalnog opterećenja:
2 2
k
g
27,40 3,85
50,77 kNm
8 8
g L
M
⋅ ⋅
= = =
– moment savijanja od uporabnog opterećenja:
2 2
k
q
7,67 3,85
14,21 kNm
8 8
q L
M
⋅ ⋅
= = =
– karakteristična poprečna sila (reakcija) od stalnog opterećenja:
k
g
27,40 3,85
= = = 52,75 kN/m
2 2
g L
V
⋅ ⋅
– karakteristična poprečna sila (reakcija) od uporabnog opterećenja:
k
q
7,67 3,85
= = =14,76 kN/m
2 2
q L
V
⋅ ⋅

7.3. Proračunske vrijednosti momenta savijanja i poprečne sile (reakcije)
Ed g q1,35 1,5 1,35 50,77 1,5 14,21 89,85 kNmM M M= ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ =
Ed g q1,35 1,5 1,35 52,75 1,5 14,76 93,35 kNV V V= ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ =
7.4. Dimenzioniranje
Materijal:
Beton: C20/25
( ck ck,cubeC f / f valjak/kocka)
cdf – proračunska čvrstoća betona
2 2ck
cd cc
c
20
1 0 13 33 N/mm 1 333 kN/cm
1 5
f
f , , ,
,
α
γ
= ⋅ = ⋅ = =
Čelik: B500B
( yk tk 500 540f / f /= )
ydf – proračunska granica popuštanja čelika
yk 2 2
yd
s
500
434 78 N/mm 43 478 kN/cm
115
f
f , ,
,γ
= = = =
Visina grede: 40h = cm
Zaštitni sloj betona (razred izloženosti XC1): 2 0c ,= cm
Udaljenost do težišta armature: s
1 v
1 4
2 0 0 8 3 5
2 2
,
d c , , ,
φ
φ= + + = + + = cm
Statička visina presjeka: 1 40 3 5 36 5d h d , ,= − = − = cm

7.4.1. Dimenzioniranje uzdužne armature
Polje
Sudjelujuća širina:
0 1,0 1,0 385 385cmL L= ⋅ = ⋅ = – slobodno oslonjena greda
1 2 350 / 2 175cmb b= = = – rasponi polja lijevo i desno od grede iznose 350 cm
1 w 2 175 30 175 380cmb b b b= + + = + + =
00,2 0,2 385 77cmL⋅ = ⋅ =
eff,1 eff,2 1 00,2 0,1 0,2 175 0,1 385 73,5cm 77cmb b b L= = ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ = <
eff eff,1 w eff,2 73,5 30 73,5 177cm < 380cmb b b b b= + + = + + = =
Odabrana sudjelujuća širina je eff 177cm.b =
Bezdimenzijski moment savijanja:
Ed
Ed lim2 2
eff cd
8985
0 029 0 296
177 36 5 1 333
M
, ,
b d f , ,
μ μ= = = < =
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
Za Rd 0 030,μ = očitano:
cε = -1,3 ‰ ξ = 0,061
s1ε =20,0 ‰ ζ =0,978
Potrebna površina armature:
2Ed
s1,req
yd
8985
5 79 cm
0 978 36 5 43 478
M
A ,
d f , , ,ζ
= = =
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
Minimalna armatura za polje:
2
s1,min w0 0013 0 0013 30 36 5 1 42 cmA , b d , , ,= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = → mjerodavno
2ctm
s1,min w
yk
2 2
0 26 0 26 30 36 5 1 25 cm
500
f ,
A , b d , , ,
f
= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =
Maksimalna armatura za polje:
2
s1,max eff0 040 0 040 177 40 283 2 cmA , b h , ,= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

– za betone ≤ C50/60 i f 0 45 15 cm 0 45 36 5 16 43 cmh , d , , ,< ⋅ → < ⋅ = – gdje je fh visina pojasnice
2
s1,max c eff f0 022 0 022 2 5 0 022 2 5 177 15 146 0 cmA , A , , b h , , ,= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = → mjerodavno
Odabrana armatura mora biti veća od potrebne i mora se nalaziti u području između minimalne i
maksimalne armature: maxs1,provs1,mins1, AAA <<
ODABRANO: 2 2
s1,prov s1,req4 ( =6,16 cm ) 5 79 cmA A ,φ14 > =
Ležaj
Bezdimenzijski moment savijanja:
Ed
Ed lim2 2
cd
0 25 8985
0 042 0 296
30 36 5 1 333
M ,
, ,
b d f , ,
μ μ
⋅
= = = < =
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
Za Rd 0 042,μ = očitano:
cε = -1,6 ‰ ξ = 0,074
s1ε =20,0 ‰ ζ =0,973
Potrebna površina armature:
2Ed
s1,req
yd
0 25 8985
1 45 cm
0 973 36 5 43 478
M ,
A ,
d f , , ,ζ
⋅
= = =
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
ODABRANO: 2 2
s1,prov s1,req2 12 ( =2,26 cm ) 1 45 cmA A ,φ > =

7.4.2. Dimenzioniranje poprečne armature
– smanjenje poprečne sile na osloncu:
( ) ( ) ( ) ( )3650230677514027351251351 supEd ,/,,,,,d/bq,g,V +⋅⋅+⋅=+⋅⋅+⋅=Δ
9724Ed ,V =Δ kN
386897243593EdEdEd ,,,VVV '
=−=−= Δ kN
– nosivost grede na poprečnu silu bez poprečne armature:
( ) ( )1 3
Rd,c Rd,c l ck 1 cp w min 1 cp w100
/
V C k f k b d v k b dρ σ σ⎡ ⎤= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ≥ + ⋅ ⋅ ⋅
⎣ ⎦
Rd,c 0 18 1 5 0 12C , / , ,= =
200 200
1 1 1 74 2 0
365
k , ,
d
= + = + = <
( )s 2 14 3 08A ,φ= = cm2
s1
1
w
3 08
0 00281 0 02
30 36 5
A ,
, ,
b d ,
ρ = = = <
⋅ ⋅
cp 0σ =
( )
1 3
Rd,c Rd,c l ck 1 cp w100
/
V C k f k b dρ σ⎡ ⎤= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅
⎣ ⎦
( )
1 3
Rd,c 0 12 1 74 100 0 00281 20 0 300 365 40649 6 N 40 65
/
V , , , , ,⎡ ⎤= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = =
⎣ ⎦
kN
– minimalna vrijednost za Rd,cV je:
3 2 1 2 3 2 1 2
min ck0 035 0 035 1 74 20 0 359/ / / /
v , k f , , ,= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =
( ) ( )Rd,c,min min 1 cp 0 359 0 300 365 39338 8 N 39 34 kNV v k b d , , ,σ= + ⋅ ⋅ ⋅ = + ⋅ ⋅ = =
– maksimalna vrijednost poprečne sile:
Rd,max cw w 1 cd
1
ctg tg
V b z fα ν
Θ Θ
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
+
cw 1 0,α =
[ ] [ ]1 ck0 6 1 250 0 6 1 20 250 0 6 0 92 0 552, f / , / , , ,ν = ⋅ − = ⋅ − = ⋅ =

0 9 0 9 365 328 5 mmz , d , ,= ⋅ = ⋅ =
39 8,Θ = °
Rd,max
1
1 0 300 328 5 0 552 13 33 362573 3 N 362,6 kN
ctg39,8 tg39,8
V , , , , ,= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = =
° + °
– provjera:
kN6362kN3868kN6540 maxRd,
'
EdcRd, ,V,V,V =<=<= → potrebno je proračunati spone
za preuzimanje naprezanja od
poprečnih sila
Proračun poprečne armature:
1 2
sw 2 0 5 1 01 cmA , ,= ⋅ = – pretpostavljaju se dvorezne (m=2) spone
90α = °
39 8,Θ = °
0 9 0 9 36 5 32 9 cmz , d , , ,= ⋅ = ⋅ =
2 2
ywd
500
434 78 N/mm 43 478 kN/cm
115
f , ,
,
= = =
cm35252147843932
3868
011
ctgywd
Ed
sw
l ,,,,
,
,
fz
V
A
s '
=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅= Θ – razmak spona
– maksimalni razmak spona (minimalna poprečna armatura):
a) prema EN 1992-1-1:
ck
w,min
yk
20
0 08 0 08 0 00072
500
f
, , ,
f
ρ = ⋅ = ⋅ =
b) prema hrvatskom nacionalnom dodatku:
ctm
w,min
yd
2 2
0 15 0 15 0 00076
434 78
f ,
, , ,
f ,
ρ
⎛ ⎞
= ⋅ = ⋅ =⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
– odabrati veću vrijednost w,minρ
sw
l max
w,min w
1 01
44 29cm
sin 0 00076 30 0 1 0
,
A ,
s ,
b , , ,ρ α
= = =
⋅ ⋅ ⋅ ⋅

c) prema tablici 5.11. (Betonske konstrukcije 1; Sorić, Kišiček), najveći uzdužni razmak spona:
– za: '
Ed Rd,max69 70 kN 0,3 0 3 362 6 108 78 kNV , V , , ,= < ⋅ = ⋅ =
– slijedi: l max 0 75 0 75 36 5 27 4 cm 30 0cm,s , d , , , ,= ⋅ = ⋅ = <
Mjerodavni maksimalni razmak spona prema uvjetu c) iznosi 27 cm.
ODABRANO: 2cm, =25/8 mφ
Slika 7.6. Skica armiranja grede POZ 411
25
4030
15
2φ8
4φ14
2φ12
vilice φ8/25 cm

25
40
30
15
b = 177eff
7.5. Proračun pukotina i progiba grede
7.5.1. Proračun karakteristika materijala i poprečnog presjeka
Slika 7.7. Poprečni presjek grede sa sudjelujućom širinom
– srednji polumjer presjeka:
c
0
2 2 (30 25 15 177)
16,86 cm 168,6 mm
30 2 25 177 147
A
h
u
⋅ ⋅ ⋅ + ⋅
= = = =
+ ⋅ + +
– gdje je: Ac – ploština presjeka
u – opseg presjeka izloženog zraku
– konačna vrijednost koeficijenta puzanja za t0 = 28 dana, za suhe uvjete okoliša (RH=50%):
( )0 2 9,t ,ϕ ∞ = – vrijednost se može odrediti prema slici 4.2 u skriptama (Betonske
konstrukcije 1; Sorić, Kišiček)
– konačna vrijednost relativne deformacije od skupljanja:
cs, cd, ca,ε ε ε∞ ∞ ∞= + – zbroj deformacije skupljanja zbog sušenja i deformacije autogenog
skupljanja
cd, h cd,0kε ε∞ = ⋅ – gdje je hk koeficijent koji ovisi o zamjenskoj veličini 0h
– za 0 168,66 mmh = , linearnom interpolacijom (iz tablice 4.4) dobiva se:
h 0,897k =

– za razred betona C20/25 te RH=50%, linearnom interpolacijom (iz tablice 4.3) dobiva se:
cd,0 0,000535ε =
4
cd, 0,897 0,000535 4,79 10ε −
∞ = ⋅ = ⋅
( ) ( )6 6 5
ca, ck2,5 10 10 2,5 20 10 10 2,5 10fε − − −
∞ = ⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅ = ⋅
– konačna vrijednost relativne deformacije od skupljanja:
4 5 4
cs, cd, ca, 4,79 10 2,5 10 5,04 10ε ε ε − − −
∞ ∞ ∞= + = ⋅ + ⋅ = ⋅
– za razred betona C20/25 i čelik B500B:
2
cm 30000 N/mmE =
2cm
c,eff
0
30000
7692 N/mm
1,0 ( , ) 1,0 2,9
E
E
tϕ
= = =
+ ∞ +
676
30000
200000
cm
s
e,0 ,
E
E
===α
s
e,
c,eff
200000
26,0
7692
E
E
α ∞ = = =
– težište i moment tromosti poprečnog presjeka (samo beton bez armature):
2 2
w f eff f f
0d
w f eff f
0d
( ) / 2 ( 0,5 ) 30 (40 15) / 2 177 15 (40 0,5 15)
( ) 30 (40 15) 177 15
28,09 cm
b h h b h h h
y
b h h b h
y
⋅ − + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ − ⋅
= =
⋅ − + ⋅ ⋅ − + ⋅
=
0g 0d 40 28,09 11,91 cmy h y= − = − =
233 3
w 0gw 0d eff w f f
0 eff w f 0g
23 3 3
4
( )
( )
3 3 12 2
30 28,09 30 11,91 (177 30) 15 15
(177 30) 15 11,91
3 3 12 2
221643,61 16894,11 41343,75 42883,06 322764,53 cm
b yb y b b h h
I b b h y
⋅⋅ − ⋅ ⎛ ⎞
= + + + − ⋅ ⋅ −⎜ ⎟
⎝ ⎠
⋅ ⋅ − ⋅ ⎛ ⎞
= + + + − ⋅ ⋅ −⎜ ⎟
⎝ ⎠
= + + + =
4
0 322764,53 cmI =

7.5.2. Geometrijske karakteristike poprečnog presjeka za t=0:
Stanje naprezanja I:
– težište i moment tromosti za idealni poprečni presjek:
( ) ( ) 0051304030166ws1I ,/,hb/A =⋅=⋅=ρ
( )( ) ( )( )
( ) ( ) 04677016626210051306761
032320536166532621
40
536
0051306761
s1s2Ie,0I
s12s2Ie,0I
,,/,,,A/AB
,,,/,,
,
,,dA/dAh/dA
=+⋅⋅=+⋅⋅=
=⋅⋅+⋅⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅⋅=
ρα
ρα
3768500323201
30
177
40
15
50150
2
I
w
eff
2
f
I ,,,A
b
b
h
h
,C =+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−⋅⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅=+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−⋅⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅=
8842710467701
30
177
40
15
1 I
w
efff
I ,,B
b
b
h
h
D =+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−⋅⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−⋅⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
( ) ( ) ( ) ( ) 304010884271137685050150 IIxI ,,,,DC,k =++=++=
cm21240304010xIIg ,,hky =⋅=⋅=
( ) cm8271 xIIgId ,hkyhy =⋅−=−=
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )[ ] 422
2
3
33
2
2Igs2
2
Igs1e,0
2
f1gfweff
3
fweff3
Ig
3
Id
w
I
cm3344654532122622125361661676
2152121530177
12
1530177
212827
3
30
1
2
123
,,,,,,,,
/,,,
dyAydA
/hyhbb
hbb
yy
b
I
=−⋅+−⋅⋅−+
+−⋅⋅−+
⋅−
++=
=−+−⋅−+
+−⋅⋅−+
⋅−
++=
α
– statički moment ploštine armature:
( ) ( ) ( ) ( ) 3
2Igs2Igs1I cm0313053212262212536166 ,,,,,,,dyAydAS =−⋅−−⋅=−⋅−−⋅=
Stanje naprezanja II:
II s1 eff/ ( ) 6,16 / (177 36,5) 0,00095A b dρ = ⋅ = ⋅ =
II e,0 II s2 2 s1(1 / ( )) 6,67 0,00095 (1 2,26 3,5 / (6,16 36,5)) 0,00656A A d A dα ρ= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =
II e,0 II s2 s1(1 / ) 6,67 0,00095 (1 2,26 / 6,16) 0,00866B A Aα ρ= ⋅ ⋅ + = ⋅ ⋅ + =

2 2
xII II II II2 0,00866 0,00866 2 0,00656 0,1062k B B A= − + + = − + + ⋅ =
IIg xII f0,1062 36,5 3,88 cm< 15 cmy k d h= ⋅ = ⋅ = =
3
eff IIg 2 2
II ,0 s1 IIg ,0 s2 IIg 2
3
2 2
4
( ) ( 1) ( )
3
177 3,88
6,67 6,16 (36,5 3,88) (6,67 1) 2,26 (3,88 3,5)
3
47167,53 cm
e e
b y
I A d y A y dα α
⋅
= + ⋅ ⋅ − + − ⋅ ⋅ −
⋅
= + ⋅ ⋅ − + − ⋅ ⋅ −
=
3
II s1 IIg s2 IIg 2( ) ( ) 6,16 (36,5 3,88) 2,26 (3,88 3,5) 200,08 cmS A d y A y d= ⋅ − − ⋅ − = ⋅ − − ⋅ − =
– krak unutarnjih sila:
IIg 3,88
36,5 35,21 cm
3 3
y
z d= − = − =
7.5.3. Geometrijske karakteristike poprečnog presjeka za t=∞:
Stanje naprezanja I:
– težište i moment tromosti za idealni poprečni presjek:
( ) ( ) 0051304030166ws1I ,/,hb/A =⋅=⋅=ρ
( )( ) ( )( )
( ) ( ) 1823101662621005130261
125990536166532621
40
536
005130261
s1s2Ie,I
s12s2Ie,I
,,/,,A/AB
,,,/,,
,
,dA/dAh/dA
=+⋅⋅=+⋅⋅=
=⋅⋅+⋅⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅⋅=
∞
∞
ρα
ρα
4705201259901
30
177
40
15
50150
2
I
w
eff
2
f
I ,,,A
b
b
h
h
,C =+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−⋅⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅=+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−⋅⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅=
0198121823101
30
177
40
15
1 I
w
efff
I ,,B
b
b
h
h
D =+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−⋅⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−⋅⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
( ) ( ) ( ) ( ) 321380019812147052050150 IIxI ,,,,DC,k =++=++=
cm91240321380xIIg ,,hky =⋅=⋅=

( ) cm1271 xIIgId ,hkyhy =⋅−=−=
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )[ ] 422
2
3
33
2
2Igs2
2
Igs1e,
2
f1gfweff
3
fweff3
Ig
3
Id
w
I
cm841474153912262912536166126
2159121530177
12
1530177
912127
3
30
1
2
123
,,,,,,,
/,,,
dyAydA
/hyhbb
hbb
yy
b
I
=−⋅+−⋅⋅−+
+−⋅⋅−+
⋅−
++=
=−+−⋅−+
+−⋅⋅−+
⋅−
++=
∞α
( ) ( ) ( ) ( ) 3
2Igs2Igs1I cm1312453912262912536166 ,,,,,,,dyAydAS =−⋅−−⋅=−⋅−−⋅=
Stanje naprezanja II:
II s1 eff/ ( ) 6,16 / (177 36,5) 0,00095A b dρ = ⋅ = ⋅ =
II e, II s2 2 s1(1 / ( ) 26,0 0,00095 (1 2,26 3,5 / (6,16 36,5)) 0,02557A A d A dα ρ∞= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =
II e, II s2 s1(1 / ) 26,0 0,00095 (1 2,26 / 6,16) 0,03376B A Aα ρ∞= ⋅ ⋅ + = ⋅ ⋅ + =
2 2
xII II II II2 0,03376 0,03376 2 0,02557 0,1949k B B A= − + + = − + + ⋅ =
IIg xII f0,1949 36,5 7,11 cm< 15 cmy k d h= ⋅ = ⋅ = =
3
eff IIg 2 2
II , s1 IIg , s2 IIg 2
3
2 2
4
( ) ( 1) ( )
3
177 7,11
26,0 6,16 (36,5 7,11) (26,0 1) 2,26 (7,11 3,5)
3
160284,15 cm
e e
b y
I A d y A y dα α∞ ∞
⋅
= + ⋅ ⋅ − + − ⋅ ⋅ −
⋅
= + ⋅ ⋅ − + − ⋅ ⋅ −
=
3
II s1 IIg s2 IIg 2( ) ( ) 6,16 (36,5 7,11) 2,26 (7,11 3,5) 172,88 cmS A d y A y d= ⋅ − − ⋅ − = ⋅ − − ⋅ − =
– krak unutarnjih sila:
IIg 7,11
36,5 34,13 cm
3 3
y
z d= − = − =

7.5.4. Momenti savijanja i naprezanja u presjeku na sredini raspona grede (na mjestu
maksimalnog momenta savijanja)
– moment savijanja i naprezanje u vlačnoj armaturi na sredini raspona za kratkotrajno djelovanje (t=0):
Ed g q1,0 1,0 1,0 50,77 1,0 14,21 64,98 kNmM M M= ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ = – parcijalni koeficijenti – 1,0
2 2Ed
s
s1
6498
29,96 kN/cm 299,6 N/mm
6,16 35,21
M
A z
σ = = = =
⋅ ⋅
– moment pri pojavi prve pukotine u poprečnom presjeku:
ctm 0
cr
0d
0,22 322764,53
2527,88 kNcm 25,28 kNm
28,09
f I
M
y
⋅ ⋅
= = = =
– naprezanje u vlačnoj armaturi na mjestu pojave prve pukotine za kratkotrajno djelovanje (t=0):
2 2cr
sr
s1
2527,88
11,65 kN/cm 116,5 N/mm
6,16 35,21
M
A z
σ = = = =
⋅ ⋅
– moment savijanja i naprezanje u vlačnoj armaturi na u sredini raspona za dugotrajno djelovanje
(t=∞):
Ed g 2 q1,0 1,0 1,0 50,77 1,0 0,3 14,21 55,03kNmM M Mψ= ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅ =
2 2Ed
s
s1
5503
26,17 kN/cm 261,7 N/mm
6,16 34,13
M
A z
σ = = = =
⋅ ⋅
– gdje je 2 0,3ψ = koeficijent kombinacije za stambene prostore
–naprezanje u vlačnoj armaturi na mjestu pojave prve pukotine za dugotrajno djelovanje (t=∞):
Moment kod kojeg nastaje prva pukotina od dugotrajnog djelovanja jednak je onom od
kratkotrajnog djelovanja, jer ovisi samo o geometriji poprečnog presjeka i vlačnoj čvrstoći
betona.
22
s1
cr
sr N/mm2120kN/cm0212
1334166
882527
,,
,,
,
zA
M
==
⋅
=
⋅
=σ

7.5.5. Minimalna ploština armature za ograničenje širine pukotina
– minimalna armatura za ograničenje širine pukotina (stanje naprezanja II):
s,min c ct,eff ct s/A k k f A σ= ⋅ ⋅ ⋅
c 0,4k = – za naprezanje izazvano čistim savijanjem
93,0=k – koeficijent za učinak nejednolikih samouravnoteženih
naprezanja, što vodi do smanjenja sila upetosti
(za visinu 40 cmh = pomoću linearne interpolacije)
2
ct,eff ctm 2,2 N/mmf f= = – vlačna čvrstoća betona u vrijeme pojave prve pukotine
( ) ( ) ( ) ( ) 2
0gfefffwct cm931296911115177154030 ,,yhbhhbA =−⋅+−⋅=−⋅+−⋅=
– Act je ploština vlačnog dijela betona prije pojave prve pukotine. Kako se neutralna os
nalazi u ploči (pojasnici) nosača, vrijedi gornji izraz. Kad bi neutralna os bila u rebru
tada bi izraz glasio: Act = bw⋅y0d
2
yks kN/cm050,f ==σ
2
s1
2
scteffct,cmins, cm166cm122
050
931296
22093040 ,A,
,
,
,,,/AfkkA =<=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅= σ
Odabrana armatura 2
s1=4 6,16 cmA φ14= zadovoljava uvjet minimalne armature.
– granični promjer šipke armature i razmak šipki armature:
Interpolacija vrijednosti iz tablice 2.3b i 2.4 u skriptama Betonske konstrukcije prema EC2 – 2. dio;
Sorić, Kišiček.
( ) mm83171620
240280
7261280
16 ,
,*
=−⋅
−
−
+=φ
( )
mm29
536402
911140
2,9
22
8317
22,9
crceffct,
,
),(
,,,
,
dh
hkf*
=
−⋅
⋅
⋅⋅=
−⋅
⋅
⋅⋅= φφ
( ) cm3222025
240280
7261280
20 ,
,
razmak =−⋅
−
−
+=
Granična vrijednost razmaka šipki uzdužne armature je 22,3 cm.
Odabrana armatura 2
s1=4 6,16cmA φ14= ne zadovoljava uvjet graničnog promjera šipke armature i
zadovoljava uvjet razmaka između šipki armature. Potrebno je provesti proračun širine pukotina.

7.5.6. Proračun širina pukotina za kratkotrajno djelovanje (t=0)
– provjera dolazi li do pojave pukotina:
kNm9864Ed ,M =
kNm2825cr ,M =
crEd MM > dolazi do pojave pukotina od kratkotrajnog djelovanja
– karakteristična širina pukotina proračunava se prema izrazu:
( )k r,max sm cmw s ε ε= ⋅ − , te mora biti manja od granične širine pukotina koja iznosi:
mm40max ,w =
– razlika srednjih relativnih deformacija armature i betona:
( )ct,eff
s t e,0 p,eff
p,eff s
sm cm
s s
1
0,6
f
k
E E
σ α ρ
ρ σ
ε ε
− ⋅ ⋅ + ⋅
− = ≥ ⋅
– gdje je: sσ – naprezanje u armaturi
tk – koeficijent ovisan o trajanju opterećenja – 0,6 za kratkotrajno opterećenje
ct,efff – vlačna čvrstoća betona u vrijeme pojave prve pukotine
s
p,eff
c,eff
A
A
ρ = – koeficijent armiranja mekom (nenapetom) armaturom
c,eff c,efA b h= ⋅ – sudjelujuća vlačna ploština presjeka
– c,efh – visina sudjelujuće vlačne ploštine presjeka, a određuje se kao najmanja vrijednost od:
( ) ( ) cm75,85,36405,25,2 =−⋅=−⋅ dh → mjerodavno
( ) ( ) cm04,123/88,3403/IIg =−=− yh
cm0,202/402/ ==h
– sudjelujuća vlačna ploština presjeka:
2
efc,weffc, cm5,26275,830 =⋅=⋅= hbA

– koeficijent armiranja mekom (nenapetom) armaturom
0235,0
5,262
16,6
effc,
s
effp, ===
A
A
ρ
( )
3 4
sm cm
0,22
29,96 0,6 1 6,67 0,0235
29,960,0235
1,173 10 0,6 8,988 10
20000 20000
ε ε − −
− ⋅ ⋅ + ⋅
− = = ⋅ > ⋅ = ⋅
Izraz za proračun maksimalnog razmaka pukotina ovisi o međusobnom razmaku glavne armature.
– razmak glavne armature je manji od:
( ) ( ) cm5,1324,10,2525 =+⋅=+⋅ φc
– maksimalni razmak pukotina:
effp,4213maxr, ρφ⋅⋅⋅+⋅= kkkcks
0,81 =k – za rebrastu armaturu
5,02 =k – za savijanje presjeka male debljine
4,33 =k
425,04 =k
mm3,1690235,014425,05,08,0204,3maxr, =⋅⋅⋅+⋅=s
– karakteristična širina pukotina za kratkotrajno djelovanje iznosi:
( ) mm40mm2001017313169 g
3
cmsmmaxr,0tk, ,w,,,sw =<=⋅⋅=−⋅= −
= εε
Širina pukotina za kratkotrajno djelovanje zadovoljava.

7.5.7. Proračun širina pukotina za dugotrajno djelovanje (t=∞)
– provjera dolazi li do pojave pukotina:
kNm0355Ed ,M =
kNm2825cr ,M =
crEd MM > dolazi do pojave pukotina od dugotrajnog djelovanja
– karakteristična širina pukotina proračunava se prema izrazu:
( )k r,max sm cmw s ε ε= ⋅ − , te mora biti manja od granične širine pukotina koja iznosi:
mm40max ,w =
( )ct,eff
s t e, p,eff
p,eff s
sm cm
s s
1
0,6
f
k
E E
σ α ρ
ρ σ
ε ε
∞− ⋅ ⋅ + ⋅
− = ≥ ⋅
– c,efh – visina sudjelujuće vlačne ploštine presjeka:
( ) ( ) cm75,85,36405,25,2 =−⋅=−⋅ dh → mjerodavno
( ) ( ) cm96,103/11,7403/IIg =−=− yh
cm0,202/402/ ==h
– sudjelujuća vlačna ploština presjeka:
2
efc,weffc, cm5,26275,830 =⋅=⋅= hbA
– koeficijent armiranja mekom (nenapetom) armaturom
0235,0
5,262
16,6
effc,
s
effp, ===
A
A
ρ
tk – koeficijent ovisan o trajanju opterećenja – 0,4 za dugotrajno opterećenje
( )
43
cmsm 108517
20000
1726
60100071
20000
023500261
02350
220
401726
−−
⋅=⋅>⋅=
⋅+⋅⋅−
=− ,
,
,,
,,
,
,
,,
εε

Izraz za proračun maksimalnog razmaka pukotina ovisi o međusobnom razmaku glavne armature.
– razmak glavne armature je manji od:
( ) ( ) cm5,1324,10,2525 =+⋅=+⋅ φc
– maksimalni razmak pukotina:
effp,4213maxr, ρφ⋅⋅⋅+⋅= kkkcks
0,81 =k – za rebrastu armaturu
5,02 =k – za savijanje presjeka male debljine
4,33 =k
425,04 =k
mm3,1690235,014425,05,08,0204,3maxr, =⋅⋅⋅+⋅=s
– karakteristična širina pukotina za dugotrajno djelovanje iznosi:
( ) mm40mm1701000713169 g
3
cmsmmaxr,0tk, ,w,,,sw =<=⋅⋅=−⋅= −
= εε
Širina pukotina za dugotrajno djelovanje zadovoljava.
7.6. Proračun progiba grede
Provjera potrebe proračuna progiba:
– vitkost elementa:
385
10,55
36,50
L
d
= =
– granična vitkost:
– za: s1
1
w
6,16
0,0056 0,56%
30 36,50
A
b d
ρ = = = =
⋅ ⋅
181
7261
310310
s
3 ,
,
f ===
σ
ili

061
795
166
500
500500
rqds,
provs,
y
3 ,
,
,
A
A
f
f
k
=⋅=⋅= mjerodavno (odabire se manja vrijednost f3)
eff w177,0 cm >3 90,0 cmb b= ⋅ =
14 · 0,8* = 11,2
20 · 0,8* = 16,0
*Ako je eff w> 3b b⋅ , kao u ovom slučaju, vrijednosti graničnog omjera, kada proračun progiba nije
potreban, eff /L d (tablica 2.8 u skriptama Betonske konstrukcije prema EC2 – 2. dio; Sorić, Kišiček) se
množe s 0,8.
– dopuštena (granična) vitkost (interpolacija vrijednosti iz tablice 2.7):
5510541621116
5051
56051
211061 ,,),(
%,%,
%,%,
,,)d/L( lim >=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−⋅
−
−
+⋅=
Greda zadovoljava granično stanje progiba, te nije potrebno provesti proračun progiba.
NAPOMENA: Radi ilustracije postupka, proračun progiba se provodi u nastavku.
7.6.1. Proračun progiba grede za kratkotrajno djelovanje (t=0)
Kod proračuna progiba od kratkotrajnog djelovanja u obzir se uzimaju stalno i uporabno
opterećenje u punom iznosu, bez utjecaja skupljanja i puzanja betona.
Zakrivljenost poprečnog presjeka za stanje naprezanja I:
(1/cm)1036
33446543000
64981 6
Icm
Ed
I
−
⋅=
⋅
=
⋅
= ,
,E
M
r Ι
Krak unutarnjih sila za stanje naprezanja II:
cm23538835363IIg ,/,,/ydz =−=−=
Naprezanje i relativna deformacija armature za stanje naprezanja II:
2
s kN/cm9629,=σ
3
sss1 1051200009629 −
⋅=== ,/,E/σε
Zakrivljenost poprečnog presjeka za stanje naprezanja II:
(1/cm)1064
883536
10511 5
3
IIg
s1
II
−
−
⋅=
−
⋅
=
−
= ,
,,
,
ydr
ε

Naprezanje u armaturi prilikom pojave prve pukotine:
2
sr kN/cm6511,=σ
Koeficijent raspodjele zakrivljenosti:
8490
9629
6511
0111
22
s
sr
,
,
,
, =⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅−=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⋅−=
σ
σ
βζ
β – koeficijent ovisan o trajanju djelovanja – 1,0 za kratkotrajno djelovanje
Ukupna zakrivljenost poprečnog presjeka grede:
( )
( ) (1/cm)100410648490103684901
11
1
1
556
IIIm
−−−
⋅=⋅⋅+⋅⋅−=
=⋅+⋅−=
,,,,,
rrr
ζζ
Progib grede od kratkotrajnog djelovanja iznosi:
cm6201004385
48
51 52
m
2
0tk, ,,
r
Lkv =⋅⋅⋅=⋅⋅= −
=
cm541250385250cm620 efflim0tk, ,//Lv,v ===<==
Progib od kratkotrajnog djelovanja manji je od vlim, ali je važnije proračunati progib od dugotrajnog
djelovanja koji slijedi.
7.6.2. Proračun progiba grede za dugotrajno djelovanje (t=∞)
Kod proračuna progiba od dugotrajnog djelovanja u obzir se uzima stalno opterećenje u punom
iznosu te uporabno opterećenje umanjeno koeficijentom učestalosti opterećenja 2ψ . U obzir se uzima
skupljanje i puzanje betona.
Zakrivljenost poprečnog presjeka za stanje naprezanja I:
(1/cm)10721
84147412769
55031 5
Ieffc,
Ed
I
−
⋅=
⋅
=
⋅
= ,
,,E
M
r Ι
Krak unutarnjih sila:
cm133431175363IIg ,/,,/ydz =−=−=
Naprezanje i relativna deformacija armature za stanje naprezanja II:
2
s kN/cm1726,=σ
3
sss1 10311200001726 −
⋅=== ,/,E/σε
Zakrivljenost poprečnog presjeka za stanje naprezanja II:

(1/cm)10464
117536
103111 5
3
IIg
s1
II
−
−
⋅=
−
⋅
=
−
= ,
,,
,
ydr
ε
Naprezanje u armaturi prilikom pojave prve pukotine:
2
sr kN/cm0212,=σ
Koeficijent raspodjele zakrivljenosti:
8950
1726
0212
5011
22
s
sr
,
,
,
, =⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⋅−=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⋅−=
σ
σ
βζ
β – koeficijent ovisan o trajanju djelovanja – 0,5 za dugotrajno djelovanje
Srednja zakrivljenost poprečnog presjeka grede od opterećenja i puzanja betona:
( )
( ) ( )1/cm101741046489501072189501
11
1
1
555
IIIm
−−−
⋅=⋅⋅+⋅⋅−=
=⋅+⋅−=
,,,,,
rrr
ζζ
Zakrivljenosti poprečnog presjeka grede od skupljanja betona za stanja naprezanja I i II:
(1/cm)10933
19411888
5412326100451 6
4
I
Ie,cs
csI
−
−
∞∞
⋅=
⋅⋅⋅
=
⋅⋅
= ,
,
,,S
r Ι
αε
(1/cm)10411
15160284
8817226100451 5
4
II
IIe,cs
csII
−
−
∞∞
⋅=
⋅⋅⋅
=
⋅⋅
= ,
,
,,S
r Ι
αε
Srednja zakrivljenost poprečnog presjeka grede od skupljanja betona:
( )
( ) ( )1/cm10311041189501093389501
11
1
1
556
csIIcsIcsm
−−−
⋅=⋅⋅+⋅⋅−=
=⋅+⋅−=
,,,,,
rrr
ζζ
Ukupna zakrivljenost poprečnog presjeka grede:
(1/cm)10475103110174
111 555
csmmtot
−−−
⋅=⋅+⋅=+= ,,,
rrr
Progib grede od dugotrajnog djelovanja:
cm84010475385
48
51 52
tot
2
ttot, ,,
r
Lkv =⋅⋅⋅=⋅⋅= −
∞=
cm541250385250cm840 efflimttot, ,//Lv,v ===<=∞=
Progib grede ZADOVOLJAVA jer je limtot,t vv <∞= .

08 -greda_411___gsu

Recommended

Recommended

More Related Content

Viewers also liked

Viewers also liked (6)

More from Durim Bajrami

More from Durim Bajrami (20)

08 -greda_411___gsu